Universidade Federal de Viçosa CAMPUS DE FLORESTAL
AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 1º A - ENSINO MÉDIO
Professor: Ricardo Ferreira Paraizo
1) Determine todos os valores de x ∈ IR que satisfazem simultaneamente às inequações seguintes:
I) 2x(2x - 1)(-3x-2) ≤ 0 II) 14
52≥
−−
+−
x
x
a)]-∞, 3
2− [∪]0,+∞[ b) ]-∞,
3
2− ]∪]0,+∞[
c) ]-∞, 3
2− ]∪[0,+∞[ d) [
3
2− ,
3
1− ] (X)
e) IR
Resolução da questão 1:
Como precisamos dos valores de x ∈ IR que satisfazem simultaneamente às referidas inequações, vamos precisar de encontra suas interseções. Vamos então primeiramente desenvolver as duas inequações separadamente, veja:
Resolvendo a inequação quociente utilizando os passos da montagem do quadro quociente temos: (1º) Zerando as funções f e g com seus gráficos temos:
Resolvendo a interseção das duas inequações temos: -4 -2/3 -1/3 0 1/2 S1 S2
S1 ∩ S2 -4 -2/3 -1/3 0 1/2 Solução final:
S= S1 ∩ S2 = [3
2− ,
3
1− ]
04
26
04
452
04
)4(1)52(
4]1,)4[(
01
1
4
52
:º1/
1
14
52)
≥−−
+
≥−−
+++−
≥−−
−−−+−
−−=−−
≥−−−
+−
≥−−
+−
x
x
x
xx
x
xx
xxMMC
oCalculamos
x
x
membroop
númeroopassarVamos
x
xII
( f )
+
I) 2x(2x - 1)(-3x-2) ≤ 0 f g h (1º) Zerando as funções f , g, h com seus gráficos temos:
( f ) 2x =0 ⇒ x=0 + - 0
( g) 2x -1 = 0 ⇒ x=1/2 + - 1/2
( h) -3x - 2 = 0 ⇒ x=-2/3 + -2/3 -
(2º) Montando o quadro produto:
( f )
( g )
S1
2) Se f a função real cujo gráfico se apresenta abaixo:
Analisando o gráfico, é VERDADEIRO afirmar que:
a) f( 3 ) ≥f(x), para todo x∈IR. b) A imagem é IR c) f(3) = 2. d) f( -3 ) = f( 0 ).. e) f(0) = 2 (x)
Solução
Analisando cada item:
a) Falso, pois f(3) =1,5 f(x) = y
f( 3 ) ≥f(x) implica em dizer 1,5≥y ou seja y≤1,5 o que é falso pois a imagem da função
inicia em 2 e vai para -∞
b) Falso, pois como vimos no item anterior, a imagem é y≤2
c) Falso, pois f(3) = 1,5
d) Falso, pois f(-3) ≠ f(0) f(-3) = 0 e f(0) = 2
e) Verdadeiro, pois f(0) = 2
y
x 3 1 -2 -3 0
2
1
-2
1,5
- 0,5
3) Resolva a inequação no conjunto dos números reais
a) ]-∞,0] ∪ ]1,3[ ∪ ]4,+∞[ (X) b) ]-∞,0] ∪ [1,3[ ∪ ]4,+∞[
c) ]-∞,0] ∪ ]1,3] ∪ ]4,+∞[ d) ]-∞,0[ ∪ [1,3] ∪ [4,+∞[
e) ]-∞,0] ∪ [1,3] ∪ [4,+∞[
Resolução: Vamos resolver a inequação quociente
(1º) Zerando as funções f e g com seus gráficos temos ( f ) x = 0 + - 0 ( g) –x²+4x-3=0 1 + 3 - - ( h) -x + 4 = 0 + 4 - (2º) Montando o quadro quociente: 0 1 3 4 ( f ) ( g ) ( h ) f/g.h 0 1 3 4
S= ]-∞, 0] ∪ ]1 , 3[∪]4,+∞[
0)4)(34( 2
≥−−+− xxx
x
( f )
( g )
+ + - - - - + + -
+ +
0)4)(34( 2
≥−−+− xxx
x
( h )
+ -
+ + + + - - +
4 ) Obter os números inteiros não negativos que são múltiplos de 3 na solução da
