UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
Ane Priscila Diel
ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM
LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA DE GRELHA E TABELAS
Santa Maria, RS
2018
Ane Priscila Diel
ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM LAJES
MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA
DE GRELHA E TABELAS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM – RS), como requisito parcial para obtenção do título de Engenheira Civil.
Orientador: Prof.º Dr.º Almir Barros da Silva Santos Neto
Santa Maria, RS 2018
Ane Priscila Diel
ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA
DE GRELHA E TABELAS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM – RS), como requisito parcial para obtenção do título de Engenheira Civil.
Aprovado em 12 de Julho de 2018:
__________________________________________________ Almir Barros da Silva Santos Neto, Prof. Dr. (UFSM)
(Presidente/Orientador)
__________________________________________________ André Lübeck, Prof. Dr. (UFSM)
__________________________________________________ Larissa Degliuomini Kirchhof, Prof. Dra. (UFSM)
Santa Maria, RS 2018
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, Sandra e Adilson, pelo incondicional apoio durante toda a
graduação. Respeitando e entendendo minhas decisões durante esse período,
sempre me incentivando a buscar a realização dos meus sonhos e sendo sempre
minhas grandes inspirações e exemplos de vida. A vocês, meu muito obrigada!
Aos meus irmãos, Sara, Lauren, Igor, Gabriel e Andressa, e demais familiares
por todo apoio e momentos especiais compartilhados.
Aos meus colegas e amigos do curso, por todo companheirismo durante essa
caminhada, compartilhando além das preocupações da faculdade uma forte amizade.
Em especial à Carine, Ticiana, Larissa, Paola, Thaís, Criziéli, Caroline, Manoela,
Henrique e Fernanda, com certeza a companhia de vocês foi fundamentl durante essa
trajetória.
Às minhas amigas de infância e do coração, Ana, Stephanie, Gabriela, Júlia,
Bianca, Marina, Juliane e Camila, por toda parceria de sempre. Obrigada pela
amizade, apoio, carinho e pelos momentos de descontração. Ao meu namorado Bruno
pela parceria, carinho e pela paciência durante os momentos de angústia e estresse
desse final de graduação.
A todos os professores que contribuíram para minha formação acadêmica, em
especial ao orientador Almir Barros da Silva Santos Neto, por todos os conhecimentos
compartilhados, pela paciência e ajuda durante a realização desse trabalho.
Aos colegas da Sarkis Engenharia Estrutural Luciana, Thiago, Mateus, Paulo,
Cássio, por todos ensinamentos compartilhados e por estarem sempre dispostos a
me ajudar.
Enfim, a todos que de alguma maneira participaram da realização desse
trabalho e para minha formação.
RESUMO
ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA
DE GRELHA E TABELAS
AUTORA: Ane Priscila Diel ORIENTADOR: Almir Barros da Silva Santos Neto
O presente trabalho visa analisar e comparar os esforços e deslocamentos em lajes
maciças de concreto armado por meio de tabelas e do método da analogia de grelha.
Foi analisada a planta do pavimento de um edifício e determinados os momentos
fletores e flechas máximos utilizando as tabelas propostas por Bares, Czerny, Araújo,
Montoya e Marcus, além de realizada a modelagem do pavimento no software SAP
2000. A modelagem foi feita para dois diferentes casos: o primeiro considerando
apoios indeformáveis, a fim de simular as condições estabelecidas pelas tabelas, e o
segundo com apoios deformáveis, com o intuito de verificar uma situação mais
próxima da realidade. Através da análise dos resultados percebeu-se que, tanto para
os momentos quanto para os deslocamentos, não houve grandes variações nos
valores obtidos entre as tabelas. No entanto, quando comparadas com os modelos
baseados na analogia de grelha, a divergência dos resultados mostrou-se mais
considerável. De maneira geral, os momentos positivos obtidos considerando apoios
indeformáveis foram inferiores aos obtidos através das tabelas, enquanto que o
modelo com apoios deformáveis apresentou valores superiores na direção do maior
vão. Para os momentos negativos, ambas as modelagens apresentaram valores
inferiores que os encontrados a partir da utilização das tabelas. Já a análise dos
deslocamentos mostrou que considerando apoios deformáveis obtém-se valores
consideravelmente superiores aos indeformáveis. Dessa forma, os resultados
mostraram que, apesar de viável a utilização das tabelas para casos isolados, é
importante a utilização de métodos que considerem a interação dos diferentes
elementos de um pavimento para melhor determinação dos esforços e flechas.
Palavras-chave: Lajes. Momentos fletores. Flechas. Tabelas. Analogia de grelha.
ABSTRACT
COMPARATIVE ANALYSIS OF EFFORTS AND DISPLACEMENTS IN
REINFORCED CONCRETE SLABS BY GRILLAGE ANALOGY AND TABLES
AUTHOR: Ane Priscila Diel ADVISER: Almir Barros da Silva Santos Neto
The present work aims to analyze and compare the efforts and displacements in
reinforced concrete slabs using tables and grillage analogy method. A building floor
was analyzed and determined the maximum bending moments and deflections using
the tables compiled by Bares, Czerny, Araújo, Montoya and Marcus, in addition to the
pavement modelling in SAP 2000 software. The modelling was done for two different
cases: the first considering indeformable supports, in order to simulate the conditions
stablished by the tables, and the second one with deformable supports, to verify a
situation closer to reality. Through the analysis of the results it was noticed that both
for the moments and the displacements, there were not great variations in the values
obtained by the tables. However, when compared to the modellings based on grillage
analogy the results showed a more considerable divergence. In general, the positive
moments obtained by the indeformable supports modelling were lower than the ones
by the tables, while the deformable supports modelling presented higher values for the
long direction. For the negative moments, both modellings presented lower results than
the ones from the tables. The displacements analysis showed that considering
deformable supports the results are considerably superior to the indeformable ones.
Therefore, the results showed that although the using of the tables is viable, it is
important to use methods that considerate the complete interaction of the different
elements in the pavement in order to obtain better results to efforts and displacements
in slabs.
