Post on 18-Jan-2019
[Cristóvão R M Rincoski] p. 001
11. Indutância (baseado no Halliday, 4a edição)
11. Indutância Capítulo 11
Capacitores e Indutores
Capacitores Indutores
Capacitor: dispositivo que podemos
usar para produzir um determinado
campo elétrico numa certa região do
espaço.
Símbolo:
Indutor: dispositivo que podemos usar
para produzir um determinado campo
magnético numa certa região do espaço.
Símbolo:
+ + + + + + + + + +
− − − − − − − − − −
C
BE
i
i
L
O indutor está para o campo magnético assim como o capacitor está para o campoelétrico.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 002
11. Indutância Capítulo 11
Onde:
N → número de espiras no indutor.N B → fluxo concatenado.
Indutância
Capacitor: colocando-se as cargas q+ e q−sobre as placas do capacitor, uma d. d. p.
aparece entre elas.
(definição de
capacitância)
Indutor: estabelecendo-se uma corrente i
num indutor, aparece em cada uma de
suas espiras um fluxo B, devido a esta
corrente e dizemos que as espiras estão
“concatenadas” por este fluxo.
(definição de
indutância)V
qC
def .
=i
NL B
def =
.
Unidade (L):
a) [L] = [B] / [i] → no S. I. → T m2 / A → recebe o nome de Henry (H)(homenagem a Joseph Henry).
A
W
A
mTH b
1
1
1
111
2
==
b) Valor unitário
[Cristóvão R M Rincoski] p. 003
11. Indutância Capítulo 11
Obs.: consideramos que nas vizinhanças de qualquer indutor, não existammateriais magnéticos (basicamente materiais ferromagnéticos → será visto mais adiante).
Indutância num Solenoide
Considerando um solenoide longo com a seção transversal A. Qual é a indutância,por unidade de comprimento, próximo ao seu centro?
n → número de espiras por unidade de comprimento do solenoide.ℓ → comprimento próximo ao centro do solenoide.B → módulo do campo magnético no interior do solenoide.A → área da seção transversal do solenoide.
R.: Primeiro vamos calcular o seu fluxo concatenado
1) e onde ==== ABdABdABAdBdef
B cos.
NnABNN B ==
ABnN B )( =
Cte em dA1( = 00)
2) Usando o campo magnético no interior de um solenoide, próximo ao seu centro(campo para solenoide infinito, ou, para solenoide cujo comprimento é
muito maior que o seu diâmetro → raio)
niB 0=
3) Da definição de indutância Ani
Anin
i
ABn
i
NL B
def
2
00
. )()()(
===
=
[Cristóvão R M Rincoski] p. 004
11. Indutância Capítulo 11
(indutância por unidade decomprimento, para um solenoidelongo, próximo ao seu centro)
AnL 2
0=
Obs.: 1) a indutância (assim como a capacitância) só depende de fatoresgeométricos.
2) Quando o comprimento do solenoide é muito maior que o raio, aequação acima representa a indutância com boa aproximação, ou seja, estamosdesprezando os “efeitos de borda” do campo magnético.
Indutância num Toróide
Considerando um toróide com a seção transversal quadrada. Qual é a indutânciade um toróide de N espiras e seção transversal retangular?
a
b
i
i
B
drr
h
R.: usar a definição de indutância.
1) Calculando o fluxo concatenado N B, do campomagnético do toróide
r
NiB
2
0=
[Cristóvão R M Rincoski] p. 005
11. Indutância Capítulo 11
O fluxo B é obtido da definição de fluxo ===b
a
def
B drhr
NidABAdB )(
2cos 0
.
1( = 00)
a
bhNir
hNi b
aB ln
2ln
2
00
==
=b
aB
r
drhNi
2
0
= xx
dxlnA integral é tabelada como
2) Usando a definição de indutânciaa
b
i
hNi
i
NL B
def
ln2
2
0.
=
=
a
bhNL ln
2
2
0
=
Obs.: 1) a indutância depende (novamente) somente de fatores geométricos eque N aparece ao quadrado.
2) Recordando: a capacitância pode ser escrita como 0 ℒ, onde ℒ temdimensão de comprimento e 0 de farad / m.
3) Aqui podemos dizer: a indutância pode ser escrita como 0 ℒ, onde ℒtem dimensão de comprimento.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 006
11. Indutância Capítulo 11
→ problemas normais com campo magnético.
→ problemas com envolvendo indutores.mH
AmT
/104
/104
7
0
7
0
−
−
=
=
Auto-Indução
Se duas bobinas (que podemos chamar de indutores) estiverem próximas uma daoutra, quando uma corrente i percorre uma bobina, produzirá um fluxo magnético,B, na outra.
Variando o fluxo (variando a corrente), uma fem induzida aparecerá na segundabobina → Lei da Indução de Faraday.
“Uma fem induzida, L, aparece na bobina quando variamos a corrente nestamesma bobina.”
este processo → auto-indução.fem induzida → fem auto-induzida.
