UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – P D E
LOURDES MOLINA VELASCO
MATEMÁTICA
OBJETO DE APRENDIZAGEM COLABORATIVO (OAC)
TEOREMA DE PITÁGORAS, ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Proposta de Projeto de Material Pedagógico Apresentada ao Professor
Emerson Joucoski
Orientador do Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE
CURITIBA
2008
SUMÁRIO
1. RECURSO DE EXPRESSÃO ................................................................................. 3
2. RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO .......................................................................... 7
2.1 Investigação Disciplinar ..................................................................................... 7
2.2. perspectiva Interdisciplinar ............................................................................... 8
2.3. Contextualização ............................................................................................ 10
3. RECURSOS DIDÁTICOS...................................................................................... 11
3.1 Sítios ................................................................................................................ 11
3.2 .Sons e Vídeos ................................................................................................ 12
3.3 Proposta de Atividade : .................................................................................... 15
4. RECURSO DE INFORMAÇÃO ............................................................................. 26
4.1 Sugestão de Leitura ......................................................................................... 26
4.2. Notícias ........................................................................................................... 27
4.3. Destaques ....................................................................................................... 29
4.4 PARANÁ ......................................................................................................... 30
3
OAC – OBJETO DE APRENDIZAGEM COLABORATIVO
IDENTIFICAÇÃO
Autora: Lourdes Molina Velasco
Ensino: Fundamental
Disciplina: Matemática
Conteúdo Estruturante: Geometrias
Conteúdo Específico: Teorema de Pitágoras
1. RECURSO DE EXPRESSÃO
Problematização do Conteúdo
Quais as ações pedagógicas necessárias para articular o ensino-
aprendizagem de matemática e a metodologia da Resolução de Problemas?
Título:
A Resolução de Problemas como método para auxiliar o processo de ensino-
aprendizagem da matemática
Texto:
Pretendemos abordar o conteúdo Teorema de Pitágoras, a partir da
metodologia “Resolução de Problemas”, para auxiliar o processo no ensino-
aprendizagem. Na organização deste ambiente de aprendizagem, visaremos a
compreensão, o diálogo mediado pela pesquisa, os questionamentos e a reflexão
sobre os conceitos.
4
O ensino de matemática tem sido alvo de muitas críticas concernentes às
metodologias desenvolvidas nas salas de aula. Tais admoestações recaem sobre o
formalismo de ações praticadas pelos educadores. No relatório da SAEB de 2001,
podemos averiguar referências como:
As orientações metodológicas e os objetivos do processo de ensino e aprendizagem de
matemática, na educação básica, vêm passando por profundas mudanças. Apesar da enorme
diferença entre o que se prescreve e o que de fato se realiza, existe um razoável consenso
entre os professores de que o ensino de matemática não pode limitar-se a um processo que
tenha como finalidade a simples memorização de regras e técnicas.
Quanto à avaliação em Matemática, é preciso repensar certas idéias ainda dominantes entre
os professores, notadamente as que concebem como prioritário avaliar a memorização de
fórmulas, regras e esquemas, e não a verificação de conceitos e o desenvolvimento de
atitudes. Ressalta-se que a avaliação em matemática tem uma dimensão social ( )
Sabemos que a resolução de problemas, ponto sensível no ensino da
disciplina, pode acontecer através de uma linguagem matemática concisa, com
exagerada memorização de regras e com todos os dados expressos no texto. Além
disso, passam a idéia de que são aplicados, sistematicamente, após a exposição de
cada conteúdo, sem priorizar informações de relevância social ou a interferência
mais efetiva do aluno no processo de resolução. A existência dessa metodologia é
questionada por Maria A.V. Bicudo (2004).
Como levar os professores de matemática incluírem numerosas experiências com Resolução
de Problemas, em suas salas de aula, de modos que seus alunos possam aprender
matemática com compreensão e de forma significativa? Resolver problemas é um bom
caminho para se ensinar matemática. Entretanto, os problemas não têm desempenhado bem
seu papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como uma forma de
aplicação de conhecimentos anteriormente adquiridos pelos alunos. Quem deve trabalhar
todas essas idéias? Quem deve ser responsável por essa mudança que se pretende para a
sala de aula de matemática? Quem deve promover um ensino aprendizagem capaz de formar
um cidadão participativo, reflexivo e autônomo, útil à sociedade quando deixar a escola?
As Diretrizes Curriculares para o Estado do Paraná (p. 25) destacam a
necessidade de um ensino de matemática voltado à formação plena do aluno,
gerada por um ambiente de construção de conhecimentos.