inequação -x2 + 6x + 16 > 0 a) {0, 3, 6, 9, 12} b) {0, 3, 6, 9} c) {0, 3, 6}(X) d) {3, 6}
e) φ Resolução: (1º) Zerando a função do 2º grau -x2 + 6x + 16 = 0 x' = -2 x” = 8 (2º) Representação gráfica da função do 2º grau: Solução em IN 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Múltiplos de 3 não negativo da solução são os números 0, 3, 6 Resposta: {0, 3, 6}
-2 8 +
- -
5) O número de soluções em IN da inequação abaixo é:
02
4>
−
−
x
x
a) 0 b) 1 (x) c) 2 d) 3 e) 4 Resolução:
02
4>
−
−
x
x
Resolvendo a inequação quociente utilizando os passos da montagem do quadro quociente temos: (1º) Zerando as funções f e g com seus gráficos temos:
( f ) -x+4=0 ⇒x = 4
( g ) x-2 = 0 ⇒ x = 2 (2º) Montando o quadro quociente: 2 4 ( f ) ( g ) f/g 2 4
S= {x∈IN/2<x<4} = {3} Solução em IN 0 1 2 3 4 Resposta: Solução única
6) A solução da inequação 02
<x
é:
a) {x∈IR/x<2}
b) {x∈IR/x>2} c) IR d) IR+* e) IR-* (X)
Resolução:
02
<x
−=−
+
x<0 0 Resposta: R-*
4 -
2 +
-
+ - +
+ + - + - -
+
( f )
( g )
7) A solução da inequação x² ≤ 8 é:
22)
}2222/{)}2222/{)
}22/{)}2424/{)
±≤
≥−≤∈=≤≤−∈=
≤≤−∈=≤≤−∈=
xe
xouxIRxSdxIRxSc
xIRxSbxIRxSa
Resposta: C Resolução: x² -8 ≤ 0 (1º) Zerando a função do 2º grau x²-8 = 0
x' = -2 2 x” = 2 2 (2º) Representação gráfica da função do 2º grau:
}2222/{ ≤≤−∈= xIRxS
2 2 -2 2
+
-
+
<+−
≥−=
44
44)(
xsex
xsexxf
Desenvolvendo as tabelas para as funções I e II temos: I
f(x) = x-4 x≥4
II
f(x) = -x+4 x<4
x y x y 4 0 4 0 5 1 3 1 6 2 2 2 7 3 1 3
IR. em4)( função da gráfico oEsboçar )8 −= xxf
( II )
( I )
x
y
9) Esboçar o gráfico de:
>+
≤<−
−≤
=
24
21
13
)( 2
xsex
xsex
xse
xf
Solução: Desenvolvendo as tabelas para as funções I e II III temos:
I
f(x) = 3 x≤ -1
II
f(x) = x² -1<x≤2
III
f(x) = x +4 x>2
x y x y x y -1 3 -1 1 2 6 -2 3 0 0 3 7 -3 3 1 1 4 8 -4 3 2 4 5 9 -5 . . .
-∞
3 . . . 3
6 . . .
+∞
10 . . .
+∞ Gráfico NOTA: Criação do gráfico pelo Software Geogebra: Digitamos na caixa de entrada: Se[x ≤ -1, 3, Se[-1<x≤2, x², Se[x >2, x+4]]]. ENTER. O gráfico já sai pronto.
Para colocar intervalo aberto e fechado no gráfico desta função pelo Geogebra procedemos da seguinte maneira:
Na segunda função criamos o ponto A=(-1 , 1) (pela caixa de entrada) que deve aparecer na cor azul, daí é só mudar para cor branca. Na segunda função criamos da mesma forma o ponto final B=(2 , 4). Clicamos com o mouse direito neste ponto e em propriedade mudamos o ponto B para cor vermelha (ou preta) para que o intervalo fique fechado no ponto B.
Para não aparecer o rótulo A ou B clique com o mouse direito no referido ponto e clique em Exibir Rótulo.
