UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSECENTRO TECNOLÓGICO
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO
ARTHUR SANT’ANNA DE ALVARENGA
LUCAS HENRIQUE COSTA
RETIFICAÇÃO DE DADOS EM PLANTAS DEBENEFICIAMENTO MINERAL
NITERÓI
2015
1
ARTHUR SANT’ ANNA DE ALVARENGA
LUCAS HENRIQUE COSTA
RETIFICAÇÃO DE DADOS EM PLANTAS DE
BENEFICIAMENTO MINERAL
Projeto Final apresentado ao Curso deGraduação em Engenharia Química, oferecidopelo departamento de Engenharia Química e dePetróleo da Escola de Engenharia daUniversidade Federal Fluminense, comorequisito parcial para obtenção do Grau deEngenheiro Químico.
Orientador: Prof. Dr. DIEGO MARTINEZ PRATAALEXANDRE LANNES SAMPAIO, M. Sc.
Niterói2015
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF
A473 Alvarenga, Arthur Sant’Anna de
Retificação de dados em plantas de beneficiamento mineral /
Arthur Sant’anna de Alvarenga, Lucas Henrique Costa. – Niterói,
RJ : [s.n.], 2015.
189 f.
Trabalho (Conclusão de Curso) – Departamento de Engenharia
Química e de Petróleo – Universidade Federal Fluminense, 2015.
Orientador: Diego Martinez Prata, Alexandre Lannes Sampaio.
1. Beneficiamento de minério. 2. Reconciliação de dados. 3.
Modelagem computacional. 4. Otimização de processo. I. Costa,
Lucas Henrique. II. Título.
CDD 622.7
Niterói
2/2015
ARTHUR SANT´ANNA DE ALVARENGA
LUCAS HENRIQUE COSTA
“RETIFICAÇÃO DE DADOS EM PLANTAS DE BENEFICIAMENTO
MINERAL”
Projeto Final apresentado ao Curso de Graduação em
Engenharia Química, oferecido pelo departamento de
Engenharia Química e de Petróleo, da Escola de
Engenharia, da Universidade Federal Fluminense,
como requisito parcial para obtenção do Grau em
Engenharia Química.
Aprovado em 10 de março de 2016.
BANCA EXAMINADORA
iii
AGRADECIMENTOS
Agradecemos aos nossos pais e irmãos por todo o amor e oportunidades que sempre
dispuseram-se a oferecer e também por todo o auxílio que nos deram durante nossas vidas.
Gratificamos também aos nossos amigos, os quais a engenharia química nos apresentou
e temos a certeza de que serão levados para a vida toda.
Aos orientadores Alexandre Lannes Sampaio e Diego Martinez Prata pela ajuda,
paciência e disponibilidade em todos os momentos em que nós precisamos. Sempre buscando
o crescimento e a expansão do conhecimento.
Agradecemos, também, a Universidade Federal Fluminense por ser a casa que nos
abraçou e que proporcionou todo o crescimento profissional que obtivemos até hoje.
A todos os nossos mais sinceros agradecimentos.
iv
RESUMO
A reconciliação de dados (RD) é um importante passo em otimização em tempo real e esquemas
de controle em processos industriais. Todavia, nem todas as variáveis de um processo são
medidas. Dessa forma para a correta aplicação do procedimento de RD se faz necessário saber
se o sistema analisado possui informação suficiente para ser resolvido, isto é, se todas as suas
variáveis não medidas são observáveis, através das restrições e das demais variáveis medidas.
Isto é conhecido como classificação de variáveis (CLAV). Neste trabalho os procedimentos de
CLAV e RD são aplicados em duas plantas de beneficiamento mineral. O software EMSO foi
utilizado para reconciliar as variáveis medidas e estimar as variáveis não medidas, enquanto o
método de Oliveira Júnior (2006) foi utilizado para classificar cada planta analisada. Os
resultados obtidos confirmam os benefícios da RD e CLAV em um ambiente industrial, o que
incentiva a utilização desse software nacional e gratuito para fins acadêmicos.
Palavras-chave: EMSO, reconciliação de dados, classificação de variáveis, minérios.
v
ABSTRACT
Data Reconciliation (DR) it is an important step in real-time optimization and control schemes
in industrial processes. However, not all variables of a process are measured. Thus for the
correct application of DR procedure is necessary whether the analyzed system has sufficient
information to be resolved, that is, if all unmeasured variables are observable through the
constraints and other measured variables. This is known as variable classification (CLAV). In
this work the CLAV and RD procedures are applied in two plants of mineral beneficiation. The
software EMSO was used to reconcile the measured variables and estimate unmeasured ones,
while Oliveira Junior method (2006) was used to classify each analyzed plant. The results
confirm the benefits of DR and CLAV in an industrial environment, which encourages the use
of this free national software for academic purposes.
Key-Words: EMSO, data reconciliations, variable classification, ore.
vi
SUMÁRIO
AGRADECIMENTOS .......................................................................................................... III
RESUMO................................................................................................................................ IV
ABSTRACT .............................................................................................................................V
SUMÁRIO.............................................................................................................................. VI
LISTA DE SIGLAS............................................................................................................ VIII
LISTA DE SÍMBOLOS ........................................................................................................ IX
1. INTRODUÇÃO.............................................................................................................10
1.1. APRESENTAÇÃO ....................................................................................................10
1.2. MOTIVAÇÃO............................................................................................................11
1.3. OBJETIVO.................................................................................................................12
1.3.1. Objetivo Geral .......................................................................................................12
1.3.2. Objetivos Específicos ............................................................................................12
1.4. ESTRUTURA ............................................................................................................12
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.....................................................................................14
2.1. BENEFICIAMENTO DE MINÉRIO....................................................................................14
2.1.1. Cominuição............................................................................................................15
2.1.2. Peneiração e Classificação.....................................................................................17
2.1.3. Concentração por Flotação ....................................................................................19
2.2. RETIFICAÇÃO DE DADOS.....................................................................................23
2.2.1. Classificação de Variáveis.....................................................................................26
2.2.2. Detecção de Erros Grosseiros................................................................................30
2.2.3. Reconciliação de Dados.........................................................................................30
2.3. RECONCILIAÇÃO DE DADOS EM BENEFICIAMENTO DE MINÉRIO............32
2.4. FORMULAÇÃO CLÁSSICA DE UM PROBLEMA DE RD ...................................33
2.5. SOLUÇÃO ANALÍTICA DE UM PROBLEMA CLÁSSICO DE RD......................34
3. APRESENTAÇÃO DOS CASOS E METODOLOGIA............................................40
3.1. O SIMULADOR EMSO.............................................................................................40
3.2. CASO 1: SERTH ET AL. (1987)..................................................................................41
vii
3.3. CASO 2: SMITH E ICHIYEN (1973) ........................................................................44
3.4. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO...............................................46
3.4.1. Soma do quadrado do erro ....................................................................................46
3.4.2. Maior resíduo absoluto ..........................................................................................46
3.4.3. Soma dos resíduos absolutos .................................................................................47
3.4.4. Função objetivo .....................................................................................................47
3.5. RESUMO DA METODOLOGIA ..............................................................................47
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO..................................................................................49
4.1. CASO 1: SERTH ET AL. (1987)...................................................................................49
4.1.1. Classificação de Variáveis.....................................................................................49
4.1.2. Reconciliação de Dados.......................................................................................176
4.2. CASO 2: SMITH E ICHIYEN (1973) ......................................................................178
4.2.1. Classificação de Variáveis...................................................................................178
4.2.2. Reconciliação de Dados.......................................................................................178
5. CONCLUSÃO E SUGESTÕES.................................................................................181
5.1. CONCLUSÕES........................................................................................................181
5.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ....................................................182
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................................................................183
viii
LISTA DE SIGLAS
Sigla Descrição (descrição original)
CLAV : Classificação de variáveis
EMSO: Ambiente para Modelagem, Simulação e Otimização.(Environment for Modeling, Simulation, and Optimization)
Fobj : Função Objetivo.
MARES : Maior Resíduo Absoluto
MQP : Mínimos Quadrados Ponderados (Weighted Least Squares)
RD : Reconciliação de Dados
RES : Resíduos das restrições
RTD : Retificação de Dados
SARES : Soma dos Resíduos Absolutos
SSE : Soma dos Erros ao Quadrado (Sum of Squarer Error)
ix
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolo Descrição
COV Matriz de Covariâncias
ε Vetor de erros aleatórios de medida
εT Vetor de erros aleatórios de medida transposto
λ Sensibilidade em relação ao desvio de medida (local-shift sensitivity)
λ Vetor de multiplicadores de Lagrange
ξ Resíduo padronizado
σ Vetor dos desvios padrão dos erros de medida
σi Desvio padrão de cada variável medida i
Xi Vazão mássica da corrente i ou variável medida i
Yij Fração mássica do componente j na corrente i
y Vetor auxiliar
ui Variável não medida i
α Nível de confiança
L Lagrangeano
V matriz de variâncias (diagonal)
σ vetor dos desvios padrão (seu valor ao quadrado é chamado variância)
z vetor das variáveis medidas
z vetor das estimativas reconciliadas das variáveis medidas
ϕ função objetivo
ix valor reconciliado da variável medida i
i,vx valor verdadeiro da variável medida i
ju valor reconciliado da variável não medida observável j
j,vu valor verdadeiro da variável não medida observável j
10
1. INTRODUÇÃO
1.1. APRESENTAÇÃO
Em um mundo empresarial cada vez mais concorrido, buscar o total planejamento e
controle do processo produtivo torna-se fundamental para as empresas se diferenciarem. Isto
faz com que haja redução de custos e ganho de performance e eficiência. Reflete na equipe de
trabalho, na qualidade do produto e na competitividade da empresa. Para isso, a busca pela
melhoria contínua não deve parar. É assim que as empresas evoluem e se mantém no mercado
(SILVEIRA, 2012).
Consequentemente, as indústrias precisam de confiabilidade, flexibilidade e agilidade
dentro de seu sistema. E para que isso seja mais forte é necessária a evolução do controle
produtivo industrial, principalmente nos ramos das redes de instrumentação e controle fabris
que precisam estar inseridos nas plantas industriais para realizarem o monitoramento e as
medições da melhor maneira possível (SILVEIRA, 2012).
O método de mensuração das vazões, composições, e demais variáveis do sistema não
é perfeito. Dados medidos por equipamentos são corrompidos por erros devido a problemas de
calibração, erros dos operadores na utilização da escala, erros na leitura da medida e também
efeitos das condições climáticas como temperatura, pressão, humidade e às características
intrínsecas aos instrumentos de medição utilizados, como por exemplo a resolução, a
estabilidade e a sensibilidade. Todos estes fatores podem prejudicar a precisão (ROMAGNOLI
E SÁNCHES, 2000).
Esses erros podem ser classificados em erros aleatórios ou grosseiros. Os primeiros se
originam, pois os sensores não são precisos o bastante para extrair as medidas exatas do
processo. Já os erros grosseiros são frutos de eventos não previstos e costumam ser de maior
11
magnitude. São erros díspares da realidade que acabam abortando a análise dos dados e a
estatística clássica, o que acarreta em interpretações errôneas (PRATA, 2009).
Estes erros grosseiros são originados por várias condições em que os elementos
medidores acabam sendo submetidos e isso os faz acarretar em mau funcionamento devido a
falhas mecânicas, incrustação nos instrumentos de medição, apagões elétricos e outras
interrupções aleatórias que surgem durante o processo (PRATA; 2009).
Assim, é de fácil conclusão que a aplicação do procedimento de retificação de dados é
muito importante, visto que nem sempre os dados medidos de um processo industrial satisfazem
os modelos matemáticos que são utilizados no monitoramento e controle do sistema como um
todo. Este procedimento objetiva, basicamente, fazer com que o observado na prática esteja de
acordo com a teoria: a retificação de dados (PRATA, 2009).
Dessa maneira, a retificação de dados que contempla os procedimentos de classificação
de variáveis, detecção de erros grosseiros e reconciliação de dados (PRATA, 2009) assume
papel importante na mitigação dos erros dos dados medidos e, consequentemente, produz ganho
de tempo e minimização dos custos, ou seja, a maximização do sistema produtivo.
1.2. MOTIVAÇÃO
Ter uma despesa menor e uma maior receita. Essa é a meta que todas as empresas e/ou
pessoas físicas procuram atingir para aumentarem seus rendimentos. Porém, algumas vezes é
necessário investir para maximizar esses rendimentos, e é nesse contexto que se inclui a
retificação de dados.
Investindo nessa ferramenta melhora-se em desenvolvimento ambiental e social, já que
proporciona a redução do desperdício de matérias-primas, energia, maquinário, horas/trabalho.
Além disso, aprimora-se a padronização da qualidade do produto ofertado e, assim, se ganha
mercado.
Por meio disso, se consegue uma maior competitividade industrial em um panorama
empresarial cada vez mais disputado, o que valoriza o profissional com conhecimentos nessa
área e o coloca com forte poder de influência nos processos industriais.
Processos industrais de beneficiamento de minérios têm recebido pouca atenção de
pesquisadores da área de retificação de dados, principalmente para sistemas dinâmicos. Esses
processos são particulamente valiosos, pois muitos tratam diretamente com metais preciosos,
12
como por exemplo, ouro e prata e representam uma possível área de atuação para um engenheiro
químico de processamento. Isto motivou a elaboração e desenvolvimento deste trabalho.
Assim, o conhecimento de retificação de dados em plantas industriais é um grande
diferencial para o engenheiro químico no mercado de trabalho e um assunto muito importante
de ser estudado.
1.3. OBJETIVO
Os objetivos serão dividos em objetivo geral e objetivos específicos para melhor
compreensão do leitor.
1.3.1. Objetivo Geral
Este trabalho de conclusão de curso tem por objetivo fazer um estudo do procedimento
de retificação de dados utilizando o software EMSO (SOARES e SECCHI, 2003) para a
reconciliação de dados e o algoritmo baseado em ordenação matricial desenvolvido por Oliveira
Júnior (2006) para a classificação de variáveis. Para aplicação, foram utilizados dois estudos de
caso: Caso 1 – SERTH et al. (1987) e Caso 2 – Smith e Ichiyen (1973).