“É preciso, ainda, considerar que pela Educação Matemática almeja-se um ensino que
possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e
formulação de idéias. Aprende-se Matemática não somente por sua beleza ou pela
consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento
e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade”.
5
Para educadores como Stephen Krulik (1980), “A resolução de problemas é a
própria razão do ensino da matemática”, devendo constituir, portanto, o foco das
atividades no ambiente escolar.
Um dos precursores dessa metodologia foi G. Polya que, a partir de 1954
publicou obras como A Arte de Resolver Problemas, cuja proposição é a formação
da habilidade para resolver problemas. Propõe para tanto, um roteiro que se inicia
com a compreensão do texto, passa para a elaboração de um plano para resolvê-lo,
a seguir, pela execução desse plano e finaliza com a verificação ou prova dos
resultados obtidos.
Maria Aparecida Viggiani Bicudo (2004, p.206), cita os três modos diferentes
de abordar Resolução de Problemas segundo Schroeder & Lester (1989) que amplia
a proposta acima para uma educação matemática mais significativa, trazendo três
métodos para a reflexão do professor, que são: (a) ensinar sobre resolução de
problemas, (b) ensinar a resolver problemas e (c) ensinar matemática através da
resolução de problemas. Ao professor cabe a tarefa de dosar cada forma
mencionada, para equilibrar as abordagens de problemas.
A autora refere-se também a Van de Walle (2001) que sugere que ensinar
matemática através da resolução de problemas requer do professor a criação de um
ambiente matemático motivador e estimulante. Para tanto, cada aula deverá
compreender três fases: na primeira, deve preparar o aluno para receber a tarefa,
esclarecendo os objetivos, Na segunda parte, os alunos trabalham e o professor
observa e avalia. Na terceira fase, o professor aceita a solução dos alunos sem
avaliá-las, conduz as discussões, levando os alunos à auto-avaliação. Na seqüência,
o professor formaliza o conteúdo, aplicando os conceitos apreendidos.
Na busca de alternativas para o trabalho com interações no ambiente desta
metodologia, muitos pesquisadores voltam-se para o ambiente de inspiração
lakatosiana ou ambiente das verdades provisórias. Nesse contexto, a produção do
conhecimento é através do trabalho em grupo e possui como características: facilitar
o processo de conjecturas, promover um desenvolvimento sempre aberto, estimular
provas e refutações, desenvolver uma postura flexível frente à certeza e,
principalmente, às incertezas, buscar um desenvolvimento lógico-dedutivo para
6
todos, construir conhecimento desconhecido a priori e explorar situações que os
alunos tenham condições cognitivas para compreender e enfrentar. Davis & Hersh
(1982) assim se refere ao idealizador do ambiente lakatosiano Imre Lakatos: ”Em
vez de matemática esqueletizada e fossilizada, ele apresenta a matemática
crescendo a partir de um problema e uma conjectura, com uma teoria adquirindo
forma sob nossos olhos, no calor do debate e da discordância, a dúvida cedendo
lugar à certeza e em seguida a novas dúvidas”.
O processo onde se ensina matemática através de situações-problema deve
ser encarado como complexo, exigindo planejamento e diversificação de estratégias,
se considerarmos os vários tipos de problemas que poderão ser utilizados. De
acordo com Luiz Roberto Dante (2005, p.16), temos: (a) Problemas-padrão que
envolvem a aplicação direta de algoritmos aprendidos: (b) Problemas–processo ou
heurísticos que envolvem operações que não estão contidas no enunciado; (c)
Problemas de aplicação ou situações-problema que retratam situações cotidianas e
(d) problemas de quebra-cabeça que fazem parte da matemática recreativa.
O ensino-aprendizagem de matemática com resolução de problemas parece
significativo para a educação desde que se estabeleçam mudanças nas posturas
pedagógicas. Assim, certamente as ações desenvolvidas para esse processo
poderão significar maior compreensão, domínio e aplicação de conceitos na
aprendizagem de matemática. Maria Aparecida V Bicudo (2004, p.230) sugere o
ensino de matemática através de resolução de problema, concluindo: ¨Acreditamos
que esta metodologia de ensino possa contribuir sobremaneira para uma
aprendizagem mais efetiva e significativa desta disciplina”.
BICUDO, M. A. V & BORBA, M.C. Educação Matemática: Pesquisa em Movimento.
São Paulo: Cortez. 2004.
SAEB, BRASIL. Ministério da Educação. Resultados da avaliação em matemática.
Brasília: 200l.
DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São
Paulo: Ática, 2005.
7
KRULIK, S. & REYS, R.E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São
Paulo, Saraiva, 2005.
