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ESTATÍSTICA
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ESTATÍSTICA
UD I :ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Ass 03: Índices Calcados em Momentos Estatísticos
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OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Calcular Média;
Calcular Variância;
Calcular Desvio Padrão;
Calcular Assimetria;
Esboçar graficamente o grau de assimetria;
Utilizar-se de dados estatísticos na tomada de decisão.
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SUMÁRIO1 - Medidas dos Fenômenos
2 - Medidas de Posição:
Média Aritmética
3 - Medida de Dispersão:
Variância e Desvio Padrão
4 - Medida de Assimetria:Coeficiente de Assimetria
3
5 - Usando o Excel
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1 - Medidas dos Fenômenos
São NÚMEROS capazes de descrever resumidamente o fenômeno.
MEDIDAS
dos
FENÔMENOS
• de Posição
• de Dispersão
• de Assimetria
• de Curtose
Medem
localização e
variabilidade
Medem
forma
6
SUMÁRIO1 - Medidas dos Fenômenos
2 - Medidas de Posição:
Média Aritmética
3 - Medida de Dispersão:
Variância e Desvio Padrão
4 - Medida de Assimetria:Coeficiente de Assimetria
3
5 - Usando o Excel
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2 - Medidas de PosiçãoSão medidas usadas para relacionar o
fenômeno com o eixo xx.
As medidas de posição chamadas de “medidas de tendência central”, são as usadas para CARACTERIZAR o conjunto de dados.
Medidas de
Tendência Central
Média
Mediana
ModaUDI/04
8
2 - Medidas de Posição: Média
É o CENTRO de GRAVIDADE do
fenômeno.
Ex: A minha turma tem altura média de 176 cm. A sua tem altura média maior ou menor?
Usada para dar uma idéia da ordem de
grandeza do fenômeno.
9
5
{3, 4, 5, 8}
Média () = 5
MÉDIA
Centro de Gravidade
do fenômeno
3 4 8
10
5
{3, 4, 5, 8}
Média () = 5
3 4 8
6
4
3
3
48
85
5
11
Exemplo Prático de Cálculo da Média
48kg
52 kg
68
kg
64 kg
62
kg
70
kg
168 cm
169cm
172cm
176cm
178cm
179cm
Qual a altura e o peso médio de 6 indivíduos com as seguintes medidas:
6
179 178 176 172 169 168
a) Altura média
b) Peso médio
= 173,6667 cm
6
70 62 64 68 52 48
= 60,6667 kg
A média é um
valor virtual
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Interpretação da Média
48 kg
52 kg
68 kg
64
kg
62
kg
70
kg
168 cm
169cm
172cm
176cm
178cm
179cm
60,6667 kg
6173,6667 cm
X
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Interpretação da Média
48 kg
52 kg
68
kg
64 kg
62
kg
70
kg
364 Kg
6 x 60,6667 kg
Obs.: alturas = 1042 cm = 6 x 173,6667 cm
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Média de Dados Organizados em DF
Notas Fi xi Fixi
0 | 5 12 2,5 30
5 | 6 2 5,5 11
6 | 8 20 7 140
8 | 10 6 9 54
40 - 235
Notas Fi xi Fixi
0 | 5 12 2,5 30
5 | 6 2 5,5 11
6 | 8 20 7 140
8 | 10 6 9 54
40 - 235
Notas Fi xi Fixi
0 | 5 12 2,5 30
5 | 6 2 5,5 11
6 | 8 20 7 140
8 | 10 6 9 54
40 - 2352,5 5,5 7 9
12
2
20
6
5,875
40
5,875 40
235
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Formulação para a Média
DDDaaadddooosss PPooppuullaaççããoo AAmmoossttrraa
NNNãããoooaaagggrrruuupppaaadddooosss
AAAgggrrruuupppaaadddooossseeemmm DDDFFF
n
X i
n
X X i
xf F
xF ii
i
ii
xf F
xF x ii
i
ii
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SUMÁRIO1 - Medidas dos Fenômenos
2 - Medidas de Posição:
Média Aritmética
3 - Medida de Dispersão:
Variância e Desvio Padrão
4 - Medida de Assimetria:Coeficiente de Assimetria
3
5 - Usando o Excel
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3 - Medidas de DispersãoSó a média é pouco para caracterizar
um fenômeno. Conjuntos de dados podem ser muito diferentes e terem mesma média.
