Calculo vetorial

168
Cálculo vetorial - Seções 16.1-9 Cálculo II - ECT 1202 Escola de Ciências e Tecnologia Universidade Federal do Rio Grande do Norte Maio 2011 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 1 / 168

Transcript of Calculo vetorial

Page 1: Calculo vetorial

Cálculo vetorial - Seções 16.1-9

Cálculo II - ECT 1202

Escola de Ciências e TecnologiaUniversidade Federal do Rio Grande do Norte

Maio 2011

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 1 / 168

Page 2: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Até agora estudamos funções que associam um número a um vetor (funçõesvetoriais) e funções que associam um vetor a um número (funções de duas eou mais variáveis). A seguir estudaremos outro tipo função.

Campos vetoriais

Seja D um subconjunto do R2. Um campo vetorial em R2 é uma função~F queassocia a cada ponto (x,y) em D um vetor bidimensional~F(x,y).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 2 / 168

Page 3: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Campos vetoriais

Como~F(x,y) é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo em termos desuas funções componentes P e Q, da seguinte forma:

~F(x,y) = P(x,y)~i+Q(x,y)~j = 〈P(x,y),Q(x,y)〉.

As componentes P(x,y) e Q(x,y) são funções (de duas variáveis) queassociam cada ponto (x,y) ∈ D um número real. Funções desse tipo sãochamadas de campos escalares. Como no caso das funções vetoriais,podemos definir a continuidade dos campos vetoriais e mostrar que~F serácontínua se e somente se suas funções componentes forem contínuas.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 3 / 168

Page 4: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Exemplo 1

Um campo vetorial em R2 é definido por~F(x,y) =−y~i+ x~j. Faça um esboçode~F.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 4 / 168

Page 5: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Exemplo 1

Um campo vetorial em R2 é definido por~F(x,y) =−y~i+ x~j. Faça um esboçode~F.

Solução

Inicialmanete marcamos~F nos vetores unitários~i e~j. Em seguida, seja~r = 〈x,y〉 o vetor posição em relação a origem do plano cartesiano. Note que:

‖~F(x,y)‖=√

x2 + y2 = ‖~r‖.

Note ainda que:

~r · ~F(x,y) = 〈−y,x〉 · 〈x,y〉= 0.

Logo~F e~r são ortogonais.

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 5 / 168

Page 6: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Podemos também definir um campo vetorial no espaço da seguinte maneira.

Campos vetoriais

Seja E um subconjunto do R3. Um campo vetorial em R3 é uma função~F queassocia a cada ponto (x,y,z) em E um vetor tridimensional~F, de componentesP(x,y,z), Q(x,y,z) e R(x,y,z):

~F(x,y,z) = P(x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j+R(x,y,z)~k.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 6 / 168

Page 7: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Exemplo 2

Esboce o campo vetorial em R3 dado por~F(x,y,z) = z~k.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 7 / 168

Page 8: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Exemplo 2

Esboce o campo vetorial em R3 dado por~F(x,y,z) = z~k.

Solução

Note que ‖~F(x,y,z)‖=±z. Se z > 0 o vetor~F(x,y,z) aponta na direção de zcrescente, e se z < 0 na direção inversa. Para z = 0, isto é, no plano xy~F(x,y,z) é o vetor nulo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 8 / 168

Page 9: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Campos Vetoriais

Se f (x,y,z) é um campo escalar, podemos obter um campo vetorial a partir dogradiente aplicado a f :

∇f (x,y,z) = fx(x,y,z)~i+ fy(x,y,z)~j+ fz(x,y,z)~k.

O campo vetorial assim obtido é chamado de campo vetorial gradiente. Nocaso de um campo escalar g(x,y), aplicando o operador gradiente a g,obtemos um campo vetorial gradiente bidimensional:

∇g(x,y) = gx(x,y)~i+gy(x,y)~j.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 9 / 168

Page 10: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Exemplo 3

Determine o campo vetorial gradiente de f (x,y) = x2 + y2, e esboce o campo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 10 / 168

Page 11: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Exemplo 3

Determine o campo vetorial gradiente de f (x,y) = x2 + y2, e esboce o campo.

Solução

Note que ∇f (x,y) é dado por:

∇f (x,y) = 2x~i+2y~j = 2~r.

Repare ainda que ∇f (x,y) é paralelo ao vetor posição, e tem módulo duasvezes maior que~r.

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 11 / 168

Page 12: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Campo vetorial conservativo

Dizemos que~F(x,y,z) é um campo vetorial conservativo se existir um campoescalar f (x,y,z) (chamada de função potencial) tal que:

~F(x,y,z) = ∇f (x,y,z).

A equação acima nos fornece um método para determinar a função potencialf . Note que:

fx(x,y,z) = P(x,y,z),

fy(x,y,z) = Q(x,y,z),

fz(x,y,z) = R(x,y,z).

Assim para determinar a função potencial, basta resolver o sistema deequações diferenciais acima.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 12 / 168

Page 13: Calculo vetorial

Campos VetoriaisExemplo 4

Determine a função potencial para cada um dos seguintes campos vetoriaisconservativos.

(a) ~F(x,y) = 2x~i+2y~j,

(b) ~F(x,y,z) = 〈 2xx2+y2+z2 ,

2yx2+y2+z2 ,

2zx2+y2+z2 〉.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 13 / 168

Page 14: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Exemplo 4

Determine a função potencial para cada um dos seguintes campos vetoriaisconservativos.

(a) ~F(x,y) = 2x~i+2y~j,

Solução

Note que fx(x,y) = 2x e fy(x,y) = 2y. Integrando a primeira equação emrelação a x temos:

f (x,y) =∫

2xdx+g(y) = x2 +g(y).

Derivando a relação acima em relação a y temos que:

g′(y) = 2y =⇒ g(y) = y2 + c.

Logo a função potencial é f (x,y) = x2 + y2 + c.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 14 / 168

Page 15: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Exemplo 4 continuação

(b) ~F(x,y,z) = 〈 2xx2+y2+z2 ,

2yx2+y2+z2 ,

2zx2+y2+z2 〉.

Note que fx = 2xx2+y2+z2 , fy =

2yx2+y2+z2 e fz = 2z

x2+y2+z2 . Integrando aprimeira equação em relação a x temos:

f (x,y,z) =∫ 2x

x2 + y2 + z2 dx+g(y,z) = ln(x2 + y2 + z2)+g(y,z).

Derivando a relação acima em relação a y temos que:2y

x2 + y2 + z2 +∂g(y,z)

∂y=

2yx2 + y2 + z2 =⇒ g(y,z) = h(z).

Assim ficamos com f (x,y,z) = ln(x2 + y2 + z2)+h(z). Derivando essaequação em relação a z temos:

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 15 / 168

Page 16: Calculo vetorial

Campos Vetoriais

Exemplo 4 continuação

Derivando essa equação em relação a z temos:

2zx2 + y2 + z2 +h′(z) =

2zx2 + y2 + z2 =⇒ h(z) = c.

Logo a função potencial para~F(x,y,z) = 〈 2xx2+y2+z2 ,

2yx2+y2+z2 ,

2zx2+y2+z2 〉 é:

f (x,y,z) = ln(x2 + y2 + z2)+ c.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 16 / 168

Page 17: Calculo vetorial

Integrais de linha

Já aprendemos como calcular a integral de uma função z = f (x,y) sob umaregião plana D. Veremos agora como calcular a integral de uma função deduas ou mais variáveis ao longo de uma curva.

Integral de linha no plano

Seja f (x,y) uma função definida em uma região plana D. Seja ainda~r(t) = 〈x(t),y(t)〉 uma curva C suave em D, i.e.~r′(t) 6=~0, definida no intervaloI = [a,b]. Para cada t∗i ∈ [ti, ti+1]⊂ I podemos associar a seguinte soma deRiemann:

n

∑i=1

f (x∗i ,y∗i )∆si,

onde x∗i = x(t∗i ), y∗i = y(t∗i ) e ∆si é o arco que liga o ponto Pi = (xi,yi) aoponto Pi+1 = (xi+1,yi+1).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 17 / 168

Page 18: Calculo vetorial

Integrais de linha

Integral de linha no plano

No limite quando o número de subdivisões n→ ∞ do intervalo I, temos:

limn→∞

n

∑i=1

f (x∗i ,y∗i )∆si =

∫C

f (x,y)ds.

Se o limite acima existir, chamamos o resultado de integral de linha de f (x,y)ao longo de C em relação ao comprimento de arco.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 18 / 168

Page 19: Calculo vetorial

Integrais de linha

Integral de linha no plano

Podemos reescrever a integral de linha notando que x = x(t), y = y(t) e que

ds =

√(dxdt

)2

+

(dydt

)2

dt.

