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- 1. matemtica dante volume nico contexto e aplicaes Manual do
professor Ensino Mdio e preparao para a educao superior
- 2. 2 M a n u a l d o P r o f e s s o r Apresentao
.................................................................................................................
3 1. Caractersticas do Volume nico
..................................................................................
5 2. Algumas idias para a utilizao do Volume nico
....................................................... 6 3.
Pressupostos tericos para o ensino de Matemtica segundo as
Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino
Mdio.................................................. 7 4. A
avaliao em Matemtica
...............................................................................
15 5. Informaes teis ao professor para sua formao continuada
.......................................22 6. Referncias bibliogrcas
para o professor
............................................................ 25 1.
Descrio do livro do aluno
.........................................................................................27
2. Observaes sobre os contedos
.................................................................................27
3. Identicao em cada captulo dos problemas que envolvem
contextualizao, interdisciplinaridade e integrao com outros temas
matemticos...................................30 4. Exerccios
complementares que envolvem contextualizao, interdisciplinaridade e
integrao com outros temas
matemticos.....................................................................42
Sumrio Professor A resoluo de todos os exerccios do livro Matemtica
Contexto & Aplicaes, Volume nico encontra-se no Manual do
Professor, impresso e fornecido juntamente com o livro-texto. Parte
I Parte II 2
- 3. 3M a n u a l d o P r o f e s s o r Do Autor O autor
licenciado em Matemtica pela Unesp de Rio Claro-SP, mestre em
Matemtica pela USP de So Carlos-SP, doutor em Psicologia da Educao:
Ensino de Matemtica pela PUC-SP e livre-docente em Educao Matemtica
pela Unesp de Rio Claro. Lecionou Matemtica no Ensino Fundamental e
Mdio durante 8 anos e foi professor de Didtica da Matemtica e
Prtica de Ensino na Licenciatura em Matemti- ca da UnespRio
Claro-SP durante 25 anos. Um dos idealizadores e coordenador do
Mestrado em Educao Matemtica da UnespRio Claro-SP, onde foi
professor e pes- quisador por 10 anos, realizando estudos e
pesquisas em ensino e aprendizagem da Matemtica com alunos e
professores, e divulgando-os em congressos nacionais e in-
ternacionais em 13 pases. Orientou, ainda, 8 dissertaes de Mestrado
em Educao Matemtica. Alm disso, ministrou (e ainda ministra)
centenas de palestras e cursos de atualizao, em todo o pas e no
exterior, para professores de Educao Infantil, do Ensino
Fundamental e do Ensino Mdio, sobre problemas relacionados com a
apren- dizagem e o ensino da Matemtica nesses nveis. Com base nessa
vasta experincia em Educao Matemtica, escreveu vrios artigos e
livros para alunos e professores, sempre buscando tornar a
Matemtica mais signicativa e mais prazerosa aos alunos, alm de mais
prxima de sua vivncia, estimu- lando-os a fazer Matemtica,
descobrindo e produzindo idias matemticas, formulan- do e
resolvendo situaes-problema. Seus principais livros, todos
publicados pela Editora tica, so: s Matemtica Contexto &
aplicaes, 3 v. (Ensino Mdio) s Didtica da resoluo de problemas de
Matemtica 1 a 5 srie s Coleo Par ou mpar Fichas de Matemtica para a
pr-escola (3 v.) s Didtica da Matemtica na pr-escola s Vivncia e
Construo Coleo de Matemtica de 1 a 4 srie s Tudo Matemtica Coleo de
Matemtica de 5 a 8 srie Assessorou na elaborao dos guias e das
propostas curriculares de Matemtica para a rede pblica do estado de
So Paulo e dos Parmetros Curriculares Nacionais (PCNs) de Matemtica
da SEF/MEC. Atualmente, assessora muitas escolas da rede particular
em seus planejamentos. Apresentao
- 4. 4 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V
o l u m e n i c o Agora, o autor apresenta esta obra para o Ensino
Mdio, colocando nela toda sua experincia, formao e vivncia em
Educao Matemtica. Um livro que procura incor- porar grande parte
dos avanos obtidos em estudos e pesquisas realizados em Educa- o
Matemtica nas ltimas dcadas, sem, no entanto, exagerar em inovaes
que di- cultem o trabalho signicativo do professor em sala de aula.
Do Livro O livro Matemtica Contexto & Aplicaes, Volume nico
para o Ensino Mdio contempla todos os contedos de Matemtica para
esse nvel de ensino ao abor- dar os grandes eixos temticos: nmeros,
funes (am, quadrtica, modular, exponen- cial, logartmica,
trigonomtricas, polinomiais, seqenciais), lgebra (equaes polino-
miais, matrizes e sistemas), Geometria (plana, espacial e
analtica), Estatstica, probabili- dade e Matemtica nanceira, sempre
que possvel contextualizados, integrados entre si e de maneira
interdisciplinar com as demais reas do conhecimento por meio de
aplica- es. Este livro no s traz todos os assuntos essenciais para
o nvel mdio como tam- bm prepara o aluno para os processos
seletivos de ingresso educao superior. As atividades propostas
procuram estimular a reexo, possibilitando a construo, a apro-
priao gradativa e a xao dos conhecimentos. Do Manual do Professor O
Manual do Professor composto de duas partes. Uma parte geral e uma
parte especca para cada volume. A parte geral contm: 1.
Caractersticas do Volume nico 2. Algumas idias para a utilizao do
Volume nico 3. Pressupostos tericos para o ensino de Matemtica
segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio 4.
A avaliao em Matemtica 5. Informaes teis ao professor para sua
formao continuada 6. Referncias bibliogrcas para o professor A
parte especca contm: 1. Descrio do livro do aluno 2. Observaes
sobre os contedos 3. Identicao em cada captulo dos problemas que
envolvem contextualizao, inter- disciplinaridade e integrao com
outros temas matemticos 4. Exerccios complementares que envolvem
contextualizao, interdisciplinaridade e integrao com outros temas
matemticos
- 5. 5M a n u a l d o P r o f e s s o r 1. Caractersticas do
Volume nico Introduo Como qualquer outro material didtico, o livro
deve ser visto como mais um importante auxiliar do professor que
busca ensinar Matemtica de modo mais significativo para o aluno,
com assuntos da vivncia dele, desenvolvendo conceitos com
compreenso e situaes-problema interessantes, con- textualizadas ou
interdisciplinares. Este livro e a Educao Matemtica Para se
constituir realmente nesse importante auxiliar do professor,
Matemtica Contexto & Aplicaes, Volume nico incorporou muitos
dos recentes avanos dos estudos e das pesquisas em Educao
Matemtica. Em geral, os conceitos so desencadeados a partir de um
problema, como recomendado hoje pelos educadores matemticos que
trabalham com resoluo de problemas; a modelagem matemtica feita
pela procura de modelos matemticos a partir de problemas reais; e o
uso da tecnologia de informao, como calculadoras, feito em vrios
momentos do livro. Ensinando por compreenso, contextualizando e
aplicando A tnica deste livro ajudar o aluno a construir,
desenvolver e aplicar idias e conceitos mate- mticos, sempre
compreendendo e atribuindo significado ao que est fazendo, evitando
a simples memorizao e mecanizao. E tudo isso partindo de
situaes-problema contextualizadas e, poste- riormente, aplicando os
conceitos em situaes cotidianas ou em outras reas do conhecimento.
Integrao Este livro procura em muitos momentos fazer a integrao
entre os grandes eixos temticos, nmeros, funes, lgebra, Geometria,
contagem, Estatstica e probabilidade, que ser explici- tada na
parte especfica deste Manual. Contextualizao Sempre que possvel, o
desencadeamento de novos conceitos foi feito por meio de situaes-
problema contextualizadas. Muitos dos exemplos e dos exerccios
propostos tambm foram apresen- tados por meio de situaes
contextualizadas, como veremos na parte especfica.
Interdisciplinaridade Em muitos problemas e exerccios deste volume
nico procurou-se aplicar conceitos matemticos na soluo de situaes
de outros componentes curriculares, como Fsica, Qumica, Biologia,
etc. Eles sero explicitados mais adiante na parte especfica deste
Manual. Parte I
- 6. 6 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V
o l u m e n i c o Trabalhando com raciocnio: seo Para Reetir Esta
uma seo importante do livro. Ela chama a ateno do aluno para
refletir, constatar, des- cobrir ou provar algo. Exemplos Os
exemplos tm a finalidade de mostrar as vrias abordagens de resoluo
de uma determina- da questo ou problema. No devem ser vistos como
modelos que os alunos apenas imitam e dos quais repetem estratgias.
Exerccios propostos H uma grande variedade e quantidade de
exerccios e problemas para o aluno consolidar os seus
conhecimentos. Quanto mais problemas variados o aluno resolver,
mais bem preparado estar para enfrentar problemas novos e inditos.
Exerccios e testes de reviso No nal de cada captulo, h uma seo de
exerccios e testes para o aluno revisar o contedo aprendido no
captulo. Em geral, os testes foram selecionados de vestibulares
recentes, ou, quando muito signicativos, de vestibulares mais
antigos. Testes nais No nal do livro h 300 questes de vestibular
(dos ltimos anos) relativas matria dos trs anos do Ensino Mdio.
Tudo isso possibilita ao aluno vericar o nvel de aprendizagem
conseguido. 2. Algumas idias para a utilizao do Volume nico Cada
professor tem a sua prpria maneira de dar aula. Apesar disso,
esboamos aqui uma espcie de roteiro que o professor poder seguir,
dependendo de suas caractersticas prprias. Natu- ralmente, bastante
salutar que cada professor, com sua criatividade e experincia de
sala de aula, modique tal roteiro, sempre visando aprendizagem
signicativa dos seus alunos. Esboo de roteiro Leitura Os alunos
fazem a leitura do texto, que pode ser individualmente, em duplas,
em grupos maiores, com ou sem ajuda do professor. Isso auxilia a
interpretao e a compreenso de texto e desenvolve a autonomia dos
alunos. Destaques feitos pelo professor O professor estimula a
discusso em classe do que foi lido, promovendo troca de idias entre
os alunos e destacando os pontos fundamentais na lousa. Exemplos Os
alunos, coletivamente ou no, estudam os exemplos e tiram dvidas das
passagens que no entenderam. s vezes, a critrio do professor,
importante que refaam esses exemplos no caderno.
- 7. 7M a n u a l d o P r o f e s s o r Exerccios propostos Na
classe, os alunos tentam resolver individualmente tais exerccios.
Depois, em pequenos grupos, conferem suas estratgias e resultados.
