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Cálculo Numérico

Profª. Dra. Tina AndreollaEmail: tina@utfpr.edu.brhttp://proftina.pbwiki.com

Introdução

UTFPR

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O que é o Cálculo Numérico ?

O que é o Cálculo Numérico ?

Cálculo Numérico – Introdução

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O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada.

Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

Cálculo Numérico – Introdução

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Exemplo:

Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e um resistor.

0 iRVR

Vi Solução exataSolução exata

Introdução de um diodo no circuito:

1ln

sI

i

q

kTiv 01ln

sI

i

q

kTiRV

Solução utilizando métodos numéricosSolução utilizando

métodos numéricos

VR

i

VR

Di

Cálculo Numérico – Introdução

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1. Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema.

Exemplo: solução de sistemas de equações lineares.

Cálculo Numérico – Introdução

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2. A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente).

Exemplos:

a) não tem primitiva em forma simples;

b) não pode ser resolvido analiticamente;

c) equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos

particulares.

dxex2

22 tyy

Cálculo Numérico – Introdução

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Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas.

Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição.

Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio.

Cálculo Numérico – Introdução

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Função do Cálculo Numérico na Engenharia

“Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos

modelo matemático”

Cálculo Numérico – Introdução

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Passos para a resolução de problemas

Cálculo Numérico – Introdução

PROBLEMAPROBLEMA

MODELAGEMMODELAGEM

REFINAMENTOREFINAMENTO RESULTADO DECIÊNCIAS AFINSRESULTADO DECIÊNCIAS AFINS

MENSURAÇÃOMENSURAÇÃO

ESCOLHADE MÉTODOS

ESCOLHADE MÉTODOS

ESCOLHADE PARÂMETROS

ESCOLHADE PARÂMETROS

TRUNCAMENTODAS ITERAÇÕESTRUNCAMENTODAS ITERAÇÕES

RESULTADORESULTADONUMÉRICONUMÉRICO

RESULTADORESULTADONUMÉRICONUMÉRICO

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Fluxograma – Solução Numérica

PROBLEMA

MODELO MATEMÁTIC

O

SOLUÇÃOmodelage

mresoluçã

o

PROBLEMA

ESCOLHA DO MÉTODO

NUMÉRICO

IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONA

LCONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

LEVANTAMENTO DE DADOS

ANÁLISE DOS RESULTADOS

VERIFICAÇÃVERIFICAÇÃOO

Cálculo Numérico – Introdução

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Influência dos Erros nas Soluções

Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)

28 mortos, 98 feridos

Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

Limitação na representação numérica (24 bits)

Cálculo Numérico – Introdução

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Influência dos Erros nas Soluções

Exemplo 2: Explosão de foguetes(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)

Erro de trajetória 36,7 sapós o lançamento

Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)

Prejuízo: U$ 7,5 bilhões

Cálculo Numérico – Introdução

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Aplicações de cálculo numérico na engenharia.

Determinação de raízes de equações Interpolação de valores tabelados Integração numérica, entre outros.

Cálculo Numérico – Introdução

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Cálculo Numérico – Plano de Ensino

Objetivos Ementa Metodologia, Técnicas de Ensino Recursos Didáticos Avaliação Bibliografia

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Fornecer condições para que os alunos possam conhecer, calcular, utilizar e aplicar métodos numéricos na solução de problemas de engenharia.

Estudar a construção de métodos numéricos, analisar em que condições se pode ter a garantia de que os resultados computados estão próximos dos exatos, baseados nos conhecimentos sobre os métodos.

Cálculo Numérico – Objetivos do Curso

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Visão de Engenharia x de Matemática/Computação

Conceitos e entendimentos básicos de CN Exemplos de custos de “erros numéricos” nas

engenharias Incrementação do perfil profissional

Noções de precisão e eficiência nas soluções

Introdução dos métodos tradicionais

Aplicação de ferramentas disponíveis

O que a disciplina vai oferecer?

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Cálculo Numérico – Ementa

1. Noções básicas sobre erros. 2. Zeros reais de funções reais.3. Resolução de sistemas de

equações lineares.4. Interpolação. 5. Ajuste de curvas.6. Integração Numérica.7. Solução numérica de equações

diferenciais ordinárias.