De forma que:

∫C

f (x,y)ds =∫ b

af (x(t),y(t))

√(dxdt

)2

+

(dydt

)2

dt.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 19 / 168

Page 20: Calculo vetorial

Integrais de linha

Exemplo 5

Calcule∫

C(2+ x2y)ds, onde C é a metade superior do cícurlo unitáriox2 + y2 = 1.

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 20 / 168

Page 21: Calculo vetorial

Integrais de linha

Exemplo 5

Calcule∫

C(2+ x2y)ds, onde C é a metade superior do cícurlo unitáriox2 + y2 = 1.

Solução

A parametrização do semicírculo é:x = cos(t), y = sin(t) com 0≤ t ≤ π.

O elemento de arco ds fica:

ds =√

cos2(t)+ sin2(t)dt = dt.Assim: ∫

C(2+ x2y)ds =

∫π

0[2+ cos2(t)sin(t)]dt

= 2π−[

cos3(t)3

0= 2π+

23.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 21 / 168

Page 22: Calculo vetorial

Integrais de linha

Integral de linha no plano

Suponha que a curva C seja suave (ou lisa) por partes, i.e., C é a união de umnúmero finito de curvas suaves C1, C2, . . . ,Cn, como na figura abixo.

Neste caso a integral de linha ao logo de C é dada por:∫C

f (x,y)ds =∫

C1

f (x,y)ds+∫

C2

f (x,y)ds+ · · ·+∫

Cn

f (x,y)ds.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 22 / 168

Page 23: Calculo vetorial

Integrais de linha

Exemplo 6

Calcule∫

C 2xds, onde C é formada pelo arco C1 da parábola y = x2 de (0,0) a(1,1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1,1) a (1,2).

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 23 / 168

Page 24: Calculo vetorial

Cálculo vetorial

Exemplo 6

Calcule∫

C 2xds, onde C é formada pelo arco C1 da parábola y = x2 de (0,0) a(1,1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1,1) a (1,2).

Solução

Para o caminho C1 tem-se que x = x, y = x2 com 0≤ x≤ 1 e ds =√

1+4x2dx:∫C1

2xds =∫ 1

02x√

1+4x2dx =14

[23(1+4x2)3/2

]1

0=

5√

5−16

.

Para o caminho C2 tem-se que x = 1, y = y com 1≤ y≤ 2 e ds = dy:∫C2

2xds =∫ 1

02(1)dy = 2[y]21 = 2.

Então, ∫C

2xds =∫

C1

2xds+∫

C2

2xds =5√

5−16

+2.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 24 / 168

Page 25: Calculo vetorial

Integrais de linha

Integral de linha no espaço

Seja C uma curva espacial lisa dada pelas seguintes equações paramétricas:

x = x(t), y = y(t), z = z(t) com a≤ t ≤ b.

A integral de linha de uma função f (x,y,z) ao longo de C é dada por:

∫C

f (x,y,z)ds =∫ b

af (x(t),y(t),z(t))

√(dxdt

)2

+

(dydt

)2

+

(dzdt

)2

dt,

ou em notação vetorial:

∫C

f (x,y,z)ds =∫ b

af (~r(t))‖~r′(t)‖dt.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 25 / 168

Page 26: Calculo vetorial

Integrais de linha

Exemplo 7

Calcule∫

C ysin(z)ds, onde C é a hélice circular dada pelas equaçõesx = cos(t), y = sin(t), z = t e 0≤ t ≤ 2π.

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 26 / 168

Page 27: Calculo vetorial

Cálculo vetorial

Exemplo 7

Calcule∫

C ysin(z)ds, onde C é a hélice circular dada pelas equaçõesx = cos(t), y = sin(t), z = t e 0≤ t ≤ 2π.

Solução

O elemento de comprimento arco é dado por:

ds =√

sin2(t)+ cos2(t)+1dt =√

2dt.

Assim:

∫C

ysin(z)ds =∫ 2π

0sin2(t)

√2dt =

√2

2

[t− sin(2t)

2

]2π

0= π√

2.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 27 / 168

Page 28: Calculo vetorial

Integrais de linha

Já vimos como calcular a integral de linha de um campo escalar f (x,y,z) aolongo de uma curva C. Vejamos agora como calcular a integral de linha de umcampo vetorial sobre uma curva C.

Integrais de linha de um campo vetorial

Seja~F(x,y,z) um campo vetorial, um campo de forças por exemplo. Podemosperguntar pelo trabalho W ao mover uma partícula ao longo de uma curva Csob a ação do campo de forças~F(x,y,z).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 28 / 168

Page 29: Calculo vetorial

Integrais de linha

Integrais de linha de um campo vetorial

Particionando o caminho~r(t) = 〈x(t),y(t),z(t)〉, com a≤ t ≤ b, em n−1intervalos, obtemos n arcos ∆si que ligam os pontos Pi = (x∗i ,y

∗i ,z∗i ) e

Pi+1 = (x∗i+1,y∗i+1,z

∗i+1). O trabalho para levar uma partícula do ponto Pi para

Pi+1 é dado por~F(x∗i ,y∗i ,z∗i ) · [~T(x∗i ,y∗i ,z∗i )∆si], onde~T(x∗i ,y

∗i ,z∗i ) é o vetor

tangente ao arco ∆si no ponto Pi. Assim o trabalho para levar a partícula doponto P0 =~r(a) até Pn =~r(b) é dado pela soma de Riemann:

W ≈n

∑i

~F(x∗i ,y∗i ,z∗i ) ·~T(x∗i ,y∗i ,z∗i )∆si.

Tomando o limite quando o número de intervalos n→ ∞ obtemos,

W = limn→∞

n

∑i

~F(x∗i ,y∗i ,z∗i ) ·~T(x,y,z)∆si =

∫C~F(x,y,z) ·~T(x,y,z)ds,

a integral de linha do campo vetorial~F(x,y,z) sob a curva C.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 29 / 168

Page 30: Calculo vetorial

Integrais de linha

Integrais de linha de um campo vetorial

Podemos reescrever a integral de linha anterior notando que x = x(t), y = y(t),z = z(t) e

~T(x(t),y(t),z(t)) =~r′(t)‖~r′(t)‖

e ds = ‖~r′(t)‖dt.

Assim a integral de linha de~F(x,(t),y(t),z(t)) =~F(~r(t)) é dada por:∫C~F ·~Tds =

∫ b

a~F(~r(t)) ·~r′(t)dt =

∫ b

a~F ·d~r.

Ou em termos das funções componentes P(x,y,z), Q(x,y,z) e R(x,y,z) de~F:∫ b

a~F ·d~r =

∫ b

aPdx+Qdy+Rdz.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 30 / 168

Page 31: Calculo vetorial

Integrais de linha

Exemplo 8

Determine o trabalho feito pelo campo de força~F(x,y,z) = x2~i− xy~j ao semover uma partícula ao longo de um quarto de círculo~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j,0≤ t ≤ π/2.

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 31 / 168

Page 32: Calculo vetorial

Integrais de linha

Exemplo 8

Determine o trabalho feito pelo campo de força~F(x,y,z) = x2~i− xy~j ao semover uma partícula ao longo de um quarto de círculo~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j,0≤ t ≤ π/2.

Solução

Note primeiramente que~F(~r(t)) = 〈cos2(t),−cos(t)sin(t)〉, e que~r′(t) = 〈−sin(t),cos(t)〉. Assim:

∫ b

a~F ·d~r =

∫π/2

0−2cos2(t)sin(t)dt =

23

[cos3(t)

]π/2

0=−2

3.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 32 / 168

Page 33: Calculo vetorial

Integrais de linha

Exemplo 9

Calcule∫

C ydx+ zdy+ xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une(2,0,0) a (3,4,5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3,4,5) a(3,4,0).

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 33 / 168

Page 34: Calculo vetorial

Integrais de linha

Exemplo 9

Calcule∫

C ydx+ zdy+ xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une(2,0,0) a (3,4,5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3,4,5) a(3,4,0).

Solução

O campo vetorial a ser integrado é~F(~r(t)) = 〈y,z,x〉. O caminho C1 é dadopor~r(t) = 〈2+ t,4t,5t〉 com 0≤ t ≤ 1. De forma que~F(~r(t)) = 〈4t,5t,2+ t〉 e~r′(t) = 〈1,4,5〉. Logo:∫ b

a~F ·d~r =

∫ 1

0[1(4t)+4(5t)+5(2+ t)]dt =

∫ 1

0(10+29t)dt

=

[10t+

29t2

2

]1

0=

492.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 34 / 168

Page 35: Calculo vetorial

Integrais de linha

Exemplo 9 continuação

O caminho C2 é dado por~r(t) = 〈3,4,5−5t〉 com 0≤ t ≤ 1. De forma que~F(~r(t)) = 〈4,5−5t,3〉 e~r′(t) = 〈0,0,−5〉. Logo:

∫ b

a~F ·d~r =

∫ 1

0[0(4t)+0(5−5t)+3(−5)]dt =−15

∫ 1

0dt =−15.

