Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Mestrado Profissional em Tecnologia de Alimentos
Análise Estatística de Experimentos
Profª Sheila Regina Oro
EXPERIMENTOS FATORIAIS
Francisco Beltrão
Agosto, 2013
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Experimentos Fatoriais• Projeto experimental em que os ensaios são realizados de
forma proposital e com causas controladas (fatores).
• É necessário o controle das causas para que as respostas obtidas nos ensaios sejam devidas somente aos efeitos dos tratamentos realizados e não a outras causas.
• O pesquisador deve considerar a presença de efeitos “não controláveis” (variação ao acaso).
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Experimentos Fatoriais
• Cada nível de um fator é ensaiado com todos os níveis dos outros fatores, para testar principalmente se há diferença no valor esperado da resposta entre os níveis de cada fator e se há interação entre os fatores.
• Fator: variável independente• Ex.: solventes, aditivos, temperatura
• Níveis: • Ex.: ausência ou presença; -1, controle, +1; 50ºC , 75ºC , 100ºC
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Exemplo 1: Solventes
• Um pesquisador está interessado em estudar a extração de pigmentos naturais, com aplicação como corante em alimentos. Numa primeira etapa tem-se a necessidade de escolher o melhor solvente extrator dentre os seguintes: E50, EAW, MAW, E70, M1M. A escolha do(s) melhor(es) solventes foi realizada através da medida da absorbância de um pigmento natural do fruto de baguaçú.
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Exemplo 1: Solventes
• Fator: solvente
• Níveis: 5 (E50, EAW, MAW, E70, M1M)
• Repetições: 5
• Tratamentos: 5
• Ensaios: 25 (Repetições x Tratamentos)
• Unidade experimental: 10 gramas de polpa
• Casualização: a partir de 1kg de polpa, foram retiradas as amostras de 10g para a aplicação dos tratamentos, numa ordem aleatória.
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Tabela 1-2 Dados gerais de um experimento com um único fator Tratamentos
(níveis) Observações Totais Médias
1
y11
y12
.
.
.
y1n
y1.
y1
2
y21
y22
.
.
.
y2n
y2.
y2
.
. . .
.
. . .
.
. . .
.
. . .
.
.
a
ya1
ya2
.
.
.
yan
ya.
ya
ANOVA – 1 Fator
y ij =μ+α i +ε ij
Resposta nível i
repetição j
Média geralEfeito decada nível
Erro
Modelo – 1 Fator
Suposições:
1) os erros aleatórios são independentes;
2) os erros aleatórios são normalmente distribuídos;
3) os erros aleatórios tem média 0 (zero) e variância 2;
4) a variância, 2, deve ser constante para todos os níveis do fator.
5) as observações são adequadamente descritas pelo modelo
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• Níveis do fator selecionados pelo pesquisador
• Hipóteses:
H0: 1= 2=...= a
H1: i j para pelo menos um par (i,j)
1-3.1 Decomposição da soma de quadrados total
a
=i
a
=i
n
j=ii
a
=i
n
j=
yy+yyn=yy1 1 1
2.ij
2...
1 1
2..ij
Corrigida para a média
SSTotal = SSTratamentos + SSErro
1 Fator – Efeito Fixo
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Decomposição da soma de quadrados total
a
=i
a
=i
n
j=ii
a
=i
n
j=
yy+yyn=yy1 1 1
2.ij
2...
1 1
2..ij
SSTotal = SSTratamentos + SSErro
1 Fator – Efeito Fixo
10101010
n
j=iyy
n 1
2.ij1
1
11 1
2.ij nayy
a
=i
n
j=i
1 Fator – Efeito Fixo
Variância do tratamento i
Variância combinada dos a tratamentos
11111111
a
=ii yy
a 1
2...1
1
Variância entre tratamentos
1 Fator – Efeito Fixo
SSTotal : an-1
SSTratamentos : a-1
SSerro : a(n-1)
Graus de liberdade
12
1tosQMTratamen 1
2
a
τn+σ=)E(
a
=ii
2
)a(=
a
tosSQTratamen=QMTrat
1-n
SQErroQMErro
1
2σ=E(QMErro)
Quadrados médios
Esperança dos quadrados médios
1 Fator – Efeito Fixo
13
Análise Estatística• Critério para rejeição de H0:
F0 > F,a-1,N-a
valor p < 5%
• valor-p: probabilidade de rejeitar a hipótese nula devido a variações aleatórias.
