Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Fsica 1 - 8
a Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 Vetores
1
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FSICA, 8.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2008.
FSICA 1
CAPTULO 3 VETORES
16. Na soma A + B = C, o vetor A tem um mdulo de 12,0 m e um ngulo de 40,0o no sentido anti-
horrio em relao ao semi-eixo x positivo, e o vetor C tem um mdulo de 15,0 m e um ngulo
de 20,0o no sentido anti-horrio em relao ao semi-eixo x negativo. Determine (a) o mdulo de
B e (b) o ngulo de B em relao ao semi-eixo x positivo.
(Pg. 59)
Soluo.
Considere o esquema abaixo, que mostra os vetores A e C:
(a) O mdulo de B calculado por meio da seguinte relao:
2 2
x yB B B (1)
Portanto, precisamos agora calcular Bx e By para, em seguida, substitu-los em (1). Esse clculo
pode ser feito por meio das duas equaes escalares contidas na equao vetorial A + B = C. A
primeira delas :
x x xA B C
cos cosA x CA B C
cos cosx A CB A C
12,0 m cos 40,0 15,0 m cos 20,0 23,2879 mxB
A segunda equao escalar :
y y yA B C
sen senA y CA B C
sen seny A CB A C
12,0 m sen 40,0 15,0 m sen 20,0 12,8437 myB
Substituindo-se os valores de Bx e By em (1), teremos:
2 2
23,2879 m 12,8437 m 26,5949 mB
26,6 mB
(b) O ngulo que B faz em relao ao semi-eixo x positivo dado por:
x
yA
C
A
C
Cx
Cy
Ax
Ay
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2
1 112,8437 m
tan tan 28,877623,2879 m
y
B
x
B
B
Embora a calculadora fornea como resultado para B o valor 28,9o, podemos ver na figura abaixo
que devemos acrescentar 180o a esse resultado para obter a resposta correta.
Logo:
180 28,8776 208,8776B
209B
25. Se B somado a C = 3,0 i + 4,0 j, o resultado um vetor no sentido do semi-eixo y positivo,
com um mdulo igual ao de C. Qual o mdulo de B?
(Pg. 59)
Soluo.
Em primeiro lugar vamos determinar o mdulo de C:
2 2 2 23,0 4,0 25 5,0x yC C C
Vamos chamar de D o vetor soma de B e C. Como D aponta no sentido +y e possui mdulo 5,0, teremos:
5,0D j
Agora precisamos efetuar a operao mencionada no enunciado para obter B:
B A D
B D C
5,0 3,0 4,0B j i j
3,0 1,0B i j
Portanto, o mdulo de B vale:
2 22 2 3,0 1,0 10 3,1622x yB B B
3, 2B
Os vetores B, C e D podem ser vistos no esquema abaixo:
x
y
A
C
B
B
28,9o
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3
b
32. Na Fig. 3-33, um vetor a com um mdulo de 17,0 m faz um ngulo = 56,0o no sentido anti-
horrio com o semi-eixo x positivo. Quais so as componentes (a) ax e (b) ay do vetor? Um
segundo sistema de coordenadas est inclinado de um ngulo = 18o em relao ao primeiro. Quais so as componentes (c) ax e (b) ay neste novo sistema de coordenadas?
Fig. 3-33 Problema 32 (Pg. 60)
Soluo.