Assim a integral∫

C ydx+ zdy+ xdz vale:∫C~F ·d~r =

∫C1

~F ·d~r+∫

C2

~F ·d~r = 24.5−15 = 9.5 .

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 35 / 168

Page 36: Calculo vetorial

Teorema Fundamental das integrais de linha

No cálculo 1 vimos que se F′(x) é uma função contínua no intervalo I = [a,b]então

∫ ba F′(x)dx = F(b)−F(a), é igual a variação de F′(x) sobre I. Para as

integrais de linha, sob certas condições, temos um resultado parecido.

Teorema 1

Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial~r(t), a≤ t ≤ b. Seja f umafunção diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente ∇f écontínuo em C. Então ∫

C∇f ·d~r = f (~r(b))− f (~r(a)).

Se~r(b) e~r(a) tiverem coordenadas (x2,y2,z2) e (x1,y1,z1), então∫C

∇f ·d~r = f (x2,y2,z2)− f (x1,y1,z1).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 36 / 168

Page 37: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 10

Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial~F(x,y,z) = 〈 2x

x2+y2+z2 ,2y

x2+y2+z2 ,2z

x2+y2+z2 〉, ao mover uma partícula de massa mdo ponto (1,0,0) para o ponto (1,1,1) ao longo de uma curva lisa por partesC.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 37 / 168

Page 38: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 10

Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial~F(x,y,z) = 〈 2x

x2+y2+z2 ,2y

x2+y2+z2 ,2z

x2+y2+z2 〉, ao mover uma partícula de massa mdo ponto (1,0,0) para o ponto (1,1,1) ao longo de uma curva lisa por partesC.

Solução

Já vimos que o campo vetorial acima é conservativo, com função potencialdada por f (x,y,z) = ln(x2 + y2 + z2)+ c. Dessa forma:

W =∫

C~F ·d~r =

∫C

∇f ·d~r = f (1,1,1)− f (1,0,0) = ln(3).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 38 / 168

Page 39: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linhaExemplo 11

Calcule∫

C y2dx+ xdy, onde

(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5,−3) a (0,2),

(b) C = C2 é o arco x = 4− y2 de (−5,−3) a (0,2).

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 39 / 168

Page 40: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 11Calcule

∫C y2dx+ xdy, onde

(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5,−3) a (0,2),

(b) C = C2 é o arco x = 4− y2 de (−5,−3) a (0,2).

Solução

O caminho C1 tem a seguite parametrização x = 5t−5, y = 5t−3 com0≤ t ≤ 1. ∫

C1

y2dx+ xdy =∫ 1

0

[(5t−3)2 dx

dt+(5t−5)

dydt

]dt

=∫ 1

0[5(5t−3)2 +5(5t−5)]dt

= 5∫ 1

0(25t2−25t+4)dt =−5

6.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 40 / 168

Page 41: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 11 continuaçãoCalcule

∫C y2dx+ xdy, onde

(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5,−3) a (0,2),

(b) C = C2 é o arco x = 4− y2 de (−5,−3) a (0,2).

Solução

O caminho C2 tem a seguite parametrização y = t, x = 4− t2 com −3≤ t ≤ 2.∫C2

y2dx+ xdy =∫ 2

−3

[t2 dx

dt+(4− t2)

dydt

]dt

=∫ 2

−3[−2t3 +(4− t2)]dt

=∫ 2

−3(−2t3− t2 +4)dt =−245

6.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 41 / 168

Page 42: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Independência do caminho de integração

O resultado do exemplo anterior nos diz que em geral∫

C1~F ·d~r 6=

∫C2~F ·d~r,

onde C1 e C2 são dois caminhos distintos com mesmos pontos incial e final.Mas segue do teorema anterior que∫

C1

∇f ·d~r =∫

C2

∇f ·d~r.

A integral de um campo vetorial contínuo~F é dita independente do caminho, se∫C1

~F ·d~r =∫

C2

~F ·d~r,

para quaisquer caminhos C1 e C2 como mesmos pontos incial e final.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 42 / 168

Page 43: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Uma curva é dita fechada se seu ponto inicial coincide com o final, i.e.,~r(a) =~r(b). O teorema a seguir nos fornece uma condição sob a qual aintegral de linha de um campo vetorial é independente do caminho deintegração.

Teorema 2∫C~F ·d~r é independente do caminho, em uma região, D se e somente se∮

C~F ·d~r = 0 para todo caminho C fechado em D.

Este teorema afirma que para um campo vetorial conservativo~F,∮

C~F ·d~r = 0.

Assim, se~F representa um campo de forças, o trabalho realizado para moveruma partícula ao longo de um caminho fechado é nulo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 43 / 168

Page 44: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 12

Mostre que a integral de linha do campo vetorial~F = 〈2x,2y〉 independe docaminho de integração.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 44 / 168

Page 45: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 12

Mostre que a integral de linha do campo vetorial~F = 〈2x,2y〉 independe docaminho de integração.

Solução

Vamos calcular a integral de linha do campo acima sobre uma curva fechadaC qualquer. Para isso, note que~F = ∇f , com f (x,y) = x2 + y2 + c. Assim∮

C~F ·d~r =

∮C

∇f ·d~r =∮

C

ddt

f (~r(t))dt = 0.

Como∮

C~F ·d~r = 0, para um caminho qualquer C segue que

∫C~F ·d~r é

independente do caminho.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 45 / 168

Page 46: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Uma região no plano D é dita aberta se para cada ponto P ∈ D existir umdisco com centro em P contida em D. E chamamos uma região plana D deconexa se dois pontos quaisquer em D podem ser ligados por um caminhointeiramente em D.

Teorema 3

Suponha que~F seja um campo vetorial contínuo sobre uma região abertaconexa D. Se

∫C~F ·d~r for independente do caminho em D, então~F é um

campo conservativo, ou seja, existe um campo escalar f tal que ∇f =~F.

Para um campo vetorial conservativo são equivalentes as proposições:

(a) ~F = ∇f ,

(b)∮

C~F ·d~r = 0,

(c)∫

C~F ·d~r independe do caminho de integração.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 46 / 168

Page 47: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

O teorema a seguir nos permite determinar se um campo vetorial éconservativo.

Teorema 4

Se~F(x,y) = P(x,y)~i+Q(x,y)~j é um campo vetorial conservativo, onde P e Qtêm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D, entãoem todos os pontos de D temos

∂P∂y

=∂Q∂x

.

A recíproca do teorema acima só é válida para um tipo especial de região D.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 47 / 168

Page 48: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 13

Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (x− y)~i+(x−2)~j é ou nãoconservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 48 / 168

Page 49: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 13

Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (x− y)~i+(x−2)~j é ou nãoconservativo.

Solução

Note que P(x,y) = x− y e que Q(x,y) = x−2, de forma que:

∂P∂y

=−1∂Q∂x

= 1.

Logo o campo não é conservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 49 / 168

Page 50: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Uma cuva é dita simples se ela não se autointercepta. E uma região é ditasimplesmente conexa se a mesma é conexa e não contem buracos, ou seja,qualquer curva simples fechada em D contorna pontos que estão somente emD.

Teorema 5

Seja~F(x,y) = P(x,y)~i+Q(x,y)~j um campo vetorial sobre uma região Daberta e simplesmente conexa. Suponha que P e Q tenham derivadas parciaisde primeira ordem contínuas e que

∂P∂y

=∂Q∂x

,

em D. Então~F é conservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 50 / 168

Page 51: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 14

Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (3+2xy)~i+(x2−3y2)~j é ou nãoconservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 51 / 168

Page 52: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 14

Determine se o campo vetorial~F(x,y) = (3+2xy)~i+(x2−3y2)~j é ou nãoconservativo.

Solução

Note que P(x,y) = 3+2xy e que Q(x,y) = x2−3y2, de forma que:

∂P∂y

= 2x =∂Q∂x

.

Como o domínio de~F é o plano R2 que é aberto e simplesmente conexo,então o campo é conservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 52 / 168

Page 53: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 15

Determine se o campo vetorial~F(x,y) = −yx2+y2

~i+ xx2+y2

~j, (x,y) 6= (0,0) é ounão conservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 53 / 168

Page 54: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 15

Determine se o campo vetorial~F(x,y) = −yx2+y2

~i+ xx2+y2

~j, (x,y) 6= (0,0) é ounão conservativo.

Solução

Note que

∂P∂y

=−x2 + y2

x2 + y2 =∂Q∂x

.

O resultado acima sugere que~F é conservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 54 / 168

Page 55: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 15 continuação

Mas se este for o caso, a integral de linha de~F ao longo de qualquer curvafechada C deve ser zero. Assim seja C o círculo unitário percorrido no sentidoanti-horário, com parametrização dada por x = cos(t), y = sin(t) e 0≤ t ≤ 2π.Neste caso ∮

C~F ·d~r =

∫ 2π

0[sin2(t)+ cos2(t)]dt = 2π.