Keywords: Slabs. Bending moments. Displacements. Tables. Grillage analogy.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Elemento linear ......................................................................................... 16
Figura 2 - Elemento de superfície ............................................................................. 16
Figura 3 - Elemento tridimensional ............................................................................ 17
Figura 4 - Laje armada em uma direção ................................................................... 20
Figura 5 - Laje armada em duas direções ................................................................. 20
Figura 6 - Convenção da representação das condições de apoio das lajes ............. 21
Figura 7 - Lajes adjacentes com espessuras diferentes ........................................... 23
Figura 8 - Lajes adjacentes com descontinuidade no apoio comum ......................... 23
Figura 9 - Lajes adjacentes com momentos negativos diferentes ............................. 24
Figura 10 - Classe de agressividade ambiental (Tabela 6.1 da NBR 6118:2014) ...... 26
Figura 11 - Cobrimento nominal relacionado a classe de agressividade ambiental
(Tabela 7.2 da NBR 6118:2014) ................................................................................ 27
Figura 12 - Altura útil para lajes maciças ................................................................... 27
Figura 13 - Lajes armadas em uma direção .............................................................. 30
Figura 14 – a) Elemento de placa; b) Deformada da placa; c) Equilíbrio dos esforços
internos. .................................................................................................................... 34
Figura 15 - Aproximação de função para malha unidimensional ............................... 38
Figura 16 - Malha de diferenças finitas - caso bidimensional .................................... 39
Figura 17 - Ponto (m,n) malha de diferenças finitas .................................................. 40
Figura 18 - Laje simplesmente apoiada .................................................................... 41
Figura 19 - Possibilidades de vinculação das lajes ................................................... 45
Figura 20 - Malha de grelha equivalente ................................................................... 47
Figura 21 - Pavimento modelo .................................................................................. 52
Figura 22 - Vinculação das lajes ............................................................................... 54
Figura 23 - Deformada do pavimento – Apoios indeformáveis .................................. 56
Figura 24 - Deformada do pavimento – Apoios deformáveis .................................... 56
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Momentos positivos L1 ............................................................................ 57
Gráfico 2 - Momentos positivos L2 ............................................................................ 57
Gráfico 3 - Momentos positivos L3 ............................................................................ 58
Gráfico 4 - Momentos positivos L4 ............................................................................ 58
Gráfico 5 - Momentos positivos L5 ............................................................................ 58
Gráfico 6 - Momentos positivos L6 ............................................................................ 59
Gráfico 7 - Momentos positivos L7 ............................................................................ 59
Gráfico 8 - Momentos positivos L10 .......................................................................... 59
Gráfico 9 - Momentos positivos L11 .......................................................................... 60
Gráfico 10 - Momentos positivos L12 ........................................................................ 60
Gráfico 11 - Momentos positivos L13 ........................................................................ 60
Gráfico 12 - Momentos negativos L1 ......................................................................... 62
Gráfico 13 - Momentos negativos L2 ......................................................................... 62
Gráfico 14 - Momentos negativos L3 ......................................................................... 62
Gráfico 15 - Momentos negativos L4 ......................................................................... 63
Gráfico 16 - Momentos negativos L5 ......................................................................... 63
Gráfico 17 - Momentos negativos L6 ......................................................................... 63
Gráfico 18 - Momentos negativos L7 ......................................................................... 64
Gráfico 19 - Momentos negativos L10 ....................................................................... 64
Gráfico 20 - Momentos negativos L11 ....................................................................... 64
Gráfico 21 - Momentos negativos L12 ....................................................................... 65
Gráfico 22 - Momentos negativos L13 ....................................................................... 65
Gráfico 23 - Flechas L1 ............................................................................................. 66
Gráfico 24 - Flechas L2 ............................................................................................. 66
Gráfico 25 - Flechas L3 ............................................................................................. 67
Gráfico 26 - Flechas L4 ............................................................................................. 67
Gráfico 27 - Flechas L5 ............................................................................................. 67
Gráfico 28 - Flechas L6 ............................................................................................. 68
Gráfico 29 - Flechas L7 ............................................................................................. 68
Gráfico 30 - Flechas L10 ........................................................................................... 68
Gráfico 31 - Flechas L11 ........................................................................................... 69
Gráfico 32 - Flechas L12 ........................................................................................... 69
Gráfico 33 - Flechas L13 ........................................................................................... 69
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Classificação das lajes do pavimento. ..................................................... 52
Quadro 2 – Carregamentos ....................................................................................... 53
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................. 12 1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ....................................................................... 12 1.2. JUSTIFICATIVA ............................................................................................ 13
1.3. OBJETIVOS ................................................................................................. 14 1.3.1. Objetivo geral ............................................................................................. 14 1.3.2. Objetivos específicos ................................................................................ 14 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................ 15 2.1. ELEMENTOS ESTRUTURAIS ..................................................................... 15
2.1.1. Elementos Lineares ................................................................................... 15
2.1.2. Elementos de Superfície ............................................................................ 16
2.1.3. Elementos de volume ................................................................................ 17 2.2. LAJES .......................................................................................................... 17 2.2.1. Tipos de lajes quanto à natureza .............................................................. 18 2.2.2. Classificação quanto ao tipo de apoio ..................................................... 19
2.2.3. Classificação quanto à armação ............................................................... 19 2.2.4. Vinculação nas bordas .............................................................................. 21
2.2.4.1. Bordos simplesmente apoiados .................................................................... 22
2.2.4.2. Bordos perfeitamente engastados ................................................................ 22
2.2.5. Vãos efetivos .............................................................................................. 24
2.2.6. Espessura ................................................................................................... 25 2.2.7. Cobrimento e altura útil ............................................................................. 25 2.2.8. Estudo das cargas ..................................................................................... 28
2.2.8.1. Cargas permanentes .................................................................................... 28
2.2.8.2. Cargas acidentais ......................................................................................... 29
2.2.8.3. Cargas excepcionais .................................................................................... 29
2.3. MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO DE LAJES ....................................... 29 2.3.1. Método plástico .......................................................................................... 30 2.3.2. Método elástico .......................................................................................... 31
2.4. TEORIA DE FLEXÃO DAS PLACAS............................................................ 32 2.4.1. Equação fundamental ................................................................................ 32
2.4.2. Condições de contorno ............................................................................. 35 2.4.3. Restrições da teoria ................................................................................... 35 2.5. MÉTODOS ELÁSTICOS DE CÁLCULO DE LAJES .................................... 36
2.5.1. Resolução por meio de séries .................................................................. 36 2.5.2. Método das diferenças finitas ................................................................... 38
2.5.3. Teoria das grelhas e método de Marcus .................................................. 41
2.5.3.1. Tabelas de Marcus ........................................................................................ 43
2.5.4. Método dos elementos finitos ................................................................... 43
2.5.5. Utilização de tabelas .................................................................................. 44
2.5.5.1. Tabelas de Bares .......................................................................................... 46
2.5.5.2. Tabelas de Araújo ......................................................................................... 46
2.5.5.3. Tabelas de Czerny ........................................................................................ 46
2.5.5.4. Tabelas de Montoya ...................................................................................... 46
2.5.6. Analogia de grelha ..................................................................................... 47
2.5.6.1. Rigidez à flexão ............................................................................................ 48
2.5.6.2. Rigidez à torção ............................................................................................ 49
2.5.6.3. Disposição da malha adotada ...................................................................... 50
3. METODOLOGIA ........................................................................................... 51
3.1. CARACTERÍSTICAS DA ESTRUTURA ....................................................... 51 3.2. PARÂMETROS ADOTADOS ........................................................................ 53 3.3. CARREGAMENTOS .................................................................................... 53 3.4. UTILIZAÇÃO DAS TABELAS ....................................................................... 54 3.5. MODELAGEM DO PAVIMENTO .................................................................. 55
4. ANÁLISE DOS RESULTADOS .................................................................... 56 4.1. MOMENTOS POSITIVOS ............................................................................ 57 4.2. MOMENTOS NEGATIVOS ........................................................................... 61 4.3. FLECHAS ..................................................................................................... 66 5. CONCLUSÃO............................................................................................... 71
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 73
ANEXO A – TABELAS DE MARCUS ....................................................................... 75
ANEXO B – TABELAS DE BARES .......................................................................... 77
ANEXO C – TABELAS DE ARAÚJO ....................................................................... 82
ANEXO D – TABELAS DE CZERNY ........................................................................ 86
ANEXO E – TABELAS DE MONTOYA ..................................................................... 90
12
1. INTRODUÇÃO
1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Um dos maiores desafios no dimensionamento de um edifício é a elaboração
de um projeto eficiente, seguro e econômico. Para isso, é necessário que o
profissional possua um bom entendimento do comportamento da estrutura e da
interação entre os elementos estruturais que a compõem. Dentre esses elementos
principais, a análise das lajes é de fundamental importância para a obtenção de um
bom projeto, visto que essas são responsáveis pela distribuição primária das cargas
de utilização atuantes no pavimento e apresentam alto consumo de concreto,
impactando de forma significativa no custo da edificação.