LOPES, Antonio José. Gestão de interações e produção de conhecimento
matemático em um ambiente lakatosiano. Educação Matemática em Revista.São
Paulo, v. ,n.7,p.19,1999.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Currículo Básico para a escola pública
do Estado do Paraná. Curitiba: SEED, 2006.
POLYA, G. A Arte de resolver problemas. Rio de janeiro: Interciência, 2006
2. RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO
2.1 Investigação Disciplinar
Título:
Pesquisando alternativas
Texto:
A preparação dos materiais didáticos, utilizando-se a resolução de problemas
como um processo, parece estimular uma análise criteriosa. Dentro desse processo
de aprendizagem, os problemas devem apresentar as características de questões
abertas, permitindo a experimentação de caminhos para sua resolução através da
formulação de hipóteses.
Considerando-se o tema Teorema de Pitágoras podemos promover uma
busca ampla de conhecimentos em problemas relacionados com a construção civil,
sendo propícia também a troca de experiências com colegas e os próprios alunos.
PEGGY A.HOUSE (2005, p.218), faz indicações sobre o acervo de problemas que
8
devem ser construídos para a resolução de problemas: (... ) A permuta de problemas
com outros professores é uma fonte rica de material novo. E alguns dos melhores
problemas serão aqueles que os próprios alunos e professores criarão ou
descobrirão em seu cotidiano. (...).
Dentro da proposta de Resolução de Problemas, torna-se importante que o
professor se aproprie de conteúdos relacionados a projetos de modelagem
matemática. Na obra de Maria Salett Biembengut e Nelson Hein, A Modelagem
Matemática no Ensino (p.52) podemos encontrar o desenvolvimento de um trabalho
sobre construção de casas. Torna-se oportuno para o desenvolvimento do conteúdo
Teorema de Pitágoras, por promover questionamentos relacionados com a forma
triangular nas estruturas de telhados, podendo configurar como ponto de partida
para o desenvolvimento do tema. No site
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/modelagem/Modelagem_Tesouras_We
b/modelagem_tesouras.htm., podemos encontrar mais um exemplo sobre o assunto.
BIEMBENGUT, M. S. & HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo:
Contexto, 2005.
HOUSE, Peggy A. Aventurando-se pelos caminhos da resolução de problemas: In
Krulik, Stephen&REYS, Robert E. A Resolução de Problemas na Matemática
Escolar. São Paulo: Saraiva 2005.
2.2. perspectiva Interdisciplinar
Título: Conexões matemáticas com a história e as artes
Texto:
9
São muitas as possibilidades interdisciplinares que poderão ser exploradas,
através do Teorema de Pitágoras, sob a perspectiva da Resolução de Problemas.
No Ensino Fundamental, podemos destacar duas disciplinas fortemente
relacionadas com o assunto: História e Artes.
A História justificamos, frente à impossibilidade que de dissociar a construção
do conhecimento matemático ao longo da evolução da humanidade. Maria da
Conceição F.R.Fonseca (2005, p.83) argumenta que “É a história que se infiltra na
constituição de significados da Matemática, obrigando a uma redefinição conceitual
dos modos de propor, realizar e analisar as práticas pedagógicas”.
Artes, como se mostra evidente, pelas formas geométricas constantes nas
obras de artes, que também se entrelaçam com a própria existência humana. No
livro Matemática Paratodos de Luiz M. Imenes & Marcelo C. Lellis (pg. 122) temos
um texto criado a partir de reportagens sobre a arte de Luiz Sacilotto, que utilizava a
geometria em suas produções culturais. Outra grande possibilidade dentro desta
área são as possíveis influências de Pitágoras na formação do sistema musical.
Podemos destacar muitos links que favorecem a pesquisa e promovem ambientes
atrativos para o trabalho do professor.
a) http://www.exatas.com/matematica/pitagoras.html: Oferece uma biografia
de Pitágoras, sua relação com a música, demonstrações, bibliografias e links
diversos.
b) http://www.educacaopublica.rj.gov.br/biblioteca/matematica/mat05.htm:
mostra a relação entre matemática e artes.
c) http://www.geometria.com.br/geometria/: Apresenta vasta biografia de
Pitágoras e sua importância para descobertas matemáticas.
d) http://www.geometria.com.br/geometria/: Mostra a importância da
matemática nas ciências e na arte.
10
e) http://www1.folha.uol.com.br/folha/ciencia/ult306u5765.shtml: Texto
publicado na folha de São Paulo de autoria de Marcelo Geliser, que traça um
paralelo entre a matemática, a ciência, a música e a natureza.
FONSECA, Maria C.F.R. Educação Matemática de Jovens e Adultos. Belo
Horizonte: Autêntica Editora, 2005.