Teste:QMErro
ntosQMTtratame=Fo
1 Fator – Efeito Fixo
14
Tabela da análise de variância de um experimento com um fator. Causas de variação
Soma de quadrados
Graus de liberdade
Quadrados médios
F0
Entre tratamentos
SSTratamentos a-1 QMTratamentos QMTratamentos
QMErro
Erro (dentro de trata/os)
SSErro N-a QMErro
Total SST N-1
N = an
Valor p
1 Fator – Efeito Fixo
.100Média
QMErro=CV
r
QMqsmd erro
glr erro;;...
dms = diferença mínima significativa
qα; r; gl_erro: valor tabelado
QMerro: quadrado médio do resíduo (ANOVA)
r: número de repetições de cada tratamento
Teste de Tukey
1 Fator – Efeito Fixo
16
Tabela 1.1 Dados de absorbância de cada um dos solventes
Exemplo 1: Solventes
E50 EAW MAW E70 M1M
0,5553 0,5436 0,4748 0,6286 0,1651
0,5623 0,5660 0,4321 0,6143 0,1840
0,5585 0,5860 0,4309 0,5826 0,2144
0,5096 0,5731 0,5010 0,7498 0,2249
0,5110 0,5656 0,4094 0,6060 0,1954
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• Há suspeita de que o tipo de solvente esteja afetando a absorbância.
• Distribuições assimétricas.
• Valor discrepante observado para o solvente E70.
Exemplo 1: Solventes
18
Exemplo 1: Solventes
• Minitab Stat – Basic Statistics – Display Descriptive Statistics
TotalVariable Count Mean StDev CoefVar Minimum Median Maximum RangeE50 5 0,5393 0,0266 4,94 0,5096 0,5553 0,5623 0,0527EAW 5 0,5669 0,0154 2,72 0,5436 0,5660 0,58600,0424MAW 5 0,4496 0,0372 8,28 0,4094 0,4321 0,5010 0,0916E70 5 0,6363 0,0656 10,31 0,5826 0,6143 0,7498 0,1672M1M 5 0,1968 0,0238 12,11 0,1651 0,1954 0,2249 0,0598
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Exemplo 1: Solventes• Minitab
Stat – ANOVA – One-Way (Unstacked) – Comparisons – Tukey’s
• O teste da ANOVA confirma que o tipo de solvente afeta a absorbância.
• F5%;4;20 = 2,87
• Valor-p < 5%
• 95,29% da variância total é explicada pela reta obtida do modelo de regressão linear
Fonte de Variação
Graus de liberdade
Soma de Quadrados
Quadrados Médios
F Valor-p
Solvente 4 0,583024 0,145756 101,11 0,0000
Erro 20 0,028832 0,001442
Total 24 0,611856
CV 7,95% R² 95,29%
20
Exemplo 1: Solventes
• O teste de Tukey apontou que os solventes que não diferem entre si quanto aos valores esperados de absorbância são:
• E50 e EAW
• E70 e EAW
• Todos os demais diferem significativamente entre si.
• A diferença mínima significativa (dms) calculada foi de 0,0718783.
Solvente Média Grupos Homogêneos
M1M 0,19676 a
MAW 0,44964 b
E50 0,53934 c
EAW 0,56686 c d
E70 0,63626 d
21
Qual teste de comparações múltiplas usar?
O LSD é eficiente para detectar diferenças verdadeiras nas médias se ele for aplicado apenas depois do teste F da ANOVA, se significativo a 5%. Idem para o Duncan. Estes métodos não contém o erro tipo I (erro geral ou experimentwise error). Como o teste de Tukey controla este erro, ele é o preferido pelos estatísticos. Se a comparação for com um grupo controle, utiliza-se Dunnett.