O professor, circulando entre os grupos, acompanha, ajuda, instiga,
faz perguntas, destaca idias fundamentais, sente as dificuldades
dos alunos e solicita que alguns exerccios sejam resolvidos na
lousa. Exerccios e testes de reviso Os alunos resolvem
individualmente, em casa, alguns exerccios indicados pelo
professor. Na classe, ao corrigir e discutir os exerccios, alguns
alunos mostram suas solues na lousa, com eventuais observaes do
professor. Em seguida, o professor pode estimular os alunos a
resolver algu- mas questes do final do livro. 3. Pressupostos
tericos para o ensino de Matemtica segundo as Diretrizes
Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio Introduo Na nova Lei de
Diretrizes e Bases da Educao Nacional (Lei n 9 394/96), a educao
escolar compe-se de: Educao Bsica, formada pela Educao Infantil,
Ensino Fundamental e Ensino Mdio, e Educao Superior. A educao bsica
tem por finalidade desenvolver o educando, assegurar-lhe a formao
comum indispensvel para o exerccio da cidadania e fornecer-lhe
meios para progredir no trabalho e em estudos superiores. Objetivos
do Ensino Mdio O Ensino Mdio, etapa final da educao bsica, com
durao mnima de trs anos, tem como finalidades: I a consolidao e o
aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental,
possibilitando o prosseguimento dos estudos; II a preparao bsica
para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar apren-
dendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas
condies de ocupa- o ou aperfeioamento posteriores; III o
aprimoramento do educando como ser humano, incluindo a formao tica
e o desenvol- vimento da autonomia intelectual e do pensamento
crtico; IV a compreenso dos fundamentos cientfico-tecnolgicos dos
processos produtivos, relacio- nando a teoria com a prtica, no
ensino de cada disciplina. Alm disso, o currculo do Ensino Mdio
observar as seguintes diretrizes: I destacar a educao tecnolgica
bsica, a compreenso do significado da Cincia, das Letras e das
Artes; o processo histrico de transformao da sociedade e da
cultura; a lngua portuguesa como instrumento de comunicao, acesso
ao conhecimento e exerccio da cidadania; II adotar metodologias de
ensino e de avaliao que estimulem a iniciativa dos estudantes. Os
contedos, as metodologias e as formas de avaliao sero organizados
de tal forma que, ao nal do Ensino Mdio, o educando demonstre: I
domnio dos princpios cientficos e tecnolgicos que presidem a produo
moderna; II conhecimento das formas contemporneas de linguagem; III
domnio dos conhecimentos de Filosofia e Sociologia necessrios ao
exerccio da cida- dania.
- 8. 8 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V
o l u m e n i c o Diretrizes Curriculares para o Ensino Mdio O que
essas diretrizes propem que o Ensino Mdio, como parte da educao
bsica, seja desenvolvido de forma contextualizada e
interdisciplinar. A contextualizao Tratar os contedos de ensino de
forma contextualizada significa aproveitar ao mximo as rela- es
existentes entre esses contedos e o contexto pessoal ou social do
aluno, de modo a dar signifi- cado ao que est sendo aprendido,
levando-se em conta que todo conhecimento envolve uma relao ativa
entre o sujeito e o objeto do conhecimento. Assim, a contextualizao
ajuda a desenvolver no aluno a capacidade de relacionar o
apreendido com o observado e a teoria com suas conseqncias e
aplicaes prticas. A interdisciplinaridade Prope-se que a organizao
e o tratamento dos contedos do ensino e as situaes de apren-
dizagem sejam feitos de modo a destacar as mltiplas interaes entre
as vrias disciplinas do curr- culo, superando sempre que possvel a
fragmentao entre elas. sabido que algumas disciplinas se
identificam, se aproximam, tm muitas afinidades (como, por exemplo,
a Matemtica e a Fsica), enquanto outras se diferenciam em vrios
aspectos: pelos m- todos e procedimentos que envolvem, pelo objeto
que pretendem conhecer ou ainda pelo tipo de habi- lidade que
mobilizam naquele que as investiga, conhece, ensina ou aprende. Os
professores de uma mesma classe podem promover um ensino
interdisciplinar por meio de um projeto de investigao, um plano de
interveno ou mesmo de uma atividade. Neste caso, so iden- tificados
os conceitos e procedimentos de cada disciplina que podem
contribuir nesta tarefa, descrevendo-a, explicando-a, prevendo
solues e executando-a. Numa tarefa como essa, os concei- tos podem
ser formalizados, sistematizados e registrados no mbito das
disciplinas que contribuem para o seu desenvolvimento, ou seja, a
interdisciplinaridade no pressupe a diluio das disciplinas. A
tarefa a ser executada que interdisciplinar na sua concepo, execuo
e avaliao. A linguagem matemtica interdisciplinar com as demais
reas do currculo. Por exemplo, os conceitos das Cincias Naturais
(Fsica, Qumica e Biologia) e as leis naturais geralmente so expres-
sos pela linguagem matemtica. A Matemtica no Ensino Mdio Princpios
norteadores Os estudos e pesquisas das ltimas dcadas em Educao
Matemtica (rea do conhecimento que estuda a aprendizagem e o ensino
da Matemtica) e as prticas educativas bem-sucedidas em sala de aula
sugerem que devemos ter em mente os seguintes princpios ao ensinar
Matemtica: s A Matemtica uma das mais importantes ferramentas da
sociedade moderna. Apropriar-se dos conceitos e procedimentos
matemticos bsicos contribui para a formao do futuro cidado que se
engajar no mundo do trabalho, das relaes sociais, culturais e
polticas. Para exercer plenamente a cidadania preciso saber contar,
comparar, medir, calcular, resolver problemas, argumentar
logicamente, conhecer formas geomtricas e organizar, analisar e
inter- pretar criticamente as informaes. A viso da Matemtica como
uma maneira de pensar, como um processo em permanente evoluo (no
sendo algo pronto e acabado que apenas deve ser estudado), permite
ao aluno, dinamicamente, a construo e apropriao do conhecimento.
Permite tambm que o aluno a
- 9. 9M a n u a l d o P r o f e s s o r compreenda no contexto
histrico e sociocultural em que ela foi desenvolvida e continua se
desenvolvendo. s Compreender e usar as idias bsicas de Matemtica no
seu dia-a-dia um direito de todos os alunos, e no apenas daqueles
que tm mais afinidade com o raciocnio lgico. A Matemtica est
presente em praticamente tudo, com maior ou menor complexidade.
Perceber isso com- preender o mundo sua volta e poder atuar nele. E
a todos, indistintamente, deve ser dada essa possibilidade de
compreenso e atuao como cidado. Em casa, na rua, no comrcio, nas
vrias profisses, na cidade, no campo, nas vrias culturas, o homem
necessita contar, calcular, comparar, medir, localizar,
representar, interpretar, etc., e o faz informalmente, sua maneira,
com base em parmetros do seu contexto sociocultural. preciso que
esse saber informal, cultural, se incorpore ao trabalho matemtico
escolar, dimi- nuindo a distncia entre a Matemtica da escola e a
Matemtica da vida. s Numa sociedade do conhecimento e da comunicao,
como ser a do terceiro milnio, preciso que os alunos comecem a
comunicar idias, procedimentos e atitudes matemticas, falando,
dramatizando, escrevendo, desenhando, representando, construindo
tabelas, diagra- mas e grficos, fazendo estimativas, conjecturas e
inferncias lgicas, etc. Tudo isso trabalhando individualmente, em
duplas e em pequenas equipes, colocando o que pensam e respeitando
o pensamento dos colegas. s Os contedos devem ter relevncia social,
propiciando conhecimentos bsicos essenciais para qualquer cidado
(contar, medir, calcular, resolver problemas, reconhecer frmulas,
compreen- der a idia de probabilidade, saber tratar as informaes,
etc.). Precisam estar articulados entre si e conectados com outras
reas do conhecimento, promovendo a interdisciplinaridade. s
Aprender Matemtica aprender a resolver problemas. Para resolver
problemas preciso apro- priar-se dos significados dos conceitos e
procedimentos matemticos para saber aplic-los em situaes novas.
Assim, fundamental que tais conceitos e procedimentos sejam
trabalhados com a total compreenso de todos os significados
associados a eles. s Os materiais didticos auxiliares do professor,
quando adequadamente utilizados, ajudam na compreenso dos conceitos
e procedimentos matemticos. Do quadro-de-giz ao computador
incluindo o caderno de problemas, exerccios e desafios, o caderno
quadriculado, o caderno de desenho e construes, os instrumentos
(rgua, esquadro, transferidor, compasso, etc.), livros didticos e
paradidticos, jogos, o material de sucata e estruturado, a
calculadora, os vdeos e CD-ROMs , todos eles, quando clareiam idias
e ajudam o aluno a pensar e construir conhe- cimentos, so
fundamentais. s A avaliao dos objetivos traados, dos contedos
trabalhados, dos mtodos desenvolvidos, dos materiais didticos
usados e do envolvimento e crescimento dos alunos precisa ser
natural, contnua, com a finalidade de verificar o que no vai bem no
processo ensino/aprendizagem, para reorient-lo continuamente por
aproximaes sucessivas. Objetivos gerais do ensino da Matemtica do
nvel mdio Atualmente vivemos na sociedade da informao, globalizada,
e fundamental que se desen- volva nos alunos do Ensino Mdio a
capacidade de: comunicar-se em vrias linguagens; investigar,
resolver e elaborar problemas; tomar decises, fazer conjecturas,
hipteses e inferncias; criar estra- tgias e procedimentos, adquirir
e aperfeioar conhecimentos e valores; trabalhar solidria e coope-
rativamente; e estar sempre aprendendo.
- 10. 10 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o No Ensino Fundamental, os alunos tiveram um
primeiro contato com vrios temas matemticos, como nmeros, formas
geomtricas, grandezas e medidas, iniciao lgebra, aos grficos e s
noes de probabilidade. Agora, no Ensino Mdio, hora de ampliar e
aprofundar tais conhecimen- tos, estudar outros temas, desenvolver
ainda mais a capacidade de raciocinar, de resolver problemas,
generalizar, abstrair e de analisar e interpretar a realidade que
nos cerca, usando para isso o instru- mental matemtico. Assim, a
Matemtica no Ensino Mdio tem um carter tanto formativo, que auxilia
a estruturao do pensamento e do raciocnio lgico, quanto
instrumental, utilitrio, de aplicao no dia-a-dia, em outras reas do
conhecimento e nas atividades profissionais. Por outro lado, a
Matemtica tem caractersticas prprias, tem uma beleza intrnseca que
deve ser ressaltada na importncia dos conceitos, das propriedades,
das demonstraes dos encadeamentos lgicos, do seu aspecto dedutivo,
fundamentando seu carter instrumental e validando intuies e con-
jecturas. Assim, no Ensino Mdio importante trabalhar gradativamente
a Matemtica tambm como um sistema abstrato de idias. Objetivos
especcos da Matemtica no Ensino Mdio As atividades de Matemtica
devem levar o aluno a: s compreender os conceitos, procedimentos e
estratgias matemticas que permitam a ele adquirir uma formao
cientfica geral e avanar em estudos posteriores; s aplicar seus
conhecimentos matemticos nas atividades cotidianas, na atividade
tecnolgica e na interpretao da cincia; s desenvolver a capacidade
de raciocnio, de resolver problemas, de comunicao, bem como seu
esprito crtico e sua criatividade; s estabelecer conexes e integrao
entre diferentes temas matemticos e entre esses temas e outras reas
do currculo; s expressar-se em linguagem oral e escrita e de forma
grfica diante de situaes matemticas, em outras reas do conhecimento
e no cotidiano, valorizando a linguagem matemtica na co- municao de
idias; s usar e reconhecer representaes equivalentes de um mesmo
conceito; s analisar e interpretar criticamente dados provenientes
de problemas matemticos, de outras reas do conhecimento e do
cotidiano; s desenvolver atitudes positivas em relao Matemtica,
como autonomia, confiana em relao s suas capacidades matemticas,
perseverana na resoluo de problemas, gosto pela Mate- mtica e pelo
trabalho cooperativo. Competncias a serem desenvolvidas com o
ensino da Matemtica no Ensino Mdio (Adaptadas do documento
preliminar: Cincias da Natureza, Matemtica e suas Tecnologias no
Ensino Mdio Semtec/MEC) So trs os principais campos de competncia
que devemos desenvolver com a Matemtica no Ensino Mdio: s
representao e comunicao s investigao e compreenso s percepo
sociocultural e histrica da Matemtica Em cada um desses campos de
competncia, destacamos por um lado valores e atitudes e, por outro,
procedimentos e habilidades.
