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Qual é a melhor escala?
Os objectos aparecem na imagem com dimensões muito diferentes.
Não uma escala única que seja apropriada. Há uma escala adequada para representar cada objecto
representações multi-escala
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Espaço-escala
)(*)(),( xxx sGIsI = 22
2||||
2 )(
21 s
x
eGs
s
−=
πx
Define-se espaço-escala como o sinal
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Pirâmide gaussiana
M ..., 1, )2()( )(*)()( 1 === + iJ IGIJ iisii kkkkk
Discretização do espaço e da escala
Recursão:
dificuldade: o número de variáveis aumenta!
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Wavelets
As wavelets permitem obter imagens de baixa resolução mantendo toda a informação da imagem original, sem aumentaro número de coeficientes.
coeficientes de detalhe
imagem de baixa resolução
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Wavelets
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Correlação entre pixels
posição relativa dos pixels
pixels vizinhos são correlacionados
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Coeficientes de detalhe
Os coeficientes de detalhe são descorrelacionados (aproximadamente).
detalhe
ruído gaussiano
horizontal vertical diagonal
posição relativa dos coeficientes
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Representação de Haar
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Aproximação de funções
)()( kxφcxf jk
kj −∑=
∞+
−∞=2
⎪⎩
⎪⎨⎧ <≤
=..
)(cc
xxφ
0
101
f f
f1f0
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
f
f2
0 1 2 3 4
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Base: impulsos rectangulares
)( 72 −xφ j
)( 62 −xφ j
0
)( xφ j2
1j=3
)( 52 −xφ j
)( 12 −xφ j
)( 22 −xφ j
)( 42 −xφ j
)( 32 −xφ j
0 1
base ortogonal
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Base alternativa: funções de Haar (1909)
0 1 j=3
0 1
h0(x)
h1(x)
h3(x)
h2(x)
h4(x)
h5(x)
h6(x)
h7(x)
gera o mesmo espaço que a base anterior
Wavelet de Haar
base ortogonal e multi-escala
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Funções de Haar
Nxhxh 1
000 == )()(
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<≤−
−<≤−
==
contrário caso
//).( 2-
/).(/)(2
)()( p/2
p/2
0
2250
25021
1 pp
pp
Npqk qxq
qxq
xhxh
12 −+= qk p
p - escalaq - deslocamento
hp,q(x)
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Transformada de Haar
Hcd =[ ][ ]TN
TN
... d ddd
... c ccc
110
110
−
−
=
=
( )Nj
iij hH =
Realiza a mudança de base
Matriz de Haar
hi – função de Haar
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−−
−−
−−−−
=
22000000
00220000
00002200
00000022
22220000
00002222
11111111
11111111
81H
Exemplo
H ortogonal: H-1=HT
A transformação de Haar é a transformada de Wavelet mais simples!
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Análise Multi-resolução
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Expansão em Série
∑=k
kk xφαxf )()( )(xφk
dxxfxφxfxφα kkk )( )(~ )(),(~ *∫>==<
Seja f(x) uma função de quadrado integrável (f∈ L2(IR))
expansão em série
funções de base
cálculo dos coeficientes
)(~ xφk função dual de
se a base for ortonormada )()(~ xφxφ kk =
)(xφk
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Função de Escalamento
)()( /, kxφxφ jjkj −= 22 2
)(xφ
Pretende-se que as funções de base se obtenham por escalamento e deslocamento de uma função ϕ(x) designada por função de escalamento.
)(, xφ 23
820 1 0 1
Exemplo: função de Haar
j - escalak - deslocamento
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Espaço de resolução j
∑=k
kjk xφαxf )()( ,
Designa-se por sub-espaço de resolução j, o conjunto de funções Vj que se podem escrever como combinação linear de funções ϕjk(x)
Se j for escolhido cuidadosamente os conjuntos Vj são embebidos (nested)
1+⊂ jj VVV0
V1
V2
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Análise Multi-resolução
Uma função de escalamento ϕ e um conjunto de subespaços Vj por ela gerados definem uma análise multi-resolução se
1) a função de escalamento ϕ(x) for ortogonal às suas versões deslocadas:
2) os subespaços Vj gerados por ϕ(x-k), ∀k são embebidos nos espaços de índice maior
… ⊂ V-2⊂ V-1⊂ V0⊂ V1⊂ V2⊂…
ϕ(x) ⊥ ϕ(x-k), ∀k
3) a única função pertencente a todos os subespaços Vj é a função nula
4) qualquer função de quadrado integrável f pode ser aproximada com precisão arbitrária por uma função de Vj.
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Equação de dilatação
Como ϕ(x) pertence a V0, também pertence a V1 também
Assim pode exprimir-se como combinação linear das funções de base de V1.