1.3.2. Objetivos Específicos
Caso 1 – Serth et al. (1987): utilizar a planta de beneficiamento de minério e os
valores verdadeiros e simulados das variáveis publicados pelos autores para
embasar um estudo de caso que culmine numa análise da importância do
precedimento de retificação de dados no ambiente industrial.
Caso 2 - Smith e Ichiyen (1973): utilizar a planta de beneficiamento de minério
e os dados de medição publicado pelos autores para resolver o problema de
reconciliação de dados, bem como efetuar uma análise comparativa entre os
resultados reportados e aqueles alcançados por meio da utilização do software
EMSO.
1.4. ESTRUTURA
13
Além dessa introdução como a contextualização, motivação e objetivos, este Trabalho
de Conclusão de Curso será organizado da seguinte maneira:
Capítulo 2: apresenta uma breve revisão de um processo de beneficiamento mineral,
abrangendo principais conceitos e equipamentos envolvidos. Também é feita uma introdução
às definições e conceitos do procedimento de retificação de dados, visando contextualizar o
leitor.
Capítulo 3: apresentação dos estudos de caso encontrados na literatura técnico-científica
que servirão de base para os procedimentos de classificação de variáveis e retificação de dados.
Neste capítulo também é realizado uma breve revisão sobre o software utilizado e um resumo
da metodologia.
Capítulo 4: explicitação e discussão dos resultados obtidos para os estudos de caso.
Capítulo 5: apresenta a conclusão obtida por este trabalho e sugestões para trabalhos
futuros.
Por último serão apresentadas as referências bibliográficas que foram utilizadas como
base para este trabalho de conclusão de curso.
Este trabalho foi desenvolvido durante a graduação do Departamento de Engenharia
Química e Petróleo da Universidade Federal Fluminense – UFF, e está inserido nas linhas gerais
de modelagem, simulação, controle e otimização de processos.
14
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste capítulo será realizado um apanhado geral de todo o processo de beneficiamento
mineral e do procedimento de retificação de dados. Detalha-se as operações do tratamento
mineral abordadas nos casos de estudo, dando ênfase aos processos e aos principais
equipamentos utilizados. Também aborda-se os pormenores da ferramenta de retificação de
dados, suas definições, seus principais componentes e as partes mais relevantes desse
procedimento muito importante para a otimização de processos industriais.
2.1. Beneficiamento de Minério
O minério é toda rocha constituída de um mineral ou agregado de minerais contendo
um ou mais minerais valiosos, possíveis de serem aproveitados economicamente. Eles são
divididos em minerais valiosos que podem ser aproveitados como bens úteis, os minerais-
minério, ou o conjunto de minerais não aproveitados chamados de ganga (CARRISSO e
CORREIA, 2004).
A separação seletiva entre os minerais-minério e as gangas ocorre pelas diferentes
propriedades desses materiais, destacando-se massa específica (ou densidade), suscetibilidade
magnética, condutividade elétrica, propriedades da química de superfície, cor, radioatividade,
forma dentre outras. Em situações nas quais se faz necessária a separação de dois ou mais
materiais de interesse são utilizadas as operações unitárias, muito presentes nos processos da
engenharia química. As operações unitárias utilizadas no beneficiamento mineral são assim
classificadas (SAMPAIO; DA LUZ. 2004):
Cominuição: britagem e moagem;
Peneiramento (separação por tamanhos) e Classificação (ciclonagem,
classificador espiral);
15
Concentração Gravítica, magnética, eletrostática, concentração por flotação etc.
Desaguamento: espessamento e filtragem;
Secagem: secador rotativo, spray dryer, secador de leito fluidizado; disposição
de rejeito.
Nos seguintes tópicos as operações que serão melhor detalhadas são aquelas abordadas
nos estudos de caso apresentados no capítulo 3.
2.1.1. Cominuição
A cominuição consiste na operação de fragmentar. No campo de beneficiamento de
minérios agrupa um conjunto de técnicas que tem por finalidade reduzir, por ação mecânica
externa e algumas vezes interna um sólido, de determinado tamanho em fragmentos de menores
dimensões (FIGUEIRA et al., 2004).
A fragmentação de um material heterogêneo, que constitui uma rocha, visa a liberar os
minerais-minério da ganga, ou no caso de um mineral homogêneo, reduzir até à dimensão
requerida pela utilização (FIGUEIRA et al., 2004).
O processo define o conjunto de operações unitárias mais importantes tanto em termos
de consumo energético quanto em relação ao desempenho global de uma planta de
beneficiamento de minério (WILLS, 2006).
Usualmente a operação é dividida em duas suboperações: a britagem e a moagem. A
britagem precede a moagem, ela é o conjunto de trabalhos que objetivam a fragmentação de
blocos de minérios vindos da mina, levando-os à granulometria compatível para utilização
direta ou para posterior processamento (FIGUEIRA et al., 2004).
Uma ilustração de um britador pode ser observada na Figura 2.1.
16
Figura 2.1 – Britador.Fonte: Vibratescreen (2014).
Fechando o processo de cominuição temos a moagem. Este processo consiste em deixar
as partículas reduzidas em tamanhos ideais para a liberação do mineral com menores custos. É
uma das partes mais importantes da planta de tratamento, pois envolve maior gasto de energia.
Utiliza-se os moinhos cilíndricos (barras, bolas ou seixos), moinhos de martelos, entre outros
(FIGUEIRA et al., 2004). A Figura 2.2 a seguir ilustra um moinho de bolas.
Figura 2.2- Moinho de Bolas.Fonte: Arquivo Pessoal.
17
2.1.2. Peneiração e Classificação
Na peneiração existe a separação pelos tamanhos geométricos das partículas em duas
ou mais classes e na classificação a separação se dá pela velocidade que as partículas atravessam
um meio fluido.
Na peneiração ocorre a separação do material através de uma peneira, o material retido
na tela da peneira é denominado sólidos grossos e o passante, sólidos finos (FIGUEIRA et al.,
2004).
As peneiras variam entre si por suas escalas granulométricas. As duas escalas mais
utilizadas são a de Tyler e a de Richards. Para se definir a abertura das peneiras para essas duas
escalas escolhe-se o número de malhas (mesh) que é o número de aberturas das peneiras num
comprimento de uma polegada. Na Figura 2.3 está ilustrada uma peneira industrial.
Figura 2.3 – Peneira em uma planta de beneficiamento mineral.Fonte: Arquivo Pessoal.
A Classificação é a separação realizada tomando-se como base a velocidade que os
grãos atravessam um meio fluido. No processamento mineral, o meio fluido mais utilizado é a
água. A Classificação a úmido é aplicada, habitualmente, para populações de partículas com
granulometria muito fina, onde o peneiramento não funciona de forma eficiente (CARRISO e
CORREIA, 2004).
18
Quando uma partícula cai livremente no vácuo, ela está sujeita a uma aceleração
constante e sua velocidade aumenta indefinidamente, qualquer que seja seu tamanho ou
densidade. Se, contudo, a partícula cai em outro meio que não o vácuo, este oferece uma
resistência ao seu movimento, a qual aumenta em razão direta com a velocidade, até atingir um
valor constante. Quando as duas forças que atuam na partícula (gravitacional e de resistência
do fluido) se tornam iguais, a partícula atinge uma velocidade denominada terminal e passa a
ter uma queda com velocidade constante (CARRISO e CORREIA, 2004).
Independentemente do regime que predomine, a aceleração da partícula tende a
decrescer rapidamente com o tempo, sob a ação das forças atuantes, e a velocidade terminal é
sempre atingida (CARRISO e CORREIA, 2004).
No cálculo da velocidade terminal, ou seja, a velocidade constante que uma partícula
adquire ao sedimentar em um meio fluido, obtém-se uma equação na qual a soma de todas as
forças que atuam sobre ela seja nula. Geralmente as forças que atuam sobre a partícula são: a
da gravidade, a de empuxo e a da resistência, sendo a força resultante, a combinação vetorial
de todas. Essas leis mostram que a velocidade terminal da partícula, em um dado fluido, é
função apenas do tamanho e da densidade da partícula, concluindo-se, portanto, que se duas
partículas têm a mesma densidade, aquela que possuir maior tamanho terá também maior
velocidade terminal. Seguindo a mesma lógica, quando duas partículas têm o mesmo tamanho,
aquela que for mais densa terá maior velocidade terminal (CARRISO e CORREIA, 2004). São
nestes conceitos que se baseiam a operação de classificação.
Os principais equipamentos classificadores são como colunas de separação, nos quais
há um fluido, seja ele gasoso ou líquido, que ascende e separa material mediante sua velocidade
terminal e/ou sua densidade. Dentre diversos tipos de classificadores, podemos citar como
principais exemplos os cones de sedimentação, classificadores mecânicos e hidrociclones
(WILLS, 2006).
A ilustração de um classificador pode ser observada na Figura 2.4.
19
Figura 2.4 – Representação esquemática de um classificador.Fonte: adaptado de Wills (2006).
2.1.3. Concentração por Flotação
Flotação é, sem dúvida, a mais importante e versátil técnica de processamento mineral,
e tanto o seu uso e aplicação estão sendo continuamente ampliados para tratar maiores
quantidades e para cobrir novas áreas. A flotação é um processo de separação físico-química
que utiliza a diferença de propriedades de superfície dos minerais valiosos e a ganga indesejada
mineral. A teoria de flotação de espumas é complexa, envolve três fases (sólidos, água e
espuma) com muitos processos e interações que não são completamente compreendidos
(WILLS, 2006).
O processamento do material que está sendo recuperado por flotação a partir da polpa é
composta por três mecanismos: ligação seletiva a bolhas de ar (ou "flutuação verdadeira"),
arrastamento na água que passa através da espuma e aprisionamento físico entre as partículas
na espuma ligando a bolhas de ar muitas vezes referida como "agregação" (WILLS, 2006).
O processo de flotação do idioma inglês “froth flotation” e alguns processos correlatos
a ele se baseiam então em separação mediante às diferentes propriedades dos materiais. É uma
separação feita numa suspensão em água, conhecida como polpa. Como nos demais, as
partículas são obrigadas a percorrer um trajeto e num dado instante as partículas que se deseja
flotar são levadas a abandoná-lo, tomando um rumo ascendente. A diferenciação entre as
espécies minerais é dada pela capacidade de suas partículas se prenderem (ou prenderem a si)
a bolhas de gás. Se uma partícula consegue capturar um número suficiente de bolhas, a
20
densidade do conjunto partícula-bolhas torna-se menor que a do fluido e o conjunto se desloca
verticalmente para a superfície, onde fica retido e é separado numa espuma, enquanto que as
partículas das demais espécies minerais mantêm inalterada a sua rota (CHAVES e FILHO,
2004).
Para se otimizar a hidrofobicidade ou a hidrofilicidade, e, consequentemente, a flotação,
é necessária a introdução de substâncias adequadas no sistema. Podemos mesmo afirmar, com
certeza, que qualquer substância mineral pode ser tornada hidrofóbica mediante a adição
judiciosa de substâncias conhecidas como coletores à polpa. Ainda mais, é possível, estando
presentes duas espécies minerais, induzir a hidrofobicidade em apenas uma delas, mantendo a
outra hidrofílica, ou seja, é possível induzir uma hidrofobicidade seletiva (CARVALHO e
BRINCK, 2004).
Como em toda operação de concentração, também para a flotação é difícil obter o teor
e a recuperação desejados numa única etapa. Genericamente, executa-se uma primeira flotação,
chamada “rougher” onde se obtém um concentrado pobre e um rejeito que ainda contém teores
consideráveis dos minerais úteis. O concentrado desta primeira flotação é reprocessado numa
segunda flotação, denominada "cleaner", onde é produzido um concentrado final e um rejeito
de teor elevado de impurezas. O rejeito rougher é repassado numa outra flotação, chamada
“scavenger”, onde se obtém um rejeito muito pobre (rejeito final) e um concentrado que reúne
os minerais úteis que estavam no rejeito rougher, mas que é pobre para ser considerado produto
final. Tanto o rejeito cleaner como o concentrado scavenger ainda contêm minerais úteis e por
isso são retornados à célula rougher. Conforme observado na figura 2.5.
Figura 2.5 – Esquema Flotação.Fonte: Chaves, 2004.
21
Flotação é um processo contínuo que ocorre por meio de uma célula ou um conjunto de
células de células chamados bancos. A Figura 2.6 ilustra uma célula de flotação.
Figura 2.6 – Célula de Flotação.Fonte: De Lima, 2006.
Essas células recebem a polpa (fluido + material particulado) por uma de suas faces
laterais e a despejam do lado oposto. Mediante rotação do rotor, se cria uma pressão negativa
e, assim, suga-se o ar e deixa a espuma em suspensão. As espumas na superfície do líquido
transbordam em calhas dispostas do longo da extensão do conjunto da célula (CHAVES e
FILHO, 2004).
As células geralmente são dispostas em série. A polpa entra na primeira célula do banco
e libera alguns de seus minerais valiosos como espuma; o excesso desta célula é transferido
para a segunda célula, onde a espuma mais mineralizada é removida, e assim por diante, até
rejeitos estéries irem a última célula do sistema (MONTE e PERES, 2004).
A concepção de um fluxograma adequado para uma planta de flotação, depende
basicamente da granulometria da corrente de alimentação e das características hidrofílicas (ou
fóbicas) do mineral-minério e da ganga (WILLS, 2006). As Figuras 2.7, 2.8 e 2.9, ilustram
diferentes tipos de circuitos de flotação que são utilizados na industria.
22
Figura 2.7 – Circuito simples.Fonte: Wills, 2006.
O circuito da Figura 2.7 pode ser utilizado somente quando a ganga é de difícil flotação,
o que exige um maior controle na separação das fases do concentrado mineral para ocorrer
menor perda possível do mineral de interesse. O sistema consiste em diluir o concentrado a
partir da primeira célula e consequentemente pelas demais células do circuito, em que o nível
do concentrado é mantido baixo para proporcionar uma flotação consistente e
consequentemente produzir um concentrado de alto grau de pureza (MONTE e PERES, 2004).