A teoria fundamental desenvolvida para a análise das lajes, conhecida como
teoria das placas, baseia-se em princípios da teoria da elasticidade e possibilita
determinar os esforços e deslocamentos em pontos no interior da laje através de uma
equação fundamental. No entanto, o cálculo por esse método torna-se mais
trabalhoso de realizar para execução de um projeto devido a sua complexidade e ao
grande tempo demandado para sua resolução. Com o intuito de facilitar o
dimensionamento e tornar viável essa análise, foram desenvolvidos métodos
aproximados de cálculo que permitem a obtenção dos momentos fletores, reações de
apoio e flechas de forma mais objetiva e simplificada (ARAÚJO, 2014).
Embora permitam o cálculo de forma mais direta, esses métodos apresentam
diferentes limitações na sua aplicação. Uma vez que a análise das lajes é feita de
forma isolada, são restritas as opções de consideração das vinculações dessas com
os elementos adjacentes. Com isso, é ignorada a influência da flexibilidade dos
apoios, ocasionando na obtenção de esforços e deslocamentos que não coincidem
com os reais da estrutura (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015).
Contando com a evolução de recursos tecnológicos, foram desenvolvidos
algoritmos computacionais que possibilitam uma análise mais completa da estrutura
e das interações entre os elementos, possibilitando o melhor entendimento do real
comportamento estrutural e a otimização do processo de cálculo. Esses programas,
geralmente, baseiam-se sua análise no método dos elementos finitos e na analogia
de grelha.
13
Os programas de análise estrutural desenvolvidos permitem, além da análise
integral do pavimento, maior rapidez no dimensionamento. Também proporcionam
melhor tomada de decisões em relação a composição estrutural de uma edificação,
uma vez que é possível a verificação de diferentes situações de projeto em um mesmo
conjunto de dados com pequenas alterações. Com isso, o projetista é capaz de decidir
a melhor configuração do sistema estrutural da edificação em questão, conforme
especificações arquitetônicas, questões de segurança e economia (CARVALHO;
FIGUEIREDO FILHO, 2015).
Embora já estejam disponíveis esses recursos computacionais, os métodos
simplificados de dimensionamento das lajes permitem, de maneira geral, a obtenção
de uma estrutura segura e satisfatória (WHITE; GERGELY; SEXSMITH, 1972). Dessa
forma, esses métodos ainda são utilizados como recursos didáticos em escolas de
engenharia. Além disso, a sua resolução permite que o profissional obtenha uma
melhor compreensão do comportamento das placas, possibilitando que sejam
detectados possíveis erros gerados no modelo do programa utilizado.
Dessa forma, torna-se válido o estudo comparativo dos valores de esforços, e
deslocamentos obtidos por esses diferentes métodos de cálculo. Podendo assim,
analisar e compreender as possíveis diferenças geradas em cada método disponível,
visando a possibilidade de execução de projetos com melhor desempenho e que
correspondam com a realidade do comportamento da estrutura projetada.
Com esse intuito, o presente trabalho visa estabelecer os valores de reações
de apoio, momentos fletores e flechas através de diferentes métodos aproximados no
dimensionamento de um pavimento com lajes maciças de concreto armado. Serão
utilizadas diferentes tabelas baseadas na teoria fundamental das placas em regime
elástico bem como o cálculo por analogia de grelha, que será realizado com o auxílio
do software SAP2000. Além disso, será feita a análise e comparação dos resultados
obtidos a partir das diferentes metodologias de cálculo.
1.2. JUSTIFICATIVA
Visto que as lajes são elementos fundamentais numa estrutura, além de
apresentarem alto consumo de concreto, é necessário a obtenção dos esforços da
melhor maneira possível para elaboração de um projeto seguro e econômico. Com os
14
diferentes recursos e métodos aproximados disponíveis atualmente para o
dimensionamento de lajes maciças de concreto armado, torna-se fundamental a
análise e comparação dos resultados obtidos quando aplicados diferentes métodos
de dimensionamento, justificando a escolha do tema.
1.3. OBJETIVOS
1.3.1. Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo geral determinar e comparar os esforços e
deslocamentos verticais obtidos nas lajes do pavimento de um edifício através da
utilização de diferentes tabelas de cálculo e por analogia de grelha.
1.3.2. Objetivos específicos
a) Determinar os momentos fletores e flechas das lajes maciças de concreto armado
de um pavimento com a utilização das tabelas propostas por Marcus, Bares,
Czerny, Araújo e Montoya;
b) modelar o pavimento de um edifício com base no método da analogia de grelha e
determinar os momentos fletores e flechas das lajes;
c) analisar e comparar os resultados obtidos por cada método.
15
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Uma edificação é composta por um sistema estrutural, que corresponde a
determinada disposição dos elementos estruturais que a compõem. Essa disposição
deve ser definida pelo projetista de forma a atender os requisitos de projeto
arquitetônico. Os elementos estruturais têm a função de receber e transmitir as
solicitações da estrutura.
A classificação dos elementos estruturais básicos é feita baseada em sua
geometria e função estrutural, de acordo com a ABNT NBR 6118:2014. Tendo em
vista essas características, podem ser classificados como elementos lineares,
elementos de superfície ou elementos de volume.
2.1.1. Elementos Lineares
Os elementos lineares, também chamados de barras, são aqueles que
apresentam comprimento linear pelo menos três vezes maior que a maior dimensão
da seção transversal (Figura 1) (BASTOS, 2015).
As vigas e os pilares são os exemplos mais utilizados desse tipo de elemento.
As vigas são barras posicionadas horizontalmente ou inclinadas em que o principal
esforço solicitante é a flexão, podendo ser executadas de diferentes materiais, como
concreto, madeira ou metálicas e com diferentes seções. Já os pilares são elementos
dispostos na vertical nos quais o esforço principal atuante são forças normais de
compressão. Assim como as vigas, podem ser projetados com diferentes seções e
diferentes materiais, dependendo das determinações do projeto arquitetônico e de
questões de economia de material (NBR 6118:2014; BASTOS, 2015).