Como a integral acima é diferente de zero, o campo não é conservativo. Noteque apesar das derivadas parciais ∂P

∂y e ∂Q∂x serem iguais, o domínio de~F não é

uma região simplesmente conexa, de forma que o teorema anterior não seaplica.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 55 / 168

Page 56: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Condição para um campo vetorial~F(x,y,z) ser conservativo

Para que um campo vetorial~F(x,y,z) = P(x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j+R(x,y,z)~kdefinido em uma região aberta e simplesmente conexa D, P, Q e R comderivadas parciais de primeira ordem contínuas, seja conservativo, devem sersatisfeitas as seguintes igualdades

∂P∂y

=∂Q∂x

,

∂P∂z

=∂R∂x

,

∂Q∂z

=∂R∂y

.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 56 / 168

Page 57: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 16

Determine se o campo vetorial~F(x,y,z) = (yz)~i+(xz)~j+(xy+2z)~k, é ou nãoconservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 57 / 168

Page 58: Calculo vetorial

Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 16

Determine se o campo vetorial~F(x,y,z) = (yz)~i+(xz)~j+(xy+2z)~k, é ou nãoconservativo.

Solução

Note que~F está definido em todo o R3, conjunto aberto e simplesmenteconexo. Note também que

∂P∂y

= z =∂Q∂x

,

∂P∂z

= y =∂R∂x

,

∂Q∂z

= x =∂R∂y

.

Logo o campo acima é conservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 58 / 168

Page 59: Calculo vetorial

Teorema de Green

O teorema a seguir relaciona o cálculo de uma integral de linha de um campovetorial ao longo de uma curva fechada simples C, com uma integral dupla naregião D delimitada por C. Antes, precisamos definir orientação de uma curva.

Oritentação de uma curva fechada simples C

Seja C uma curva fechada simples dada por~r(t), com a≤ t ≤ b. Dizemos queC tem orientação positiva se ao percorrer C no sentido anti-horário, uma únicavez, a região D estiver sempre à esquerda quando o ponto~r(t) percorrer C.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 59 / 168

Page 60: Calculo vetorial

Teorema de Green

Uma vez definida orientação de uma curva C, podemos enunciar o teorema deGreen.

Teorema de Green

Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos, orientadapositivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadasparciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenhaD, então

∮C

Pdx+Qdy =∫∫

D

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dA.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 60 / 168

Page 61: Calculo vetorial

Teorema de Green

Exemplo 17

Calcule∮

c x4dx+ xydy, onde C é a curva triangular constituida pelossegmentos de reta (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) e de (0,1) a (0,0).

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 61 / 168

Page 62: Calculo vetorial

Teorema de Green

Exemplo 17

Calcule∮

c x4dx+ xydy, onde C é a curva triangular constituida pelossegmentos de reta (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) e de (0,1) a (0,0).

Solução

Note que o caminho é fechado, simples e com orientação positiva. Como asfunções P(x,y) = x4 e Q(x,y) = xy têm derivadas contínuas na regiãotriangular acima, podemos utilizar o teorema de Green.

∮C

x4dx+ xydy =∫∫

D

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dA =

∫∫D

ydA

=∫ 1

0

∫ 1−x

0ydydx =

12

∫ 1

0(1− x)2dx =−1

6

[(1− x)3

]1

0=

16.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 62 / 168

Page 63: Calculo vetorial

Teorema de Green

Exemplo 18

Calcule∮

C(3y− esin(x))dx+(7x+√

y4 +1)dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 9.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 63 / 168

Page 64: Calculo vetorial

Teorema de Green

Exemplo 18

Calcule∮

C(3y− esin(x))dx+(7x+√

y4 +1)dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 9.

Solução

Utilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla paracoordenadas polares temos∮

C(3y− esin(x))dx+(7x+

√y4 +1)dy =∫∫

D

[∂

∂x(7x+

√y4 +1)− ∂

∂y(3y− esin(x))

]dA =∫ 2π

0

∫ 3

0(7−3)rdrdθ = 4

∫ 2π

0dθ

∫ 3

0rdr = 36π.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 64 / 168

Page 65: Calculo vetorial

Teorema de Green

Cálculo de área via integral de linha

Seja C uma curva fechada simples que dilimita uma região D. Se no teoremade Green o integrando da integral dupla for 1, obtemos a área da região D.

∂Q∂x− ∂P

∂y= 1.

As possíveis funções P(x,y) e Q(x,y) que fornecem o resultado desejado são

P(x,y) = 0, P(x,y) =−y, P(x,y) =−12

y,

Q(x,y) = x, Q(x,y) = 0, Q(x,y) =12

x.

Assim podemos calcular a área de D através das seguintes fórmulas

A =∮

Cxdy =−

∮C

ydx =12

∮C

xdy− ydx.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 65 / 168

Page 66: Calculo vetorial

Teorema de Green

Exemplo 19

Determine a área delimitada pela elipse x2

a2 +y2

b2 = 1.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 66 / 168

Page 67: Calculo vetorial

Teorema de Green

Exemplo 19

Determine a área delimitada pela elipse x2

a2 +y2

b2 = 1.

Solução

Podemos parametrizar a elipse através das seguintes equações x = acos(t),y = bsin(t) com 0≤ t ≤ 2π.

A =12

∮C

xdy− ydx =12

∫ 2π

0[acos(t)bcos(t)+bsin(t)asin(t)]dt

=ab2

∫ 2π

0dt = πab.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 67 / 168

Page 68: Calculo vetorial

Teorema de Green

Exemplo 20

Calcule∮

C y2dx+3xydy, onde C é a fronteira da região semianular D contidano semiplano superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 68 / 168

Page 69: Calculo vetorial

Teorema de Green

Exemplo 20

Calcule∮

C y2dx+3xydy, onde C é a fronteira da região semianular D contidano semiplano superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

Solução

Utilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla paracoordenadas polares teremos∮

Cy3dx+3xydy =

∫∫D

[∂

∂x(3xy)− ∂

∂y(y2)

]dA =

=∫∫

DydA =

∫π

0

∫ 2

1r2 sin(θ)drdθ

=∫

π

0sin(θ)dθ

∫ 2

1r2dr =

143.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 69 / 168

Page 70: Calculo vetorial

Teorema de Green

Teorema de Green para regiões que não são simplesmente conexa

Considere a seguinte região D limitada pelas curvas fechadas C1(externamente) e C2 (internamente), isto é, D é uma região com um buraco.

Podemos utilizar o teorema de Green e mostrar que a integral de linha aolongo do caminho C = C1

⋃C2 é dada por:∫∫

D

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dA =

∮C1

Pdx+Qdy+∮

C2

Pdx+Qdy =∮

CPdx+Qdy.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 70 / 168

Page 71: Calculo vetorial

Teorema de Green

Exemplo 21

Calcule∮

C y3dx− x3dy, onde C é composta de dois círculos de raios 1 e 2centrados na origem com orientação positiva.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 71 / 168

Page 72: Calculo vetorial

Teorema de Green

Exemplo 21

Calcule∮

C y3dx− x3dy, onde C é composta de dois círculos de raios 1 e 2centrados na origem com orientação positiva.

Solução

Note que a região D é a região contida entre as circunferências de raios 1 e 2assim

∮C

y3dx− x3dy =∫∫

D

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dA =−3

∫∫D(x2 + y2)dA

=−3∫ 2π

0

∫ 2

1r3drdθ =−3

]2π

0

[r4

4

]2

1=−45π

2.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 72 / 168

Page 73: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Já vimos que podemos contruir um campo vetorial a partir de um campoescalar aplicando o operador ∇ a um campo escalar f (∇f campo gradiente).Agora veremos como obeter um campo vetorial a partir de outro campovetorial.

Rotacional

Se~F = P~i+Q~j+R~k é um campo vetorial em R3, e as derivadas parciais de P,Q e R existem, então o rotacional de~F é o campo vetorial em R3 definido por

rot~F = ∇×~F =

(∂R∂y− ∂Q

∂z

)~i+

(∂P∂z− ∂R

∂x

)~j+

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)~k.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 73 / 168

Page 74: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Rotacional

Se pensarmos em ∇ como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z,podemos também considerar o produto vetorial formal de ∇ pelo campovetorial~F, como se segue:

∇×~F =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂

∂x∂

∂y∂

∂zP Q R

∣∣∣∣∣∣∣=

(∂R∂y− ∂Q

∂z

)~i+

(∂P∂z− ∂R

∂x

)~j+

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)~k

= rot~F.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 74 / 168

Page 75: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 22

Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k, determine o rotacional de~F.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 75 / 168

Page 76: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 22

Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k, determine o rotacional de~F.