IMENES, Luiz M.& LELLIS, Marcelo C. Matemática Paratodos. São Paulo: Editora
Scipione, 2007.
2.3. Contextualização Título:
Compreensão de conceitos com significados.
Texto:
É consenso entre os Educadores matemáticos a necessidade de tornar mais
significativo o aprendizado de conceitos matemáticos pelo aluno.
Maria da conceição F. R. Fonseca (2005) argumenta que:
(...) Torna-se cada vez mais evidente a necessidade de contextualizar o conhecimento
matemático a ser transmitido ou construído, não apenas inserindo-o numa situação problema,
ou numa abordagem dita “concreta”, mas buscando suas origens, acompanhando sua
evolução, explicitando sua finalidade ou seu papel na interpretação e na transformação da
realidade para a qual o aluno se depara e/ou de suas formas de vê-la e participar dela. ”.
Segundo a mesma autora as relações entre os saberes acadêmicos e
populares devem ser examinadas constantemente pelo educador matemático, na
busca do sentido pela re-inclusão dos significados da matemática que é ensinada e
aprendida (2005, p.79).
Sugerimos para este ambiente três formas para a contextualização do
Teorema de Pitágoras, através da metodologia da Resolução de Problemas:
11
a) Análise e problematização de uma construção civil, partindo do ponto de vista de
um mestre de obras. Como são efetuadas as medidas dos ângulos? Existe um
esquadro? É utilizado o triângulo Retângulo com 3, 4 e 5 unidades de lado, da
mesma maneira que os egípcios? Quais os processos usados para calcular as vigas
das tesouras de um telhado? Como ele faz para que as paredes fiquem “no
esquadro”, ao levantá-las?
b) Análise de uma construção que apresente inclinações irregulares, que direcione
questionamentos sobre a inviabilidade de tal ocorrência.
c) Utilização do Esquadro egípcio com 3, 4 e 5 unidades para a verificação do
ângulo reto, e realização de medidas na própria sala de aula.
FONSECA, Maria C.F.R. Educação Matemática de Jovens e Adultos. Belo
Horizonte: Autêntica Editora, 2005.
.
3. RECURSOS DIDÁTICOS
3.1 Sítios
Título do Sítio: Pitágoras
Disponível em (endereço web):
http://www.mat.ufg.br/docentes/jhcruz/ensino/Pitagoras.htm
Acessado em: novembro/2007
Comentários:
Oferece diversas demonstrações do Teorema de Pitágoras, aplicações
interessantes em situações problema e aponta outros links para pesquisa.
12
Título do Sítio: Geometria Dinâmica
Disponível em (endereço web): http://www.matematica.br/programas/
em : novembro/2007
Comentários:
Apresenta programas voltados à geometria dinâmica, com softwares livres,
que poderão ser utilizados para abordagens de problemas sobre o Teorema de
Pitágoras.
Título do Sítio: Geometria Dinâmica Disponível em (endereço web):
http://www.mat.ufrgs.br/%7Eedumatec/atividades/sugest.htm
Acessado em: novembro/2007
Comentários:
Propõe atividades diversas, com utilização de tecnologias no
desenvolvimento de geometria dinâmica.
3.2 .Sons e Vídeos
3.2.1. Vídeo
Título: O Barato de Pitágoras
Direção; José Roberto Sadok
Produtora: TV Escola
Duração (hh:mm); 14min14s
Local da Publicação; Ministério da Educação
Ano: Não consta.
Disponível em (endereço web):
13
http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraDownload.do?select_action=
&co_obra=20833&co_midia=6
Comentário:
Inicia-se com situações familiares com referencia às dificuldades do aluno em
memorizar o Teorema de Pitágoras, sem que haja relações que levem à sua
compreensão. Promove relações históricas, laboratório com dobraduras e
contextualização ao longo de sua veiculação.
