UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA EM TELEINFORMÁTICA
CARLOS MAURÍCIO DE SOUSA
ESTUDO NUMÉRICO DO ACOPLADOR DUPLO SIMÉTRICO
NÃO LINEAR DE FIBRAS DE CRISTAIS FOTÔNICOS SOB
MODULAÇÃO PPM
FORTALEZA-CE
2013
CARLOS MAURÍCIO DE SOUSA
ESTUDO NUMÉRICO DO ACOPLADOR DUPLO SIMÉTRICO
NÃO LINEAR DE FIBRAS DE CRISTAIS FOTÔNICOS SOB
MODULAÇÃO PPM
Dissertação apresentada à Coordenação
do Programa de Pós-Graduação em
Engenharia de Teleinformática como
requisito final para a obtenção do grau
de Mestre em Engenharia de
Teleinformática.
Orientador: Prof. Dr. Antônio Sérgio
Bezerra Sombra
FORTALEZA-CE
2013
CARLOS MAURÍCIO DE SOUSA
ESTUDO NUMÉRICO DO ACOPLADOR DUPLO SIMÉTRICO
NÃO LINEAR DE FIBRAS DE CRISTAIS FOTÔNICOS SOB
MODULAÇÃO PPM
Dissertação apresentada à Coordenação
do Programa de Pós-Graduação em
Engenharia de Teleinformática como
requisito final para a obtenção do grau
de Mestre em Engenharia de
Teleinformática.
Orientador: Prof. Dr. Antônio Sérgio
Bezerra Sombra
Aprovada em 27 de fevereiro de 2013, pela banca examinadora constituída pelos
professores:
________________________________________
Prof. Dr. AntonioSergio Bezerra Sombra (Orientador)
(PPGETI/UFC)
__________________________________________
Prof. Dr. Eudes Borges de Araújo (Examinador Externo)
(UNESP)
__________________________________________
Prof. Dr. Giovanni Cordeiro Barroso (Examinador Interno)
(PPGETI/UFC)
Este trabalho é dedicado aos meus pais(in memoriam),
à minha esposa, Alice, e à minha filha, Letícia.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, em primeiro lugar, pelo dom da vida e da sabedoria.
Ao prof. Dr. Antônio Sérgio Bezerra Sombra por ter me acolhido em seu
grupo de pesquisa, como um pai acolhe a um filho, sempre com atenção e serenidade.
A todos os professores dos diversos Departamentos da Universidade
Federal do Ceará (UFC), em especial aos professores do Departamento de Engenharia
de Teleinformática.
A todos os colegas de curso, mais que amigos, verdadeiros irmãos, que
através de suas prestimosas contribuições, colaboraram para este singular momento de
minha vida, o da obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Teleinformática:
Marcus Vinícius, Antônio Filho, Cícero, Daniel, Ronaldo Glauber, Djalma, Agliberto,
Herbert, Cauby, Rubens, Miranda, Armando, Juscelino, Graciliano, Gardênia, Amarílio,
Emanuelle, Guilherme, José, Múcio, Jefferson e demais colegas do Laboratório de
Telecomunicações e Ciência e Engenharia de Materiais (LOCEM).
Ao Programa CAPES/DS pelo apoio financeiro.
A todos, a meu mais sincero sentimento de gratidão.
“Nas grandes batalhas da vida, o primeiro passo
para a vitória é o desejo de vencer.”
(Mahatma Gandhi)
“O sucesso é uma consequência
e não um objetivo.”
Gustave Flaubert
RESUMO
Neste trabalho, apresentamos uma análise numérica para a obtenção de portas
lógicas totalmente ópticas,baseadas em um Acoplador Direcional Não-Linear Duplo
Simétrico(NLDC) em fibras de cristais fotônicos (PCF) sem perda, trabalhando com
pulsos ultracurtos de 100 fs(femtosegundos), para a obtenção de portas lógicas, sob
Modulação por Posição de Pulsos (PPM). A investigação é realizada através de
simulações numéricas, utilizando-se o método de Runge-Kutta de quarta ordem.
Considerando a operação das portas lógicas, foram utilizadas as quatro possíveis
combinações para dois pulsos nas entradas das fibras 1 e 2, modulados pela posição
temporal (PPM) nos níveis lógicos 0 ou 1. Foram investigados, inicialmente, os efeitos
de uma variação no parâmetro de ajuste PMM (ε) no deslocamento do pulso de saída
em cada uma das fibras; em seguida, foram investigados os efeitos da diferença de fase
(ΔФ) entre os pulsos sólitons fundamentais de entrada, devidamente modulados, no
deslocamento do pulso de saída em cada uma das fibras. Nas duas aplicações, foram
levados em consideração a dispersão de velocidade anômala de grupo (GVD), a
dispersão de segunda ordem (β2), a dispersão de terceira ordem(β3) e os efeitos não-
lineares SPM, SS e IRS. Os resultados indicam que é possível a obteção de portas
lógicas OU utilizando um controle de fase para os pulsos incidentes.
Palavras-chave : NLDC, Fibras de Cristal Fotônico(PFC), Portas Lógicas Ópticas,
Modulação por Posição de Pulsos (PPM).
ABSTRACT
In this work, we present a numerical analysis for obtaining all-optical logic gates based
on a Directional Coupler Nonlinear Symmetric Double (NLDC) in photonic crystal
fibers (PCF) without loss, working with ultrashort pulses of 100 fs (femtoseconds) , to
obtain logical gates under Pulse Position Modulation (PPM). Research is conducted
through numerical simulations, using the Runge-Kutta fourth order. Considering the
operation of logic gates were used the four possible combinations to the inputs of two
pulses fibers 1 and 2, the temporal position modulated (PPM) in the logic levels 0 or 1.
Were investigated initially, the effects of a change in tuning parameter PMM (ε) in the
displacement of the output pulse in each fiber, then we investigated the effects of the
phase difference (ΔФ) between pulses of fundamental solitons input, suitably
modulated, at offset output pulse in each fiber. In both applications, were considered
anomalous dispersion of group velocity (GVD), second order dispersion (β2), the third-
order dispersion (β3) and nonlinear effects SPM, SS and IRS. The results indicate that it
is possible to achievement OR logic gate using phase control of the input pulses.
Keywords: NLDC, Photonic Crystal Fibers, Optical Logic Gates(PFC), Pulse Position
Modulation (PPM).
SUMÁRIO
1.INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 17
2.ESTUDO DE EFEITOS NÃO LINEARES EM FIBRAS ÓPTICAS ....................... 19
2.1.EQUAÇÃO DE PROPAGAÇÃO EM UMA FIBRA ÓPTICA
MONOMODO NO REGIME NÃO-LINEAR .................................................. 19
2.2.EQUAÇÃO NÃO-LINEAR DE SCHRÖDINGER .................................... 22
2.3.EQUAÇÃO NÃO-LINEAR GENERALIZADA DE SCHRÖDINGER .... 27
2.4.DESCRIÇÃO DOS EFEITOS PREVISTOS PELA ENLGS ...................... 30
2.4.1.PROPAGAÇÃO DE UM ÚNICO CANAL ................................. 30
2.4.2.VELOCIDADE DE GRUPO ........................................................ 31
2.4.3.EFEITOS DISPERSIVOS ............................................................ 31
2.4.4.ATENUAÇÃO .............................................................................. 34
2.4.5.AUTOMODULAÇÃO DE FASE ................................................ 35
2.4.6.SELF-STEEPENING E INTRAPULSE RAMAN SCATTERING
................................................................................................................. 38
2.5.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 39
3.ACOPLADORES DE FIBRAS CONVENCIONAL E FOTÔNICA ....................... 41
3.1.ACOPLADORES DE FIBRAS CONVENCIONAIS ................................. 41
3.2.FIBRAS DE CRISTAL FOTÔNICO .......................................................... 42
3.2.1.ESTRUTURA DAS PCFS MAIS COMUNS ............................... 43
3.2.2.MECANISMOS DE GUIAMENTO DAS PCFs .......................... 45
3.2.2.1.REFLEXÃO TOTAL INTERNA MODIFICADA ........ 46
3.2.2.2.EFEITO PBG ..................................................................46
3.3.CARACTERÍSTICAS DOS ACOPLADORES .......................................... 47
3.4.ACOPLADORES DIRECIONAIS E CONTRADIRECIONAIS ............... 49
3.5.ACOPLADORES SIMÉTRICOS ................................................................ 49
3.6.ACOPLADOR DIRECIONAL NÃO-LINEAR BASEADO EM FIBRAS DE
CRISTAL FOTÔNICO(NLDC-PCF) ................................................................ 49
3.7.RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................ 51
3.8.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................ 63
4.ESTUDO DE OPERAÇÕES LÓGICAS POR UM NLDC-PFC OPERANDO COM
MODULAÇÃO POR POSIÇÃO DE PULSO (PPM) ................................................... 66
4.1.DISPOSITIVOS ÓPTICOS DE CHAVEAMENTO ULTRA-RÁPIDO .... 67
4.2.MODULAÇÃO POR POSIÇÃO TEMPORAL DE PULSOS .................... 68
4.3.MODELO PROPOSTO PARA MODULAÇÃO POR POSIÇÃO DE
PULSOS SÓLITONS NO NLDC-PCF PARA OBTENÇÃO DE PORTAS
LÓGICAS ......................................................................................................... 77
4.4.FERRAMENTA TEÓRICA PARA O ESTUDO DA PORTA LÓGICA
NLDC OPERANDO COM MODULAÇÃO PPM ............................................ 80
4.5.PROCEDIMENTO NUMÉRICO PARA ANÁLISE DO PARÂMETRO DE
AJUSTE DA MODULAÇÃO PPM E DIFERENÇA DE FASE DOS PULSOS
SÓLITONS INICIAIS ....................................................................................... 81
4.6.RESULTADOS E DISCUSSÕES ............................................................... 84
4.7.CONCLUSÕES DO CAPÍTULO ................................................................ 94
4.8.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................ 95
5.CONCLUSÕES GERAIS ........................................................................................... 98
6.PERSPECTIVAS FUTURAS .................................................................................... 99
7.PUBLICAÇÕES RELACIONADAS AO TRABALHO ........................................ 100
7.1.ARTIGOS COMPLETOS ACEITOS EM CONGRESSOS INTERNACIONAIS
...................................................................................................................................... 100
7.2.ARTIGOS A SEREM SUBMETIDOS EM REVISTAS INTERNACIONAIS ... 100
ANEXOS ..................................................................................................................... 101
ANEXO A – MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
NÃO-LINEAR DE SCHRÖDINGER ............................................................. 102
A.1.MÉTODO SPLIT STEP FOURIER ......................................................... 102
A.2.MÉTODO DE RUNGE KUTTA .............................................................. 104
REFERÊNCIASBIBLIOGRÁFICAS ............................................................. 105
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1 Foto de microscópio da primeira PCF fabricada[6] .................................. 42
Figura 3.2 Representação esquemática dos dois tipos de estruturas mais comuns das
PCFs: (a) arranjo triangular ou hexagonal e (c) arranjo honeycomb. (b) e (d) mostram
fotos das respectivas fibras fabricadas ........................................................................... 44
Figura 3.3 Principais parâmetros geométricos do arranjo das PCFs, d e Λ ................. 45
Figura 3.4 Representação de estrutura periódica a) triangular e b) quadrada .............. 45
Figura 3.5 Guiamento por reflexão total interna na fibra convencional e na PCF de
guiamento por índice ..................................................................................................... 46
Figura 3.6 a) Acoplador Direcional Não Linear (NLDC) em processo de chaveamento.
Os pulsos aplicados na porta 1 aparecem em diferentes portas de saídas dependendo de
suas potências de pico. b) Seção transversal do NLDC ............................................... 48
Figura 3.7 Acoplador Simétrico.................................................................................... 49
Figura 3.8 Seção reta transversal de uma fibra de dois núcleos onde a áreas azuis são
buracos de ar e as áreas brancas são de outro material com índice refração maior do que
o ar (fibras holey) [17] ................................................................................................... 50
Figura 3.9 Acoplador duplo direcional coprogante simétrico utilizado na análise ...... 52
Figura 4.1 Fluxo de pulsos solitônicos com modulação OOK no formato RZ,
correspondendo à sequência de dígitos binários (110010) ............................................ 72
Figura 4.2 Modulação pela posição temporal de pulsos sólitons ................................. 75
Figura 4.3 a) Pulsos sólitons sem modulação; b) Pulsos sólitons modulados na
sequência de níveis lógicos 110010, sob PPM, dentro de cada time slot ...................... 76
Figura 4.4 Delimitação das regiões de acerto e erro PPM para bit 0 e bit 1 ................ 77
Figura 4.5 Símbolo gráfico e equação Booleana para porta E(AND) .......................... 78
Figura 4.6 Símbolo gráfico e equação Booleana para porta OU(OR) .......................... 78
Figura 4.7 Modelo proposto para a investigação da performance do NLDC, realizando
operações lógicas E e OU, utilizando modulação PPM ................................................ 79
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 3.1 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com
dispersão de 2ª ordem .................................................................................................... 54
Gráfico 3.2 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente
com dispersão de 2ª e 3ª ordem ..................................................................................... 55
Gráfico 3.3 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com
dispersão de 2ª e 3ª ordem e Auto Modulação de Fase (SPM) .......................................56
Gráfico 3.4 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com
dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM) e Auto Inclinação (SS)
........................................................................................................................................ 56
Gráfico 3.5 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com
dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS) e
Espalhamento Raman Intrapulso (RA) ...........................................................................57
Gráfico 3.6 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com
dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS),
Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento
(DCA) ............................................................................................................................ 57
Gráfico 3.7 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com
dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS),
Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento
(DCA) sem o complexo i ............................................................................................... 58
Gráfico 3.8 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional com comprimento de
1,5xLacop com os efeitos de dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM),
Auto Inclinação (SS), Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente
de acoplamento (DCA) .................................................................................................. 59
Gráfico 3.9 – Forma dos pulso no Canal 1 para um acoplador de 33 cm com com os
efeitos de dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação
(SS), Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento
(DCA) ............................................................................................................................ 60
Gráfico 3.10 – Forma dos pulso no Canal 2 para um acoplador de 33 cm com com os
efeitos de dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação
(SS), Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento
(DCA) ............................................................................................................................ 60
Gráfico 3.11 – Curva de Transmissão para acoplador de cristal fotônico com potência
do sinal de entrada menor que a potência crítica ........................................................... 61
Gráfico 3.12 – Curva de Transmissão para acoplador de cristal fotônico com potência
do sinal de entrada igual a potência crítica .................................................................... 62
Gráfico 3.13 – Curva de Transmissão para acoplador de cristal fotônico com potência
do sinal de entrada 50% maior que a potência crítica ................................................... 63
Gráfico 4.1 Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da
Fibra1 , em função do parâmetro de ajuste da modulação no intervalo
, com LC = 1,8 cm e ΔФ=0 ................................................................. 85
Gráfico 4.2 Máximo deslocamento temporal 2( )S ,calculado no pulso de saída da
Fibra22( )SA , em função do parâmetro de ajuste da modulação ( ) no intervalo
0 ( ) 50 fs , com LC = 1,8 cm e ΔФ=0 .......................................................................... 86
Gráfico 4.3.Máximo deslocamento temporal , calculado no pulso de saída da Fibra
1 , em função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, com
LC = 1,8 cm e | | = 10 fs ................................................................................................ 87
Gráficos 4.4 Máximo deslocamento temporal , calculado no pulso de saída da
Fibra 2 , em função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, com
LC = 1,8 cm e | | = 20 fs ................................................................................................ 87
Gráfico 4.5.Máximo deslocamento temporal , calculado no pulso de saída da Fibra
1 , em função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, com
LC = 1,8 cm e | | = 20 fs ................................................................................................ 88
Gráfico 4.6.Máximo deslocamento temporal , calculado no pulso de saída da Fibra
2 , em função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, com
LC = 1,8 cm e | | = 20 fs ................................................................................................ 88
Gráfico 4.7.Máximo deslocamento temporal , calculado no pulso de saída da Fibra
1 , em função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, com
LC = 1,8 cm e | | = 30 fs ................................................................................................ 89
Gráfico 4.8.Máximo deslocamento temporal , calculado no pulso de saída da Fibra
2 , em função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, com
LC = 1,8 cm e | | = 30 fs ................................................................................................ 89
Gráfico 4.9 Perfis de intensidade dos pulsos na saída na Fibra 1 em função
deslocamento temporal, realizando lógica OU, com 0,4 , LC = 1,8 cm e
τ = 20 fs .......................................................................................................................
91
Gráfico 4.10 Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 1 em função deslocamento
temporal, realizando lógica OU, com 1,5 , LC = 1,8 cm e τ = 20 fs .............. 91
Gráfico 4.11 Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 2 em função deslocamento
temporal, realizando lógica OU, com 0,6 , LC = 1,8 cm e τ = 20 fs ............. 92
Gráfico 4.12 Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 2 em função deslocamento
temporal, realizando lógica OU, com 1,6 , LC = 1,8 cm e τ = 20 fs .............. 92
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 Tabela verdade para porta E(AND) ............................................................ 78
Tabela 4.2 Tabela verdade para porta OU(OR) ............................................................ 78
Tabela 4.3 Tabela para Porta lógica OU na Saída da Fibra 1, tendo como referência o
Gráfico 4.9, para 0,4 e τ = 20 fs ....................................................................
93
Tabela 4.4 Tabela para Porta lógica OU na Saída da Fibra 1, tendo como referência o
Gráfico 4.10, para 1,5 e τ = 20 fs ................................................................. 93
Tabela 4.5 Tabela para Porta lógica OU na Saída da Fibra 2, tendo como referência o
Gráfico 4.11, para 0,6 e τ = 20 fs .................................................................
93
Tabela 4.6 Tabela para Porta lógica OU na Saída da Fibra 2, tendo como referência o
Gráfico 4.12, para 1,6 e τ = 20 fs ................................................................ 94
17
1.INTRODUÇÃO
A invenção do laser, a implementação de fibras ópticas de baixo custo e a
introdução de dispositivos ópticos semicondutores correspondem a três das maiores
conquistas alcançadas no campo da óptica nos últimos trinta anos, representando a sua
renovação e seu crescente interesse na tecnologia moderna.
Na trilha desse desenvolvimento tecnológico, tem-se confirmado também o
nascimento de novas áreas de pesquisa associadas à Óptica como, por exemplo, a
Genética, a Medicina, a Robótica, o Processamento de Imagens e, ultimamente, a
Informação Quântica. Com o desenvolvimento do laser, várias tecnologias correlatas
foram estabelecidas, sendo possível testificar o progresso de um novo ramo da
engenharia: a Engenharia Óptica.
Em situações concretas de aplicação, a presença da Óptica tem gerado a
necessidade e o interesse em se conseguir dispositivos totalmente ópticos, funcionando
como peças capazes de tratar e/ou processar informação a velocidades ultrarrápidas.
Para corresponder a essas demandas, pesquisadores têm estudado mais e mais
tecnologias de chaveamento ultrarrápido. Desta forma, poucas são as dúvidas de que os
dispositivos ópticos representam um impacto crescente em sistemas de comunicações.
