Post on 11-Jan-2016
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Circuitos Elétricos Circuitos Magneticamente Acoplados
Alessandro L. Koerich
Engenharia de Computação
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)
Introdução
• Os circuitos que estudamos até o momento são considerados
condutivamente acoplados.
– Um laço afeta o laço vizinho através da condução de corrente.
• Quando dois laços com ou sem contato se afetam através do
campo magnético gerado por um deles, são chamados de
magneticamente acoplados.
• Exemplo: Transformador bobinas magneticamente
acopladas para transferir energia de um circuito para outro.
Indutância Mútua
• Quando dois indutores (ou bobinas) estão próximos, o fluxo
magnético causado pela corrente em uma bobina induz tensão na
outra bobina.
• Este fenômeno é chamado de indutância mútua.
• Para um indutor simples de N
espiras, quando uma corrente i
flui através dele, um fluxo
magnético é produzido ao redor
dele.
• De acordo com a lei de Faraday, a tensão induzida no indutor é:
𝑣 = 𝑁𝑑𝜙
𝑑𝑡
Indutância Mútua
• Mas o fluxo é produzido pela corrente i, portanto qualquer mudança em é causada por uma variação na corrente:
𝑣 = 𝑁𝑑𝜙
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑡
ou
𝑣 = 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡
• A indutância L do indutor é dada por:
𝐿 = 𝑁𝑑𝜙
𝑑𝑖
• Esta indutância é chamada de auto-indutância, pois relaciona a tensão induzida em uma bobina por uma corrente variante no tempo na mesma bobina.
Indutância Mútua
• Considerando agora duas bobinas com auto-indutâncias L1 e L2 que estão próximas. A bobina 1 tem N1 voltas e a bobina 2 tem N2 voltas. Assumimos que a bobina 2 não transporta corrente.
• O fluxo magnético 1 originário na bobina 1 tem dois componentes: o componente 11 percorre somente a bobina 1 e o componente 12 percorre ambas as bobinas. Portanto:
𝜙1 = 𝜙11 + 𝜙12
Indutância Mútua
• Apesar das duas bobinas estarem fisicamente separadas,
elas estão magneticamente acopladas. Como o fluxo total 1
percorre a bobina 1, a tensão induzida na bobina 1:
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙1
𝑑𝑡
• Somente o fluxo 12 percorre a bobina 2, logo a tensão
induzida na bobina 2:
𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙12
𝑑𝑡
Indutância Mútua
• Novamente, como os fluxos são causados pela corrente i1 fluindo na bobina 1:
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙1
𝑑𝑖1
𝑑𝑖1𝑑𝑡
= 𝐿1𝑑𝑖1𝑑𝑡
• onde 𝐿1 = 𝑁1𝑑𝜙1/𝑑𝑖1 é a auto-indutância da bobina 1. Da mesma maneira:
𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙12
𝑑𝑖1
𝑑𝑖1𝑑𝑡
= 𝑀21
𝑑𝑖1𝑑𝑡
onde:
𝑀21 = 𝑁2
𝑑𝜙12
𝑑𝑖1
• M21 é a indutância mútua da bobina 2 com respeito a bobina 1. O índice 21 indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 2 à corrente na bobina 1. Assim, a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a bobina 2 é:
𝑣2 = 𝑀21
𝑑𝑖1𝑑𝑡
Indutância Mútua
• Supondo agora que a corrente i2 flui na bobina 2, enquanto a bobina 1 não transporta corrente.
𝜙2 = 𝜙21 + 𝜙22
• Como o fluxo total 2 percorre a bobina 2, a tensão induzida na bobina 2:
𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙2
𝑑𝑡= 𝑁2
𝑑𝜙2
𝑑𝑖2
𝑑𝑖2𝑑𝑡
= 𝐿2𝑑𝑖2𝑑𝑡
• onde 𝐿2 = 𝑁2𝑑𝜙2/𝑑𝑖2 é a auto-indutância da bobina 2.
