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O que é Estatística, afinal de contas?

Estatística é o ramo da Matemática que estuda métodos para:

Coletar, Organizar, Apresentar e Analisar dados.

Com o objetivo de desenvolver ferramentas que auxiliem a tomada de decisões.

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Os dados podem ter duas formas:

1. Categorias

Ordinais ou Nominais

2. Numéricos

Discretos ou Contínuos

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Dados Bruto Rol Amplitude Total Base de Dados é uma coleção de observações Observações é um conjunto de valores de um mesmo

indivíduo ou objeto. Variável é uma seqüência de medidas de uma mesma

característica. Dados é o valor assumido da variável de uma

observação.

Conceitos

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População é o conjunto formado por indivíduos ou objetos que tem pelo menos uma variável comum e observável.

Amostra é qualquer subconjunto de uma população

Conceitos

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Formas de Representação de Dados

Os dados coletados em uma pesquisa podem ser representados por meio de:

Tabelas (normalmente banco de dados)

Gráficos

Ex.: Gráficos de Barras, Pizza, Diagrama de Pareto, etc...

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Tabelas

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Portifólio de Investimentos

0 10 20 30 40 50 60

Poupança

CDB

Títulos

Ações

Gráficos de Barras

8

Poupança; 45

CDB; 35

Títulos; 50

Ações; 20

Poupança

CDB

Títulos

Ações

Gráficos de Setores

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Organização de Dados Numéricos

Dados Numéricos

Diagramas de folhas

Ordenados

Distribuições

Polígonos

Tabelas

Histogramas

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Distribuição de Frequências

Forma de representar dados ou categorias a partir das quantidades de cada uma das suas classes

Tabelas de distribuição acumulada

Histogramas

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Distribuição de Frequências

12

Distribuição de Frequências

13

Frequência Cumulativa

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Medidas de Posição

As medidas de Posição (ou de Tendência Central) são medidas que procuram representar, quando organizados em ordem crescente (ou decrescente) os termos centrais de uma amostra.

As principais medidas de posição são: Média Aritmética Mediana Moda

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Média Aritmética

Considere um conjunto de dados (x1, x2, x3, ..., xi, ..., xn) a média aritmética entre esses números é dada por)x(

n

x...x...xxx ni21

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Mediana

Considere um conjunto com n números organizado em ordem crescente (ou decrescente) a mediana desse conjunto é

Se n é ímpar então a mediana éSe n é par então a mediana é

2

1nx

2

xx1

2

n

2

n

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Moda

Considere um conjunto com n números, dizemos que a moda é o número mais frequente.

Observações: (1) Podemos ter mais de uma moda.(2) Podemos não ter moda.

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Medidas de Dispersão

Medidas de dispersão objetivam mensurar a regularidade de um conjunto de números.

Algumas Medidas de Dispersão

• Amplitude

• Desvio Médio Absoluto

• Variância

• Desvio Padrão

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Amplitude

É a diferença entre o maior número e o menor número do conjunto.

Vantagens X Desvantagens

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Desvio Absoluto

Considere um conjunto de dados (x1, x2, x3, ..., xi, ..., xn) com média o desvio médio absoluto será dado porx

n

xx...xx...xxxxd ni21

21

Variância

Considere um conjunto de dados (x1, x2, x3, ..., xi, ..., xn) com média a variância será dado porx

n

)xx(...)xx(...)xx()xx( 2n

2i

22

212

22

Desvio Padrão

Considere um conjunto de dados (x1, x2, x3, ..., xi, ..., xn) com média o desvio padrão será dado porx

n

)xx(...)xx(...)xx()xx( 2n

2i

22

21

23

Distribuições Discretas

São exemplos de distribuições discretas

Distribuição Uniforme

Distribuição Binomial

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Distribuições Contínuas

São exemplos de distribuições discretas

Distribuição Uniforme

Distribuição Normal

Distribuição Exponencial

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Valor Esperado e Variância de uma Distribuição

Valor esperado de uma distribuição

Variância de uma distribuição

)x(xp)x(E

)x(p)]X(EX[)x(V 2

22 )]x(p)X(E[)x(pX)x(V22 )]X(E[)X(E)x(V

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Distribuição Binomial

Se p é a probabilidade de um evento acontecer em uma únicatentativa ( sucesso ) e q = 1 – p é a de que o evento não ocorra( insucesso ), então a probabilidade do evento ocorrer exatamenteX vezes, em N tentativas é dado por:

Média = µ = npVariância = σ2 =npqDesvio padrão = σ =

knkqpk

n)kX(P

n...,,3,2,1,0k

Npq

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Distribuição Normal

Distribuição de probabilidade contínua cuja função é

Com média µ e desvio padrão σ.