Outros exemplos de elementos lineares são os tirantes e os arcos. Os tirantes
atuam principalmente sob forças normais de tração, enquanto os arcos são elementos
curvos que apresentam forças normais de compressão preponderantes, “agindo ou
não simultaneamente com esforços solicitantes de flexão, cujas ações estão contidas
em seu plano” (NBR 6118:2014, p. 84).
16
Figura 1 - Elemento linear
Fonte: Bastos, 2015.
2.1.2. Elementos de Superfície
A NBR 6118:2014, item 14.4.2, define os elementos de superfície como aqueles
onde a espessura é pequena comparada às duas outras dimensões (comprimento e
largura), também podendo ser chamados de elementos bidimensionais.
Os elementos de superfície, quando planos, são chamados de placas ou
chapas, e quando curvos são nomeados de cascas. As placas e as chapas se diferem
pelo sentido do carregamento atuante. Nas placas, o carregamento é disposto
perpendicularmente ao seu plano (Figura 2), sendo a laje exemplo mais frequente
presente nas edificações. Por outro lado, nas chapas, as ações encontram-se contidas
no plano, ou seja, atuando paralelamente ao plano. Estas são bastante utilizadas em
paredes de reservatórios e em paredes de arrimo. Um caso especial de chapas são
as vigas-parede, que recebem essa denominação quando apresentam vão menor que
três vezes a maior dimensão da seção transversal (BASTOS, 2006).
Figura 2 - Elemento de superfície
Fonte: Bastos, 2015.
17
2.1.3. Elementos de volume
Bastos (2015) apresenta, além dos elementos lineares e bidimensionais, a
classificação em elementos tridimensionais, ou elementos de bloco ou volume. Nesse
caso, as três dimensões possuem a mesma ordem de grandeza (Figura 3). Os
elementos mais frequentes nas edificações são blocos de fundações e sapatas.
Figura 3 - Elemento tridimensional
Fonte: Bastos, 2015.
2.2. LAJES
Assim como os pilares e as vigas, as lajes são componentes básicos das estruturas
convencionais, sendo também chamadas de placas de concreto, como visto
anteriormente. As lajes desempenham função principal de receber e transmitir as
cargas de utilização para as vigas de apoio, estas transmitem as cargas para os
pilares que, por fim, transmitem para a fundação. Elas também atuam distribuindo as
ações horizontais nos elementos de contraventamento e, no caso de vigas T,
funcionando como mesa de compressão da seção (SOUZA; CUNHA, 1998).
Segundo Araújo (2014), as lajes apresentam carregamento predominantemente
transversal e são elementos planos bidimensionais possuindo a espessura h
relativamente inferior à largura e ao comprimento.
As lajes podem ser classificadas com base em diferentes critérios, conforme Souza
e Cunha (1998), de forma que um pavimento de edifício pode apresentar diferentes
tipos de laje, dependendo das considerações e escolha do projetista, como a mais
adequada para a situação. Dentre os critérios de classificação, encontram-se a forma
da estrutura, podendo esta ser poligonal ou elíptica e a natureza da laje, podendo
18
variar, assim, entre laje maciça, nervurada, lisa ou laje-cogumelo, como previsto na
NBR 6118:2014.
Também podem ser classificadas quanto ao tipo de armação. Essa classificação
depende da relação entre o menor e o maior vão da laje, podendo ser armada em
uma ou em duas direções. Por fim, as lajes são classificadas com base nas estruturas
em que elas se encontram apoiadas, podendo ser com apoio contínuo (sobre vigas,
paredes de alvenaria) ou com apoio discreto (diretamente sobre pilares).
2.2.1. Tipos de lajes quanto à natureza
Quando analisadas quanto à natureza, as lajes podem ser classificadas como
laje maciça, nervurada, lisa ou laje-cogumelo, conforme previsto na NBR 6118:2014.
A escolha da laje mais adequada a ser utilizada em uma determinada edificação é de
responsabilidade do projetista. Este deve garantir que a estrutura atenda ao projeto
arquitetônico, bem como a questões de segurança (ELU), conforto ao usuário (ELS)
e economia, podendo a decisão variar de acordo com a experiência do profissional
(SOUZA; CUNHA, 1998).
As lajes maciças são as mais utilizadas nas edificações que apresentam vãos
relativamente pequenos. Estas caracterizam-se por apresentar espessura uniforme e
existência de apoios ao longo do seu contorno (ARAÚJO, 2014).
As lajes nervuradas são compostas por uma mesa de concreto, localizada na
região comprimida, e nervuras na região tracionada. As nervuras devem obedecer ao
espaçamento recomendado pela NBR 6118:2014 e nelas são posicionadas as
armaduras de tração. Esse tipo de laje possibilita a redução do peso próprio da
estrutura quando comparadas com lajes maciças, uma vez que ocorre a retirada de
material da região tracionada. Por questões estéticas pode-se preencher o espaço
entre as nervuras com material inerte de baixo peso especifico ou ser feito
revestimento com forro. Esse tipo de laje é normalmente utilizado na existência de
grandes vãos, em geral superiores a oito metros.
Souza e Cunha (1998) apresentam dois outros tipos de lajes que, conforme
apresentado pelos autores, podem ser considerados casos especiais de lajes
nervuradas: as lajes em grelha e as lajes duplas. As lajes em grelha possuem
espaçamento entre as nervuras superior a um metro, sendo utilizadas em prédios
19
comerciais, como edifícios garagem, ou industriais. Já as lajes duplas são
caracterizadas pelo posicionamento das nervuras dar-se entre dois painéis de laje.
Por fim, quando as lajes se encontram apoiadas diretamente sobre pilares
podem ser classificadas como lajes lisas ou lajes-cogumelo. Essas diferem entre si
pela existência ou não de alargamento de seção na proximidade da ligação entre a
laje e o pilar. Esse engrossamento é chamado de capitel, e encontra-se presente nas
lajes-cogumelo, enquanto nas lajes lisas, o apoio dá-se diretamente sobre o pilar sem
o alargamento na seção. (HENNRICHS, 2003)
2.2.2. Classificação quanto ao tipo de apoio
As lajes podem apresentar dois principais tipos de apoio: contínuo e discreto.
Apoios contínuos ocorrem quando essas possuem vigas, alvenaria ou paredes de
concreto no seu contorno, enquanto apoio discreto ocorre quando estão apoiadas
diretamente sobre pilares. Se apoiadas sobre vigas, estas podem ser de concreto
armado, protendido, de madeira ou metálicas. Quando uma lateral da laje não está
sobre nenhum tipo de apoio, essa extremidade é chamada de bordo livre.
Um caso especial de apoio de lajes são aquelas em que o apoio é
“proporcionado por determinado trecho de sua área, que esteja em contato com o
solo” (SOUZA; CUNHA, 1998, p.23). Esse caso é utilizado em radiers, pistas de
aeroportos e de rodovias.
2.2.3. Classificação quanto à armação
Embora possam apresentar diferentes formas geométricas, as lajes
retangulares são mais frequentemente utilizadas nas edificações. Dentro desse tipo,
pode-se facilmente classificar as lajes quanto ao tipo de armação. Segundo Bastos
(2015, p.1), “uma classificação muito importante das lajes maciças é aquela referente
à direção ou direções da armadura principal. Existem dois casos: laje armada em uma
direção ou laje armada em duas direções”.