( III )
x
y
10) Seja f(x)= 4x –1. Esboçar os gráficos de f(x) e f-1(x) num mesmo plano cartesiano. f-1(x)= função inversa de f(x) Solução: Para obter a função inversa de y 1º Passo: trocamos o y por x na função f(x) y = 4x-1 x = 4y -1 2º Passo: Isolamos o y (que será a nova função, ou seja, a função inversa pedida) 4y -1 = x 4y = x+1
4
1)(
4
1
1 +=
+=
− xxf
xy
A reta f é simétrica de f-1 em relação á bissetriz dos quadrantes ímpares
x
y
Universidade Federal de Viçosa CAMPUS DE FLORESTAL
AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 1º E – ENSINO MÉDIO
Professor: Ricardo Ferreira Paraizo
1) Os valores de x ∈ IR que satisfazem simultaneamente às inequações seguintes:
é:
a) 1 <x≤ 2 b) 1 <x< 2
c) 1 ≤x≤ 2
d) -1 <x≤ 2
e) x≤-4 ou x≥2 (X)
023)11
32) 2 ≤−+−≥
−
+xxII
x
xI
Resolução da questão 1:
Como precisamos dos valores de x ∈ IR que satisfazem simultaneamente às referidas inequações, vamos precisar de encontra suas interseções. Vamos então primeiramente desenvolver as duas inequações separadamente, veja:
Resolvendo a inequação quociente utilizando os passos da montagem do quadro quociente temos: (1º) Zerando as funções f e g com seus gráficos temos:
( f ) x+4=0 ⇒x = -4
( g ) x-1 = 0 ⇒ x = 1 (2º) Montando o quadro quociente: -4 1 ( f ) ( g ) f/g -4 1 Resolvendo a interseção das duas inequações temos: -4 1 2 S1 S2
S1 ∩ S2 -4 1 2 Solução final:
S= S1 ∩ S2 ={x∈IR/ x≤-4 ou x≥ 2}
01
4
01
132
01
)1(1)32(
1]1,)1[(
01
1
1
)32(
:º1/
1
11
32)
≥−
+
≥−
+−+
≥−
−−+
−=−
≥−−
+
≥−
+
x
x
x
xx
x
xx
xxMMCoCalculamos
x
x
membroop
númeroopassarVamos
x
xI
( f )
( g )
-4 +
-
1 +
-
+ + -
- + - - + +
S1
023) 2 ≤−+− xxII
Resolvendo a inequação do 2ª grau: (1º) Zerando a função -x²+3x-2 = 0 x' = 1 x” =2 (2º) Representação gráfica da função do 2º grau: 1 + 2 S2 - -
2) Se f a função real cujo gráfico se apresenta abaixo:
Analisando o gráfico, é VERDADEIRO afirmar que:
b) f( -2 ) ≥f(x), para todo x∈IR. (X) b) A imagem é IR c) f(3) = 2. e) f(0) = -2. e) f( -3 ) = f( 0 ).
Solução
Analisando cada item:
a) Verdadeiro, pois f(-2) =2 f(x) = y
f( -2 ) ≥f(x) implica em dizer 2≥y ou seja y≤2 o que é verdade pois a imagem da função
inicia em 2 e vai para -∞
b) Falso, pois como vimos no item anterior, a imagem é y≤2
c) Falso, pois f(3) = 1,5
d) Falso, pois f(0) = 2
e) Falso, pois f(-3) = 0 e f(0) = 2, portanto f(-3)≠f(0)
y
x 3 1 -2 -3 0
2
1
-2
1,5
- 0,5
3) A solução da inequação 05
62 2
≤−
−−
x
xx é:
a) (-∞,2
3− [∪[2,5[ b) (-∞,
2
3− ]∪[2,5[ (X)
c) (-∞,2
3− ]∪[2,5] d) (-∞,
2
3− ]∪]2,5[
e) (-∞,2
3− [∪]2,5[
Resolução: Vamos resolver a inequação quociente
05
62 2
≤−
−−
x
xx
(1º) Zerando as funções f e g com seus gráficos temos ( f ) 2x² -x - 6 = 0 + + -3/2 - 2 ( g) x - 5 = 0 + - 5 (2º) Montando o quadro quociente: -3/2 2 5 ( f ) ( g ) f/g -3/2 2 5
S= ]-∞, -3/2] ∪ [2 , 5[
( f ) ( g )
- + + - + - + - +
+ - -
4) O número de soluções naturais ( x∈IN ) que sejam soluções da inequação
(x – 4).(-x+3).(x - 6) ≥ 0 é
a) 1 b) 2 c) 4 d) 7 (X) e) 12
Resolução: Vamos resolver a inequação produto