3.2.2. Áudio - CD/MP3
. Título da música: Construção
. Executor/Intérprete; Chico Buarque de Holanda
. Título do CD: Construção Número da faixa: 01
. Nome da Gravadora: Poligram Int’l Ano: 1971
. Disponível em: http://musica.todaoferta.uol.com.br/cds/
Texto:
Construção
Chico Buarque/1971
Amou daquela vez como se fosse a última
Beijou sua mulher como se fosse a última
E cada filho seu como se fosse o único
E atravessou a rua com seu passo tímido
Subiu a construção como se fosse máquina
Ergueu no patamar quatro paredes sólidas
14
Tijolo com tijolo num desenho mágico
Seus olhos embotados de cimento e lágrima
Sentou pra descansar como se fosse sábado
Comeu feijão com arroz como se fosse um príncipe
Bebeu e soluçou como se fosse um náufrago
Dançou e gargalhou como se ouvisse música
E tropeçou no céu como se fosse um bêbado
E flutuou no ar como se fosse um pássaro
E se acabou no chão feito um pacote flácido
Agonizou no meio do passeio público
Morreu na contramão atrapalhando o tráfego
Amou daquela vez como se fosse o último
Beijou sua mulher como se fosse a única
E cada filho como se fosse o pródigo
E atravessou a rua com seu passo bêbado
Subiu a construção como se fosse sólido
Ergueu no patamar quatro paredes mágicas
Tijolo com tijolo num desenho lógico
Seus olhos embotados de cimento e tráfego
Sentou pra descansar como se fosse um príncipe
Comeu feijão com arroz como se fosse o máximo
Bebeu e soluçou como se fosse máquina
Dançou e gargalhou como se fosse o próximo
E tropeçou no céu como se ouvisse música
E flutuou no ar como se fosse sábado
E se acabou no chão feito um pacote tímido
Agonizou no meio do passeio náufrago
Morreu na contramão atrapalhando o público
Amou daquela vez como se fosse máquina
Beijou sua mulher como se fosse lógico
Ergueu no patamar quatro paredes flácidas
15
Sentou pra descansar como se fosse um pássaro
E flutuou no ar como se fosse um príncipe
E se acabou no chão feito um pacote bêbado
Morreu na contra-mão atrapalhando o sábado
(disponível em http://www.paralerepensar.com.br/chicob_construcao.htm)
Comentário:
Este ambiente mostra muito a relação matemática junto à construção civil e a
profissão do construtor, insere-se no contexto como coadjuvante nesta história.
A letra leva-nos à reflexão de como a execução do trabalho cotidiano é uma
extensão dos próprios sentidos e se insere na lógica da própria existência do sujeito.
Lembra também que, se pensamos em uma construção sendo elaborada,
sempre surge a imagem do trabalhador simples, braçal a como personagem central.
3.3 Proposta de Atividade :
Título: Construindo o conceito Teorema de Pitágoras, resolvendo problemas.
1ª ETAPA
Objetivos; Envolver o aluno, verificando os conceitos anteriormente adquiridos.
Metodologia: Atividades em grupo, com 4 alunos, no máximo.
Recursos: Retroprojetor, instrumentos de desenho e roteiro de atividade.
.
1ª Atividade: Individual.
a) Observe atentamente o desenho da casa.
16
(Extraído do livro Matemática Paratodos de Luiz Marcio Imenes & Marcelo C.Lellis,
p.228,77ª série)
b) Aponte todas as irregularidades que você está encontrando no desenho..
a) Para cada problema que você observar, indique qual deveria ser a forma correta
para esta construção.
c) Usando instrumentos de desenho, construa cada parte da casa na forma que
você considera a correta.
2ª Atividade; Discutindo com o grupo...
a) Troque informações com os membros de seu grupo, verificando se todos
encontraram os mesmos problemas que você encontrou, se todos concordaram com
suas conclusões (Outras questões: Encontraram algum problema no piso? E as
paredes? Os vãos das portas e janelas estão corretos? Quais as dificuldades que os
problemas verificados poderiam acarretar para um morador?)
b) Aprimorem o desenho que fizeram anteriormente, se necessário.
3ª atividade:
a) Lembrando de conceitos que vocês já aprenderam, verifiquem que tipo de
ângulos (agudo, reto ou obtuso) foram utilizados e qual(is) seria(m) adequado(s),
nas partes analisadas.
b) Quais os conceitos matemáticas, além dos ângulos que são necessários para a
construção de uma casa? (Exemplos: para fazer paredes, fazer pisos, etc.)
17
c) Utilizando instrumentos de desenho construam um ângulo Reto, escrevendo os
nomes especiais dos lados desse triângulo.
4ª atividade: Elaborem um texto sobre as três atividades trabalhadas.
2ª ETAPA
Objetivo: Obter a percepção da presença da matemática á sua volta.
Construir figuras geométricas.
Recursos: Cartolinas; régua; tesoura; papel quadriculado; barbante e roteiro para
atividades.
Encaminhamentos metodológicos: Os alunos trabalharão em grupo e o professor
acompanhará as atividades observando e tirando dúvidas e auxiliando diante de
dificuldades.
1ª Atividade:
a) Leitura do texto
O Triângulo Retângulo e O Esquadro Egípcio
Desde muito cedo em sua história, a humanidade utiliza ângulos retos para
demarcar terras, construir templos, palácios, casas, etc.
Se você observar o espaço à sua volta, poderá identificar muitos ângulos
retos.