- 11. 11M a n u a l d o P r o f e s s o r Competncia: representao
e comunicao Valores e atitudes: o aluno deve desenvolver hbitos de
trabalho e persistncia, manifes- tando interesse, organizando seus
registros e trabalhos e apresentando-os de forma adequada.
Procedimentos e habilidades: o aluno deve desenvolver a capacidade
de comunicao e representao, lendo e interpretando corretamente
situaes matemticas, usando vrias representa- es (expresses
matemticas, tabelas, grficos, equaes, diagramas, frmulas) para
comunicar idias matemticas; deve entender fenmenos das cincias
naturais e fatos do cotidiano. Competncia: investigao e compreenso
Valores e atitudes: necessrio que o aluno desenvolva a confiana em
si prprio, expressando e fundamentando suas opinies, enfrentando
com confiana situaes novas, refletindo e formulando juzos sobre
situaes com que se depara, tendo iniciativa na busca de informaes,
e que desenvolva a curiosidade e o gosto de aprender,
interessando-se pela pesquisa. Procedimentos e habilidades:
necessrio tambm que o aluno desenvolva a capacidade de resolver
problemas, compreendendo o problema (lendo e interpretando o
enunciado, identificando os dados e a pergunta que se quer
responder), planejando a soluo, formulando hipteses e prevendo os
resultados, selecionando estratgias de resoluo, executando os
planos realizados e verificando, inter- pretando, criticando e
generalizando os resultados, elaborando novos problemas; que
desenvolva o raciocnio, pensando logicamente, tirando concluses a
partir de grficos, figuras e esquemas, utili- zando raciocnio
indutivo e dedutivo, elaborando e validando hipteses e conjecturas,
argumentando logicamente. Competncia: percepo sociocultural e
histrica da Matemtica Valores e atitudes: o aluno deve desenvolver
a percepo do valor da Matemtica como cons- truo humana,
reconhecendo a contribuio da Matemtica para a compreenso e resoluo
de problemas do homem atravs do tempo, apreciando a beleza
intrnseca da Matemtica e da presen- a dela na arte, na natureza,
nas cincias, na tecnologia e no cotidiano; deve desenvolver o
sentido de coletividade e de cooperao, participando
cooperativamente dos trabalhos em equipe, respei- tando opinies
divergentes das suas e aceitando as diferenas individuais,
participando das solues dos problemas da comunidade escolar e da
comunidade em que est inserido. Procedimentos e habilidades:
necessrio que o aluno desenvolva a capacidade de utilizar a
Matemtica na interpretao e interveno do real, usando a modelagem
matemtica, aplicando m- todos matemticos em situaes reais e em
outras reas do conhecimento, relacionando episdios da histria da
Matemtica com a evoluo da humanidade, utilizando adequadamente as
tecnologias da informao (calculadora, computador), reconhecendo
suas potencialidades e limitaes, utilizando corretamente
instrumentos de construo e medio. Orientaes metodolgicas O mundo
est em constante mudana, dado o grande e rpido desenvolvimento da
tecnologia. Mquinas de calcular, computadores, Internet, etc. so
assuntos do dia-a-dia, e todos eles tm liga- es estreitas com a
Matemtica. Para acompanhar essa rpida mudana, foi necessrio estudar
e pesquisar como deveria ser o ensino de Matemtica no Ensino
Fundamental e Mdio. Nas ltimas dcadas, muitos pesquisadores da
Psicologia cognitiva se dedicaram a estudar e pesquisar como os
alunos aprendem, como aplicam o que aprendem para resolver
situaes-problema,
- 12. 12 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o como constroem conceitos, qual a maturidade
cognitiva necessria para se apropriar, com signi- ficado, de
determinado conceito, como a interao com o meio social desenvolve a
aprendizagem, dentre muitos outros assuntos. A partir da surgiu o
movimento socioconstrutivista que estamos viven- ciando atualmente.
Aproveitando tais pesquisas e estudos, educadores matemticos do
mundo todo comearam a se reunir em grupos e em congressos
internacionais para discutir como usar todos esses avanos da
Psicologia cognitiva. Teve incio, ento, um grande movimento
internacional de melhoria da aprendi- zagem e do ensino da
Matemtica, surgindo a Educao Matemtica rea do conhecimento j
consolidada, que vem contribuindo muito, por meio de estudos e
pesquisas, para mudar o ensino da Matemtica no mundo todo. Os
avanos j conquistados pela Educao Matemtica indicam que, para que o
aluno aprenda Matemtica com significado, fundamental: s trabalhar
as idias, os conceitos matemticos intuitivamente, antes da
simbologia, antes da linguagem matemtica. Por exemplo, antes de ser
apresentada em linguagem matemtica, a idia de funo deve ser
trabalhada de forma intuitiva com o aluno. Uma situao-problema que
torna isso possvel : Considere a quantidade de litros de gasolina e
os preos respectivos a pagar: O preo a pagar dado em funo da
quantidade de litros que se coloca no tanque, ou seja, o preo a
pagar depende do nmero de litros comprados. Depois desse trabalho
intuitivo calcado na construo de conceitos que, pouco a pouco,
vamos introduzindo a linguagem matemtica: A cada x de A corresponde
um nico f(x) de B, levado pela funo f. s que o aluno aprenda por
compreenso. O aluno deve saber o porqu das coisas, e no sim-
plesmente mecanizar procedimentos e regras. Por exemplo, no basta
dizer que o nmero racional 0,3333... igual a ; preciso, para a sua
compreenso, saber por que isso ocorre, fazendo: x 0,3333... 10x
3,333... 3 0,333... 3 x 9x 3 x s estimular o aluno para que pense,
raciocine, crie, relacione idias, descubra e tenha autonomia de
pensamento. Em lugar de simplesmente imitar, repetir e seguir o que
o professor fez e ensinou, o prprio aluno pode e deve fazer
Matemtica, descobrindo ou redescobrindo por si s uma idia, uma
propriedade, uma maneira diferente de resolver uma questo, etc.
Para 1 2 3 ... 50 0,80 1,60 2,40 ... 40,00 Quantidade de litros ()
Preo a pagar (R$) x f(x) A B f f: A B x f(x) 3 9 --------- 3 9
--------- 1 3 ---------
- 13. 13M a n u a l d o P r o f e s s o r que isso ocorra,
preciso que o professor crie oportunidades e condies para o aluno
descobrir e expressar suas descobertas. Por exemplo, desafios,
jogos, quebra-cabeas, problemas curio- sos, etc. ajudam o aluno a
pensar logicamente, a relacionar idias e a realizar descobertas. s
trabalhar a Matemtica por meio de situaes-problema prprias da
vivncia do aluno e que o faam realmente pensar, analisar, julgar e
decidir pela melhor soluo. Por exemplo, a seguinte situao-problema
poder desencadear o estudo da funo quadrtica: Se quisermos cercar
um terreno de forma retangular com uma tela de 40 m de comprimento,
de modo a cercar a maior rea possvel, quais devem ser as dimenses
do terreno?. Nesse caso, temos a funo quadrtica f(x) x2 20x, cujo
grfico vem a seguir: rea: A(x) x(20 x) 20x x2 x2 + 20x O ponto de
mximo da parbola (10, 100) dar a soluo do problema. Assim, o
terreno que satisfaz as condies do problema de forma quadrada (o
quadrado um caso particular de retngulo), de lado igual a 10 m e
rea igual a 100 m2 . J consenso entre os educadores matemticos que
a capacidade de pensar, raciocinar e resolver problemas deve
constituir um dos principais objetivos do estudo da Matemtica. Para
desenvolver um trabalho significativo na sala de aula com base em
resoluo de problemas, veja as sugestes contidas no livro Didtica da
resoluo de problemas de Matemtica, da tica, deste mesmo autor. s
que o contedo trabalhado com o aluno seja significativo, que ele
sinta que importante saber aquilo para a sua vida em sociedade ou
que lhe ser til para entender o mundo em que vive. Por exemplo, ao
trabalhar as diversas funes e seus grficos relacionando-os com a
vivncia e com fenmenos das cincias naturais, ao resolver problemas
de juros compostos usando logaritmos, ao coletar dados, fazer
tabelas, grficos e fazer sua interpretao, ao estudar proba-
bilidade com as leis de Mendel da Biologia, etc., o aluno percebe
que tudo isso tem sentido em sua vida presente e futura. Para que o
aluno veja a Matemtica como um assunto til e prtico e possa
apreciar o seu poder, precisa perceber que ela est presente em
praticamente tudo e aplicada para resol- ver problemas do mundo
real e entender uma grande variedade de fenmenos. s valorizar a
experincia acumulada pelo aluno fora da escola. preciso lembrar
que, quando o aluno chega ao Ensino Mdio, j viveu intensamente at
os seus 14 anos de idade. A partir dessa vivncia, o professor deve
iniciar o trabalho de construir e aplicar novos conceitos
matemticos, dando continuidade ao que o aluno j aprendeu no Ensino
Fundamental e na vida. s estimular o aluno para que faa clculo
mental, estimativas e arredondamentos, obtendo re- sultados
aproximados. Por exemplo, quando o aluno efetua a diviso 306 3 e
coloca 20 x permetro = 40 m x 100 10 x A(x) (10, 100)
- 14. 14 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o 12 como resultado, ele evidencia que no tem
sentido numrico, no sabe arredondar (300 3 100), enfim, falta-lhe a
habilidade de clculo mental. Muitas vezes, mais vale saber qual o
resultado aproximado do que o resultado correto propriamente dito.
s considerar mais o processo do que o produto da aprendizagem
aprender a aprender mais do que resultados prontos e acabados.
muito mais importante valorizar a maneira como o aluno resolveu um
problema, especialmente se ele fez de uma maneira autnoma,
original, em vez de simplesmente verificar se acertou a resposta. O
mesmo se pode dizer sobre o modo de rea- lizar operaes, medies,
resolver equaes e sobre as maneiras de observar e descobrir pro-
priedades e regularidades em algumas formas geomtricas. s
compreender a aprendizagem da Matemtica como um processo ativo. Os
alunos so pessoas ativas que observam, constroem, modificam e
relacionam idias, interagindo com outros alunos e pessoas, com
materiais diversos e com o mundo fsico. O professor precisa criar
um ambiente de busca, de construo e de descoberta e encorajar os
alunos a explorar, desenvol- ver, testar, discutir e aplicar idias
matemticas. As salas de aula deveriam ser verdadeiras salas-
ambiente de Matemtica, equipadas com grande diversidade de
materiais instrucionais que favorecessem a curiosidade e a
aprendizagem matemtica. s permitir o uso adequado das calculadoras
e computadores. Em uma sociedade da comunica- o que se apia no uso
das calculadoras e computadores, nada mais natural que os alunos
utilizem essas ferramentas para explorar idias numricas,
regularidades em seqncias, tendn- cias, comprovao de clculos com
nmeros grandes, aplicaes da Matemtica em proble- mas reais, etc.
Por exemplo, na resoluo de problemas, o aluno pode se concentrar
mais nos mtodos, nas estratgias, nas descobertas, no relacionar
logicamente idias matemticas e na generalizao do problema, deixando
os clculos para que a mquina execute. s utilizar a histria da
Matemtica como um excelente recurso didtico. Comparar a Matem- tica
de diferentes perodos da Histria ou de diferentes culturas; por
exemplo, pode-se contar o episdio no qual os pitagricos s conheciam
os nmeros racionais e acreditavam apenas na existncia dos segmentos
comensurveis (um pode ser medido pelo outro e a medida um nme- ro
racional). Ao medir a diagonal do quadrado de lado igual a uma
unidade, usando este lado como unidade de medida, surgem os nmeros
irracionais ( , no caso) e os segmentos inco- mensurveis. s
utilizar jogos. Os jogos constituem outro excelente recurso
didtico, pois podem possibilitar a compreenso de regras, promover
interesses, satisfao e prazer, formar hbitos e gerar a identi-
ficao de regularidades. Alm disso, facilitam o trabalho com smbolos
e o raciocnio por analogias. s trabalhar o desenvolvimento de uma
atitude positiva em relao Matemtica. Reforar a autoconfiana na
resoluo de problemas, o interesse por diferentes maneiras de
solucionar um problema, a observao de caractersticas e
regularidades de nmeros, funes, formas geom- 2 d 1 1 O lado do
quadrado e a diagonal desse quadrado so segmentos incomensurveis.
d2 = 12 + 12 = 2 d = 2
- 15. 15M a n u a l d o P r o f e s s o r tricas, etc.
