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Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano

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Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano

Conteúdos do 7º ano

Conteúdos do 8º ano

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Conteúdos do 8º Ano

Teorema de Pitágoras

Funções

Semelhança de triângulos

Ainda os números

Lugares geométricos

Estatística

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Conteúdos do 7º Ano

Do Espaço ao Plano

Semelhança de Figuras ( está abordado nos

conteúdos do 8º ano)

Conhecer melhor os números

Conjuntos e operações

Equações

Proporcionalidade directa

Estatística (está abordado nos conteúdos do 8º ano)

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Teorema de PitágorasTeorema:Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a

b

c

C2= a2+b2

Determinação da hipotenusa

h2 = 52 + 122

h2 = 25 + 144 h2 = 169 h = 13 cm

15 2 = c2 + 92

225 = c2 + 81 225 - 81 = c2

C2 = 144 C = 12

Determinação de um cateto

9 cm5 cm

12 cmc 15 cmh

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Semelhança de triângulos

Critérios de semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se:

Tiverem dois ângulos geometricamente iguais

Tiverem os três lados correspondentes directamente proporcionais

Tiverem dois lados directamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual

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Escola EB 2,3 Prof. Dr. Egas Moniz - Avanca

Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos

1. Determina a altura da árvore.

• Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes?

Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB.

• Determinação da altura da árvore.

5,2 = h h = 5,2 x 0,8 : 1,6

1,6 0,8

h = 5,2 x 0,8 : 1,6

h = 2,6 m

A altura da árvore é de 2,6 metros.

3,6 + 1,6 = 5,2 m

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Semelhança de triângulos

Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes

Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então:

• A razão entre os perímetros de A e B é r.

• A Razão entre as áreas de A e B é r2.

PB:PA= r

AB:AA =r2

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Funções

Definição : Uma função é uma correspondência entre A e B

Formas de definir uma função:

•Por um diagrama

•Por uma tabela

•Por uma expressão analítica

•Por um gráfico

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Funções definidas por um diagrama

Ex. Não são funçõesEx. Funções

1234

-1-2-3

1

2

-1

2

1

2

3

-1-7-2-4-3

A B

Df = {1;2,3}

D’f = {-1;-2,-3}

Objectos: 1;2,3

Imagens: -1;-2;-3

A – Conjunto de Partida

B – Conjunto de chegada

f ( 2 ) = -2

f ( x ) = -x

f

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Funções definidas por uma Tabela

Df = {1;2,3;4}

D’f = {4;8;12;16}

Objectos: 1;2,3;4

Imagens: 4;8;12;16

Variável independente: Lado do quadrado

Variável dependente: Perímetro do quadrado

f ( 2 ) = 8

f ( x ) = 4x

Seja a função f definida pela tabela seguinte

Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4

Perímetro do quadrado (P) 4 8 12 16

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Funções definidas por uma expressão analítica

Seja a função f definida pela seguinte expressão analítica

f(x ) = 2x -1

•Calcular a imagem sendo dado o objecto

f(3) = 2 x 3 -1 f(3) = 5

•Calcular o objecto sendo dada a imagem f(x) = 15 2x – 1 = 15 2x = 15 + 1 2x = 16 x = 8

(3;5) e (8;15) pertencem á recta que é gráfico da função f.

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Funções definidas por um gráfico

•Variável independente: Peso

•Variável dependente: Custo

•F( … ) = 12

•F(1) = …..

•Tipo de função: Linear

•Expressão analítica: f(x) = 6x

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Ainda os Números

oMúltiplos e divisores

oPotências

oNotação cientifica

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Múltiplos e divisores ( m.m.c)

1º processoM12 = {0;12;24;36;48;60…}

M30 = {0;30;60…}

m.m.c = {60}

Determina o m.m.c(12;30)

2º processo12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1

12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

m.m.c = 22 x 3 x5 = 60

Produto dos factores primos comuns e não comuns elevados ao maior expoente

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Múltiplos e divisores ( M.d.c)

1º processoD12 = {1;2;3;4;6;12}

D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30}

M.d.c = {6}

Determina o m.d.c(12;30)

2º processo12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1

12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

M.d.c = 2 x 3 = 6

Produto dos factores primos comuns elevados ao menor expoente

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Potências Regras operatórias das potências

•Multiplicação

•Com a mesma base

2-2 x 27 = 25

•Com o mesmo expoente

(-2)3 x (-7)3 = 143

•Divisão

•Com a mesma base

2-2 : 27 = 2-9 =

•Com o mesmo expoente

(-24)3 : (-6)3 = 43

•Potencia de potência (23)5 = 215

3)2(

•Potencia de expoente inteiro negativo 5-1 = 1 5

Potencia de expoente nulo 50 = 1

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Notação Científica Definição: Diz-se que um número está escrito em notação cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10n , com 1≤a<10

Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica

253 x 10 -3 6769800 0,0000008 76,9 x 105

Operações com números escritos em notação científica

• Multiplicação

(2,1 x 10-3) x (2 x108) = (2,1 x2) x (10-3 x 108) = 4,2 x 105

• Divisão

(8,04 x 10-7) : ( 4,02 x 105) = 2,02 x 10-12

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Lugares geométricosUma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo

chamado centro da circunferência.

O círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior.

exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.

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Lugares geométricos

Coroa circular:

É o conjunto dos pontos do plano que se encontram a uma distancia maior ou igual a r1 ou menor ou igual a r2 de um ponto C.

r1

r2

Mediatriz de um segmento de recta

É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão á mesma distância dos extremos do segmento de recta [AB]

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Lugares geométricos

Bissectriz de um ânguloBissectriz de um ângulo A bissectriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo.

•circuncentro – Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triangulo.

•Incentro - Ponto de intersecção das bissectrizes dos lados de um triangulo.

•Baricentro – Ponto de intersecção das medianas de um triângulo

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Lugares geométricos no espaçoSuperfície esférica e esfera

Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica.

A esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro.

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Lugares geométricos no espaçoPlano mediador

O plano mediador de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de recta.

O plano mediador é perpendicular ao segmento de recta e contém o ponto médio desse segmento de recta.

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Estatística

oRecolha de dados

oTabelas de frequências

oGráficos

oMedidas de tendência CENTRAL

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qualitativos

Representam a informação que não susceptível de ser medida, mas de ser classificação.

Exemplos:

-Cor dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes.

Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua.

Exemplo

quantitativos

Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período.

Exemplo

Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.

Estatística – Recolha de dados

Tipo de dados

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Estatistica - Contagem dos dados

36

37

3839

40

total

1

2

27

3

18

41

42

2

1

Que número calças?

37;41;38;39;42;37;

40;39;41;39;39;40;

39;39;40;39;38;36

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Frequência absoluta (f)

Frequência relativa (fr)

Fr em percentagem 6 %

11 %11 %

39 %

16 %

11 %

X 100%

1 : 18 = 0,06

2 : 18 = 0,11

2 : 18 = 0,11

7 : 18 = 0,39

3 : 18 = 0,16

1,00

36

37

3839

40

total

41

42

1

2

27

3

18

2

1

2 : 18 = 0,111 : 18 = 0,06 6 %

100 %

Estatística - Tabelas de frequências

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Estatística - Gráficos de barras

Número do sapato dos alunos de uma turma

12 2

7

32

1

0

2

4

6

8

36 37 38 39 40 41 42

nº do sapato

frequ

enc

ia a

bso

luta

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Pictograma= 1 aluno

Número do sapato dos alunos do 7º F

36

37

38

39

40

41

42

nº do sapato

Estatística - Pictograma

Page 29: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

Estatística - Gráficos circulares

Frequência absoluta (f)

Graus

20º

40º

40º

140º60º

360º

18 1360

x

36018

x 20x36

37

3839

40

total

41

42

1

2

27

3

18

2

1

40º

20º

18 2360

x

360x218

x 40x72018

x

18 7360

x

360x718

x 140x2520

18 x

18 3360

x

360x318

x 60x108018

x

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Estatística - Gráficos circulares

Page 31: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

Estatística – Medidas de tendência central

Frequência absoluta (f)

36 1

37 2

38 2

39 7

40 3

41 2

42 1

Total 18

36 1 +37 2 +38 2 +39 7 +40 3+42 1

18

X

36 +74 +76 +273 +120+82+42

18X

703

18X 39,1X

Média

A média do número do sapato dos alunos é 39,1

Page 32: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

Estatística – Medidas de tendência central

Frequência absoluta (f)

36 1

37 2

38 2

39 7

40 3

41 2

42 1

Total 18

Moda - É o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos.

Neste caso a moda é 39.

Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42

(39 + 39) : 2 = 39

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EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras .

3x+5=2-x+4

Sou equação

3+(5-2-4) = 3+1

Não sou equação

xxx 4322

3

1º membro 2º membro

• termos: ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x

• incógnita: x

• termos com incógnita: 3x ; - x ;

• termos independentes: -2 ; -4

x2

3

x2

3

Equações

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Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira

183 x

6 SOLUÇÃO

verdadeiraproposição1863

127 x 1520 x

5 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO

Equações equivalentes: 127 x 1520 xMesmo conjunto solução

Equações

Page 35: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

Equações sem parênteses e sem denominadores

4365 xx •Resolver uma equação é determinar a sua solução.

102 x

•efectuamos as operações.

2

10

2

2

x

•Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita.

Conjunto solução 5

5x

•Determinamos a solução.

4635 xx

•Numa equação podemos mudar mudar termos de um membrotermos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinaltroquemos o sinal

•Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes

Page 36: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES

• simplificação de expressões com parênteses:

•Sinal menos antes dos parêntesesSinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses trocando os sinais dos termos que estão dentro 53225322 xxxx

•Sinal mais antes dos parênteses:Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que estão dentro.

