Vetores no plano e no espaco
Quando resolvemos um sistema linear obtemos um conjuntosolucao. As perguntas neste caso sao:I Como e esse conjunto solucao?I Como caracteriza-lo e como estuda-lo?
O problema basico a que nos confrontamos e o da visualizacaodo conjunto solucao. O ser humano visualiza coisas por meiode figuras e desenhos. Mas, para desenhar, precisamos dolugar ou papel onde desenhar e uma ideia de escala para quea nossa figura guarde uma certa coerencia.
O plano e o espaco
Quando tratamos de um sistema linear com duas incognitassabemos que o conjunto solucao e formado por elementos daforma (a,b) entao e natural, na hora de desenhar o conjunto,de faze-lo sobre um papel onde o numero a de uma ideia delargura e o numero b de altura. Nosso papel aqui e o planocartesiano
R2 = {(a,b), a,b ∈ R}
O plano e o espaco
Para fazer o desenho tracamos sobre o plano duas retasperpendiculares. Uma delas sera chamada de eixo x e a outrade eixo y . O ponto de intersecao O, que chamamos de origem,tera por coordenadas O = (0,0). Sobre cada uma das retastracamos uma escala, que de preferencia deve ser a mesmapara as duas. Os valores de x positivo sera do lado direito do(0,0) e do y positivo sera acima do O = (0,0).
O plano e o espacoEntao nosso conjunto solucao pode ser representado ali: porexemplo o ponto Q = (a,b) vai corresponder ao ponto que fora interseccao da reta paralela ao eixo y cortando o eixo x novalor correspondente a a e da reta paralela ao eixo x cortandoo eixo y no valor b.
O plano e o espaco
Da mesma forma que para sistemas de duas incognitaspodemos proceder para sisitemas de tres incognitas. So queagora o conjunto solucao possui elementos da forma a,b, cportanto para representa-los somente com altura e largura naoe possivel, precisamos de mais uma magnitude, neste casoprofundidade. Este novo lugar geometrico onde vamosdesenhar nosso conjunto solucao e o espaco cartesiano
R3 = {(a,b, c), a,b, c ∈ R}.
O plano e o espaco
Para desenhar nele, tracamos tres retas perpendiculares, umaque sera chamada de eixo x , outra de eixo y e a terceira deeixo z. As tres retas se intersectam em um ponto quechamamos de origem O. Este ponto O tera coordenadasO = (0,0,0).Analogamente ao caso anterior, sobre cada uma das retastracamos uma escala, que de preferencia deve ser a mesmapara todas.
O plano e o espacoOs valores de x positivo, y positivo e z positivo seraodistribuidos na forma que indica o desenho. Agora, nossoconjunto solucao pode ser representado ali: por exemplo oponto P = (a,b, c) vai corresponder ao ponto que forinterseccao do plano paralelo ao plano correspondente aoseixos xz que corta o eixo y em b e do plano paralelo ao planocorrespondente aos eixos xy que corta o eixo z em c.
Uma solucao de um sistema linear pode ser representada noplano ou no espaco por um ponto no mesmo.Uma vez que sabemos onde desenhar e onde representar oselementos dos conjuntos, temos que ter uma nocao dediferencia entre os objetos representados.
Comecamos por diferenciar pontos. Para diferencia-los bastaver que nao sao iguais. Isto sera feito por meio da distancia.
Definicao
Dados dois pontos P e Q no plano ou espaco, definimos adistancia entre P e Q comoI No plano, se P = (p1,p2) e Q = (q1,q2)
d(P,Q) =√
(q1 − p1)2 + (q2 − p2)2
I No espaco, se P = (p1,p2,p3) e Q = (q1,q2,q3)
d(P,Q) =√
(q1 − p1)2 + (q2 − p2)2 + q3 − p3)2
Vetores
Claramente, decorre da definicao que se d(P,Q) = 0 entaoP = Q.
Se dois pontos A e B no plano como no espaco nao sao iguais,nosso proximo passo e de alguma forma mensurar oudescrever como deve ser o deslocamento de A a para B. Paraisto introduzimos o conceito de vetor.
Definicao:
Um vetor ~u no plano e um par ordenado de numeros reais(a,b).
Analogamente, um vetor ~u no espaco e uma tripla ordenada denumeros reais (a,b, c). As entradas a,b, c recebem o nome decomponentes do vetor.
Denotamos por V2 ao conjunto dos vetores no plano e por V3ao conjunto de vetores no espaco, isto e
V2 = {(a,b), a,b ∈ R} e V3 = {(a,b, c), a,b, c ∈ R}.
Definimos sobre estes espacos duas operacoes: a soma e oproduto por escalar.Dados ~u = (a,b), ~v = (c,d) vetores no plano e α ∈ R definimospor ~u + ~v e α~u aos vetores cujas componentes sao dadas por
~u + ~v = (a + c,b + d), α~u = (αa, αb).
