Apresentam:

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PROBABILIDADE

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CONCEITOS INICIAIS

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Espaço Amostral

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Evento

A PROBABILIDADE É A RELAÇÃO ENTRE

ELES:

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𝑷=𝒏(𝑬𝑽𝑬𝑵𝑻𝑶 )

𝒏(𝑬𝑺𝑷𝑨Ç𝑶 𝑨𝑴𝑶𝑺𝑻𝑹𝑨𝑳)

𝑷=𝒏(𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 á 𝒗𝒆𝒊𝒔)𝒏(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔)

ou

Questões de PROBABILIDADE viraram questões de

FRAÇÃO!!!

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𝑷𝑹𝑶𝑩𝑨𝑩𝑰𝑳𝑰𝑫𝑨𝑫𝑬=𝒏(𝑷𝑨𝑹𝑻𝑬 )𝒏(𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳)

Questões de PROBABILIDADE viraram questões de

CONJUNTOS!!!

FÁCIL, NÉ?

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𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆=𝒏(𝒔𝒖𝒃𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐)𝒏(𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 )

QUE TAL, SE COMEÇARMO

S COM ALGUNS

EXERCÍCIOS?

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01. (ENEM 2013) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas. A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é: a) 17/70b) 17/53c) 53/70d) 53/17e) 70/17

𝑷=𝒏(𝒓𝒆𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒂𝒔 )𝒏(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍) =𝟏𝟕

𝟕𝟎

GABARITO: (A)

02. Numa roleta, estão marcados todos os números inteiros de 0 a 36. Cada vez que a roleta é acionada, um desses números é escolhido aleatoriamente, tendo todos eles a mesma probabilidade de serem escolhidos. Um grupo de cinco amigos utiliza essa roleta para decidir quem inicia cada rodada de um jogo. A cada rodada, a roleta é acionada e o número escolhido é dividido por 5, tomando-se o resto dessa divisão. Então, o jogador que inicia a rodada é definido de acordo com a tabela abaixo.

Considere que as três próximas rodadas do jogo serão iniciadas por três jogadores diferentes. Dada essa condição, dentre os trios apresentados a seguir, aquele que tem a maior probabilidade de conter os três jogadores que iniciarão as próximas três rodadas é:a) Bruno, Felipe e Luanab) Bruno, Júlia e Rafaelc) Felipe, Júlia e Luanad) Felipe, Luana e Rafaele) Júlia, Luana e Rafael

SOLUÇÃO

GABARITO: (A)

Resto Jogador Resultados favoráveis Quantidade de resultados favoráveis

0 Bruno 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 8

1 Felipe 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36 8

2 Júlia 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32 7

3 Luana 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33 7

4 Rafael 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 7

TOTAL 37

Os jogadores com mais chance de começar são: BRUNO E FELIPE

CUIDADO!!!

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A maior dificuldade é identificar no

TEXTOQuais os conjuntos que estarão relacionados?

Espaço Amostral

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Evento 2Evento 1

Espaço Amostral = DIA = 24H

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Evento 2AULA = 4H

Evento 1 TARDE = 6H

Espaço Amostral

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Evento 2Evento 1

03.(ENEM 2013) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?A) 1/2B) 5/8C) 1/4D) 5/6E) 5/14

Espanhol = 500

SOLUÇÃOInglês = 600

X600 - X 500 - X

(600 – X) + X + (500 –X) + 300 = 12001400 – X = 1200

X = 200

300

Espanhol = 500

SOLUÇÃOInglês = 600

200400 300

300

E, AGORA, QUAL É A RELAÇÃO DESEJADA?

03.(ENEM 2013) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?A) 1/2B) 5/8C) 1/4D) 5/6E) 5/14

Espanhol = 500

SOLUÇÃOInglês = 600

200400 300

300

𝑷=𝒏(𝑭𝑨𝑳𝑨𝑬𝑺𝑷𝑨𝑵𝑯𝑶𝑳)𝒏(𝑵 Ã𝑶 𝑭𝑨𝑳𝑨𝑰𝑵𝑮𝑳 Ê𝑺)

=𝟑𝟎𝟎𝟔𝟎𝟎=𝟏

𝟐GABARITO: (A)

04. (ENEM 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é:a) 1/5 b) 1/4 c) 2/5 d) 3/5 e) 3/4

𝑷=𝒏(𝒂𝒅𝒆𝒒𝒖𝒂𝒅𝒂 )𝒏(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍) =𝟑

𝟓

ERRADO !!!