2

2

2

)x(

e2

1)x(f

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Gráfico da Distribuição Normal

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Conceito

Amostragem é o processo de seleção de um conjunto de indivíduos pertencente a uma população, de modo que as características dessa população possa ser estudada através dessa seleção.Uma amostra pode ser selecionada com reposição ou sem reposição.

30

Conceito

População e Amostra

Qualquer conjunto de elementos ou indivíduos apresentando uma característica comum, toma o nome de população.

Fixada uma população, qualquer conjunto constituído unicamente por elementos dessa população é denominada amostra dessa população.

31

Conceito

Sendo

• N número de elementos na população• n número de elementos na amostra.

O número de amostras, com reposição, de tamanho n que podemos obter de uma população de N n elementos é Nn.

O número de amostras, sem reposição, de tamanho n que podemos obter de uma população de elementos é

)!nN(!n

!N

n

N

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Vantagens de Censos

Estudo de populações muito pequenas

Informações requeridas para pequenas áreas geográficas ou classificações muito detalhadas

Permite construção de cadastros

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Vantagens da Amostragem

Custo menor

Velocidade maior

Tempo menor

Precisão controlada

Redução da carga de coleta sobre unidades da população

Necessidades especializadas

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Obtenção de uma Amostra

Os passos principais para a obtenção de uma amostra são

• Definição de OBJETIVOS e RECURSOS

• Obtenção do CADASTRO

• Planejamento e SELEÇÃO da amostra

• ESTIMAÇÃO das quantidades de interesse

• AVALIAÇÃO da qualidade das estimativas

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Tipos de Amostras

As amostras podem ser probabilísticas ou não probabilísticas

Dentre as amostras probabilísticas podemos ter

Aleatórias

Sistemáticas

Estratificadas

Conglomeradas (Clusters)

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Amostra Aleatória simples

Uma amostra de uma população é denominada aleatória simples quando é escolhida ao acaso (sem a adoção de nenhum critério prévio) dentro da população.

Essa seleção pode ocorrer com ou sem reposição do elemento.

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Amostras Sistemáticas

Uma amostra de uma população é denominada sistemática quando dividimos a população em subconjuntos e dentro de cada subconjunto os elementos são escolhidos ao acaso.

Note que essa forma de obter amostras é similar à aleatória simples.

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Amostras Extratificadas

Uma amostra de uma população é denominada estratificada quando dividimos a população em subconjuntos, porém agora seguindo algum critério e, dentro de cada subconjunto os elementos são escolhidos ao acaso.

Note que essa forma de obter amostras difere da sistemática por existir um critério para a divisão da população.

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Amostras Cluster

Uma amostra de uma população é denominada estratificada quando dividimos a população em subconjuntos, porém agora seguindo diversos critérios e, dentro de cada subconjunto os elementos são escolhidos ao acaso.

Note que essa forma de obter amostras difere da estratificada por existirem diversos critérios para a mesma divisão da população.

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Inferência Estatística

Consiste no estudo do comportamento da população e suas características, através de amostras extraídas dessa população.

Tais amostras devem ser relacionadas de modo a preservar as mesmas características e comportamento da população.

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Estimação

Processo de generalizar a informação da amostra para a população da qual foi tirada

Estimador é a expressão matemática do processo de cálculo das estimativas

Estimativa é o valor de um estimador calculado com a amostra observada para estimar a quantidade populacional de interesse

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Distribuição por Amostragem

Considere-se uma amostra aleatória simples de tamanho n: X1, X2, ..., Xn proveniente de uma população definida pela variável aleatória X, com função de distribuição F(X).

Chama-se estatística dessa amostra a qualquer funçãog(X1, X2, ..., Xn ), dos seus valores X1, X2, ..., Xn.

Quando se consideram todas as realizações da amostra, os valores das estatísticas mencionadas definem uma distribuição de probabilidade que coincide com aquela da variável aleatória g(X1, X2, ..., Xn), que se denomina distribuição por amostragem da característica g(X1, X2, ..., Xn).

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Distribuição por Amostragem

Seja uma amostra de um universo X com média µ e variância σ2.