Na edificação das pirâmides egípcias, os arquitetos e construtores usaram um
triângulo com lados 3, 4 e 5 unidades para determinar um ângulo reto, conforme
atestam documentos daquela época. Eles davam nós em uma corda, a intervalos
de igual distância, com 12 espaços iguais entre nós.
Os chineses também conheciam e usavam esse triângulo, assim como os
babilônios.
18
Disponível em: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teopitago/index.htm
b) Construção do esquadro egípcio
Recursos: Barbante; fita métrica ou trena; estaca (ou peso) para prender os vértices
do esquadro.
Desenvolvimento:
a) Dando nós em um barbante, construa um esquadro egípcio com seus
colegas de grupo. Se preferir, em vez de dar nós, faça marcas no barbante. A
distância entre dois nós poderá ser de 15 ou 20 centímetros. O importante é que os
espaços entre os nós ou marcas sejam exatamente iguais.
b) Junto com seu grupo, utilize o esquadro para verificar se as paredes da
sala de aula estão realmente “no esquadro”, ou seja, se formam ângulos retos.
c) Agora, vocês deverão fazer um texto para relatar a atividade. Na hora de
escrever, pensem e respondam questões como: Por que será que os egípcios
escolhiam o triângulo com 3, 4 e 5 unidades de medidas de lado? Existia alguma
vantagem nesta escolha? Quanto à experiência, relatem quantos nós e quantos
espaços obtiveram como mediram e marcaram etc. e depois, façam uma conclusão.
19
2ª atividade: Construção do quebra-cabeça
Materiais: esquadros; régua; cartolina.
Desenvolvimento:
a) Desenhe, no centro da cartolina, com lápis, a figura a seguir, começando pelo
triângulo retângulo.
(Autoria: Lourdes Molina Velasco)
b) Construa outra figura igual a esta, só que você só utilizará os dois quadrados
menores.
c) Numere as partes dos quadrados menores, faça desenhos nelas (ou pinte-as) e
recorte-as nas linhas pontilhadas.
d) Encaixe as cinco peças que você obteve no quadrado maior. Calma! Você
consegue!
e) Conseguiu? Observou qual a relação que você obteve entre as áreas que você
recortou e a área do quadrado maior? Escreva-a;
3ª Atividade: Para você compreender melhor a atividade anterior faça o seguinte
4
5
2
1
3
20
a) Recorte com papel quadriculado três quadrados (um com 3 unidades de lado,
outro com 4 unidades de lado e o terceiro com 5 unidades de lado).
b) Cole os três quadrados, formando um triângulo retângulo entre os três.
c) Qual a área do quadrado de lado 3 unidades de lado? _________________ Qual
a área do quadrado de 4 unidades de lado? ___________ Qual a área do quadrado
de 5 unidades de lado?___________________ Qual a relação entre a área do
quadrado maior e a área dos outros dois
quadrados?_______________________________.
d) O lado maior do triângulo retângulo chama-se _________________e os outros
dois são os _____________________
e) Utilizando estes nomes especiais dos lados do triângulo retângulo, reescreva a
relação de área acima.
______________________________________________________________.
f) Recorte mais três quadrados de lados a, b e c e monte outra figura semelhante à
anterior e reescreva a relação acima com estas medidas
___________________________________
21
(Disponível em http://bp2.blogger.com/_8jZYyJv8MUM/RqSusCSUrLI/AAAAAAAAADU/WpJib9rOKIs/s1600-h/454px-Pythagoraas2.jpg.
3ª ETAPA:
Objetivos: Deduzir a relação de Pitágoras
Resolver problemas aplicando o Teorema de Pitágoras.
Recursos: Instrumentos de desenho, cartolina, lápis, tesoura.
1ª atividade:
Vamos provar, dedutivamente, que em todo triângulo retângulo, o
quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Para
isso, você deverá proceder assim:
a) Desenhe e recorte quatro triângulos retângulos. Represente a medida dos lados
por: a (hipotenusa), b e c (catetos).
22
b) Desenhe e recorte três quadrados: um cujo lado seja igual à hipotenusa a do
triângulo retângulo, outro com lado igual a b e o terceiro com lado igual a c.
(Autoria: Lourdes Molina Velasco)
c) Pode enfeitar ou colorir as figuras.
d) Forme um quadrado maior juntando os quatro triângulos e o quadrado de lado a.
Qual a medida do lado desse quadradão?
________________________________________________
e) Forme, agora, outro quadrado, usando os quatro triângulos retângulos e os dois
quadrados de lados b e c. Qual é a medida do lado desse quadradão?
