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7/23/2019 00 - Sinais e Sistemas - Apresentaºúo e revisúo matemítica
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Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Curso de Pós-Gradua!o em "ng# $ec%nica
&'vel: IntrodutóriaCarga (orária semestral: )* (
Cr+ditos: *,
Pro#: Dr# Ale.andre /ui0 Amarante $es1uita
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Conceitos de Sinais e Sistemas
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Sinal de sistema de 1 GDL livre amortecido
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F (t )
x(t )Sistema Linear
M , C , K
F (t ) x(t )
Sistema 2i3ratório de 4 GD/
Uma orma de identiica!o de par%metros do sistema: Análise $odal
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EMENTA DO CURSO:
Revisão de Alguns Fundamentos MatemáticosI. Introdução ao Estudo de Sinais e Sistemas
II. Análise no Domnio do !em"o de Sinais #ontnuos ($ro"riedades de Linearidade e Invari%ncia no tem"o& #onvolução&
Resolução de ED's)
III. !ransormada de La"lace nilateral
I*. Re"resentação de Sinais "or S+rie de Fourier
*. !ransormada de Fourier de Sinais #ontnuos*I. Introdução aos $rocessos Rand,micos
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EMENTA DO CURSO (Cont.):
*II. Densidade Es"ectral de Energia e $ot-ncia
*III. Sensores Filtros Anal/gicos e #onversãoAnal/gica0Digital (aceler,metros sensores de "ro1imidadeamostragem 2uanti3ação codiicação en,meno de aliasing.)
I4. $rocessamento Digital de Sinais (DF! leakage unç5es 6anelas utili3ação do analisador de sinais)
4. Estimação da Função de Res"osta em Fre27-ncia (FRF) e daFunção de Res"osta ao Im"ulso E1"erimentalmente
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8. 9su 9. :Sinais e Sistemas; #oleção Sc<aum =a Ed. Ed.
>oo?man =@88.=. Lat<i >. $. : Signal $rocessing Linear SBstems; '1ord
niversitB $ress 8CC.
. S<in . 9ammond G. :Fundamentals o Signal $rocessing or
Sound and *iHration Engineer; Go<n ileB Sons =@@.J. '""en<eimer A. ills?B A. :Signals SBstem; $rentice 9all
8CCK.
. 9aB?in S. *een *. >. :Sinais e Sistemas; >oo?man =@@8
reim"ressão =@@.K. >endat G. S. $ierson A. . :Random DataN AnalBsis and
Measurement $rocedures; Go<n BleB and Sons 8CK.
BIBLIOGRAFIA
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Reis!o de A"#$ns F$ndamentos Matem%ticos
A. N&me'os Com"eos
B. F$n*+es ,a'm-nicas
C. eto'es e Mat'i/es
Oestas seç5es são Hrevemente revistos conceitos 2ueservirão como Hase "ara a com"reensão de novos
assuntos a serem vistos em ca"tulos "osteriores.
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A. N&me'os Com"eos
m nPmero com"le1o z "ode ser re"resentado graicamente "or um "onto no "lano com"le1o cu6as coordenadascartesianas são (ab)
z a jb= +
cos
sen
a r
b r
θ
θ
==
a ⇒ "arte real de z
b ⇒ "arte imaginária de z
Q z a jb= −
j z re θ =
cos sen je jθ θ θ = +
⇒ con6ugado de z
Q F/rmula de EulerN
Fo'ma 'etan#$"a' o$
ca'tesiana
Fo'ma o"a'
$lano #om"le1o
( cos ) ( sen ) (cos sen ) z r j r r jθ θ θ θ = + = +
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0'oa da F1'm$"a de E$"e':
E1"andindo cosθ senθ e em s+rie de Maclaurin vemN je θ
cos sen je jθ θ θ = +
= J K
cos 8 ...= J K
θ θ θ θ
θ = − + − + −
= J K D E L
8 ... ...= J K
je jθ θ θ θ θ θ θ θ θ
= − + − + − + − + − + ÷
= E J( ) ( ) ( )8 ...
= J
j j j je jθ θ θ θ
θ = + + + + +
= E J L K
8 ...= J K
j j je jθ θ θ θ θ θ
θ = + − − + + − +
E L
sen ...
θ θ θ θ θ = − + − +
Tue "ode reescrito comoN
ReUarrumando os termos temUseN
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j z re
θ = Fo'ma o"a'
V V j z z z e ∠=
= = = = =
sen tan arctan
cos
r a b r a b
b b b
a a a
θ θ θ
θ
= + ⇒ = +
= ⇒ = ⇒ = ÷
V V & 3 z r θ = ∠ =
Magnitude ou valor aHsoluto de z
Oo "lano com"le1o z re"resenta um "onto a uma dist%ncia r =|z| da origem e aum %ngulo θ do ei1o <ori3ontal sendo "ositivo medido no sentido antiU<orário.
