Post on 18-Feb-2015
Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
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Eletromagnetismo
Resolução Exercícios Propostos
Exercício 1: Mostrar que 0=⋅∇ Err
para qualquer campo de uma linha unifor-
memente carregada. Analisar.
Resolução:
ρρεπ
ρaE l rr
...2 0
=
0...2
.1
0
=
∂∂
=⋅∇ρεπ
ρρ
ρρlE
rr
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Eletromagnetismo
Exercício 2: Mostrar que o campo Dr
devido a uma carga pontual tem diver-
gência nula.
Resolução:
rarQD rr
2..4π=
Para r > 0: 0..4
.12
22 =
∂∂
=⋅∇rQr
rrD
π
rr
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Eletromagnetismo
Exercício 3: Dado zazD rr..0ρ= para a região definida por 11 ≤≤− z (coordena-
das cartesianas) e zazzD rr .0ρ= para os demais pontos do espaço, pede-se a
densidade de cargas em todos os pontos. Analisar os resultados obtidos.
Devemos calcular VD ρ=⋅∇rr
para três regiões:
Para 11 ≤≤− z : ( ) 00 . ρρρ =∂∂
= zzV
Para 1−<z e 1>z : ( ) 00 =∂∂
= ρρ mzV
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Eletromagnetismo
Exercício 4: Dado xaxD rr
3.10 3
= ( )2mC , pede-se calcular ambos os lados do
Teorema da Divergência para o volume de um cubo, com 2m de aresta, cen-
trado na origem e com os lados paralelos aos eixos. Analisar fisicamente os
resultados obtidos.
43421
rr
43421
rr
II
vol
I
S
dVDSdD ∫∫ ⋅∇=⋅ .
Notar que SdDrr
⋅ é zero em todas as faces, exceto para x = 1m e x = -1m,
ou seja:
(I): ( ) ( ) ( ) ( )3
80340
340...
31.10...
31.10 1
1
1
1
31
1
1
1
3
=+=−−
+=⋅ ∫ ∫∫ ∫∫− −− −
43421rr
43421rrrr
rrSdSdS
xadzdyxaxadzdyxaSdD (C)
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Eletromagnetismo
(II): 23
.103.10 xx
xD =
∂∂
=⋅∇rr
( )2mC
( ) ( )3
80..3.10....10.
1
1
1
1
1
1
31
1
1
1
1
1
2 =
==⋅∇ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫
− − −− − −
dzdyxdzdydxxdVDvol
rr (C)
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Eletromagnetismo
Exercício 5: Dado zazaeD rrr..2.30 −= −
ρρ , em coordenadas cilíndricas, calcular
ambos os lados do Teorema da Divergência para o volume limitado por 2=ρ ,
z = 0 e z = 5m. Analisar os resultados obtidos.
43421
rr
43421
rr
II
vol
I
S
dVDSdD ∫∫ ⋅∇=⋅ .
(I): Só interessa-nos a tampa superior (z = 5m) e a lateral, ou seja:
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ −+=⋅ −ππ
ρρ φρρφ2
0
2
0
5
0
2
0
2 .....5.2...2..30 zaddzaadzdaeSdDS
rrrrrr
( ) ( )( ) 4,1292..2.105..2..60 2 =−=⋅ −∫ ππeSdDS
rr (C)
(II): ( ) ( ) 2.30.30.2.30.1−−=−
∂∂
+∂∂
=⋅∇ −−
− ρρ
ρ
ρρ
ρρeez
zeD
rr ( )2m
C
4,129....2.30.30.5
0
2
0
2
0
=
−−= ∫ ∫ ∫∫ −
−πρ
ρ
φρρρ
dzddeedVDdivvol
r (C)
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Eletromagnetismo
Exercícios Resolvidos
Exercício 1: Uma carga de 12nC está na origem. Quatro distribuições lineares
estão localizadas no plano x = 0 como segue: 80 mnC em y = -1 e -5m, -50
mnC em y = -2 e -4m. Pede-se:
a) Dr
em P (0, -3, 2);
b) O fluxo que atravessa o plano y = -3m e qual o seu sentido / direção;
c) O fluxo que deixa a superfície de uma esfera, com 4m de raio, centrada em
C (0, -3, 0).