A fem auto-induzida obedece a Lei de Faraday como qualquer outra fem induzida.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 007
11. Indutância Capítulo 11
+
−
L
i
i
R
Se variamos a corrente na bobina, L, movendo-se a posição docontato sobre o resistor R, uma fem auto-induzida L, aparecerá nabobina, enquanto a corrente estiver variando.
Para qualquer indutor: ou iLNi
NL B
Bdef
=
=.
Da Lei de Faradaydt
diL
dt
iLd
dt
Nd
dt
dN BB
def
L −=−=
−=
−=)()(.
Cte no tempo
dt
diLL −= (fem auto-induzida)
Conclusão: 1) num indutor qualquer (bobina, solenoide, toróide), uma fem auto-induzida aparece sempre que a corrente varia no tempo.
2) Podemos encontrar o sentido da fem auto-induzida, usando a Leide Lenz.
“A fem auto-induzida atua de modo a se opor a variação da corrente que aproduziu.”
[Cristóvão R M Rincoski] p. 008
11. Indutância Capítulo 11
i (crescendo)
l
L
i → aumenta no tempo numa taxa di / dt.
Quando a corrente i estiver crescendo, a fem induzida l aparece emcada espira, e uma fem auto-induzida aparece ao longo da bobina, L, emum sentido que se oporá ao crescimento desta corrente.
Usamos a Lei de Lenz para indicar a fem induzida, e a fem auto-induzida,oposta a variação da corrente no tempo (di / dt).
A seta representando L, pose ser desenhada ao longo de uma espira da bobina, ouao lado da bobina representando a auto-indução total.
i (decrescendo)
l
L
i → diminui no tempo numa taxa di / dt.
Quando a corrente i estiver diminuindo, a fem induzida (auto-induzida) L
aparece em um sentido tal que se oporá à diminuição desta corrente.
Vimos que, quando uma fem e um campo elétrico são induzidos por um fluxomagnético variável → Não podemos definir um potencial elétrico.
Isto é, então e .00
.
=−==−= f
i
ifdef
if sdEq
WVVV 0=
−= dt
dsdEVV B
if
Portanto, quando uma fem auto-induzida é produzida no indutor, não podemosdefinir um potencial no interior do indutor (onde o fluxo estiver variando). Entretanto,podemos definir um potencial em pontos do circuito, fora desta região → forado indutor.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 009
11. Indutância Capítulo 11
Podemos definir uma d. d. p. , VL, através de um indutor (entre os seus terminais,que supomos localizados fora da região de fluxo variável).
Indutor Ideal → seu fio tem resistência desprezível, e o módulo de VL é igual aomódulo da fem auto-induzida L, isto é, VL = L.
Indutor Real → tem uma resistência interna r, isto é, consideramos com sendouma resistência r em série com um indutor ideal de fem L, ou seja, VL = L − r i.
Circuito RL
Fazendo um paralelo com o circuito RC.
Circuito RC Circuito RL
+
−
S
a
b
R+ −
C+
−
S
a
b
R
+
−
L
+
−
+ −
[Cristóvão R M Rincoski] p. 010
11. Indutância Capítulo 11
Circuito RC Circuito RL
1o) Chave S em a (carga de capacitor)
para C = R C → Cte de tempo
capacitiva
q = 0,63 C
2o) Chave S em b (descarga de capacitor)
para C = R C
q = 0,37 C
1o) Chave S em a (corrente crescendo)
para L = L / R → Cte de tempo indutiva
i = 0,63 / R
2o) Chave S em b (corrente diminuindo)
para L = L / R
i = 0,37 / R
=+ CR VV
)1( / CRteCq
C
q
dt
dqR
−−=
=+
=+ LR VV
)1( / LRteR
i
dt
diLRi
−−=
=+
0=+ CR VV
CRteCq
C
q
dt
dqR
/
0
−=
=+
0=+ LR VV
LRteR
i
dt
diLRi
/
0
−=
=+
[Cristóvão R M Rincoski] p. 011
11. Indutância Capítulo 11
Circuito RC Circuito RL
Unidade (C)
[C] = [R] [C] → 1W 1F → 1s
Unidade (L)
[L] = [L] / [R] → 1H / 1W → 1s
VR
t
corrente crescendo
/r
i
t
corrente crescendo
VL
t
corrente crescendo
/r
i
t
corrente decrescendo
VR
t
corrente decrescendo VL
t(s)
corrente decrescendo
−
[Cristóvão R M Rincoski] p. 012
11. Indutância Capítulo 11
Energia Armazenada num Campo Magnético
Cargas & Campo Elétrico → quando afastamos duas cargas de sinais opostosdizemos que a energia potencial elétrica resultante fica armazenada no campoelétrico das cargas. Podemos reaver esta energia do campo, deixando que ascargas se aproximem.
Do mesmo modo podemos dizer que, a energia pode ser armazenada num campomagnético:
dois fios, rígidos e paralelos, transportando corrente elétrica de mesmosentido, atraem entre si, de modo que, para afastá-los devemos realizar umtrabalho
→ fazendo isto dizemos que estamos armazenando energia no campomagnético.