Diante de um vasto campo de estudo a ser explorado, no tocante ao
processamento de informações totalmente óptico, esta dissertação trata do estudo
numérico de um Acoplador Direcional Não-linear (NLDC) Duplo Simétrico de Fibras
de Cristal Fotônico(PCF), operando sob Modulação por Posição de Pulsos (PPM),
objetivando a obtenção de portas lógicas E/OU, uma vez que, a partir destas duas
funções lógicas básicas, é possível a obtenção da maioria dos circuitos lógicos.
No Capítulo 2, serão discutidos alguns aspectos relevantes à propagação de
pulsos em fibras ópticas convencionais(SiO2), bem como apresentaremos a Equação
Não-Linear Generalizada de Schrödinger (GNLSE- Generalized Nonlinear Schrödinger
Equation), que descreve, dentro de certos limites, a propagação de pulsos em tais fibras.
Após o conhecimento desses aspectos em fibras convencionais (SiO2), discutiremos os
aspectos relevantes à propagação de pulsos em PFC.
18
No Capítulo 3, apresentaremos os principais conceitos relacionados aos
Acopladores de Fibra Convencional(SiO2), estendendo-os ao Acoplador Direcional
Não-Linear Duplo Simétrico em PCFs, doravante denominado NLDC-PFC, operando
com dois pulsos sólitons ultracurtos fundamentais de 100 fs, utilizando a Equação Não-
Linear de Schrödinger Generalizada (GNLSE).
No capítulo final, analisamos numericamente a obtenção de operações lógicas
pelo NLDC-PCF duplo na configuração simétrica sem perda sob PPM.
19
2.ESTUDO DE EFEITOS NÃO LINEARES EM FIBRAS ÓPTICAS
Neste capítulo, discutiremos alguns aspectos relevantes à propagação de pulsos
em fibras ópticas. Apresentaremos a Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger
(GNLSE- Generalized Nonlinear Schrödinger Equation), que descreve, dentro de certos
limites, a propagação de pulsos em tais fibras. Indicaremos algumas aproximações e/ou
considerações que são feitas em sua dedução. Entretanto, não nos aprofundaremos na
dedução matemática destas equações, que podem ser facilmente encontradas na
bibliografia indicada [1]-[5]. Após o conhecimento desses efeitos em fibras
convencionais (SiO2), pretendemos apresentar os fenômenos não lineares em fibras de
cristal fotônico, efeitos estes de altas ordens. Neste estudo, levam-se em consideração
que o sistema tem perda desprezível, como também os efeitos simultâneos da dispersão
de segunda ordem ( ), dispersão de terceira ordem ( ) automodulação de fase (SPM),
Self-Steepening (SS) e lntrapulse Raman Scattering (IRS).
2.1.EQUAÇÃO DE PROPAGAÇÃO EM UMA FIBRA ÓPTICA MONOMODO
NO REGIME NÃO-LINEAR
Como todos os fenômenos eletromagnéticos, a propagação de pulsos por fibras
ópticas é descrita pelas Equações de Maxwell [6]:
(2.1.a)
(2.1.b)
(2.1.c)
(2.1.d)
em que E, H,D,B, J e representam, respectivamente, o vetor campo elétrico, o vetor
campo magnético, a densidade de fluxo elétrico, a densidade de fluxo magnético, a
densidade decorrente e a densidade de cargas do meio.
As densidades de fluxo D e B aparecem em resposta aos campos Ee H, que se
propagam pelo meio, e estão relacionadas entre si através das seguintes relações
constitutivas:
20
(2.2.a)
, (2.2.b)
sendo P e M, respectivamente, as polarizações elétrica e magnética induzidas; é a
permitividade do vácuo e é a permeabilidade do vácuo.
Como a fibra é um meio não-magnético ( ) e sem cargas livres ( e
), as equações de Maxwell para esse meio podem ser reescritas, utilizando-se
(2.2a) e (2.2b), em termos dos campos elétrico e magnético:
; (2.3.a)
; (2.3.b)
(2.3.c)
. (2.3.d)
Tomando o rotacional de (2.3a) e utilizando a bem conhecida relação
,
na c qual denota a velocidade da luz no vácuo, obtêm-se [1], [6]:
(2.4)
Em geral, a avaliação de P exige procedimentos de mecânica quântica [1].
Entretanto, longe das condições de ressonância do meio, como é o caso das fibras para
sistemas de telecomunicações, que operam no intervalo de 0,5 a 2 m, pode-se utilizar
uma relação fenomenológica como [6]:
(2.5)
Nesta equação, i 1, 2,... é a susceptibilidade elétrica de i-ésima ordem.
Para levar em conta os efeitos de polarização da luz, é um tensor de tipo i 1 .
A susceptibilidade linear representa a contribuição dominante para P. Seus
efeitos são incluídos através do índice de refração linear e do coeficiente de
atenuação linear dados, respectivamente, por [1]:
21
[ ]; (2.6a)
[ ] (2.6b)
e relacionados com a constante dielétrica linear do meio, dependente da frequência,
através de [1]:
(
)
(2.7)
A susceptibilidade de segunda ordem é nula para meios que possuem
simetria de inversão em escala molecular. Como SiO2é uma molécula simétrica, a
contribuição de pode ser, normalmente, desprezada no caso das fibras de sílica [7].
Assim, considerando-se apenas os efeitos não-lineares de terceira ordem, a mais
baixa contribuição apreciável, (2.5) pode ser reescrita como:
(2.8)
Sendo a parte linear da polarizabilidade, dada por:
∫
(2.9)
e a parte não-linear, obtida através de [1]:
∭
(2.10)
As equações (2.4), (2.5), (2.9) e (2.10) fornecem um formalismo geral para tratar
os efeitos não-lineares de mais baixa ordem em fibras ópticas. Através delas, pode-se
obter uma equação que descreva o comportamento dos pulsos que se propagam, nas
bandas de interesse em telecomunicações, pela fibra.
Para fazer isso, substitui-se (2.8) em (2.4) e utiliza-se a bem conhecida
identidade de operadores diferenciais vetoriais:
, (2.11)
22
admitindo a condição de guiamento fraco, . Assim, obtém-se:
(2.12)
2.2.EQUAÇÃO NÃO-LINEAR DE SCHRÖDINGER
A equação (2.12) descreve adequadamente a propagação de pulsos por fibras
ópticas. A única aproximação feita até agora é que a polarizabilidade não-linear, dada
pela equação (2.10), leva em conta apenas as contribuições não-lineares de terceira
ordem.
Entretanto, para resolver esta equação, é conveniente fazer uma série de
aproximações e simplificações. Tais procedimentos, que resultarão no desenvolvimento
da chamada Equação Não-Linear de Schrödinger (ENLS), também permitirão que
visualizemos, com maior facilidade, a ação dos diversos fenômenos que atuam sobre os
pulsos que se propagam pelas fibras.
Primeiramente, considera-se que PNL seja uma perturbação à polarizabilidade
total induzida. Isto é razoável, uma vez que os efeitos não-lineares são relativamente
fracos em fibras de sílica [1].
Admite-se que o campo óptico é quasi-monocromático, isto é, que a largura
espectral do sinal, f, é pequena em relação à frequência da portadora do mesmo, f0[1].
Como f0 é da ordem de 100 THz, nas regiões de interesse das fibras em
telecomunicações, essa aproximação restringe as equações que estarão sendo
desenvolvidas a descrever pulsos com duração mínima de 0,1 ps (10 THz).
Tal aproximação, conhecida como aproximação do envelope lentamente variável
ou aproximação paraxial, permite que os vetores de campo e de polarizabilidade
induzida sejam escritos como o produto entre uma função lentamente variável no tempo
e um termo que descreve as oscilações da portadora.
Assim, admitindo-se, ainda, que a polarização do campo óptico seja mantida ao
longo da fibra, por exemplo, na direção de , pode-se escrever o campo elétrico e as
contribuições linear e não-linear da polarizabilidade como [1]:
[ ] (2.13a)
23
[ ] (2.13b)
[ ] (2.13c)
em que.c representa o complexo conjugado do termo anterior.
Por fim, uma última simplificação admitida [1] é que a resposta não-linear do
meio é instantânea, eliminando a dependência temporal de . Assim, a equação (2.10)
pode ser reescrita na forma:
(2.14)
Esta simplificação despreza a contribuição das vibrações moleculares à
susceptibilidade não-linear. Em geral, tanto os elétrons, como o núcleo, levarão certo
tempo para responder à ação do campo óptico [1], sendo a resposta nuclear
inerentemente mais lenta. Para fibras de sílica, o tempo de resposta vibracional, ou de
resposta Raman, ocorre em uma escala de tempo de 60-70 fs [1].
Assim, o limite imposto anteriormente para a largura mínima de pulso deve ser
reconsiderado para ~1 ps. Iniciando a derivação da Equação Não-Linear de
Schrödinger, substitui-se (2.13b) em (2.9) e obtém-se uma expressão para a
polarizabilidade linear:
∫
[ ] (2.15a)
∫
[ ] (2.15b)
na qual
e representam, respectivamente, as transformadas de Fourier de
e .
Analogamente, substituindo (2.13c) em (2.10) e desprezando os termos que
oscilam na frequência da terceira harmônica, 3f0, obtemos uma expressão para a
componente não-linear da polarizabilidade:
, (2.16)
na qual NL é a contribuição não-linear à constante dielétrica, dada:
24
| | (2.17)
Assim, com os resultados de (2.15b) e (2.16), a equação (2.12) é reescrita sob a
forma:
( ∫
[ ])
(2.18)
Em consequência da aproximação de envelope lentamente variável e do
pressuposto caráter perturbativo da polarizabilidade não-linear, podemos considerar que
é aproximadamente constante [8], [9] e escrever (2.18) no domínio da frequência,
substituindo as derivadas temporais,
, por . Fazendo isto, obtém-se a Equação de
Helmholtz:
(2.19)
em que ⁄ e é a constante dielétrica, dependente da frequência, dada por:
(2.20)
Em analogia com as equações (2.6ab e 2.7), a dependência entre a constante
dielétrica, o índice de refração total, , e o coeficiente de absorção total, , é dada pelas
equações (2.21) abaixo:
(
)
(2.21a)
| | (2.21b)
| | (2.21c)
25
Nestas expressões, o índice de refração não-linear, n2, e o coeficiente de
absorção não-linear, α2 estão relacionados com o tensor de susceptibilidade de terceira
ordem através de:
(
) (2.22a)
(
) (2.22b)
A equação (2.19) pode ser resolvida pelo método de separação das variáveis,
admitindo-se uma solução da forma:
, (2.23)
na qual é o número de onda, que será determinado posteriormente.
Assim, mediante a aproximação
, justificável devido à hipótese que
varia lentamente com z [1], (2.19) pode ser dividida no seguinte par de
equações:
[ ] (2.24)
e
[ ] , (2.25)
em que número de onda corresponde aos autovalores que devem ser
determinados.
O coeficiente α2 é consideravelmente menor que α nas fibras de sílica [1]. Desta
forma, para resolver (2.24), pode-se utilizar o procedimento de teoria de perturbação de
primeira ordem, no qual a constante dielétrica é aproximada por:
(2.26)
sendo uma pequena perturbação expressa através de:
| |
(2.27)
26
Seguindo este procedimento, no caso de fibras monomodo, a função F x,y pode
ser aproximada por uma gaussiana:
[
] (2.28)
na qual w é um parâmetro ajustável. Os autovalores, , são dados por:
(2.29)
e é calculado a partir da relação de normalização:
∫ ∫ | |
∫ ∫ | |
(2.30)
Substituindo em (2.25) e expandindo em Série de Taylor em torno
de ,
(2.31)
na qual
(
)
(2.32)
obtemos a seguinte expressão para a amplitude :
[
] (2.33)
Nesta última equação, foram considerados apenas os termos até a segunda
ordem da expansão de . Essa aproximação é válida, desde que a consideração de
pulso quase monocromático seja correta e que não seja muito próximo de zero.
Finalmente, aplicando-se a Transformada de Fourier Inversa nos dois membros
de (2.33) e incluindo a participação dos efeitos de atenuação e de não-linearidades,
através da dependência entre e n , obtém-se a Equação Não-Linear de
Schrödinger(ENLS):
| | (2.34)
27
na qual o coeficiente não-linear é definido através de:
(2.35)
e a área efetiva, , foi aproximada por .
2.3.EQUAÇÃO NÃO-LINEAR GENERALIZADA DE SCHRÖDINGER
A equação (2.34) é conhecida como Equação Não-Linear de Schrödinger devido
à sua similaridade matemática com a Equação de Schrödinger utilizada em Mecânica
Quântica:
(
) (2.36)
Adotando-se um referencial com velocidade de propagação igual a
e
considerando α = 0 em (2.34), verificamos que as duas equações, mediante a permuta
entre as variáveis tempo e espaço, , coincidem, de modo que os termos de
dispersão e de efeitos não-lineares da ENLS, respectivamente, correspondem aos termos
energia cinética,
energia potencial, V(z, t) , da equação da Mecânica
Quântica.
Dentro dos interesses das Telecomunicações, a ENLS descreve, com boa
precisão, o comportamento de pulsos quasi-monocromáticos que tenham largura
temporal mínima de 1 ps, amplitude lentamente variável no tempo, polarizabilidade
linear e que se propagam por fibras que mantenham a polarização do sinal. Além disso,
esta equação ainda admite que a propagação se dá em comprimentos de onda nos quais
o coeficiente é suficientemente grande e as não-linearidades são relativamente fracas.
Para descrever a propagação de pulsos com características fora destes limites, é
necessária a utilização de equações que sejam mais gerais que a ENLS.
Nesta seção apresentaremos, sem nos aprofundarmos nos detalhes de sua
dedução matemática, a Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger (ENLGS).
Esta equação descreve, adequadamente, o comportamento de pulsos com larguras
28
temporais mínimas de 50 fs e relaxa algumas das considerações feitas na dedução da
ENLS.
Primeiramente, a consideração de que os pulsos se propagam em regiões nas
quais | | é facilmente aliviada, incluindo-se na expansão de o termo
proporcional a :
| | (2.37)
Como será discutido na Seção 2.4, o terceiro e o quarto termos de (2.37) são
responsáveis pela dispersão linear dos pulsos, e os parâmetros e são conhecidos
como coeficientes de dispersão, respectivamente, de segunda e de terceira ordem.
Devido à sua menor magnitude, a dispersão de segunda ordem é usualmente
mais relevante na região em que [10], conhecida como região de
comprimento de onda de dispersão nula.
Entretanto, se os pulsos oscilarem de forma suficientemente rápida, a dispersão
de segunda ordem pode ser significante mesmo fora da região de comprimento de onda
de dispersão nula.
De fato, a inclusão do termo proporcional a garante, quanto aos efeitos
dispersivos, a descrição adequada para pulsos ultracurtos, cuja largura é 100 fs. Esta
inclusão relaxa a condição de que os pulsos sejam quasi-monocromáticos, permitindo
que estes tenham largura espectral comparáveis à frequência da portadora, f0.
Se necessário, os termos superiores à podem ser facilmente incluídos em
(2.37). Na dedução da ENLS, admitiu-se, também, que a resposta não-linear do meio
fosse instantânea, através da equação (2.29). Pode-se relaxar esta aproximação
considerando-se que a susceptibilidade de terceira ordem obedece a uma relação do
tipo:
(2.38)
em que R t é a função de resposta não-linear. Assim, a polarizabilidade não-linear
dada pela equação (2.13c) é substituída por:
∫
(2.39)
29
Substituindo (2.39) em (2.12) e adotando-se um procedimento de teoria de
perturbação [5] semelhante ao da subseção anterior, obtém-se uma nova equação, mais
geral que a ENLS, para descrever a evolução de A z, t
Observa-se que, como a aproximação de envelope lentamente variável foi
relaxada com a inclusão do termo de dispersão de segunda ordem, o procedimento
perturbativo aplicado para obtenção desta nova equação também deve considerar esta
relaxação. De fato, ao contrário do que ocorre na ENLS, a dedução desta nova equação
considera que a polarizabilidade não-linear varia com o tempo e inclui a contribuição da
primeira derivada de .
Com essas duas novas considerações, susceptibilidade eletrônica não-instantânea
e polarizabilidade não-linear variável com o tempo, a ENLS é reescrita da seguinte
maneira [5]:
[
] [ ∫ | |
]
(2.40)
Resta, ainda, estabelecer a dependência temporal da função de resposta não-
linear com o tempo, R t que deve levar em conta tanto as contribuições eletrônicas
quantos as contribuições vibracionais, chamadas de Raman. Como a resposta Raman é
bem mais lenta do que a eletrônica, pode-se expressar esta dependência por [11],[4]:
(2.41)
na qual a resposta eletrônica é considerada instantânea, corresponde à fração da
resposta não-linear governada pelas oscilações Raman e é a função de resposta
Raman. Esta última função está relacionada com o espectro de ganho Raman,
[ ] (2.42)
que é medido experimentalmente e pode ser encontrado na literatura [12].
Utilizando (2.40) e fazendo-se uma expansão em Série de Taylor, para|
| até os termos de primeira ordem em t´, obtemos a Equação Não-Linear
Generalizada de Schrödinger, ENLGS, [1]-[5]:
30
[| |
| |
| | ]
(2.43)
na qual
∫
(2.44)
As considerações feitas para a dedução da ENLGS permitem que ela descreva,
precisamente, o comportamento de pulsos com largura temporal mínima de
aproximadamente 50 fs. Ela pode falhar para pulsos com duração inferior a 10 fs,
devido à perda da validade da aproximação de envelope lentamente variável.
Além disto, em comparação com a ENLS, a ENLGS também apresenta a
vantagem de descrever os fenômenos de Self-Steepening (SS) e lntrapulse Raman
Scattering (IRS).
Entretanto, em parte por suas naturezas unidirecionais, tanto a ENLS como a
ENLGS não descrevem o Espalhamento Inelástico Brillouin.
2.4.DESCRIÇÃO DOS EFEITOS PREVISTOS PELA ENLGS
A Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger 2.43, descreve
precisamente os fenômenos relevantes à propagação de pulsos, com duração mínima de
~50 fs, por fibras monomodo não-birrefringentes. Nesta seção, apresentaremos,
sucintamente, como cada um dos termos de (2.43) influencia essa propagação.
Como veremos no final deste capítulo, nas rotinas desenvolvidas para simular os
efeitos de propagação de pulsos, com duração de 100 fs, leva-se em consideração que o
sistema tem perda desprezível, como também os efeitos simultâneos de , ,SPM, SS
e IRS.
2.4.1.PROPAGAÇÃO DE UM ÚNICO CANAL
Nesta subseção, analisaremos o caso de apenas um canal óptico (uma única
frequência portadora) se propagando pela fibra. Esta discussão será estendida, no
próximo capítulo, para o caso de 2 canais propagando-se em dispositivos conhecidos
como acopladores ópticos baseados em fibras de cristal fotônico(PFC).
31
2.4.2.VELOCIDADE DE GRUPO
Observamos que (2.43) exibe quatro termos lineares no campo A z, t . O
primeiro deles, proporcional a , está relacionado com a velocidade de propagação de
grupo do canal, . De fato, a velocidade de grupo é o inverso de :
(2.45)
e podemos utilizar a transformação de variáveis:
(2.46)
para reescrevermos (2.43) na forma:
[| |
| |
| | ] (2.47)
Desprezando-se as pequenas variações da velocidade de grupo dentro de um
mesmo canal, a equação (2.47) é totalmente equivalente à (2.43). A única alteração é
que, através de (2.47), adota-se um referencial que se move com a mesma velocidade
que a velocidade de grupo da onda descrita por A z, t .