Figura 2.8 – Sistema Rougher – Scavengers – Cleaners.Fonte: Wills, 2006.
Alimentação ResíduoScavengers
Células
Concentrado Final
Alimentação
Concentrado Final
Scavengers
Cleaners
ResíduoRoughers
23
No sistema da Figura 2.8, as células recebem uma limpeza comparativamente dificil de
realizar, ao passo que a secção de eliminação pode ser executada com um excesso de ar, de
modo a obter o máximo de recuperação. Rejeitos das células cleaners, geralmente contendo
partículas minerais, podem ser recirculadas para as células roughers.
Figura 2.9 – Circuito de flotação com recleaner.Fonte: Wills, 2006.
Eventualmente, a indústria se depara com minerais que para serem devidamente
concentrados necessitam da utilização de vários estágios de purificação, chamados de
recleaning. É o caso da fluorita grau ácido, que tem teores de contaminantes (SiO2 e CaCO3)
admissíveis muito baixos. E, por isso, exige de 4 a 6 estágios de cleaning sucessivos (CHAVES
e FILHO, 2004). A Figura 2.9 ilustra um circuito de flotação com recleaner.
De posse destes conceitos, o leitor já possui conhecimento requerido sobre
beneficiamento de minério para total compreensão dos estudos de casos que serão apresentados
no capítulo 3 e discutidos no capítulo 4.
2.2. RETIFICAÇÃO DE DADOS
Dando sequencia à revisão bibliográfica, também, é essencial para o entendimento dos
conceitos referentes ao procedimento de retificação de dados.
Alimentação
Scavengers ResíduoRe-cleaners Cleaners Rougher
Concentrado Final
24
Nas plantas industriais é de suma importância o monitoramento em tempo real das
variáveis do processo para que a produção tenha sempre o maior aproveitamento dos recursos,
o maior retorno financeiro e também que o controle da qualidade do produto seja maior.
Para monitorar efetivamente uma planta industrial, controlar a produção e garantir sua
operação é necessário que se saiba o estado real do processo em qualquer momento desejado.
Com este propósito, um grande número de variáveis de processo são medidas e seus valores
armazenados em banco de dados em tempo real. Com o avanço das técnicas de medição e
modelagem, atreladas ao avanço das técnicas computacionais, a quantidade de dados de
processo armazenada só tende a aumentar (KONGSJAHJU et al., 2000).
Utilizam-se dispositivos de medição para supervisionar a atividade industrial e estes
aparelhos, cuja precisão é finita, estão sujeitos a falhas. Dessa forma a informação das variáveis
medidas, ou seja, os dados de processamento estão corrompidos por erros aleatórios pequenos
e/ou grosseiros.
Prata (2009) afirmou que erros aleatórios pequenos se originam da incapacidade de se
obter dos sensores as informações exatas do processo. Com isso, de acordo com a estatística
clássica, os erros de medição dos dados considerados independentes, com distribuição Normal,
com variância conhecida e média nula. Já os erros grosseiros são originados de eventos não
aleatórios, sendo discrepantes dos dados reais, invalidando a estatística tradicional e
prejudicando a análise das informações, podendo levar a tomadas de decisões errôneas do
sistema de controle.
Os erros grosseiros podem ainda ser divididos em outras duas subclasses: os desvios
sistemáticos, também chamados permanentes, e os valores espúrios (CHEN e ROMAGNOLI,
1998). O desvio sistemático pode ser definido como valores medidos que estão constantemente
acima ou abaixo de seus valores “verdadeiros”, fazendo com que o valor médio do erro neste
caso seja não nulo. Estes erros derivam da instalação ou calibração incorreta dos instrumentos
de medida (LIEBMAN et al., 1992; McBRAYER e EDGAR, 1995). A Figura 2.10 ilustra erros
do tipo desvios sistemáticos.
25
Figura 2.10 – Desvio sistemático.(▪) Valores “Verdadeiros” e (○) Valores medidos.
Fonte: adaptado de Bagajewicz (2000).
Já os valores espúrios são aqueles obtidos a partir de alguma anomalia no sistema que
pode ser resultada de perturbações não medidas. Um valor espúrio é uma medida que não segue
qualquer distribuição estatística representativa do conjunto dos dados (CHEN e ROMAGNOLI,
1998). Conforme ilustra a figura 2.11.
Figura 2.11 – Valor espúrio.(▪) Valores “Verdadeiros”, (○) Valores medidos com erros aleatórios,
(Δ) Valores medidos com erro grosseiro tipo outliers.Fonte: adaptado de Bagajewicz (2000).
Var
iáve
l
Tempo
Var
iáve
l
Tempo
26
Um tipo especial de erro grosseiro é o tipo “falha” completa (NARASIMHAN e
JORDACHE, 2000). Neste erro os valores medidos estão completamente afastados dos “valores
verdadeiros”, não seguem uma tendência e são característicos quando o medidor está fora do
seu uso normal. Conforme ilustra a figura 2.12.
Figura 2.12 – Falha Completa(▪) Valores “Verdadeiros” e (◊) Valores medidos (falha completa).
Fonte: adaptado de Bagajewicz (2000).
O campo de estudo que lida com a finalidade de tratar estes erros é amplo e conhecido
como retificação de dados, o qual nos últimos 50 anos tem conquistado importante espaço no
meio acadêmico e também no ambiente industrial. Portanto, é notável a importância deste
procedimento para validar as informações contidas nas variáveis medidas, tornando-as
aplicáveis aos processos industriais (PRATA, 2009).
De posse destes conceitos, o leitor encontra-se embasado o suficiente para um maior
detalhamento sobre cada etapa do procedimento retificação de dados (classificação de variáveis,
detecção de erros grosseiros e reconciliação de dados).
2.2.1. Classificação de Variáveis
A etapa de classificação de variáveis tem por objetivos especificar o conjunto necessário
de variáveis para realizar a reconciliação de dados, definir se o problema pode ser reduzido de
tamanho e avaliar como esse procedimento pode ser realizado.
Var
iáve
l
Tempo
27
A primeira etapa de classificação de variáveis envolve a determinação de quais variáveis
são não medidas observáveis ou não observáveis e quais variáveis medidas são redundantes ou
não redundantes.
Vários autores têm publicado algoritmos para classificação de variáveis (CROWE,
1986; MAH, 1990; OLIVEIRA JR, 2006). Para fins didáticos, a Figura 2.13 traz um fluxograma
explicativo.
Figura 2.13 – Classificação das variáveis .Fonte: Oliveira Júnior (2006).
As variáveis medidas se dividem em redundantes ou não redundantes.
Variável Redundante: uma variável medida é denominada redundante se, e
somente se, a observabilidade do sistema não for alterada pela sua exclusão.
Variáveis Não Redundantes: são aquelas que, em caso de falha do medidor, não
podem ser calculadas a partir das demais variáveis
As variáveis não medidas são divididas em observáveis e não observáveis.
Variáveis Observáveis: uma variável não medida é chamada observável se, e
somente se, pode ser calculada através de outras variáveis medidas em conjunto
com as restrições do sistema (modelo matemático do processo).
Variável não observável: quando o seu cálculo não é possível.
28
Se o sistema obtiver uma única variável não medida e não observável (indeterminável),
o sistema não será globalmente observável. Aquelas variáveis que são indeterminadas não são
disponíveis para melhoria dos dados. Para o sistema ser globalmente observável terá que possuir
todo o seu conjunto de variáveis observáveis, para assim, o sistema ser reconciliável. Essas
variáveis devem ser removidas do sistema. Novos dispositivos de medição devem ser
providenciados (PRATA,2009).
2.2.1.1. O método de ordenação matricial para classificação de variáveis
Oliveira Júnior (2006) propõe um algoritmo para classificação de variáveis que é
composto por dez etapas e baseia-se em ordenação matricial. Para que a classificação de
variáveis possa ser estudada de forma profunda, o algoritmo será apresentado detalhadamente
e, posteriormente utilizado para resolver o problema de classificação de variáveis do Caso 1
que será apresentado no capítulo 3.
1ª etapa: Elaboração do modelo
Nessa etapa devem ser formuladas as equações que integram o modelo matemático que
representa o sistema. Deve-se garantir que as equações geradas sejam linearmente
independentes.
2ª etapa: Identificação das variáveis
Nesta etapa deve-se identificar as variáveis que compõem o modelo, além de classificá-
las como medidas, aquelas as quais temos condições de medir através de algum equipamento,
e não medidas, que só podem ser determinadas algebricamente.
3ª etapa: Elaboração da Matriz de Ocorrência
Para a construção da matriz de ocorrência (A) deve-se tomar cada linha como
correspondente a uma equação do modelo matemático que representa o sistema, e cada coluna
a uma variável, seja esta medida ou não medida. Os elementos que fazem parte da matriz podem
adquirir os valores 0 ou 1. O valor nulo é atribuído para o elemento aij da matriz quando a
variável ou parâmetro j não aparece na equação i. Caso contrário atribui-se a unidade.
4ª etapa: Validação da Matriz de Ocorrência
Após construída deve-se conferir cada elemento da matriz para garantir a
verossimilhança com o processo estudado. Feito isso todos os elementos da matriz que estejam
29
nas colunas das variáveis medidas são anuladas ao passo que os elementos pertencentes às
colunas referentes às variáveis não medidas não devem sofrer alteração.
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência
Nesta etapa deve-se procurar alguma equação (linha) na qual apareça somente uma
variável não medida. Isso cria a possibilidade de provar a observabilidade desta variável em
questão. Caso isso, de fato, aconteça deve-se zerar todos os elementos da coluna desta variável.
Este procedimento deve ser repetido até que não existam mais linhas com a ocorrência
de somente uma variável. Se a observabilidade de todas as variáveis puder ser determinada diz-
se que o sistema é totalmente determinável. Caso não seja possível fazê-lo deve-se adicionar
uma variável de corte, o que é explicado detalhadamente na oitava etapa deste modelo.
6ª etapa: Classificação de variáveis
Esta etapa resume-se a listar a classificação de todas as variáveis analisadas.
Se o processo obtiver pelo menos uma variável medida não redundante, ou uma variável
não medida não observável, ele não é totalmente determinável e não pode ser reconciliado sem
que o sistema passe por alguma adaptação.
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
O grau de sobredeterminação é dado pela quantidade de equações que não foram
utilizadas, até o presente momento.
8ª etapa: Escolha da variável de corte
Quando na 5° etapa não for possível determinar todas as variáveis não medidas,
devemos introduzir uma variável de corte para dar prosseguimento ao algoritmo.
A escolha da variável de corte deve partir do princípio de que esta deve ser aquela que
possui a maior quantidade de ocorrências de valor 1, ou seja, aquela que aparece em um maior
número de equações. Na prática, deve-se substituir, na coluna da variável escolhida, o valor 1
pelo valor 2, e então repetir o algoritmo a partir da quinta etapa até que não haja mais nenhuma
linha com apenas uma ocorrência de valor 1.
Caso seja necessário, pode-se atribuir mais de uma variável de corte.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte
30
Esta etapa visa determinar se a variável de corte é uma variável não medida observável.
Na prática, desfaz-se a troca da etapa 8 (de valor 2 para 1) e verifica-se a possibilidade
determinar esta variável através de alguma equação ainda não utilizada. Caso seja viável a sua
determinação, esta variável não medida que foi utilizada como variável de corte é classificada
como observável.
Em contrapartida, quando não há mais equações disponíveis para a sua determinação,
ela é classificada como não observável.
No caso de haver mais de uma variável de corte, faz-se uma eliminação por vez.
10ª etapa: Classificação final do modelo
Esta é a última etapa do algoritmo. Depois que todas as demais etapas foram concluídas,
obtém-se a classificação de todas as variáveis do processo, o grau de sobredeterminação e a
matriz de ocorrência final.
2.2.2. Detecção de Erros Grosseiros
A segunda etapa da retificação de dados é a de detecção de erros grosseiros (DEG) e ela
é crucial para o bom resultado da reconciliação de dados. Quando existem erros grosseiros, o
conjunto de dados não pode ser submetido à etapa de reconciliação de dados (da maneira
clássica) porque este serão espalhados pelo conjunto de dados. Existe uma variedade muito
grande de métodos, com características diferentes para lidar com a presença de erros grosseiros
nas variáveis medidas. A maioria destes é baseada em testes estatísticos para detecção,
localização e estimação dos erros grosseiros, de maneira independente à solução do problema
de reconciliação. Entretanto, existem alguns métodos em que o problema de reconciliação é
resolvido simultaneamente com o problema de DEG sendo tratado como um problema de
estimação pura baseados em estatística robusta (PRATA, 2009).
O interesse do leitor em maiores detalhes acerca da estatística robusta e seus estimadores
pode procurar as referências de Özyurt e Pike(2004), Prata (2009) ou Sampaio (2015).
2.2.3. Reconciliação de Dados
A terceira e última etapa da retificação de dados é a reconciliação propriamente dita.
Ela trata de um problema advindo da evolução das técnicas de medição, aquisição e
31
armazenamento de dados. Esta tem o papel de garantir a consistência destes dados, utilizando
a redundância das variáveis medidas e um modelo estatístico da medição para aumentar a
precisão dos dados. O procedimento completo tem por objetivo que as equações de conservação
sejam satisfeitas, tratando dos erros aleatórios inerentes ao processo de medição e que eventuais
erros grosseiros sejam detectados e corrigidos (PRATA, 2009).
A reconciliação visa à solução de um problema de otimização e tem como objetivo
estimar o estado mais provável das variáveis de maneira que satisfaçam o modelo do processo.
Assim, a reconciliação de dados (RD) pode ser definida como a estimação dos
“verdadeiros” valores das variáveis medidas (corrompidas por erros), de modo a satisfazer as
restrições impostas ao sistema, como balanços de massa, energia e outras, enquanto minimiza
um critério que pondere os desvios observados entre os valores medidos e os preditos
(reconciliados). E ainda, sempre que possível este procedimento deve fornecer os valores das
variáveis não medidas, estados e parâmetros físicos do problema, de preferência em tempo real
(PRATA, 2009).