As lajes armadas em uma só direção apresentam uma das dimensões maior
que o dobro da outra, ou seja, a relação entre vãos é superior a 2, conforme mostrado
na Figura 4. Nesse tipo, a menor direção, também chamada de direção principal, é
responsável por suportar a maioria do carregamento, apresentando esforços
20
solicitantes importantes apenas na direção do vão menor. Seu dimensionamento é
feito supondo-se uma viga com largura de 1m na direção principal da laje (BOTELHO;
MARCHETTI, 2010).
Entretanto, embora sejam denominadas como armadas em uma só direção,
também apresentam armadura na direção secundária (maior vão). Em virtude de os
esforços solicitantes nessa direção serem desprezados no cálculo, adota-se armadura
de distribuição de acordo com as orientações previstas na NBR 6118:2014.
Figura 4 - Laje armada em uma direção
Fonte: Autora, 2018 (baseado em Araújo, 2014).
As lajes armadas em duas direções, ou armadas em cruz, apresentam relação
entre vãos menor ou igual a 2 (Figura 5). Por apresentarem solicitações importantes
nas duas direções, o dimensionamento de armadura é feito para os momentos
positivos do meio do vão em ambas as direções (SOUZA; CUNHA, 1998). O cálculo
dos esforços solicitantes e das flechas desse tipo de laje pode ser feito com o auxílio
de tabelas, como as propostas por Czerny e Bares (BOTELHO; MARCHETTI, 2010).
Figura 5 - Laje armada em duas direções
Fonte: Autora, 2018 (baseado em Araújo, 2014).
21
2.2.4. Vinculação nas bordas
Quando analisado o comportamento de uma estrutura de edificação de
concreto verifica-se que esta possui comportamento monolítico, ou seja, trata-se de
uma estrutura única e contínua. Entretanto, devido à complexidade de cálculo, para
realizar a análise da estrutura com essas condições, é necessário dispor de recursos
computacionais adequados (ARAÚJO, 2014).
Embora atualmente encontrem-se disponíveis esses recursos, determinadas
situações exigem a utilização de procedimentos tradicionais de cálculo, nos quais os
elementos de laje de um pavimento são analisados de forma isolada. Nessa situação,
torna-se necessário a utilização de simplificações para determinar a vinculação dos
elementos de placa com os elementos adjacentes. Dessa forma, os bordos das lajes
de um pavimento podem ser considerados como perfeitamente engastados,
simplesmente apoiados ou como bordo livre (ARAÚJO, 2014). São adotadas as
representações da Figura 6 para representar as condições de apoio das lajes.
Figura 6 - Convenção da representação das condições de apoio das lajes
Fonte: Bastos, 2015.
Essas simplificações causam divergências entre os valores calculados dos
esforços e os valores reais, uma vez que a probabilidade de ocorrência das condições
consideradas é baixa. Souza e Cunha (1998) ressaltam a importância da análise do
grau desse erro, a qual deve ser feita pelo projetista de modo que não sejam
comprometidas a segurança e economia da edificação. Segundo os autores, quando
considerados bordos externos como simplesmente apoiados, o erro cometido é da
ordem de 10%, enquanto na consideração de bordos internos como engastamento
perfeito esse erro é de 5%.
Quando analisados bordos livres, não há ocorrência de erro quando feita a
simplificação. Isso ocorre devido ao fato de que, não havendo ligação com estruturas
22
adjacentes, não há ocorrência de esforços (momentos fletores, torçores e esforços
cortantes) naquele bordo. Consequentemente, o que é adotado na simplificação está
de acordo com o que acontece na realidade. Dessa forma, como os erros não
ultrapassam a ordem de 10%, é viável a utilização das aproximações na vinculação
das lajes sem que haja comprometimento da eficiência da estrutura (SOUZA E
CUNHA, 1998).
2.2.4.1. Bordos simplesmente apoiados
São considerados bordos com apoio simples aqueles que não possuem laje
adjacente. Nesse caso, é desprezado o engastamento existente entre a viga e a laje.
Com isso, admite-se que a viga não impede a deformação da laje, considerando o
bordo com rotação livre (BOTELHO, MARCHETTI, 2010).
2.2.4.2. Bordos perfeitamente engastados
O engaste perfeito é adotado quando ocorre a existência de continuidade com
lajes vizinhas ou no caso de lajes em balanço, frequentemente utilizadas em
marquises e sacadas (BASTOS, 2015).
Conforme apresentado por Carvalho e Figueiredo Filho (2015), é necessário
cuidado no emprego dessa condição, uma vez que a laje adjacente pode não possuir
condições adequadas, como rigidez ou espessura, para impedir a rotação da laje em
questão, conforme ilustrado na Figura 7. Isso pode ocorrer também quando há
descontinuidade no apoio na borda comum (Figura 8).
Em geral, cabe ao projetista avaliar qual a escolha de vinculação mais
adequada para cada caso. Carvalho e Figueiredo Filho (2015) recomendam que seja
feita a análise de ambas as situações, ou seja, considerando o bordo como
simplesmente apoiado e engastado, adotando-se os valores de esforços menos
favoráveis para os momentos negativos e positivos obtidos.
23
Figura 7 - Lajes adjacentes com espessuras diferentes
Fonte: Bastos, 2015.
Figura 8 - Lajes adjacentes com descontinuidade no apoio comum
Fonte: Bastos, 2015.
Para o caso de descontinuidade no apoio, Bastos (2015) aponta as seguintes
simplificações que podem ser adotadas na determinação da vinculação:
- se 𝑎 ≥2
3𝐿 : laje L1 pode ser considerada engastada na laje L2;
- se 𝑎 <2
3𝐿 : laje L1 apresenta borda simplesmente apoiada.
Em ambos os casos, considera-se a laje L2 engastada na laje L1.
Além disso, no caso de lajes contínuas, como a análise de cada elemento é
feita de forma isolada, quando considerado perfeitamente engastado o bordo comum
entre duas lajes apresentará valores diferentes para o momento negativo (Figura 9).
Diante disso, é necessário fazer a compatibilização dos momentos naquele bordo,
uma vez que não é possível determinar o valor real do momento no apoio em questão.
24
Para a compatibilização, recomenda-se adotar o maior valor entre a média dos
momentos negativos e 80% do maior momento (ARAÚJO, 2014).
Quando feita essa compatibilização dos momentos negativos é necessário
analisar o valor do momento positivo na respectiva direção. Recomenda-se que seja
feita a correção do valor nos casos em que a compatibilização provoca aumento no
momento positivo. Quando ocorre a diminuição do momento, por questões de
segurança ignora-se tal alteração (PINHEIRO, 2007).
Figura 9 - Lajes adjacentes com momentos negativos diferentes
Fonte: Bastos, 2015.