1 Fator – Efeito Fixo
22
Estimação dos parâmetros do modelo
Estimativas da média geral e dos efeitos dos tratamentos:
.ˆˆˆ iii y=τ+μ=μ
Estimativa pontual de i: dado i= + i, temos:
1 Fator – Efeito Fixo
23
Intervalo de confiança para a diferença entre quaisquer duas médias i-j:
2QMErro/nNα/2,.. aji t±yy
Um intervalo de confiança para i é dado por:
QMErro/nN/2,. aαi t±y
1 Fator – Efeito Fixo
24
M1M 0,28100,47780,1968ˆ
E70 0,15850,47780,6363ˆ
MAW 0,02820,47780,4496ˆ
EAW 0,08910,47780,5669ˆ
E50 0,06150,47780,5393ˆ
0,4778ˆ
5
4
3
2
1
==τ
==τ
==τ
==τ
==τ
=μ
Exemplo 1: Solventes
Estimativas da média geral e dos efeitos dos tratamentos:
25
0,67120,6014
5/0,00142,0860,6363
4 μ
)(±
Exemplo 1: Solventes
0,13730,2361
/50,001422,0860,63630,4496
43
μμ
)(±)(
Um intervalo de confiança para 4 é dado por:
Intervalo de confiança para a diferença entre as médias 3 e 4:
26
Dados desbalanceados:
O número de observações dentro de cada tratamento é diferente.
N
y
n
y=
yy=
a
=i i
i
a
=i
in
j=
2..
1
2.
2..
1 1
2ij
tosSQTratamen
/NSQTotal
1 Fator – Efeito Fixo
27
Diagnóstico do ModeloVerificar se as pressuposições básicas do modelo são válidas fazendo a análise de resíduos.
Define-se o resíduo da ij-ésima observação como:
ijij yy=e ij
A suposição de normalidade
Vamos usar o gráfico normal de probabilidades: sob normalidade dos erros, estes devem seguir uma reta de 45o.
1 Fator – Efeito Fixo
28
• Alguns valores negativos dos resíduos (mais extremos) deveriam ser maiores; alguns valores positivos dos resíduos deveriam ser menores, com exceção do último valor que deveria ser maior.
• O gráfico indica que os resíduos (erros) podem ter distribuição normal.
Exemplo 1: Solventes
• Existe um resíduo que é muito maior que os demais, este valor é denominado outlier. Deve-se fazer uma investigação sobre esse valor. Só eliminar um outlier se tiver uma justificativa não estatística, caso contrário, fazer duas análises: uma com e outra sem o outlier. Usar métodos não paramétricos. Transformação.
• Se algum resíduo padronizado (dij) for maior do que |3| ele é um outlier.
erroQM
e=d ij
ij
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Gráfico de resíduos no tempo
Usado para verificar se existe correlação entre os resíduos. Uma tendência de ter resíduos positivos e negativos indica uma correlação positiva. Isto implica que a suposição de independência dos erros foi violada. Isto é um problema sério, e até difícil de resolver. Se possível evitar este problema. A casualização adequada pode garantir a independência.
Exemplo 1: Solventes
30
Gráfico dos resíduos versos valores preditos
A distribuição dos pontos é aleatória. Útil para verificar se as variâncias são heterogêneas (forma de megafone). Devido à presença de um outlier as variâncias podem não ser homogêneas. Na presença de heterogeneidade de variâncias é usual aplicar uma transformação nos dados (Box-Cox). Pode-se usar os testes não-paramétricos (Kruskal-Wallis).
Exemplo 1: Solventes
31
Transformação Box-Cox
Usada para homogeneizar as variâncias. As conclusões são realizadas para os dados transformados.
Exemplo 1: Solventes
32
Teste de Levene
1) Calcular os resíduos da análise de variância;
2) Fazer uma análise de variância dos valores absolutos desses resíduos;
3) Se as variâncias são homogêneas, o resultado do teste F será não significativo.
Conclusão: Aceita-se a hipótese de que as variâncias são homogêneas, pois valor-p > 5%.
Exemplo 1: Solventes
FV GL SQ QM F PSolventes 4 0,003576 0,000894 2,00 0,134Error 20 0,008944 0,000447Total 24 0,012519
ANOVA 2 Fatores
Fator A com i níveis e fator B com j níveis.
ij = diferentes combinações de níveis dos dois fatores (tratamentos).
kij = número de observações do tratamento.
Fatores A e B podem influir na variável dependente de forma isolada, denominados efeitos principais, e de forma combinada, efeito de uma combinação específica dos fatores A e B.
O teste de hipóteses para dois fatores A e B tem três hipóteses nulas:
H0 : Não há efeito principal do fator A
H0 : Não há efeito principal do fator B.
H0 : Não há combinação de efeitos.
H1 : Há efeito em cada um dos três casos.