É válido observar que na literatura existe certo conflito entre as palavras retificação e
reconciliação, sendo muitas vezes usadas como sinônimos. Essa consideração não é correta,
visto que a retificação de dados deve ser avaliada como um conceito mais amplo
(HIMMELBLAU, 1978).
A maioria das técnicas de reconciliação de dados encontradas na literatura admite que
as restrições do processo sejam lineares e que este esteja em condições de regime permanente
(estado estacionário), limitando, assim, o escopo do problema (MAH, 1990; CAO e
RHINEHART, 1995). Porém, para que seja realizada a reconciliação de dados, esta hipótese
não é de fato necessária, visto que as restrições podem também ser não lineares (KNEPPER e
GORMAN, 1980), dinâmicas (DAROUCH e ZASADZINSKY, 1991, BAGAJEWICZ e
JIANG, 1997) e até ambos simultaneamente (LIEBMAN et al., 1992; ALBUQUERQUE e
BIEGLER, 1996; PRATA et al., 2010).
O desenvolvimento do modelo correto é de suma importância para a continuidade do
processo de retificação de dados. Com ele tem-se a sua categorização quanto à dependência no
tempo e tipo de restrição, incluindo limites nas variáveis, e a possibilidade de haver parâmetros
desconhecidos que necessitam ser estimados.
32
O procedimento conjunto de reconciliação de dados e estimação de parâmetros que
dependiam de condições operacionais, foram analisados por Prata et al (2009) e também com
DEG por Prata et al (2010), para um sistema dinâmico de polimerização de propeno.
2.3. RECONCILIAÇÃO DE DADOS EM BENEFICIAMENTO DE MINÉRIO
A reconciliação de dados aproxima os valores medidos pelos instrumentos ao valor mais
fidedigno possível (uma vez que o valor real é sempre desconhecido) e estima valores das
variáveis não medidas desde que o sistema seja globalmente observável. Este é um aspecto de
extrema importância para a indústria de processamento metalúrgico e de beneficiamento de
minérios, já que, em muitos casos, as variáveis estratégicas são medidas com precisão limitada,
ou simplesmente não são medidas devido a fatores econômicos (SBARBARO e DELVILLAR,
2010).
A primeira aplicação de RD em beneficiamento de minério operando em estado
estacionário foi realizada por Weigel (1972), especificamente para um sistema de flotação Cu-
Zn.
A RD foi aplicada em plantas de beneficiamento de minério de várias maneiras
diferentes. Em estado estacionário por aplicações, tais como trituração (HODOUIN et al.,
1981), cominuição e classificação (MULAR et al., 1976; WHITE et al., 1977), extração de ouro
(DE ANDRADE, 2006), hidrometalurgia (BAZIN et al., 2005), pirometalurgia (EKSTEEN et
al., 2002; BAZIN et al., 1998; BAZINetal., 2003) e preparação de cimento/clinquer
(HODOUIN et al., 1982).
Diferentemente, Bazin et al. (1995), Makni et al. (1995), Hodouin e Makni (1996) e
Vasebi et al. (2012) propuseram abordagens de RD para lidar com a dinâmica de plantas de
beneficiamento de minério.
Bazin et al. (1995) avaliaram a solução dinâmica de um problema de RD em um circuito
de flotação industrial simplesmente descrito por balanço material com restrição linear.
Makni et al. (1995) desenvolveram um método de RD dinâmica para aplicação em
tempo real, que considera as taxas de variação de inventário como variáveis aleatórias,
oferecendo um interessante compromisso entre a precisão das estimativas e a complexidade do
modelo adotado. Este método é chamado imbalanço nodal (do idioma inglês “node
imbalance”).
33
Posteriormente, Hodouin e Makni (1996) propuseram um novo método de RD dinâmica
para aplicação em tempo real em plantas significativamente complexas de beneficiamento de
minério, incluindo modelos bilineares. Os modelos estacionários previamente estudados são
simplesmente descritos por equações de conservação, enquanto que os modelos dinâmicos,
propostos por Hodouin e Makni (1996), são baseados em funções de transferência empíricas e
tempo morto. Neste novo método, os modelos não são explicitamente dinâmicos, mas sim
modificações de modelos estacionários para, indiretamente, levar em conta o comportamento
dinâmico do processo.
Estes métodos de resolução de RD dinâmica melhoraram significativamente os
resultados de problemas de RD em beneficiamento de minério e, consequentemente,
aproximaram da realidade os dados utilizados pelos operadores nas plantas, o que gera um
resultado mais coerente com a realidade.
2.4. FORMULAÇÃO CLÁSSICA DE UM PROBLEMA DE RD
De acordo com o que foi abordado até este tópico, temos em mente que o processo de
reconciliação de dados é a busca pela correção dos valores medidos para que estes reflitam a
realidade de maneira mais fidedigna possível, satisfazendo as restrições do sistema como
balanços de massa, energia, quantidade de movimento, limites nas variáveis, entre outros. Para
atingir esse objetivo, é necessário minimizar os critérios que ponderem os desvios observados
entre os valores medidos e os preditos, também como estimar parâmetros, estados e variáveis
não medidas sempre que possível, preferencialmente em tempo real.
O critério frequentemente utilizado é o estimador de Mínimos Quadrados Ponderados
(MQP) (KUEHN e DAVIDSON, 1961). Ele é fruto da formulação do método de máxima
verossimilhança, Equação (2.1), aplicado à distribuição Normal (Gaussiana), dos erros de
medição. Este estimador corresponde à função objetivo, que é sujeito às restrições do sistema.
i
iPP maxmax (2.1)
Sendo Pi a probabilidade de ocorrência de cada variável medida zi, com desvio σi.
Para a distribuição Normal, supondo os erros de medição não correlacionados,
34
i i
ii
iii
zzP 2
2
2ˆexp
21maxmax
ou
i ii
i
ii zz
2ln2
ˆexplnmin 2
2
ou
i i
ii zz2
2
2ˆmin
(2.2)
Dessa maneira, a otimização de uma função objetivo do tipo soma de quadrados
ponderados de Kuehn e Davidson (1961) resulta no estimador:
zzVzz T
zˆˆ
21min 1
ˆ (2.3)
Em que:
V = matriz de variâncias (diagonal);
σ = vetor dos desvios padrão (seu valor ao quadrado é chamado variância);
z = vetor das variáveis medidas;
z= vetor das estimativas reconciliadas das variáveis medidas;
ϕ = função objetivo.
Será exposto a seguir o procedimentos normalmente usado na solução do problema de
RD em estado estacionário e linearmente restrito.
2.5. SOLUÇÃO ANALÍTICA DE UM PROBLEMA CLÁSSICO DE RD
Seguindo Kuehn e Davidson (1961) na resolução do problema de RD, se obtém na
Equação 2.3 as condições que devem satisfazer aos balanços de massa e energia do sistema
(Equação 2.4):
35
0ˆ zA (2.4)
Onde:
A= matriz de restrições lineares (modelo em estado estacionário)
z= vetor das estimativas reconciliadas das variáveis medidas
O valor medido é igual a soma do valor “verdadeiro” mais o erro aleatório na medida:
vzz (2.5)
Onde:
z = vetor das variáveis medidas
vz = vetor dos valores verdadeiros (livres de erro)
ε = vetor de erros aleatórios de medida (livres de erros grosseiros)
Considere que o vetor vz é inferido através de z, Assim, a Equação (2.5) pode ser
reescrita como:
zz ˆ ou zz (2.6)
Admite-se que o erro aleatório ε não apresenta erros grosseiros e, assim, oscila em torno
do zero. Dessa forma:
0E (2.7)
Em que E é operador esperança (média).
A matriz de covariância dos erros de medida (COV) é definida como:
36
TEVCOV . (2.8)
Quando os erros de medição puderem ser considerados independentes entre si (não
correlacionados), a matriz de covariâncias torna-se diagonal (V), como:
2
2
2
0000.........0...00...0
2
1
n
V
(2.9)
Onde:
i = desvio padrão
2i = variância
Obtêm-se que a variância é a inversa da ponderação do termo ε2 na função soma dos
quadrados. Quando se adiciona o erro de medida na restrição do processo, dá-se
matematicamente da Equação (2.4) por meio da Equação (2.6).
0)( zA (2.10)
Tomando como nota essa consideração, a questão de maximização descrita
anteriormente pelas Equações (2.3) e (2.4) se resume a:
1
21min VT
’(2.11)
sujeito a restrição:
37
0)( zA (2.12)
A partir disto, torna-se possível resolver analiticamente o problema acima usando a
técnica de Multiplicadores de Lagrange (PRATA, 2009), desde que todas as variáveis sejam
medidas. Para este problema o Lagrangiano pode ser expresso como:
)(221 1 AAzVL TT (2.13)
Como a matriz V é positiva definida (MAH, 1990) - quadrática, simétrica, com e
ɛTVɛ>0, sendo todos os seus valores maiores que zero e inversível (existe V-1) – e as restrições
são lineares, as condições necessárias e suficientes para a minimização são:
0L (2.14)
0L (2.15)
Destaca-se que para quaisquer vetores zi e zj e qualquer matriz B, o produto iTj Bzz é um
escalar. Dessa forma, as derivadas parciais descritas pelas Equações (2.14) e (2.15) devem
obedecer à regra do produto, como na Equação (2.16):
jT
i
Ti
ii
Tj
i
iTj zB
zzBz
zz
zBzz
(2.16)
Como neste caso a matriz B é simétrica e os vetores zi e zj são similares (zi= zj = z)
obtém-se:
BzzBzzT
2 (2.17)
38
Resolve-se as derivadas parciais descritas pelas Equações (2.14) e (2.15), obtendo-se:
0)(221 1
AAzV TT
02221 1
AAzV TTT
0.2.2..2
T
TTT
TT
AAAzAz
022 AAz
(2.18a)
AzA (2.18b)
0)(221 1
AAzV TT
02221 1
AAzV TTT
0.2.2.2.2.221 1
T
TTT
TT
AAAzAzV
021 TAV
TAVVV .2. 1
(2.19a)
TVA2 (2.19b)
Substituindo-se a Equação (2.19b) na Equação (2.18b), pode-se explicitar λ:
AzAVA T 1)(21 (2.20)
e substituindo-se a Equação (2.20) na Equação (2.19), pode-se explicitar ε:
39
AzAVAVA TT 1)( (2.21)
Com isso, obtém-se a estimativa do processo, z, pela substituição da Equação (2.21) na
Equação (2.6):
AzAVAVAzz TT 1)(ˆ (2.22)
Esta equação consiste na solução do problema de RD linearmente restrito, considerando
que todas as variáveis do processo são medidas. Porém, pode ser que algumas variáveis do
processo sejam não medidas, e neste caso é possível representar essas variáveis como função
das demais de maneira adequada utilizando, por exemplo, a técnica de Matriz de Projeção
(CROWE et al., 1983).
Dessa maneira, após descrever o processo de beneficiamento mineral com suas
operações e seus equipamentos utilizados nas plantas industriais dos estudos de caso e também
definir e detalhar a ferramenta de retificação de dados se conclui a revisão bibliográfica desse
trabalho.
No capitulo 3 serão apresentados em detalhes os dois (2) problemas de RD aplicados
em tratamento mineral que serão utilizados como base de estudo neste trabalho, assim como a
metodologia utilizada.
40
3. APRESENTAÇÃO DOS CASOS E METODOLOGIA
Neste capítulo serão apresentados e detalhados os problemas de beneficiamento mineral
estudados, utilizados como estudos de caso neste trabalho de conclusão de curso. Será feito
também uma breve introdução do software utilizado, bem como um resumo da metodologia
aplicada.
3.1. O SIMULADOR EMSO
Como parte do projeto ALSOC (Ambiente Livre para Simulação, Otimização e Controle
de Processos) um simulador de processos chamado EMSO (do idioma inglês “Environment for
Modeling, Simulation and Optimization”) foi desenvolvido no Brasil em 2001 com o intuito de
oferecer um ambiente computacional com linguagem simples e eficiente que pudesse ser
utilizada por instituições de ensino e centros de pesquisa de forma gratuita.
O programa citado tem gerado soluções eficientes em problemas de reconciliação de
dados com e sem a presença de erros grosseiros em plantas operando em regime estacionário.
Tendo como pressuposto o fato de que um problema de reconciliação de dados também
é um problema de otimização, tem-se utilizado o conhecido e eficiente otimizador IPOPT que
se encontra disponível nas sub-rotinas dos pacotes de otimização e reconciliação do simulador
EMSO (WÄCHTER, 2002).
41
3.2. CASO 1: SERTH et al. (1987)
Este primeiro caso basea-se no trabalho publicado por Serth et al. (1987), cujo objetivo
principal é estender o algoritmo de detecção de erro “teste de medida iterativa modificado”, do
idioma inglês “MIMT”, normalmente utilizado para detecção de erros grosseiros em sistemas
linearmente restritos, para sistemas não lineares. A Figura 3.1 mostra a planta de
beneficiamento de minério utilizada pelos autores para a aplicação prática da metodologia.
Figura 3.1 – Circuito de moagem metalúrgica (adaptada).Fonte: adaptado de Serth et al. (1987).
O circuito em questão, originalmente publicado por Mular et al. (1976), foi escolhido
para o estudo devido a sua relativa simplicidade, relevância industrial e conhecimento de todos
os valores verdadeiros das variáveis. Neste sistema (base da simulação), minério fino (corrente
4) é alimentado juntamente com água no moinho barras (corrente 1). A descarga deste (corrente
5) é combinada com a descarga do moinho de bolas (corrente 6) e água (corrente 2) e inseridas
na alimentação de uma bomba que movimenta a lama até um grupo de ciclones (corrente 7). A
saída superior dos ciclones (corrente 9) é direcionada a uma unidade de flotação, ao passo que
a saída inferior (corrente 8), combinada com água (corrente 3), constitui a alimentação do
moinho de bolas.