As componentes de a no sistema de coordenadas xy so:
(a) ax
cos 17,0 m cos 56,0 9,5062 mxa a
9,51 mxa
(b) ay
sen 17,0 m sen 56,0 14,0936 mya a
14,1 mxa
As componentes 'xa e '
ya no sistema rotacionado so dadas pelas seguintes relaes (tente deduzir
essas relaes):
' ' 'cos senx x ya a a
' ' 'cos seny y xa a a
Logo:
x0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
y
CD
3 2 11
B
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4
(c)
' ' 'cos sen 9,5062 m cos 18 14,0936 m sen 18 13,3961 mx x ya a a
' 13mxa
(d)
' ' 'cos sen 14,0936 m cos 18 9,5062 m sen 18 10,4662 my y xa a a
' 10 mxa
43. Os trs vetores na Fig. 3-35 tm mdulos a = 3,00 m, b = 4,00 m e c = 10,0 m; = 30,0o.
Determine (a) a componente x e (b) a componente y de a; (c) a componente x e (d) a
componente y de b; (e) a componente x e (f) a componente y de c. Se c = p a + q b, quais so os
valores de (g) p e (h) q?
Fig. 3-35 Problema 43 (Pg. 60)
Soluo.
(a) Como A est sobre o eixo x, teremos:
3,00 mxa
(b) 0,00 mya
Vetor B:
(c) cos 4,00 m cos 30,0 3,4641 mxb b
3,46 mxb
(d) sen 4,00 m sen 30,0yb b
2,00 myb
(e) cos 90 10,0 m cos 120,0xc c
5,00 mxc
(f) sen 90 10,0 m sen 120,0 8,6602 myc c
8,66 myc
(g) e (h) Para calcular p e q devemos resolver o sistema de duas equaes escalares embutidas na
equao vetorial c = p a + q b, que so cx = p ax + q bx e cy = p ay + q by. Da primeira equao, teremos:
x x xc pa qb
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x x
x
c paq
b (1)
Da segunda, teremos:
y y
y
c paq
b (2)
Igualando-se (1) e (2):
y yx x
x y
c pac pa
b b
Resolvendo a equao acima para p, teremos:
8,6602 m 3,4641 m 5,00 m 2,00 m
6,66660,00 m 3,4641 m 3,00 m 2,00 m
y x x y
y x x y
c b c bp
a b a b
6,67p
Agora podemos obter q a partir de (1):
5,00 m 6,6666 3,00 m
4,33013,4641 m
x x
x
c paq
b
4,33q
51. Um barco a vela parte do lado americano do lago Erie para um ponto no lado canadense, 90,0
km ao norte. O navegante, contudo, termina 50,0 km a leste do ponto de partida. (a) Que
distncia e (b) em que sentido deve navegar para chegar ao ponto desejado?
(Pg. 61)
Soluo.
Considere o seguinte esquema vetorial da situao, em que r0 a posio almejada pelo velejador,
r1 a posio alcanada pelo barco e r o deslocamento que o barco deve sofrer para alcanar seu objetivo inicial.
(a) De acordo com o esquema acima, temos a seguinte relao vetorial:
0 1r r r
0 1 90,0 km 50,0 km 50,0 km 90,0 kmr r r j i i j
O mdulo de r :
r
r1
r0x
y
Lago Erie
90 km
50 km
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2 22 2 50,0 km 90,0 km 102,9563 kmx yr r r
103 kmr
(b) A direo de r dada pelo ngulo 2:
' 1 12
90,0 kmtan tan 60,9453
50,0 km
y
x
r
r
Logo:
'2 2 180 60,9453 119,0546
2 119
54. So dados trs deslocamentos em metros: d1 = 4,0 i + 5,0 j 6,0 k, d2 = 1,0 i + 2,0 j + 3,0 k e
d3 = 4,0 i + 3,0 j + 2,0 k. (a) Determine r = d1 d2 + d3. (b) Determine o ngulo entre r e o
semi-eixo z positivo. (c) Determine a componente de d1 em relao a d2. (d) Qual a
componente de d1 que perpendicular a d2 e est no plano de d1 e d2? (Sugesto: Para resolver
o item (c), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-20; para resolver o item (d), considere a Eq. 3-27.)
cosaba b (3-20)
Fig. 3-20
senc ab (3-27)
(Pg. 61)
Soluo.