2.2.5. Vãos efetivos
De acordo com a NBR 6118:2014, os vãos efetivos das lajes, quando
considerados apoios suficientemente rígidos quanto à translação vertical, devem ser
calculados pela Equação (1):
𝑙𝑒𝑓 = 𝑙𝑜 + 𝑎1 + 𝑎2 (1)
Para os valores de 𝑎1 e 𝑎2 deve ser adotado o menor valor entre a distância até
o centro do apoio correspondente e 30% da espessura da laje. Desse modo, torna-se
desnecessário a utilização de valor maior que o vão livre (𝑙𝑜 ) acrescido de 60% da
espessura da laje, onde vão livre equivale à distância entre as faces internas dos
apoios. No caso de lajes contínuas, deve-se considerar a espessura do painel de laje
em questão.
25
2.2.6. Espessura
A NBR 6118:2014, item 13.2.4.1, prevê os seguintes valores como mínimos
para a espessura das lajes:
a) 7 cm para cobertura não em balanço;
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;
c) 10 cm para lajes em balanço;
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30
kN;
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de 𝑙/42
para lajes de piso biapoiadas e 𝑙/42 para lajes de piso continuas;
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel.
Além disso, deve-se considerar um coeficiente adicional 𝛾𝑛 para os esforços
solicitantes no cálculo de lajes em balanço, definido pela Equação (2) conforme a
espessura ℎ da laje (expressa em centímetros).
𝛾𝑛 = 1,95 − 0,05. ℎ (2)
Segundo Campos Filho (2014), “as lajes devem ter uma espessura tal que
atendam a verificação do estado limite de serviço de deformações excessivas”. Desse
modo, caso a verificação não seja atendida com a espessura inicialmente
estabelecida, deve-se adotar espessura maior até que atenda a mesma.
2.2.7. Cobrimento e altura útil
Para garantia de boa durabilidade da edificação é imprescindível boa qualidade
do concreto a ser utilizado, bem como adequada espessura de cobrimento das
armaduras, conforme ressaltado na NBR 6118:2014. Com o intuito de garantir essa
durabilidade, a referida norma estabelece valores recomendados para o cobrimento
nominal, os quais variam conforme a classe de agressividade ambiental (Figura 10)
do local.
26
Figura 10 - Classe de agressividade ambiental (Tabela 6.1 da NBR 6118:2014)
Fonte: NBR 6118:2014.
O cobrimento nominal (𝑐𝑛𝑜𝑚) é equivalente ao cobrimento mínimo (𝑐𝑚𝑖𝑛)
necessário para boas condições da estrutura acrescentado de um valor de tolerância
construtiva (∆𝑐), conforme Equação (3):
𝑐𝑛𝑜𝑚 = 𝑐𝑚𝑖𝑛 + ∆𝑐 (3)
O valor de tolerância ∆𝑐 recomendado é de 10 mm, podendo este ser reduzido
para 5 mm quando utilizado concreto com resistência maior que a exigência mínima.
Os valores mínimos recomendados para o cobrimento nominal em função da
classe de agressividade ambiental, conforme a NBR 6118:2014 estão apresentados
na Figura 11.
27
Figura 11 - Cobrimento nominal relacionado à classe de agressividade ambiental
(Tabela 7.2 da NBR 6118:2014)
Fonte: NBR 6118:2014
A partir do valor estabelecido para a espessura da laje (ℎ), do cobrimento
nominal (𝑐𝑛𝑜𝑚) e do diâmetro da armadura tracionada (Φ𝑙), pode-se determinar a
altura útil da laje conforme Equação (4). Entende-se como altura útil (𝑑), a distância
entre a face comprimida e o eixo da armadura tracionada, conforme representado na
Figura 12. Como no processo de dimensionamento essa armadura ainda é
desconhecida, costuma-se considerar barra com 10 mm de diâmetro.
𝑑 = ℎ − 𝑐 −
Φ𝑙
2
(4)
Figura 12 - Altura útil para lajes maciças
Fonte: Bastos, 2015.
28
2.2.8. Estudo das cargas
Souza e Cunha (1998) apontam que devem ser consideradas no cálculo de
uma edificação quaisquer ações que possam produzir esforços significativos na
estrutura. Essas ações são apresentadas na NBR 6118:2014, bem como na NBR
8681:2004 e NBR 6120:1980.
Segundo a NBR 6120:1980, as ações em determinada estrutura podem ser
classificadas como permanentes e acidentais. Souza e Cunha (1998) ressaltam a
incompatibilidade de uma classificação tão simplista para as cargas atuantes em uma
edificação, dado a complexidade dos projetos estruturais. Defendem, ainda, uma
classificação de forma mais específica, como pode ser vista na NBR 6118:2014 e na
NBR 8681:2004.
Essas normas também dividem as cargas em permanente e acidental, no
entanto, apresentam subdivisões nas mesmas, além de introduzir a possibilidade de
ocorrência de cargas excepcionais. Segundo a NBR 6118:2014, as ações
permanentes podem ser subdivididas em ações diretas, as quais abrangem o peso
próprio da estrutura, de elementos construtivos e de instalações permanentes; e
ações indiretas, que incluem efeitos de retração e fluência do concreto, imperfeições,
entre outras. As ações acidentais, chamadas na referida norma de ações variáveis,
também se subdividem em diretas e indiretas. As diretas referem-se as cargas móveis,
ação do vento e ação da água (no caso de reservatórios, tanques, etc.), enquanto as
ações indiretas ocorrem devido a variações térmicas e dinâmicas.
No presente trabalho, serão adotadas as denominações de carga permanente,
carga acidental e carga total atuantes, conforme definições previstas na NBR
6120:1980.
Dessa forma, entende-se como carga atuante a ser utilizada no cálculo da
estrutura, chamada carga total (p), o resultado da soma das cargas permanentes e
acidentais consideradas, conforme Equação (5).
𝑝 = 𝑔 + 𝑞 (5)
2.2.8.1. Cargas permanentes
Entendem-se como cargas permanentes (g) de uma edificação aquelas que
sofrem pouca variação ao longo da vida útil da estrutura. Estão compreendidas nessa
29
classificação as cargas devido ao peso próprio da edificação, e sobrecargas fixas, tais
como paredes divisórias, revestimentos e enchimentos (SOUZA; CUNHA, 1998). A
NBR 6120:1980 apresenta tabela com o peso específico a ser considerado dos
materiais de construção mais utilizados.
2.2.8.2. Cargas acidentais
As cargas acidentais (q), também chamadas de cargas de utilização, possuem
ação variável ao longo da vida da estrutura e seu valor a ser considerado depende da
finalidade da edificação. Nessa classificação, estão previstos carregamentos devido
ao peso de móveis, pessoas, veículos e demais equipamentos existentes ao longo da
vida útil da estrutura. A NBR 6120:1980 apresenta os valores mínimos de referência
que devem ser utilizados como carga acidental nas edificações.
2.2.8.3. Cargas excepcionais
As cargas excepcionais são consideradas apenas em determinadas situações.
Esse tipo de carregamento apresenta baixa probabilidade de ocorrência e, quando
ocorrem, possuem curta duração. Essas cargas são ocasionadas por incêndios,
sismos, explosões ou choques de veículos, e sua consideração deve ser feita com
base nas normativas brasileiras específicas para cada situação, conforme orientado
pela NBR 6118:2014.