Segundo Serth et al. (1987), por questões de simplificação, as nove frações de sólidos
que eram medidas neste sistema, foram agregadas em apenas três. Assim, o problema engloba
um total de 24 variáveis, sendo todas medidas, e 12 equações constituem o modelo matemático
que será detalhadamente explicitado ainda neste tópico.
42
De posse apenas dos valores verdadeiros publicados por Serth et al. (1987), os valores
medidos das variáveis foram gerados aleatoriamente, com o auxílio do desvio padrão fornecido
(2,5% do valor verdadeiro), de forma que não se caracterizasse a presença de erros grosseiros.
As variáveis do sistema são definida por Xi e Yij, onde Xi a vazão mássica da corrente
i e Yij a fração mássica do componente j na corrente i.
A Tabela 3.1 apresenta os valores verdadeiros publicados por Serth et al. (1987), seus
desvios padrão e, por fim, os valores medidos gerados aleatoriamente por este trabalho.
Tabela 3.1 – Dados de medição do Caso 1.
Verdadeiros Desvios Padrão Medidos
X1 99,7000 2,49250 98,5783X2 320,0000 8,00000 321,2000X3 25,0000 0,62500 24,8125X4 257,0000 6,42500 259,5700X5 357,6000 8,94000 362,0700
Y15 0,0679 0,00169 0,0668Y25 0,3964 0,00991 0,3993Y35 0,2570 0,00642 0,2596X6 1109,4000 27,73500 1131,5880
Y16 0,0103 0,00025 0,0105Y26 0,4622 0,01155 0,4576Y36 0,2826 0,00706 0,2893X7 1787,0000 44,67500 1746,7925
Y17 0,0200 0,00050 0,02025Y27 0,3663 0,00915 0,3704Y37 0,2268 0,00567 0,2248X8 1084,3000 27,10750 1093,7876
Y18 0,0328 0,00082 0,03206Y28 0,5566 0,01391 0,5607Y38 0,1831 0,00457 0,1849X9 702,7000 17,56750 700,0648
Y19 0,0002 0,00000 0,0002Y29 0,0721 0,00180 0,0724Y39 0,2947 0,00736 0,2983
Conforme sugerido por Serth et al. (1987), o balanço material em estado estacionário
para este sistema por ser escrito conforme Equações (3.1) até (3.12).
43
Equipamento 1 - Moinho de Barras
Balanço para água
0)352515(*551 YYYXXX (3.1)
Balanço para sólidos totais
0)352515(*54 YYYXX (3.2)
Equipamento 2 - Bomba
Balanço para água
0)372717(*7)362616(*6)352515(*57652
YYYXYYYXYYYXXXXX (3.3)
Balanço para sólidos totais
017*716*615*5 YXYXYX (3.4)
027*726*625*5 YXYXYX (3.5)
037*736*635*5 YXYXYX (3.6)
Equipamento 3 - Moinho de bolas
Balanço para água
0)382818(*8)362616(*683 YYYXYYYXXX (3.7)
Balanço para sólidos totais
0)362616(*6)382818(*8 YYYXYYYX (3.8)
Equipamento 4 - Associação de Ciclones
Balanço para água
0)392919(*9)382818(*8)372717(*7987
YYYXYYYXYYYXXXX (3.9)
Balanço para sólidos totais
019*918*817*7 YXYXYX (3.10)
029*928*827*7 YXYXYX (3.11)
039*938*837*7 YXYXYX (3.12)
44
De posse dessas informações, pode-se utilizar este problema para a aplicação do
procedimento retificação de dados, a fim de avaliar seus benefícios num ambiente industrial.
Será utilizado o algoritmo desenvolvido por Oliveira Júnior (2006) para a classificação de
variáveis e o simulador EMSO para a reconciliação de dados.
3.3. CASO 2: SMITH E ICHIYEN (1973)
Este segundo caso basea-se num problema de reconciliação de dados que foi
originalmente proposto por Smith e Ichiyen (1973). Posteriormente foi estudado por Hodouin
e Makni (1996), Schraa e Crowe (1998), Hodouin et al. (1998), Tong (1995) e Berton e Hodouin
(2007), o que mostra a sua importância na área da reconciliação de dados aplicada ao tratamento
de minério. A Figura 3.2 ilustra o problema em questão.
Figura 3.2: Circuito de flotação de cobre, zinco e ferro de Smith e Ichiyen (1973)Fonte: adaptado de Tong (1995).
Esta planta de flotação é formada por um rougher, por um misturador que recebe a
corrente de alimentação e outras duas correntes de reciclo provenientes de um cleaner e de um
scavanger. Consideram-se os três componentes: cobre, zinco e ferro. A ganga (material sem
valor econômico) também está presente no processo, mas não necessita ser considerada no
balanço.
Alimentação ResíduoFinal
1 2 3 4
6
8
Rougher 2
Cleaner 4
Scavanger 3
Produto Final
Misturador 1
57
45
A vazão de alimentação é considerada como unitária (chamada de vazão mássica
adimensional), o que corresponde ao total mássico de material adicionado ao sistema. As
demais vazões não são medidas, mas as composições dos 3 minerais úteis são medidas em todas
as correntes. Assim, o sistema engloba um total de 31 variáveis, destas 25 variáveis são medidas
e 6 variáveis não medidas. Um total de 16 equações representam o modelo matemático, que é
descrito apenas por balanço de massa total e por componentes em cada equipamento. A Tabela
3.2 apresenta os valores medidos e suas variâncias.
Tabela 3.2 – Dados de medição do Caso 2
Valor Medido VariânciasCorrente 1 (fixa) Vazão# 1,00
Composição Cobre 0,1630 0,01Zinco 3,9300 0,26Ferro 11,5700 0,76
Corrente 2 Vazão*Composição Cobre 0,4470 0,03
Zinco 11,6300 0,76Ferro 12,7900 0,84
Corrente 3 Vazão*Composição Cobre 0,4660 0,03
Zinco 8,1100 0,53Ferro 14,3500 0,94
Corrente 4 Vazão*Composição Cobre 0,1400 0,01
Zinco 0,4900 0,03Ferro 13,0900 0,86
Corrente 5 Vazão*Composição Cobre 0,9600 0,06
Zinco 34,6400 2,27Ferro 14,3700 0,94
Corrente 6 Vazão*Composição Cobre 0,6570 0,04
Zinco 52,0700 3,42Ferro 14,6700 0,96
Corrente 7 Vazão*Composição Cobre 1,0200 0,07
Zinco 42,7300 2,8Ferro 14,6600 0,96
Corrente 8 Vazão*Composição Cobre 0,4400 0,03
Zinco 11,8600 0,78Ferro 13,7500 0,9
46
As variâncias são calculadas por meio do coeficiente de proporcionalidade fornecido
pelos autores, 6,56% do valor medido de cada variável.
De posse destas informações e dos resultados de Smith e Ichiyen (1973), pode-se utilizar
este problema para promover uma comparação do desempenho da reconciliação executada pelo
software EMSO e por Smith e Ichiyen (1973).
3.4. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO
3.4.1. Soma do quadrado do erro
O critério soma do quadrado do erro (SSE) (do idioma inglês “Sum of Squarer Error”)
foi elaborado por Wang (2000) apud Zhou et al. (2006) é descrito pela Equação (3.13).
i j
jvjivi uuxxSSE 2,
2, ˆˆ (3.13)
Onde ix é o valor reconciliado da variável medida i, i,vx é o valor verdadeiro da variável
medida i, ju é o valor reconciliado da variável não medida observável j e j,vu é o valor
verdadeiro da variável não medida observável j.
Este critério é geralmente utilizado para avaliar o quão próximo dos valores verdadeiros
as variáveis reconciliadas estão, e, por isso, é amplamente utilizado para comparar desempenho
de métodos de resolução de problemas de reconciliação de dados. Observando sua estrutura
matemática, nota-se que, quanto menor for o SSE, melhor o resultado.
3.4.2. Maior resíduo absoluto
O critério do Maior Resíduo Absoluto (MARES) evidencia, dentre as equações do
modelo matemático, qual foi o valor do maior resíduo. Quanto maior for o MARES, pior o
resultado da reconciliação, pois mais longe os valores reconciliados estarão dos valores
verdadeiros das variáveis do sistema.
47
3.4.3. Soma dos resíduos absolutos
O critério Soma dos Resíduos Absolutos (SARES) é definido pela Equação (3.21).
iRESSARES (3.21)
Onde RESi representa o resíduo da equação i do modelo matemático. Assim, é notório
que, quanto maior for o SARES, pior terá sido o resultado da reconciliação, uma vez que mais
longe os valores reconciliados estarão dos valores verdadeiros das variáveis do sistema.
3.4.4. Função objetivo
O critério do valor da Função Objetivo (Fobj) visa possibilitar uma comparação de
desempenho entre métodos de resolução de problemas de RD, uma vez que avalia qual técnica
chegou mais próxima do mínimo da função objetivo. Logo, quanto menor for o valor do critério
Fobj obtido com as variáveis reconciliadas, melhor terá sido o método. É importante salientar
que este critério deve ser utilizado em conjunto com outro que avalie os resíduos das equações
do modelo matemático, no caso deste trabalho, SARES e MARES. Observa-se também que,
para ser coerente, este critério só deve ser utilizado quando as técnicas de resolução do problema
baseam-se a mesma função objetivo.
3.5. RESUMO DA METODOLOGIA
A metodologia empregada nesse trabalho de conclusão de curso está relacionada com a
implementação de problemas de reconciliação de dados no pacote computacional EMSO. Para
a avaliação dos valores retificados pelo software citado foram usados critérios de avaliação
como a função objetivo e a soma dos erros.
48
As Tabelas (3.3) e (3.4) aprofundam a metodologia utilizada em cada um dos dois casos.
Tabela 3.3 – Resumo da metodologia para o Caso 1: Serth et al. (1987)
Característica/Item DescriçãoProcesso Cominuição de minérios.
Característica do processo Fluxograma ilustrado na figura 3.1.Restrições do sistema 12 bilineares.Número de equações 12.Número de variáveis 24 variáveis, sendo 18 medidas e 6 não medidas.Limite nas variáveis Devem ser todas positivas.Modelo matemático Representado pelas equações 3.1 a 3.12
Valores exatos Sim, fornecidos pela literatura.Desvio padrão 2,5% dos valores medidos.
Software de resolução EMSO - Ambiente para Modelagem, Simulação eOtimização.
Sub-rotina(pacote do programa) Flowsheet e Otimização (Optimization).
Otimizador IPOPT (Wächeter, 2002), “ipopt_emso”. Tolerância:10-8.Objetivo específico Retornar aos valores reais após distorcê-los.
Critério de avaliação Função Objetivo, SARES e MARES.
Tabela 3.4 – Resumo da metodologia para o Caso 2: Smith e Ichiyen (1973)
Característica/Item DescriçãoProcesso Cominuição e flotação de cobre, zinco e ferro.
Característica do processo Fluxograma ilustrado na figura 3.2.Restrições do sistema 12 bilineares e 4 lineares.Número de equações 16.Número de variáveis 25 medidas e 7 não medidas, num total de 32 variáveis.Limite nas variáveis Devem ser todas positivas.Modelo matemático Representado pelas equações 3.13 a 3.28
Valores exatos Somente os propostos pelos autores.Desvio padrão 6,54% dos valores exatos.
Software de resolução EMSO - Ambiente para Modelagem, Simulação eOtimização.
Sub-rotina(pacote do programa) Flowsheet e Otimização (Optimization).
Otimizador IPOPT (Wächeter, 2002), “ipopt_emso”. Tolerância:10-8.
Objetivo específico Comparar os valores obtidos com o software EMSO aos propostos porSmith e Ichiyen.
Critério de avaliação Resíduos absolutos e função objetivo.
49
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Neste capítulo será exposto ao leitor como foram realizadas a retificação de dados para
ambos os casos e a classificação de variáveis para o primeiro caso. A classificação de variáveis
para o segundo caso foi omitida dado que este caso é clássico e já foi amplamente estudado,
por isso, parte-se do pressuposto de que o sistema é notoriamente observável.
4.1. CASO 1: SERTH et al. (1987)
4.1.1. Classificação de Variáveis
A etapa inicial do procedimento de retificação de dados, conforme definido no capítulo
2, é a classificação de variáveis do sistema que visa determinar se este é reconciliável ou não.
Para esta, utilizou-se a técnica de ordenação matricial previamente detalhada no capítulo 2.
1ª Etapa: Formulação do modelo matemático
O fluxograma do processo é ilustrado na Figura 3.1 e o modelo matemático do problema
é descrito pelas equações (3.1) a (3.2).
2ª Etapa: Identificação das variáveis
O problema é composto por um total de 24 variáveis (X1, X2, X3, X4, X5, Y15, Y25,
Y35, X6, Y16, Y26, Y36, X7, Y17, Y27, Y37, X8, Y18, Y28, Y38, X9, Y19, Y29 e Y39). Note
que a descrição do problema, item 3.2 deste trabalho, informa que todas as variáveis são
medidas. Entretanto, visando uma aplicação mais abrangente do algoritmo desenvolvido por
Oliveira Júnior (2006), mas não invalidando a classificação de variáveis do problema, assume-
se a existência de 6 variáveis não medidas (Y15, Y25, Y35, Y16, Y26 e Y36).
50
Prosseguindo para a terceira etapa, por convenção, inicia-se pela classificação das
variáveis não medidas para posteriormente checar a redundância de cada variável medida.
3ª Etapa: Construção da matriz de ocorrência
A Tabela 4.1 explicita a Matriz (4.1), chamada matriz ocorrência do sistema.
Tabela 4.1 - Matriz de ocorrência do caso 1.