Indutância Mútua
• Da mesma maneira:
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙21
𝑑𝑡= 𝑁1
𝑑𝜙21
𝑑𝑖2
𝑑𝑖2𝑑𝑡
= 𝑀12
𝑑𝑖2𝑑𝑡
onde:
𝑀12 = 𝑁1𝑑𝜙21
𝑑𝑖2
• M12 é a indutância mútua da bobina 1 com respeito a bobina 2. O índice 12 indica que a indutância relaciona a tensão induzida na bobina 1 à corrente na bobina 2. Assim, a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) sobre a bobina 1 é:
𝑣1 = 𝑀12
𝑑𝑖2𝑑𝑡
Indutância Mútua
• Veremos que:
𝑀12 = 𝑀21 = 𝑀
• M é a indutância mútua entre duas bobinas. É medida em
henrys (H).
• Note que o acoplamento mútuo existe somente se as bobinas
estiverem próximas e os circuitos forem alimentados por
fontes variantes no tempo.
Indutância Mútua é a capacidade de um indutor induzir uma
tensão sobre um indutor vizinho, medida em henrys (H).
Indutância Mútua
• Convenção do ponto para a análise de circuitos:
– A polaridade da indutância mútua depende dos aspectos construtivos.
– A convenção de pontos eliminada a necessidade de descrever os
aspectos construtivos em circuitos
• Um ponto é colocado no circuito em um dos terminais de cada
um dos indutores acoplados magneticamente.
• Indica a direção do fluxo magnético se a corrente entra pelo
terminal marcado com o ponto.
Indutância Mútua
• A convenção dos pontos diz o seguinte:
Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referência da tensão mútua na segunda bobina
é positiva no terminal com o ponto da segunda bobina.
• ou
Se uma corrente sai pelo terminal com o ponto de uma bobina, a polaridade de referencia da tensão mútua na segunda bobina é
negativa no terminal com o ponto da segunda bobina.
• Assim, a polaridade de referencia de um tensão mútua depende da direção de referencia da corrente induzida e os pontos nas bobinas acopladas.
Indutância Mútua
• A aplicação da convenção de
pontos pode ser ilustrada pelas
figuras ao lado:
Indutância Mútua
• A convenção de pontos, para indutores conectados em série,
pontos se somando, a indutância total será:
𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 + 2𝑀
• Para indutores conectados em série, com pontos opostos, a
indutância total será:
𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 − 2𝑀
Análise de Circuitos Envolvendo
Indutâncias Mútuas
• Aplicando a LTK na malha1:
𝑣1 = 𝑖1𝑅1 + 𝐿1𝑑𝑖1𝑑𝑡
+ 𝑀𝑑𝑖2𝑑𝑡
• Aplicando a LTK na malha 2:
𝑣2 = 𝑖2𝑅2 + 𝐿2𝑑𝑖2𝑑𝑡
+ 𝑀𝑑𝑖1𝑑𝑡
• Passando para o domínio da frequência:
𝐕1 = 𝑅1 + 𝑗𝜔𝐿1 𝐈1 + 𝑗𝜔𝑀𝐈2
𝐕2 = 𝑗𝜔𝑀𝐈1 + 𝑅2 + 𝑗𝜔𝐿2 𝐈2
Análise de Circuitos Envolvendo
Indutâncias Mútuas
• Aplicando a LTK na malha 1:
𝐕 = 𝐙1 + 𝑗𝜔𝐿1 𝐈1 + 𝑗𝜔𝑀𝐈2
• Aplicando a LTK na malha 2:
0 = −𝑗𝜔𝑀𝐈1 + 𝐙𝐿 + 𝑗𝜔𝐿2 𝐈2
• As equações acima podem ser resolvidas da maneira usual para encontrar as correntes.
• Note que assumiremos sempre que a indutância mútua e a posição dos pontos são fornecidas.