(a)
1 2 3d d dr
4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 4,0 3,0 2,0r i j k i j k i j k
4,0 1,0 4,0 5,0 2,0 3,0 6,0 3,0 2,0r i j k
9,0 6,0 7,0r i j k
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(b) O ngulo entre r e o eixo z pode ser obtido por meio do produto escalar entre r e o vetor unitrio
k:
cos 1 cosrz rzrr k r k
cos rzr
r k (1)
Agora precisamos calcular r.k e r. Clculo de r.k:
9,0 6,0 7,0 0 0 7,0r k i j k k
7,0r k
Clculo de r:
2 2 22 2 2 9,0 6,0 7,0x y zr r r r
12,8840r
Substituindo-se esses valores em (1), teremos:
7,0
cos 0,543312,8840
rz
1cos 0,5433 122,9089rz
123rz
(c) A componente de d1 em relao a d2, que chamaremos d12, d1 cos 12. Esse termo aparece no produto escalar dos dois vetores:
1 2 1 2 12cosd dd d
1 21 12
2
cosdd
d d
Ou seja:
1 2122
dd
d d (2)
Agora precisamos calcular d1 d2 e o mdulo de d2. O produto escalar vale:
2
1 2 4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 4,0 10 18 12 md d i j k i j k
O mdulo de d2 vale:
2 2 22 2 2
2 2 2 2 1,0 2,0 3,0 3,7416 mx y zd d d d
Substituindo-se os valores de d1 d2 e d2 em (2), teremos:
2
12
12 m3,2071 m
3,7416 md
12 3,2 md
(d) A componente de d1 que perpendicular a d2 e est no plano de d1 e d2, que chamaremos d12 ,
d1 sen 12. Esse termo aparece no mdulo do produto vetorial dos dois vetores:
1 2 1 2 12 12 2send d d dd d
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8
1 2
12
2
dd
d d (3)
Agora s precisamos calcular |d1d2|. O produto vetorial vale:
1 2 4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 27 6,0 13d d i j k i j k i j k
O mdulo de d1d2 :
2 2 2 2
1 2 27 6,0 13 30,5614 md d
Substituindo-se os valores de |d1d2| e d2 em (3), teremos:
2
1 2
12
2
30,5614 m8,1678 m
3,7416 md
d
d d
12 8,2 md
58. Um jogador de golfe precisa de trs tacadas para colocar a bola no buraco. A primeira tacada
lana a bola a 3,66 m para o norte, a segunda 1,83 m para o sudeste e a terceira 0,91 m para o
sudoeste. Determine (a) o mdulo e (b) a direo do deslocamento necessrio para colocar a
bola no buraco na primeira tacada.
(Pg. 61)
Soluo.
As direes associadas aos termos nordeste (NE), sudeste (SE), sudoeste (SW) e noroeste (NW),
podem ser conferidas na figura abaixo, que costuma ser chamada de rosa dos ventos:
Considere o seguinte grfico que mostra os trs deslocamentos sucessivos sofridos pela bola:
De acordo com o enunciado, os vetores a, b e c so definidos por:
x
y
a
c
b315
o
225o
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9
3,66 ma j
1,83 m cos 315 1,83 m sen 315b i j
0,91 m cos 225 0,91 m sen 225c i j
A tacada nica d capaz de lanar a bola diretamente no buraco corresponde soma vetorial a + b
+c:
d a b c
3,66 m 1,83 m cos 315 1,83 m sen 315
0,91 m cos 225 0,91 m sen 225
d j i j
i j
0,6505 m 1,7225 md i j
(a) O mdulo de d vale:
2 22 2 0,6505 m 1,7225 m 1,8412 mx yd d d
1,84 md
(b) O ngulo que d faz em relao ao semi-eixo x positivo dado por:
1 1 1,7225 mtan tan 69,3102
0,6505 m
y
d
x
d
d
69d
O vetor d pode ser visto no esquema abaixo:
69. Um manifestante, com sua placa de protesto, parte da origem de um sistema de coordenadas xyz,
com o plano xy na horizontal. Ele se desloca 40 m no sentido negativo do eixo x, faz uma curva
de 90o esquerda, caminha mais 20 m e sobe at o alto de uma torre de 25 m de altura. (a) Em
termos de vetores unitrios, qual o deslocamento da placa do incio ao fim? (b) O manifestante
deixa cair a placa, que vai parar na base da torre. Qual o mdulo do deslocamento total, do
incio at este novo fim?