Seja a média amostral de uma amostra aleatória detamanho n, então:

X

)n

;(NX2

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Teste de Hipótese

Teste de Hipótese é um conjuntos de procedimentos que permitemverificar a validade ou não de uma suposição sobre uma população.

A base para essa verificação são as informações fornecidas por uma amostra aleatória.

Formulada uma hipótese sobre a população são obtidas as informações através de uma amostra aleatória.

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Hipóteses

Hipótese Básica ou hipótese nula é a hipótese aser validada pelo teste – H0

Hipótese alternativa é a hipótese contraria ahipótese nula – H1

Erro do primeiro tipo : Rejeitar a hipótese nulaquando ela for verdadeira.

Erro do segundo tipo : Aceita a hipótese nulaquando ela for falsa.

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Hipóteses

O nível de significância: é a probabilidade do erro do primeiro tipoP(aceita H1/H0 verdadeiro ) = α

Grau de confiança do teste: é a probabilidade de aceitar a hipótese nula, quando ela for verdadeira P(H0/H0)= 1 α

Probabilidade de ocorrência do erro do segundo tipo: é a probabilidade de aceitar a hipótese nula quando ela for falsa P(H0/H1) = β

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Avaliações

Decisão H0:verdadeira H0:falsa

Aceitar H0 Decisão correta

P(H0/H0)=1α

Erro tipo IIP(H0/H0)=β

Rejeitar H0 Erro tipo IP(H0/H0)=α

Decisão corretaP(H0/H0)=1 β

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Testes paramétricos

Teste de média.

H0) µ = µ0

H1) µ µ0

O estimador ótimo do parâmetro θ da população, no caso µ, permitirá medir a divergência entre as informações da amostra e o verdadeiro valor do parâmetro do universo.O estimador ótimo de µ é

)n

;(NX

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Critérios de Decisão

Realizada a amostra de tamanho n, calculamos que é o valor observado de

Se L1 < < L2 Aceita-se H⇒ 0, com um nível designificância α.Se [ L1 ; L2 ] Rejeita-se H0⇒

xX

x

x

50

Testes Paramétricos

Teste de média.

H0) µ = µ0

H1) µ < µ0

Se > L Aceita-se H⇒ 0 , com um nível de significância α.Se < L Rejeita-se H0⇒

xx

51

Testes Paramétricos

Teste de média.

H0) µ = µ0

H1) µ > µ0

Se < L Aceita-se H⇒ 0 , com um nível de significância α.Se > L Rejeita-se H0⇒

xx

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Coeficiente de Correlação

Mede o Grau de relação linear entre variáveis

, em que e

Com

22 yx

xyr XXx

YYy

1r1

2222 )y(yn)x(xn

)y)(x(xynr

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Análise de Regressão

Estuda a relação entre duas ou mais variáveis.É sempre interessante conhecer os efeitos que algumas variáveis exercem, ou parecem exercer, sobre outras.

Genericamente, tais relações podem ser representadas por Y = f(X1, X2, ..., Xn)

Y representa a variável dependente ou respostaXi representam as variáveis independentes ou explicativas

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Modelo Matemático

Sejam duas variáveis X e Y relacionadas por uma função matemática Y = f (X).

Dado um conjunto de valores X e os correspondentes Xi valores de Yi = f(Xi).

Se colocarmos os pontos Pi(Xi, Yi) em um gráfico, verificamos que eles pertencem à curva que relaciona as duas variáveis.

A isto chamamos de Modelo Matemático

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Modelo Estatístico

Dado um conjunto de pares de valores (Xi, Yi).

Quando marcamos os pontos em um gráfico, obtemos não uma curva, mas uma “Nuvem”de pontos

Chamamos a isto de Modelo Estatístico

Representamos por Yi= f(Xi) + ei

ei é denominado erro estocástico

Erros de mensuração da variável dependente

Influência de outros fatores além dos considerados no modelo adotado.

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Regressão Linear

Se admitirmos que Y é função linear de X, então

Yi = a + bXi + ei

a: coeficiente linear da retab: coeficiente angular da reta

ii XbaY

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Estimativa dos Parâmetros

Para cada par de valores o desvio é dado por

)Xba(YYYd iiiii

MMQ para estimar parâmetros. Queremos minimizar a soma dos quadrados dos desvios, isto é,

n

1i

2ii

n

1i

2i )]Xba(Y[dZ

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Calculando as derivadas parciais de Z com relação a X e Y e igualando-as a zeros obtemos o sistema

2XbXaXY

XbanY

Resolvendo esse sistema obteremos as estimativas dos parâmetros.