04. (ENEM 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é:a) 1/5 b) 1/4 c) 2/5 d) 3/5 e) 3/4

𝑷=𝒏(𝒂𝒅𝒆𝒒𝒖𝒂𝒅𝒂 )𝒏(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍) =𝟑

𝟒

X

05. (ENEM 2006) Um time de futebol amador ganhou uma taça ao vencer um campeonato. Os jogadores decidiram que a taça seria guardada na casa de um deles. Todos quiseram guardar a taça. Durante a discussão para se definir com quem ficaria a taça, travou-se o seguinte diálogo:Pedro (camisa6): - Tive uma ideia, nós somos onze jogadores e nossas camisas estão numeradas de 2 a 12. Tenho um dado numerado de 1 a 6, jogarei duas vezes o dado e somarei os resultados, quem tiver este número na camisa, guardará a taça.Tadeu (camisa2): - Não sei não... Pedro sempre foi muito esperto... acho que ele está levando vantagem sobre todos nós nessa proposta.Ricardo (camisa11): - Pensando bem ... você pode estar certo Tadeu, pois, conhecendo Pedro, é capaz de haver mais chances de ganhar que nós dois juntos.Desse diálogo conclui-se que:

a) Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a probabilidade de ganhar a guarda da taca era a mesma para todos.b) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham mais chances de ganhar a guarda da taca do que Pedro.c) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham a mesma chance que Pedro de ganhar a guarda da taca.d) Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham menos chances de ganhar a guarda da taca do que Pedro.e) não é possível saber qual dos jogadores tinha razão, por se tratar de um resultado probabilístico, que depende exclusivamente da sorte.

SOLUÇÃO

GABARITO: (D)

Camisa Resultados favoráveis Quantidade de resultados favoráveis

2 1 e 1 1

61 e 5, 2 e 4, 3 e 3,4 e 2, 5 e 1

5

11 5 e 6, 6 e 5 2TOTAL (6 x 6) 36

06. Um grupo de cinco amigas fez uma aposta em relação ao resultado decorrente do lançamento de um dado. Esse dado é numerado de 1 a 6 e apresenta duas faces escuras e 4 faces claras conforme a figura abaixo:

A tabela a seguir indica as apostas feitas pelas cinco amigas.

Raquel, que não fazia parte do grupo, ao observar a tabela, sugeriu trocar em cada aposta, o conectivo “ou“ pelo conectivo “e“.

LARA Face branca ou número parBRUNA Face branca ou número 5LETÍCIA Face preta ou número menor que 3

VANESSA Face preta ou número maior que 2YASMIN Face branca ou número menor que 4

Se essa sugestão for aceita pelo grupo, então :a) LARA terá mais chances de vitória do que YASMIN

b) BRUNA e VANESSA terão a mesma chance de vitória.

c) LETÍCIA será a única do grupo com a chance de vitória reduzida.

d) VANESSA será a amiga com menor chance de vitória dentre todas as outras.

e) YASMIN terá sua chance de vitória aumentada.

SOLUÇÃOMENINA REGRA probabilidade

LARA Face branca OU número par 5BRUNA Face branca OU número 5 4LETÍCIA Face preta OU número menor que 3 3

VANESSA Face preta OU número maior que 2 5YASMIN Face branca OU número menor que 4 5

SOLUÇÃO

GABARITO: (B)

MENINA REGRA probabilidadeLARA Face branca E número par 2

BRUNA Face branca E número 5 1LETÍCIA Face preta E número menor que 3 1

VANESSA Face preta E número maior que 2 1YASMIN Face branca E número menor que 4 2

07. (ENEM 2001) Uma empresa de alimentos imprimiu em suas embalagens um cartão de apostas do seguinte tipo:

Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente ganhar o prêmio nunca seja igual a zero. Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5.

Com esse cartão, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é:a) 1/27 b) 1/36 c) 1/54 d) 1/72 e) 1/108

SOLUÇÃO

GABARITO: (C)

Logo:

08. (ENEM 2012) Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em: “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”.Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem.O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.

O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”.Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por:a) 0,09b) 0,12c) 0,14d) 0,15e) 0,18

SOLUÇÃO

GABARITO: (D)

= 0,15189...

09. Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e pressão arterial, conforme mostrado no quadro a seguir:

EXCESSO

Com base nesses dados, podemos concluir quea) A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta é de 25%.b) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem excesso de peso, a probabilidade de ela ter também pressão alta é de 40%.c) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem pressão alta, a probabilidade de ela ter também peso normal é de 8%.d) A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão normal e peso deficiente é de 30%.e) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem peso deficiente, a probabilidade de ela ter também pressão alta é superior a 90%.

SOLUÇÃO

EXCESSO

Com base nesses dados, podemos concluir quea) A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta é de 25%.b) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem excesso de peso, a probabilidade de ela ter também pressão alta é de 40%.c) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem pressão alta, a probabilidade de ela ter também peso normal é de 8%.d) A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão normal e peso deficiente é de 30%.e) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem peso deficiente, a probabilidade de ela ter também pressão alta é superior a 90%.

SOLUÇÃO

GABARITO: (B)

EXCESSO

10. A Confederação Brasileira de Futebol – CBF, em respeito ao Estatuto do Torcedor, realiza um sorteio para definir os árbitros das partidas de cada rodada do Campeonato Brasileiro de Futebol. O quadro abaixo mostra a quantidade de árbitros por estado que entraram no sorteio para os jogos de uma determinada rodada do campeonato.