X1
X2
X3
X4
X5
Y15
Y25
Y35
Y6
Y16
Y26
Y36
X7
Y17
Y27
Y37
X8
Y18
Y28
Y38
X9
Y19
Y29
Y39
Eq3.1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Eq3.2 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Eq3.3 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Eq3.4 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Eq3.5 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Eq3.6 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Eq3.7 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
Eq3.8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
Eq3.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Eq3.10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
Eq3.11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Eq3.12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Nesta etapa todas as colunas das variáveis medidas são zeradas. Para uma melhor
organização, ocultam-se todas as colunas das variáveis medidas. Na etapa de verificação da
redundância das variáveis medidas as colunas de variáveis medidas continuarão ocultas, salvo
a da variável medida que estiver em análise.
51
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36
Eq 3.1 1 1 1 0 0 0
Eq 3.2 1 1 1 0 0 0
Eq 3.3 1 1 1 1 1 1
Eq 3.4 1 0 0 1 0 0
Eq 3.5 0 1 0 0 1 0
Eq 3.6 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 1 1 1
Eq 3.8 0 0 0 1 1 1
Eq 3.9 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0
Eq 3.11 0 0 0 0 0 0
Eq 3.12 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.2)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a etapa 8.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36
Eq 3.1 2 1 1 0 0 0
Eq 3.2 2 1 1 0 0 0
Eq 3.3 2 1 1 1 1 1Eq 3.4 2 0 0 1 0 0
Eq 3.5 0 1 0 0 1 0
Eq 3.6 0 0 1 0 0 1
Eq 3.7 0 0 0 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 1 1 1
Eq 3.9 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0
Eq 3.11 0 0 0 0 0 0
Eq 3.12 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.3)
52
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36
Eq 3.1 2 1 1 0 0 0
Eq 3.2 2 1 1 0 0 0
Eq 3.3 2 1 1 0 1 1
Eq 3.4 2 0 0 0 0 0
Eq 3.5 0 1 0 0 1 0
Eq 3.6 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 1 1
Eq 3.8 0 0 0 0 1 1
Eq 3.9 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0
Eq 3.11 0 0 0 0 0 0
Eq 3.12 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.4)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a etapa 8.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36
Eq 3.1 2 2 1 0 0 0
Eq 3.2 2 2 1 0 0 0
Eq 3.3 2 2 1 0 1 1Eq 3.4 2 0 0 0 0 0
Eq 3.5 0 2 0 0 1 0
Eq 3.6 0 0 1 0 0 1
Eq 3.7 0 0 0 0 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 1 1
Eq 3.9 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0
Eq 3.11 0 0 0 0 0 0
Eq 3.12 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.5)
53
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.5, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 2 2 1 0 0 0Eq 3.2 2 2 1 0 0 0Eq 3.3 2 2 1 0 0 1Eq 3.4 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 2 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 0 1Eq 3.8 0 0 0 0 0 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.6)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 2 2 1 0 0 0Eq. 3.2 2 2 1 0 0 0Eq. 3.3 2 2 1 0 0 0Eq. 3.4 2 0 0 0 0 0Eq. 3.5 0 2 0 0 0 0Eq. 3.6 0 0 1 0 0 0Eq. 3.7 0 0 0 0 0 0Eq. 3.8 0 0 0 0 0 0Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0
Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.7)
54
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.1, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 2 2 0 0 0 0Eq. 3.2 2 2 0 0 0 0Eq. 3.3 2 2 0 0 0 0Eq. 3.4 2 0 0 0 0 0Eq. 3.5 0 2 0 0 0 0Eq. 3.6 0 0 0 0 0 0Eq. 3.7 0 0 0 0 0 0Eq. 3.8 0 0 0 0 0 0Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0
Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.8)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a etapa 9.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 2 0 0 0 0Eq 3.2 1 2 0 0 0 0Eq 3.3 1 2 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 2 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.9)
55
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 0 0 0 0Eq 3.2 0 2 0 0 0 0Eq 3.3 0 2 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 2 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.10)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a etapa 9.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36
Eq 3.1 0 1 0 0 0 0Eq 3.2 0 1 0 0 0 0Eq 3.3 0 1 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.11)
56
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.3, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.12)
6ª etapa: Classificação de variáveis
Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.3)
Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.5)
Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
Grau de sobreterminação: 6
Visto que as equações Eq (3.6), Eq (3.8), Eq (3.9), Eq (3.10), Eq (3.11) e Eq (3.12) não
foram utilizadas.
Partindo do princípio de que as variáveis não medidas são observáveis pode ser feita a
verificação da redundância das variáveis medidas.
57
Verificação da redundância de Y1
Será feita a verificação da redundância de cada variável medida de maneira separada.
Nesta parte o algoritmo pode ser iniciado já a partir da quarta etapa. Este procedimento será
repetido para todas as variáveis medidas deste caso.
4ª etapa: da validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
X1 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 1 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 1 1 1 0 0 0Eq 3.3 0 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.13)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso foi escolhida Y15.
X1 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 1 2 1 1 0 0 0Eq. 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq. 3.3 0 2 1 1 1 1 1Eq. 3.4 0 2 0 0 1 0 0Eq. 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq. 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq. 3.7 0 0 0 0 1 1 1Eq. 3.8 0 0 0 0 1 1 1Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.14)
58
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência – Equação 3.4 – Y16.
X1 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 0 2 1 1 0 1 1Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.15)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso foi escolhida Y25.
X1 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 2 2 1 0 0 0Eq 3.2 0 2 2 1 0 0 0Eq 3.3 0 2 2 1 0 1 1Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 2 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.16)
59
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.5 – Y26.
X1 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 1 2 2 1 0 0 0Eq. 3.2 0 2 2 1 0 0 0Eq. 3.3 0 2 2 1 0 0 1Eq. 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq. 3.5 0 0 2 0 0 0 0Eq. 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq. 3.7 0 0 0 0 0 0 1Eq. 3.8 0 0 0 0 0 0 1Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.17)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7 – Y36.
X1 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 1 2 2 1 0 0 0Eq. 3.2 0 2 2 1 0 0 0Eq. 3.3 0 2 2 1 0 0 0Eq. 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq. 3.5 0 0 2 0 0 0 0Eq. 3.6 0 0 0 1 0 0 0Eq. 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.18)
60
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6 – Y35.
X1 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 1 2 2 0 0 0 0Eq. 3.2 0 2 2 0 0 0 0Eq. 3.3 0 2 2 0 0 0 0Eq. 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq. 3.5 0 0 2 0 0 0 0Eq. 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.19)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.1 - X1.
X1 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 0 2 2 0 0 0 0Eq. 3.2 0 2 2 0 0 0 0Eq. 3.3 0 2 2 0 0 0 0Eq. 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq. 3.5 0 0 2 0 0 0 0Eq. 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.20)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
61
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y15.
X1 Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 2 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 1 2 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 1 2 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.21)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y15.
X1 Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.22)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
62
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y25.
X1 Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.23)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.3, variável Y25.
X1 Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.24)
O sistema é observável mesmo com a variável X1 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.3)
63
Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.5)
Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
X1 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.1)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.8), Eq. (3.9), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não
foram utilizadas.
Verificação da redundância de X2
4ª etapa: da validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 1 1 1 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.25)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
64
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso foi escolhida Y15.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 0 2 1 1 0 0 0Eq. 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq. 3.3 1 2 1 1 1 1 1Eq. 3.4 0 2 0 0 1 0 0Eq. 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq. 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq. 3.7 0 0 0 0 1 1 1Eq. 3.8 0 0 0 0 1 1 1Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.26)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência – Equação 3.4 – Y16.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 1 2 1 1 0 1 1Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.27)
Como não há mais linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
65
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 1 2 1 1 0 1 2Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.28)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.8, variável Y26.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 1 2 1 1 0 0 2Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.29)
66
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 1 0 0 0 0Eq 3.2 0 2 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 2 1 0 0 0 2Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.30)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.5, variável Y25.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 2 0 0 0 0 2Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.31)
67
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.3, variável X2.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 2 0 0 0 0 2Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.32)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y15.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 1 0 0 0 0 2Eq 3.4 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.33)
68
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.2, variável Y15.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.34)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a nona etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y36.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.35)
69
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.7 - Y36.
X2 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.36)
O sistema é observável mesmo com a variável X2 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.5)
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• X2 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.3)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.1), Eq. (3.9), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas.
70
Verificação da redundância de X3
4ª etapa: da validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 1 1 1 0 0 0Eq 3.3 0 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 1 0 0 0 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.37)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso foi escolhida Y15.
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq. 3.1 0 2 1 1 0 0 0Eq. 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq. 3.3 0 2 1 1 1 1 1Eq. 3.4 0 2 0 0 1 0 0Eq. 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq. 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq. 3.7 1 0 0 0 1 1 1Eq. 3.8 0 0 0 0 1 1 1Eq. 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq. 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq. 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.38)
71
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência – Equação 3.4 – Y16.
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 0 2 1 1 0 1 1Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 1 0 0 0 0 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.39)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 0 2 1 1 0 1 2Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 2Eq 3.7 1 0 0 0 0 1 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.40)
72
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.8, variável Y26.
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 0 2 1 1 0 0 2Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 2Eq 3.7 1 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.41)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 1 0 0 0 0Eq 3.2 0 2 1 0 0 0 0Eq 3.3 0 2 1 0 0 0 2Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 1 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.42)
73
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.5, variável Y25.
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 2 0 0 0 0 2Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 1 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.43)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável X3.
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 2 0 0 0 0 2Eq 3.4 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.44)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
74
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y15.
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 1 0 0 0 0 2Eq 3.4 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.45)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.2 - Y15.
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.46)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
75
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y36.
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.47)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.3 - Y36.
X3 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.48)
O sistema é observável mesmo com a variável X3 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.5)
76
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.3)
• X3 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.7)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.1), Eq. (3.9), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas.
Verificação da redundância de X4
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 1 1 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 1 0 0 0Eq 3.3 0 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.49)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
77
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y26.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 1 1 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 1 0 0 0Eq 3.3 0 1 1 1 1 2 1Eq 3.4 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 1Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.50)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.5, variável Y25.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 0 1 0 0 0Eq 3.2 1 1 0 1 0 0 0Eq 3.3 0 1 0 1 1 2 1Eq 3.4 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 1Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.51)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
78
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 0 1 0 0 0Eq 3.2 1 1 0 1 0 0 0Eq 3.3 0 1 0 1 1 2 2Eq 3.4 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 2Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.52)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y16.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 0 1 0 0 0Eq 3.2 1 1 0 1 0 0 0Eq 3.3 0 1 0 1 0 2 2Eq 3.4 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.53)
79
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 1 0 0 0 2 2Eq 3.4 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.54)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.4, variável Y15.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 2 2Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.55)
80
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável X4.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 2 2Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.56)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y26.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 1 2Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.57)
81
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.3, variável Y26.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.58)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y36.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.59)
82
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
X4 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.60)
O sistema é observável mesmo com a variável X4 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.5)
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.3)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• X4 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.2)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.1), Eq. (3.9), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas.
83
Verificação da redundância de X5
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 1 1 1 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 1 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 1 1 0 0 1 0 0Eq 3.5 1 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 1 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.61)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 1 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 1 2 1 1 1 1 1Eq 3.4 1 2 0 0 1 0 0Eq 3.5 1 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 1 0 0 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.62)
Como ainda não há linhas com apenas uma ocorrência, determina-se mais uma variável
de corte.
84
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 1 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 1 2 1 1 1 1 2Eq 3.4 1 2 0 0 1 0 0Eq 3.5 1 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 1 0 0 1 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 2Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.63)
Como ainda não há linhas com apenas uma ocorrência, determina-se mais uma variável
de corte.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y16.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 1 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 1 2 1 1 2 1 2Eq 3.4 1 2 0 0 2 0 0Eq 3.5 1 0 1 0 0 1 0Eq 3.6 1 0 0 1 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 2 1 2Eq 3.8 0 0 0 0 2 1 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.64)
85
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.8, variável Y26.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 1 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 1 2 1 1 2 0 2Eq 3.4 1 2 0 0 2 0 0Eq 3.5 1 0 1 0 0 0 0Eq 3.6 1 0 0 1 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.65)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência – Equação 3.4, variável X5.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.2 0 2 1 1 0 0 0Eq 3.3 0 2 1 1 2 0 2Eq 3.4 0 2 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 0 1 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.66)
86
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.5, variável Y25.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 0 1 0 0 0Eq 3.2 0 2 0 1 0 0 0Eq 3.3 0 2 0 1 2 0 2Eq 3.4 0 2 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 1 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.67)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência – Equação 3.6, variável Y35.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 2 0 0 2 0 2Eq 3.4 0 2 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.68)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
87
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y36.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 2 0 0 2 0 1Eq 3.4 0 2 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 1Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.69)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.7, variável Y36.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 2 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 2 0 0 2 0 0Eq 3.4 0 2 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.70)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
88
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y15.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 1 0 0 2 0 0Eq 3.4 0 1 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.71)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.2, variável Y15.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 2 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.72)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
89
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y16.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 1 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 1 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.73)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.3, variável Y16.
X5 Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.74)
O sistema é observável mesmo com a variável X5 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.5)
90
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.3)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• X5 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.4)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.1), Eq. (3.9), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas.
Verificação da redundância de X6
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 1 0 0 1 1 0 0Eq 3.5 0 1 0 1 0 1 0Eq 3.6 0 0 1 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.75)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
91
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y35.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 1 2 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 2 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 2 1 1 1 1Eq 3.4 1 0 0 1 1 0 0Eq 3.5 0 1 0 1 0 1 0Eq 3.6 0 0 2 1 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.76)
Como ainda não há linhas com apenas uma ocorrência, determina-se mais uma variável
de corte.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 1 2 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 2 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 2 1 1 1 2Eq 3.4 1 0 0 1 1 0 0Eq 3.5 0 1 0 1 0 1 0Eq 3.6 0 0 2 1 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 2Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.77)
92
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.6, variável X6.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 1 2 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 2 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 2 0 1 1 2Eq 3.4 1 0 0 0 1 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 2 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 2Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.78)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y16.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 1 2 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 2 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 2 0 2 1 2Eq 3.4 1 0 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 1 0Eq 3.6 0 0 2 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 2 1 2Eq 3.8 0 0 0 0 2 1 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.79)
93
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.8, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 1 2 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 2 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 2 0 2 0 2Eq 3.4 1 0 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 2 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.80)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.5, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 1 0 2 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 2 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 2 0 2 0 2Eq 3.4 1 0 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 2 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.81)
94
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 2 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 2 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 2 0 2 0 2Eq 3.4 0 0 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 2 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.82)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y35.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 1 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 1 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 1 0 2 0 2Eq 3.4 0 0 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.83)
95
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.2, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.4 0 0 0 0 2 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 2 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.84)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y16.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 1 0 2Eq 3.4 0 0 0 0 1 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 1 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 1 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.85)
96
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 2Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.86)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.87)
97
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.3, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 X6 Y16 Y26 Y36Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.88)
O sistema é observável mesmo com a variável X6 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.5)
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.3)
• X6 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.6)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.7), Eq. (3.9), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas.