2.4.3.EFEITOS DISPERSIVOS
O termo proporcional a descreve a dispersão de segunda ordem, ou seja, a
variação da velocidade de grupo de cada componente espectral da onda durante sua
propagação pela fibra. Isso pode ser observado anulando-se todos os outros termos de
(2.47):
(2.48)
que tem como soluções, no domínio da frequência e do tempo, respectivamente:
(
) (2.49)
∫ (
)
(2.50)
32
na qual é a forma do pulso de entrada expressa no domínio da frequência e
estárelacionada com sua forma temporal, através de:
∫
(2.51)
A equação (2.49) mostra que o espectro dos pulsos não se altera durante sua
propagação pela fibra, | | | |
. Essa é uma característica importante de
pulsos que se propagam, exclusivamente, sob o regime de dispersão.
A equação (2.50) depende da forma do pulso incidente na fibra, através de
(2.51). Para exemplificarmos seu efeito, se a potência de pico desse pulso for P0e ele
possuir um perfil gaussiano:
√ (
) (2.52)
a equação (2.50) indica que, após se propagar por uma distância z, ele terá a forma:
√
√
(
) (2.53)
Comparando (2.52) e (2.53), podemos verificar que, à medida que o pulso se
propaga, exclusivamente sob o regime de dispersão de primeira ordem, ele sofrerá um
alargamento temporal e uma diminuição em sua amplitude.
Embora tenhamos utilizado um caso particular para ilustrar esses dois efeitos,
eles são resultados gerais e válidos para qualquer forma de pulso de entrada.
Podemos analisar o efeito do termo de dispersão de terceira ordem, proporcional
a , incluindo-o em (2.48).
(2.54)
As soluções dessa equação, nos domínios da frequência e do tempo, são
análogas à 2.49, 2.50 e 2.51:
(
) (2.55)
33
∫ (
)
(2.56)
∫
(2.57)
Novamente, verificamos que o espectro do pulso é inalterado pela ação dos
efeitos de dispersão.
No domínio do tempo, o principal resultado da dispersão de terceira ordem é
distorcer a forma do pulso, de tal modo que ele se torne assimétrico com uma estrutura
oscilatória em uma de suas extremidades. Entretanto, para que isso aconteça, a
magnitude de deve ser comparável à de
. Os parâmetros de dispersão que
correspondem às fibras de cristais fotônicos são: ps2km
-1 e ps
3 km
-1,
respectivamente, entre 1540 e 1560 nm.
Obviamente, a dispersão de terceira ordem será mais importante, qualquer que
seja o tipo de fibra, nas regiões em que o comprimento de onda está próximo ao
comprimento de onda de dispersão nula, ou nas situações em que a largura temporal dos
pulsos é inferior a ~100 fs.
Uma maneira usual para verificar a relevância da dispersão de terceira ordem é
através da introdução de duas figuras de mérito:
| | (2.58a)
| | (2.58b)
nas quais T0 é a meia-largura do pulso no ponto em que sua intensidade decai a 1/e do
valor máximo, enquanto LD e LD3 são chamados de comprimentos de dispersão,
respectivamente, de segunda e de terceira ordem.
Claramente que, quanto maior a razão
, menos significante a ação dos efeitos
de dispersão de terceira ordem.
Do ponto de vista físico, os efeitos de dispersão linear, qualquer que seja a sua
ordem, provêm da dependência entre o índice de refração da fibra e a frequência de
oscilação do campo eletromagnético que nela se propaga. Isso é decorrência da resposta,
34
dependente da frequência, oferecida ao campo externo pelos elétrons ligados do
material dielétrico que constitui a fibra.
2.4.4.ATENUAÇÃO
O último termo que descreve efeitos lineares em (2.43) é o termo proporcional a
α. Esse termo é responsável pela atenuação da fibra e, para verificarmos sua ação,
reescreveremos (2.47), anulando as contribuições dos outros efeitos:
(2.59)
A solução dessa equação é bastante simples:
(
) (2.60)
(2.61)
e mostra que a potência | | de um pulso que se propaga por
uma fibra decairá exponencialmente com o aumento da distância.
Embora nos sistemas de telecomunicações se procure trabalhar em regiões
espectrais nas quais o coeficiente de atenuação αé aproximadamente constante, em
geral, ele é função do comprimento de onda, αα (λ .
O Espalhamento de Rayleigh é causado por variações de natureza aleatória na
densidade do material da fibra e que ocorrem em distâncias muito pequenas quando
comparadas a λ. Uma vez que essas variações resultam de flutuações inevitáveis na
composição do material da fibra e de defeitos e não-homogeneidades estruturais
causadas incontrolavelmente durante o processo de fabricação da fibra, o Espalhamento
de Rayleigh proporciona um limite mínimo fundamental para a atenuação em vidros.
Seu efeito é proporcional a λ- 4
.
Outro fenômeno importante que contribui para a atenuação é o Espalhamento de
Mie, que é causado pela existência de não-homogeneidades de dimensões comparáveis
à λ, sendo estas resultantes de imperfeições na estrutura cilíndrica da fibra.
Além desses dois espalhamentos, vários outros mecanismos podem contribuir
para atenuação das fibras. Dentre eles, citamos as absorções intrínseca e extrínseca, as
35
curvaturas e o projeto de guias de ondas. Informações mais detalhadas sobre esses
mecanismos podem ser obtidas, por exemplo, em [13].
Assim como acontece com a dispersão, temos duas figuras de mérito associadas
à atenuação, o comprimento de perdas, LP, e o comprimento efetivo, Leff:
(2.62a)
(2.62b)
na qual L é o comprimento total da fibra.
O comprimento de perdas corresponde ao comprimento no qual a potência decai
a 1/e da potência injetada na fibra. A interpretação do comprimento efetivo está
relacionada com o comprimento da fibra no qual as interações não-lineares serão mais
fortes. Para atenuações típicas de 0,22 dB/km e os comprimentos de interesse para
sistemas de telecomunicações, da ordem de algumas dezenas de quilômetros,
verificamos facilmente que .
2.4.5.AUTOMODULAÇÃO DE FASE
Os três termos de (2.43) que ainda não foram analisados envolvem a potência do
pulso óptico, | | , sendo, portanto, não-lineares.
A origem física dos efeitos não-lineares de ordem mais baixa está relacionada
com a dependência entre o índice de refração da fibra e a potência do campo
eletromagnético que nela se propaga. Isso é decorrência do movimento anarmônico dos
elétrons ligados pertencentes ao material que constitui a fibra, em resposta à influência
do campo externo [1] e caracteriza o que é chamado de Efeito Kerr.
Para analisar a ação dos efeitos não-lineares de ordem mais baixa, desprezam-se
as contribuições dos efeitos lineares e das derivadas temporais da potência,
| | e
| | . Assim, obtemos a equação:
| | (2.63)
que pode ser facilmente resolvida, resultando em:
36
[ ] (2.64)
na qual a fase não-linear é definida como:
| |
(2.65)
e o comprimento não-linear, LNL,
(2.66)
é uma figura de mérito relacionada com a escala de comprimento a partir da qual os
efeitos não-lineares serão relevantes.
A partir de (2.64), verificamos que, sob o regime não-linear considerado, a
forma do pulso permanece inalterada, | | | | . Por outro lado, a
variação de fase, descrita por (2.65), dependente da potência óptica e crescente com a
distância de propagação, implica um alargamento espectral do pulso.
Isto pode ser entendido mediante a observação de que uma fase variável no
tempo faz com que a frequência óptica instantânea difira, ao longo do pulso, de seu
valor central f0 [1]. Esta diferença, , é dada por:
(| |
) (2.67)
e, no caso do pulso gaussiano, descrito por (3.52), pode ser escrita como
(
) [ (
)
]
(2.68)
O aumento de com a distância de propagação z, caracteriza o referido
alargamento espectral.
A dependência entre a fase e a intensidade, em (2.65), justifica o nome
Automodulação de Fase (SPM), utilizado para descrever a classe de fenômenos não
lineares indicada acima. A primeira observação deste efeito em fibras ópticas ocorreu
em 1970 e, desde então, estudos teóricos e experimentais sobre a SPM vêm sendo
amplamente divulgados.
37
Em geral, a SPM não será suficiente para descrever, isoladamente, a propagação
de pulsos por fibras. Ela atuará conjuntamente com os efeitos de dispersão e atenuação,
de acordo com (2.47).
A atenuação pode ser prontamente incorporada aos resultados das equações
2.64, 2.65 e 2.66 pela mera substituição da distância de propagação, z , pela distância de
propagação efetiva, .
. (2.69)
A inclusão dos efeitos dispersivos é mais complicada e requer a solução, na
maioria das vezes, numérica de (2.47).
Entretanto, em algumas situações, podemos considerar que a propagação se dará
em um regime predominantemente dispersivo ou não-linear.
Fazendo uma relação com as figuras de mérito previamente mencionadas, a
primeira destas situações corresponde ao caso no qual e , de tal forma
que
Já o regime não-linear, regido pelo alargamento espectral induzido pela
SPM, será caracterizado quando e , de maneira que
Nas situações em que GVD e SPM possuem contribuições de magnitudes
semelhantes, a SPM pode tanto realçar como compensar os efeitos de alargamento
temporal causados pela GVD. Uma análise detalhada destas afirmações pode ser obtida
através da comparação entre os chirps, variações temporais da fase dos pulsos,
induzidos por esses efeitos. Em geral, quanto maior o chirp, maior será o alargamento
temporal.
Embora esta análise esteja além dos objetivos deste trabalho, observa-se que o
chirp induzido pela SPM será sempre positivo, ao passo que o chirp induzido pela
GVD poderá ser positivo ou negativo, dependendo do sinal da dispersão de segunda
ordem ser, respectivamente, positivo ou negativo.
Assim, o chirp total experimentado por um pulso que se propaga no regime de
dispersão normal ( ) será maior que o devido apenas à GVD, realçando seu
alargamento temporal.
38
Por outro lado, se o pulso se propagar no regime de dispersão anômala (
), o chirp induzido pela SPM atuará no sentindo oposto ao da GVD e o efeito de
alargamento temporal será reduzido.
De fato, utilizando formas especiais de pulso, o chirp induzido pela SPM pode
anular o chirp induzido pela GVD. Neste caso, o pulso se propagará sem sofrer
alargamento temporal ou sofrendo alargamentos e estreitamentos temporais periódicos,
caracterizando uma transmissão solitônica. A propagação de sólitons por fibras constitui
uma das áreas de maior interesse, tanto teórico como aplicado, de pesquisa em
comunicações ópticas, sendo amplamente relatada na literatura [14]-[19].
2.4.6.SELF-STEEPENING E INTRAPULSE RAMAN SCATTERING
O segundo termo não-linear de (2.47),
| | governa um importante
efeito não-linear, conhecido como self-steepening (SS) [20]-[22]. Sua origem física está
relacionada com a dependência entre a velocidade de grupo e a intensidade dos pulsos
que se propagam pelas fibras.
Neste trabalho de dissertação, o SS será relevante quando os pulsos propagados
forem ultracurtos ( ~ 100 fs) e/ou tiverem potência suficientemente elevada, neste caso
em fibras de cristal fotônico(PFC). Nos casos em que a dispersão pode ser desprezada, o
self-steepening pode imprimir a formação de uma frente óptica de choque aos pulsos
que se propagam pela fibra. Ele também gera uma distorção espectral, deslocando o
pico de amplitude para uma frequência inferior à central (red shift) e causando um
alargamento espectral, maior no sentido das frequências superiores (blue shift).
Se os termos de dispersão precisarem ser considerados, como é o caso para
pulsos ultracurtos, a formação da frente óptica de choque e a distorção espectral serão
minimizadas.
O último termo de (2.47),
| | , é consequência de um tempo de
resposta finita das não-linearidades e descreve o fenômeno de intrapulse raman
scattering(IRS)[20]-[21]. Esse fenômeno, assim como o SS, também é responsável pelo
decaimento de sólitons de ordem superior, e também é relevante apenas para pulsos
ultracurtos (~ 100 fs).
As figuras de mérito associadas ao SS e ao IRS são, respectivamente [22]:
39
(2.70a)
(2.70b)
Como o SS e o IRS não representam fortes restrições aos sistemas de
comunicações ópticas atuais, esta breve discussão é suficiente aos nossos propósitos.
Por outro lado, como um dos nossos objetivos é a implementação de uma rotina
numérica para a solução da ENLGS, no próximo capítulo iremos apresentar algumas
simulações que lidam com estes fenômenos, sendo que esta propagação será através de
dois canais, caracterizando um dispositivo óptico, o acoplador, baseado em fibras de
cristal fotônico.
2.5.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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1998.
[22] J.P. Gordon, “Theory of the soliton self-frequency shift,” Opt. Lett., vol. 11, no 10,
pp. 662-664, Oct. 1986.
41
3.ACOPLADORES DE FIBRAS CONVENCIONAL E FOTÔNICA
O aumento contínuo da velocidade dos sistemas de transmissão de
telecomunicações tem despertado o interesse de se conseguir dispositivos totalmente
ópticos capazes de processar e tratar informações a velocidades ultrarrápidas. Neste
sentido, vários dispositivos ópticos, passivos ou ativos, foram e continuam sendo
desenvolvidos para este propósito. Entre estes dispositivos, podemos citar os
acopladores, que desempenham um papel extremamente importante em circuitos
ópticos, e em particular, no estudo de chaveamento de energia a níveis ultrarrápidos.
3.1.ACOPLADORES DE FIBRAS CONVENCIONAIS
Acopladores fibra, também conhecidos como acopladores direcionais, são um dos
dispositivos essenciais em sistemas ópticos. Regularmente são utilizados em diversos
outros dispositivos ópticos que necessitam da divisão do feixe óptico em outros dois
feixes coerentes, por exemplo, mas fisicamente separados (e vice-versa). Embora a
maioria das aplicações de acopladores fibra utilizem suas características lineares, desde
1982 seu comportamento em regime não linear vem despertando um grande interesse
dos pesquisadores por suas aplicações em processamento óptico ultrarrápido como
chave óptica. Aplicações em optoeletrônica, telecomunicações, processamento digital
totalmente óptico, são os principais motivos que têm estimulado os grupos de pesquisa a
estudarem mais detalhadamente esses dispositivos [1-5].
Os acopladores têm sido fabricados usando guias de ondas planares, bem como
têm sido extensivamente estudados no contexto dos LiNbO3 e guias de ondas
semicondutores. Nesta dissertação, estamos focados exclusivamente em acopladores
direcionais baseados em fibras.
Em óptica integrada, a fabricação de acopladores ópticos se dá por meio do
crescimento, ou deposição, de materiais com índices de refração diferentes de forma a
construir uma estrutura multicamadas. No caso de acopladores baseados em fibra, é
necessária uma modificação na estrutura de acoplamento de maneira a aproximar os
núcleos das fibras. Para este fim, três métodos básicos têm sido desenvolvidos na
literatura:
- Retirada da maioria da camada de casca por meio de corrosão química.
42
- Remoção parcial da camada de casca em ambas as fibras por meio de um
polimento mecânico controlado.
- Fusão de duas, ou mais, fibras após um leve entrelaçamento entre elas e um
posterior aquecimento.
Seja qual for o tipo de acoplador escolhido, fibra ou óptica integrada, é possível
produzir diferentes taxas de acoplamento pela simples variação das condições de
propagação em cada um dos guias.
3.2.FIBRAS DE CRISTAL FOTÔNICO
Fibras ópticas e outros guias de onda ópticos são hoje amplamente utilizados em
áreas tais como: telecomunicações, sensores, espectroscopia e medicina. Sua operação
baseia-se no guiamento da luz pelo conhecido mecanismo físico da reflexão total
interna. Nesses guias, é necessário que a região de guiamento possua índice de refração
mais elevado do que o índice da região que a envolve. O mecanismo da reflexão total
interna é conhecido e vem sendo explorado tecnologicamente há muitos anos. A recente
descoberta da possibilidade de confinar e controlar a luz em guias de ondas por meio do
efeito de bandgap fotônico tem permitido desenvolver componentes fotônicos com
características únicas. Uma classe especial de componentes incorporando cristais
fotônicos são as fibras ópticas microestruturadas no plano transversal da propagação
óptica, primeiramente propostas em 1996 [6], por meio da confecção de fibras ópticas
de sílica pura com uma microestrutura composta de centenas de furos em arranjo
hexagonal preenchidos com ar ao longo de seu comprimento (Figura 3.1).
Figura 3.1 Foto de microscópio da primeira PCF fabricada [6].
43
As fibras de cristal fotônico ou PCFs, da sigla em inglês para photonic crystal
fibers, como foram denominadas pela primeira vez, constituem uma nova classe de
fibras ópticas. Outros termos como fibras microestruturadas ou ainda honey fibers (no
caso de possuírem furos de ar em sua seção transversal) também têm sido utilizados – a
nomenclatura desta área ainda não está bem consagrada. Por combinarem as
propriedades das fibras ópticas com as dos cristais fotônicos, possuem uma série de
propriedades únicas, impossíveis de serem conseguidas nas fibras convencionais. Há
muita flexibilidade no projeto das PCFs devido aos vários parâmetros que podem ser
manipulados, resultando em uma imensa gama de propriedades obteníveis.
Nos últimos anos, as PCFs têm se firmado como um novo e excitante campo na
tecnologia de fibras ópticas. Muitos tipos de PCF têm sido propostos e fabricados,
resultando em interessantes propriedades, como por exemplo: operação monomodo em
grandes intervalos de comprimento de onda, grande intervalo espectral de dispersão
anômala, alta dispersão negativa para uso como elemento de compensação de dispersão
e alta birrefringência, além de efeitos não lineares, tais como a geração contínua no
espectro do visível e regeneração óptica. As PCFs evoluíram rapidamente de
curiosidade científica a produto confeccionado e comercializado no mundo todo. A
melhoria contínua dos materiais e das técnicas de fabricação tem levado ao
desenvolvimento de PCFs com menos imperfeições e com perdas cada vez menores.
3.2.1.ESTRUTURA DAS PCFS MAIS COMUNS
O projeto de uma PCF baseia-se na estrutura de um cristal fotônico
bidimensional, de elevado contraste de índices de refração, cuja periodicidade é
quebrada pela inclusão de um “defeito”, onde se dará o guiamento do modo óptico, ou
seja, o qual atuará como o núcleo da fibra. O defeito no arranjo periódico do cristal
fotônico pode ser a retirada de um furo, dando origem a um núcleo sólido ou região de
maior índice de refração. Neste caso, a propagação óptica se dará pelo efeito de reflexão
total interna modificada. Se, por outro lado, o defeito no arranjo periódico for a inclusão
de um furo ou região de baixo índice de refração, o guiamento óptica só será possível se
o cristal fotônico apresentar um bandgap para o comprimento de onda considerado.
Na Figura 3.2 é possível ver as duas estruturas mais comum de PCF. O material
representado em branco é o material com elevado índice de refração e o material em
44
preto é aquele com baixo índice de refração. A área em azul representa a região do
núcleo da fibra.
Figura 3.2 Representação esquemática dos dois tipos de estruturas mais comuns das PCFs: (a)
arranjo triangular ou hexagonal e (c) arranjo honeycomb. (b) e (d) mostram fotos das respectivas fibras
fabricadas.