2.3. MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO DE LAJES
O cálculo de lajes se difere para cada tipo. No caso de lajes maciças, o
dimensionamento depende da classificação da laje quanto ao tipo de armação.
Nas lajes armadas em uma só direção, é necessário determinar o valor dos
esforços apenas na direção principal (menor vão), conforme visto anteriormente.
Nesse caso, a análise é feita considerando a laje como uma viga com largura de um
metro (ARAÚJO, 2014). Devem ser analisadas as vinculações das lajes nas estruturas
adjacentes e determinados os carregamentos (permanente e acidental) atuantes na
laje. A Figura 13 mostra um exemplo de laje armada em uma só direção, com as
30
diferentes possibilidades de vinculação, bem como a viga equivalente considerada
para o cálculo dos esforços.
Figura 13 - Lajes armadas em uma direção
Fonte: Araújo, 2014, p. 14.
No caso de lajes armadas em duas direções essa analise torna-se mais
complexa, conforme ressalta Araújo (2014). Para estas, devem ser analisados os
momentos em ambas as direções. Devido a essa maior complexidade, foram
desenvolvidos métodos de cálculo simplificados para facilitar o processo de
dimensionamento.
A NBR 6118:2014 prevê a possibilidade de análise de placas de concreto por
métodos elásticos (com ou sem aproximação) e método plástico. Embora cada
método apresente suas limitações e deficiências, Araújo (2014) ressalta que ambos
têm se mostrados eficientes, visto a boa qualidade de estruturas antigas, cujos
projetos foram desenvolvidos com base em métodos simplificados, quando inexistiam
recursos computacionais que permitissem analise da estrutura de forma mais
completa.
2.3.1. Método plástico
O método plástico, também conhecido como método das linhas de ruptura,
baseia sua análise em um comportamento rígido-plástico do material,
desconsiderando suas deformações elásticas, buscando identificar a maneira com
31
que a laje chega ao colapso (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015). Para isso, é
utilizada a teoria das charneiras plásticas.
Na teoria das charneiras plásticas são determinados os momentos de
plastificação da laje, que corresponde ao valor do início do escoamento da armadura
de tração. Considera-se esse valor como sendo constante durante a deformação
plástica da peça. As chamadas ‘charneiras’ são formadas de acordo com ‘linhas’ de
plastificação, correspondendo aos locais onde o momento de plastificação é atingido.
Configurando-se, assim, a ruina da laje (LANGENDONCK, 1970). A configuração
dessas linhas depende da vinculação no bordo da laje e do formato geométrico da
mesma, tornando complexo sua determinação quando se trata de laje que não possui
formato retangular. A variedade de configurações possíveis para os diferentes
formatos de lajes pode ser encontrada na bibliografia de Langendonck (1970).
A fim de facilitar os cálculos e tornar possível a utilização da teoria, a NBR
6118:2014 estabelece as seguintes aproximações permitidas para o posicionamento
das linhas de ruptura:
a) 45º entre dois apoios do mesmo tipo;
b) 60º a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado
simplesmente apoiado;
c) 90º a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
2.3.2. Método elástico
O método elástico, denominado na NBR 6118:2014 como método linear,
considera o material em estado não fissurado e com comportamento elástico-linear.
Esse método baseia-se nas “equações de equilíbrio de um elemento infinitesimal de
placa e nas relações de compatibilidade das deformações do mesmo”, conforme
definido por Carvalho e Figueiredo Filho (2015, p. 321). Essas equações e relações
fundamentam-se em conceitos e determinações da teoria da elasticidade.
Na utilização desse método de análise, são feitas considerações em relação ao
material, a fim de permitir a aplicação de simplificações de cálculo. Embora o concreto
armado seja um material heterogêneo (constituído de aço e concreto), deve-se
considerá-lo como material homogêneo. Também deve ser considerado como
fisicamente linear, ou seja, admitindo-se relação linear entre tensões e deformações;
e isótropo, apresentando mesmas propriedades em todas as direções.
32
Outra consideração é em relação à elasticidade do material, admitindo que
esse retorne ao estado inicial quando não mais aplicadas cargas sobre ele. Além
disso, para possibilitar a aplicação da teoria de superposição de efeitos, considera-se
a placa com pequenas deformações (CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO, 2015).
Diferentes processos para a determinação dos esforços e deslocamentos em
placas de concreto foram desenvolvidos a partir da análise elástica da estrutura.
Dentre eles podem-se destacar a teoria das grelhas, teoria de flexão das placas,
analogia de grelha equivalente, método das diferenças finitas e método dos elementos
finitos (ARAÚJO, 2014).
2.4. TEORIA DE FLEXÃO DAS PLACAS
A teoria de flexão das placas finas foi desenvolvida com base em
considerações da teoria da elasticidade para um corpo tridimensional quando
submetido a ações externas. Também, para o desenvolvimento da teoria, são
admitidas as seguintes hipóteses para placas finas com pequenas deflexões da Teoria
de Kirchhoff, conforme Araújo (2014):
a) o material de placa é elástico linear, homogêneo e isotrópico;
b) a espessura da placa é pequena em relação às outras dimensões;
c) as deflexões são pequenas em relação à espessura da placa;
d) as rotações da superfície média transformada são pequenas em relação à
unidade;
e) linhas retas, inicialmente normais à superfície média, permanecem retas e
normais à superfície média após as deformações;
f) as deflexões da placa são normais ao plano indeformado inicial;
g) as tensões normais à superfície média são desprezíveis.
2.4.1. Equação fundamental
Considera-se um elemento de placa submetido a uma carga distribuída 𝑝 (𝑥, 𝑦),
aplicada transversalmente ao plano médio, conforme Figura 14a.
Admitindo-se a deformada da placa em uma seção paralela ao eixo x (Figura
14b), é possível representar a relação entre as deformações e os deslocamentos
verticais 𝑤, conforme as equações a seguir (PINHEIRO, 1988).
33
𝑚𝑥 = −𝐷(
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2+ 𝜈.
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2)
(6)
𝑚𝑦 = −𝐷(
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2+ 𝜈.
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2)
(7)
𝑚𝑥𝑦 = −𝐷(1 − 𝜈)
𝜕2𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
(8)
𝑣𝑥 = −𝐷
𝜕
𝜕𝑥(𝜕2𝑤
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2)
(9)
𝑣𝑦 = −𝐷
𝜕
𝜕𝑦(𝜕2𝑤
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2)
(10)
Onde:
𝑚𝑥 = momento fletor na direção x (em torno de y);
𝑚𝑦 = momento fletor na direção y (em torno de x);
𝑚𝑥𝑦 = momento torçor;
𝑣𝑥 = esforço cortante na direção x;
𝑣𝑦 = esforço cortante na direção y.
𝐷 = rigidez à flexão da placa, dada por 𝐷 = 𝐸.ℎ³
12.(1−𝜈2)
Com base nas hipóteses anteriormente citadas, o equilíbrio de um elemento
infinitesimal de placa é determinado a partir dos esforços internos atuantes -
momentos fletores 𝑚𝑥 e 𝑚𝑦, momentos torçores 𝑚𝑥𝑦 e 𝑚𝑦𝑥 e esforços cortantes 𝑣𝑥 e
𝑣𝑦, conforme representado na Figura 14c.