Sensibilizar o aluno para organizar, argumentar logicamente e ver a
beleza intrnseca da Matemtica (simetrias, regularidades,
logicidade, encadeamentos lgicos, etc.). s enfatizar igualmente os
grandes eixos temticos nmeros, funes, lgebra, Geometria, contagem,
Estatstica e probabilidade e, de preferncia, trabalh-los
integralmente. Por exemplo, quando se est estudando a funo afim,
cujo grfico uma reta no-paralela ao eixo vertical, pode-se estudar
um pouco de Geometria analtica explorando o coeficiente angular da
reta, determinando a equao da reta que passa por dois pontos, etc.
Esse tipo de atividade, que integra os eixos de contedos, muito
importante para que o aluno sinta uma certa unidade na Matemtica. A
alfabetizao matemtica, exigida para todo cidado do terceiro milnio,
no se res- tringe a nmeros e clculos. To importante quanto os
nmeros a Geometria, que permite com- preender: o espao, sua ocupao
e medida; as superfcies, suas formas, regularidades e medidas; as
linhas, suas propriedades e medidas; e as relaes entre todas essas
formas geomtricas. Atualmente, igual importncia tem a Estatstica,
que cuida da coleta e organizao de dados numricos em tabelas e
grficos para facilitar a comunicao. Da mesma forma, a
probabilidade, que trata das previses e das chances de algo
ocorrer. O tema funes, integrador por excelncia, um dos mais
importantes da Matemtica. Por meio das funes e seus grficos podemos
entender melhor vrios fenmenos das cincias naturais e fatos da
atualidade. 4. A avaliao em Matemtica Introduo A avaliao um
instrumento fundamental para fornecer informaes sobre como est se
reali- zando o processo ensino-aprendizagem como um todo tanto para
o professor e a equipe escolar conhecerem e analisarem os
resultados de seu trabalho, como para o aluno verificar seu
desempenho. E no simplesmente focalizar o aluno, seu desempenho
cognitivo e o acmulo de contedos, para classific-lo em aprovado ou
reprovado. Alm disso, ela deve ser essencialmente formativa, na
medida em que cabe avaliao subsi- diar o trabalho pedaggico,
redirecionando o processo ensino-aprendizagem para sanar dificulda-
des, aperfeioando-o constantemente. A avaliao vista como um
diagnstico contnuo e dinmico torna-se um instrumento fundamental
para repensar e reformular os mtodos, os procedimentos e as
estratgias de ensino, para que realmente o aluno aprenda. Nessa
perspectiva, a avaliao deixa de ter o carter classificatrio de
simplesmente aferir ac- mulo de conhecimento para promover ou reter
o aluno. Ela deve ser entendida pelo professor como processo de
acompanhamento e compreenso dos avanos, dos limites e das
dificuldades dos alunos para atingirem os objetivos da atividade de
que participam. Assim, o objetivo da avaliao diagnosticar como est
se dando o processo ensino-aprendi- zagem e coletar informaes para
corrigir possveis distores observadas nele. Por exemplo, se os
resultados da avaliao no foram satisfatrios, preciso buscar as
causas. Pode ser que os objetivos foram superdimensionados ou que o
problema esteja no contedo, na metodologia de ensino, nos
- 16. 16 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o materiais instrucionais, na prpria forma de
avaliar ou em algum outro aspecto. O importante deter- minar os
fatores do insucesso e reorientar as aes para sanar ou minimizar as
causas e promover a aprendizagem do aluno. Em resumo, avalia-se
para identicar os problemas e os avanos e redimensionar a ao educa-
tiva, visando ao sucesso escolar. O que e quando avaliar? Incidindo
sobre os aspectos globais do processo ensino-aprendizagem, a
avaliao oferece in- formaes sobre os objetivos, os mtodos, os
contedos, os materiais pedaggicos, os prprios pro- cedimentos de
avaliao se houve ou no crescimento e envolvimento do aluno em todo
o processo, ou at mudanas de suas atitudes. Enfim, no procede mais
pensar que o nico avaliado o aluno e seu desempenho cognitivo. A ao
avaliativa deve ser contnua e no circunstancial, reveladora de todo
o processo e no apenas do seu produto. E esse processo contnuo
serve para constatar o que est sendo construdo e assimilado pelo
aluno e o que est em via de construo. Cumpre tambm o papel de
identificar dificuldades para que sejam programadas atividades
diversificadas de recuperao ao longo do ano letivo, de modo que no
se acumulem e solidifiquem. Devendo ser contnua e processual, a
avaliao no pode simplesmente definir pela aprovao ou pela reprovao.
A avaliao final representa um diagnstico global do processo vivido
que servir para o planejamento e a organizao da prxima srie (ou
ciclo). Todavia, pode ocorrer que algum aluno no consiga um
desenvolvimento equilibrado em todas as dimenses da formao apro-
priada quela srie (ou ciclo), dificultando a interao com sua turma
de referncia. A deciso da convenincia ou no de mant-lo mais um ano
naquela srie (ou ciclo) deve ser coletiva, da equipe escolar, e no
apenas de um professor. Levam-se em conta, nesse caso, o desempenho
global do aluno e a pluralidade de dimenses que esto em jogo, como
os benefcios da manuteno do aluno com seus pares para a socializao
e o desenvolvimento equilibrado de habilidades, vivncia e con-
vivncias. A permanncia de algum aluno na srie (ou ciclo) por mais
um ano deve ser considerada uma situao excepcional e de modo algum
uma prtica escolar habitual. Instrumentos de avaliao O que tem sido
feito usualmente a verificao do aproveitamento do aluno apenas por
meio de procedimentos formais, isto , aplicao de provas escritas no
final do ms ou do bimes- tre. sabido que s isso no afere todos os
progressos que o aluno alcanou, como: mudana de atitudes,
envolvimento e crescimento no processo ensino-aprendizagem, avano
na capacidade de expresso oral ou na habilidade de manipular
materiais pedaggicos descobrindo suas caracters- ticas e
propriedades, etc. Por isso, sugerem-se vrios tipos de instrumentos
de avaliao: Observao e registro Ao avaliar o desempenho global do
aluno, preciso considerar os dados obtidos conti- nuamente pelo
professor a partir de observaes que levem em conta os aspectos
citados anterior- mente e outros que possam traduzir seu
aproveitamento. Esse acompanhamento das atividades, no dia-a-dia
dos alunos, muito valioso, especialmente nas aulas que do
oportunidade de participao, nas quais o aluno pergunta, emite
opinies, levanta
- 17. 17M a n u a l d o P r o f e s s o r hipteses, constri novos
conceitos e busca novas informaes. Alm disso, possvel observar nas
atitudes dos alunos a responsabilidade, a cooperao, a organizao e
outros modos de agir. Em suma, a observao permite ao professor
obter informaes sobre as habilidades cognitivas, as atitudes e os
procedimentos dos alunos, em situaes naturais e espontneas. O
processo de observao deve ser acompanhado de cuidadoso registro, a
partir de objetivos propostos e critrios bem definidos. Provas,
testes e trabalhos Esses instrumentos de avaliao no devem ser
utilizados como sano, punio ou apenas para ajuizar valores. Devem,
sim, ser encarados como oportunidades para perceber os avanos ou
dificul- dades dos alunos em relao ao contedo em questo. Para isso,
sua formulao deve se fundamentar em questes de compreenso e
raciocnio, e no de memorizao ou mecanizao. interessante arquivar
todos os trabalhos dos alunos em pastas ou portflios individuais
para que eles verifiquem, periodicamente, o quanto cresceram.
Entrevistas e conversas informais extremamente importante que o
professor estabelea canais de comunicao entre ele e os alunos para
que possa ouvir o que eles tm a dizer sobre o processo de
aprendizagem e perceber o que e como esto aprendendo. Isso pode ser
feito individualmente, em pequenos grupos ou em conversas
coletivas. Conversando tambm se avalia o que os alunos esto
aprendendo ou no. Auto-avaliao Se pretendemos construir sujeitos
autnomos, preciso que o aluno exercite a reflexo sobre seu prprio
processo de aprendizagem e socializao. A avaliao feita pelo prprio
aluno, se bem orien- tada, muito construtiva para favorecer uma
anlise crtica do prprio desempenho. Ele pode expres- sar-se por
escrito ou oralmente: de que mais gostou ou de que menos gostou e
por qu, quanto acha que aprendeu, em que teve mais dificuldade ou
facilidade, o que na sua opinio deveria ser feito para melhorar seu
desempenho, etc. Fichas avaliativas importante que se tenha na
escola uma ficha que revele famlia, periodicamente e ao longo de
todo o ano letivo, como est se desenvolvendo o processo educativo
de seu filho. Nessa ficha podero constar aspectos cognitivos,
dificuldades de aprendizagem, providncias tomadas para sa- nar as
dificuldades, bem como aspectos gerais, afetivos, de socializao,
organizao, atitudes, etc. Concluso Vimos, ento, que a avaliao um
elemento, uma parte integrante do processo ensino-aprendi- zagem,
abrangendo a atuao do professor, o desempenho do aluno e, tambm, os
objetivos, a es- trutura e o funcionamento da escola e do sistema
de ensino. algo bem mais amplo do que medir quantidade de contedos
que o aluno aprendeu em determinado perodo. PORTANTO, A AVALIAO
DEVE SER COMPREENDIDA COMO: s elemento integrador entre a
aprendizagem e o ensino; s conjunto de aes cujo objetivo o ajuste e
a orientao da interveno pedaggica para que o aluno aprenda da
melhor forma; s conjunto de aes que busca obter informaes sobre o
que foi aprendido e como; s elemento de reflexo para o professor
sobre sua prtica educativa;
- 18. 18 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o s instrumento que possibilita ao aluno tomar
conscincia de seus avanos, dificuldades e possibi- lidades; s ao
que ocorre durante todo o processo de ensino-aprendizagem e no
apenas em momentos especficos caracterizados como fechamento de
grandes etapas de trabalho. Avaliar a aprendizagem, portanto,
implica avaliar o ensino oferecido se, por exemplo, no h a
aprendizagem esperada significa que o ensino no cumpriu a sua
finalidade: a de fazer aprender. (Parmetros Curriculares Nacionais,
v. 1 Introduo. SEF/MEC 1997 Braslia.) A avaliao em Matemtica A
mudana no ensino da Matemtica deve vir acompanhada por uma
transformao de nfase na maneira de avaliar o aluno. Os estudos e
pesquisas em Educao Matemtica relacionados com a avaliao apontam
que devemos com: Maior nfase s Avaliar o que os alunos sabem, como
sabem e como pensam matematicamente. s Avaliar se o aluno
compreendeu os conceitos, os procedimentos e se desenvolveu
atitudes posi- tivas em relao Matemtica. s Avaliar o processo e o
grau de criatividade das solues dadas pelo aluno. s Encarar a
avaliao como parte integrante do processo de ensino. s Focalizar
uma grande variedade de tarefas matemticas e adotar uma viso global
da Matem- tica. s Propor situaes-problema que envolvam aplicaes de
conjunto de idias matemticas. s Propor situaes abertas que tenham
mais que uma soluo. s Propor que o aluno invente, formule problemas
e resolva-os. s Usar vrias formas de avaliao, incluindo as escritas
(provas, testes, trabalhos, auto-avaliao), as orais (exposies,
entrevistas, conversas informais) e as de demonstrao (materiais
pedag- gicos). s Utilizar materiais manipulveis, calculadoras e
computadores na avaliao. Menor nfase s Avaliar o que os alunos no
sabem. s Avaliar a memorizao de definies, regras e esquemas. s
Avaliar apenas o produto, contando o nmero de respostas certas nos
testes e provas. s Avaliar contando o nmero de respostas certas nas
provas, com o nico objetivo de classificar. s Focalizar um grande
nmero de capacidades especficas e isoladas. s Propor exerccios e
problemas que requeiram apenas uma capacidade. s Propor problemas
rotineiros que apresentam uma nica soluo. s Propor que o aluno
resolva uma srie de problemas j formulados. s Utilizar apenas
provas e testes escritos. s Excluir materiais manipulveis,
calculadoras e computadores na avaliao.