$or e1em"lo o nPmero U8 está a uma dist%nciaunitária da origem e "ossui um %ngulo π ou Uπ (na
verdade 2ual2uer mPlti"lo m"ar de ±π). Logo8 8
je
π ± = −
8 . jn
e π ± = − n inteiro m"ar
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' nPmero 8 está a uma dist%ncia unitária da origem mas "ossui um %ngulo=π (na verdade 2ual2uer valor inteiro de n). Logo
n inteiro=
8 j n
e π ±
=
( 0 =) je jπ =
( 0 =) je jπ − = −( 0 =) je jπ ± = ±
' nPmero imaginário j está a uma dist%ncia unitária da origem e seu %ngulo+ π0=. Logo
( 0 =)
N cos( 0 =) sen( 0 =) @ (8)
j
Obs e j j j
π
π π = + = + =Similarmente
Desta ormaN
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= =V V = E 8Er z = = + =
= j z j re θ = + =
@arctan K
= z θ
= ∠ = = ÷
@K= 8 j z j e= + =
Eem"oN Escreva na orma "olar o seguinte nPmero com"le1oN z W = X j
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2O3s: Tuando o nPmero com"le1o está no 8o ou Jo 2uadrante não <á "roHlemas ao se usar a má2uina calculadora mas caso o nPmero este6a no =o ou o 2uadrante deveUse ter cuidado.
Se o nPmero estiver no =o
2uadrante deveUse adicionar 8@o
ao %ngulo donPmero com"le1o oHtido na calculadora. Se o nPmero estiver no o 2uadrantedeveUse suHtrair 8@o do %ngulo oHtido na calculadora.
Eem"oN Escreva na orma "olar o seguinte nPmero com"le1oN z W U=X j
Eem"oN Escreva na orma "olar o seguinte nPmero com"le1oN z W U=U j
$ortanto + sem"re dese6ável 2ue se aça um esHoço do nPmero com"le1ono "lano com"le1o "ara saHer em 2ue 2uadrante o mesmo se encontra.
*eriicar a unção cart="ol(ab) no MatlaH 2ue converte um nPmerocom"le1o aX jb em sua orma "olar.
Res"ostaN r W √8 θ W U8=o
Res"ostaN r W √ θ W 8JJo
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Oe'a*+es com N&me'os Com"eos:
$ara reali3ar o"eraç5es de adição e suHtração os nPmeros com"le1osdevem ser escritos na orma cartesiana.
@LE.88 E J L j z j e= + =
8 = (E J) (= E) L z z j j j+ = + + + = +
8
8 = 8 =
=
88 8 8 8
= = == ( ) W
j j j j j
j
z r e r r
e e e e z r r r e
θ θ θ θ θ
θ
−−
= =
@LK.E= = E 8E j z j e= + =
8 =( )8 8
= =
j z r e
z r
θ θ −=
8 = 8 =( )8 = 8 = 8 =( )( )W j j j z z r e r e r r e
θ θ θ θ +=
$ara multi"licação e divisão as o"eraç5es "odem ser eitas com os
nPmeros na orma cartesiana ou na orma "olar sendo 2uem nesta Pltima+ a mais conveniente.
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B. F$n*+es ,a'm-nicas 4 F$n*+es senoidais
m movimento di3Use do ti"o <arm,nico sim"les 2uando + re"resentado "ela e1"ressãoN
)cos()( φ+ω= t At x
8 =
f T T
π
ω = =
( ) cos( ) cos(= ) x t A t A ft ω φ π φ = + = +
= f ω π =
Se ( ) cos( ) sen( )= =
x t A t A t π π
φ ω ω = − ⇒ = − =
ω → re27-ncia angular Yrad0sZ
f → re27-ncia Y93Z φ → %ngulo de ase
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Movimento 9arm,nico Sim"les (M9S)
[ a orma mais sim"les de movimento "eri/dico
$ossui larga a"licação no estudo das viHraç5es [ um movimento alternativo 2ue "ode ser re"resentado "or
unç5es circulares seno ou coUseno ou mesmo a soma destescontanto 2ue ten<am a mesma re27-ncia.
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U X X x(t )
x
y
O P
' movimento alternativo do "onto entre \ X e X "ode ser escrito "orN
OP W x(t ) W X cosωt
#onsidere o movimento do "onto P ao longo do ei1o x.