Energia em Circuitos Acoplados
• A energia armazenada em um indutor:
𝑤 =1
2𝐿𝑖2
• A energia armazenada em dois indutores
acoplados magneticamente, assumindo
que a corrente entra nos terminais com
ponto em ambos indutores:
𝑤 =1
2𝐿1𝑖1
2 +1
2𝐿2𝑖2
2 +𝑀𝑖1𝑖2
• Se uma corrente entra pelo terminal com o ponto em um indutor e
sai pelo terminal com ponto no outro indutor:
𝑤 =1
2𝐿1𝐼1
2 +1
2𝐿2𝐼2
2 −𝑀𝑖1𝑖2
Energia em Circuitos Acoplados
• O limite superior para a indutância mútua M:
𝑀 ≤ 𝐿1𝐿2
• Ou seja, a média geométrica das auto-indutâncias dos indutores.
• O coeficiente de acoplamento, mostra o quanto a indutância mútua se aproxima de seu limite superior:
𝑘 =𝑀
𝐿1𝐿2
• onde 0 ≤ 𝑘 ≤ 1. O coeficiente de acoplamento é a fração do fluxo total emanando de um indutor que conecta ao outro indutor:
𝑘 =𝜙12
𝜙1=
𝜙12
𝜙11 + 𝜙12 𝑘 =
𝜙21
𝜙2=
𝜙21
𝜙21 + 𝜙22
Energia em Circuitos Acoplados
• Se todo o fluxo produzido por um indutor atinge outro, então k
= 1 e temos uma acoplamento 100% ou perfeitamente
acoplados.
• Para k < 0,5 temos indutores fracamente acoplados.
• Para k > 0,5 temos indutores fortemente acoplados.
• O coeficiente de acoplamento é
uma medida do acoplamento
magnético entre dois indutores;
0 ≤ 𝑘 ≤ 1.
Transformador Linear
• É um dispositivo magnético que utiliza o fenômeno da
indutância mutua.
• Um transformador é geralmente um dispositivo de quatro
terminais compreendendo dois ou mais bobinas acopladas
magneticamente.
• A bobina conectada diretamente a uma fonte de tensão é
chamado de enrolamento primário.
• A bobina conectada a carga é chamada de enrolamento
secundário.
• As resistências representam as perdas nas bobinas.
Transformador Linear
• Um transformador é considerado linear se as bobinas são
enroladas em um material magnético linear (permeabilidade
magnética constante), como baquelite, ar, plástico e madeira.
• Para obtermos a impedância de entrada, aplicamos a LTK
nas duas malhas, e temos:
𝐙in =𝐕
𝐈1= 𝑅1 + 𝑗𝜔𝐿1 +
𝜔2𝑀2
𝑅2 + 𝑗𝜔𝐿2 + 𝐙𝐿
– O primeiro termo (𝑅1 + 𝑗𝜔𝐿1) é a impedância primária.
– O segundo termo é devido ao acoplamento entre os enrolamentos
primário e secundário e é chamada de impedância refletida ao primário:
𝐙𝑅 =𝜔2𝑀2
𝑅2 + 𝑗𝜔𝐿2 + 𝐙𝐿
Transformador Linear
• Para simplificar a análise é possível substituir o acoplamento
magnético por um circuito equivalente T (ou Y) ou (ou )
que não contém a indutância mútua:
• Circuito equivalente T:
𝐿𝑎 = 𝐿1 −𝑀, 𝐿𝑏 = 𝐿2 −𝑀, 𝐿𝑐 = 𝑀
• Circuito equivalente :
𝐿𝐴 =𝐿1𝐿2 −𝑀2
𝐿2 −𝑀, 𝐿𝐵 =
𝐿1𝐿2 −𝑀2
𝐿1 −𝑀, 𝐿𝐶 =
𝐿1𝐿2 −𝑀2
𝑀
Transformador Ideal
• Um transformador ideal é aquele com acoplamento perfeito (k
= 1).
• Consiste em duas bobinas com um número grande de voltas
em um núcleo comum de alta permeabilidade. Devido a esta
alta permeabilidade do núcleo, o fluxo liga todas as voltas de
ambas as bobinas, resultando portanto em um acoplamento
perfeito.