________________ ___
f) Se do primeiro quadradão você eliminar os quatro triângulos, sobrará
__________ _________________________________.
g) Se do segundo quadradão, que é ____________ao primeiro, você eliminar os
mesmos quatro triângulos, sobrarão dois ____________________ de lados ______
e ______ , que, juntos têm área igual a ___________________.
h) Logo, o que sobrou do primeiro quadradão é ____________ ao que sobrou do
segundo quadradão, ou seja:_______________________________________.
i) Assim, provamos que Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
2ª atividade Resolução de situações- problema.
4 ª ETAPA:
b c c a a a A a b
23
OBJETIVO: Entender que a matemática praticada fora da escola também é
importante.
1ª PARTE: (extraclasse): Conhecendo a Matemática do Mestre de Obras
Cada grupo deverá entrevistar um Mestre de Obras(Sugestões de
perguntas? Qual é a importância do Ângulo Reto nas construções que ele faz?
Como ele efetua as medidas dos ângulos? Possui um esquadro? Ele utiliza o
triângulo Retângulo com 3, 4 e 5 unidades de lado? Quais os processos que ele
utiliza para calcular as vigas das tesouras de um telhado? Como ele faz para que as
paredes fiquem “no esquadro”, ao levantá-las?, etc., etc. ...
Observações: Anote tudo, faça desenhos e esquemas porque o trabalho só está
começando!
2ª PARTE: (Sala de aula): Concluindo os trabalhos.
Cada grupo faz um relatório sobre a entrevista, com detalhes, incluindo
desenhos, esquemas, comentários, etc. e fazendo suas conclusões (Aprenderam
algo diferente? A matemática do mestre de obras “funciona” mesmo? Gostaram da
experiência? O que vocês aprenderam é importante? Por quê? Para que? Para
quem?
3ª PARTE: Apresentação do trabalho de cada grupo à sala.
Referências:
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática.São Paulo: Editora Ática,2004.
IMENES, Luiz Márcio. Descobrindo o Teorema de Pitágoras.São Paulo:Editora
Scipione, 1990.
24
IMENES, Luiz Márcio & LELLIS, Marcelo. Matemática para todos.São Paulo:
Scipione, 2002.
PARANA, Secretaria de Estado da Educação. Currículo Básico para a Escola
Pública do Estado do Paraná. Curitiba: SEED, 2006.
3.4 Imagens
Imagem:
a) Construção irregular
(Extraído do livro Matemática Paratodos de Luiz Marcio Imenes & Marcelo C.Lellis,
p.228, 7ª série)
Comentário:
Ilustra uma construção irregular, mostrando a importância do ângulo reto nas
construções.
b) Relações de áreas
25
Disponível em http://bp2.blogger.com/_8jZYyJv8MUM/RqSusCSUrLI/AAAAAAAAADU/WpJib9rOKIs/s1600-h/454px-Pythagoraas2.jpg.
Comentários:
Mostra geometricamente as relações de áreas do Teorema de Pitágoras.
b) Matemática e história
http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teopitago/index.htm
Comentários:
Mostra as relações entre a matemática e a História.
26
4- RECURSO DE INFORMAÇÃO
4.1 Sugestão de Leitura.
4.1.1. Periódico
:
Título do Artigo: Gestão de interações e produção de conhecimento matemático em
um ambiente lakatosiano
Referência:
LOPES, Antonio José. Gestão de interações e produção de conhecimento
matemático em um ambiente lakatosiano. Educação Matemática em Revista.São
Paulo, v. ,n.7,p.19,1999.
Comentários
Este artigo proporciona ao leitor uma visão mais efetiva do que consiste o
ambiente lakatosiano ou das verdades provisórias, durante uma aula de matemática.
Mostra a resolução de problemas como ponto de partida para a conquista da
compreensão, através do diálogo, conjecturas e o trabalhos com questões abertas
aos questionamentos.
4.1.2. Livro
Título do Livro A Resolução de Problemas na Matemática Escolar
Referência:
KRULIK, S. & REYS, R.E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São
Paulo, Saraiva, 2005.
27
Comentários:
Indicamos A Resolução de Problemas na Matemática Escolar, por tratar-se de
uma obra constituída por uma grande variedade de textos sobre a resolução de
problemas como processo no ensino-aprendizagem. Contempla a metodologia,
linguagens ilustradas, heurísticas, orientações para a complementação de
problemas de livros didáticos, uso de calculadora e muitas outras formas para se
ensinar a disciplina através da Resolução de Problemas. Esta publicação foi
organizada por Stephen Krulik e Robert E. Reys, tendo como tradutores Hygino H.
Domingues e Olga Corbo. Trata-se de exemplar constante na biblioteca do professor
em nossas escolas.