)( 2 )()( nxφnhxφ φn
−∑= 2
)( )()( , xφnhxφ nφn
2∑=
coeficientes da função de escalamento
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Espaços ortogonais
V0
V1
V2
V0W0W1Vj+1=Vj⊕Wj
jj WWWVV ⊕⊕⊕⊕= ...100
Wj é um subespaço vectorial
soma directa de sub-espaços
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Wavelets
)( 2 )()( nxφnhxψ ψn
−∑= 2
Se {Vj} for uma análise multi-resolução então existe uma função ψ(x) (wavelet)tal que
1) as funções wavelets ψjk(x)=2j/2 ψ(2jx-k) são uma base de Wj
2) ϕjk(x) ⊥ ψjm(x) ∀j,k,m
Pode-se provar que
e que
)()()( nhnh φn
ψ 1−=
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Desenho da função de escalamento
O desenho da função de escalamento ϕ(x) e respectiva wavelet ψ(x) não é abordada neste curso. Há várias famílias de funções propostas (p.ex., por Daubechies).
O caso mais simples é o impulso rectangular (Haar)
⎪⎩
⎪⎨⎧ <≤
=..
)(cc
xxφ
0
101
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Exemplo
⎪⎩
⎪⎨⎧ <≤
=..
)(cc
xxφ
0
101
Admitamos que ϕ é a função de Haar
)()()( 122222
12
1 −+= xφxφxφ
Assim
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<≤−
<≤
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
..
.
.
)(
..
)(
..
)(
cc
x
x
xψ
cc
n
n
nh
cc
n
n
nh ψφ
0
1501
5001
0
1
0
0
1
0
21
21
21
21
ψ(x)
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Expansão em série de wavelets
)( )()( ,,jj
,,0
xψdxφcxf kjkjk
kjkjk
000 ∑∑+∑=∞
=
kjc ,0
se f(x) for um sinal de quadrado integrável
coeficientes de aproximação
kjd , coeficientes de detalhe
>=< )(),(, xφxfc jkkj >=< )(),(, xψxfd jkkj
...)( 212
0000 ++ ⊕⊕⊕= jjjj WWWVIRL
Como
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Transformada de wavelet rápida
hψ(-n)
hϕ(-n)
↓2
↓2
hψ(n)
hϕ(n)
↑2
↑2
cj+1,n
dj,n
cj,n
cj+1,n
0 π
aproximação detalhe
aproximação
detalhe
O cálculo dos coeficientes de aproximação e de detalhe pode ser feita através de um banco de filtros
Análise Síntese
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Transformada multi-escala
0 π
aproximação detalhe
dj,n
hψ(-n)
hϕ(-n)
↓2
↓2
cj+1,n
cj-1,n
hψ(-n)
hϕ(-n)
↓2
↓2
cj,n
hψ(n)
hϕ(n)
↑2
↑2
cj+1,n
hψ(n)
hϕ(n)
↑2
↑2
cj,n
dj-1,n
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Exemplo
)()()(
)()()(
1
1
21
21
21
21
−−=
−+=
nδnδnh
nδnδnh
ψ
φ]4 0 1- 1 3 1 2 0[)( =nf
Filtros associados à wavelet de Haar
Transformada de wavelet rápida
sinal
]4- 2 2- 2[ ]4 4- 1- 2 2 2- 1 2[ )(*)(
]4 0 4 2[ ]4 4 1- 0 4 4 3 2[ )(*)(
−=⎯⎯→⎯−=−
=⎯⎯→⎯=−
−↓
−↓
21
21
21
21
12
12
dnhnf
cnhnf
ψ
φ
]2 2- 1- 1 1 1- 1 -1[ ]0 4 0 2 0 2- 0 2[ )(
]2 2 0 0 2 2 1 1 [ ]0 4 0 0 0 4 0 2[ )(
)(*
)(*
⎯⎯⎯ →⎯−=↑
⎯⎯⎯ →⎯=↑
−
−
nh
nh
ψ
φ
d
c
212
212
1
10 2 1 3 1 -1 0 4
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Representação de Imagens
Como representar imagens discretas usando wavelets?
Há 2 dificuldades:
a imagem é discreta
depende de duas variáveis independentes
1ª questão (sinal discreto): dado um sinal discreto, pode-se admitir que os valores do sinal I(n) são os coeficientes de ordem j, cj,m, e aplicar waveletspara obter os coeficientes de resoluções mais baixas.
2ª questão (sinal bidimensional): aplicar a transformada de Haar a cada coluna da imagem e depois aplicar a transformada de Haar a cada linha da matriz resultante.
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Exemplo
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Leituras sugeridas
S. G. Mallat, "A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: A Wavelet Representation," IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol 11, No. 7, July 1989.
Gonzalez, Woods, Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008
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