Solução

Utilizando a definição temos que

∇×~F =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂

∂x∂

∂y∂

∂zxz xyz −y2

∣∣∣∣∣∣∣=

(∂(−y2)

∂y− ∂(xyz)

∂z

)~i−

(∂(−y2)

∂x− ∂(xz)

∂z

)~j+

(∂(xyz)

∂x− ∂(xz)

∂y

)~k

=−y(2+ x)~i+ x~j+ yz~k.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 76 / 168

Page 77: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Teorema 1

Se f é um campo escalar que tem derivadas parciais contínuas de segundaordem então,

rot (∇f ) =~0.

Já vimos que se um campo vetorial é conservativo, então~F = ∇f . Assimpodemos enunciar o teorema acima da seguinte forma

Se~F é conservativo, então rot~F =~0.

A recíproca do teorema acima não é, em geral, verdadeira. Dizemos então quea condição (~F é conservativo) é nescessária (para que rot~F =~0) porém(rot~F =~0) não é sufuciente (para que~F seja conservativo).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 77 / 168

Page 78: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 23

Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k não é conservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 78 / 168

Page 79: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 23

Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k não é conservativo.

Solução

Suponha que~F seja conservativo. Então devemos ter que rot~F =~0. Mascomo vimos no exemplo anterior

∇×~F =−y(2+ x)~i+ x~j+ yz~k.

Logo~F não pode ser conservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 79 / 168

Page 80: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

O teorema a seguir nos dá uma condição suficiente para que um campovetorial~F ∈ R3 seja conservativo.

Teorema 2

Se~F for um campo vetorial definido sobre todo o R3 (domínio aberto esimplesmente conexo) cujas componentes tenham derivadas parciais desegunda ordem contínuas e rot~F =~0, então~F será um campo vetorialconservativo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 80 / 168

Page 81: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 24

Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = y2z3~i+2xyz3~j+3xy2z2~k éconservativo e determine sua função potencial.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 81 / 168

Page 82: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 24

Mostre que o campo vetorial~F(x,y,z) = y2z3~i+2xyz3~j+3xy2z2~k éconservativo e determine sua função potencial.

Solução

Note que

∇×~F =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂

∂x∂

∂y∂

∂zy2z3 2xyz3 3xy2z2

∣∣∣∣∣∣∣= (6xyz2−6xyz2)~i− (3y2z2−3y2z2)~j+(2yz3−2yz3)~k =~0.

Assim o campo é conservativo (note que o domínio de~F é aberto esimplesmente conexo).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 82 / 168

Page 83: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 24 continuação

Para determinar a função potencial basta integral (parcialmente) uma dasfunções componetes e utilizar as demais para determinar as constantes deintegração. Assim

fx = y2z3 =⇒ f (x,y,z) =∫

y2z3dx = xy2z3 +g(y,z).

Como fy = 2xyz3 obtemos que g(y,z) = h(z). Note ainda que fz = 3xy2z2,assim h(z) = c. Logo a função potencial é dada por

f (x,y,z) = xy2z3 + c.

Um campo vetorial~F com rotacional nulo é chamado de irrotacional.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 83 / 168

Page 84: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Já vimos como obter um campo vetorial a partir de um campo escalar e de umcampo vetorial. Agora veremos como obter um campo escalar através de umcampo vetorial.

Divergente

Se~F = P~i+Q~j+R~k é um campo vetorial em~R3 e existem ∂P/∂x, ∂Q/∂y e∂R/∂z, então o divergente de~F é o campo escalar dado por

div~F = ∇ ·~F =∂P∂x

+∂Q∂y

+∂R∂z

.

Novamente se pensarmos em ∇ como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e∂/∂z, podemos reescrever o divergente como se segue:

div~F = ∇ ·~F = 〈 ∂

∂x,

∂y,

∂z〉 · 〈P,Q,R〉.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 84 / 168

Page 85: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 25

Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k, encontre div~F.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 85 / 168

Page 86: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 25

Se~F(x,y,z) = xz~i+ xyz~j− y2~k, encontre div~F.

Solução

Pela definição temos que

div~F = ∇ ·~F =∂(xz)

∂x+

∂(xyz)∂y

+∂(−y2)

∂z= z+ xz.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 86 / 168

Page 87: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 26

Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial é igual ao vetornulo.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 87 / 168

Page 88: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 26

Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial é igual ao vetornulo.

Solução

Seja~F = P~i+Q~j+R~k um campo vetorial, cujas funções componentesapresentam derivadas de segunda ordem contínuas. Assim

~G = rot~F =

(∂R∂y− ∂Q

∂z

)~i+

(∂P∂z− ∂R

∂x

)~j+

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)~k.

Calculando o divergente do campo ~G temos que

div ~G = div rot~F

=∂

∂x

(∂R∂y− ∂Q

∂z

)+

∂y

(∂P∂z− ∂R

∂x

)+

∂z

(∂Q∂x− ∂P

∂y

).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 88 / 168

Page 89: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 26 continuação

div ~G = div rot~F

=∂2R∂x∂y

− ∂2Q∂x∂z

+∂2P∂y∂z

− ∂2R∂y∂x

+∂2Q∂z∂x

− ∂2P∂z∂y

= 0.

uma vez que os termos se cancelam aos pares (teorema de Schwarz).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 89 / 168

Page 90: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Laplaciano

Ainda podemos definir outro campo escalar ao aplicarmos o operador ∇ a umcampo gradiente ∇f . O resultado é o seguinte campo escalar

div(∇f ) = ∇ · (∇f ) =∂2f∂x2 +

∂2f∂y2 +

∂2f∂z2 .

Essa expressão aperecer com tanta frequencia de forma que vamos abreviá-lacomo ∇2f . Ao operador ∇2 chamamos de laplaciano. E se~F = P~i+Q~j+R~k éum campo vetorial, podemos também aplicar ∇2 a~F como

∇2~F = ∇

2P~i+∇2Q~j+∇

2R~k.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 90 / 168

Page 91: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 27

Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos:

(a) f (x,y,z) = exyz,

(b) ~F(x,y,z) = 〈ex,exy,exyz〉.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 91 / 168

Page 92: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 27

Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos:

(a) f (x,y,z) = exyz,

(b) ~F(x,y,z) = 〈ex,exy,exyz〉.

Solução

Note que ∇f = 〈yzexyz,xzexyz,xyexyz〉, de forma que

∇2f =

∂(yzexyz)

∂x+

∂(xzexyz)

∂y+

∂(xyexyz)

∂z= exyz[(yz)2 +(xz)2 +(xy)2].

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 92 / 168

Page 93: Calculo vetorial

Rotacional e divergente

Exemplo 27 continuação

No exemplo (b) note que P = ex, Q = exy e R = exyz. Assim

∇2P = ∇

2ex = ex

∇2Q = ∇

2exy = (x2 + y2)exy

∇2R = ∇

2exyz = [(yz)2 +(xz)2 +(xy)2]exyz.

Logo temos que

∇2~F = 〈ex,(x2 + y2)exy, [(yz)2 +(xz)2 +(xy)2]exyz〉.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 93 / 168

Page 94: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Superfícies parametrizadas

Uma superfície parametrizada é uma função vetorial~r(u,v) de doisparâmetros u e v, que pode ser expressa da seguinte forma

~r(u,v) = x(u,v)~i+ y(u,v)~j+ z(u,v)~k.

Note que na equação acima o domínio de~r é uma região do plano uv, e suaimagem é um subconjunto do R3, chamada de superfície parametrizada.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 94 / 168

Page 95: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 28

Identifique e esboce a superfície com equação vetorial~r(u,v) = 2cos(u)~i+ v~j+2sin(u)~k.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 95 / 168

Page 96: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 28

Identifique e esboce a superfície com equação vetorial~r(u,v) = 2cos(u)~i+ v~j+2sin(u)~k.

Solução

Da função acima temos que x(u,v) = 2cos(u), y(u,v) = v e z(u,v) = 2sin(u).Note ainda que x2 + z2 = 4 para qualquer valor de u, e que y pode assumirqualquer valor v. Assim a superfície resultante é um cilindro infinito com exiodo cilindro sobre o eixo y.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 96 / 168

Page 97: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 29

Determine a função vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0com vetor posição~r0 e que contenha dois vetores não paralelos~a e~b.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 97 / 168

Page 98: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 29

Determine a função vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0com vetor posição~r0 e que contenha dois vetores não paralelos~a e~b.

Solução

Seja P um ponto do plano em questão, então o vetor−−→P0P pode ser escrito

como uma combinação dos vetores~a e~b, isto é,−−→P0P = u~a+ v~b. Mas o vetor−→

OP =−−→OP0 +

−−→P0P, ou seja,~r =~r0 +u~a+ v~b. Assim~r(u,v) =~r0 +u~a+ v~b.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 98 / 168

Page 99: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 30

Determine uma representação paramétrica para uma esfera de raio a centradana origem.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 99 / 168

Page 100: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 30

Determine uma representação paramétrica para uma esfera de raio a centradana origem.