O arranjo periódico de furos do cristal pode ser definido pela constante de
periodicidade e pelo diâmetro dos furos. Os diâmetros dos furos são representados pelo
parâmetro geométrico d e podem variar de valor na secção transversal da fibra óptica de
acordo com as propriedades desejadas. Já o espaçamento entre furos vizinhos é
representado pelo parâmetro Λ (pitch), conforme apresentado na Figura 3.3. Para um
arranjo regular de furos, Λ é mantido inalterado. Aplicações especiais podem requerer
furos com secção transversal não circular (por exemplo, elíptica) e espaçamento Λ
variável ao longo da secção transversal da fibra óptica.
45
Figura 3.3 Principais parâmetros geométricos do arranjo das PCFs, d e Λ.
As relações d/Λ e λ/Λ são de grande importância na determinação de várias
características das fibras fotônicas. É possível estudar o comportamento dos dispositivos
baseados em cristais fotônicos independentemente do comprimento de onda, se forem
preservadas as proporções entre sua geometria e o comprimento de onda. Isto ocorre
devido à escalabilidade das equações de Maxwell. O arranjo dos furos pode ser
hexagonal (conhecido também como triangular) ou quadrado (Figura 3.4), e periódico
ou não-periódico.
Figura 3.4 Representação de estrutura periódica triangular (a) e quadrada (b) de furos.
3.2.2.MECANISMOS DE GUIAMENTO DAS PCFS
Nas fibras ópticas convencionais, os modos ópticos são guiados por reflexão
total interna na interface núcleo-cladding. Nessas fibras, o índice de refração do núcleo
é aumentado através de dopagem. Nas PCFs, duas formas distintas de guiamento são
possíveis: os modos guiados podem estar confinados em um núcleo com índice médio
maior que o da região do cladding através de um efeito similar ao da reflexão total
interna – conhecido como reflexão total interna modificada ou apenas guiamento por
índice – ou podem estar confinados em um núcleo de índice médio menor que o do seu
redor, através do efeito PBG.
46
3.2.2.1.REFLEXÃO TOTAL INTERNA MODIFICADA
O efeito de reflexão total interna modificada ocorre em PCFs com núcleo de
índice de refração maior que o da região do cladding microestruturado. O índice efetivo
destas fibras pode ser aproximado ao de uma fibra de índice em degrau, conforme
esquema apresentado na Figura 3.5. Contudo, o índice de refração da região do cladding
microestruturado exibe uma dependência com o comprimento de onda muito diferente
da exibida pela sílica pura. Desta forma, é possível projetar PCFs com um conjunto de
propriedades completamente novas, não possíveis com a tecnologia convencional. Por
exemplo, é possível projetar fibras de cristal fotônico essencialmente monomodo, ou
seja, com apenas um modo propagante suportado para quaisquer comprimentos de onda.
Figura 3.5 Guiamento por reflexão total interna na fibra convencional e na PCF de guiamento por índice.
Em PCFs baseadas no mecanismo da reflexão total interna modificada, o defeito
na estrutura é obtido pela ausência de um furo na região central da fibra, como a fibra
mostrada na Figura 3.2a. Isso caracteriza uma região central (núcleo), envolta por uma
região com índice de refração médio inferior (cladding).
3.2.2.2.EFEITO PBG
As primeiras PCFs que propagavam a luz pelo efeito PBG possuíam uma
estrutura hexagonal de furos denominada honeycomb (colméia), na qual o furo central
da estrutura regular está ausente, como apresentado na Figura 3.2b. Neste caso, o
defeito é formado pela inclusão de um furo de ar no centro da fibra. A propagação nessa
fibra ocorre com guiamento em seu centro, embora essa região (núcleo) tenha um índice
de refração médio inferior ao da região que a envolve (cladding). Isto só é possível
47
devido ao efeito PBG que torna proibida a propagação do sinal luminoso na região que
envolve o núcleo, enquanto permite a sua propagação na região central.
O guiamento em núcleos de índice mais baixo que o de seu meio envolvente
abre um vasto e novo campo de possibilidades. Desta forma, é possível guiar a luz no
ar, vácuo ou qualquer outro gás compatível com o material da fibra.
Recentemente, o guiamento da luz foi demonstrado também em fibras com uma
distribuição aleatória de furos [7]. De qualquer forma, o mecanismo de guiamento pode
ser atribuído, em todos os casos, às múltiplas interferências devido ao arranjo periódico
ou aleatório de furos. Consequentemente, o guiamento depende fortemente da geometria
da secção transversal da fibra, em particular, do formato e da dimensão dos furos, da
distância entre eles e de seu arranjo.
3.3.CARACTERÍSTICAS DOS ACOPLADORES
Acopladores fibra são, na sua versão mais simples, constituídos de duas fibras
ópticas paralelas separadas por uma distância “d”, conforme mostram as Figuras 3.1a e
3.1b, e são regularmente usados para uma variedade de aplicações relacionadas a fibras
ópticas [8-12]. Seus núcleos são bastante próximos de maneira que os modos
fundamentais de propagação de cada núcleo sobrepõem-se parcialmente na região da
casca entre os dois núcleos. Tal acoplamento de onda evanescente entre os dois modos
provoca a transferência da potência óptica de um núcleo para o outro. Esta transferência
de potência está diretamente relacionada com a potência crítica, PC, definida como a
potência necessária para obter-se uma transferência de 50% entre os guias do acoplador.
A potência crítica para um acoplador é dada por:
(3.1)
em que Aeff representa a área de seção transversal efetiva do guia de onda, λ é o
comprimento de onda no vácuo, nNL é o índice de refração não linear e LC é o
comprimento de acoplamento necessário para a transferência de um guia para outro.
Para o acoplador da Figura 3.1a, o comprimento LC é definido como:
(3.2)
48
sendo k o coeficiente de acoplamento linear entre os guias adjacentes. Das equações
3.1 e 3.2 verifica-se que a potência crítica é inversamente proporcional ao comprimento
de acoplamento.
De um modo geral, os acopladores, na sua configuração mais simples, são
geralmente dispositivos de 4 portas (duas de entrada e duas de saída) cuja função é
dividir coerentemente o feixe óptico incidente em uma das portas de entrada e
direcioná-lo para as portas de saída.
Figura 3.6 a) Acoplador Direcional Não Linear (NLDC) em processo de chaveamento. Os pulsos
aplicados na porta 1 aparecem em diferentes portas de saídas dependendo de suas potências de pico. b)
Seção transversal do NLDC.
Dependendo da potência de pico aplicada às entradas do acoplador, um pulso
óptico pode ser direcionado para diferentes portas de saídas. A partir dos sinais
aplicados à Porta 1 do acoplador, Figura 3.6a, verifica-se que para potência de luz
abaixo da potência crítica, o dispositivo comporta-se como um acoplador linear, ou seja,
o feixe óptico se propaga periodicamente entre os guias que constituem o acoplador. Por
causa do acoplamento evanescente, o sinal de baixa intensidade aplicado à Porta 1 é
completamente chaveado para a Porta 4. Se a potência do sinal aplicado à Porta 1 do
acoplador apresentar intensidade acima da potência crítica, a potência de luz
simplesmente emerge no mesmo guia (Porta 3).
Para o acoplador das Figuras 3.6a e 3.6b, temos que “d” é a separação entre os
centros dos núcleos das fibras e ρ o raio dos núcleos. Para que ocorra a interação entre
os campos que se propagam nos guias do acoplador, a relação d/ρ usualmente varia
entre 2 e 4 [13], ou seja, a relação d/ρ deve ser, no mínimo, da ordem do diâmetro do
núcleo das fibras que constituem o acoplador [14].
49
3.4.ACOPLADORES DIRECIONAIS E CONTRADIRECIONAIS
Em um acoplador, se o sentido do campo chaveado for igual ao do campo
incidente, esse acoplador é denominado acoplador direcional ou copropagante; caso o
sentido, ele é denominado contrapropagante ou contradirecional.
3.5.ACOPLADORES SIMÉTRICOS
A Figura 3.2 apresenta a estrutura mais simples para um acoplador simétrico. Os
acopladores são ditos simétricos quando seus núcleos apresentam mesmo raio (ρ1 = ρ2) e
também possuem iguais índices de refração (n1 = n2). Em outras palavras, os
acopladores são simétricos quando seus núcleos são idênticos sob todos os aspectos. No
caso dos acopladores direcionais simétricos, a diferença de fase entre os dois modos dos
núcleos é sempre zero.
Figura 3.7 Acoplador Simétrico.
3.6.ACOPLADOR DIRECIONAL NÃO-LINEAR BASEADO EM FIBRAS DE
CRISTAL FOTÔNICO(NLDC-PCF)
Como visto anteriormente, dois guias próximos podem ser acoplados devido à
penetração da luz de um guia para o outro. Este dispositivo fabricado a partir de
materiais com índice de refração positivo preserva o sentido de propagação da luz,
sendo um acoplador direcional, como já definido. Atualmente já existem propostas de
se utilizarem acopladores direcionais de cristais fotônicos para a transmissão de
sólitons, fazendo-se uso dos efeitos não-lineares de sua propagação, já que a maioria das
aplicações utiliza apenas características lineares destes dispositivos [14-16].
Uma fibra óptica convencional é formada por um fio de sílica envolto por um
material com índice de menor refração. Dessa forma, ocorre o confinamento da luz no
50
guia pela lei de Sneel. As PCFs, diferentemente, são formadas por um arranjo periódico
de materiais de alto e baixo índices de refração. Como material de alto índice pode-se
utilizar a sílica e, como material de baixo índice de refração, é utilizado o ar (buracos de
ar na estrutura periódica).
As fibras que estudamos neste trabalho são as que confinam a luz por índice de
refração. O projeto mais comumente usado é uma fibra holey, em que a seção
transversal é uma matriz periódica de buracos de ar que se prolonga por todo o
comprimento da fibra [17]. A Figura 3.8 mostra a fibra de dois núcleos utilizada como
dispositivo acoplador neste trabalho.
Figura 3.8 Seção reta transversal de uma fibra de dois núcleos onde a áreas azuis são buracos de ar e as
áreas brancas são de outro material com índice refração maior do que o ar (fibras holey) [19].
A estrutura de uma PCF de dois núcleos mostrado na figura acima possui os
seguintes fatores geométricos: d é o diâmetro dos buracos de ar que compõe a fibra de
sílica, Λ é a distância de um buraco ao outro e C é a separação do núcleo.
A equação matemática que descreve a propagação de pacotes de luz em fibras
ópticas é a NLSE, obtida através das equações de Maxwell, considerando-se um meio
de propagação livre de cargas. Na sua forma generalizada, temos a equação para a
propagação (2.43) do capítulo anterior.
Ao utilizarmos acopladores baseados em fibras de cristal fotônico, temos que
acrescentar os efeitos de dispersão e de não linearidades de altas ordens. Feitos estes
acréscimos, a Equação (2.43), que expressa a evolução de um campo eletromagnético
em um acoplador não linear com os efeitos de alta ordem e que não diferencia os modos
51
de polarização ortogonais da fibra, é conhecida como equação não-linear de modo
acoplado. Aplicando-se a equação não-linear de modo acoplado a cada canal do
acoplador, temos:
| |
(| | )
| |
= 0
| |
(| | )
| |
= 0
(3.3)
Em (3.3) z é o comprimento ao longo da fibra, t é o tempo de referência para a
propagação dos pulsos, A1 e A2 são os pulsos de entrada nos dois núcleos do acoplador.
Em comparação com a equação 2.43, surgem os parâmetros do coeficiente de
acoplamento (k0) e do coeficiente de dispersão de acoplamento (k1). As equações 3.3
não existem isoladamente, e devem ser resolvidas em conjunto.
Vale reforçar que para potências de luz abaixo da crítica o dispositivo comporta-
se como um acoplador linear, de modo que o feixe óptico propaga-se periodicamente
entre os guias que constituem o acoplador. As potências mais altas induzem uma
mudança no índice de refração que constitui a fibra e deterioram as características de
transmissão, que é totalmente inibida para potências acima da potência crítica.
3.7.RESULTADOS E DISCUSSÃO
Nesta primeira análise, resolvemos numericamente as Equações (3.3) para os
modos acoplados para um acoplador duplo direcional copropagante e simétrico. Foi
feita uma análise numérica da influência de cada uma dos termos das Equações (3.3),
em especial do último termo da equação citada, chamado de dispersão de acoplamento
(k1). É propagado um pulso secante hiperbólico na Entrada 1 do acoplador com largura
temporal de meia potência (Tfwhm) de 100 fs. Na Entrada 2 do acoplador não teremos
entrada de nenhum sinal. A Figura 3.9 mostra a estrutura do acoplador em análise.
52
Figura 3.9 Acoplador duplo direcional coprogante simétrico utilizado na análise
O acoplador mostrado na Figura 3.9 é apenas esquemático, já que estamos
investigando uma PCF de dois núcleos que possui o diâmetro dos buracos d = 2.0µm,
distância entre os buracos de Λ = d/0.9 e separação entre os núcleos de 2 Λ. Neste
trabalho, estamos investigando prioritariamente este acoplador. O comprimento de
acoplamento deste dispositivo é de Lc = 1,8 cm. O comprimento de onda da portadora
está na região do infravermelho e seu valor é λ = 1,55µm [19]. Os parâmetros para as
nossas equações dos modos acoplados 3.3 são os seguintes: β2 = - 47 ps2/km, β3 = 0.1
ps3/km, γ = 3.2x10
-3 (Wm
-1) (para uma área efetiva de 41µm
2), e γ /ω0 = 2.6x10
-18
s/(Wm). Vale lembrar que para cada modelo de PCF utilizada, os valores dos
parâmetros de dispersão e de não-linearidades são diferentes. Como o pulso propagante
é do tipo secante hiperbólico, com largura temporal de meia potência igual a 100 fs,
temos que:
1514
0 0 0
100 101,763 5,67 10
1,763FWHM
xT T T T x s
Dessa forma, encontramos que a distância para que a dispersão de 2ª ordem seja
importante (Ld2) será dada por:
2 14 2
02 24 3
2
(5,67 10 )0,068 6,8
47.10 /10d
T xL m cm
Verificamos que o comprimento de dispersão é maior que o comprimento de
acoplamento do acoplador. Dessa forma, para investigarmos este tipo de efeito,
devemos ter um dispositivo maior do que este comprimento. Da mesma maneira, para
que os efeitos de dispersão de 3ª ordem sejam importantes precisamos, de uma distância
mínima (Ld3) dada por:
53
3 14 3
03 36 3
3
(5,67 10 )1,82
0,1 10 /10d
T xL m
x
Mais uma vez, o comprimento de dispersão de 3ª ordem é bem maior que o
comprimento de acoplamento. Já para o SPM, temos que o comprimento de não
linearidade (LNL) será dado por LNL=1/ γP0, onde P0 é o pico de potência do sinal de
entrada e γ é o coeficiente de não-linearidade.
Neste primeiro momento da análise, utilizamos uma potência de entrada (P0) dez
vezes menor do que a potência crítica (Pc) do acoplador, dada pela relação Pc = 4k/γ(1-
σ), onde o coeficiente de acoplamento k é dado por k = = π/2Lc. Lc é o comprimento de
acoplamento e σ é o parâmetro de modulação cruzada de fase (XPM), considerado, na
maioria da vezes, e ao longo desta dissertação, nulo. Calculamos primeiramente o valor
do coeficiente de acoplamento (k) de tal forma que:
187,272 2 0,018c
k mL x
Calculamos a potência crítica do sinal temos que:
5
3
4 4 87,271,09 10
3,2 10c c c
k xP P P x W
x
Calculamos, agora, o valor da distância de não-linearidade, lembrando que P0 =
Pc/10:
3 4
0
1 10,028
3,2 10 1,09 10NL NL NLL L L m
P x x x W
Dessa forma, constamos que não-linearidade será importante a partir de um
comprimento de propagação de 2,8 cm.
Nossa próxima análise será mostrar que o coeficiente de dispersão de
acoplamento, k1. pode quebrar um pulso a partir de uma determinada distância. Essa
distância é dada por Lw = T0/|k1|. Para o comprimento de onda da portadora que estamos
utilizamos, o valor de k1= - 410 fs/m [20]. Assim:
54
14
0
151
5,67 100,138
410 10w w w
T xL L L m
k x
Então, de acordo com a equação citada acima, esse efeito de dispersão da
constante de acoplamento será visível a partir de 13,8 cm. Para investigar todos os
efeitos, deve-se, então, utilizar um dispositivo com tamanho necessário para que os
mesmos ocorram. Vamos, assim, utilizar um acoplador de comprimento de 33,3 cm (
18.5 acoplamentos). Para um comprimento de acoplamento Lc = 1,8 cm, todo o sinal
que entra no Canal 1 sairá no próprio Canal 1, já que estamos a uma potência 10 vezes
menor do que a crítica. Nesse caso, dizemos que houve um “chaveamento” do sinal do
Canal 1 para o Canal 2. Para analisarmos esses efeitos, propagamos o nosso sinal por 33
cm ao longo do acoplador.
No Gráfico 3.1 é mostrado o perfil do pulso secante hiperbólico na entrada do
Canal 1, o pulso na saída nesse mesmo canal e o pulso na saída no Canal 2,
considerando apenas o efeito de dispersão de 2ª ordem. Para o comprimento de
dispositivo utilizado, este efeito já estará bem presente e causará um alargamento
temporal no pulso.
Gráfico 3.1 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com dispersão de 2ª
ordem.
55
Em relação ao Gráfico 3.1, salientamos que o pulso propagado na Entrada do
Canal 1 foi igualmente dividido, de modo que os pulsos nas saídas dos Canais 1 e 2,
graficamente, mostram-se sobrepostos, embora imperceptível. Além do mais, é
importante frisarmos que a soma das áreas delimitadas pelos pulsos de saída e o eixo do
tempo corresponde à área limitada pelo pulso de entrada e o citado eixo, posto haver
conservação de energia. Esta análise referente à conservação da energia estende-se às
Figuras 3.2 a 3.8.
O comprimento para que ocorra a dispersão de 3ª ordem é muito alto se
comparado com o comprimento do dispositivo e então podemos desprezá-lo, como
podemos notar pelos Gráficos 3.1 e 3.2, que são semelhantes, já que as saídas nos dois
canais são iguais considerando somente as dispersões de 2ª e 3ª ordem.
Gráfico 3.2 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com dispersão de 2ª
e 3ª ordem.
No Gráfico 3.3, acrescentamos o efeito de SPM e notamos uma compressão do
pulso nos dois canais do acoplador. Vimos que para o comprimento utilizado esse efeito
pode ser bem visualizado e fará com que o sinal seja uma soma de efeitos dispersivos e
compressivos. No Gráfico 3.4 acrescentamos o efeito de SS. Pelo gráfico podemos notar
que este efeito não interfere na propagação, como vimos com o cálculo de Lss.
56
Gráfico 3.3 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com dispersão de 2ª e
3ª ordem e Auto Modulação de Fase (SPM).
Gráfico 3.4 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com dispersão de 2ª e
3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM) e Auto Inclinação (SS).
No Gráfico3.5 acrescentamos a todos os efeitos citados anteriormente mais o
efeito Raman (RA). Agora existe um deslocamento temporal do pulso de saída nos dois
canais. Vale ressaltar que o efeito Raman pode quebrar o pulso de saída em pulsos
menores.