Resolução:
a)
( )( ) 2
322
9
2322
23..4
2310.12
..4..4..4 +
+−====
−
ππππzayaR
R
QRR
RQa
RQD R
rrrr
rrr
zayazayaD rrrrr.7,40.1,6110.07,410.11,6 1111 +−=+−= −−
2mpC
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b) O plano intercepta todo o fluxo que entra no semi-espaço “-y”, ou seja, me-
tade do fluxo total de 12nC, logo a resposta é 6nC, “segundo yar− ”.
c)
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Eletromagnetismo
Mudando a posição do eixo “z” para o centro da esfera:
( ) ( )[ ]41cos.4.2cos..2 1 arcsenR =θ
( ) 41
1 =θsen
( )41
1 arcsen=θ
Para 1±=y : ( ) ( )[ ] marcsenrh 75,741.4.2cos..2 11 === θ
Para 2±=y : ( ) ( )[ ] marcsenrh 93,642.4.2cos..2 22 === θ
Carga total envolvida:
( )( ) ( )( ) uCQQ pontuallinhas 89,110.1210.80.93,6.210.50.75,7.2 999 =++−=+ −−−
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Eletromagnetismo
Exercício 2: Duas distribuições lineares de carga, cada qual com 20 mnC es-
tão localizadas em 1=y , mz 1±= . Determinar o fluxo total que deixa uma esfe-
ra de raio 2m, supondo-a centrada em:
a) A (3, 1, 0);
b) B (3, 2, 0).
Resolução:
a)
O resultado será o mesmo se movimentarmos a esfera para a origem e as
linhas de carga para (0, ± 1):
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Eletromagnetismo
== Ll .2 comprimento considerado
( ) ( )RsenLRLsen .11 θθ =→=
( ) ( )11 .4.2.2 θθ senRsenL ==
( ) ( )21arccos
21cos 11 =→= θθ
O trecho das linhas englobadas pela esfera será dado por:
( )[ ] msenL 46,321arccos.4.2 == para cada linha
Logo, teremos: ( )( ) nCQenvolvida 13910.20.46,3.2 9 == −
b)
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Eletromagnetismo
Neste caso, o resultado será o mesmo que o obtido ao se movimentar a
esfera para a origem, mantendo o posicionamento das cargas.
21 =l
04522arccos =
=α
( ) msensenl 2.245.4.4 0 === α
( )( ) nCQenvolvida 11310.20.2.2.2 9 == −
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Eletromagnetismo
Exercício 3: Em coordenadas cilíndricas, seja 0=Vρ para mm1<ρ ,
( )ρπρ ..2000.2 senV = 3mnC para mmmm 5,11 << ρ e 0=Vρ para mm5,1>ρ .
Pede-se Dr
em todas as regiões do espaço.
Resolução:
Supondo o cilindro com comprimento unitário:
Para mm1<ρ : 0=ρD , pois não há cargas envolvidas.
Para mmmm 5,11 << ρ :
( )∫ ∫ ∫ −=1
0
2
0
''
001,0
'9 ......2000.10.2...2π ρ
ρ
φρρρπρρπ dzddsenDV
444 3444 21
Obs.: ρ=u ( )π
ρπ.2000
..2000cos−=v
ρddu = ( ) ρρπ dsendv ...2000=
( )( ) ( )
ρ
ρππ
ρρππ
πρρπ001,0
29 ..2000cos
.2000..2000
.20001.10..4...2
−= − senD
( ) ( )( )[ ]ρπρπρπρπ
ρ ..2000cos..101.2..2000...2
10 32
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−+=−
senD 2mC
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Eletromagnetismo
Para mm5,1>ρ : O “cilindro gaussiano” está situado fora das distribui-
ções de cargas. A integral é a mesma tratada anteriormente, apenas o limite de
integração radial é alterado, de ρ para 1,5mm.
( )∫ ∫ ∫ −=1
0
2
0
''0015,0
001,0
'9 ......2000.10.2...2π
φρρρπρρπ dzddsenD
ρπρ
.10.5,2 15−
=D 2mC
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Eletromagnetismo
Exercício 4: Superfícies esféricas em r = 2, 4 e 6m contém densidades super-
ficiais de cargas de 20 2mnC , - 4 2m
nC e 0Sρ , respectivamente. Pede-se:
a) Dr
em r = 1, 3 e 5m;
b) Determinar 0Sρ tal que 0=Dr
em r = 7m.
Resolução:
a) Para r < 2m: 0=Dr
Para 2 < r < 4m: 922 10.20.2..4...4 −= ππ rDr
2
910.80r
Dr−
= 2mC
93
10.9,8 −==
rrD 2m
C
Para 4 < r < 6m: ( )92922 10.4.4..410.20.2..4...4 −− −+= πππ rDr
2
910.16r
Dr−
= 2mC
125
10.640 −==
rrD 2m
C
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Eletromagnetismo
b)
( ) 0292922 .6..410.4.4..410.20.2..4...4 SrDr ρππππ +−+= −−
20
9
..4.39,45210.06,201
rD Sr π
ρ+=
−
Para: 0=rD e r = 7m:
0.10.69,73410.53,326 0312 =+= −−
SrD ρ
3
12
0 10.69,73410.53,326
−
−−=Sρ
120 10.44,444 −−=Sρ 2m
C