98
Verificação da redundância de X7
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 1Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 1Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 1Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1
Matriz (4.89)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável X7.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.90)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
99
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.91)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.92)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
100
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.93)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.94)
101
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.95)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.96)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
102
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.97)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.98)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
103
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.99)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X7Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.100)
O sistema é observável mesmo com a variável X7 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
104
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• X7 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas.
Verificação da redundância de X8
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1
Matriz (4.101)
105
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável X8.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.102)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.103)
106
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.104)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.105)
107
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.106)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.107)
108
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.108)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.109)
109
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.110)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.111)
110
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X8Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.112)
O sistema é observável mesmo com a variável X8 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• X8 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas.
111
Verificação da redundância de X9
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1
Matriz (4.113)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável X9.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.114)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
112
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.115)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.116)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
113
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.117)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.118)
114
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.119)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.120)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
115
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.121)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.122)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
116
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.123)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 X9Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.124)
O sistema é observável mesmo com a variável X9 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
117
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• X9 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas.
Verificação da redundância de Y17
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 1Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.125)
118
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável Y17.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.126)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.127)
119
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.128)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.129)
120
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variávelY35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.130)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.131)
121
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.132)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.133)
122
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variávelY36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.134)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.135)
123
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y17Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.136)
O sistema é observável mesmo com a variável Y17 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y17 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas.
124
Verificação da redundância de Y18
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.137)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável Y18.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.138)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
125
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.139)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.140)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
126
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.141)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.142)
127
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.143)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.144)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
128
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.145)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.146)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
129
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.147)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y18Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.148)
O sistema é observável mesmo com a variável Y18 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
130
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y18 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas
Verificação da redundância de Y19
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.149)
131
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável Y19.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.150)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.151)
132
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.152)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.153)
133
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.154)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.155)
134
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.156)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.157)
135
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.158)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.159)
136
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y19Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.160)
O sistema é observável mesmo com a variável Y19 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y19 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas
137
Verificação da redundância de Y27
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 1Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.161)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável Y27.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.162)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
138
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.163)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.164)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
139
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.165)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.166)
140
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.167)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.168)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a etapa
seguinte.
141
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.169)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.170)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
142
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.171)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y27Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.172)
O sistema é observável mesmo com a variável Y27 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
143
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y27 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas
Verificação da redundância de Y28
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.173)
144
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável Y28.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.174)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.175)
145
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.176)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.177)
146
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.178)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.179)
147
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.180)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.181)
148
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.182)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.183)
149
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y28Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.184)
O sistema é observável mesmo com a variável Y28 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y28 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas
150
Verificação da redundância de Y29
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 1Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.185)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável Y29.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.186)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
151
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.187)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.188)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
152
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.189)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.190)
153
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.191)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.192)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
154
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.193)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.194)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
155
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.195)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y29Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.196)
O sistema é observável mesmo com a variável Y29 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
156
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y29 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas
Verificação da redundância de Y37
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 1Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 1Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1
Matriz (4.197)
157
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável Y37.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.198)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.199)
158
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.200)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.201)
159
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.202)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.203)
160
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.204)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.205)
161
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.206)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.207)
162
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y37Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.208)
O sistema é observável mesmo com a variável Y37 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y37 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas
163
Verificação da redundância de Y38
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 1Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1
Matriz (4.209)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável Y38.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.210)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
164
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.211)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.212)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
165
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.213)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação daslinhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.214)
166
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.215)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.216)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
167
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.217)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.218)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
168
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação da
observabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.219)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y38Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.220)
O sistema é observável mesmo com a variável Y38 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
169
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y38 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas
Verificação da redundância de Y39
4ª etapa: Validação da matriz de ocorrência e especificação das variáveis.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 1
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 1
Matriz (4.221)
170
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.9, variável Y39.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 1 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 1 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 1 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.222)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 1 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 1 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 1 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.223)
171
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.4, variável Y16.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.224)
Como não há linhas com apenas uma ocorrência, passa-se diretamente para a oitava
etapa.
8ª etapa: Escolha da variável de corte (iteração). No caso a escolhida foi Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 1 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 1 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 1 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.225)
172
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.6, variável Y35.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 1 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 1 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 1 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.226)
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.7, variável Y26.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 1 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 1 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 1 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.227)
173
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Equação 3.2, variável Y25.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 2 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 2 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.228)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte - Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 1 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 1 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.229)
174
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.8, variável Y36.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 2 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.230)
Como não existem outras variáveis que podem ser eliminadas, passamos para a nona
etapa.
9ª etapa: Eliminação da variável de corte (iteração). Verificação daobservabilidade da variável de corte – Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 1 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.231)
175
5ª etapa: Determinação de ordem preliminar de precedência. Eliminação das
linhas/colunas com uma ocorrência - Eq 3.1, variável Y15.
Y15 Y25 Y35 Y16 Y26 Y36 Y39Eq 3.1 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.2 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.3 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.4 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.5 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.6 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.7 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.8 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.9 0 0 0 0 0 0 0
Eq 3.10 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.11 0 0 0 0 0 0 0Eq 3.12 0 0 0 0 0 0 0
Matriz (4.232)
O sistema é observável mesmo com a variável Y39 sendo assumida como não medida.
Então ela é uma variável medida redundante.
6ª etapa: Classificação de variáveis
• Y15 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.1)
• Y25 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.2)
• Y35 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.6)
• Y16 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.4)
• Y26 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.7)
• Y36 – Variável não medida observável pela equação Eq. (3.8)
• Y39 – Variável medida redundante pela equação Eq. (3.9)
7ª etapa: Grau de sobredeterminação
• Grau de sobredeterminação: 5
Até aqui, as equações Eq. (3.3), Eq. (3.5), Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12) não foram
utilizadas.
176
Resposta Final do Sistema
10ª etapa: Classificação final do modelo
A Tabela 4.2 mostra a classificação de todas as variáveis.
Tabela 4.2 – Classificação des variáveis do caso 1.
Variável Classificação Variável ClassificaçãoY15 Não medida observável X7 Medida redundanteY25 Não medida observável Y17 Medida redundanteY35 Não medida observável Y27 Medida redundanteY16 Não medida observável Y37 Medida redundanteY26 Não medida observável X8 Medida redundanteY36 Não medida observável Y18 Medida redundanteX1 Medida redundante Y28 Medida redundanteX2 Medida redundante Y38 Medida redundanteX3 Medida redundante X9 Medida redundanteX4 Medida redundante Y19 Medida redundanteX5 Medida redundante Y29 Medida redundanteX6 Medida redundante Y39 Medida redundante
Uma vez que todas as variáveis não medidas foram classificadas como observáveis, e
todas as variáveis medidas foram classificadas como redundantes, pode-se concluir que o
sistema avaliado é globalmente observável e, portanto, reconciliável.
Um fato importante é que: uma vez que as 6 variáveis ditas não medidas (apenas para a
aplicação mais abrangente do algoritmo) receberam a classificação final de não medidas
observáveis, quando consideradas novamente como variáveis medidas, tal qual originalmente
apresentado no capítulo 3, receberão a classificação de medidas redundantes, permanecendo,
assim, o sistema globalmente observável e passível de ser reconciliável.
4.1.2. Reconciliação de Dados
Concluída a classificação de variáveis e determinada a observabilidade do sistema, a
reconciliação de dados pôde ser realizada, produzindo os resultados apresentados na terceira
coluna da Tabela 4.3.
177
Tabela 4.3 – Resultados do Caso 1.
Variável Valor medido Valor ReconciliadoX1 98,5784 98,5273X2 321,2000 318,5770X3 24,8125 24,8015X4 259,5700 260,2230X5 362,0700 358,7500Y15 0,0669 0,0670Y25 0,3994 0,4001Y35 0,2596 0,2583X6 1131,5880 1117,3800Y16 0,0105 0,0105Y26 0,4576 0,4624Y36 0,2893 0,2851X7 1746,7925 1794,7100Y17 0,0203 0,0199Y27 0,3704 0,3678Y37 0,2248 0,2291X8 1093,7876 1092,5800Y18 0,0321 0,0326Y28 0,5608 0,5577Y38 0,1849 0,1849X9 700,0649 702,1290Y19 0,0002 0,0002Y29 0,0725 0,0724Y39 0,2984 0,2980
Para uma melhor avaliação destes resultados, a Tabela 4.4 apresenta os valores obtidos
para os critérios de avaliação SARES, MARES e SSE, quando calculados com os valores
medidos, reconciliados e verdadeiros, sendo os verdadeiros inclusos no SSE.
Tabela 4.4 – Critérios de avaliação de desempenho do Caso 1.
Critérios de Avaliação Medidos ReconciliadosSARES 35,7852 0,0094MARES 7,8138 0,0026
SSE 457,7318 207,1588
Pode-se observar, com o auxílio dos critérios SARES e MARES, que os resíduos das
equações do modelo matemático do sistema, quando calculados com as variáveis reconciliadas,
178
se mostram extremamente inferiores àqueles calculados com as variáveis medidas. Quanto ao
critério SSE seguiu a mesma linha, seu valor quando calculado com os dados reconciliados, foi
menos da metade daquele calculado com os dados medidos.
Analisando estes resultados, observa-se que a reconciliação de dados, neste caso, se
mostrou extremamente eficiente, pois, ao tratar os dados medidos, minimizou seus erros
aleatórios e aproximou as variáveis dos seus valores verdadeiros. Este fato indica que a
reconciliação de dados pode ser extremamente benéfica num ambiente industrial, uma vez que
seus resultados tem o potencial de promover alicerces mais firmes para as malhas de controle e
suas funções de tomada de decisão, estabelecendo um ambiente mais seguro e um produto de
melhor qualidade.
4.2. CASO 2: SMITH E ICHIYEN (1973)
4.2.1. Classificação de Variáveis
Neste segundo caso, por se tratar de um problema clássico e amplamente estudado de
reconciliação de dados, como citado no capítulo 3, não foi necessário a realização da etapa de
classificação de variáveis, uma vez que a observabilidade do sistema é conhecida. Todas as
variáveis medidas são redundantes e todas as variáveis não medidas são observáveis.
4.2.2. Reconciliação de Dados
Sabendo que o sistema é globalmente observável, a reconciliação de dados foi realizada.
A tabela 4.5. apresenta os valores reconciliados obtidos por Smith e Ichiyen (1973) e aqueles
alcançados com o software EMSO.
179
Tabela 4.5 – Resultados do Caso 2.
Variável EMSO Smith e IchiyenX1 1,0000 1,0000Y11 0,1594 0,1700Y21 3,6094 3,8560Y31 12,3984 12,3350X2 3,8255 5,2530Y12 0,3595 0,4620Y22 12,3932 11,7260Y32 13,5602 13,5570X3 3,3087 4,7290Y13 0,2624 0,4060Y23 8,2156 8,7180Y33 13,4173 13,4550X4 0,9393 0,9340Y14 0,1272 0,1360Y24 0,5178 0,4910Y34 12,2576 12,1790X5 0,5168 0,5240Y15 0,9811 0,9640Y25 39,1388 38,8520Y35 14,4746 14,4820X6 0,0607 0,0657Y16 0,6582 0,6490Y26 51,4797 51,7030Y36 14,5797 14,5620X7 0,4562 0,4590Y17 1,0240 1,0090Y27 37,4976 37,0110Y37 14,4606 14,4700X8 2,3694 3,7940Y18 0,3160 0,4730Y28 11,2674 10,7440Y38 13,8771 13,7690
Para uma melhor avaliação destes resultados, a Tabela 4.6 mostra os valores obtidos
para os critérios de avaliação SARES, MARES e Fobj, para a reconciliação de dados de Smith
e Ichiyen (1973), bem como a realizada com o software EMSO.
180
Tabela 4.6 – Critérios de avaliação de desempenho do Caso 2.
Critério de Avaliação EMSO Smith e IchiyenSARES 0,0008 0,0876MARES 0,0002 0,0265
Fobj 13,0163 12,6849
Conforme detalhado no capítulo 2 deste trabalho, matematicamente a reconciliação de
dados é feita através da minimização de uma função objetivo de maneira que haja simultânea
satisfação do modelo matemático representativo do processo. Assim, estes três critérios, quando
utilizados em conjunto, visam justamente promover uma comparação entre as estratégias de
resolução do problema de RD, já que o SARES e MARES avaliam os resíduos do modelo
matemático e o Fobj avalia o valor da função objetivo quando calculada com os dados
reconciliados.
Desta forma, pode-se observar na Tabela 4.6 que, o método utilizado por Smith e Ichien
(1973) para a solução do problema de RD alcançou uma função objetivo menor, porém na
mesma ordem de grandeza que o EMSO. Entretanto, ao avaliar este dado em conjunto com os
critérios SARES e MARES, observa-se que os resultados de Smith e Ichiyen (1973) produziram
resíduos bem maiores que o EMSO. A menor função objetivo possível apresenta valor zero
(nulo) e isso ocorre unicamente quando os valores reconciliados são idênticos aos valores
medidos. Isso reforça o comentário de que não se pode utilizar a Fobj sem previamente avaliar
os critérios de SARES e MARES.