- 19. 19M a n u a l d o P r o f e s s o r Indicadores para a
avaliao em Matemtica Como dissemos, este volume nico contemplou
algumas das atuais tendncias em Educao Matemtica. Elas dizem
respeito a desenvolver um ensino que aumente o poder matemtico do
aluno por intermdio da resoluo de problemas, valorizando a
comunicao matemtica, a construo e a compreenso de conceitos e
procedimentos. Passamos, ento, a exemplificar como avaliar tais
capacidades: Avaliando o poder matemtico do aluno preciso avaliar o
poder matemtico do aluno, ou seja, a sua capacidade de usar a
informao para raciocinar, pensar criativamente e para formular
problemas, resolv-los e refletir criticamente sobre eles. A avaliao
deve analisar at que ponto os alunos integraram e deram sentido
informao, se conseguem aplic-la em situaes que requeiram raciocnio
e pensamento criativo e se so capazes de utilizar a Matemtica para
comunicar idias. Alm disso, a avaliao deve analisar a predisposi- o
dos alunos em face dessa cincia, em particular a sua confiana em
fazer Matemtica e o modo como a valorizam. Por exemplo, em uma
situao-problema aberta como esta: Elabore a maquete da escola a
partir da sua planta, os alunos podem revelar o seu poder
matemtico. Avaliando a resoluo de problemas Como a resoluo de
problemas deve constituir o eixo fundamental da Matemtica escolar,
o mesmo deve acontecer na avaliao. A capacidade dos alunos de
resolver problemas desenvolve-se ao longo do tempo, como resultado
de um ensino prolongado, de oportunidades vrias para resolu- o de
muitos tipos de problemas e do confronto com situaes do mundo real.
Ao avaliar essa capacidade dos alunos importante verificar se so
capazes de resolver problemas no padronizados, de formular
problemas a partir de certos dados, de empregar vrias estratgias de
resoluo e de fazer a verificao dos resultados, bem como a
generalizao deles. Identificar lacunas muito importante na elaborao
de problemas. Por exemplo, em um problema do tipo: Voc vai com-
prar 10 itens no supermercado. Na fila do caixa expresso (10 itens
ou menos) esto seis pessoas. O caixa 1 tem uma pessoa na fila e o
caixa 3 tem duas. Os outros caixas esto fechados. Para qual dos
caixas voc se dirigir?, qual a informao necessria para responder
pergunta? ( preciso saber o nmero de mercadorias que cada pessoa
est comprando e a velocidade dos caixas.) Generalizar solues de
problemas outro ponto fundamental. Por exemplo, pea aos alunos que
determinem qual o valor de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ( 25); depois,
proponha que eles formulem uma expresso que fornea a soma dos n
primeiros nmeros mpares. A soluo seria: 1 parcela: 1 2 parcelas: 1
+ 3 4 (22 ) 3 parcelas: 1 + 3 + 5 9 (32 ) 4 parcelas: 1 + 3 + 5 + 7
16 (42 ) 5 parcelas: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 25 (52 ) n parcelas: n2
Outras informaes a respeito de resoluo de problemas podem ser
obtidas no livro Didtica da resoluo de problemas de Matemtica.
- 20. 20 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o Avaliando a comunicao do aluno Na sala de aula
discutem-se idias e conceitos matemticos, partilham-se descobertas,
confir- mam-se hipteses e adquire-se conhecimento matemtico pela
escrita, pela fala e pela leitura. O pr- prio ato de comunicar
clarifica e organiza o pensamento e leva os alunos a envolverem-se
na construo da Matemtica. Como a Matemtica utiliza smbolos e,
portanto, tem uma linguagem prpria, especfica, s vezes a comunicao
fica dificultada. Ao avaliar a comunicao de idias matemticas pelos
alunos, preciso verificar se so capazes de expressar-se oralmente,
por escrito, de forma visual ou por demonstraes com materiais
pedag- gicos; se compreendem e interpretam corretamente idias
matemticas apresentadas de forma escrita, oral ou visual e se
utilizam corretamente o vocabulrio matemtico e a linguagem
matemtica para representar idias, descrever relaes e construir
modelos da realidade. Veja a seguir um problema que envolve esses
aspectos: Suponha que voc esteja ao telefone falando com um colega
de turma e quer que ele desenhe algumas figuras. Escreva as
instrues de modo que seu colega consiga desenhar a figura e o
grfico exatamente como esto desenhados abaixo: Avaliando o
raciocnio do aluno Para avaliar a capacidade de raciocnio matemtico
do aluno, preciso verificar se ele identifica padres, formula
hipteses e faz conjecturas. Por exemplo, pea que ele descubra como
comearam e como continuam as seqncias: preciso verificar ainda se
ele analisa situaes para identificar propriedades comuns. Por
exemplo, o que h de comum entre o losango e o quadrado? E no que
eles diferem? E tambm se ele utiliza o raciocnio espacial ou
proporcional para resolver problemas. Por exemplo, pea ao aluno que
desenhe um cubo planificado, ou que desenhe um cone mon- tado a
partir de um planificado. Para verificar o uso do raciocnio
proporcional, pergunte: Quantos alunos da escola usam culos?. Isso
leva os alunos a desenvolver um processo que permita identificar os
que usam culos de uma amostra de alunos e a utilizar raciocnio
proporcional para determinar o nmero de alunos que usam culos em
toda a escola. Para aferir o raciocnio dedutivo, pea aos alunos que
justifiquem por que, se somarmos o mesmo nmero de pontos
porcentagem de acertos no teste de cada aluno, a mdia das
classificaes aumentar a mesma quantidade. 0, 3, 8, 15, 24, , , (n2
1; n 1, 2, 3, ...) 2, 1, , , , , , x y (35) (48) (63) 1 2 ---------
1 4 --------- 1 8 --------- 1 16 ------------- 1 32 ------------- 1
64 ------------- Quadrado Losango
- 21. 21M a n u a l d o P r o f e s s o r Avaliando a compreenso
de conceitos A essncia do conhecimento matemtico so os conceitos.
Os alunos s podem dar significado Matemtica se compreenderem os
seus conceitos e significados. A avaliao do conhecimento de
conceitos e da compreenso deles pelos alunos deve indicar se so
capazes de verbaliz-los e defini-los; identific-los e produzir
exemplos e contra-exemplos; utilizar modelos, diagramas e smbolos
para representar conceitos; passar de uma forma de representao para
outra; reconhecer vrios significados e interpretaes de um conceito;
comparar conceitos e integr-los. Para identificar exemplos e
contra-exemplos de conceitos, apresente uma questo como esta: Quais
das seguintes expresses representam nmeros racionais? Para
reconhecer condies que determinam um conceito, proponha que o aluno
faa uma classi- ficao dos quadrilteros (4 lados). Ao separar os
paralelogramos (2 pares de lados paralelos) dos trapzios (apenas 1
par de lados paralelos), o aluno demonstra que sabe identificar
essas formas geo- mtricas pelas suas propriedades. Na continuao,
pode separar os retngulos (4 ngulos retos) dos losangos (4 lados de
mesma medida) e incluir os quadrados (4 ngulos retos e 4 lados de
mesma medida) nos losangos, demonstrando compreenso dos conceitos
de quadrado, losango, retngulo, paralelogramo e quadriltero. Para
passar de uma representao de um conceito para outra, pea por
exemplo que o aluno escreva a equao da reta: A integrao de
conceitos pode ser trabalhada com atividades do tipo: Una os pontos
mdios dos lados de um trapzio issceles. Qual figura se obtm?
Justifique sua resposta. Avaliando procedimentos matemticos
Procedimentos matemticos so, por exemplo, os algoritmos ou as
tcnicas de clculo, so as maneiras para traar retas paralelas,
perpendiculares, ngulos, etc. A avaliao do conhecimento de
procedimentos dos alunos deve indicar se so capazes de executar uma
atividade matemtica com conana e ecincia; de justicar os passos de
um proce- dimento, reconhecer se ele adequado ou no a determinada
situao e se funciona ou no; e, so- bretudo, se so capazes de criar
novos procedimentos corretos e simples. Para verificar se o aluno
conhece as razes dos passos de um procedimento, pea por exemplo que
ele justifique cada passagem da multiplicao (x + 3)(x + 2): (x +
3)(x + 2) x(x + 2) + 3(x + 2) x2 + 2x + 3x + 6 x2 + (2 + 3)x + 6 x2
+ 5x + 6 Para verificar se o resultado de um procedimento est
correto, proponha, por exemplo, que o aluno inverta a matriz A e
verifique se o resultado realmente a inversa dela. 0 1,3434 5,6
1,121121112... 25% 2 3 --------- 4 5 --------- 5 16 6 2
------------ x y 3 1 1 4
- 22. 22 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o Como ver o erro do aluno em Matemtica Muito se
aprende por tentativas e erros, por aproximaes sucessivas e
aperfeioamentos. Por isso, os erros cometidos pelo aluno devem ser
vistos naturalmente como parte do processo ensino- aprendizagem; e,
na maioria das vezes, possvel us-los para promover uma aprendizagem
mais significativa. Para isso, fundamental que o professor analise
o tipo de erro cometido pelo aluno. Ao fazer isso, poder perceber
quais foram, de fato, as dificuldades apresentadas e, assim,
reorientar sua ao pedaggica com mais eficcia para san-las. Por
exemplo, so freqentes os erros na execuo do algoritmo da subtrao.