= 6
2 4 8 10
4 6 8
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3 - Medidas de Dispersão
2 4 8 10
4 6 8
Para conhecer melhor o fenômeno é preciso saber como os dados se distribuem, ou se DISPERSAMDISPERSAM, em relação à média.
Menor dispersão
Maior dispersão
192 4 8 10
4 6 8
Afastamentos em relação à média:
-2 2
-2 2
-4 4
afastamento
-2 + 2 = 0
-4 + -2 + 2 + 4 = 0
afastamento
Propriedade
da média
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Variância (2, s2) e Desvio Padrão (, s)
Variância:Variância: é a média dos quadrados dos afastamentos em relação à média.
para tirar o sinal negativo
para obter um valor médio
n
- X i
2
2
Desvio padrão: Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância.
para obter um valor na mesma unidade do fenômeno (Ex. kg)
n
- X i
2
21
Variância e Desvio Padrão - Exemplos
3
6 - 8 6 - 6 6- 2
2224
2 = 2,6667m2
= 1,6330 m 4 6 8 m
4
6 - 10 6 - 8 6 - 4 6- 2
22222
2 = 10 m2
= 3,1623 m2 4 8 10 m
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Dispersão de Dados Organizados em DF
5,875 40
235
5,5219 40
220,8751 2
2,3499 5,5219
Notas Fi xi Fixi (xi -) Fi(xi -)2
0 | 5 12 2,5 30 -3,3750 136,6875
5 | 6 2 5,5 11 -0,3750 0,2813
6 | 8 20 7 140 1,1250 25,3125
8 | 10 6 9 54 3,1250 58,5938
40 - 235 - 220,8751
Notas Fi xi Fixi (xi -) Fi(xi -)2
0 | 5 12 2,5 30 -3,3750 136,6875
5 | 6 2 5,5 11 -0,3750 0,2813
6 | 8 20 7 140 1,1250 25,3125
8 | 10 6 9 54 3,1250 58,5938
40 - 235 - 220,8751
Notas Fi xi Fixi (xi -) Fi(xi -)2
0 | 5 12 2,5 30 -3,3750 136,6875
5 | 6 2 5,5 11 -0,3750 0,2813
6 | 8 20 7 140 1,1250 25,3125
8 | 10 6 9 54 3,1250 58,5938
40 - 235 - 220,8751
Notas Fi xi Fixi (xi -) Fi(xi -)2
0 | 5 12 2,5 30 -3,3750 136,6875
5 | 6 2 5,5 11 -0,3750 0,2813
6 | 8 20 7 140 1,1250 25,3125
8 | 10 6 9 54 3,1250 58,5938
40 - 235 - 220,8751
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Fórmulas para a Variância e Desvio Padrão
MMMeeedddiiidddaaa===>>> VVaarriiâânncciiaa DDeessvviioo PPaaddrrããoo
PPPooopppuuulllaaaçççãããooo
AAAmmmooossstttrrraaa
ppp///DDDFFF***
n
- X i
2
2
n
- X i
2
1 - n
X - X s i
22
1 - n
X - X s i
2
n
- xF ii
2
2
n
- xF
2ii
* população (se amostra adaptar com o n-1)
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SUMÁRIO1 - Medidas dos Fenômenos
2 - Medidas de Posição:
Média Aritmética
3 - Medida de Dispersão:
Variância e Desvio Padrão
4 - Medida de Assimetria:Coeficiente de Assimetria
3
5 - Usando o Excel
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4 - Medida de Assimetria
Um fenômeno é chamado de simétrico se as observações eqüidistantes da média tiverem a mesma freqüência.
Eixo vertical que passa pela média e divide o gráfico do fenômeno em duas partes idênticas ao serem sobrepostas.
SIMETRIA
Eixo de simetria
26
SI
MÉTRICOS
CurvaNormal
CurvaNormal
27
ASSIMÉTRICOS
28
4 - Medida de Assimetria
Nem sempre pode ser percebida
visualmente e para ser MEDIDA temos
necessidade de obter um valor numérico.