Solução

Devemos parametrizar x2 + y2 + z2 = a2. Para tanto basta tomarmosx = asin(φ)cos(θ), y = asin(φ)sin(θ) e z = acos(φ). Assim a equaçãovetorial resultante é

~r(θ,φ) = asin(φ)cos(θ)~i+asin(φ)sin(θ)~j+acos(φ)~k,

com θ ∈ [0,2π] e φ ∈ [0,π/2].

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 100 / 168

Page 101: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 31

Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elípticoz = x2 +2y2.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 101 / 168

Page 102: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 31

Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elípticoz = x2 +2y2.

Solução

Neste caso podemos utilizar o fato de que z = f (x,y) e considerar a seguinteparametrização x = x, y = y e z = x2 +2y2, de forma que

~r(x,y) = x~i+ y~j+(x2 +2y2)~k.

De forma geral, para uma função do tipo z = f (x,y), temos a seguinteparametrização~r(x,y) = x~i+ y~j+ f (x,y)~k, chamada de parametrizaçãonatural.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 102 / 168

Page 103: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Dada uma superfície parametrizada S, podemos perguntar pelo plano tangenteem um ponto (x0,y0,z0) pertencente à S. Quando tal plano existe para todoponto P ∈ S dizemos que S é diferenciável ou lisa.

Planos tangentes

Seja~r(u,v) uma superfícies parametrizada. Seja ainda (u0,v0) um ponto dodomínio de~r. Note que as funções~r(u,v0) e~r(u0,v) representam curvassobre S, chamadas de curvas coordenadas.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 103 / 168

Page 104: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Planos tangentes

Os vetores tangentes às curvas coordenadas~r(u,v0) e~r(u0,v) são dados por~ru e~rv, respectivamente, isto é, tomando-se as derivadas parciais de~r(u,v)em relação a u e v. Assim o plano tangente à S em P0 = (x0,y0,z0), quecontem os vetores~ru e~rv, tem vetor normal dado por

~N(P0) =~ru×~rv =~ru(x0,y0,z0)×~rv(x0,y0,z0).

Ou ainda

~N(x0,y0,z0) =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣∣∣∣ .Sejam então ~N = (a,b,c) e P0 = (x0,y0,z0), o plano tangente ficaa(x− x0)+b(y− y0)+ c(z− z0) = 0.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 104 / 168

Page 105: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 32

Determine a equação do plano tangente à superfície com equaçõesparamétricas x = u2, y = v2 e z = u+2v no ponto (1,1,3).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 105 / 168

Page 106: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 32

Determine a equação do plano tangente à superfície com equaçõesparamétricas x = u2, y = v2 e z = u+2v no ponto (1,1,3).

Solução

O vetor normal ao plano é dado por

~N(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2u 0 10 v 2

∣∣∣∣∣∣=−2v~i−4u~j+4uv~k.

O ponto (1,1,3) corresponde a u = v = 1. Assim N(1,1,3) =−2~i−4~j+4~k,de forma que o plano fica

−2(x−1)−4(y−1)+4(z−3) = 0.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 106 / 168

Page 107: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Área de superfície

Seja (u0,v0) um ponto do domínio D de~r(u,v). Os pontos (u0,v0),(u0 +∆u,v0), (u0,v0 +∆v) e (u0 +∆u,v0 +∆v) definem um retângulo no planouv com área ∆u∆v. A parametrização~r(u,v) transforma esse retânguloaproximadamente em um paralelogramo de área

∆S≈ ‖~ru×~rv‖∆u∆v.

Definição

Dada uma superfície lisa S com parametrização~r(u,v), a área de S é dada por

A(S) =∫∫

SdS =

∫∫D‖~ru×~rv‖dudv,

onde dS = ‖~ru×~rv‖dudv é chamado elemento de superfície.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 107 / 168

Page 108: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 33

Determine a área da esfera de raio a.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 108 / 168

Page 109: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 33

Determine a área da esfera de raio a.

Solução

A parametrização da esfera é~r(u,v) = asin(φ)cos(θ)~i+asin(φ)sin(θ)~j+acos(φ)~k. de forma que

~rφ×~rθ =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂x∂φ

∂y∂φ

∂z∂φ

∂x∂θ

∂y∂θ

∂z∂θ

∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kacos(φ)cos(θ) acos(φ)sin(θ) −asin(φ)−acos(φ)sin(θ) asin(φ)cos(θ) 0

∣∣∣∣∣∣= a2 sin2(φ)cos(θ)~i+a2 sin2(φ)sin(θ)~j+a2 sin(φ)cos(φ)~k.

Assim ‖~rφ×~rθ‖= a2 sin(φ).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 109 / 168

Page 110: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 33 continuação

Logo a área é dada por

A(S) =∫∫

Da2 sin(φ)dφdθ =

∫ 2π

0

∫π

0a2 sin(φ)dφdθ

= a2[

θ

]2π

0

[− cos(φ)

0= 4πa2.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 110 / 168

Page 111: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 34

Determine a área lateral do cilindro x2 + y2 = a2 e altura h.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 111 / 168

Page 112: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 34

Determine a área lateral do cilindro x2 + y2 = a2 e altura h.

Solução

O cilindro pode ser parametrizado da seguinte forma~r(θ,z) = acos(θ)~i+asin(θ)~j+ z~k, com θ ∈ [0,2π] e z ∈ [0,h] de forma que

~rθ×~rz =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂x∂θ

∂y∂θ

∂z∂θ

∂x∂z

∂y∂z

∂z∂z

∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k−asin(θ) acos(θ) 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣= acos(θ)~i+asin(θ)~j.

Assim temos que ‖~rθ×~rz‖= a.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 112 / 168

Page 113: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 34 continuação

Logo a área é dada por

A(S) =∫∫

Dadzdθ = a

∫ 2π

0

∫ h

0dzdθ = 2πah.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 113 / 168

Page 114: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 35

Determine a área de uma superfície dada por z = f (x,y).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 114 / 168

Page 115: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 35

Determine a área de uma superfície dada por z = f (x,y).

Solução

A parametrização neste caso é~r(x,y) = x~i+ y~i+ f (x,y)~k, de forma que

~rx×~ry =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂x∂x

∂y∂x

∂z∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂z∂y

∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 0 fx0 1 fy

∣∣∣∣∣∣=−fx~i− fy~j+~k.

Assim temos que ‖~rx×~ry‖=√

1+(fx)2 +(fy)2.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 115 / 168

Page 116: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 35 continuação

Logo a área é dada por

A(S) =∫∫

D

√1+(fx)2 +(fy)2dxdy =

∫∫D

√1+(

∂f∂x

)2

+

(∂f∂y

)2

dxdy.

Note que a expressão acima é geral, isto é, dada uma superfície S do tipoz = f (x,y), podemos aplicar a equação acima para determinar sua área.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 116 / 168

Page 117: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 36

Determine a área da parte do paraboloide z = x2 + y2 que está abaixo doplano z = 9.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 117 / 168

Page 118: Calculo vetorial

Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 36

Determine a área da parte do paraboloide z = x2 + y2 que está abaixo doplano z = 9.

Solução

Podemos utilizar o resultado do exemplo anterior, de forma que

A(S) =∫∫

D

√1+(

∂f∂x

)2

+

(∂f∂y

)2

dxdy =∫∫

D

√1+4(x2 + y2)dxdy

=∫ 2π

0

∫ 3

0

√1+4r2rdrdθ =

8

∫ 37

1u1/2du =

π

6(37√

37−1).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 118 / 168

Page 119: Calculo vetorial

Integral de superfície

Definição

Seja f (x,y,z) um campo escalar definido em uma superfície parametrizada S,definimos a integral de superfície de f sobre S como a seguinte integral∫∫

Sf (x,y,z)dS =

∫∫D

f (~r(u,v))‖~ru×~rv‖dudv.

Note a semelhança da integral de superfície definida acima com a integral delinha de um campo escalar:∫

Cf (x,y,z)ds =

∫ b

af (~r(t))‖~r′(t)‖dt.

No caso particular onde o campo escalar é o campo constante f (x,y,z) = 1,pela definição temos então que∫∫

S1dS =

∫∫D‖~ru×~rv‖dudv = A(S).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 119 / 168

Page 120: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 37

Calcule a integral de superfície∫∫

S x2dS, onde S é a esfera unitáriax2 + y2 + z2 = 1.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 120 / 168

Page 121: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 37

Calcule a integral de superfície∫∫

S x2dS, onde S é a esfera unitáriax2 + y2 + z2 = 1.