57
Gráfico 3.5 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com dispersão de 2ª e
3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS) e Espalhamento Raman Intrapulso (RA).
Gráfico 3.6 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com dispersão de 2ª e
3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS), Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e
Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA).
Pela nossa análise, este parece ser um efeito de alta ordem importante quando
estamos a utilizar pulsos de 100 fs. No Gráfico 3.6, acrescentamos o efeito de dispersão
do coeficiente de acoplamento (DCA). Nota-se que o pulso de saída nos dois canais
58
possui uma leve quebra. Poderíamos pensar que essa leve quebra seria devida ao efeito
Raman, porém comparando com o resultado do Gráfico 3.6, chegamos à conclusão de
que é esse coeficiente que quebra o pulso em alguns outros picos.
Outro fato importante citado em [20] é a questão do uso do número do complexo
i nas equações dos modos acoplados (3.3). Sem utilizar o complexo, os efeitos de
quebra dos pulsos não são notados, como podemos comprovar pelo Gráfico 3.7.
Comparando os Gráficos 3.6 e 3.7 podemos notar que no primeiro, o 3.6, começa a
existir a quebra de pulso, mesmo que pequena, e segundo, o 3.7, essa quebra não é
perceptível, fazendo com que o uso correto do complexo i seja primordial para o projeto
de determinado acoplador.
Gráfico 3.7 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional tradicional somente com dispersão de 2ª e
3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS), Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e
Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA) sem o complexo i.
Para comprovar que estes efeitos só são percebidos a partir de um determinado
comprimento do dispositivo, propagaremos o mesmo pulso mostrado no Gráfico 3.8
somente para 1,5 comprimentos de acoplamento (1,5xLacop). Dessa forma, a propagação
se dará por aproximadamente 2,7 cm. O referido pulso é mostrado na Figura 3.9. Neste
gráfico podemos notar que os pulsos de saída no Canais 1 e 2 são quase que idênticos e
59
não sofrem a influência devido ao efeito de dispersão do coeficiente de acoplamento,
nem dos outros efeitos de dispersão e não linearidades de altas ordens.
Gráfico 3.8 – Formato do pulso em acoplador duplo direcional com comprimento de 1,5xLacop com os
efeitos de dispersão de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS),
Espalhamento Raman Intrapulso (RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA).
O acoplador com comprimento de 1,5xLacop funciona muito bem como
acopladores de 3dB vendidos no mercado já que o mesmo divide perfeitamente a
potência do pulso de entrada entre os dois canais de saída. Este acoplador é muito
utilizado em interferometria e funciona como um divisor de potência (50/50) [21].
Como a potência óptica crítica para a operação deste dispositivo é alta o mesmo
funciona em caráter linear na maioria das potências dos lasers vendidos no mercado.
Por outro lado as características não lineares destes dispositivos podem ser interessantes
para a obtenção de portas lógicas [22]. Neste caso, para que possamos investigar os
efeitos não lineares deste dispositivo temos que trabalhar em altas potências (próximas
da crítica) ou fazer com que o comprimento do dispositivo seja muitas vezes maior que
o comprimento de acoplamento.
Nos Gráficos 3.9 e 3.10 mostramos a potência normalizada do sinal na saída dos
dois canais do acoplador para diferentes comprimentos do dispositivo até o limite
trabalhado nesta análise (0,33 m ou 33 cm). Note que para um dispositivo de
60
comprimento nulo o pulso se encontra totalmente no Canal 1 (Figura 3.9) e no Canal 2
não existe nenhum pulso formado (Figura 3.10). Ao aumentar o comprimento do
dispositivo (distância) temos a formação de diversas formas nos dois canais, sempre
ocorrendo sucessivas trocas de energias entre os dois canais até se chegar ao estágio
final de forma de pulsos mostrada anteriormente na Figura 3.6.
Gráfico 3.9 – Forma dos pulso no Canal 1 para um acoplador de 33 cm com com os efeitos de dispersão
de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS), Espalhamento Raman Intrapulso
(RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA).
Gráfico 3.10 – Forma dos pulso no Canal 2 para um acoplador de 33 cm com com os efeitos de dispersão
de 2ª e 3ª ordem, Auto Modulação de Fase (SPM), Auto Inclinação (SS), Espalhamento Raman Intrapulso
(RA) e Dispersão do coeficiente de acoplamento (DCA).
61
Para a simulação destes dois gráficos utilizamos a ENLSG e a resolvemos
utilizando o método Runge Kutta de 4ª Ordem para a solução de equações dos modos
acoplados (3.3). Todos os efeitos lineares e não lineares foram considerados nas Figuras
3.9. e 3.10 já que a distância propagada foi suficiente para que estes efeitos pudessem
ser notados.
Para a próxima experimentação fizemos uma única mudança: o tamanho do
acoplador foi reduzido. Como queremos visualizar o comportamento do componente
para uma maior ou menor potência de entrada (Influência dos Efeitos de Não-
Linearidade) não precisamos de um comprimento de propagação tão alto. Dessa forma,
utilizamos um acoplador com comprimento igual a dois comprimentos de acoplamento
(2 x Lc = 2 x 1,8 cm = 3,6 cm). Para calcular a transmissão dos pulsos vamos considerar
que o pulso inicial tenha amplitude a0 e as amplitudes dos pulsos no decorrer da
propagação nos núcleos do acoplador sejam dados por a1 e a2. Para calcular a
transmissão normalizada (T) basta efetuar a razão 2 2
1 0/a a para o Canal 1 e 2 2
2 0/a a
para o Canal 2.
Gráfico 3.11 – Curva de Transmissão para acoplador de cristal fotônico com potência do sinal de entrada
menor que a potência crítica.
62
No Gráfico 3.11 temos o caso simulado anteriormente, que mostra uma
propagação para uma potência de entrada 10 vezes menor que a potência crítica (P0 =
Pc/10). Vale lembrar que a potência crítica para este dispositivo é de 109 kW. Nesse
caso, então, o pulso de entrada terá potência de entrada(potência de bombeio) de
10,9 kW. Note que o acoplamento ocorre perfeitamente e que toda a energia do Canal 1
retorna ao Canal 1 depois de dois comprimentos de acoplamento. Nessa experimentação
estamos investigando a energia em cada canal do acoplador e não as formas do pulso
em cada saída do acoplador como fizemos no Gráfico 3.8, mostrado anteriormente.
No Gráfico 3.12 mostramos o caso em que o a potência de entrada é igual à
potência crítica. Após o primeiro acoplamento (z = 1,8 cm) temos que a distribuição de
50% da energia incidente no Canal 1 e os outros 50% no Canal 2.
Gráfico 3.12 – Curva de Transmissão para acoplador de cristal fotônico com potência do sinal de entrada
igual a potência crítica.
O dispositivo em questão está de acordo com a teoria que nos diz que para um
pulso com a Potência Crítica há uma divisão igualitária entre as energias de saída dos
dois canais de um acoplador duplo simétrico. Devemos lembrar que no projeto de um
acoplador divisor de energia temos um casamento no tamanho do dispositivo e não na
potência para que o mesmo tenha uma operação crítica.
63
No Gráfico 3.13 mostramos o comportamento do acoplador com P0=1,5×Pc
(potência de entrada maior do que a potência crítica) e vemos que a energia tende a
permanecer no Canal 1. Existe também uma quebra de simetria entre os dois canais
quando z ≈1,3 cm, porém a energia é conservada. Acopladores que trabalham tanto com
potências críticas, bem como com potências acima da crítica, trabalham em regime
linear e podem ser úteis para a obtenção de portas lógicas em determinadas regiões do
acoplamento.
Gráfico 3.13 – Curva de Transmissão para acoplador de cristal fotônico com potência do sinal de entrada
50% maior que a potência crítica.
3.8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Conference, 1996, San Jose. Proceedings… San Jose: SPIE, 1996. (Paper PD3-1)
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Distribuitions in the Cladding. Chin. Phys. Lett., v. 22, n. 10, p. 2592-2594, 2005.
[8] G. P. Agrawal (2001). Applications of Nonlinear Fiber Optics, Academic Press,
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[9] V. J. Tekippe (1990). Fiber Integ. Opt. 9, 97.
[10] P. E. Grenn (1993). Fiber-Optic Networks, Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ.
Chap.3.
[11] J. Hecht (1999). Understanding Fiber Optics, Prentice-Hall, Upper Saddle River,
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[12] A. K. Ghatak e K. Thyagarajan (1999). Introduction to Fiber Optics, Cambridge
University Press, New York, Chap. 17.
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[14] S. Droulias e et al.(2004). Switching dynamics in nonlinear directional fiber
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[15] F. Benabid, “Hollow-core photonic bandgap fibre: new light guidance for new
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VI Congresso de Inovação Tecnológica em Energia Elétrica (CITENEL), ANAEEL, 17
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[22] Fraga, W. B. Análise Numérica da Estabilidade de Sólitons Ópticos Espaço-
Temporais (2+1) em um Guia Planar com Não Linearidade Cúbico-Quíntica e Efeito da
Relaxação Temporal em Acoplador Direcional Duplo Assimétrico para Obtenção de
Funções Lógicas. Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós Graduação em
Engenharia de Teleinformática. (Março de 2010)
66
4.ESTUDO DE OPERAÇÕES LÓGICAS POR UM NLDC-PFC OPERANDO
COM MODULAÇÃO POR POSIÇÃO DE PULSO (PPM)
Neste capítulo é analisada a possibilidade da realização de operações lógicas pelo
NLDC-PFC na configuração simétrica. O NLDC-PFC é adequado para esta aplicação
por ser capaz de garantir o processamento e a transmissão da informação em níveis
ultrarrápidos.
Nesta aplicação, os pulsos ópticos iniciais têm seus parâmetros ][)(
00
NPeT
ajustados de acordo com as características do meio, para se estabelecer a propagação de
sólitons fundamentais, modulados nos níveis lógicos 0 e 1, através da modulação por
posição de pulso (PPM).
Inicialmente, considerando portas lógicas de duas entradas, utilizam-se as quatro
possíveis combinações para dois pulsos, com informação modulada nos níveis lógico 0
ou 1, para se verificar a realização de operações lógicas pelo NLDC-PFC. Os dois
pulsos que serão introduzidos nas Entradas 1 (Fibra 1) e 2 (Fibra 2) do NLDC-PFC
podem ser provenientes de um sistema de transmissão digital, operando com PPM. Na
análise desta aplicação, neste capítulo, tal sistema é substituído por um modulador PPM,
onde é possível controlar o valor e o sentido do deslocamento temporal, aplicado ao
pulso de entrada, permitindo estabelecer a análise das quatro possíveis combinações a
serem estudadas.
De uma forma geral, qualquer porta lógica é almejada. No entanto, existe o
interesse particular na obtenção de portas lógicas E/OU, posto que a maioria dos
circuitos lógicos pode ser derivada destas duas portas lógicas básicas.
Para alcançar esse objetivo, inicialmente, investigam-se os efeitos de uma variação
no parâmetro de ajuste da modulação PPM , ou seja, no deslocamento inicial do pulso
em relação ao pulso referencial ou informação não modulada. Deslocamentos para a
esquerda, em relação ao referencial, representam nível lógico 0; para a direita, nível
lógico 1. As linhas de erro PPM delimitam as regiões nas quais o pulso, nas respectivas
saídas do NLDC-PFC, aparece modulado em 0 ou 1 ou, ainda, se apresenta erro.
Sempre ocorre erro quando o pulso de saída apresenta um deslocamento, tanto para
67
esquerda quanto para a direita, maior do que o parâmetro de ajuste da modulação
estabelecido no processo de modulação da informação.
Em seguida, são investigados os efeitos da diferença de fase entre os pulsos
sólitons fundamentais de entrada, devidamente modulados, no deslocamento do pulso
de saída em uma das fibras. Este controle de fase pode ser alcançado aplicando-se uma
fase no pulso nas entradas da fibra 1 ou 2 do NLDC-PFC. O objetivo é estabelecer
situações para o parâmetro de ajuste da modulação PPM e de diferença de fase entre os
pulsos modulados, onde seja possível montar as tabelas-verdade correspondentes à
realização de operações lógicas E e OU, sem inserir erro PPM, considerando as quatro
combinações, possíveis, dos dois pulsos na entrada do NLDC-PFC.
4.1.DISPOSITIVOS ÓPTICOS DE CHAVEAMENTO ULTRA-RÁPIDO
Recentes tecnologias de processamento da informação têm levado a um
crescimento nos serviços básicos de telecomunicações, exigindo, portanto, maiores
taxas de transmissão e menores custos por bit transmitido. A rede mundial de
computadores, os sistemas de televisão a cabo e a telefonia são os grandes responsáveis
pela crescente procura de serviços confiáveis, rápidos e de menor custo.
Existe uma expectativa de que os futuros sistemas de chaveamentos demandem o
processamento de dados na ordem de terabits por segundo Tbits s . Tais sistemas
podem usar alguns aspectos do chaveamento de fótons, para tomar proveito das
propriedades inerentes à Óptica. Aplicações nas quais dispositivos seriais poderão ser
importantes incluem os sistemas de telecomunicações de alta performance e redes locais
de fibra óptica. O processamento serial rápido requer dispositivos ultrarrápidos, e a
velocidade final alcançada será encontrada em sistemas totalmente fotônicos, onde os
sinais permanecem como fótons através do sistema [2].
Portas lógicas fazem parte de uma categoria de dispositivos, na qual uma operação
Booleana é executada com base nos valores dos sinais de entrada. A lógica, em si, é
uma ferramenta poderosa, uma vez que possibilita uma distribuição inteligente da
informação ao longo do sistema, no sentido de que um fluxo de dados pode controlar
outro. Esta é uma das razões que tornam a operação, dos sistemas eletrônicos modernos,
já baseados na lógica digital. Nas portas lógicas, o controle pode ser distribuído ao
68
longo de toda a estrutura de chaveamento, tanto fisicamente quanto atuando no próprio
dado, representando a operação de decisão por um nível lógico 0 ou 1, que podem ser
regenerados, isto é, os sinais são substituídos por pulsos que são corrigidos em
amplitude, forma e sincronismo [1].
A literatura especializada traz uma gama de pesquisas feitas sobre os mais
variados tipos de portas lógicas opto-eletrônicas [3-4]. Entretanto, embora a capacidade
de processamento de tais dispositivos ainda seja razoável, existe a necessidade iminente,
na qual as taxas de transmissão superiores devem suprir a demanda, sempre crescente,
no fluxo de informações, o que por sua vez exige a implementação de novas tecnologias
mais sofisticadas, ou, no mínimo, uma otimização, também crescente, dos dispositivos
já utilizados. O uso de porta lógicas, totalmente ópticas, pode melhorar o sistema
quando a largura de banda é o entrave que limita a sua performance. Aplicações
potenciais para portas ultrarrápidas em redes de telecomunicações incluem redes de área
local, permuta de time slot, leitor de cabeçalho e multiplexadores/demultiplexadores em
sistemas de fibras ópticas de alta performance. Finalmente, portas lógicas ultrarrápidas
podem ser propostas para a codificação e decodificação de sinais em altas velocidades,
garantindo a segurança na transmissão da informação [1]. Já existem várias pesquisas
feitas sobre portas lógicas, totalmente ópticas, utilizando dispositivos como acopladores
[5]-[7], interferômetros [8], e guias de ondas planares, operando com pulsos ópticos a
taxas de aproximadamente 50 Gbits s [9].
4.2.MODULAÇÃO POR POSIÇÃO TEMPORAL DE PULSOS
A principal característica dos sólitons fundamentais que pode ser utilizada em
operações de chaveamento é atuar em muitas aplicações como um bit de dados de
informação; ou seja, o pulso inteiro pode ser chaveado como uma única unidade, tendo
em vista que a fase é uniforme através de todo o pulso. Esta característica é importante,
pois permite a obtenção do cascateamento de várias portas. Em adição, devido o pulso
ser balanceado por forças contrárias, durante a propagação, os sólitons tornam-se
estáveis frente a muitas perturbações, como a birrefringência ou dispersão por modo de
polarização (PMD). Além disso, sólitons fundamentais permitem um pulso com área
constante, o que implica em dizer que, após o pulso passar através de um amplificador,
sua forma e amplitude podem ser restauradas. Para sistemas de chaveamento no
69
domínio do tempo, com taxas de Tbits s , e pulsos com larguras temporais da ordem de
picosegundos, existem várias outras razões pelas quais os sólitons têm vantagens
particulares.
Pulsos ópticos são, em geral, afetados pelo GVD e SPM, mas, com sólitons, os
efeitos dessas duas características são mantidos em equilíbrio. O chaveamento
totalmente óptico pode utilizar as propriedades únicas dos sólitons, tais como a
instabilidade modulacional e as colisões elásticas. A natureza dos sólitons, como
partícula, pode implicar numa energia de chaveamento muito baixa, desde que, uma
pequena mudança de frequência pode ocasionar um grande deslocamento no tempo [1].
Consequentemente, o chaveamento de sólitons permite levar em conta
desenvolvimentos tecnológicos como os amplificadores construídos em fibras ópticas.
A possibilidade do uso de sólitons para a transmissão de informação digital
começou a surgir devido, principalmente, ao desenvolvimento de amplificadores
ópticos, como uma forma de amenizar o efeito da perda na fibra óptica [10]. Como foi
comentado anteriormente, o sóliton é um pulso óptico no qual a não linearidade da fibra
compensa o seu efeito dispersivo, podendo propagar-se, sem dispersar-se, por longas
distâncias. Assim sendo, pulsos sólitons são veículos atrativos para a transmissão de
dados em altas taxas. Em princípio, a capacidade de tal sistema de comunicação pode
mostrar-se extremamente elevada, com taxas de vários milhares de Gbits s , através de
distâncias muito longas. Entretanto, algumas limitações práticas restringem a
capacidade destes sistemas [11]. A máxima taxa de transmissão não é simplesmente
relacionada à largura temporal do pulso, como no caso dos sistemas lineares de
comunicação. Existe a interação não linear entre sucessivos pulsos solitônicos. Portanto,
para minimizar os efeitos da interação entre sólitons vizinhos, mantendo-a em níveis
aceitáveis, deve-se, além de estabelecer um limite na distância de propagação, separar
os pulsos, inicialmente, por várias vezes sua própria largura temporal jt . Os efeitos
de ruídos em canais de comunicação não lineares são consideravelmente mais
complicados do que no caso linear. Particularmente, a transmissão de sólitons sobre
distâncias muito longas requer amplificação periódica para compensar a dissipação do
sóliton devido à atenuação na fibra. O processo de amplificação introduz ruídos que
interagem com os sólitons e afetam o processo de propagação não linear [12].
