1

Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano

Conteúdos do 7º ano

Conteúdos do 8º ano

Conteúdos do 7º Ano

Proporcionalidade directa

Semelhança de Figuras

Conhecer melhor os números

Equações (está abordado nos conteúdos de 8º ano)

Do Espaço ao Plano

Estatística (está abordado nos conteúdos de 8º ano)

2

Vamos analisar as duas situações seguintes:

I II

Proporcionalidade directa

3

Quando uma das grandezas é zero a outra também é zero.

2 4 6 82; 2; 2 e 2

1 2 3 4

Existe proporcionalidade directa, porque a razão entre as grandezas é constante.

A constante de proporcionalidade directa é 2.

Não existe proporcionalidade directa, porque a razão entre as grandezas não é constante.

2,50 3,002,50 e 1,50

1 2

I II

Quando uma das grandezas é zero a outra também é dois.

xy 2 Expressão Analítica

4

I II

Representação gráfica de cada situação

Unindo os pontos obtém-se uma recta que passa pela origem.

Unindo os pontos obtém-se uma recta que não passa pela origem.

Existe proporcionalidade directa, porque a representação gráfica é uma recta que passa pela origem.

Não existe proporcionalidade directa, porque a representação gráfica não é uma recta que passa pela origem.

5

Definição:

Duas grandezas x e y são directamente proporcionais se a razão entre os seus valores correspondentes, tomados pela mesma ordem, é constante.

Quando umas das grandezas é zero a outra também é zero.

A representação gráfica de uma situação de proporcionalidade directa é uma recta que passa pela origem.

A expressão analítica de uma situação de proporcionalidade directa é , onde k é a constante de proporcionalidade directa.

y xk

Proporcionalidade directa

6

Percentagens 5 % de 120 chocolates são _______

5 x 120 = 6 100

6 chocolates em 50 são ___%

50------- 100% x = 6 x 100 =12%

6 -------- x 50

7

Resolução de problemas envolvendo Percentagens

1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA.Sabendo que o IVA é 20%, quanto é o valor, em euros, do IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá?20% de 300 = 300 x 20 = 60 euros 100300 + 60 = 360 O preço final do sofá é 360 euros.

2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto?Euros %56 ------------------ 10042 ------------------- x x = 42 x 100 = 75% 56100 – 75% = 25% O desconto foi de 25%.

8

As figuras 1 e 2 – têm a mesma forma e as mesmas dimensões: são geometricamente iguais.

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

As figuras 1 e 3 – têm a mesma forma, mas a figura 3 tem maiores dimensões. A figura 3 é uma ampliação da figura 1.

As figuras 1 e 4 – têm a mesma forma, mas a figura 4 tem menores dimensões. A figura 4 é uma redução da figura 1.

Fig. 1

Semelhança de Figuras

9

- mesma forma- mesma dimensão

- mesma forma- menor dimensão

- mesma forma- maior dimensão

Ampliação

Figuras Semelhantes

Redução

Geometricamente iguais

Semelhança de Figuras

Dois Polígonos são Semelhantes quando têm os ângulos geometricamente iguais e os lados correspondentes directamente proporcionais. 10

Semelhança de Figuras

medida do lado da figura final

medida do ladoRazão de Se

da figura melha

ininça

cial

Se a razão de semelhança for:

maior que 1, obtemos uma ampliação;

menor que 1, obtemos uma redução;

igual a 1, obtemos uma figura geometricamente igual à original.

11

Conjuntos numéricos

IN

Q

Z

IN0

-3 -56

-12 -4

0

4

1

3

14

9

6

IN - Conjunto dos números Naturais

IN = {1;2;3;4;5;6…}

IN0 - Conjunto dos números Inteiros

IN0 ={0;1;2;3;4;5;6…}

Z - Conjunto dos números Inteiros relativos

Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}

Q- Conjunto dos números racionais

Q = z U { números fraccionários}

Completa com os símbolos ; ; ; -1 ….. IN 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… IN 3 …… IN 4 …… Z-

IN…… Z 2,3 …… Q12

0, (3)

13

Classificação de Quadriláteros

Se dois ângulos têm o vértice em comum e os lados de cada um dos ângulos estiverem no prolongamento dos lados do outro ângulo, então chamam-se ângulos verticalmente opostos.

Ângulos opostos formados por duas rectas que se cruzam.

