02 - EXERCICIOS - Densidade de Fluxo Eletrico, Lei de Gauss e Divergencia

Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência

1

Eletromagnetismo

Resolução Exercícios Propostos

Exercício 1: Mostrar que 0=⋅∇ Err

para qualquer campo de uma linha unifor-

memente carregada. Analisar.

Resolução:

ρρεπ

ρaE l rr

...2 0

=

0...2

.1

0

=

∂∂

=⋅∇ρεπ

ρρ

ρρlE

rr


2

Eletromagnetismo

Exercício 2: Mostrar que o campo Dr

devido a uma carga pontual tem diver-

gência nula.

Resolução:

rarQD rr

2..4π=

Para r > 0: 0..4

.12

22 =

∂∂

=⋅∇rQr

rrD

π

rr


3

Eletromagnetismo

Exercício 3: Dado zazD rr..0ρ= para a região definida por 11 ≤≤− z (coordena-

das cartesianas) e zazzD rr .0ρ= para os demais pontos do espaço, pede-se a

densidade de cargas em todos os pontos. Analisar os resultados obtidos.

Devemos calcular VD ρ=⋅∇rr

para três regiões:

Para 11 ≤≤− z : ( ) 00 . ρρρ =∂∂

= zzV

Para 1−<z e 1>z : ( ) 00 =∂∂

= ρρ mzV


4

Eletromagnetismo

Exercício 4: Dado xaxD rr

3.10 3

= ( )2mC , pede-se calcular ambos os lados do

Teorema da Divergência para o volume de um cubo, com 2m de aresta, cen-

trado na origem e com os lados paralelos aos eixos. Analisar fisicamente os

resultados obtidos.

43421

rr

43421

rr

II

vol

I

S

dVDSdD ∫∫ ⋅∇=⋅ .

Notar que SdDrr

⋅ é zero em todas as faces, exceto para x = 1m e x = -1m,

ou seja:

(I): ( ) ( ) ( ) ( )3

80340

340...

31.10...

31.10 1

1

1

1

31

1

1

1

3

=+=−−

+=⋅ ∫ ∫∫ ∫∫− −− −

43421rr

43421rrrr

rrSdSdS

xadzdyxaxadzdyxaSdD (C)


5

Eletromagnetismo

(II): 23

.103.10 xx

xD =

∂∂

=⋅∇rr

( )2mC

( ) ( )3

80..3.10....10.

1

1

1

1

1

1

31

1

1

1

1

1

2 =

==⋅∇ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫

− − −− − −

dzdyxdzdydxxdVDvol

rr (C)


6

Eletromagnetismo

Exercício 5: Dado zazaeD rrr..2.30 −= −

ρρ , em coordenadas cilíndricas, calcular

ambos os lados do Teorema da Divergência para o volume limitado por 2=ρ ,

z = 0 e z = 5m. Analisar os resultados obtidos.

43421

rr

43421

rr

II

vol

I

S

dVDSdD ∫∫ ⋅∇=⋅ .

(I): Só interessa-nos a tampa superior (z = 5m) e a lateral, ou seja:

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ −+=⋅ −ππ

ρρ φρρφ2

0

2

0

5

0

2

0

2 .....5.2...2..30 zaddzaadzdaeSdDS

rrrrrr

( ) ( )( ) 4,1292..2.105..2..60 2 =−=⋅ −∫ ππeSdDS

rr (C)

(II): ( ) ( ) 2.30.30.2.30.1−−=−

∂∂

+∂∂

=⋅∇ −−

− ρρ

ρ

ρρ

ρρeez

zeD

rr ( )2m

C

4,129....2.30.30.5

0

2

0

2

0

=

−−= ∫ ∫ ∫∫ −

−πρ

ρ

φρρρ

dzddeedVDdivvol

r (C)


7

Eletromagnetismo

Exercícios Resolvidos

Exercício 1: Uma carga de 12nC está na origem. Quatro distribuições lineares

estão localizadas no plano x = 0 como segue: 80 mnC em y = -1 e -5m, -50

mnC em y = -2 e -4m. Pede-se:

a) Dr

em P (0, -3, 2);

b) O fluxo que atravessa o plano y = -3m e qual o seu sentido / direção;

c) O fluxo que deixa a superfície de uma esfera, com 4m de raio, centrada em

C (0, -3, 0).