70
Na propagação de um sóliton é possível que apareçam perturbações causadas pela
presença de outros sólitons em sua vizinhança. Estas perturbações são devidas ao fato
de que a combinação dos campos ópticos não satisfazem a Equação Não-Linear de
Schrödinger (NLSE). Resolvendo-se numericamente a NLSE, é possível compreender
todo o processo de interação. Para esta análise admite-se, como condição inicial, a
presença de dois sólitons vizinhos, de acordo com a Equação (4.1)[13]:
.exp)(
secexp)(
sec,0 2
0
221
0
11 e
eree
ere i
T
TTThAi
T
TTThATA
(4.1)
Na equação (4.1), 1e 2eA A, e 1e 2e , são, respectivamente, as amplitudes e as
fases de cada um dos pulsos sólitons fundamentais. Além disso, T1e e T2e são os
deslocamento temporais, para a direita e para a esquerda, respectivamente, do pico do
pulso em relação ao tempo referencial rT , sendo a separação inicial entre os pulsos
dada por ee TT 21 . Permitindo-se que os pulsos tenham fases/amplitudes
iguais/diferentes, observam-se diferentes comportamentos para os sólitons
fundamentais. Nesse contexto, têm-se duas situações a serem consideradas: a primeira
consiste na interação entre sólitons com amplitudes iguais; a segunda, a interação entre
os sólitons com amplitudes diferentes. Na primeira situação, ocorre uma repulsão
quando existe um defasamento no início da propagação, ou seja 1e 2e , e uma atração
quando os sólitons encontram-se em fase, isto é =1e 2e . Nesta situação surge uma
atração, seguida de um colapso, para logo após acontecer a repulsão entre os dois
pulsos, de forma que essa sequência ocorre periodicamente. Esse comportamento
confirma que o potencial envolvido na interação entre sólitons ópticos é simétrico, pois,
após o colapso, os pulsos recuperam sua forma original. Na segunda situação, quando
os sólitons têm amplitudes diferentes, o comportamento se altera por completo. Nessa
situação, quando os sólitons estão em fase =1e 2e , o colapso tende a desaparecer e,
quando fora de fase 1e 2e , a repulsão entre eles também tende a desaparecer [14].
Dentro do contexto desta dissertação, modulação é o processo pelo qual dados
digitais, na forma eletrônica, são convertidos para sinais ópticos, que podem ser
transportados através da fibra óptica. O primeiro passo, no projeto de um sistema de
71
comunicação óptico, é decidir como o sinal elétrico é convertido em um sinal óptico,
levando a mesma informação contida no sinal elétrico. O esquema de modulação mais
simples e mais amplamente usado é chamado de chaveamento liga-desliga (OOK), o
qual é, usualmente, realizado de duas possíveis maneiras: A primeira é usando a
modulação direta, onde os sinais são convertidos, através do nível de corrente, aplicado
diretamente à fonte óptica, que neste caso pode ser um laser semicondutor. O impulso
de corrente, aplicado ao laser semicondutor, é ajustado acima do limiar de decisão para
o bit 1 e abaixo para o bit 0. A segunda maneira, de realizar a modulação (OOK), surge
do fato de que muitos outros lasers, como o DFB, são fontes de onda contínua e não
podem ser modulados diretamente. Estes lasers requerem um modulador externo e
tornam-se essenciais em transmissores para sistemas de comunicação que utilizam o
sóliton como bit de informação [15].
A modulação OOK pode usar diferentes formatos de sinais. Os formatos de sinais
mais comuns são conhecidos como: Retorno a Zero (RZ) e Não Retorno a Zero (NRZ),
os quais estão ilustrados na Figura 4.1. No formato RZ, cada pulso óptico,
representando o bit 1, é mais estreito do que o time slot, de modo que sua amplitude
retorna a zero antes da duração do time slot acabar. Por outro lado, no formato NRZ, o
pulso óptico permanece ao longo de toda a duração do time slot, de forma que sua
amplitude não decresce a zero, entre dois ou mais bits 1s sucessivos. Como resultado, a
largura do pulso varia, dependendo do padrão de bits, o que não acontece no formato
RZ. Uma vantagem do formato NRZ é que a largura de banda, associada com o fluxo de
bits, é menor do que no formato RZ por um fator de 2, simplesmente porque as
transições, de retorno a zero, ocorrem menos vezes. Entretanto, seu uso requer um
controle preciso na largura temporal do pulso e pode resultar em muitos efeitos que
dependem do padrão de bits, se o pulso óptico espalhar durante a transmissão [16].
O formato de sinalização NRZ não pode ser usado para sistemas de comunicações
ópticas, quando os sólitons são usados como bits de informação, pois sua solução
analítica, para T , só permanece válida, numa sequência de pulsos, quando um
sóliton individual mantém-se perfeitamente isolado [17]. Portanto, o sóliton só pode
ocupar uma pequena fração do time slot, usualmente não superior a mais do que 20 %
deste. A presença de outros pulsos, perturba a propagação dos sólitons, fazendo surgir
72
forças de atração e repulsão, pois, como foi visto, pulsos do tipo sóliton interagem
mutuamente. Assim, sistemas de comunicações, que utilizam sóliton como bit de
informação, geralmente usam um esquema de modulação OOK como formato de
sinalização RZ. No transmissor, o processo de modulação é realizado por uma chave
liga-desliga, colocada na frente da fonte de laser. Os dados elétricos originais podem
estar na forma analógica, mas são, invariavelmente, convertidos em um fluxo de bits, no
formato NRZ, para em seguida serem aplicados ao modulador externo, gerando a
sequência de pulsos no formato RZ. Isto evita diversos efeitos de modulação de fase, no
pulso gerado, devido à modulação realizada diretamente no laser semicondutor. De fato,
já existem disponíveis comercialmente transmissores que incluem um laser, um
modulador externo e um circuito de estabilização do comprimento de onda,
compactados em um único dispositivo. A Figura 4.1 mostra um fluxo de bits solitônicos
modulados com formato de sinal RZ óptico, onde a taxa de transmissão B é calculada
pela Equação (4.2):
)(
11
21 eeB TTtB
. (4.2)
Figura 4.1 Fluxo de pulsos solitônicos com modulação OOK no formato RZ, correspondendo à
sequência de dígitos binários (110010).
A modulação por posição de pulso (PPM) surgiu como uma forma de se conseguir
codificar a informação, contida em uma sequência de bits, utilizando o chaveamento
73
liga-desliga (OOK), onde a presença do pulso, dentro do time slot, representa bit 1 e sua
ausência bit 0. Cada código que vai representar uma determinada quantidade e
sequência de bits, pode ser encontrado, permitindo que um grupo de BM time slots
contenha um único nível lógico 1 e 1BM níveis lógicos 0. Sendo assim, cada posição
possível, de colocar o pulso dentro da sequência de BM time slots, pode resultar em um
novo código. Os códigos PPM são ortogonais, desde que não existe nenhuma
superposição entre pulsos em qualquer par de códigos. Por isto, o arranjo de cada
sequência de 2Log BM bits transmitidos, passa a ser representado por um código único
de BM time slots, predeterminado de acordo com a posição do pulso dentro da
sequência de time slots. Portanto, no transmissor, o codificador mapeia blocos de
2= LogB BL M bits consecutivos, transformando-os em um código único PPM de
= 2 BLBM time slots. Após estabelecer a sincronização entre time slot e código, o
receptor detecta a sequência e os códigos PPM presentes na informação recebida,
através da determinação de qual dos BM time slots contém o pulso laser, para em
seguida executar a operação de mapeamento inversa, de forma a fornecer o fluxo de
bits, correspondente a informação transmitida [18]. Cada código PPM decodificado
corretamente, transporta BL bits de informação. Entretanto, o receptor deve operar com
uma largura de banda efetiva muito maior do que necessita a taxa de dados real, para
efetuar a operação de decodificação. Se cada bit tem Bt segundos de duração, então
BL bits levam B Bt L segundos para serem transmitidos. Isto significa que o receptor
deve processar = 2 BLBM time slots, em B Bt L segundos, para evitar o sobre
carregamento de dados. A taxa de processamento do sistema (transmissor e receptor),
deve ser, portanto, um fator de 2 BLBL vezes maior do que a taxa de bits transmitidos,
implicando em uma expansão da largura de banda requerida, por uma quantidade
correspondente. Quando BL torna-se grande, esta expansão na largura de banda, pode
mostrar-se severa, acabando por limitar o processamento da informação do sistema,
devido às limitações na taxa de amostragem [19].
Uma extensão natural da técnica de modulação por posição de um único pulso é
usar dois ou mais pulsos, dentro da sequência de BM time slots, para transportar a
informação através de códigos. Isto pode ser realizado, colocando mais do que um pulso
74
em todas maneiras possíveis entre BM time slots, gerando um número maior de códigos,
quando BM é grande. Entretanto, nem todos os códigos são ortogonais e o número de
códigos gerados não é, necessariamente, uma potência de 2, complicando, assim, a
operação de codificação [20]. Contudo, se comparado com a melhor estratégia de
modulação por posição de um único pulso (PPM), a modulação por posição de
múltiplos pulsos (MPPM), tem propriedades desejáveis, como, por exemplo, o potencial
para reduzir significativamente os requerimentos de largura de banda, em uma potência
média fixa, ou aumentar o processamento da informação, em uma dada largura de
banda, sem incorrer em penalidades significantes na performance do sistema. Portanto,
a modulação por posição de múltiplos pulsos (MPPM), é uma forma generalizada para o
PPM, onde pode ser usado mais do que um pulso por código. Em uma modulação
MPPM, com BN pulsos e BM time slots, existem B
B
M
N
códigos, correspondendo as
possíveis maneiras de preencher BM time slots com BN pulsos. Quando 1BN , o
mapeamento dos bits de informação para os códigos MPPM, torna-se mais complicado,
visto que, neste caso, B
B
M
N
não é mais uma potência de 2, isto é, cada código de
múltiplos pulsos, corresponde a um número de bits não inteiros. Esta complicação pode
ser evitada, através do uso de um subconjunto MPPM com tamanho de 2Log
2B
B
MN
, o
que por sua vez acaba reduzindo, também, o processamento [21].
Para investigar o efeito do uso de sólitons, e suas limitações, para transmissão de
informação digital, outros processos de modulação por posição de pulso (PPM) são
também estudados. Nestes outros processos, os formatos dos sinais modulados são
semelhantes ao formato RZ da modulação OOK, no sentido de que os pulsos retornam a
zero antes do tempo do time slot acabar. Entretanto, os níveis lógicos 1s e 0s, são
sempre representados pela presença de um pulso laser, dentro do time slot. Por outro
lado, a modulação é realizada pela posição temporal do pulso dentro de cada time slot.
Da mesma forma que antes, é possível determinar códigos para transmitir a informação.
Neste caso, sempre se tem múltiplos pulsos, de forma que a maneira que surge, para
aumentar o número de códigos possíveis, não esta mais relacionada diretamente com a
quantidade de pulsos lasers, e sim apenas com a escolha do número de níveis lógicos
75
que vão representar 1s e 0s, dentro da sequência de BM time slots. A principal
motivação para o estudo de sólitons, modulados pela posição temporal, surge do fato de
que o PPM aplicado em pulsos curtos permite uma maior taxa de transmissão do que a
mesma modulação aplicada em pulsos largos, e pulsos intensos exibem uma relação
sinal ruído maior do que os pulsos fracos [22]. Consequentemente, pulsos intensos e
curtos são desejáveis para a aplicação do PPM.
Portanto, a modulação por posição de pulso (PPM) que é abordada nesta
dissertação consiste no deslocamento da posição temporal original do pulso óptico, por
meio de pequenos valores quantificados por . Para deslocamentos com acréscimo de
tempo , a modulação representa o nível lógico 1 ou, simplesmente, bit 1, e para
deslocamentos com decréscimo de tempo , em relação ao mesmo tempo referencial
rT , a modulação representa o nível lógico 0, ou simplesmente, bit 0, como mostra a
Figura 4.2.
Figura
4.2 Modulação pela posição temporal de pulsos sólitons.
A Figura 4.3a mostra o exemplo de uma sequência de pulsos não modulados, onde
cada pulso está, exatamente, no centro de um intervalo de tempo Bt predefinido
(time slot). Em seguida, na saída de um modulador PPM [23], os pulsos são deslocados
temporalmente de , de acordo com a modulação da informação, na sequência de bits
110010, como mostra a Figura 4.3b. Caso o pulso modulado como nível lógico 1 seja
colocado fora da sua posição, em qualquer fase do processo de transmissão da
informação, por um deslocamento superior a , então o bit 1, em questão,
corresponderá, neste momento, ao nível lógico 0, se o deslocamento for com
decréscimo de tempo. Se o deslocamento, superior a , for com acréscimo de tempo, o
76
bit 1 pode ainda permanecer dentro do seu time slot, ou até mesmo, dependendo do
tamanho do deslocamento, ser interpretado como bit 0 no time slot consecutivo. Por este
motivo, torna-se importante estabelecer que o máximo deslocamento do pulso
modulado, em qualquer fase do processo de transmissão, seja menor do que
(parâmetro de ajuste da modulação), mantendo os efeitos resultantes da interação entre
sólitons vizinhos, em níveis aceitáveis, de forma a garantir a manutenção da taxa de
transmissão do sistema.
Figura 4.3 a) Pulsos sólitons sem modulação; b) Pulsos sólitons modulados na sequência de níveis
lógicos 110010, sob PPM, dentro de cada time slot.
Pela própria definição da modulação por posição de pulso, como mostra a Figura
4.4, correspondendo ao bit 1, em todos os casos onde o pulso em questão apresente um
deslocamento superior a , são considerados como erro PPM [24]. O mesmo
raciocínio é aplicado à modulação do nível lógico 0.
77
Figura 4.4 Delimitação das regiões de acerto e erro PPM para bit 0 e bit 1.
4.3.MODELO PROPOSTO PARA MODULAÇÃO POR POSIÇÃO DE PULSOS
SÓLITONS NO NLDC-PCF PARA OBTENÇÃO DE PORTAS LÓGICAS
As portas lógicas são componentes básicos e necessários a muitos circuitos
digitais e, até mesmo, em circuitos integrados complexos como, por exemplo, os
processadores e microcontroladores. O comportamento de cada tipo de porta lógica,
dentro da álgebra Booleana, está estabelecido pela sua tabela verdade, que apresenta os
estados, ou níveis lógicos das entradas e das saídas. Existem vários tipos de portas
lógicas, todavia, nesta dissertação, existe o interesse principal nas portas lógicas E e
OU. As Figuras 4.5 e 4.6, mostram os símbolos gráficos das portas lógicas E e OU,
seguidas por suas respectivas tabelas-verdades 4.1 e 4.2.
A porta lógica E (AND) realiza uma operação lógica booleana, que é representada
por uma multiplicação. Por isso, se 1L e 2L são suas entradas, na saída tem-se o
resultado correspondente à equação Booleana = 1 2R L L , produzindo uma saída com
nível lógico 1, se todos os sinais de entrada forem bits 1. Caso qualquer um dos sinais
de entrada tenha nível lógico 0, a porta E produzirá um sinal de saída com nível lógico
também 0.
78
Figura 4.5 Símbolo gráfico e equação Booleana
para porta E(AND).
Figura 4.6 Símbolo gráfico e equação Booleana
para porta OU(OR).
Tabela 4.1 Tabela verdade para porta E(AND). Tabela 4.2 Tabela verdade para porta OU(OR).
1L 2L = 1 2R L L 1L 2L = 1 2R L L
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
A porta lógica OU (OR) realiza uma operação lógica Booleana que é representada
por uma soma ou adição. Por isso, se 1L e 2L são suas entradas, na saída tem-se o
resultado correspondente a = 1 2R L L , produzindo um nível lógico 1, se qualquer um
dos sinais de entrada tiver nível lógico 1. Somente no caso onde os dois sinais de
entrada têm níveis lógico 0, a porta OU produzirá um sinal de saída com nível lógico
também 0.
O modelo proposto para a investigação da performance do NLDC-PFC realizando
operações lógicas E/OU possui arquitetura mostrada na Figura 4.7. Na Figura 4.7, as
entradas 1E e 2E representam os pulsos ópticos sem a devida modulação PPM, como
mostrado na Figura 4.3a. A análise é feita de forma paralela, ou seja, após passar pelo
modulador PPM, os dois pulsos ópticos de intensidades 1A , na entrada da Fibra 1, e 2A ,
na entrada da Fibra 2, são deslocados temporalmente para a direita ( rTT ),
correspondendo ao bit 1, ou para a esquerda ( rTT ), correspondendo ao bit 2, em
relação ao tempo referencial, de acordo com cada uma das quatro possíveis
combinações de dois bits, das tabelas-verdade para as portas E e OU ( ver tabelas 4.1 e
4.2). Em seguida, o controle de fase é aplicado em um ou ambos os pulsos, agora
representando os níveis lógicos correspondentes 1L e 2L . De acordo com o valor de fase
79
aplicado em cada pulso, é possível inserir uma diferença de fase entre os pulsos iniciais,
antes da entrada do NLDC-PFC. Na região de interação do NLDC-PFC ocorrerá o
possível chaveamento de energia entre os braços do acoplador. Por último, os pulsos de
saída nas Fibras 1 e 2 do referido acoplador são analisados, onde o máximo
deslocamento temporal de saída de cada um dos pulsos é calculado em relação ao
mesmo tempo referencial rT , considerando o devido sincronismo entre o pulso de
entrada e de saída.
Figura 4.7 Modelo proposto para a investigação da performance do NLDC, realizando operações lógicas
E e OU, utilizando modulação PPM.
A realização de operações lógicas E e OU pelo NLDC-PFC é analisada em cada
fibra ou “braço” do acoplador, separadamente, observando que o máximo deslocamento
temporal s , apresentado pelo pulso de saída correspondente, deve estar dentro da
região de acerto, a qual é determinada por s , com 0s . Logicamente, na
análise da porta lógica proposta, neste capítulo, é esperado que exista mudança de nível
lógico, durante o chaveamento de energia intrínseco ao acoplador, do pulso de entrada
em relação ao de saída na mesma fibra. Entretanto, o importante é que se forneça um
deslocamento temporal de saída, dentro da região de acerto para o parâmetro de ajuste
da modulação, de todo o sistema, tendo sempre em vista que o pulso de saída
representará um bit 1, quando sua posição temporal estiver no intervalo 0 s e bit0,
quando 0s . De acordo com a tabelas-verdade das portas lógicas E e OU (ver
Tabelas 4.1 e 4.2), para as combinações onde os pulsos de entrada nas Fibras 1 e 2
representam bits diferentes, ou seja, = 0 =11 2L , L e =1 = 01 2L , L , o pulso de saída
observado em cada uma das fibras deve estar na região PPM bit 1 0 s , caso se
deseje obter um operação lógica OU, ou região PPM bit 0 0s , caso se deseje
obter a operação lógica E. Para as outras duas combinações das tabelas-verdade,
80
correspondentes a bits iguais, o pulso de saída deve estar sempre dentro da região de
acerto, independe da operação lógica desejada, E ou OU. Assim, para o caso onde os
pulsos de entrada nas Fibras 1 e 2 representam o bit 0 = 0 = 01 2L , L , o pulso de saída
em cada uma das fibras deve sempre estar na região PPM bit 0 0s . Por outro
lado, quando os pulsos de entrada representam o bit 1 =1 =11 2L , L , o pulso de saída
em cada uma das fibras deve estar sempre na região PPM bit 1 0 s .
4.4.FERRAMENTA TEÓRICA PARA O ESTUDO DA PORTA LÓGICA NLDC
OPERANDO COM MODULAÇÃO PPM
A porta lógica proposta neste capítulo é baseada em um acoplador duplo
simétrico baseado em fibras de cristal fotônico (NLDC-PCF), processando a informação
modulada pela posição temporal de pulsos (PPM) com sólitons fundamentais. Em
baixos níveis de luz, o dispositivo comporta-se como um acoplador direcional linear.