Os ângulos AOB e COD são verticalmente opostos.

Os ângulos AOC e BOD também são verticalmente opostos.

ˆˆ 60ºCOA DOB

Ângulos Verticalmente Opostos

14

Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90º e menor do que 180º).

Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.

Ângulos de Lados Paralelos

15

Posição relativa de dois Planos

16

Posição relativa de uma recta a um plano

17

Posição relativa de duas Rectas

18

Conteúdos do 8º Ano

Ainda os números

Teorema de Pitágoras

Semelhança de triângulos

Notação científica

Funções

Estatística

Lugares geométricos

19

EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras .

3x+5=2-x+4

Sou equação

3+(5-2-4) = 3+1

Não sou equação

xxx 4322

3

1º membro 2º membro

• termos: ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x

• incógnita: x

• termos com incógnita: 3x ; - x ;

• termos independentes: -2 ; -4

x2

3

x2

3

Equações

20

Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira

183 x

6 SOLUÇÃO

verdadeiraproposição1863

127 x 1520 x

5 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO

Equações equivalentes: 127 x 1520 xMesmo conjunto solução

Equações

21

Equações sem parênteses e sem denominadores

4365 xx• Resolver uma equação é

determinar a sua solução.

102 x

• efectuamos as operações.

2

10

2

2

x

• Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita.

Conjunto solução 5

5x

• Determinamos a solução.

4635 xx

• Numa equação podemos mudar termos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinal

• Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes

22

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES

• simplificação de expressões com parênteses:

• Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses trocando os sinais dos termos que estão dentro 53225322 xxxx

• Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que estão dentro.

15231523 xxxx

• Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva. 22661332 xxxx

23

8625312 xxx

Como resolver uma equação com parênteses.

• Eliminar parênteses.8661512 xxx

• Agrupar os termos com incógnita.

8661152 xxx

• Efectuar as operações

312 x

• Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita

12

3

12

12

x

4

1x

• Determinar a solução, de forma simplificada.C.S =

4

1

24

EQUAÇÕES COM DENOMINADORES

436 3

3

4

2

2

1 xx • Começamos por reduzir todos os

termos ao mesmo denominador.

12

412

12

6

12

6 xx

12

412

12

66 xx

• Duas fracções com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. xx 41266

• Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.

12646 xx

182 x

92

18x

25

Esta fracção pode ser apresentada da seguinte forma 2

3

2

5

2

2

2

3

xx

Sinal menos antes de uma fracção

2

3523

xx • O sinal menos que se encontra antes da fracção afecta todos os termos do numerador.

1(2) (6) (3) (3)

22

18

3

21 xx

7

43

7

43437

348234

334842

xxx

xx

xx

2

18

3

21 xx

• Começamos por “desdobrar” a fracção que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!)

• Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores.

26

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES

• Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores

3

12

22

13

xxx

3

1

3

2

22

3

2

3

xxx (3) (3) (3) (2) (2)

24399 xxx 29439 xxx

112 x 2

11

2

11

xx

C.S.=

2

11

27

Mínimo múltiplo comum (m.m.c)

1º processoM12 = {0;12;24;36;48;60…}

M30 = {0;30;60…}

m.m.c = {60}

Determina o m.m.c (12;30)

2º processo12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1

12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

m.m.c = 22 x 3 x5 = 60

Produto dos factores primos comuns e não comuns de maior expoente

28

Máximo divisor comum (m.d.c)

1º processoD12 = {1;2;3;4;6;12}

D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30}

M.d.c (12;30)= {6}

Determina o m.d.c (12;30)

2º processo12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1

12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

M.d.c (12;30) = 2 x 3 = 6

Produto dos factores primos comuns com menor expoente

29

mmc e mdc

Texto Lugar geométrico

«…de tanto em tanto…» mmc

«…dividir/repartir/agrupar…» mdc

30

Teorema de PitágorasTeorema:Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

c2

c1

h

h2= c12+c2

2

Determinação da hipotenusa

x2 = 52 + 122

x2 = 25 + 144Û x2 = 169 x = 13 V x=-13

x2 + 92 = 152

Û x2 + 81 = 225Û x2= 225 - 81 x2 = 144 x =12 V x=-12

Determinação de um cateto

9 5

12 x 15 x

31

Semelhança de triângulos

Critérios de semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se:

Tiverem dois ângulos geometricamente iguais (aaa)

Tiverem os três lados correspondentes directamente proporcionais (lll)

Tiverem dois lados directamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual (lal)

32

Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos

1. Determina a altura da árvore.

• Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes?

Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB.

• Determinação da altura da árvore.

sombra altura

5,2 = h

1,6 0,8

h = 5,2 x 0,8

1,6

h = 2,6 m

A altura da árvore é de 2,6 metros.

3,6 + 1,6 = 5,2 m

Semelhança de triângulos

33

Semelhança de triângulos

Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes

Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então:

• A razão entre os perímetros de A e B é r.

• A Razão entre as áreas de A e B é r2.

PB:PA= r

AB:AA =r2

34

Potências Regras operatórias das potências

• Multiplicação• Com a mesma base

2-2 x 27 = 25

• Com o mesmo expoente

(-2)3 x (-7)3 = 143

• Divisão• Com a mesma base

2-2 : 27 = 2-9

• Com o mesmo expoente

(-24)3 : 63 = (-4)3

• Potencia de potência (23)5 = 215

• Potencia de expoente inteiro negativo 5-1 = 1 5

Potencia de expoente nulo (-8)0 = 1

35

Notação Científica Definição: Diz-se que um número está escrito em notação cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10n , com 1≤a<10

Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica

253 x 10-3 ; 6769800 ; 0,0000008 ; 76,9 x 105

= 2,53 x 10-1 ; =6,7698 x 106 ; = 8 x 10-7 ; = 7,69 x 106

Operações com números escritos em notação científica• Multiplicação

(2,1 x 10-3) x (2 x108) = (2,1 x2) x (10-3 x 108) = 4,2 x 105

• Divisão

(8,04 x 10-7) : ( 4,02 x 105) = 2,02 x 10-12

36

Funções

Definição: Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos em que a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Formas de definir uma função:

• Por um diagrama

• Por uma tabela

• Por uma expressão analítica

• Por um gráfico

37

Funções definidas por um diagrama

Ex. Não são funçõesEx. Funções

1234

-1-2-3

1

2

-1

2

1

2

3

-1-7-2-4-3

A B

Df = {1;2,3}

D’f = {-1;-2,-3}

Objectos: 1;2,3

Imagens: -1;-2;-3

A – Conjunto de Partida

B – Conjunto de chegada

f ( 2 ) = -2

f ( x ) = -x

f

38

Funções definidas por uma Tabela

Dg = {1;2,3;4}

D’g = {4;8;12;16}

Objectos: 1;2,3;4

Imagens: 4;8;12;16

Variável independente: Lado do quadrado

Variável dependente: Perímetro do quadrado

g ( 2 ) = 8

g (x) = 4x

Seja a função g definida pela tabela seguinte

Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4

Perímetro do quadrado (P) 4 8 12 16

39

Funções definidas por uma expressão analítica

Seja a função h definida pela seguinte expressão analítica

h(x) = 2x -1

• Calcular a imagem sendo dado o objecto

h(3) = 2x3 - 1 h(3) = 5

• Calcular o objecto sendo dada a imagem h(x) = 15 2x – 1 = 15 2x = 15 + 1 2x = 16 x = 8

(3;5) e (8;15) pertencem à recta que é gráfico da função h.

40

Funções definidas por um gráfico

• Variável independente: Peso• Variável dependente: Custo• j( … ) = 12• j(1) = …..• Tipo de função: Linear• Expressão analítica: j(x) = 6x

41

qualitativos

Representam a informação que não susceptível de ser medida, mas de ser classificação.

Exemplos:

- Cor dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes.

Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua.

Exemplo

quantitativos

Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período.

Exemplo

Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.

Estatística – Recolha de dados

Tipo de dados

42

Estatistica - Contagem dos dados

36

37

3839

40

Total

1

2

27

3

18

41

42

2

1

Que número calças?