+
− L
i
i
Rx y
z
dt
diLRi += (Regra das Malhas → Conservação da Energia).
Se multiplicamos ambos os lados da equação por i:
dt
diiLRii += 2 (podemos interpretar → trabalho e energia).
[Cristóvão R M Rincoski] p. 013
11. Indutância Capítulo 11
1o) Bateria → quando dq atravessa a bateria de fem num intervalo dt, temosdW = dq
idt
dq
dt
dWP
=== → Taxa com o que o dispositivo de fem transfere energia
i
2o) i2 R → taxa com que a energia aparece sob forma de energia térmica no resistor
3o) → esta energia não aparece como energia térmica, mas de acordo
com a conservação de energia, deve ficar armazenada no campo magnético doindutor (dUB/dt)
dt
diiL
diiLdUdt
diiL
dt
dUB
B == ou integrando temos
2
2
1iLU B = (energia armazenada no campo
magnético do indutor).
C
qUU EE
2
2
==Similar a ou .2
2
1VCUU EE ==
Densidade de Energia num Campo Magnético
Antes: tratamos de energia potencial magnética armazenada no campo magnéticode um indutor percorrido por corrente elétrica.
Agora: voltamos a nossa atenção para o próprio campo magnético.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 014
11. Indutância Capítulo 11
Densidade de Energia Magnética (uB):
.
.
Vol
Uu B
def
B =
Problema: considere um solenoide longo de seção transversal de área A e decomprimento ℓ próximo ao eixo do solenoide.
Como o campo magnético fora do solenóide é praticamente nulo, Vol. = A ℓ de
inBAnLiLUA
Uu B
BB 0
20
2
2
1 ====
usando , e então
0
2
2
BuB = (densidade de energia magnética –
resultado totalmente geral).
[Cristóvão R M Rincoski] p. 015
11. Indutância Capítulo 11
Indução Mútua
Voltando às duas bobinas que interagem, vimos que:
“se duas bobinas estão próximas uma da outra, uma corrente constante i numabobina estabelecerá um fluxo magnético através da outra bobina. Variando-se icom o tempo, uma fem dada pela Lei de Faraday, aparece na segunda bobina →processo chamado de Indução.”
O nome correto deveria ser indução mútua → isto sugere a interação mútua dasduas bobinas distinguindo da auto-indução.
+ −
Bobina 1
G
Bobina 2
i1 i1
N1 N2
linhas de campo de B1
Duas bobinas circulares compactas, próximas uma da outrae com eixo central em comum.
i1 → corrente na bobina 1 produzida pela bateria (cria ocampo B1)
A bobina 2 está conectada a um galvanômetro sensível G,mas não tem bateria.
1
2121
i
NM
def = (indutância mútua da bobina 2 em
relação a bobina 1).
[Cristóvão R M Rincoski] p. 016
11. Indutância Capítulo 11
Compare com L = N /i → definição de auto−indutância
Fazendo M21 i1 = N2 21 e derivando em relação ao tempo:
dt
d
dt
dN
dt
idM B
−=
= 212
121 com (Lei de Faraday)
dt
idM 1
212 −= (fem na bobina 2 devido a 1)
Trocando os papéis desempenhados pelas bobinas 1 e 2:
dt
idM 2
121 −= (fem na bobina 1 devido a 2)
Então:
“a fem induzida em qualquer uma das bobinas, é proporcional à taxa de variação dacorrente na outra bobina.”
As constantes de proporcionalidade M21 e M12 podem ser diferentes, mas:
“afirmamos sem provas que elas são iguais”
[Cristóvão R M Rincoski] p. 017
11. Indutância Capítulo 11
Então:
MMM == 1221
dt
idM 1
2 −=
M → indutância mútua
dt
idM 2
1 −=
Unidade (M):
a) [B] = [] / ([i] [t]) → no S. I. → V / (A / s) → recebe o nome de Henry (omesmo que para L → H).
A
mTH
1
111
2
=
b) Valor unitário
Um Detector de Metais
Detector de Metais: consiste essencialmente de duas bobinas perpendiculares.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 018
11. Indutância Capítulo 11
ir
it
Bobina receptora
Cr
Bobina transmissora
Ct
Moedas soterradas
Enviando-se uma corrente it que varia senoidalmenteatravés da bobina transmissora, Ct, produz-se, nasvizinhanças desta bobina, um campo magnético quevaria continuamente.
Um material condutor (tal como uma moeda), ficasujeita ao campo de Ct que induz uma corrente quevaria continuamente → funciona como uma bobina 2.
A corrente induzida variando continuamente nocondutor (moeda), produz seu próprio campomagnético que varia continuamente → induz ir nabobina receptora Cr.
Para Ct não induzir em Cr, as duas bobinas são montadas com seus eixos centrais,perpendiculares (entre si).
1) O campo magnético de Ct é aproximadamente paralelo ao plano das espirasde Cr.
2) Nesta configuração, Ct não produz fluxo através de Cr, portanto, não induzcorrentes em Cr.