(Pg. 62)
Soluo.
Considere o seguinte grfico que mostra os deslocamentos sofridos pela placa:
x
y
a
c
b
d
69o
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10
(a) O deslocamento total d dado por:
d a b c
40 m 20 m 25 m d i j k
O vetor d pode ser visto na figura abaixo.
(b) Quando a placa cai no cho, sofre um deslocamento igual a c. Logo, seu novo deslocamento
total e vale:
e a b c c a b
40 m 20 m e i j
O mdulo de e vale:
2 2
40 m 20 m 44,7213 me
45 me
O esquema vetorial para essa situao ser:
71. Se B somado a A, o resultado 6,0 i + 1,0 j. Se B subtrado de A, o resultado 4,0 i + 7,0
j. Qual o mdulo de A?
(Pg. 62)
Soluo.
Vamos somar as duas equaes mencionadas no enunciado para eliminar B e obter A.
yx
z
a
b
c
d
yx
z
a
b
c
d
yx
z
a
b
c
e
c
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a Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 Vetores
11
6,0 1,0B A i j
4,0 7,0A B i j
O resultado da soma :
2 2,0 8,0A i j
Ou:
1,0 4,0A i j
O mdulo de A vale:
2 2 2 21,0 4,0 17 4,1231x yA A A
4,1A
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________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4
a Ed. - LTC - 1996. Cap. 3 Vetores
12
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FSICA 1
CAPTULO 3 VETORES
16. Uma roda com raio de 45 cm rola sem deslizar ao longo de uma superfcie horizontal, como
mostra a Fig. 25. P um ponto pintado no aro da roda. No instante t1, P o ponto de contato
entre a roda e o cho. No instante t2 posterior, a roda girou de meia revoluo. Qual o
deslocamento de P nesse intervalo de tempo?
(Pg. 46)
Soluo.
Considere o esquema a seguir:
O deslocamento do ponto P corresponde ao vetor r, que dado por:
x yr i j
Analisando-se o esquema acima, podemos concluir que x corresponde a meia volta da
circunferncia da roda ( R) e y igual a 2R. Logo, o vetor deslocamento vale:
2 1,4137 m 0,90 mR Rr i j i j
1,4 m 0,90 mr i j
O mdulo do deslocamento vale:
2 2 2,2237 mr x y
2,2 mr
24. Uma estao de radar detecta um mssil que se aproxima do leste. Ao primeiro contacto, a
distncia do mssil 3.200 m, a 40,0o acima do horizonte. O mssil seguido por 123
o no plano
leste-oeste, e a distncia no contacto final era de 7.800 m; veja a Fig. 27. Ache o deslocamento
P
r
x
y
P
x
y
Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES
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a Ed. - LTC - 1996. Cap. 3 Vetores
13
do mssil durante o perodo de contacto com o radar.
(Pg. 46)
Soluo.
Considere o seguinte esquema da situao:
A posio inicial do mssil dada por:
0 0 0x yr rr i j
0 0 0cos senr rr i j
A posio final do mssil dada por:
x yr rr i j
cos senr rr i j
O vetor deslocamento do mssil dado por:
x yr i j
0 0cos cos sen senr r r rr i j
10.216,9370 m 33,5360 mr i j
10 km 33 mr i j
O mdulo do deslocamento :
2 2 10.216,9921 mx yr r r
10 kmr
r0r
r
x
y
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