Resolução:

a)

( )( ) 2

322

9

2322

23..4

2310.12

..4..4..4 +

+−====

−

ππππzayaR

R

QRR

RQa

RQD R

rrrr

rrr

zayazayaD rrrrr.7,40.1,6110.07,410.11,6 1111 +−=+−= −−

2mpC


8

Eletromagnetismo

b) O plano intercepta todo o fluxo que entra no semi-espaço “-y”, ou seja, me-

tade do fluxo total de 12nC, logo a resposta é 6nC, “segundo yar− ”.

c)


9

Eletromagnetismo

Mudando a posição do eixo “z” para o centro da esfera:

( ) ( )[ ]41cos.4.2cos..2 1 arcsenR =θ

( ) 41

1 =θsen

( )41

1 arcsen=θ

Para 1±=y : ( ) ( )[ ] marcsenrh 75,741.4.2cos..2 11 === θ

Para 2±=y : ( ) ( )[ ] marcsenrh 93,642.4.2cos..2 22 === θ

Carga total envolvida:

( )( ) ( )( ) uCQQ pontuallinhas 89,110.1210.80.93,6.210.50.75,7.2 999 =++−=+ −−−


10

Eletromagnetismo

Exercício 2: Duas distribuições lineares de carga, cada qual com 20 mnC es-

tão localizadas em 1=y , mz 1±= . Determinar o fluxo total que deixa uma esfe-

ra de raio 2m, supondo-a centrada em:

a) A (3, 1, 0);

b) B (3, 2, 0).

Resolução:

a)

O resultado será o mesmo se movimentarmos a esfera para a origem e as

linhas de carga para (0, ± 1):


11

Eletromagnetismo

== Ll .2 comprimento considerado

( ) ( )RsenLRLsen .11 θθ =→=

( ) ( )11 .4.2.2 θθ senRsenL ==

( ) ( )21arccos

21cos 11 =→= θθ

O trecho das linhas englobadas pela esfera será dado por:

( )[ ] msenL 46,321arccos.4.2 == para cada linha

Logo, teremos: ( )( ) nCQenvolvida 13910.20.46,3.2 9 == −

b)


12

Eletromagnetismo

Neste caso, o resultado será o mesmo que o obtido ao se movimentar a

esfera para a origem, mantendo o posicionamento das cargas.

21 =l

04522arccos =

=α

( ) msensenl 2.245.4.4 0 === α

( )( ) nCQenvolvida 11310.20.2.2.2 9 == −


13

Eletromagnetismo

Exercício 3: Em coordenadas cilíndricas, seja 0=Vρ para mm1<ρ ,

( )ρπρ ..2000.2 senV = 3mnC para mmmm 5,11 << ρ e 0=Vρ para mm5,1>ρ .

Pede-se Dr

em todas as regiões do espaço.

Resolução:

Supondo o cilindro com comprimento unitário:

Para mm1<ρ : 0=ρD , pois não há cargas envolvidas.

Para mmmm 5,11 << ρ :

( )∫ ∫ ∫ −=1

0

2

0

''

001,0

'9 ......2000.10.2...2π ρ

ρ

φρρρπρρπ dzddsenDV

444 3444 21

Obs.: ρ=u ( )π

ρπ.2000

..2000cos−=v

ρddu = ( ) ρρπ dsendv ...2000=

( )( ) ( )

ρ

ρππ

ρρππ

πρρπ001,0

29 ..2000cos

.2000..2000

.20001.10..4...2

−= − senD

( ) ( )( )[ ]ρπρπρπρπ

ρ ..2000cos..101.2..2000...2

10 32

15

−+=−

senD 2mC


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Eletromagnetismo

Para mm5,1>ρ : O “cilindro gaussiano” está situado fora das distribui-

ções de cargas. A integral é a mesma tratada anteriormente, apenas o limite de

integração radial é alterado, de ρ para 1,5mm.

( )∫ ∫ ∫ −=1

0

2

0

''0015,0

001,0

'9 ......2000.10.2...2π

φρρρπρρπ dzddsenD

ρπρ

.10.5,2 15−

=D 2mC


15

Eletromagnetismo

Exercício 4: Superfícies esféricas em r = 2, 4 e 6m contém densidades super-

ficiais de cargas de 20 2mnC , - 4 2m

nC e 0Sρ , respectivamente. Pede-se:

a) Dr

em r = 1, 3 e 5m;

b) Determinar 0Sρ tal que 0=Dr

em r = 7m.

Resolução:

a) Para r < 2m: 0=Dr

Para 2 < r < 4m: 922 10.20.2..4...4 −= ππ rDr

2

910.80r

Dr−

= 2mC

93

10.9,8 −==

rrD 2m

C

Para 4 < r < 6m: ( )92922 10.4.4..410.20.2..4...4 −− −+= πππ rDr

2

910.16r

Dr−

= 2mC

125

10.640 −==

rrD 2m

C


16

Eletromagnetismo

b)

( ) 0292922 .6..410.4.4..410.20.2..4...4 SrDr ρππππ +−+= −−

20

9

..4.39,45210.06,201

rD Sr π

ρ+=

−

Para: 0=rD e r = 7m:

0.10.69,73410.53,326 0312 =+= −−

SrD ρ

3

12

0 10.69,73410.53,326

−

−−=Sρ

120 10.44,444 −−=Sρ 2m

C

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