Ao fazer 135 68, o aluno erra porque no colocou os algarismos das
unidades, das dezenas, etc. de um nmero em cor- respondncia aos
mesmos algarismos do outro nmero, ao armar o algoritmo, ou porque
subtraiu 5 de 8 e 3 de 6, pensando numa orientao geral que recebeu:
subtraia sempre o menor do maior, ou porque se equivocou nos
clculos, ou porque no compreendeu as idias associadas subtrao
(tirar e comparar), ou porque se distraiu, etc. O ato de mostrar ao
aluno onde, como e por que ele cometeu o erro ajuda-o a superar
lacunas de aprendizagem e equvocos de entendimento. Com o repertrio
de todos os erros mais freqentes cometidos pelos alunos, o
professor, ao tra- balhar aquele assunto, saber chamar a ateno para
os pontos mais crticos e, com isso, diminuir a possibilidade de
erro. 5. Informaes teis ao professor para sua formao continuada A
importncia da atualizao Todos ns, professores, sabemos que
extremamente importante estarmos sempre atualizados, especialmente
porque o mundo est em constantes e rpidas mudanas. Estamos sempre
aprendendo coisas novas, quer com o aluno na nossa prpria vivncia
de sala de aula, quer consultando grupos de estudos e pesquisas ou
publicaes (livros, revistas, jornais, etc.), ou ainda trocando
idias e experincias em cursos, encontros, congressos, etc. Tudo
isso o que hoje chamamos formao continuada do professor, ou seja,
seu diploma apenas um primeiro estgio da sua formao. Entretanto,
nem sempre o professor tem informaes precisas sobre onde e como
obter orienta- es para o seu trabalho no dia-a-dia. H no pas muitos
grupos estudando e pesquisando o ensino e a aprendizagem da
Matemtica (Educao Matemtica) e que realizam cursos, palestras e
orienta- es tcnicas para professores. H tambm muitas publicaes
dessa rea que podem auxiliar o trabalho dirio do professor com os
alunos. Com quem se comunicar? A seguir esto alguns endereos, em
ordem alfabtica, pelos quais voc poder se comunicar com esses
grupos e obter as publicaes, para se integrar nesse movimento
nacional de melhoria da qualidade do ensino da Matemtica e para
saber que no est s nessa difcil, mas graticante, tarefa de
trabalhar prazerosamente as primeiras idias matemticas com as
crianas e os jovens.
- 23. 23M a n u a l d o P r o f e s s o r Centro de
Aperfeioamento do Ensino de Matemtica CAEM Instituto de Matemtica e
Estatstica (IME) da USP Rua do Mato, 1010 Bloco B Sala 167 Cidade
Universitria CEP 05508-900 So PauloSP Tel.: 0(XX)11 818-6160 Fax:
0(XX)11 814-4135 Informe-se sobre cursos, palestras e publicaes.
Centro de Cincias de Minas Gerais Cecimig Universidade Federal de
Minas Gerais Faculdade de Educao Cidade Universitria Avenida
Presidente Antnio Carlos, 6227 CEP 31270-010 Belo HorizonteMG
Informe-se sobre cursos e publicaes. Crculo de Estudo, Memria e
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- 24. 24 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
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Ensino Rua General Carneiro, 460 Edifcio D. Pedro I CEP 80060-000
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Mate- mtica para o nvel mdio. Secretaria de Estado da Educao do Rio
Grande do Sul Centro de Cincias do Rio Grande do Sul Cecirs Praa
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Provavelmente a Secretaria de Educao do estado em que voc mora e
tambm a do seu municpio mantm equipes pedaggicas e publicaes e
oferecem cursos de Matemtica a professores. Procure se informar e
participar.
- 25. 25M a n u a l d o P r o f e s s o r 6. Referncias
bibliogrficas para o professor Sobre contedos VILA, Geraldo.
Introduo s funes e derivada. So Paulo, Atual. CARAA, Bento de
Jesus. Conceitos fundamentais da Matemtica. Lisboa. Coleo do
Professor de Matemtica. Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de
Matemtica (SBM). 12 v. Coleo Matemtica: aprendendo e ensinando.
Vrios autores, So Paulo, Atual/MIR. Vrios volumes. DAVIS, Philip J.
& HERSH, R. A experincia matemtica. Introduo de Joo Bosco
Pitombeira. Rio de Janeiro, Francisco Alves. LIMA, Elon Lages et
alii. A Matemtica do Ensino Mdio. Rio de Janeiro, Sociedade
Brasileira de Matemtica (SBM). 2 v. (Coleo do Professor de
Matemtica.) PITOMBEIRA, Joo Bosco, coord. Telecurso 2000 1 e 2
graus Matemtica. Rio de Janeiro, Globo. Revista do Professor de
Matemtica. SBM. (Para assin-la, escreva para Caixa Postal 66281 CEP
05389-970, So Paulo, SP.) Sobre metodologia do ensino da Matemtica
ADLER, Irving. Matemtica e desenvolvimento mental. So Paulo,
Cultrix. AEBLI, Hans. Didtica psicolgica; aplicao didtica da
psicologia de Jean Piaget. Rio de Janeiro, Nacional. CARRAHER,
Terezinha. Aprender pensando. Rio de Janeiro, Vozes. et alii. Na
vida dez, na escola zero. So Paulo, Cortez. CARVALHO, Dione
Lucchesi de. Metodologia do ensino da Matemtica. So Paulo, Cortez.
CONVERSA de professor Matemtica. Cadernos da TV Escola MEC/SED.
COXFORD, Arthur F. & SHULTE, Albert P., orgs. As idias da
lgebra. So Paulo, Atual. DAMBRSIO, Ubiratan. Da realidade ao:
reflexes sobre Educao e Matemtica. So Paulo, Summus/Unicamp. .
Eletromagntica. So Paulo, tica. DANTE, Luiz Roberto. Algoritmos e
suas implicaes educativas. Revista de Ensino de Cincias. So Paulo,
Funbec. v. 12. . Criatividade e resoluo de problemas. Tese de
livre-docncia, Unesp-Rio Claro-SP (mimeografado). . Didtica da
resoluo de problemas de Matemtica. So Paulo, tica. . Incentivando a
criatividade atravs da educao matemtica. Tese de doutorado. PUC-SP
(mimeografado). . Uma proposta para mudanas nas nfases ora
dominantes no ensino da Matemtica. Revista do professor de
Matemtica. So Paulo, SBM. v. 6.
- 26. 26 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o KOETHE, S. Pensar divertido. So Paulo, Herder.
LINDQUIST, M. M. & SHULTE, A. P., orgs. Aprendendo e ensinando
Geometria. So Paulo, Atual. LOVELL, Kurt. O desenvolvimento dos
conceitos matemticos e cientficos na criana. Porto Alegre, Artes
Mdicas. MACEDO, Lino de. A importncia dos jogos para a construo do
conhecimento na escola (mimeo- grafado). MACHADO, Nilson Jos.
Epistemologia e didtica. So Paulo, Cortez. . Matemtica e lngua
materna: anlise de uma impregnao mtua. So Paulo, Cortez/ Autores
Associados. NETO, Ernesto Rosa. Didtica da Matemtica. So Paulo,
tica. PARRA, Ceclia & SAIZ, Irma, orgs. Didtica da Matemtica:
reflexes psicopedaggicas. Porto Alegre, Artes Mdicas. PIRES, Clia
M. C. Currculos de Matemtica: da organizao linear idia de rede.
Tese de dou- torado. Faculdade Educativa USP-SP (mimeografado).
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro,
Intercincia. Proposta curricular para o ensino da Matemtica 2 grau.
So Paulo, SEE-CENP. RATHS, Louis E. Ensinar a pensar: teoria e
aplicao. So Paulo, EPU. Revista A Educao Matemtica em Revista.
Sociedade Brasileira de Educao Matemtica. So Paulo. Revista Nova
Escola. So Paulo, Fundao Victor Civita. ZUNINO, Delia Lerner. A
Matemtica na escola. Porto Alegre, Artes Mdicas. Sobre histria da
Matemtica BOYER, Carl B. Histria da Matemtica. So Paulo, Edgard
Blcher/Edusp. Coleo Tpicos de histria da Matemtica Para uso em sala
de aula. Atual. Vrios volumes. GUELLI, Oscar. Coleo Contando a
histria da Matemtica. So Paulo, tica. Vrios volumes. IFRAH,
Georges. Os nmeros; a histria de uma grande inveno. Globo. STRUIK,
Dirk J. Histria concisa da Matemtica. Lisboa, Gradiva. Sobre
desaos, quebra-cabeas e jogos Coleo O prazer da Matemtica. Vrios
autores. Lisboa, Gradiva. Vrios volumes. OBERMIR, Gilbert.
Quebra-cabeas, truques e jogos com palitos de fsforos. Rio de
Janeiro, Ediouro. Revista Globo Cincia. Globo. Revista
Superinteressante. So Paulo, Abril. TAHAN, Malba. O homem que
calculava. As maravilhas da Matemtica. Os nmeros governam o mundo.
Matemtica divertida e curiosa. Rio de Janeiro, Record, Bloch e
Ediouro.
- 27. 27M a n u a l d o P r o f e s s o r 1. Descrio do livro do
aluno Este volume nico composto de algumas pginas introdutrias
(Apresentao e Sumrio; este permite ao aluno localizar facilmente
todos os assuntos), 43 captulos organizados em 9 unidades, questes
do Enem de 1998 e 1999, 300 questes dos vestibulares mais recentes
e respostas de todos os exerccios ao final de cada unidade. As 8
unidades e os respectivos captulos so: Unidade 1 lgebra (I):
Captulo 1: Clculo nu- mrico e algbrico; Captulo 2: Conjuntos e
conjuntos numricos; Captulo 3: Funes; Captulo 4: Funo afim; Captulo
5: Funo quadrtica; Captulo 6: Funo modular; Captulo 7: Funo expo-
nencial; Captulo 8: Logaritmo e funo logartmica; Captulo 9:
Progresses; Unidade 2 Geometria plana: Captulo 10: Semelhana de
tringulos; Captulo 11: Relaes mtricas no tringulo retngulo; Captulo
12: Polgonos regulares inscritos na circunferncia e comprimento da
circunferncia; Captu- lo 13: reas: medidas de superfcies; Unidade 3
Trigonometria: Captulo 14: Trigonometria no tringulo retngulo;
Captulo 15: Resoluo de tringulos quaisquer; Captulo 16: Conceitos
trigono- mtricos bsicos; Captulo 17: Funes trigonomtricas; Captulo
18: Relaes, equaes e inequa- es trigonomtricas; Captulo 19:
Transformaes trigonomtricas; Unidade 4 Estatstica e Matemtica
financeira: Captulo 20: Noes bsicas de Estatstica; Captulo 21: Noes
de Mate- mtica financeira; Unidade 5 lgebra (II): Captulo 22:
Matrizes; Captulo 23: Determinantes; Captulo 24: Sistemas lineares;
Captulo 25: Anlise combinatria; Captulo 26: Probabilidade; Uni-
dade 6 Geometria espacial: de posio e mtrica: Captulo 27: Geometria
espacial de posio uma introduo intuitiva; Captulo 28: Poliedros:
prismas e pirmides; Captulo 29: Corpos redondos: cilindro, cone e
esfera; Unidade 7 Geometria analtica: Captulo 30: Geometria
analtica: ponto e reta; Captulo 31: Geometria analtica:
circunferncia; Captulo 32: Geometria analtica: seces cnicas;
Unidade 8 lgebra (III): Captulo 33: Nmeros complexos; Captulo 34:
Polinmios e equa- es algbricas. 2. Observaes sobre os contedos O
captulo 1, Clculo numrico e algbrico, apresenta questes e exerccios
com o objeti- vo de revisar alguns conceitos e procedimentos
estudados no Ensino Fundamental. Como toda a Matemtica pode ser
formulada na linguagem dos conjuntos, introduz-se essa linguagem e
a notao no captulo 2. Os nmeros e o espao so os objetos mais
estudados em Matemtica; da a grande importncia dos conjuntos
numricos e dos conjuntos de pontos (figuras geomtricas). A ampliao
dos campos numricos (dos naturais aos complexos) deve levar em
conta problemas que envolvem medies, estimativas, arredondamentos,
porcentagens, notao cient- fica, etc. Na introduo dos nmeros
irracionais, interessante associ-los geometria e s medi- das (medir
a diagonal do quadrado de lado 1, usando como unidade o lado desse
quadrado); na introduo dos nmeros complexos, associ-los re-soluo de
equaes. Por exemplo, a equao x3 8 0 pode ser escrita na forma (x
2)(x2 + 2x + 4) 0, e suas trs razes so: x 2, x 1 + i e x 1 i .