15231523 xxxx

•Número antes dos parênteses:Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva. 22661332 xxxx

Page 37: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

8625312 xxx

Como resolver uma equação com parênteses.

•Eliminar parênteses.8661512 xxx

•Agrupar os termos com incógnita.

8661152 xxx

•Efectuar as operações

312 x

•Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita

12

3

12

12

x

4

1x •Determinar a solução, de

forma simplificada.C.S =

4

1

Page 38: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

EQUAÇÕES COM DENOMINADORES

436 3

3

4

2

2

1 xx

•Começamos por reduzir todos os termos ao mesmo denominador.

12

412

12

6

12

6 xx

12

412

12

66 xx

•Duas fracções com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. xx 41266

•Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.

12646 xx

182 x

92

18x

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Esta fracção pode ser apresentada da seguinte forma 2

3

2

5

2

2

2

3

xx

Sinal menos antes de uma fracção

2

3523

xx •O sinal menos que se encontra antes da fracção afecta todos os termos do numerador.

1(2) (6) (3) (3)

22

18

3

21 xx

7

43

7

43437

348234

334842

xxx

xx

xx

2

18

3

21 xx

•Começamos por “desdobrar” a fracção que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!)

•Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores.

Page 40: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES

•Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores

3

12

22

13

xxx

3

1

3

2

22

3

2

3

xxx (3) (3) (3) (2) (2)

24399 xxx 29439 xxx

112 x 2

11

2

11

xx

C.S.=

2

11

Page 41: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

Proporcionalidade directaProporcionalidade directa

Dados dois números a e b (com 0b ), a razão entre a e

b representa-se por:

:a b ou a

b (ler: razão de a para b ).

Termos a antecedente

b consequente

•Razão

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GRANDEZAS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo 3

A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respectivo custo.

Número de iogurtes 1 2 3 4 ... Preço (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Observa a variação destas duas grandezas. Verificas que quanto maior é o número de

iogurtes comprados, maior é o seu custo; correspondendo ao dobro do número de iogurtes o dobro

do custo, ao triplo do número de iogurtes o triplo do custo, etc.

Número de iogurtes 1 2 3 4 ... Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Diz-se por isso, que o custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.

3

2

3

2

Page 43: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

PROPORCIONALIDADE DIRECTA E TABELAS. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE

Número de iogurtes 1 2 3 4 ... Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Na prática, como reconhecer se uma tabela traduz uma situação de proporcionalidade

directa?

Observa a tabela e completa:

0,5

1 ;

1

2 ;

1,5

3 ;

2

4 ; ...

Logo,

0,5 1 1,5 2...

1 2 3 4

Custo

Número de iogurtes =

ou seja,

o quociente entre o custo e o número de iogurtes é constante, pois é sempre igual a .

0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

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Sendo assim, diz-se que:

O custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.

Ao quociente constante chama-se constante de proporcionalidade

e representa o preço de 1 iogurte.

De um modo geral,

Se numa tabela cada valor de uma linha se obtém multiplicando (ou dividindo) o valor correspondente da outra linha sempre pelo mesmo número, então as grandezas nela representadas são directamente proporcionais.

A grandeza y é directamente proporcional à grandeza x

se existe um número k, de modo que:

y

kx

ou y kx ;

se y é zero, x também é zero.

Ao número k chama-se constante de proporcionalidade.

Page 45: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

Preço(em €)

n.º iogurtes1 2 3

O,5

1

1,5

PROPORCIONALIDADE DIRECTA E GRÁFICOS CARTESIANOS

Número de iogurtes 1 2 3 4 ... Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Exercício 1

Com base na tabela, constrói um gráfico cartesiano que relacione o preço com a quantidade

de iogurtes.

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Percentagens 5 % de 120 chocolates são _______

0,05 x 120 = 6

6 chocolates em 50 são ___% 50------- 100% x = 6 x 100 : 50

6 -------- x 150 acrescidos de 10% são ____ 150 + 10% = 150 +15 = 165

500 com um desconto de 20% ____ 500 - 20% = 500-100 = 400

Page 47: Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano.

Resolução de problemas envolvendo Percentagens

1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA.Sabendo que o IVA é 21%, quanto é o valor, em euros, do IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá?21% de 300 = 300 x 21% = 63300 + 63 = 363O preço final do sofá é 363 euros.

2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto?

Euros %56 -------------------------- 10042 --------------------------- x x = 42 x 100 : 56 = 75%100 – 75 % = 25 % O desconto foi de 25%.

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Conjuntos numéricos

IN

Q

Z

IN0

-3 -56

-12 -4

0

4

1

3

14

9

6

IN - Conjunto dos números Naturais

IN = {1;2;3;4;5;6…}

IN0 - Conjunto dos números Inteiros

IN0 ={0;1;2;3;4;5;6…}

Z - Conjunto dos números Inteiros relativos

Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}

Q- Conjunto dos números racionais

Q = z U { números fraccionários}

Completa com os simbolos ; ; ; -1 ….. N 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… N 3 …… N 4 …… Z- N…… Z 2,3 …… Q