+X
X
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x(t ) W X cos ωt
t N tem"o YsZ X N am"litude ou deslocamento má1imo
ωN re27-ncia circular do movimentoYrad0sZ
#omo as unç5es circulares re"etemUse a cada =π radianos umciclo de movimento + com"letado 2uando ω!W=π. EntãoN
ωπ= =T $erodoN Ys0cicloZ
Fre27-nciaN Yciclos0sZ ou Y93Z8
= f
T
ω
π = =
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Se x(t ) re"resenta o deslocamento de uma massa de um sistemaviHrat/rio entãoN
*elocidadeN
AceleraçãoN )cos(cos)(
)=0cos(sen)(
== π+ωω=ωω−==
π+ωω=ωω−==
t X t X t x!t
x!
t X t X t x!t !x
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Da e2uação da aceleração temUseN
= = =( ) cos ( ) ( ) ( ) x t X t x t x t x t = −ω ω = −ω ⇒ = −ω&& &&
Então 2uando a aceleração de uma "artcula or "ro"orcional aodeslocamento dessa "artcula e de sentido o"osto di3emos 2ue
esta "artcula e1ecuta um M9S.
=ω W constante
@)()( = =ω+ t xt x
E2uação Dierencial do M9S
!odo sistema 2ue "ossui um modelo matemático da ormaacima terá como res"osta um M9S.
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A soma de duas unç5es <arm,nicas s/ resultará em uma unção<arm,nicas caso as unç5es "ossuam a mesma re27-ncia.
A soma de um seno ou coUseno com um seno ou coUseno "ode ser
escrita somente "or um seno ou um coUseno com a inclusão de um%ngulo de ase.
t " x
t A x
ω=
ω=
sen
cos
=
8
E1em"loN
t "t At xt xt x s ω+ω=+= sencos)()()( =8
]]
)sen(sencos)(
)cos(sencos)(
=8=8
==
88
θθ
θ+ω=ω+ω=
θ−ω=ω+ω=
X X
t X t "t At x
t X t "t At x
s
s
=θ
=θ
+===
"
Aar#tg
A
"ar#tg
" A X X X
=8
===8
e
Isto ocorrerá se não <ouver %ngulosde ase nas unç5es x8(t) e x=(t).
t " x
t A x
ω=
ω=
sen
cos
=
8
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A soma de duas unç5es <arm,nicas com re27-nciasdierentes não resulta em uma unção <arm,nica
t A xt A x===
888sen
cosω= ω=
)()()( =8 t xt xt x s += Função OãoU9arm,nica(mas "ode ser "eri/dica)
A soma de duas ou mais unç5es <arm,nicas com re27-nciasdierentes não resulta em uma unção <arm,nica mas "oderesultar em uma 5$n*!o e'i1dica6 se e somente se todas as
ra35es entre as re27-ncias das unç5es ormarem nPmerosracionais.
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Oo caso de ω8 ≈ ω= ou se6aN ω= W ω8Xε sendo ε << ω8
' movimento "ode ser considerado como uma unção
<arm,nica de re27-ncia (ω8Xε 0=) 2ue + a"ro1imadamenteigual a ω8 e com uma am"litude variável de Y= X cos(ε 0=)t Z. Este
+ o en,meno de >atimento.
clear all;close all
A1=2;A2=3;w1=3;w2=3.2;
t=[0:0.01:90];
x1=A1*sin(w1*t);
x2=A2*sin(w2*t);xs=x1+x2;
set(gcf!color![1 1 1])
"lot(txs!#$!);title(!%&'&' & ,A-&'-!)
E1em"loN
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E1em"lo "rático de sinal ti"o HatimentoN *iHração "rodu3ida em uma estrutura "or duas ou mais má2uinaso"erando na mesma re27-ncia nominal.
Ω OXε8 Ω OXε=
Aceler,metro
Analisador de Sinais
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E1ercciosN
8) m movimento <arm,nico sim"les "ossui @@8 mm de
am"litude má1ima e re27-ncia de @ 93. DetermineN (a) ae2uação do M9S& (H) a má1ima velocidade& (c) a má1imaaceleração.
=) A determine a am"litude e o %ngulo de ase da oscilação
dada "ela soma das duas unç5es <arm,nicasN x8(t )W8@cos(ωt ) e x=(t )W8cos(ωt+=).
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C. eto'es e Mat'i/es
ma matri3 + um con6unto de nPmeros organi3ados num arran6oordenado retangular. $or e1em"lo
8^ Lin<a
=^ Lin<a
8^ #oluna =^ #oluna
Dada uma matri3N
$ indica o nPmero de lin<as e n o nPmero de colunas da matri3 A.