Parte II 3 3
- 28. 28 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o No trabalho com funes importante observar que
foi dado o tratamento de dependncia entre duas variveis (por
exemplo, nmero de litros de gasolina e preo a pagar: o preo a pagar
dado em funo da quantidade de litros que se coloca no carro), e no
se apresentou a funo como caso particular de uma relao. A nfase
deve ser dada nos grficos das funes e nas propriedades observadas a
partir dos grficos. Como as funes constituem a linguagem pela qual
os fenmenos das cincias naturais so expressos, a
interdisciplinaridade aparece nesse momento de modo marcante (ver
os prximos dois itens desta parte especfica). Alm das funes afim,
quadrtica, exponencial e logartmica, interessante exemplificar
tambm como casos de funo as seqncias (PA e PG) f: ;a1, a2, a3, ...
e as funes polinomiais p: R R tal que p(x) x3 + x2 5x 6. Ao estudar
a funo afim, cujo grfico uma reta no-paralela ao eixo vertical,
possvel dar uma iniciao Geometria analtica (equao da reta que passa
por dois pontos, coeficiente angular da reta, etc.). O mesmo ocorre
em relao funo quadrtica, cujo grfico uma parbola: estuda- se
diretriz, foco, etc. As progresses aritmticas constituem a
ferramenta matemtica para estudar as grandezas que sofrem variaes
iguais em intervalos de tempo iguais; j as progresses geomtricas so
um instru- mento matemtico criado para descrever grandezas que
variam com taxa de crescimento constante. Uma retomada intuitiva da
Geometria plana do Ensino Fundamental feita nos captulos 10, 11, 12
e 13, enfocando conceitos e procedimentos fundamentais desse
assunto. Quanto Trigonometria, iniciamos com o tradicional problema
da resoluo de tringulos, que consiste em determinar os elementos do
tringulo (trs lados e trs ngulos) desconhecidos quando se conhecem
trs deles, sendo pelo menos um deles um lado. Depois, estudamos as
noes de seno e cosseno, e suas associadas tangente, cotangente,
secante e cossecante, como funes reais de uma varivel real so as
chamadas funes trigonomtricas. Exemplo: a funo sen: R R, que leva o
nmero real x a outro nmero real sen x. Uma caracterstica importante
das funes trigonomtricas que elas so peridicas e, portanto,
constituem modelos matemticos adequados para os fenmenos de
natureza peridica, oscilatria ou vibratria, como batimentos
cardacos, som, corrente eltrica alternada, movimento dos planetas,
etc. Atualmente, na Matemtica avanada (anlise de Fourier), as funes
trigonomtricas tm grande importncia, uma vez que Fourier mostrou,
em 1822, que qualquer funo peridica pode ser expres- sa em termos
de funes trigonomtricas seno e cosseno. A Estatstica, atualmente,
uma das principais ferramentas que possibilitam ler e interpretar o
mun- do nossa volta. A coleta de dados, a elaborao e a interpretao
de tabelas e grficos, as infe- rncias e as predies tomam conta de
qualquer atividade humana. Este captulo procura trabalhar esses
assuntos de maneira contextualizada e interdisciplinar. A Matemtica
financeira estuda basicamente emprstimo, juros e taxas de juros. Se
C o capital, j so os juros gerados pelo emprstimo do capital e a
razo i a taxa de crescimento do capital (taxa de juros), sempre
referida ao perodo da operao. Esse tema, por si s, constitui um
excelente instrumento matemtico de contextualizao, conforme pode
ser observado nos problemas do captulo. O estudo das matrizes, dos
determinantes e sistemas feito nos captulos 22 a 24. As matrizes e
os determinantes so ferramentas teis na discusso e resoluo de
sistemas lineares. Os sistemas lineares N* R i ai j C --------
- 29. 29M a n u a l d o P r o f e s s o r so modelos matemticos
adequados para estudar vrios contedos de outras disciplinas, como
balan- ceamento de reaes qumicas, etc. (ver item 11 desta parte). O
estudo dos sistemas de inequaes lineares leva soluo de importantes
problemas de programao linear. O estudo da anlise combinatria e do
binmio de Newton (captulo 25) foi feito por meio de problemas,
evitando-se o excesso de frmulas e casos particulares. importante
que a nfase seja dada ao princpio bsico da contagem, que o princpio
multiplicativo: se h x possibilidades de se tomar uma deciso e,
tomada essa deciso, h y possibilidades de tomar uma segunda deciso,
en- to o nmero de maneiras de tomar as duas decises em seqncia xy.
Por exemplo, se h dois tipos de sorvete, de palito e de casquinha,
e h trs sabores (chocolate, morango e pistache), ento h 2 3 6
possibilidades de se decidir qual sorvete pedir. Em todo o captulo,
buscou-se trabalhar situaes-problema contextualizadas, prximas ao
cotidiano do aluno. O captulo de probabilidade estuda as
experincias aleatrias, ou seja, aquelas que, repetidas sob as
mesmas condies, produzem geralmente resultados diferentes. Por
exemplo, os lanamentos de moedas, dados, etc. O conjunto de todos
os resultados possveis de uma experincia aleatria chamamos de espao
amostral. Os subconjuntos do espao amostral so chamados de eventos.
Por exemplo, no lanamento de uma moeda, o espao amostral {cara,
coroa} e h 4 eventos: , A {cara}, B {coroa} e {cara, coroa}. Se
colocamos que a probabilidade de ocorrer o evento e(p(E)) dada por
p(E) temos p() 0; p(A) p(cara) 0,5; p(B) p(co- roa) 0,5 e p() 1, o
que satisfaz a definio formal de probabilidade: uma funo que
associa a cada evento E um nmero p(E), tal que: para todo evento E,
0 p(E) 1; p() 1; se E1 e E2 so dois eventos que no podem ocorrer
simultaneamente, isto , E1 E2 , ento p(E1 E2) p(E1) p(E2). O
enfoque dado a esse captulo tambm foi o de desenvolv-lo por meio de
situaes-pro- blema contextualizadas. A Geometria espacial estudada
na Unidade 6 (captulos 27 a 29). Nesse estudo, no partimos de
definies, mas de objetos concretos encontrados no dia-a-dia,
fazendo o reconhecimento das for- mas mais freqentes e
familiarizando o aluno com a nomenclatura bsica. As posies
relativas e pro- priedades de objetos geomtricos so estudadas, bem
como as relaes entre figuras planas e espaciais. Nessa fase, tambm
muito importante fazer a anlise de diferentes representaes das
figuras planas e espaciais por meio de desenhos, planificaes e
construes. A Geometria mtrica como clculo de distncias, reas e
volumes tambm foi contemplada. Uma pequena introduo ao sistema
dedutivo, com a demonstrao de alguns teoremas, foi apresentada com
o objetivo de mostrar ao aluno o sentido e o valor de uma
demonstrao. A Geometria analtica ou Geometria das coordenadas de
fundamental importncia para a Matemtica e para as outras cincias.
Ela permite estudar os problemas geomtricos de modo algbrico, por
meio de equaes, e vice-versa. Todos os problemas de localizao podem
ser estudados pela Geo- metria analtica; por exemplo, localiza-se
um veculo numa rodovia fornecendo o nmero do marco de
quilometragem; localiza-se um ponto no mapa fornecendo sua latitude
e longitude (suas coordenadas geo- grficas); localiza-se um avio no
espao fornecendo sua latitude, longitude e altitude, etc.
interessante relacionar esses trs captulos com o que j foi estudado
anteriormente sobre funes afins e quadrticas. nmero de resultados
favorveis nmero de possveis resultados
------------------------------------------------------------------------------------------------------,
- 30. 30 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o Na introduo dos nmeros complexos importante
associ-los resoluo de equaes; por exemplo, a equao x3 8 0 pode ser
escrita na forma (x 2)(x2 2x 4) 0, e suas trs razes (uma real e
duas complexas) so x 2, x 1 e x 1 Nesse tpico, interessante fazer
uso da histria da Matemtica para mostrar como tais nmeros foram
inicialmente concebidos e quais problemas motivaram seu
aparecimento. O ltimo captulo destinado ao estudo dos polinmios e
das equaes algbricas. importante ressaltar ao aluno que toda equao
polinomial tem pelo menos uma raiz complexa e que, embora at a
equao do 2 grau tenhamos frmulas e procedimentos prticos e
imediatos para resolv-las, o mesmo no ocorre para equaes
polinomiais de grau maior do que dois. 3. Identificao em cada
captulo dos problemas que envolvem contextualizao,
interdisciplinaridade e integrao com outros temas matemticos O
quadro a seguir foi criado para permitir a rpida localizao, no
livro-texto, dos trechos em que aparecem contextualizao,
interdisciplinaridade e integrao com outros temas matemticos. As
legendas significam: E = Exemplo EP Exerccio proposto ER Exerccio
de reviso Captulo Nmero da pgina Contextualizao
Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos 2
Conjuntos e conjuntos numricos 11 Introduo A noo de conjunto
Geograa 13 Subconjuntos Quadrilteros 14 EP 11 Quadrilteros 16 E
Quadrilteros EP 23 Geometria de posio Contra-positiva 18 EP 33 EP
32 Quadrilteros 19 E 1, E 2 20 EP 35, 36, 37, 38 EP 36 Literatura
21 EP 39, 40, 41, 42, 43 23 Conjunto dos nmeros irracionais Relao
de Pitgoras 27 ER 62, 63, 67 ER 62 Biologia i 3 i 3 . w
- 31. 31M a n u a l d o P r o f e s s o r 3 Funes 28 E 1 E 4
Fsica E 2 Geometria 29 EP 3, 4 EP 1, 2 Geometria 32 E 1 E 2
Geometria 33 EP 13 EP 14, 15, 16 Geometria 34 EP 27, 28 35 E 1, 2
36 E 3, EP 30 37 EP 31 39 EP 40 Geometria 51 EP 62, 63, 64
Seqncias; EP 65 PA; EP 66 PG 52 ER 70, 74 ER 70 Ecologia; ER 74
Fsica 4 Funo am 53 Introduo 55 EP 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14 EP 12
Biologia; EP 14 Fsica EP 6 Geometria; EP 11 Porcentagem 56 EP 15,