Analogamente ao caso do plano, dados ~u = (a,b, c) e~v = (d ,e, f ) vetores no espaco e α ∈ R definimos
~u + ~v = (a + c,b + e, c + f ) α~u = (αa, αb, αc).
Observamos como a definicao e igual ao caso das matrizes eque, embora esta notacao seja igual a notacao que damospara os pontos, o significado e completamente diferente.
Vetores: PropriedadesOs espacos dos vetores munidos da soma e produto porescalar definidos satisfazem as seguintes operacoes:
i- Comutatividade da soma: ~u + ~v = ~v + ~u.ii- Associatividade da soma: (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w).iii- Existe um unico elemento 0 = (0,0) em V2 (ou
0 = (0,0,0) em V3) tal que ~u + 0 = u.iv- Para cada elemento ~u existe um unico elemento, que
denotamos por −~u, tal que ~u + (−~u) = 0.v- 1~u = ~u.vi- (λ1λ2)~u = λ1(λ2~u).vii- (λ1 + λ2)~u = λ1~u + λ2~u.viii- λ1(~u + ~v) = λ1~u + λ1~v .para quaisquer ~u, ~v , ~w vetores e λ1, λ2 escalares.Vemos assim que o conjunto dos vetores tem uma estrutura deespaco vetorial.
VetoresOs vetores agem no plano e no espaco produzindodeslocamentos. Por exemplo, dado um ponto P = (p1,p2) noplano e um vetor ~v = (v1, v2) o ponto Q obtido ao se deslocardesde P na direcao de ~v e dado por
Q = (p1 + v1,p2 + v2).
Graficamente isto pode ser representado por um segmento dereta orientado
−→PQ com origem em P e extremo em Q.
Desta forma, podemos ver cada ponto P, no plano ou noespaco, como deslocamentos do ponto origem O na direcao dovetor
−→OP, cujas componentes sao dadas precisamente pelas
entradas do ponto, isto e
P = (a,b) ⇒−→OP = (a + 0,b + 0) = (a,b).
P = (a,b, c) ⇒−→OP = (a + 0,b + 0, c + 0) = (a,b, c).
Tambem podemos fazer o caminho contrario, dado dois pontosP = (p1,p2,p3) e Q = (q1,q2,q3) procuramos o vetor
−→PQ que
mensura o deslocamento de P ao ponto Q.Graficamente, o vetor
−→PQ e representado pelo segmento de
reta orientado com origem em P e extremidade em Q.Neste caso e simples fazer a conta e obter
P = (p1,p2), Q = (q1,q2) ⇒−→PQ = (q1 − p1,q2 − p2).
e no espaco
P = (p1,p2,p3), Q = (q1,q2,q3)
⇒−→PQ = (q1 − p1,q2 − p2,q3 − p3).
Definicao
Sejam−→AB (que vai do ponto A ao ponto B) e
−→PQ (que vai do
ponto P ao ponto Q) dois segmentos de reta orientados querepresentam os correspondentes vetores. Dizemos queI os segmentos de reta orientados representam o mesmo
vetor se−→AB =
−→PQ.
I−→AB e
−→PQ sao paralelos se existe um escalar λ ∈ R{0} tal
que−→AB = λ
−→PQ.
Exemplo
Seja ABC um triangulo e sejam P e Q os pontos medios doslados
−→AC e
−→AB respectivamente. Entao o segmento de reta
que une P com Q e paralelo ao lado CB.
A
B
C
Q
P
Exemplo
Vamos resolver isto com vetores. Sabemos que
−→AP +
−→PQ =
−→AQ,
entao−→CB =
−→AB −
−→AC
= 2−→AQ − 2
−→AP
= 2(−→AQ −
−→AP)
= 2−→PQ.
Definicao
I Um vetor ~v e dito uma combinacao linear de vetores{~u1, · · · , ~uk} se existem escalares {λ1, · · · , λk} tais que
~v = λ1~u1 + · · ·+ λk~uk
I Um conjunto de vetores {~u1, · · · , ~uk} e dito linearmnetedependente (l.d) se existem escalares {λ1, · · · , λk}, naotodos simultaneamente nulos, tais que
λ1~u1,+ · · ·+ λk~uk = 0.
Caso contrario dizemos que sao linearmenteindependente (l.i).
Exemplo
Os vetores −→v 1 = (1,1,1) −→v 2 = (2,1,0) e −→v 3 = (2,0,−2) saolinearmente dependentes. De fato
−→v 3 = −2−→v 1 + 2−→v 2.
Exemplo
Os vetores −→v 1 = (1,1,1), −→v 2 = (1,1,0) e −→v 3 = (1,0,1) saolinearmente independentes. De fato, se
α−→v 1 + β
−→v 2 + γ−→v 3 = 0.
Entao α + β + γ = 0α + β = 0α + + γ = 0
Como
det
1 1 11 1 01 0 1
= 1×det(
1 11 0
)+0+1×det
(1 11 1
)= −1 6= 0
Temos que o sistema tem solucao unica, portanto,α = β = γ = 0.