Por causa do acoplamento evanescente, sinais introduzidos no Canal 1 (canal direto) são
transferidos completamente para o Canal 2 (canal cruzado) em um acoplador de
comprimento LC. Intensidades mais altas induzem mudanças no índice de refração e
retiram o acoplador da região de acoplamento. A teoria de modo acoplado é usada
comumente para acopladores direcionais [26-31]. Em nossas simulações, as equações
diferenciais parciais acopladas para acopladores simétricos sem perda são as equações
dos modos acoplados (4.3), a saber:
| |
| |
| |
(4.3a)
| |
| |
| |
(4.3b)
81
em que A1E e A 2E são as amplitudes de entrada, dos pulsos transmitidos nos núcleos 1 e
2, do acoplador, como já foi visto na seção anterior. A ordem N de um sóliton é
calculada através da expressão 2
2
2
oo
NL
D TP
L
LN , onde
02
2
0 1,
PL
TL NLD
, são os
comprimentos de dispersão e não-linearidade, respectivamente, PO é a potência de
bombeamento e OPULSO TT 21ln2 é a meia largura temporal no ponto de máxima
intensidade de um pulso sóliton com perfil secante hiperbólico. O acoplador é inibido
para potências de entrada acima da potência crítica C eff 2 CP A n L , onde Aeff é a área
efetiva do núcleo, n2 = nNL é o índice de refração não-linear e Lc é o comprimento de
acoplamento necessário para transferência de potência de um guia para outro [25]. No
valor da potência crítica ( CP ), 50% da luz emerge de cada guia de onda. Para potências
de entrada acima da PC a maior parte da luz emerge do núcleo 1. Em outras palavras, a
condição de casamento de fase é alcançada para acoplamento linear. Na situação em que
o sinal de entrada é forte, o índice de refração da entrada do guia de onda é mudado por
causa do efeito Kerr. A mudança do índice de refração destrói a condição de casamento
de fase, e a potência de acoplamento pode ser minimizada no fim do comprimento de
acoplamento. Logo, a potência óptica é comutada entre os dois guias de onda pelo nível
de intensidade do sinal de entrada. No presente estudo, o acoplamento entre A1E e A2E é
essencialmente linear.
4.5.PROCEDIMENTO NUMÉRICO PARA ANÁLISE DO PARÂMETRO DE
AJUSTE DA MODULAÇÃO PPM E DIFERENÇA DE FASE DOS PULSOS
SÓLITONS INICIAIS
A performance do NLDC-PFC simétrico realizando funções lógicas E/OU em
duas entradas é investigada através da arquitetura proposta mostrada na Figura 4.7. Para
a análise numérica, consideraram-se as quatro combinações possíveis de dois bits na
entrada de uma porta lógica de duas entradas, permitindo uma variação, na faixa de 0 a
50 fs, no parâmetro de ajuste da modulação (|τ|) dos pulsos de entrada modulados pela
posição temporal. Esta tarefa é realizada pelo modulador PPM antes do controle de fase.
Após passar através do modulador PPM os pulsos de entrada são introduzidos para o
controle de fase, em que a diferença de fase ΔФ = Ф1-Ф2 (na faixa de 0 a 2π) pode ser
82
inserida entre os pulsos. Como os pulsos de entrada são aplicados simultaneamente
dentro dos dois núcleos, a posição temporal adquirida pelos pulsos propagados é
influenciada pela diferença de fase aplicada entre os pulsos de entrada devido a suas
diferentes velocidades durante a propagação. Portanto, para realizar esta análise, a fase é
somente aplicada em um dos pulsos de entrada. Na região de interação (LC), os pulsos
A1 e A2 são convertidos entre os dois núcleos, simultaneamente, se a potência de
bombeio (PO) está abaixo da potência crítica (PC), como discutido no Capítulo 3. Na
saída do NLDC-PFC simétrico, o máximo deslocamento temporal alcançado por cada
pulso em seu respectivo núcleo é calculado, considerando a sincronização com o pulso
de entrada pelo tempo de referência rT .
Nas equações (4.3) o tempo gVztT / é medido em uma referência se
movendo com o pulso na velocidade de grupo (Vg), analisada no Capítulo 1. Analisou-
se numericamente a transmissão de pulsos ultracurtos no regime de propagação
fundamental ou sóliton de primeira ordem (N=1) através do NLDC-PFC duplo
simétrico. Assim como no Capítulo 3, a largura temporal de meia potência dos pulsos
100 fs. Após o modulador PPM e o controle de fase, a forma dos pulsos iniciais na
entrada do NLDC-PFC é dada por :
j
O
drOjE i
T
TTThPTA
expsec,0 (4.4)
onde os índices j=1,2 fazem referência às fibras 1 ou 2, Фj é a fase inserida e Td é o
deslocamento temporal, que representa o parâmetro de ajuste da modulação PPM
|τ|=|τ1E|=|τ2E|, de modo que Td = +τ para bit 1 PPM e Td=-τ, para bit 0 PPM para os
pulsos iniciais. O deslocamento temporal é calculado na posição temporal de máxima
intensidade, com Tr = 0 como tempo de referência, correspondendo a metade do time
slot. Nesta mesma análise numérica, jEL e jSL , representam os níveis lógicos para os
pulsos de entrada )( jEA e de saída )( jSA , respectivamente. Assumindo a operação em
fibras de sílica, na região de comprimento de onda próximo a 1,55μm, os coeficientes
de dispersão e não-linearidade são β2 =47ps2/km, β3 = 0.1ps
3/km, γ = 3.2x10
-3(Wm
-1)
(para uma área efetiva de 41µm2) e γ/ω0 =2.6x10
-18 s/(Wm), respectivamente, onde nN
L= n2 ≈ 3 ∙ 10-14
m2/W e Aeff ≈ 40μm
2 [14]. Em todas as nossas investigações, os pulsos
83
de entrada estão no regime de propagação do sóliton fundamental (LD=LNL) e a potência
de bombeio (Po) tem valor 10,9 kW, equivalente a 10% da potência crítica (Pc)
calculada no Capítulo 3. Além disso, assume-se um comprimento de acoplamento
cmLLL NLDC 8,1 . Sob estas condições, o coeficiente de acoplamento (k) tem valor
87,27 m-1
e o coeficiente de dispersão de acoplamento ( k1) tem valor - 410 fs/m.
O sistema de NLSG acopladas 4.3a e 4.3b foi resolvido numericamente usando o
método Runge Kutta de 4ª ordem com 2048 pontos na janela de tempo, levando-se em
consideração as condições iniciais dadas pela equação 4.4, na situação sem perda (α=0).
Basicamente, esta situação não significa perda de generalidade tendo em vista que o
efeito de perda na saída dos pulsos (z = LC) é desprezível. Para resolver o sistema de
ENLSG acopladas com este método, usado somente para equações diferenciais
ordinárias, foi necessário substituir o operador diferencial 22 / t por ω2, onde ω é a
frequência no domínio de Fourier.
Para a análise correta da transmissão de pulsos sólitons ultracurtos, modulados
pela posição temporal, aplicam-se deslocamentos temporais para os pulsos de entrada
(τ) e observa-se o máximo deslocamento temporal do correspondente (j = 1,2) pulso de
saída )( jS em relação ao mesmo tempo de referência rT . Verificam-se as funções
lógicas E/OU, observando que o máximo deslocamento temporal do pulso de saída não
pode exceder deslocamentos temporais aplicados aos pulsos de entrada, isto significa
que toda a região de acerto está limitada a . jS Além disso, o pulso de saída
representa bit 1 quando sua posição temporal está no intervalo jS0 e bit 0 quando
0 jS . Se a função lógica procurada é E, em concordância com a tabela verdade
das portas lógicas E, nos casos quando os pulsos de entrada 1 e 2 representam bits
diferentes, que é (L1E=0, L2E=1) ou (L1E=1, L2E=0), o respectivo pulso de saída deve
estar no intervalo para bit 0 ).0( jS Em contraste, se a função lógica procurada é
OU, em concordância com a tabela verdade das portas lógicas OU, nos casos quando os
pulsos de entrada 1 e 2 representam diferentes bits, que é (L1E=0, L2E=1) ou (L1E=1,
L2E=0), o respectivo pulso de saída deve estar no intervalo para bit 1 ).0( jS Além
disso, para a realização de funções lógicas E/OU, os pulsos de saída 1 ou 2 devem
84
sempre estar no intervalo para bit 0 )0( jS e bit 1 ),0( jSquando os pulsos
de entrada 1 e 2 representam os bits (L1E=0, L2E=0) e (L1E=1, L2E=1), respectivamente.
4.6.RESULTADOS E DISCUSSÕES
Neste trabalho, tratamos o NLDC-PFC operando com pulsos sólitons
fundamentais ultracurtos (100 fs) codificados sob PPM, observando a posição temporal
e o perfil dos pulsos de saída como função do parâmetro de ajuste da modulação (|τ|) e
do controle de fase (ΔФ).
Em nossa primeira análise, é estudada a performance de um NLDC-PFC duplo
simétrico, considerando a propagação de dois pulsos de entrada modulados em
concordância com os quatro casos possíveis para a porta lógica de duas entradas
( ver Tabelas 4.1 e 4.2 ), permitindo uma variação, na faixa de 0 a 50 fs, no parâmetro
de ajuste da modulação (τ) e sem controle de fase (ΔФ = 0). As operações lógicas E e OU
serão investigadas em ambas as fibras 1 e 2.
É importante salientarmos que, deste ponto em diante, na análise das figuras, o
parâmetro de ajuste de modulação )( representa o deslocamento aplicado ao pulso de
entrada em cada fibra, a linha laranja com losangos cheios representa a linha de erro
PPM para bit 0, a linha cinza com estrelas cheias representa a linha de erro PPM para
bit 1, a linha preta com quadrados cheios representa o caso )0,0( 21 EE LL , a linha
vermelha com círculos cheios representa o caso )1,0( 21 EE LL , a linha azul com
triângulos cheios representa o caso )0,1( 21 EE LL e a linha verde com triângulos
cheios representa o caso ).1,1( 21 EE LL Para que exista funcionalidade como porta
lógica, o NLDC-PFC deve garantir a realização de operações lógicas sem erro PPM.
Para transmissão sem erro, o deslocamento temporal medido no respectivo pulso de
saída )( jS , deverá estar localizado na região de acerto. Para o bit 1 PPM, a região de
acerto está entre o eixo 0jS (linha preta contínua) e a linha de erro PPM para bit 1.
Para o bit 0 PPM, a região de acerto está entre o eixo 0jS e a linha de erro PPM para
bit 0.
Nos Gráficos 4.1 e 4.2, embora em quase todos os casos o deslocamento temporal
do pulso de saída esteja dentro da região de acerto para bits 1 ou 0, para toda a faixa
85
estudada do parâmetro de ajuste da modulação , sem controle de fase(ΔФ = 0),
observamos que não existe um único valor do parâmetro de ajuste da modulação para o
qual seja possível que o NLDC-PFC duplo realize as operações lógicas E/OU. De fato,
este resultado já era esperado, pois o NLDC-PFC duplo, operando na configuração
simétrica, faz os casos )1,0( 21 EE LL e )0,1( 21 EE LL estarem sempre em regiões
diferentes, para todos os deslocamentos aplicados aos pulsos de entrada .
Nos Gráfico 4.1 observamos que o caso )1,0( 21 EE LL encontra-se na região
[ S1 ; linha de erro PPM para bit 1], enquanto o caso )0,1( 21 EE LL encontra-se na
região [ S1 ; linha de erro PPM para bit 0]. Já no Gráfico 4.2, dá-se justamente o oposto:
o caso )1,0( 21 EE LL encontra-se na região [ S1 ; linha de erro PPM para bit 0],
enquanto o caso )0,1( 21 EE LL encontra-se na região [ S1 ; linha de erro PPM para
bit 1].
Gráfico 4.1 Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da Fibra1 , em
função do parâmetro de ajuste da modulação no intervalo , com LC= 1,8 cm e ΔФ=0.
86
Gráfico 4.2 Máximo deslocamento temporal 2( )S ,calculado no pulso de saída da Fibra2
2( )SA , em
função do parâmetro de ajuste da modulação ( ) no intervalo 0 ( ) 50 fs , com LC= 1,8 cm e ΔФ=0.
Em nossa segunda análise, é estudada a performance de um NLDC-PFC duplo
simétrico, considerando a propagação de dois pulsos de entrada modulados em
concordância com os quatro casos possíveis para a porta lógica de duas entradas
( ver Tabelas 4.1 e 4.2 ), fixando o valor do parâmetro de ajuste da modulação (τ) e
aplicando um controle de fase ( 20 ). As operações lógicas E e OU serão
investigadas nas fibras 1 e 2. O controle de fase dá-se após o modulador PPM
(ver Figura 4.7).
Inicialmente, fixamos o parâmetro de ajuste de modulação em 10 fs; em seguida,
este parâmetro será fixado em 20 fs e, por fim, em 30 fs. Nas três fixações do parâmetro
de ajuste de modulação, o controle de fase(ΔФ) será aplicado apenas na entrada da Fibra
1, de modo que na entrada da Fibra 2 não haverá controle de fase. As operações lógicas
E e OU serão investigadas nas Fibras 1 e 2.
Nos Gráficos 4.3 e 4.4, salientamos que a região de acerto PPM bit 1 encontra-se
entre 10 fs. Similarmente, a região de acerto para o PPM bit 0 encontra-
se entre o - 10 fs.
87
Gráfico 4.3.Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da Fibra 1 , em
função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, comLC = 1,8 cm e | | = 10 fs.
Gráficos 4.4 Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da Fibra 2 , em
função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, comLC = 1,8 cm e | | = 20 fs.
Pela análise dos Gráficos 4.3 e 4.4, verificamos que não há, para todo o controle
de fase , a existência nem de Porta OU nem de Porta E.
88
Nos Gráficos 4.5 e 4.6, salientamos que a região de acerto PPM bit 1 encontra-se
entre 20 fs. Similarmente, a região de acerto para o PPM bit 0 encontra-
se entre o - 20 fs.
Gráfico 4.5.Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da Fibra 1 , em
função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, comLC = 1,8 cm e | | = 20 fs.
Gráfico 4.6.Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da Fibra 2 , em
função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, comLC = 1,8 cm e | | = 20 fs.
89
Analisando-se o Gráfico 4.5, observamos a existência de dois largos intervalos
de controle de fase em que há Porta OU(OR), a saber: [ 0,08π; 0,67π ] e [ 1,19π; 1,67π ].
De maneira semelhante, analisando-se o Gráfico 4.6, observamos a existência de dois
largos intervalos de controle de fase em que também há Porta OU(OR), a saber:
[ 0,33π; 0,81π ] e [ 1,33π; 1,91π ].
Gráfico 4.7.Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da Fibra 1 , em
função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, comLC = 1,8 cm e | | = 30 fs.
Gráfico 4.8.Máximo deslocamento temporal ,calculado no pulso de saída da Fibra 2 , em
função do controle de fase, entre os pulsos de entrada A1E e A2E, comLC = 1,8 cm e | | = 30 fs.
90
Nos Gráficos 4.7 e 4.8, salientamos que a região de acerto PPM bit 1 encontra-se
entre 30 fs. Similarmente, a região de acerto para o PPM bit 0 encontra-
se entre o - 30 fs.
Analisando-se o Gráfico 4.7, observamos a existência de três estreitos intervalos
de controle de fase em que há Porta OU(OR), a saber: [ 0; 0,06π ], [ 0,99π; 1,13π ] e
[ 1,63π; 1,73π ] . De maneira semelhante, analisando-se o Gráfico 4.8, observamos a
existências de três estreitos intervalos de controle de fase em que também há Porta
OU(OR), a saber: [ 0,28π; 0,34π ], [ 0,87π; 1,10π ] e [ 1,93π; 2,00π ].
Pelas análises dos Gráficos 4.3 a 4.8, não encontramos nenhum intervalo de
controle de fase em que seja observada a existência de porta E (AND). Além do mais,
na medida em que o parâmetro de ajuste de modulação variou de 10 fs a 30 fs,
observamos que o módulo da distância temporal entre os pulsos de saída para os casos
(L1 = 0; L2 = 0) e (L1 = 1, L2=1) aumentou, que os deslocamentos temporais dos pulsos
de saída, relativos aos casos citados, tendem a migrar para as regiões de erro PPM e que
os deslocamentos relativos aos casos (L1 = 0; L2 = 1) e (L1 = 1, L2=0) tendem à simetria
em relação à linha de decisão = 0, observação esta que nos leva a inferir que, para
valores do parâmetro de ajuste de modulação maiores do que os analisados, o NLDC-
PFC tona-se inviável para a obtenção, também, de portas lógicas OU.
No tocante à estabilidade, podemos constatar, pela análise dos Gráficos 4.5 a
4.8, que as portas lógicas OR obtidas no caso τ = 20 fs , tanto para a Fibra 1, quanto
para a Fibra 2, são bem mais estáveis do que as obtidas quando τ = 30 fs , posto que
neste último caso, mais precisamente nos intervalos [ 1,63 ;1,73 ], para a Fibra 1, e [
0,28 ;0,34 ], para a Fibra 2, os deslocamentos de saída dos pulsos na combinação de
entrada (L1 = 1;L2 = 1), estão mais próximos da linha de erro PPM bit 1 = + 30 fs .
Os Gráficos 4.9 e 4.10 mostram os perfis de intensidade dos pulsos na saída da
Fibra 1 para o controle de fase fixado, respectivamente, em 0,4π e 1,5π. Observemos
que os deslocamentos de saída dos pulsos estão de acordo com os deslocamentos
apresentados no Gráfico 4.5.
91
Gráfico 4.9 Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 1 em função deslocamento temporal,
realizando lógica OU, com 0,4 , LC= 1,8 cm e τ = 20 fs.
Gráfico 4.10 Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 1 em função deslocamento temporal,
realizando lógica OU, com 1,5 , LC= 1,8 cm e τ = 20 fs.
Os gráficos 4.11 e 4.12 mostram os perfis de intensidade dos pulsos na saída da
Fibra 2 para o controle de fase fixado, respectivamente, em 0,6π e 1,6π. Observemos
que os deslocamentos de saída dos pulsos estão de acordo com os deslocamentos
apresentados no Gráfico 4.6.
92
Gráfico 4.11Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 2 em função deslocamento temporal,
realizando lógica OU, com 0,6 , LC= 1,8 cm e τ = 20 fs.
Gráfico 4.12Perfil de intensidade do pulso na saída na Fibra 2 em função deslocamento temporal,
realizando lógica OU, com 1,6 , LC= 1,8 cm e τ = 20 fs.
Por fim, concluindo a nossa análise do NLDC-PFC em estudo, elaboramos as
Tabelas 4.3 a 4.6, especificando, detalhadamente, para os casos mostrados nosGráficos
4.9 a 4.12, os níveis lógicos de entrada nas Fibras 1 e 2, conforme a Tabela 4.1, o
93
controle de fase aplicado, o deslocamento temporal na saída da fibra respectiva, bem
como o nível lógico associado a esse deslocamento.