16 EP 15 Biologia; EP 20, 21, 22, 23 Fsica EP 17, 18, 19 PA 57 EP
24, 25, 26, 27 Fsica 59 EP 31 EP 30, 37 Fsica 60 EP 38 Fsica 61
Estudo do sinal da funo am 64 EP 50, 54, 55 65 EP 56, 57, 58 66 EP
61 Fsica; Regra de trs Fsica EP 59, 60, 62 Geometria 67 EP 63, 64,
65, 68; Desao; ER 69, 70 EP 64, 65 Fsica 68 ER 71, 72, 73, 74, 75,
76, 77, 78 ER 72, 74, 77 Fsica; ER 78 Biologia 69 ER 79, 81, 82,
83, 84 ER 82 Biologia Captulo Nmero da pgina Contextualizao
Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w
- 32. 32 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o 5 Funo quadrtica 70 Introduo Situaes em que
aparece a funo quadrtica Geometria 72 EP 4, 7, 9 EP 4, 7, 8 Fsica
EP 5, 6 Geometria 76 EP 27, 28 EP 29, 30 Geometria 77 EP 31, 34,
35, 36, 37 EP 35, 37 Fsica EP 32, 33 Geometria 80 E 4 81 E 5 82 EP
58, 59, 60, 61, 62 EP 60 Fsica EP 59 Geometria 91 E 1 Fsica 92 E 2,
E 3 Fsica 93 EP 98, 99, 100 Fsica 94 EP 105, 106, 107, 108, 109 EP
101, 102, 103, 104 PA 95 ER 110, 111, 113, 117, 118, 119, 120, 121
ER 113, 120 Fsica 96 ER 122, 126 ER 126 Biologia 97 ER 130, 131,
132 ER 132 Fsica 6 Funo modular 106 Uma aplicao do mdulo na Fsica
EP 28 Fsica 7 Funo exponencial 108 Introduo Biologia 112 EP 12
Notao cientca Fsica 116 EP 42, 43 Sistemas 119 Aplicao Matemtica
nanceira; EP 55, 56 PA e PG; EP 57 Matemtica nanceira 120 E 1, 2, 3
E 1 Biologia; E 3 Qumica E 2 Matemtica nanceira 121 EP 58, 59, 60,
61, 62, 63, 64, 65, 66, 67 EP 58, 62, 67 Biologia; EP 63, 64, 65,
66 Qumica EP 60 Matemtica nanceira 122 ER 73, 76 123 ER 84, 85, 86,
87, 88 ER 85, 88 Biologia ER 83 Conjuntos; ER 86, 87 Matemtica
nanceira Captulo Nmero da pgina Contextualizao
Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w
- 33. 33M a n u a l d o P r o f e s s o r 8 Logaritmo e funo
logartmica 124 Logaritmo 129 2 observao calculadora 130 Calculadora
Introduo Qumica 131 EP 34, 35 EP 34 Qumica 132 E 2 Biologia; E 3
Qumica; E 4 Geograa 133 EP 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56 EP 49, 51
Qumica; EP 50 Biologia; EP 52 Geograa EP 53, 54, 55, 56 Matemtica
nanceira 140 EP 81, 83 Biologia; EP 82 Qumica 141 ER 86, 87, 88, 89
EP 84 Qumica; ER 86, 88 Biologia 142 ER 91, 92, 93, 94, 95 ER 93
Geograa; ER 94 Qumica; ER 95 Biologia 9 Progresses 143 Introduo 144
EP 5 Nmeros triangulares 145 EP 8, Introduo EP 6 Nmeros primos 147
E 6, 7 E 6 Fsica 148 EP 24, 25 EP 16, 23, 27 Geometria; EP 25
Matemtica nanceira 149 Introduo 150 E 1 151 EP 43, 44, 45, 46, 51,
52 EP 43, 44 Fsica EP 47, 49, 50, 53 Geometria 152 Introduo 153 E
4, 5 154 EP 61, 62 EP 61 Biologia 155 E 1, 5 156 E 6 Matemtica
nanceira 157 EP 85, 95, 96 EP 96 Geograa EP 94 Geometria; EP 95
Matemtica nanceira 158 EP 97, 98, 100, 101 EP 97, 101 Matemtica
nanceira 159 E 1, 2; EP 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108 E 2; EP
103, 108 Geograa; EP 102, 104 Biologia 161 EP 117, 118 162 E 1
Nmeros racionais Captulo Nmero da pgina Contextualizao
Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w
- 34. 34 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o 9 Progresses (continuao) 163 EP 125 E 4; EP
124, 126 Geometria; EP 123 Nmeros racionais 164 E 2, 3 Matemtica
nanceira 165 EP 131, 132, 133, 134, 135, 136 EP 135 Biologia EP
136, Desao Matemtica nanceira 166 ER 138, 139, 143 ER 141 Equao do
2 grau 167 ER 146, 150 ER 145 Potncias; ER 151 Geometria 168 ER
156, 157 10 Semelhana de tringulos 170 Introduo 171 E 2; EP 3 173
EP 9 174 EP 12, 13 175 ER 16 11 Relaes mtricas no tringulo retngulo
176 Introduo 177 E 2; EP 6, 7 E 2, EP 6 Fsica 178 Desao; ER 15 179
ER 21 12 Polgonos regulares inscritos na circunferncia e
comprimento da circunferncia 181 EP 7, 8 182 ER 12, 13, 14, 15, 18
13 reas: medidas de superfcies 183 Introduo 188 Exemplo 189 EP 1,
3, 6, 7, 9, 12 190 EP 13, 14, 20 192 EP 21, 22, 23 EP 23 Histria da
Matemtica 193 EP 26, 29, 33 195 EP 37, 39, 40, 41, 43 EP 37, 42
Porcentagem 196 EP 44, 45; ER 46, 49 197 ER 50, 52, 54, 55 198 ER
60, 62, 63, 64 ER 58 Seqncias; ER 63 Porcentagem; ER 64 Funes
Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade
Integrao com outros temas matemticos w w
- 35. 35M a n u a l d o P r o f e s s o r 14 Trigonometria no
tringulo retngulo 199 Introduo 200 EP 1, 2, 3, 4, 5 205 E 1 206 E
2, 3, 4 207 E 5; EP 11, 12 208 EP 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 209 EP
21, 22, 25, 26 EP 23 Fsica EP 24 Histria da Matemtica 210 ER 30,
31, 32, 33 EP 27, 28, 29 Fsica 211 ER 34, 35, 36, 38 ER 34 Fsica
212 ER 39, 41 ER 40, 42, 43 Fsica 15 Resoluo de tringulos quaisquer
215 Lei dos senos 217 E 1 218 EP 7; Lei dos cossenos 220 E 1 221 EP
18, 19 EP 14 Fsica 222 Desao; ER 20 Desao Fsica 223 ER 28, 29, 30,
31, 32 ER 26, 27 Fsica 16 Conceitos trigonomtricos bsicos 227 E 7;
EP 5, 6 231 EP 16, 17; Desao Desao Histria 232 ER 19, 20, 21, 22,
23 ER 21 Histria da Matemtica 233 ER 27, 28, 29, 30, 31 17 Funes
trigonomtricas 238 EP 8 Inequaes 242 EP 20 Inequaes 252 ER 46
Conjuntos; ER 48 Inequaes 18 Relaes, equaes e inequaes
trigonomtricas 260 EP 25 EP 24 Geometria 19 Transformaes
trigonomtricas 268 EP 16, 17 Rotao 269 E 2 Produtos notveis; E 4
Geometria 272 Desao Fsica EP 43 Sistemas Captulo Nmero da pgina
Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros temas
matemticos w w
- 36. 36 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o 20 Noes bsicas de Estatstica A contextualizao
existe em praticamente todos os exemplos e exerccios desse captulo
Estatstica e probabilidade 21 Noes de Matemtica nanceira A
contextualizao existe em praticamente todos os exemplos e exerccios
desse captulo Juros e funes 22 Matrizes 308 Introduo 309 EP 1 316
Multiplicao de matrizes 318 EP 48 321 E 1 322 E 2 323 EP 66, 67,
68, 69, 70; Desao; ER 72 EP 66, 67, 68, 69, 70; Desao Computao 324
ER 76, 78, 79 23 Determinantes 326 EP 1g, h Trigonometria; EP 1i
Logaritmos 327 EP 7, 12 Valor numrico; EP 14 Inequaes; EP 16, 17
Trigonometria 333 Desao Geometria 334 ER 44, 45, 46 Trigonometria
24 Sistemas lineares 335 Introduo 337 E 1 Geometria 338 E 2, 3; EP
8 Geometria 341 1, 2, 3 e 4 possibilidade Geometria 342 5, 6 e 7
possibilidade Geometria 343 8 possibilidade Geometria 351 E 1
Qumica Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade
Integrao com outros temas matemticos w w
- 37. 37M a n u a l d o P r o f e s s o r 24 Sistemas lineares
(continuao) 352 EP 42, 43, 44 E 2 Qumica 353 EP 45, 46; Programao
linear o mtodo grco 354 E 2, 3 355 EP 49 356 ER 50, 51, 52, 53, 54,
55 357 ER 56, 57, 58, 59, 60, 61 ER 58 Qumica 358 ER 62, 63, 64,
65, 66, 67 ER 64 Qumica; ER 66 Fsica 25 Anlise combinatria 359
Introduo; E 1 360 E 2, 3 361 EP 1, 2, 3, 4 E 2 Portugus 362 EP 8,
12 Portugus 365 E 3, 6 E 4 Fraes 366 EP 21, 23, 25, 26, 29, 30; E 1
367 E 2 368 E 5, 6, 7 E 3, 4 Geometria 369 EP 34, 35, 37, 38, 39,
40 EP 36 Geometria 370 E 3, 5 EP 44 Portugus 371 EP 48, 49, 51, 52,
55, 56, 58, 59, 60, 62, 64, 67, 69 EP 54, 57, 63 Geometria 372 EP
70, 71, 72, 74, 76, 78, 79, 80, 81 EP 75 Conjuntos; EP 73, 77
Geometria 377 ER 100, 101, 102, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110
ER 104 Biologia 378 ER 111, 112 ER 113 Geometria Captulo Nmero da
pgina Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros
temas matemticos w w
- 38. 38 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o 26 Probabilidade 379 Introduo; E 1, 2, 3 380 EP
1, 2, 3, 6, 7, 10 EP 9 Biologia EP 4, 5 Geometria 381 E 1, 2, 3 382
E 5 383 EP 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 EP 17 Biologia 384 EP
20, 21, 22, 23 EP 22 Biologia 385 E 1, 2, 3, 4 386 EP 25, 26, 27,
28, 29, 30, 31, 32, 33 387 E 1, 3 E 2 Biologia 388 EP 36, 37, 38,
39, 40, 41, 42 EP 40 Biologia 389 E 1, 2 E 2 Biologia 390 EP 49,
50, 51, 52, 53; E 1, 2 EP 49, 52 Biologia 391 EP 54, 55, 56, 57 EP
56 Biologia 392 E 1, 2 Biologia 393 Exemplo Biologia 394 E 2; EP
60, 61, 62 EP 58, 59 Biologia 395 E 1, 2 Biologia 396 E 3, 4, 5, 6;
EP 63, 64, 65 Biologia 397 ER 71, 72, 73 EP 66, 67, 68, 69, 70
Biologia Desao Geometria 398 ER 74, 75, 76, 77, 79, 80 ER 78
Geometria 27 Geometria espacial de posio uma introduo intuitiva 401
EP 1 Prismas 402 EP 3 Pirmides 403 EP 4 Prismas 404 EP 5, 6, 7
Prismas 405 EP 10 EP 9, 11 Prismas 406 EP 13 EP 12 Prismas 411 EP
16 Prismas Captulo Nmero da pgina Contextualizao
Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w
- 39. 39M a n u a l d o P r o f e s s o r 27 Geometria espacial
de posio uma introduo intuitiva (continuao) 412 EP 17 Prismas 413
EP 19 Prismas 416 EP 23, 24 Prismas 417 EP 25 Prismas 419 ER 30 28
Poliedros: prismas e pirmides 420 Introduo 422 E 2 428 E 2 429 E 3;
EP 16, 20, 22, 23 430 EP 24, 25, 26 431 E 1; EP 28, 29, 34 432 EP
36, 37, 38, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 434 E 2, 3; EP 50, 52
435 EP 53, 54, 55; As pirmides 441 EP 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87
444 EP 91, 92, 93, 94, 95, 96 445 ER 109, 110 446 ER 113, 115, 118,
119 29 Corpos redondos: cilindro, cone e esfera 447 Introduo
Introduo Geograa 448 Exemplo 449 EP 2, 4, 6, 8 450 E 1; EP 9, 10,
11, 12, 13, 14 451 EP 15, 16, 17, 19 453 EP 22, 25, 28 454 E 2; EP
30, 31, 33, 34 Captulo Nmero da pgina Contextualizao
Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w
- 40. 40 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s
V o l u m e n i c o 29 Corpos redondos: cilindro, cone e esfera
(continuao) 455 E 2 456 EP 35, 46, 47 457 EP 49, 52 458 E