No plano
Todo vetor do plano pode ser escrito unıvocamente comocombinacao linear dos vetores
{~e1 = (1,0), ~e2 = (0,1)}.
Mais ainda, as coordenadas (x , y) de um ponto qualquer doplano P = (x , y), podem ser vistas como as componentes dacombinacao linear, isto e,
−→OP = x ~e1 + y ~e2.
Os eixos coordenados sao os conjuntos
eixo x→ {P,−→OP = x ~e1, x ∈ R}.
eixo y→ {P,−→OP = y ~e2, y ∈ R}.
No espaco
Todo vetor no espaco pode ser escrito unıvocamente comocombinacao linear dos vetores
{~e1 = (1,0,0), ~e2 = (0,1,0), ~e3 = (0,0,1)}.
Mais ainda, as coordenadas (x , y , z) podem ser vistas como ascompenentes da combinacao linear, isto e,
−→OP = x ~e1 + y ~e2 + z ~e3.
Os eixos coordenados sao os conjuntos
eixo x→ {P,−→OP = x ~e1, x ∈ R}.
eixo y→ {P,−→OP = y ~e2, y ∈ R}.
eixo z→ {P,−→OP = z ~e3, z ∈ R}.
No espaco
Analogamente, os planos coordenados podem ser descritos daseguinte forma
plano yz→ {P,−→OP = y ~e2 + z ~e3, y , z ∈ R}.
plano xz→ {P,−→OP = x ~e1 + z ~e3, x , z ∈ R}.
plano xy→ {P,−→OP = x ~e1 + y ~e2, x , y ∈ R}.
Observacao
Determinar se um conjunto de vetores ~u1, · · ·~uk e linearmentedependente e equivalente a determinar se existe uma k−upla(λ1, . . . , λk ) 6= (0, . . . ,0) tais que
λ1 ~u1 + · · ·+ λk ~uk = 0.
Este problema pode ser escrito em forma matricial comoAX = 0 onde
A =
| · · · |~u1 · · · ~uk| · · · |
X =
λ1...λk
.
ObservacaoAssim, por exemplo, o problema de como determinar se umconjunto {~u1, · · · , ~uk} de vetores no espaco e linearmenteindependente ou nao, pode ser tratado da seguinte forma(fazemos aqui o caso do espaco): assuma que
~ui = (ai1,ai2,ai3).
entao a equacao
λ1~u1 + . . .+ λk~uk = 0
pode ser escrita matricialmente (ou como um sistema linear)como a11 · · · ak1
a12 · · · ak2a13 · · · ak3
λ1
...λk
=
000
.
Se o sistema tem solucao unica temos λ1 = λ2 = · · · = λk = 0e, portanto, o conjunto e linearmente independente. Casocontrario, temos solucoes com λi 6= 0 para alguns i ’s. Nesteultimo caso o conjunto e linearmente dependente.
Exemplo
Vamos mostrar agora que dados dois vetores linearmenteindependentes no plano, podemos escrever qualquer outrovetor como combinacao linear deles. O mesmo no espaco, istoe, com tres vetores linearmente independentes podemosdescrever qualquer outro vetor no espaco como combinacaolinear deles.Sejam ~u = (u1,u2) e ~v = (v1, v2) vetores no plano. Entao se~w = (a,b) e um outro vetor queremos saber se existe α, β talque
α~u + β~v = ~w
o que e equivalente a saber se o sistema(u1 v1u2 v2
)(αβ
)=
(ab
).
tem solucao
Exemplo
Em geral, se
det
(u1 v1u2 v2
)6= 0,
sempre vai ter solucao. Mas pedir que o determinante sejadiferente de zero e equivalente a dizer que ~u e ~v saolinearmente independentes. De fato, ao ter determinantediferente de zero, temos que o problema
α~u + β~v = ~0,
tem por unica solucao α = β = 0.Analogamente, tres vetores {~u1, ~u2, ~u3} no espaco que sejamlinearmente independentes nos permitem descrever qualqueroutro vetor como combinacao linear de estes.
Proposicao
I Em V2 o numero maximo de vetores linearmenteindependentes e 2.
I Em V3 o numero maximo de vetores linearmenteindependentes e 3.
Demonstracao:
Assuma que, em V2, temos k vetores lineramenteindependentes que geram V2. Claramente k > 1 pois, pelovisto acima, se ~v = (a,b) 6= (0,0) temos que ~u = (−b,a)satisfaz {~u, ~v} e linearmente independente. Assuma entao quek > 2. Considere o sistema homogeneo associado
(a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
) λ1...λn
=
(00
).
Temos assim k > 2 variaveis e, portanto, o sistema possuivariaveis livres. De onde segue que existem solucoes naonulas, o que e uma contradicao. De fato, se ha solucoes naonulas temos que ~u1, · · · , ~un nao e lineramente independente.O resultado para V3 se prova em forma analoga.
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