Di3emos 2ue a ordem da matri3 A + $%n. Se $Wn di3emos 2ue a matri3 A + (2uadrada) de ordem n.
A W
88 8= 8
=8 == =
8 =
n
n
$ $ $n
a a a
a a a
a a a
L
L
M M O M
L
=
8 J
−
A W
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A diagonal "rinci"al da matri3 + indicada "elos elementos da ormaaij onde iW j.
ma matri3 2uadrada + a 2ue tem o nPmero de lin<as igual aonPmero de colunas i.e. $Wn.
A diagonal secundária de uma matri3 2uadrada de ordem n +indicada "elos n elementosN
a8n a=(nU8) a(nU=) aJ(nU) a(nUJ) ... a(nU8)= an8
ma matri3 diagonal + a 2ue tem elementos nulos ora da diagonal "rinci"al.
ma matri3 coluna (lin<a) + a2uela 2ue "ossui somente uma coluna
(lin<a) e são comumente reeridas como um *E!'R.
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ma matri3 com"le1a tem todos os elementos comonPmeros com"le1os.
ma matri3 nula tem todos os elementos são iguais a 3ero.
ma matri3 identidade denotada "or I tem os elementosda diagonal "rinci"al iguais a 8 e 3ero ora da diagonal
"rinci"al ma matri3 diagonal tem todos os elementos 2ue estão ora
da diagonal "rinci"al são iguais a 3ero "odendo ocorrer 2uealguns elementos da diagonal "rinci"al se6am nulos.
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T'ansosta de $ma mat'i/
Dada uma matri3 AWai,j de ordem $%n deinimos a trans"osta da
matri3 A como a matri3 AT
7 a j,i.
E se oHserva a2ui 2ue as lin<as de A se transormam nas colunasde AT .
Soma e S$3t'a*!o
88 8=
=8 ==
a a
a a
A W88 =8
8= ==
a a
a a
AT W
88 8=
=8 ==
b b
b b
B W
88 88 8= 8=
=8 =8 == ==
a b a b
a b a b
± ±
± ± C = A ± B W
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M$"ti"ica*!o
Se6a An8_n= e Bn= _n então ( An8_n= . Bn= _n) W C n8_n .
88 8= 88 8= 88 8=
=8 == =8 == =8 ==
a a b b # #
a a b b # #
=
C = A . B W
88 88 88 8= =8 8= 88 8= 8= ==
=8 =8 88 == =8 == =8 8= == ==
# a b a b # a b a b
# a b a b # a b a b
= + = +
= + = +
Q'HsN Em geralN A B ≠ B A
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Mat'i/ Ine'sa
Dada uma matri3 2uadrada nãoUsingular A a inversa desta
matri3 + dada "orN BW AU8
.
A inversa de A e1iste se A:
- or não singular
- determinante de A or dierente de 3ero
- A não ten<a lin<as e0ou colunas linearmente de"endentes.
As tr-s condiç5es acima são id-nticas.
A2ui neste casoN A B = B A = I
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' cálculo da inversa de uma matri3 "ode ser eetuado do seguinte modoN
8. #alculaUse o determinante de A. Se este e1istir então A "ossui inversa.=. #alculaUse os coatores de todos os elementos de A.
' coator de um elemento ai6 de A + dado "or (U8)iX6 ve3es odeterminante da matri3 (nU8)_(nU8) 2ue + oHtida 2uando a iU+simalin<a e a 6U+sima coluna da matri3 são canceladas.
. A inversa de A será dada "elo "roduto do inverso do determinante de A "ela matri3 trans"osta dos coatores de A.
[ ]8 8co(atores de
det
− = T
A A A
QAlgumas "ro"riedadesN
( A C)89 = C 89 A89 .
( A C)T = C T AT
I C 7 C I 7 C
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$or e1em"lo se6a o sistema de e2uaç5es lineares aHai1oN
EEEE=E=8E8
=E=E===8=8
8E8E=8=888
b xa xa xa
b xa xa xa
b xa xa xa
=++
=++
=++
A utili3ação de matri3es + Ptil na resolução de sistema de e2uaç5es linearesalg+Hricas.
Este sistema "ode ser reescrito da seguinte ormaN
=
E
=
8
E
=
8
EEE=E8
=E===8
8E8=88
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
ou [ ] b x A =
Matri3 e vetorcon<ecidos
*etor das variáveis descon<ecidas
ResoluçãoN [ ] b A x
8−=
So"$*!o de E$a*+es A"#;3'icas Linea'es