37;41;38;39;42;37;

40;39;41;39;39;40;

39;39;40;39;38;36

43

Frequência absoluta (f)

Frequência relativa (fr)

Fr em percentagem

6 %11 %11 %

39 %

16 %

11 %

X 100%

1 : 18 = 0,06

2 : 18 = 0,11

2 : 18 = 0,11

7 : 18 = 0,39

3 : 18 = 0,16

1,00

3637

3839

40

Total

41

42

1

2

27

3

18

2

1

2 : 18 = 0,111 : 18 = 0,06 6 %

100 %

Estatística - Tabelas de frequências

Número do sapato

44

Estatística - Gráficos de barras

Número do sapato dos alunos de uma turma

12 2

7

32

1

0

2

4

6

8

36 37 38 39 40 41 42

nº do sapato

frequ

enc

ia a

bso

luta

45

Pictograma= 1 aluno

Estatística - Pictograma

46

Estatística - Gráficos circulares

Frequência absoluta (f)

Graus

20º40º40º

140º60º

360º

18 1360

x

36018

x 20x36

37

383940

Total

41

42

122

73

18

21

40º20º

18 2360

x

360x218

x 40x72018

x

18 7360

x

360x718

x 140x2520

18 x

18 3360

x

360x318

x 60x108018

x

47

Estatística – Medidas de tendência central

Frequência absoluta (f)

36 1

37 2

38 2

39 7

40 3

41 2

42 1

Total 18

36 1 +37 2 +38 2 +39 7 +40 3+42 1

18

X

36 +74 +76 +273 +120+82+42

18X

703

18X 39,1X

Média

A média do número do sapato dos alunos é 39,1

48

Estatística – Medidas de tendência central

Frequência absoluta (f)

36 1

37 2

38 2

39 7

40 3

41 2

42 1

Total 18

Moda - É o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos.

Neste caso a moda é 39.

Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42

(39 + 39) : 2 = 39

49

Lugares geométricosUma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são

equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência.

O círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior.

exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.

50

Lugares geométricos

Coroa circular:É o conjunto dos pontos do plano que se encontram a uma distancia maior ou igual a r1 ou menor ou igual a r2 de um ponto C.

r1

r2

Mediatriz de um segmento de recta

É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão á mesma distância dos extremos do segmento de recta [AB]

51

Lugares geométricos

Texto Lugar geométrico

«…está a uma distância de um ponto fixo…»

Circunferência

«…está a uma distância inferior de um ponto fixo…» Círculo

«…está à mesma distância…» Mediatriz

«…está mais perto…» Mediatriz

52

Lugares geométricos

Bissectriz de um ângulo A bissectriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo.

• circuncentro – Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo.

• Incentro - Ponto de intersecção das bissectrizes dos lados de um triângulo.

• Baricentro – Ponto de intersecção das medianas de um triângulo

53

Lugares geométricos no espaçoSuperfície esférica e esfera

Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica.

A esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro.

54

Lugares geométricos no espaçoPlano mediador

O plano mediador de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de recta.

O plano mediador é perpendicular ao segmento de recta e contém o ponto médio desse segmento de recta.

55

Monómios Semelhantes são os que têm a mesma parte literal.

Definições:

Num monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente e uma parte literal.

Por exemplo: 27 x y

coeficiente parte literal

Exemplos: 3 3 3 31; 7 ; e 4 .

5x x x x

Monómios Simétricos são monómios semelhantes com coeficientes simétricos.

Exemplos: 3 3 2 5 2 57 e 7 ; 3 e 3 .x x a b a b

56

Adição algébrica de monómios e polinómios

A expressão simplificada do perímetro da figura é:

3 5 1 4 3 4 4x x y xy x y

4xy5 1x

4x y

3 y

3x

4

43 435 1 4y yx x x xy

59 46y xyx 57

Nota: Só podemos somar ou subtrair monómios semelhantes, ou seja, com a mesma parte literal.

Vamos simplificar as seguintes expressões:

2 85 43x xy y a)

5 23 84y yx x

62 9yx

58

2 23 5 7x xxy xyx b)

2 23 5 7xx x y xy x 2 68x xxy

3 353

2

xx y x yx c)

3 3

23

5x x y

xx y

( 2) ( 1)

32 5

2 24

x xx y

37

24 y

xx

59

22 3

32

yxxy d)

22

33

2

yy

xx

( 1) ( 2) ( 3) ( 1)

2 236

2 32 3

x x y y

2

3

5 4

2

x y

60

2 22 2

3 3x y x y

A expressão da área do quadrado é:

Potência de um monómio

22

3x y

22

3x y

222

3x y

4 24

9x y

61

Produto de um monómio por um polinómio

x

2 3x y

(2 3)x x y 22 3x xy x

(2 3)x x y

A expressão simplificada da área do rectângulo é:

Fim 62