ENTRADA Controle deFase
1 2
Deslocamento
Temporal na Saída da
Fibra 1(fs)
SAÍDA
(LÓGICA OU)
Fibra 1 Fibra 2
fs20|E2||E1|||
EL1 EL2 1 2
0 0 0,4 0 - 16,2 0
0 0 1 0,4 0 + 6,0 1
1 1 0 0,4 0 + 19,2 1
1 1 1 0,4 0 + 4,3 1
1 Tabela 4.3 Tabela para Porta lógica OU na Saída da Fibra 1, tendo como referência o Gráfico 4.9, para
0,4 e τ = 20 fs.
ENTRADA Controle deFase
1 2
Deslocamento
Temporal na Saída da
Fibra 1(fs)
SAÍDA
(LÓGICA OU)
Fibra 1 Fibra 2
fs20|E2||E1|||
EL1 EL2 1 2
0 0 1,5 0 - 17,4 0
0 0 1 1,5 0 + 11,3 1
1 1 0 1,5 0 + 7,1 1
1 1 1 1,5 0 + 3,0 1
1 Tabela 4.4 Tabela para Porta lógica OU na Saída da Fibra 1, tendo como referência o Gráfico 4.10, para
1,5 e τ = 20 fs.
ENTRADA Controle deFase
1 2
Deslocamento
Temporal na Saída da
Fibra 2(fs)
SAÍDA
(LÓGICA OU)
Fibra 1 Fibra 2
fs20|E2||E1|||
EL1 EL2 1 2
0 0 0,6 0 - 17,6 0
0 0 1 0,6 0 + 6,4 1
1 1 0 0,6 0 + 10,8 1
1 1 1 0,6 0 + 2,8 1
1 Tabela 4.5 Tabela para Porta lógica OU na Saída da Fibra 2, tendo como referência o Gráfico 4.11, para
0,6 e τ = 20 fs.
94
ENTRADA Controle deFase
1 2
Deslocamento
Temporal na Saída da
Fibra 2(fs)
SAÍDA
(LÓGICA OU)
Fibra 1 Fibra 2
fs20|E2||E1|||
EL1 EL2 1 2
0 0 1,6 0 - 16,2 0
0 0 1 1,6 0 + 19,2 1
1 1 0 1,6 0 + 6,0 1
1 1 1 1,6 0 + 4,3 1
1 Tabela 4.6 Tabela para Porta lógica OU na Saída da Fibra 2, tendo como referência o Gráfico 4.12, para
1,6 e τ = 20 fs.
4.7.CONCLUSÕES DO CAPÍTULO
Neste capítulo, foi feita a análise da performance do NLDC-PFC duplo simétrico
de duas entradas com pulsos sólitons fundamentais ultracurtos(100 fs), modulados nos
níveis lógicos 0 e 1, através da técnica de modulação por posição de pulso(PPM), sob
um ponto de vista de chaveamento de amplitude de pulsos. Consideraram-se, na análise,
os efeitos dispersivos GVD, e , assim como os efeitos de não linearidades SPM,
SS, IRS, com regime de propagação sem perda para os pulsos nas entrada das fibras 1 e
2. Analisaram-se as quatro situações possíveis para a porta lógica de duas entradas,
observando-se a posição temporal e o perfil dos pulsos de saída como função do
parâmetro de ajuste da modulação (|τ|) e do controle de fase(ΔФ).Inicialmente, foi feita a
primeira análise considerando-se apenas a variação do parâmetro de ajuste de
modulação, sem controle de fase, variando de 0 a 50 fs, e conclui-se que o NLDC-PCF
simétrico não poderia realizar as operações lógicas neste situação. Em seguida, foi feita
a segunda análise, fixando-se o parâmetro de ajuste de modulação e introduzindo-se a
diferença de fase )20( entre os pulsos de entrada, aplicando-a sempre no
pulso de entrada na Fibra 1. Nessa análise, foram observados diversos intervalos de
controle de fase para operação da porta lógica OR, fixando-se os parâmetros de ajuste
de modulação em τ = 20 fs num primeiro caso, e em τ = 30 fs , num outro, constando-
se que para o primeiro caso, os intervalos de operação das portas OR eram mais largos,
bem como as portas encontradas eram mais estáveis.
95
4.8.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] M. N. Islam (1992). “Ultrafast Fiber Switching Devices and Systems”. AT&T /
Cambridge University Press, New York.
[2] D. A. B. Miller (1990). “Device Requirement for Digital Optical Processing in
Digital Optical Computing”. Ed. R. A. Athale, Spie Critical Reviews Optical
Science and Technology, CR 35, páginas 68 – 76.
[3] Z. Porada e E. Schabowska-Osiowska (2003). “Mathematical model of
optoelectronic EX-OR logical gate”. In Materials Science and Engineering,
B103, páginas 88 – 93.
[4] H. Itoh, S. Mukai, M. Watanabe, M. Mori e H. Yajima (1991). “An active
beam-scanning optoelectronic logic gate”. IEE Proceedings - J, Vol. 138, No 22,
páginas 113 – 116.
[5] W. B. Fraga, J. W. M. Menezes, M. G. da Silva, C. S. Sobrinho e A. S. B. Sombra
(2006). “All Optical Logic Gates Based in an Asymmetric Nonlinear Directional
Coupler”. Elsevier Science B.V., Optics Communications, Vol. 262, páginas 32 – 37.
[6] X. Zhang, Y. Wang, J. Sun, D. Liu e D. Huang (2004). “All-optical AND gate
at 10 Gbits s based on cascaded single-port-coupled SOAs”. Optics Express, Vol.
12, No 3, páginas 361 – 366.
[7] J. W. M. Menezes, W. B. de Fraga, G. F. Guimarães, A.C. Ferreira, H. H. B. Rocha,
M. G. da Silva e A. S. B. Sombra (2007). “Optical switches and all-fiber logical
devices base don triangular and planar three-core nonlinear optical fiber
couplers.”Optics Communications, Vol. 276, páginas 107 – 115.
[8] S. Lee, J. Park, K. Lee, D. Eom, S. Lee e J. H. Kim (2002). “All-optical
exclusive NOR logic gate using Mach-Zehnder interferometer”. J. Appl. Phys.,
Vol. 41, páginas 1155 – 1157.
[9] A. Lattes, H. A. Haus, F. J. Leonberger e E. P. Ippen (1983). “An ultrafast all-
optical gate”. IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. QE-19, No 11, páginas
1718 – 1723.
96
[10] L. F. Mollenauer, S. G. Evangelides e H. A. Haus (1991). “Long distance Soliton
propagation using lumped amplifiers and dispersion shifted fiber”. J. Light Tech.,
páginas 194 – 197.
[11] L. F. Mollenauer, R. H. Stolen, M. N. Islam. “Experimental demonstration of
soliton propagation in long fibers: loss compensated by Raman gain”. Optics Letters
Vol. 10, 229 - 231 (1985).
[12] H. Hermann e W. S. Wong (1996). “Solitons in optical communications”. Rev.
Mod. Phys. Vol. 68, páginas 423 – 444.
[13] Y. Kodama e K. Nozaki (1987). "Soliton interaction in optical fibers”. Opt. Lett.
Vol. 12, páginas 1038 – 1050.
[14] G. P. Agrawal (2001). “Nonlinear Fiber Optics”. Academic Press. Terceira edição.
[15] R. Ramaswami e K. N. Sivarajan (2002). “Optical Networks – A practical
Perspective”. Morgan Kaufmann Pub. San Francisco.
[16] G. P. Agrawal (1997). “Fiber Optic Communication Systems”. Wiley Interscience.
Segunda edição.
[17] G. P. Agrawal (2001). “Applications of Nonlinear Fiber Optics”. Academic Press.
[18] J. Hamkins e B. Moision (2005). “Multipulse PPM on Discrete Memoryless
Channels”. IPN Progress report, Vol. 42, páginas 161 – 173.
[19] J. Hamkins, M. Klimesh, R. McEliece e B. Moision (2004). “Capacity of the
Generalized PPM Channel”. Proceedings International Symposium on Information
Theory (ISIT), páginas 334 – 335.
[20] H. Sugiyama e K. Nosu (1989). “MPPM: A Method of Improving the Band-
Utilization Efficiency in Optical PPM”.Journal of Lightwave Tech., Vol. 7, No 3,
páginas 465 – 472.
[21] K. Sato, T. Ohtsuki e I. Sasase (1994). “Performance of Coded Multi-Pulse PPM
with Imperfect Slot Synchronization in Optical Direct-Detection Channel”.
International Conference on Communications, Vol. 1, páginas 121 – 125.
97
[22] J. M. Arnold (1993). “Soliton pulse-position modulation”. IEE proceedings - J,
Vol. 140, No 6, páginas 359 – 366.
[23] C. Mazzali e H. L. Fragnito (1998).“Optical PPM generator by direct-frequency
shifting”. OFC’98 Technical Digest, WM13, páginas 191 – 192.
[24] J. M. Arnold, A. D. Boardman, H. M. Mehta e R. C. J. Putman (1995). “PPM
soliton pulse trains in optical fibers”. Optics Communications, Vol. 122, páginas 48 –
57.
[25] J. I. Silva e A. S. B. Sombra (1998). “Pulse position modulation (PPM) of
ultrashort pulse trains in optical fibers”. Optics Communications, Vol. 152, 59 – 64.
[26] A. W. Snyder. (1972). Journal Opt. Soc. Am. 62, 1267.
[27] P. D. McIntyre e A. W. Snyder. (1973). Journal Opt. Soc. Am. 63, 1518 (1973).
[28] A. W. Snyder, J. D. Love. (1983). Optical Waveguide Theory, Chapman and Hall,
London.
[29] D. Marcuse. (1991). Theory of Dieletric Optical Waveguides, Academic Press, San
Diego, CA, Chap. 6.
[30] H. A. Haus, W. P. Huang. (1991). Proc. IEEE 79, 1505.
[31] W. P. Huang. (1994). Journal Opt. Soc. Am. 11, 963.
[32] A. S. B. Sombra. (1992) Optics Communications, 94, 92-98.
98
5.CONCLUSÕES GERAIS
A contribuição deste trabalho foi analisarmos numericamente a performance do
NLDC-PFC duplo simétrico para a obtenção de portas lógicas E e OU, totalmente
ópticas, através da técnica de modulação por posição de pulso (PPM), utilizando-se
pulsos sólitons fundamentais ultracurtos de 100 fs, com parâmetro de ajuste de
modulação e controle de fase convenientes. Para a análise numérica, consideraram-se as
quatro combinações possíveis de dois bits na entrada de uma porta lógica de duas
entradas, ora variando-se o parâmetro de ajuste de modulação de 0 a 50 fs, sem controle
de fase, ora fixando-se o parâmetro de ajuste de modulação num determinado valor e
aplicando-se o controle de fase sempre no pulso de entrada da Fibra 1. No primeiro
caso, concluímos que o NLDC-PCF duplo simétrico não poderia realizar as operações
lógicas E e OU. No segundo caso, foram observados diversos intervalos de controle de
fase para operação da porta lógica OR, sendo que para a fixação do parâmetro de ajuste
de modulação em τ = 20 fs , os intervalos de operação das portas OR são mais largos,
bem como as portas encontradas mais estáveis.
99
6.PERSPECTIVAS FUTURAS
Pretendemos, num futuro próximo, integrando o grupo de óptica não-linear do
LOCEM(Laboratório de Telecomunicações e Ciências e Engenharia), darmos
continuidade a este trabalho, estudando, por exemplo:
- O acoplador duplo assimétrico com perfis de assimetria, tanto de dispersão como
de não-linearidade, sob codificação PPM, para a obtenção de portas lógicas;
- O acoplador duplo assimétrico com perfis de assimetria, tanto de dispersão como
de não-linearidade, sob codificação PAM, para obter portas lógicas;
- Os acopladores triplos com simetrias triangular e planar, sob codificação PPM
ou PAM, para a obtenção de portas lógicas;
- O acoplador duplo simétrico sob a ação de outros efeitos, tais como
FWM(Mistura de Quatro Ondas), XPM(Modulação de fase Cruzada), sob codificação
PPM ou PAM(Modulação por Amplitude de Pulso).
100
7.PUBLICAÇÕES RELACIONADAS AO TRABALHO
7.1.ARTIGOS COMPLETOS ACEITOS EM CONGRESSOS
INTERNACIONAIS
ACOPLADORES DE CRISTAIS FOTÔNICOS E APLICAÇÕES EM
TELECOMUNICAÇÕES. LOPES, M. V. P. ; SOUSA, C. M. ; FURTADO FILHO, A.
F. G. ; FERREIRA, A. C. ; SOMBRA, A. S. B. IN: 2ª CONFERÊNCIA DE FÍSICA
DA COMUNICADE DE PAÍSES DE LÍNGUA PORTUGUESA, 2012, RIO DE
JANEIRO .
7.2.ARTIGOS A SEREM SUBMETIDOS EM REVISTAS INTERNACIONAIS
NUMERICAL STUDY OF NONLINEAR SYMMETRIC DOUBLE COUPLER
FIBER PHOTONIC CRYSTALS PPM MODULATION UNDER. SOUSA, C. M.,
M. V. P. ; FURTADO FILHO, A. F. G. ; SOBRINHO, C.S.; SOMBRA, A. S. B.
102
A.MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO NÃO-
LINEAR DE SCHRÖDINGER
A.1.MÉTODO SPLIT STEP FOURIER
Soluções numéricas de propagação de pulsos em meios dispersivos e não-lineares
podem ser obtidas através do método split-step, em que parte do cálculo é efetuado com
auxílio da Transformada Rápida de Fourier FFT [A.1]. Os efeitos dispersivos são
calculados no domínio das frequências, por outro lado os efeitos não-lineares no
domínio temporal. Para obter o cálculo numérico exato, devemos multiplicar os
resultados obtidos nos dois domínios. A Equação de propagação de um campo ,A z T
em um meio dispersivo e não linear é [A.2]:
, ˆ ˆ ,
A z TD N A z T
z
(1)
em que D e N são operadores responsáveis pelos os efeitos de dispersão e não-
linearidade, respectivamente. No caso dos pulsos ópticos que se propagam submetidos
aos efeitos de perda, dispersão de segunda ordem e auto modulação de fase, para este
caso a Equação 1 é chamada de Equação não-linear de Schrödinger, em que os
operadores D e N são:
2
2 2ˆ
2 2
iD
T
(2)
2ˆ ,N i A z T (3)
Em geral os efeitos dispersivos e não-lineares atuam simultaneamente ao longo
da fibra. O método split-step obtém uma solução aproximada, admitindo que durante a
propagação de ,A z T para ,A z h T , em que h é o passo, os operadores atuam um
de cada vez. Assim essa propagação ocorre em duas etapas, na primeira analisamos
somente os efeitos não-lineares, e depois os efeitos dispersivos. Matematicamente,
podemos dizer que:
ˆ ˆ, exp exp ,A z h T hD hN A z T (4)
103
Os cálculos da exponencial ˆexp hD são feitos no espaço recíproco de Fourier,
usando a seguinte descrição:
1ˆ ˆexp , exp ,hD B z T F hD i F B z T
(5)
em que F é a transformada rápida de Fourier (FFT), D i é obtido a partir da Equação
2, substituindo o operador / T por i , em que é a frequência no domínio de
Fourier. O uso do FFT faz com que possamos calcular a Equação 5 rapidamente. Isso
faz com que o split-step seja um método duas vezes mais rápido do que o método de
diferenças finitas.
Para estimar a precisão do split-step, devemos observar que a solução exata é
dada pela Equação:
ˆ ˆ, exp ,A z h T h D N A z T
(6)
Considere N independente de z. Usando a identidade de Baker-Hausdorff e o fato de
que ˆ ˆh D N comuta com ˆ ˆh N D , obtemos então:
2
3
ˆ ˆ ˆ ˆ,2ˆ ˆexp exp exp
ˆ ˆ ˆ ˆ, , ...12
hh D N D N
hD hNh
D N D N
(7)
Supondo que h é muito pequeno, o que leva a 2hh . Podemos considerar
somente os termos de primeira ordem, desprezando os ternos de ordem mais alta:
ˆ ˆ, exp exp ,A z h T hD hN A z T (8)
Esta Equação é básica do split-step, em que primeiro atua o operador N , e logo
depois o operador D , independente um do outro. Pela a Equação 7 o erro é da ordem de
2h , que é a precisão do método, em que o operador erro é:
104
2
ˆ ˆˆ ,2
he D N
(9)
No espaço recíproco de Fourier o operador diferencial / T é substituído por
i , como pode ser visto diretamente da definição de transformada de Fourier:
, 1, exp
2
B z Ti B z i T d
T
(10)
No caso da propagação de pulsos ópticos o operador de dispersão se transforma
em:
2
2ˆ
2 2
iD i
(11)
Introduzindo as transformações no fator dispersivo da Equação 11 pode ser
expressa na seguinte forma:
1 ˆ ˆ, exp exp ,A z h T F hD F hN A z T (12)
em que F-1
é a transformada inversa de Fourier. A Equação (12) é a base para a estrutura
de um algoritmo computacional, em que inicialmente se aplica a não-linearidade, depois
se calcula a transformada de Fourier, em seguida se aplica a dispersão no espaço
recíproco e por último retornamos ao espaço temporal através da transformada inversa
de Fourier. O resultado desse procedimento é uma propagação do pulso para um dado
comprimento h.Note que utilizamos aqui somente o fator de dispersão de 2ª ordem e
SPM. Basta utilizar o mesmo cálculo para mostrar como é o comportamento dos fatores
de dispersão de 3ª ordem, dispersão de 4ª ordem, SS e RA para o método split-step.
A.2.MÉTODO DE RUNGE KUTTA
Os métodos de Runge (Carl D. T. Runge) e Kutta (Martin W. Kutta) [A.3] são
dos mais antigos já utilizados para solucionar equações diferenciais. Todas as fórmulas
do método são destinadas à resolução de
' ,y f x y (13)
ou seja, procuram exprimir 1iy em termos de
iy .
105
Os métodos de Runge-Kutta admitem como forma genérica a seguinte
expressão:
1
1
m
i i j j
j
y y a k
(14)
Sendo m a ordem do método, os temos ja constantes e os jk são produtos da
amplitude do passo, h, pela função ,f x y . O método de Range-Kutta pode ser
utilizado para obter soluções completas e precisas. O método de quarta ordem apresenta
precisão de 5
h . Este método pode ser usado para produzir soluções precisas de um
conjunto de equações diferenciais de primeira ordem. A forma da Equação de Runge-
Kutta de quarta ordem é dada pela expressão:
1
12
23
4 3
,
,2 2
,2 2
,
i i
i i
i i
i i
K hf x y
KhK hf x y
KhK hf x y
K hf x h y K
(15)
1 1 2 3 4
12 2
6i iy y K K K K (16)
Um ponto importante que devemos ressaltar quanto a este método de quarta
ordem, é que ele conduz à soluções bastante precisas, para um passo de amplitude
relativamente grande, apesar de se tratar de um método de passo único. Para a obtenção
das características de transmissão, chaveamento e solução das equações de modo
acoplado para os acopladores, utilizamos o método de Runge-Kutta de Quarta ordem.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[A.1] Agrawal, G. P. Nonlinear Fiber Optics. Academic Press, San Diego, 1989.
[A.2] McCormick, Jonh M.; Salvadori, Mario G. Métodos Numéricos em Fortran.
Editora Polígono. Capítulo 7(1971).
[A.3] Pacitti, T.; Atkinson, C. P. Programação e métodos computacionais. Editora
Livros Técnicos e científicos S. A, volume 2, 2ª edição.
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