Solução

Já vimos que o elemente dá área superficial para uma esfera de raio a édS = a2 sin(φ)dφdθ. Assim a integral é dada por∫∫

Sx2dS =

∫∫D

sin2(φ)cos2(θ)[sin(φ)]dφdθ

=∫ 2π

0

∫π

0sin3(φ)cos2(θ)dφdθ

=−∫

π

0[1− cos2(φ)]d[cos(φ)]

12

∫ 2π

0[1+ cos(2θ)]dθ =

3.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 121 / 168

Page 122: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 38

Calcule∫∫

S ydS, onde S é a superfície z = x+ y2, 0≤ x≤ 1 e 0≤ y≤ 2.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 122 / 168

Page 123: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 38

Calcule∫∫

S ydS, onde S é a superfície z = x+ y2, 0≤ x≤ 1 e 0≤ y≤ 2.

Solução

Neste caso podemos utilizar a parametrização natural e reescrever a integralde superfície como∫∫

Sf (x,y,z)dS =

∫∫D

f (x,y,g(x,y))

√1+(

∂f∂x

)2

+

(∂f∂y

)2

dxdy,

onde z = g(x,y) é a equação da superfície.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 123 / 168

Page 124: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 38 continuação

Assim temos que

∫∫S

ydS =∫∫

Dy√

2+2y2dxdy =∫ 1

0

∫ 2

0y√

2+2y2dydx

=∫ 1

0dx

∫ 2

0y√

2+4y2dy =14

∫ 18

2u

12 du =

16[u

32 ]18

2

=16[18√

18−2√

2] =13√

23

.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 124 / 168

Page 125: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

União de superfícies lisas

Se S é uma superfície lisa por partes, ou seja, uma união finita de superfícieslisas S1, S2, . . . ,Sn, que se interceptam somente ao longo de suas fronteiras,então a integral de superfície de f (x,y,z) sobre S é definida por

∫∫S

f (x,y,z)dS =∫∫

S1

f (x,y,z)dS+∫∫

S2

f (x,y,z)dS+ · · ·+∫∫

Sn

f (x,y,z)dS.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 125 / 168

Page 126: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 39

Calcule∫∫

S zdS, onde S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindrox2 + y2 = 1, cujo fundo S2 é o círculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3é a parte do plano z = 1+ x que está acima de S2.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 126 / 168

Page 127: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 39

Calcule∫∫

S zdS, onde S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindrox2 + y2 = 1, cujo fundo S2 é o círculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3é a parte do plano z = 1+ x que está acima de S2.

Solução

A superfície desejada tem a seguinte forma

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 127 / 168

Page 128: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 39 continuação

Sobre a superfície S2 onde x2 + y2 ≤ 1 temos que∫∫

S2zdS =

∫∫S2

0dS = 0.Sobre a S3 temos∫∫

S3

zdS =∫∫

D(1+ x)

√2dydx =

√2∫ 2π

0

∫ 1

0[1+ r cos(θ)]rdrdθ

=√

2∫ 2π

0

(12+

13

cos(θ))

dθ =√

2[

θ

2+

sin(θ)3

]2π

0=√

2π.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 128 / 168

Page 129: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 39 continuação

Já vimos que o elemento de área lateral para um cilindro de raio a édS = adθdz, assim∫∫

S1

zdS =∫∫

Dzdθdz =

∫ 2π

0

∫ 1+cos(θ)

0zdzdθ

=12

∫ 2π

0[1+2cos(θ)+ cos2(θ)]dθ

=12

{θ+ sin(θ)+

12

[θ+

sin(2θ)

2

]}2π

0= 2π.

Assim a integral de superfície procurada é∫∫S

zdS =∫∫

S1

zdS+∫∫

S2

zdS+∫∫

S3

zdS =3π

2+√

2π.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 129 / 168

Page 130: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Superfícies orientadas

Dada uma parametrização~r(u,v) = x(u,v)~i+ y(u,v)~j+ z(u,v)~k de umsuperfície S, definimos o vetor normal unitário em S como

~n(u,v) =~ru×~rv

‖~ru×~rv‖.

Se~n estiver definido em todo ponto de S, dizemos que a superfície éorientada. Dizemos ainda que S tem orientação positiva se o vetor normalunitário aponta para fora de S, e negativa se aponta para dentro de S.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 130 / 168

Page 131: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Fluxo de um campo vetorial

Seja ~V o campo de velocidade de uma fluido com densidade ρ. A massa dmque atravessa o elemento de superfície dS, na direção do vetor unitário~n, porunidade de tempo, é dada por

dm = ρ~V ·~ndS.

Podemos definir a quantidade~F = ρ~V como um campo vetorial. Assim o fluxode massa através da superfície S é dado por

m =∫∫

Sρ~V ·~ndS =

∫∫S~F ·~ndS.

Podemos utilizar o exemplo acima para definir o fluxo de um campo vetorialatravés de uma superfície S.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 131 / 168

Page 132: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Definição

Se~F for um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada Scom vetor unitário~n, então a integral de superfície (fluxo) de~F sobre S é

Fluxo de~F =∫∫

S~F ·~ndS =

∫∫S~F ·d~S.

Note que se~r(u,v) é uma parametrização de uma superfície S, entãopodemos reescrever a expessão acima notando que~n(u,v) = ~ru×~rv

‖~ru×~rv‖ e quedS = ‖~ru×~rv‖dudv. Assim∫∫

S~F ·~ndS =

∫∫D~F · (~ru×~rv)dudv.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 132 / 168

Page 133: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 40

Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 133 / 168

Page 134: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 40

Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1.

Solução

Dada a parametrização~r(φ,θ) = sin(φ)cos(θ)~i+ sin(φ)sin(θ)~j+ cos(φ)~k,temos que~rφ×~rθ = sin2(φ)cos(θ)~i+ sin2(φ)sin(θ)~j+ sin(φ)cos(φ)~k. Noteainda que

~F(~r(φ,θ)) = cos(φ)~i+ sin(φ)sin(θ)~j+ sin(φ)cos(θ)~k.

De forma que~F · (~rφ×~rθ) = sin2(φ)cos(φ)cos(θ)+ sin3(φ)sin2(θ)+ sin2(φ)cos(φ)cos(θ)

= 2sin2(φ)cos(φ)cos(θ)+ sin3(φ)sin2(θ).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 134 / 168

Page 135: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 40 continuação

Assim o fluxo é dado por

∫∫D~F · (~rφ×~rθ)dφdθ =

∫ 2π

0

∫π

0[2sin2(φ)cos(φ)cos(θ)+ sin3(φ)sin2(θ)]dφdθ

=∫ 2π

0

∫π

0sin3(φ)sin2(θ)dφdθ

=∫ 2π

0sin2(θ)dθ

∫π

0sin3(φ)dφ

=4π

3.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 135 / 168

Page 136: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 41

Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = P~i+Q~j+R~k através de umasuperfície dada por z = g(x,y).

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 136 / 168

Page 137: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 41

Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = P~i+Q~j+R~k através de umasuperfície dada por z = g(x,y).

Solução

Note que~rx×~ry =−gx~i−gy~j+~k, de forma que

~F · (~rx×~ry) =−Pgx−Qgy +R.

Assim o fluxo do campo vetorial é dado por∫∫S~F ·d~S =

∫∫D

[−P

∂g∂x−Q

∂g∂y

+R]

dxdy.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 137 / 168

Page 138: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 42

Calcule∫∫

S~F ·d~S, onde~F(x,y,z) = y~i+ x~j+ z~k e S é a fronteira da região

sólida E delimitada pelo paraboloide z = 1− x2− y2 e pelo plano z = 0.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 138 / 168

Page 139: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 42

Calcule∫∫

S~F ·d~S, onde~F(x,y,z) = y~i+ x~j+ z~k e S é a fronteira da região

sólida E delimitada pelo paraboloide z = 1− x2− y2 e pelo plano z = 0.

Solução

A superfície (fechada) tem a seguinte forma:

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 139 / 168

Page 140: Calculo vetorial

Integrais de superfícies

Exemplo 42 continuação

Sobre a superfície S2 o vetor~n =−~k, de forma que~F · (−~k) =−z. Mas sobreo plano xy temos que z = 0, assim

∫∫S2~F ·d~S = 0. Sobre S1 temos que

∫∫S1

~F ·d~S =∫∫

D

[−P

∂g∂x−Q

∂g∂y

+R]

dxdy =∫∫

D[1− x2− y2 +4xy]dxdy

=∫ 2π

0

∫ 1

0[1− r2 +4r2 cos(θ)sin(θ)]rdrdθ

= π− π

2+

∫ 2π

0cos(θ)sin(θ)dθ =

π

2.

Assim∫∫

S~F ·d~S =

∫∫S1~F ·d~S+

∫∫S2~F ·d~S = π

2 .

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 140 / 168

Page 141: Calculo vetorial

O teorema do divergente

Já vimos que no cálculo de certas integrais de linha sobre um caminhofechado, podemos converter a integral de linha em uma integral dupla(Teorema de Green). Veremos agora sobre que condições poderemosconverter uma integral de superfície em uma integral tripla.