ANOVA 2 Fatores
ijkijjiijk ε+αβ+β+α+μ=y
Cada observaçãoda variável
resposta
Média geral
Efeito decada níveldo fator A
Erro
Efeito decada níveldo fator B
Efeito decada nível
da interação
ANOVA 2 Fatores
Modelo
Observações de cada célula ab: amostra aleatória de tamanho r;Cada uma das ab populações é normalmente distribuída;Todas as populações têm a mesma variância;
Os parâmetros , e satisfazem as condições:
e
20,~ αNεijk
iαjβ ijαβ
011
=β=αb
=ii
a
=ii 0
11
=αβ=αβb
j=ij
a
=iij
Suposições do modelo
ANOVA 2 Fatores
ANOVA 2 Fatores
• Considere o experimento que visa estudar o efeito simultâneo do uso (ou não) de antibióticos e de vitamina B12 (ou não) no aumento de peso (kg) diário em suínos. Faça uma análise estatística do experimento com a finalidade de verificar se existe diferença estatisticamente significativa entre os tratamentos, adotando um nível de confiança de 95%.
Experimento: 2 fatores, 2 níveis e 3 repetições.
Tratamentos: 4
Unidades experimentais: 12
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
A tabela a seguir indica os valores observados na amostragem. - sem antibiótico (a0) - com 40g de antibiótico (a1)
- sem vitamina B12 (b0)
- com 5mg de vitamina B12 (b1)
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
Nível do Fator b0 b1
a01,30 1,26
1,19 1,21
1,08 1,19
a11,05 1,52
1,00 1,56
1,05 1,55
• Nesse experimento vamos verificar os efeitos individuais do uso de antibiótico ou da vitamina B12 no aumento de peso dos suínos, além de estudar a interação desses dois fatores.
Fatores: Antibiótico (A) e Vitamina B12 (B);Níveis: a0 (sem antibiótico) e a1 (com antibiótico); b0
(sem Vitamina B12) e b1 (com vitamina B12), respectivamente, adicionados a uma dieta básica de suínos.
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
• Há suspeita de que os níveis de antibiótico e/ou vitamina influenciam o peso dos suínos.
• Distribuições simétricas.
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
%36,93100²
412333,0
0,02940,41240,4418
0,41242.2.3
²1,55...1,30
3
4,63²3,10²3,61²3,57²
0,44182.2.3
²1,55...1,301,55²...1,30²
mod
mod
total
elo
ABBAelo
errototalerro
trat
total
SQ
SQR
SQSQSQSQ
==SQSQ=SQ
=+++++
=SQ
=++
++=SQ
5,320,051,8 =F ;
Conclusão: pelo menos duas médias de tratamentos diferem significativamente entre si quanto ao ganho de peso diário de suínos.
Como a interação é significativa (valor-p < 5%), os fatores antibiótico e vitamina não atuam independentemente na variável resposta (peso).
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
Fonte de Variação
Graus de liberdade
Soma de Quadrados
Quadrados Médios
F Valor-p
Antibiótico 1 0,020833 0,020833 5,68 0,044
Vitamina 1 0,218700 0,218700 59,65 0,000
Interação 1 0,172800 0,172800 47,13 0,000
Erro 8 0,029333 0,003667
Total 11 0,441667
CV 4,86% R² 93,36%
MINITAB:/Stat/ANOVA/Two-way
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
O que fazer agora?
• Como a interação é significativa deve-se fazer o desdobramento da interação.
• Além disso, como os dois efeitos principais são significativos deve-se estudar o comportamento de um fator dentro dos níveis do outro;
• Caso apenas um dos efeitos principais fosse significativo, seria necessário estudar apenas o comportamento do fator não significativo dentro dos níveis do outro fator.
EFEITO SIMPLES DE UM FATORMedida da variação que ocorre com a característica em estudo (peso, neste caso) correspondente às variações nos níveis desse fator, em cada um dos níveis do outro fator.
0,251,301,05A 0000b dentro
==baba=) 1(
0,261,261,52A 1011b dentro
==baba=) 1(
0,041,301,26 B 0010a dentro
==baba=) 0(
0,471,051,52 B 0111a dentro
==baba=) 1(
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
EFEITO SIMPLES DE UM FATOR
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
• Na ausência da vitamina existe uma diferença no peso diário dos suínos. A estimativa desta diferença é dada por
• Somente o efeito do antibiótico prejudica o peso diário dos suínos.