Título do Livro: Educação Matemática: Pesquisa em Movimento
Referência:
BICUDO, M. A. V & BORBA, M.C. Educação Matemática: Pesquisa em Movimento.
São Paulo: Cortez. 2004.
Comentários
Obra relevante dentro da metodologia Resolução de Problemas é Educação
Matemática: Pesquisa em Movimento, cujos organizadores são Maria A. V. Bicudo e
Marcelo C. Borba. Traz uma retrospectiva voltada ao movimento da Educação
Matemática, analisa as formas de abordagem da metodologia, além de apresentar
aplicações da mesma através de programas de mestrados.
4.2. Notícias
4.2.1. Revista on-line
28
Título da notícia: A Caminhada do bêbado e o Teorema de Pitágoras
Referência:
BARCO, Luiz.A Caminhada do bêbado e o Teorema de Pitágoras.São Paulo:Revista
Superinteressante,1991.Disponívelhttp://super.abril.com.br/superarquivo/1991/conte
udo_112479.shtml. Acesso em novembro de 2007.
Comentários
A Caminhada do bêbado e o Teorema de Pitágoras, descreve o movimento
térmico através do Teorema de Pitágoras. Para isso, faz analogias entre o
deslocamento de um bêbado e o deslocamento de bactérias em líquidos, mostrando
similaridades entre os casos.
4.2.2.Revista on-line
Título da notícia: Pitágoras e a Formiga
Referência:
BARCO, Luiz.. Pitágoras e a Formiga São Paulo:Revista Superinteressante,1999.
Disponível emhttp://super.abril.com.br/superarquivo/1999/conteudo_118053.shtml
Acesso em novembro de 2007.
Comentários:
Em Pitágoras e a Formiga, comenta-se a trajetória de uma formiga para
chegar até uma gota de mel, no interior de um pote. Conclui-se que o caminho
percorrido será efetivamente o menor, ou seja, em linha reta. São encaminhados
cálculos e outras informações didaticamente oportunas.
29
4.3. Destaques
4.3.1.Título: Curiosidades
Referências:
PORTUGAL.Ministério da Educação.Curiosidades.Lisboa: Curso prof2000,
2007.Disponível em Em http://www.prof2000.pt/users/hjco/Pitagora/pg000002.htm.
Acesso em nov.2007.
Comentário:
O Teorema de Pitágoras cercou-se de muitas particularidades ao longo de
sua história. No link acima, podemos nos informar que a Matemática Elicha Scott
conseguiu reunir trezentas e cinqüenta e sete demonstrações do teorema e que há
cinqüenta e dois anos a Grécia emitiu um selo comemorativo ao 2500º aniversário
de Pitágoras.
4.3.2.Título: Saveiro à Risca !
Referências:
SMARCEVSKI, Lev.Saveiro à Risca! São Paulo: Revista Superinteressante, 1998.
Disponível em http://super.abril.com.br/superarquivo/1998/conteudo_116711.shtml.
Acesso em nov./2007.
Texto:
Comentário:
Outra abordagem interessante foi veiculada pela revista Superinteressante,
sobre a construção de barcos, tipo saveiros. O Teorema de Pitágoras aparece como
instrumento para o corte das velas triangulares. O triângulo retângulo usado como
30
molde era o mesmo utilizado pelos egípcios, cujas medidas do lado são 3, 4 e 5
unidades de medida de lado.
4.4 PARANÁ
Título: Arquitetura em fotos
Texto:
O Teorema de Pitágoras poderá ser identificado soberbamente na arquitetura
de nossa Capital, Curitiba.
O ato de visualizar e analisar as edificações poderá contribuir para uma
compreensão e contextualização deste conhecimento. Em http://www.artes-
curitiba.com/arquitetura.htm, a história arquitetônica de Curitiba se manifesta de
forma atrativa. Estilos diversos se mesclam, o antigo e o novo se revelam. Da
observação criam-se, eventualmente, as questões implícitas nas construções. O
ângulo de noventa graus aparece mais nas construções mais antigas ou nas
contemporâneas ? É possível visualizar o triângulo retângulo presente nos detalhes
constantes nas fachadas dos monumentos mais antigos ? E quanto às igrejas,
existe algum padrão, relacionando o ângulo reto com suas torres? E quanto às suas
naves ? E as construções mais modernas privilegiam o triângulo retângulo ou o
ângulo reto de que forma?
Torna-se interessante também uma possível comparação entre as
arquiteturas de Curitiba e outras cidades paranaenses.
Referências:
ARTES CURITIBA. Arquitetura em fotos. Curitiba: Artes Curitiba, 2007. Disponível
em
http://www.artes-curitiba.com/arquitetura.htm. Acesso em nov.2007.
Top Related