(x – 4).(-x+3).(x - 6) ≥ 0 é
f g h (1º) Zerando as funções f , g, h com seus gráficos temos:
( f ) x-4 =0 ⇒ x=4 + - 4
( g) -x + 3 = 0 ⇒ x=3 + 3 -
( h) x - 6 = 0 ⇒ x=6 + - 6
(2º) Montando o quadro quociente: 3 4 6 ( f ) ( g ) ( h ) f.g.h 3 4 6
S={x∈IN/0≤x≤3 ou 4≤x≤6} IN 0 1 2 3 4 5 6 Total de números naturais da solução: 7
- + - - - + - - +
+ - -
+ + - -
5) O(s) número(s) inteiro(s) positivo(s) que é/são múltiplo(s) de 4 na solução da
inequação - x2 + 2
3.x +12 ≥ 0 é/são:
Use 25,50 =7
a) {0, 4, 8, 12} b) {0, 4, 8} c) {0, 4} d) {0, 12} e) {4} (X) Resolução: (1º) Zerando a função do 2º grau
-x²+2
3x+12 = 0
x' ≅ -2,79 x” ≅ 4,29 (2º) Representação gráfica da função do 2º grau: Solução em IN* 1 2 3 4 Múltiplo de 4 da solução é somente o número 4 Resposta: {4}
6) A solução da inequação 02
1<
+x é:
a) IR b) φ
c) (-∞,-2[ (X) d) (-∞,-2]∪]2, +∞[
e) (-∞,-2[∪]2, +∞[ Resolução:
02
1<
+x
−=−
+
x+2<0⇒ x<-2 -2
S= (∞ , -2 [
-2,79 4,29 +
- -
7) A solução da inequação x² ≤ 32 é:
24)
}2424/{)}22/{)
}2222/{)}2424/{)
±≤
≥−≤∈=≤≤−∈=
≤≤−∈=≤≤−∈=
xe
xouxIRxSdxIRxSc
xIRxSbxIRxSa
Resposta: A Resolução: x² -32 ≤ 0 (1º) Zerando a função do 2º grau x²-32 = 0
x' = -4 2 x” = 4 2 (2º) Representação gráfica da função do 2º grau:
}2424/{ ≤≤−∈= xIRxS
8) Esboçar o gráfico de f(x) = Ix – 4I.
<+−
≥−=
44
44)(
xsex
xsexxf
Desenvolvendo as tabelas para as funções I e II temos: I
f(x) = x-4 x≥4
II
f(x) = -x+4 x<4
x y x y 4 0 4 0 5 1 3 1 6 2 2 2 7 3 1 3
4 2 -4 2
+
-
+
( II )
( I )
x
y
9) Esboçar o gráfico de
Solução: Desenvolvendo as tabelas para as funções I e II III temos:
I
f(x) = 2 x≤ -1
II
f(x) = x² -1<x≤2
III
f(x) = x +3 x>2
x y x y x y -1 2 -1 1 2 5 -2 2 0 0 3 6 -3 2 1 1 4 7 -4 2 2 4 5 8 -5 . . .
-∞
2 . . . 2
6 . . .
+∞
9 . . .
+∞ Gráfico NOTA: Criação do gráfico pelo Software Geogebra: Digitamos na caixa de entrada: Se[x ≤ -1, 2, Se[-1<x≤2, x², Se[x >2, x+3]]]. ENTER. O gráfico já sai pronto.
Para colocar intervalo aberto e fechado no gráfico desta função pelo Geogebra procedemos da seguinte maneira:
Na segunda função criamos o ponto A=(-1 , 1) (pela caixa de entrada) que deve aparecer na cor azul, daí é só mudar para cor branca. Na segunda função criamos da mesma forma o ponto final B=(2 , 4). Clicamos com o mouse direito neste ponto e em propriedade mudamos o ponto B para cor vermelha (ou preta) para que o intervalo fique fechado no ponto B.
Para não aparecer o rótulo A ou B clique com o mouse direito no referido ponto e clique em Exibir Rótulo.
>+
≤<−
−≤
=
23
21
12
)( 2
xsex
xsex
xse
xf ( II )
( I )
( III )
x
y
10) Seja f(x)= 5x +1. Esboçar os gráficos de f(x) e f-1(x) num mesmo plano cartesiano. f-1(x)= função inversa de f(x) Solução: Para obter a função inversa de y 1º Passo: trocamos o y por x na função f(x) y = 5x+1 x = 5y +1 2º Passo: Isolamos o y (que será a nova função, ou seja, a função inversa pedida) 5y +1 = x 5y = x-1
5
1)(
5
1
1 −=
−=
− xxf
xy
A reta f é simétrica de f-1 em relação á bissetriz dos quadrantes ímpares.
x
y
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