Kg==baba=) 1(0,473,573,10A 000
0b de dentro
EFEITO SIMPLES DE UM FATOR
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
• Quando se utiliza a dose de vitamina B12, também existe uma diferença no peso diário dos suínos.
• A combinação do uso de antibiótico e vitamina favorece o peso diário dos suínos.
Kg==baba=) 1(0,973,664,63A 101
1b de dentro
EFEITO PRINCIPAL DE UM FATOR
Quanto mudou a variável resposta devido à mudança no nível do fator.
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
Efeito principal de A
A presença de antibiótico proporciona um aumento de 0,005kg no peso dos suínos;
Efeito principal de B
A presença de vitamina B12 proporciona um aumento de 0,215kg no peso dos suínos;
005,02
26,130,1
2
52,105,1
2210001101
babababa
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
215,02
05,130,1
2
52,126,1
2201001110
babababa
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
EFEITO DA INTERAÇÃO ENTRE OS FATORESMedida da variação que ocorre com a característica em estudo, correspondente às variações nos níveis de um fator, ao passar de um nível a outro do outro fator.
Efeito da interação A x B = B x A
0,2552
0,250,26
2
A A 0b de dentro 1b de dentro
=)(
=)) ((
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
B1B01,6
1,4
1,2
1,0
A1A0
1,6
1,4
1,2
1,0
nivelFA
nivelFB
A0A1
nivelFA
B0B1
nivelFB
Interaction Plot for pesoData Means
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
Interações
0,15682.3
8,29²
3
4,63²3,66²
2r
0,03682.3
6,67²
3
3,10²3,57²
2r2
+++2
121
2+++
211
=+
=X
r
X+X=)SQ(A
=+
=X
r
X+X=)SQ(A
222
dentrob
221
0dentrob
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
5,320,051,8 =F ;
Conclusão
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
• O teste para a interação AxB foi significativo (p < 0,05);
• Como nas fontes de variação do desdobramento A (dentro de b0) e A(dentro de b1) o teste F foi significativo e o fator “Antibiótico” possui dois níveis, não é necessário realizar um teste de comparação de médias.
• Interpretações dos testes dos efeitos simples de antibiótico (A) e de vitamina (B) perdem significado.
Experimento 2k fatorial
• Há apenas 2 níveis para cada fator;
• Ex.: Um experimento com 3 fatores e 2 níveis, em duplicata, corresponde a 23 x 2, ou seja, ou 2 x 2 x 2 = 8 experimentos;
• Por que realizar experimento fatorial com dois níveis?
• ƒFacilidade de realização e de análise gráfica;
• Número reduzido de experimentos.
• Pode ser aplicado na maioria das situações e na resolução de problemas.
• Possibilidade de uso numa sequência de estudos, inclusive em casos multivariados.
• Mesmo com um número elevado de fatores, este tipo de planejamento mantém os experimentos em uma quantidade e complexidade razoável.
Exemplo 3 - Hipotético Fatores
A B C valor observado
1 -1 -1 352,761
1 -1 -1 347,335
-1 -1 1 353,872
1 1 -1 351,813
-1 1 1 339,947
-1 1 1 347,432
-1 1 -1 353,754
1 -1 1 350,932
1 1 -1 351,716
1 1 1 345,387
-1 -1 -1 348,340
-1 -1 1 359,257
-1 1 -1 350,073
1 -1 1 352,454
-1 -1 -1 353,298
1 1 1 348,374
Experimento fatorial:3 fatores (A, B, C)2 níveis (-1, 1)Duplicata2³ x 2 = 16 observações
Exemplo 3 - Hipotético
Apenas a interação entre 2 fatores foi significativa, com 10% de significância.
Exemplo 3 - Hipotético
Com um nível de confiança de 90% conclui-se que:Os efeitos do fator B foram significativos;Os efeitos da interação BC foram significativos.
Exemplo 3 - Hipotético
Podemos assumir que os erros são normalmente distribuídos.
Exemplo 3 - Hipotético
A distribuição dos pontos é aleatória, indicando variâncias homogêneas.
Exemplo 3 - Hipotético
Os pontos dispostos ao acaso, indicando erros independentes.
Exemplo 3 - Hipotético
Os efeitos do fator B e da interação entre os fatores B e C são significativo (5%).
Exemplo 3 - Hipotético
Exemplo 3 - Hipotético
Exemplo 3 - Hipotético
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