• Um transformador é dito ser ideal se:
– As bobinas tiveram reatâncias bastante elevadas (L1, L2, M );
– O coeficiente de acoplamneto é unitário (k=1);
– Os enrolamentos primário e secundário não possuem perdas (R1 = R2=
0).
Transformador Ideal
• Transformadores com núcleo de ferro são uma aproximação
de transformadores ideais.
• De acordo com a Lei de Faraday,
as tensões sobre os enrolamentos
primário e secundário são
respectivamente:
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙
𝑑𝑡 𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙
𝑑𝑡
Transformador Ideal
• Dividindo as equações anteriores temos:
𝑣2𝑣1
=𝑁2
𝑁1= 𝑛
onde n é a razão de voltas ou razão de transformação.
• Usando fasores, temos:
𝐕2𝐕1
=𝑁2
𝑁1= 𝑛
Transformador Ideal
• Pelo princípio da conservação da energia, temos:
𝑣1𝑖1 = 𝑣2𝑖2
• Na forma fasor, temos: 𝐈1𝐈2
=𝐕2𝐕1
= 𝑛
• Mostrando que as correntes primária e secundária estão
relacionadas à razão de voltas de maneira inversa que as
tensões, então: 𝐈2𝐈1=𝑁1𝑁2
=1
𝑛
Transformador Ideal
𝐈2𝐈1=𝑁1𝑁2
=1
𝑛
• Quando n=1, chamamos o transformador de transformador de
isolamento.
• Se n>1 temos um transformador elevador, pois a tensão
aumenta do primário para o secundário (V2>V1).
• Se n<1 temos um transformador abaixador, pois a tensão
decresce do primário para o secundário (V2<V1).
Transformador Ideal
• Quanto a polaridade das tensões e direção das correntes,
temos:
1. Se V1 e V2 são ambas positivas
ou ambas negativas nos
terminais com ponto, use +n.
Caso contrário use –n.
2. Se tanto I1 quanto I2 entram
ou ambas saem dos terminais
com ponto, use –n.
Caso contrário use +n.
Transformador Ideal
• A potência complexa no enrolamento primário é:
𝐒1 = 𝐕1𝐈1∗ =
𝐕2𝑛(𝑛𝐈2)
∗= 𝐕2𝐈2∗ = 𝐒2
• Não há perda de potência. O transformador ideal não absorve
potência.
• A impedância de entrada vista pela fonte:
𝑍𝑖𝑛 =𝐕1𝐈1
=1
𝑛2𝐕2𝐈2
• Mas como 𝐕2 𝐈2 = 𝐙𝐿, então:
𝑍𝑖𝑛 =𝐙𝐿𝑛2
Transformador Ideal
• Uma prática comum na análise de circuitos é eliminar o
transformador, refletindo as impedâncias e fontes de um lado
do transformador para o outro.
• Refletindo o lado secundário para o primário:
– Obtemos o equivalente de Thevenin do circuito a direita dos terminais a-
b.
– Obtemos VTh como a tensão de circuito aberto nos terminais a-b.
– Obtemos ZTh removendo a fonte tensão no enrolamento secundário e
inserindo uma fonte unitária nos terminais a-b.
– Tendo VTh e ZTh adicionamos o equivalente de Thevenin à esquerda de
a-b.
Transformador Ideal
• Refletindo o lado secundário para o primário:
𝐕Th =𝐕𝑠2𝑛 𝐙Th =
𝐙2𝑛2
Transformador Ideal
• A regra geral para eliminar o transformador e refletir o circuito
secundário para o lado do primário é: dividir a impedância
secundária por n2, dividir a tensão secundária por n e
multiplicar a corrente secundária por n.
• Para refletir o lado primário do circuito para o lado secundário:
– A regra para eliminar o transformador e refletir o circuito primário para o
lado secundário é: multiplicar a impedância primária por n2, multiplicar a
tensão primária por n e dividir a corrente primária por n.