Teorema do divergente ou de Gauss

Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E, orientadapositivamente (para fora). Seja~F um campo vetorial cujas funçõescomponentes tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta quecontenha E. Então ∫∫

S~F ·~ndS =

∫∫∫E

div~FdV.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 141 / 168

Page 142: Calculo vetorial

O teorema do divergente

Exemplo 43

Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 142 / 168

Page 143: Calculo vetorial

O teorema do divergente

Exemplo 43

Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ y~j+ x~k através da esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1.

Solução

Como a superfície em questão é fechada, uma esfera unitária, podemosaplicar o Teorema de Guass. Note que ∇ ·~F = 1. Assim∫∫

S~F ·~ndS =

∫∫∫E

div~FdV =∫∫∫

EdV = V(E) =

3.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 143 / 168

Page 144: Calculo vetorial

O teorema do divergente

Exemplo 44

Calcule∫∫

S~F ·~ndS, onde~F(x,y,z) = xy~i+(y2 + exz2

)~j+ sin(xy)~k e S é asuperfície fechada limitada pelo cinlindro parabólico z = 1− x2 e pelos planosz = 0, y = 0 e y+ z = 2.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 144 / 168

Page 145: Calculo vetorial

O teorema do divergente

Exemplo 44

Calcule∫∫

S~F ·~ndS, onde~F(x,y,z) = xy~i+(y2 + exz2

)~j+ sin(xy)~k e S é asuperfície fechada limitada pelo cinlindro parabólico z = 1− x2 e pelos planosz = 0, y = 0 e y+ z = 2.

Solução

Note que ∇ ·~F = 3y, assim∫∫S~F ·d~S =

∫∫∫E

3ydV = 3∫ 1

−1

∫ 1−x2

0

∫ 2−z

0ydydzdx

=32

∫ 1

−1

∫ 1−x2

0(2− z)2dzdx =

32

∫ 1

−1

[− (2− z)3

3

]1−x2

0dx

=−12

∫ 1

−1[(x2 +1)3−8]dx =

−12

∫ 1

−1(x6 +3x4 +3x2−7)dx =

18435

.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 145 / 168

Page 146: Calculo vetorial

O teorema do divergente

Exemplo 45

Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ x~j+ y~k através do cilindrox2 + y2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e z = 1.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 146 / 168

Page 147: Calculo vetorial

O teorema do divergenteExemplo 45

Determine o fluxo do campo vetorial~F(x,y,z) = z~i+ x~j+ y~k através do cilindrox2 + y2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e z = 1.

Solução

Note que ∇ ·~F = 0, de forma que o fluxo de~F através do cilindro é dado por∫∫S~F ·~ndS =

∫∫∫E

div~FdV =∫∫∫

E0dV = 0.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 147 / 168

Page 148: Calculo vetorial

O teorema de Stokes

Veremos agora uma generalização do teorema de Green.

Curva fronteira de uma superfície orientada

Seja S uma superfície orientada positivamente. Uma curva C que delimita asbordas de S é chamada de curva fronteira. A curva fronteira tem orientaçãopositiva se ao deslizarmos o dedo indicador a longo de C, o polegar apontarna mesma direção do vetor~n de S. Do contrário, C tem oritentação negativa.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 148 / 168

Page 149: Calculo vetorial

O teorema de Stokes

Teorema de Stokes

Seja S uma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira é formada poruma curva C fechada, simples, lisa por partes, com orientação positiva. Seja~Fum campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas emuma região aberta do R3 que contém S. Então∮

C~F ·d~r =

∫∫S

rot~F ·d~S.

Note que se~F = P~i+Q~j, então rot~F =

(∂Q∂x −

∂P∂y

)~k, e que d~S =~kdxdy. Assim∮

CPdx+Qdy =

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dxdy,

que é o teorema de Green.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 149 / 168

Page 150: Calculo vetorial

O teorema de Stokes

Exemplo 46

Calcule∮

C~F ·d~r, onde~F(x,y,z) =−y2~i+ x~j+ z2~k e C é a curva da

intersecção do plano y+ z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1.

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 150 / 168

Page 151: Calculo vetorial

O teorema de Stokes

Exemplo 46

Calcule∮

C~F ·d~r, onde~F(x,y,z) =−y2~i+ x~j+ z2~k e C é a curva da

intersecção do plano y+ z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1.

Solução

Note que

∇×~F =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂

∂x∂

∂y∂

∂z−y2 x z2

∣∣∣∣∣∣∣= (1+2y)~k.

Assim∮C~F ·d~r =

∫∫S

rot~F ·d~S =∫∫

D(1+2y)dxdy

=∫ 2π

0

∫ 1

0[1+2r sin(θ)]rdrdθ =

∫ 2π

0

[12+

23

sin(θ)]

dθ = π.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 151 / 168

Page 152: Calculo vetorial

O teorema de Stokes

Exemplo 47

Use o teorema de Stokes para calcular∫∫

S rot~F ·d~S, onde~F(x,y,z) = xz~i+ yz~j+ xy~k e~S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que estádentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 152 / 168

Page 153: Calculo vetorial

O teorema de Stokes

Exemplo 47

Use o teorema de Stokes para calcular∫∫

S rot~F ·d~S, onde~F(x,y,z) = xz~i+ yz~j+ xy~k e~S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que estádentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.

Solução

A curva fronteira C é obtida pela intersecção de x2 + y2 + z2 = 4 comx2 + y2 = 1, isto é, uma circunferência unitária no plano z =

√3. Assim temos

que~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j+√

3~k. Logo~r′(t) =−sin(t)~i+ cos(t)~j e~F(~r(t)) =

√3cos(t)~i+

√3sin(t)~j+ cos(t)sin(t)~k. De forma que∫∫

Srot~F ·d~S =

∮C~F ·d~r

=∫ 2π

0[−√

3cos(t)sin(t)+√

3cos(t)sin(t)]dt = 0.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 153 / 168

Page 154: Calculo vetorial

O teorema de Stokes

Exemplo 48

Use o teorema de Stokes para calcular∮

C~F ·d~r, onde

~F(x,y,z) = z2~i+ y2~j+ x~k e C é o triangulo com vérteces (1,0,0), (0,1,0) e(0,0,1) no sentido antihorário.

Ver figura

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 154 / 168

Page 155: Calculo vetorial

O teorema de Stokes

Exemplo 48

Use o teorema de Stokes para calcular∮

C~F ·d~r, onde

~F(x,y,z) = z2~i+ y2~j+ x~k e C é o triangulo com vérteces (1,0,0), (0,1,0) e(0,0,1) no sentido antihorário.

Solução

Note que o plano que liga os vértices do triangulo é dada por z = 1− x− y.Assim

∇×~F =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂

∂x∂

∂y∂

∂zz2 y2 x

∣∣∣∣∣∣∣= (2z−1)~j.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 155 / 168

Page 156: Calculo vetorial

O teorema de Stokes

Exemplo 48 continuação

Note ainda que ~G = ∇×~F = (2z−1)~j, assim∮C~F ·d~r =

∫∫S

rot~F ·d~S

=∫∫

S~G ·d~S =

∫∫D

[−P

∂g∂x−Q

∂g∂y

+R]

dxdy

=∫∫

S(2z−1)dxdy =

∫ 1

0

∫ 1−x

0(1−2x−2y)dydx

=∫ 1

0(x2− x)dx =−1

6.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 156 / 168

Page 157: Calculo vetorial

Cálculo vetorial

Campo vetorial~F(x,y) =−y~i+ x~j

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 157 / 168

Page 158: Calculo vetorial

Cálculo vetorial

Campo vetorial ∇f (x,y) = 2x~i+2y~j

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 158 / 168

Page 159: Calculo vetorial

Integrais de linha

Semicírculo unitário x2 + y2 = 1

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 159 / 168

Page 160: Calculo vetorial

Integrais de linha

Caminho C como a união de C1 e C2

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 160 / 168

Page 161: Calculo vetorial

Integrais de linha

Hélice x = cos(t), y = sin(t) e z = t

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 161 / 168

Page 162: Calculo vetorial

Integrais de linha

Campo vetorial~F(x,y,z) = x2~i− xy~j

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 162 / 168

Page 163: Calculo vetorial

Integrais de linha

Caminhos de integração C1 e C2

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 163 / 168

Page 164: Calculo vetorial

Integrais de linha

Caminhos de integração C1 e C2

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 164 / 168

Page 165: Calculo vetorial

Teorema de Green

Caminho de integração triangular

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 165 / 168

Page 166: Calculo vetorial

Teorema de Green

Curva fronteira

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 166 / 168

Page 167: Calculo vetorial

Teorema de Green

Curva fronteira

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 167 / 168

Page 168: Calculo vetorial

Teorema de Green

Curva fronteira

Voltar

Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 168 / 168