ESTADO

SP

RJ

SC

PR

MG

GO

RS

DF

CE

PA

QUANTIDADE DE

ÁRBITROS

6

5

1

2

3

1

3

1

1

1

Para o jogo Flamengo (RJ) X Cruzeiro (MG), as diretorias dos clubes entraram em acordo que para evitar polêmicas deveriam solicitar a CBF a escalação de um árbitro de outro país se a probabilidade do árbitro sorteado ser originário de um estado diferente desses clubes foi inferior a 65%.

Ao verificar a tabela, a comissão de arbitragem da CBF verificou que:

a) não há necessidade de arbitro de outro país, pois a probabilidade do árbitro sorteado ser originário de um estado diferente desses clubes é superior a 80%.

b) não há necessidade de arbitro de outro país, pois a probabilidade do árbitro sorteado ser originário de um estado diferente desses clubes é de aproximadamente 67%.c) há necessidade de arbitro de outro país, pois a probabilidade do árbitro sorteado ser originário de um estado diferente desses clubes é de aproximadamente 53%.d) há necessidade de arbitro de outro país, pois a probabilidade do árbitro sorteado ser originário de um estado diferente desses clubes é de aproximadamente 63%.e) não há necessidade de arbitro de outro país, pois a probabilidade do árbitro sorteado ser originário de um estado diferente desses clubes é de aproximadamente 74%.

SOLUÇÃO

GABARITO: (B)

Em vez de diagramas de conjuntos, também podemos representar os EVENTOS pela:

ÁRVORE DE POSSIBILIDADES

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LANÇAMENTO SUCESSIVO DE 3 MOEDAS

Prob (de 1ª lançamento sair CARA) =K.C.C = K.C2 =

Prob (de um lançamento sair CARA) =K.C.C + C.K.C + C.C.K = 3.K.C2 = 3.

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LANÇAMENTO SUCESSIVO DE 3 MOEDAS

9º EXERCÍCIO DE CASA.(ENEM 2009) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?

a) 2 x (0,2%)4 b) 4 x (0,2%)2 c) 6 x (0,2%)2 x (99,8%)2

d) 4 x (0,2%)e) 6 x (0,2%) x (99,8%)

SOLUÇÃO

GABARITO: (C)

Como não houve a indicação da ordem, devem ser consideradas todas as ordens de escolhas possíveis. Assim, como teremos 2 defeituosos e 2 não defeituosos, podemos resumir: 6. d2.n2

Espanhol = 500

DIAGRAMA DA 3ª QUESTÃO

Inglês = 600

200400 300

300

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ALUNOS QUE FALAMINGLÊS OU ESPANHOL

1200

Falam INGLÊS600

Não falam INGLÊS600

Falam ESPANHOL200

Não falam ESPANHOL400

Falam ESPANHOL300

Não falam ESPANHOL300

PERCEBA QUE:

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Prob (de um aluno falar INGLÊS E ESPANHOL) =Prob (de um aluno que fala INGLÊS falar ESPANHOL) =Prob (de um aluno falar INGLÊS) =

NOVOSEXERCÍCIOS!!!

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Considerando que um aparelho deste modelo estava com sua bateria inicialmente carregada e se descarregou após 8 horas de funcionamento, qual é a probabilidade de tê-lo encontrado ocupado neste período?

a) 12% b) 7,3% c) 5,6% d) 3,5% e) 2,5%

EXTRA 01 – Argumentação Algébrica e Probabilidade

Certo aparelho de telefonia fixa sem fio possui uma bateria interna que permite a sua permanência em funcionamento fora da base de recarga por até 1,5 horas de conversação contínua ou por até 9 horas em modo stand by, ou seja, em modo de espera (sem a realização de conversação).

SOLUÇÃO:

X minutos em conversação

Duração da bateria do telefone sem fio (8h = 480 min)

(480-X) minutos em modo stand by

Modo de conversação (1,5h = 90 min)

Modo Stand by (9h = 540 min)

Com base nos cálculos anteriores, temos os seguintes tempos:

12 minutos em conversação

Duração da bateria do telefone sem fio (8h = 480 min)

468 minutos ou 7h48min em modo stand by

A Probabilidade de o telefone estar ocupado nestas 8h de funcionamento é dada pela seguinte relação:

EXTRA 02 – Probabilidade

Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos: A ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, iguais a 0,6 e 0,4.

Sabendo-se que Ana não se atrasou,então a probabilidade de ela terescolhido o trajeto B é igual a:

a) 6/25b) 6/13c) 7/13d) 7/25e) 7/16

SOLUÇÃO:Inicialmente, distribua todos os eventos com uma árvore de possibilidades:

Possíveis trajetos de

Ana

Trajeto A(PA = 0,6)

Trajeto B(PB = 0,4)

Atrasando-se:PA, atrasado = 0,4 . (0,6) = 0,24

Sendo pontual:PA, pontual = 0,6 . (0,6) = 0,36

Atrasando-se:PB, atrasado = 0,3 . (0,4) = 0,12

Sendo pontual:PB, pontual = 0,7 . (0,4) = 0,28

Como no enunciado, há a informação de que Ana não se atrasou, a probabilidade de Ana ter utilizado o trajeto B é:

Obrigado!!!

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