ASSIMETRIA
É o grau de afastamento da simetria.
Como constatar a assimetria ?
Coeficiente de Assimetria 3
- Xn
1
i
33
3 3
3
Usado como medida de assimetria, permite classificar a curva do fenômeno em simétrica ou assimétrica.
Fórmula Geral (p/população):
Coeficiente de Assimetria 3
CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO
ASSIMÉTRICA POSITIVA
3 0
SIMÉTRICA
3 = 0
ASSIMÉTRICA NEGATIVA
3 < 0
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Exemplo1: Classifique X = { 4,5,5,6,7,7,8 } quanto à assimetria.
Solução:
Média = 6
= 1,3093
- Xn
1
i
33
3 3
3
3
33333
33093,1
6 - 8 6 - 7 x 2 6 - 6 6 - 5 x 2 6 - 471
3 = 0 Simétrica
32
X = { 4,5,5,6,7,7,8 }
3 = 0 Simétrica
1 1
2
1
2
0
1
2
4 5 6 7 8
Constatação Gráfica
Exemplo 2: Classifique o fenômeno a seguir quanto à assimetria.
média = 4,35 ; = 2,4244
40
221,43 3
33
3
,53585 3
4244,2
5358,5
3 3
Ass. Positiva
3 = 0,3885
Notas Fi xi (xi -) Fi(xi -)3
0 | 2 7 1 -3,35 -263,1676
2 | 4 13 3 -1,35 -31,9849
4 | 6 10 5 0,65 2,7463
6 | 8 6 7 2,65 111,6578
8 | 10 4 9 4,65 402,1785
40 - 221,4300
Notas Fi xi (xi -) Fi(xi -)3
0 | 2 7 1 -3,35 -263,1676
2 | 4 13 3 -1,35 -31,9849
4 | 6 10 5 0,65 2,7463
6 | 8 6 7 2,65 111,6578
8 | 10 4 9 4,65 402,1785
40 - 221,4300
Notas Fi xi (xi -) Fi(xi -)3
0 | 2 7 1 -3,35 -263,1676
2 | 4 13 3 -1,35 -31,9849
4 | 6 10 5 0,65 2,7463
6 | 8 6 7 2,65 111,6578
8 | 10 4 9 4,65 402,1785
40 - 221,4300
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Gráfico da DF
7
13
10
6
4
0
2
4
6
8
10
12
14
0 |--- 2 2 |--- 4 4 |--- 6 6 |--- 8 8 |--- 10
3 = 0,3885 AssimétricaPositiva
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DDaaddooss PPooppuullaaççããoo AAmmoossttrraa
IIIsssooolllaaadddooosss
DDDFFF
3
3
- Xn
1
i
33
3
3
3
s
X - Xn
1
s
i
33
3
3
3
- xFn
1
ii
33
3
3
3
s
x - xFn
1
s
ii
33
3
Coeficiente de Assimetria 3
Fórmulas
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SUMÁRIO1 - Medidas dos Fenômenos
2 - Medidas de Posição:
Média Aritmética
3 - Medida de Dispersão:
Variância e Desvio Padrão
4 - Medida de Assimetria:Coeficiente de Assimetria
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5 - Usando o Excel
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FFUUNNÇÇÃÃOO OO QQUUEE FFAAZZ
MMÉÉDDIIAACalcula a média de umconjunto de dados.
DDEESSVVPPAADDPPCalcula o desvio padrão deuma POPULAÇÃO.
DDEESSVVPPAADDCalcula o desvio padrão deuma AMOSTRA.
USANDO O EXCEL
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FFUUNNÇÇÃÃOO OO QQUUEE FFAAZZ
VVAARRPPCalcula a variância de umaPOPULAÇÃO.
VVAARRCalcula a variância de umaAMOSTRA.
DDIISSTTOORRÇÇÃÃOOCalcula grau de assimetria,mas não é o 3.
USANDO O EXCEL
39
PRATIQUE COM OS
EXERCÍCIOS DA
APOSTILA.
BOA SORTE!