18Metodologia & Técnicas de Ensino

Aulas Expositivas;

Aulas Práticas em Laboratório;

Atividades individuais e em grupo.

19Cálculo Numérico – Recursos Didáticos

Quadro;

Data show;

Laboratório de Informática;

Programas de Simulação (Matlab, Mapple,

Mathematica).

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Cálculo Numérico – Avaliação

Contínua, mediante avaliações individuais e trabalhos em laboratório;

Trabalhos interativos de pesquisa extra-classe individual e em grupo;

Avaliações em sala, individual e em grupo.

Listas de exercícios.

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Cálculo Numérico – Bibliografia

RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R.   Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2.ed.   São Paulo, Makron, 1997.

HATTORI, M. T. H. & QUEIROZ, B. C. N. Métodos e Software Numéricos. Departamento de Sistemas e Computação, Universidade Federal de campina Grande, Campina Grande, 1995.

BARROSO, L. C., BARROSO, M. A., CAMPOS, F. F., CARVALHO, M. L. B. & MAIA, M. L. Cálculo Numérico (Com Aplicações), 2.ed. São Paulo, Editora Arbra, 1987.

CHAPA, S. C. & CANALE, R. P. Numerical Methods for Engineers, McGraw-Hill, 1990.

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Plano de Ensino

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Dinâmica 1:Potencial Comunicativo

Dinâmica 1:Potencial Comunicativo

Vias de comunicação; Objetivos; Determinação da População; Amostra; Coleta dos dados; Tratamento dos dados; Apuração dos dados; Interpretação dos resultados; Apresentação dos resultados;

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POTENCIAL COMUNICATIVO

Escolha 20 palavras na lista abaixo que, por qualquer razão, mais o impressionam ou se destacam na sua percepção:

01 TROVEJAR 23 TIMBRE 45 AROMA

02 RETRATO 24 FOCALIZAR 46 RITMO

03 MORDIDA 25 PERFUME 47 ÚMIDO

04 DESAFINADO 26 OFUSCAR 48 RETÓRICA

05 AURÉOLA 27 BARULHO 49 GORJEIO

06 MEXER 28 PANORAMA 50 ÁSPERO

07 EMOÇÃO 29 ELOQUÊNCIA 51 PÁLIDO

08 TROMBETA 30 PERISCÓPIO 52 VOZERIO

09 APARÊNCIA 31 ASSOBIO 53 VELUDO

10 MIRAGEM 32 COLORIR 54 CLARIDADE

11 GRUNHIDO 33 CAMPAINHA 55 OBSERVAR

12 VENTANIA 34 MERGULHAR 56 SILÊNCIO

13 CONFORTO 35 DISCURSO 57 ARRANCAR

14 AUDIÊNCIA 36 QUEIMADA 58 BRILHANTE

15 DESBOTADO 37 MURMURAR 59 ORQUESTRA

16 COCEIRA 38 SABOROSO 60 PAISAGEM

17 RUBORIZAR 39 GESTICULAR 61 TEXTURA

18 PALPÁVEL 40 ESPINHO 62 ACÚSTICO

19 ILUMINAÇÃO 41 ESTAMPA 63 SEGURAR

20 DOÇURA 42 SENSAÇÃO 64 ESPELHO

21 ECO 43 SOTAQUE 65 SINFONIA

22 TRANSPARECER 44 VISUALIZAÇÃO 66 CENÁRIO

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Transfira suas respostas para o quadro a seguir, marcando somente os números das palavras que você escolheu e depois anotando abaixo, na linha dos totais, quantas palavras foram marcadas em grupo A, B ou C.

Coluna A Coluna B Coluna C

2 5 1 4 3 6

9 10 8 11 7 12

15 17 14 21 13 16

19 22 23 27 18 20

24 26 29 31 25 34

28 30 33 35 36 38

32 41 37 43 39 40

44 51 46 48 42 45

54 55 49 52 47 50

58 60 56 59 53 57

64 66 62 65 61 63

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Multiplique por cinco o total obtido em cada colunaColuna A = ____________ x 5 = _______(Visual) visãoColuna B = ____________ x 5 = _______(Auditivo) audiçãoColuna C = ____________ x 5 = _______(Cinestésico) sensação

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

Coluna A Coluna B Coluna C