Assim, os resultados conduzem à conclusão de que o software EMSO, utilizado em
conjunto com o otimizador IPOPT, mostrou-se mais eficiente do que a técnica utilizada por
Smith e Ichiyen (1973) para a resolução deste problema de RD, pois mesmo que sua função
objetivo esteja ligeiramente mais elevada, seus resultados melhor satisfizeram o modelo
matemático do processo.
181
5. CONCLUSÃO E SUGESTÕES
Este quinto capítulo apresenta as conclusões finais alcançadas com a execução deste
trabalho de conclusão de curso e ainda aborda sugestões para trabalhos futuros, com base nas
dificuldades obtidas e no conhecimento adquirido durante sua elaboração.
5.1. CONCLUSÕES
Utilizando o software EMSO em conjunto com o otimizador IPOPT, este trabalho
apresentou um estudo de retificação de dados em plantas de beneficiamento de minério
operando em estato estacionário.
Nos primeiros capítulos, com o objetivo de embasar o leitor com os conhecimentos
necessários, foi feita uma breve revisão bibliográfica sobre o tema, onde foram apresentados os
principais conceitos envolvidos nos processos de beneficiamento de minério, bem como
introduzido o procedimento de retificação de dados.
Para aplicação dos conceitos, foram utilizados dois estudos de casos baseados em
problemas previamente publicados na literatura técnico científica. No Caso 1, por não se tratar
de um problema explicitamente de retificação de dados, foi aplicado um algoritmo de
classificação de variáveis por ordenação matricial desenvolvido por Oliveira Júnior (2006), que
foi crucial para a determinação da observabilidade do sistema. Concluindo, ao final, que este
era globalmente observável, condição suficiente para aplicação do procedimento de
reconciliação de dados. Realizou-se a reconciliação de dados do problema visando avaliar os
benefícios da retificação de dados no ambiente industrial. Por meio da utilização dos critérios
SARES, MARES e SSE, observou-se que tal procedimento é extremamente benéfico, já que
possui a capacidade de, por exemplo, aumentar a segurança do processo e a qualidade do
produto final, uma vez que reduz os erros dos dados medidos de forma a torná-los mais
condizentes com a realidade.
182
Objetivando, por fim, uma análise do software utilizado neste trabalho, o Caso 2, que
trata de um problema de RD em beneficimaneto de minério amplamente estudado na literatura,
foi utilizado para promover uma comparação entre o método de solução do autor original e o
EMSO. Através dos critérios de avaliação de desempenho SARES, MARES e Fobj, concluiu-
se que a técnica utilizada por Smith e Ichiyen (1973), a princípio, foi inferior ao software
EMSO, uma vez que as funções objetivos de ambos mostraram ter a mesma ordem de grandeza,
mas os resíduos das restrições que representam o sistema foram muito maiores que os
alcançados pelo software EMSO. Isso mostra, também, a qualidade do otimizador IPOPT, parte
integrante das rotinas de reconciliação de dados e otimização no ambiente EMSO.
5.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Conforme exposto nesse trabalho de final de curso algumas sugestões para futuros
trabalhos podem ser consideradas; tais como:
Avaliação do algoritmo de Oliveira Júnior (2006) para problemas dinâmicos,
particularmente em sistemas de beneficiamento de minérios.
Avaliação do procedimento de reconciliação de dados em problemas dinâmicos de
beneficiamento de minérios, particularmente com detecção de erros grosseiros via
estimadores-M robustos [não realizado na literatura ainda];
Avaliação do software EMSO em ambiente industrial real, particularmente em sistemas
de beneficiamento de minérios [ existe a interface dessa aplicação no software EMSO];
A realização dessas sugestões podem contribuir de maneira significativa no campo de
retificação de dados, especificamente em sistemas de beneficiamento de minérios.
183
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALBUQUERQUE, J. S., BIEGLER, L. T., 1996, “Data Reconciliation and Gross-Error
Detection for Dynamic Systems”, AIChE Journal, v. 42, pp. 2841-2856.
BAGAJEWICZ, M., J., 2000a, Process Plant Instrumentation: Design and Upgrade, CRC Press.
BAZIN, C., HODOUIN, D., ZOUADI, M., “Data reconciliation and equilibrium constant
estimation: application to copper solvent extraction”, Hydrometallurgy, v. 80, pp.
45-53, 2005.
BAZIN, C., HODOUIN, D., ZOUADI, M., 2005, “Data reconciliation and equilibrium constant
estimation: application to copper solvent extraction”, Hydrometallurgy, v. 80, pp.
45-53.
BAZIN, C., ROCHON-TREMBLAY, S., GOSSELIN, C., 2003. “Estimation of gas flow rates
and pellets temperature in an iron oxide in duration furnace”, Canadian
Metallurgical Quarterly, v. 42, pp. 301– 312.
BERTON, A., HODOUIN, D., “Synchronized node imbalances for fault detection and isolation
in plant networks involving material circulation”, Computers and Chemical
Engineering, v. 31, pp. 815–832, 2007.
CAO, S., RHINEHART, R.R., 1995, “An Efficient Method for On-Line Identification of
Steady-State”, Journal of Process Control, v.5, pp. 363-374.
184
CARRISSO, R. C., CORREIA, J. C. G. Classificação e Peneiramento. In: LUZ, A. B.,
SAMPAIO, J. A., DE ALMEIDA, S. L. M., Tratamento de Minérios. 4 ed. Rio de
Janeiro, Brasil, 2004.
CARVALHO, E. A., BRINCK, V., Briquetagem. In: LUZ, A. B., SAMPAIO, J. A., DE
ALMEIDA, S. L. M., Tratamento de Minérios. 4 ed. Rio de Janeiro, Brasil, 2004.
CHAVES, A. P., FILHO, L. S. L., Flotação. In: LUZ, A. B., SAMPAIO, J. A., DE ALMEIDA,
S. L. M., Tratamento de Minérios. 4 ed. Rio de Janeiro, Brasil, 2004.
CHEN, J., ROMAGNOLI, J. A., “A Strategy for Simultaneous Dynamic Data Reconciliation
and Outlier Detection”, Computers and Chemical Engineering, v. 22, pp. 559-562,
1998.
CROWE, C. M., GARCIA CAMPOS, Y.A., HRYMAK, A., “Reconciliation of Process Flow
rates by Matrix Projection. Part I: Linear Case”, AIChE Journal, v. 29, pp. 881-
888,1983.
DAROUACH, M., ZASADZINSKI, M., 1991, “Data Reconciliation in Generalized Linear
Dynamic Systems”, AIChE Journal, v. 37, pp. 193-201.
DE ANDRADE LIMA, L. R. P., 2006, “Nonlinear data reconciliation in gold processing
plants”, Minerals Engineering, v. 19, pp. 938-951.
EKSTEEN, J., J., FRANK, S., J., REUTER, M. A., 2002, “Dynamic structures in variance
based data reconciliation adjustments for a chromite smelting furnace”, Minerals
Engineering, v. 15, pp. 931-943.
185
FIGUEIRA, H. V. O., DE ALMEIDA, S. L. M. J., LUZ, A. B., Cominuição. In: LUZ, A. B.,
SAMPAIO, J. A., DE ALMEIDA, S. L. M., Tratamento de Minérios. 4 ed. Rio de
Janeiro, Brasil, 2004.
HIMMELBLAU, D. M., EDGAR, T. F., LASDON, L. S., Optimization of Chemical Process,
2 Ed., EUA, 1988.
HODOUIN, D.; GELPE, T.; EVERELL, M. D., Sensitivity analysis of material balance
calculations- an application to a cement clinker grinding circuit. Powder
Technology, v. 3, pp. 139–153, 1982.
HODOUIN, D.; KASONGO, T.; KOUAMÉ, E.; EVERELL, M. D.; “BILMAT: an algorithm
for material balancing mineral processing circuits: applications to comminution,
desliming and flotation units.”, Canadian Mining and Metallurgical Bulletin, v. 74,
pp. 123–131, 1981.
JIANG, Q., SÁNCHEZ, M., BAGAJEWICZ, M., 1999, “On the Performance of Principal
Component Analysis in Multiple Gross Error Identification”, Industrial
Engineering and Chemical Research, v.38, pp.2005-2012.
KNEPPER, J.C., GORMAN, J.W., 1980, “Statistical Analysis of constrained data Sets”, AIChE
Journal, v. 26, pp. 260-264.
KUHEN, D. R., DAVIDSON, H., “Computer control. II. Mathematics of control”, Chemical
Engineering Progress, v. 57, pp. 44-47, 1961.
LIEBMAN, M. J., EDGAR, T. F., LASDON, L. S., “Efficient Data Reconciliation and
Estimation for Dynamic Processes Using Nonlinear Programming Techniques”,
Computers and Chemical Engineering, v. 16, pp. 963-986, 1992.
186
MAH, R. S. H., Chemical Process Structures and Information Flows, 1 Ed. Stoneham.
Butterworth, 1990.
MAKNI, S., HODOUIN, D., BAZIN, C., “A Recursive Node Imbalance Method Incorporating
a Model of Flowrate Dynamics for On-Line Material Balance of Complex
Flowsheets”, Minerals Engineering, v. 8, pp. 753-766, 1995.
MAKNI, S., HODOUIN, D., BAZIN, C., 1995, “A Recursive Node Imbalance Method
Incorporating a Model of Flowrate Dynamics for On-Line Material Balance of
Complex Flowsheets”, Minerals Engineering, v. 8, pp. 753-766.
MCBRAYER, K. F., EDGAR, T. F., 1995, “Bias Detection And Estimation In Dynamic Data
Reconciliation”, Journal of Process Control. v. 5, pp. 285-289.
MONTE, M. B. M., PERES, A. E. C., Química de Superfície na Flotação. In: LUZ, A. B.,
SAMPAIO, J. A., DE ALMEIDA, S. L. M., Tratamento de Minérios. 4 ed. Rio de
Janeiro, Brasil, 2004.
MULAR, A. L.; BRADBURN, R.G.; FLINTOFF, B. C.; LARSEN, C. R., Mass balance of a
grinding circuit. Canadian Mining and Metallurgical Bulletin, v. 69, pp. 124–129,
1976.
NARASHIMHAN, S., JORDACHE, C., Data Reconciliation and Gross Error Detection: An
Intelligent Use of Process Data, Gulf Professional Publishing. Houston, TX, 2000.
OLIVEIRA JÚNIOR, A. M.. Estimação de parâmetros em modelos de processo usando dados
industriais e técnica de reconciliação de dados. Tese de Doutorado, COPPE/UFRJ,
Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2006.
PRATA, D. M., Reconciliação Robusta de Dados para Monitoramento em Tempo Real, Tese
de Doutorado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2009.
187
PRATA, D. M., SCHWAAB, M., LIMA, E. L., PINTO, J. C., “Simultaneous Robust Data
Reconciliation and Gross Error Detection through Particle Swarm Optimization for
na Industrial Polypropylene Reactor”, Chemical Engineering Science, v. 65, pp.
4943- 4954, 2010.
ROLLINS, D. K., DEVANATHAN, S., BASCUÑANA, M. V. B., 2002, “Measurement bias
detection in linear dynamic systems”, Computers and Chemical Engineering. v.26,
pp. 1201-1211.
ROMAGNOLI, J. A., SANCHEZ, M. C., Data Processing and Reconciliation for Chemical
Process Operations, Academic Press. San Diego, 2000.
ROMAGNOLI; SÁNCHES, . Data processing and reconciliation in chemical process
operations. San Diego: Academic Press, 2000.
SAMPAIO, A. L., Reconciliação Robusta de Dados em Beneficiamento de Minério Utilizando
o Simulador EMSO, Dissetação de Mestrado, UFF, Niterói, RJ, Brasil. 2015.
SÁNCHEZ, M., ROMAGNOLI, J. A., “Use of Orthogonal Transformations in Data
Classification – Reconciliation”, Computers and Chemical Engineering, v. 20, pp.
483-493, 1996.
SBARBARO, D.; DEL VILLAR, R., Advanced Control and Supervision of Mineral Processing
Plants, 1º ed., Spriger, London, 2010.
SCHRAA, O. J., CROWE, C. M., “The numerical solution of bilinear data reconciliation
problems using unconstrained optimization methods.”, Computers and Chemical
Engineering, v. 22, pp. 1215-1228, 1998.
SERTH, R.W., VALERO, CM., HEENAN, W. A., “Detection of gross errors in nonlinearly
constrained data: a case study”, Chemical Engineering Communications, v. 51, pp.
89-104, 1987.
188
SILVEIRA, C. B. Planejamento e Controle da Produção, Softwares e Ferramentas, 2012.
Disponível em: http://www.citisystems.com.br/planejamento-controle-producao-
software-automacao-industrial/. Acesso em: 04/05/2015.
SMITH, H. W., ICHIYEN, N., “Computers adjustment of metallurgical balances”, Canadian
Mining and Metallurgical Bulletin, v. 66, pp. 97-100, 1973.
TONG, H., Studies in Data Reconciliation Using Principal Component Analysis, McMaster
University, Ontario, Canada, 1995.
VASEBI, A., POULIN, É., HOUDOUIN, D., “Dynamic data reconciliation in mineral and
metallurgical plants”, Annual Reviews in Control, v. 36, pp. 235-243, 2012.
Vibrastescreen, 2014. Disponível em http://www.vibratescreen.com.br/5-1-2-wheel-mounted-
crushing-plant.html/. Acesso em: 04/05/2015.
WÄCHTER, A., An Interior Point Algorithm for Large-Scale Nonlinear Optimization with
Applications in Process Engineering, Phd Thesis, Carnegie Mellon University,
2002.
WHITE, J. W., WINSLOW, R. L., ROSSITER, G. J., 1977, “A useful technique formetallurgical mass balances – applications in grinding”, International Journal ofMineral Processing, v.4, pp. 39-49.
WIEGEL, R. I., 1972, “Advances in mineral processing material balances”, Canadian
Metalurgica.Quarterly, v.11, pp. 413-424.
WILLS, B. A., Mineral Processing Technology: An Introduction to The Pratical Aspects of Ore
Treatment and Mineral Recovery, 7 Ed. Great Britain, 2006.
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