34
Figura 14 – a) Elemento de placa; b) Deformada da placa; c) Equilíbrio dos esforços
internos.
Fonte: Madureira, Medeiros e Silva, 2017.
A partir do equilíbrio dos esforços e das relações das equações (6) a (10), é
possível determinar a equação fundamental das placas delgadas (Equação (11)).
𝜕4𝑤
𝜕𝑥4+ 2.
𝜕4𝑤
𝜕𝑥2𝜕𝑦2+
𝜕4𝑤
𝜕𝑦4=
𝑝(𝑥, 𝑦)
𝐷
(11)
Onde:
𝑤 = deslocamento vertical
𝑥, 𝑦 = coordenadas de um ponto da placa
𝑝 = carga distribuída atuante
𝐷 = rigidez à flexão da placa
𝐸 = módulo de elasticidade do material
𝜈 = coeficiente de Poisson
A Equação (11), diferencial de quarta ordem, não-homogênea, é conhecida
como equação de Lagrange, sendo válida para placas com rigidez à flexão constante
(ARAÚJO, 2014). É possível observar, a partir dessa equação, que os deslocamentos
da placa dependem das dimensões da mesma, do carregamento, do módulo de
elasticidade, da espessura da placa, do coeficiente de Poisson e das condições de
contorno.
A solução da equação de Lagrange pode ser obtida através do método de
Navier ou método de Lévy, ambos baseados em expansões em série de Fourier,
permitindo a determinação dos esforços e deslocamentos de um elemento de placa.
No entanto, trata-se de um processo de cálculo trabalhoso e complexo, além de sua
35
aplicação ser bastante restrita, uma vez que as soluções só podem ser utilizadas para
poucos casos de formas e condições de contorno da placa. Em vista disso, diversos
autores apresentaram em suas bibliografias tabelas com cálculos aproximados que
possibilitam essa determinação de forma mais rápida e simples.
2.4.2. Condições de contorno
É necessário estabelecer duas condições de contorno para a resolução da
equação diferencial já que esta é de quarta ordem. Essas condições dependem dos
tipos de apoio da placa. Para exemplificar as condições, será considerada uma borda
reta paralela ao eixo y (PINHEIRO, 1988).
No caso de borda simplesmente apoiada consideram-se nulos o deslocamento
e o momento, ou seja:
𝑤 = 0 ; 𝑚𝑥 = −𝐷 (
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2+ 𝜈.
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2) = 0
(12)
Para bordo engastado, a flecha e a rotação são consideradas nulas, portanto:
𝑤 = 0 ;
𝜕𝑤
𝜕𝑥= 0
(13)
Por fim, no caso de bordo livre, os esforços solicitantes (o momento 𝑚𝑥 e a
reação) no bordo são nulos:
𝑚𝑥 = 0 ; 𝑣𝑥 −
𝜕𝑚𝑥𝑦
𝜕𝑦= 0
(14)
2.4.3. Restrições da teoria
Conforme citado por Araújo (2014), torna-se necessário a aplicação de algumas
condições para que sejam válidas as soluções da teoria das placas. Dentre essas
condições, destacam-se a consideração de apoios rígidos, emprego de armaduras de
canto e consideração de cargas parcialmente distribuídas para o cálculo das vigas de
apoio.
A necessidade de considerar apoios rígidos deve-se ao fato de que, na teoria
das placas, é considerado deslocamento vertical nulo no contorno. Na prática, essa
consideração só é verificada quando as lajes estão apoiadas em paredes de alvenaria,
não se adequando à maioria dos casos, nos quais as lajes apoiam-se em vigas pouco
rígidas. Com isso, os valores reais das flechas e momentos fletores positivos da laje
36
são maiores que os calculados pela teoria das placas, enquanto os momentos fletores
negativos e momentos torçores são menores.
Quanto à necessidade de armaduras de canto, esta deve-se ao fato de que,
quando considerados apoios rígidos, se considera a integralidade da rigidez à torção
da placa. Dessa forma, são importantes os momentos torçores nos cantos
simplesmente apoiados (ARAÚJO, 2014).
2.5. MÉTODOS ELÁSTICOS DE CÁLCULO DE LAJES
A partir das equações fornecidas pela teoria das placas é possível determinar
os valores de esforços, tensões, deformações e deslocamentos em qualquer ponto no
interior da placa. No entanto, o processo de desenvolvimento desse cálculo para a
obtenção dos resultados é bastante trabalhoso, tornando praticamente inviável sua
utilização para a análise das lajes de um edifício (SOUZA; CUNHA, 1998).
Os métodos aproximados desenvolvidos para o cálculo de lajes têm como base
os fundamentos da teoria das placas. Embora os métodos simplificados apresentem
a desvantagem de determinação apenas dos valores máximos de esforços e
deslocamentos, enquanto as equações propostas pela teoria fundamental permitem
determinar os valores em qualquer ponto no interior da placa, os métodos
simplificados tornam-se bastante viáveis devido à sua simplicidade de aplicação.
Segundo a NBR 6118:2014, o cálculo de elementos de placa pela análise linear
pode ser feito utilizando os métodos aproximados baseados na teoria da elasticidade
desde que seja utilizado coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,2.
2.5.1. Resolução por meio de séries
A solução da equação fundamental das placas, ou equação de Lagrange, pode
ser feita através de séries duplas trigonométricas, conforme desenvolvido por Navier
e apresentado em Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959). Nessa solução, a carga
𝑝(𝑥, 𝑦) é considerada por superposição de carregamentos com forma bissenoidal,
conforme Equação (15).
𝑝 = 𝑝(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ 𝑃𝑚𝑛. 𝑠𝑒𝑛𝑚𝜋𝑥
𝑎𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏𝑛𝑚 (15)
Onde:
𝑎, 𝑏 = dimensões da placa;
37
𝑚, 𝑛 = número de retângulos em que a placa é dividida;
𝑝𝑚𝑛 = 4
𝑎𝑏∫ ∫ 𝑝(𝑥, 𝑦)𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝑎𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑏
0
𝑎
0= carregamento máximo no centro
do retângulo.
Considerando laje retangular com os quatro bordos simplesmente apoiados,
satisfazendo-se as condições de contorno, obtêm-se o deslocamento 𝑤 por:
𝑤 =𝑝𝑚𝑛
𝜋4. 𝐷. (𝑚²𝑎²
+𝑛2
𝑏²) ²
. 𝑠𝑒𝑛𝑚𝜋𝑥
𝑎𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏 (16)
Para placas com carregamento uniformemente distribuído 𝑝 o valor de 𝑝𝑚𝑛
resulta em:
𝑝𝑚𝑛 =
16𝑝
𝜋²𝑚𝑛
(17)
Onde 𝑚 e 𝑛 apresentam valores impares, uma vez que, quando pares, a
integral se anula.
Dessa forma, substituindo-se a Equação (17) na equação do deslocamento 𝑤,
obtêm-se a função 𝑤(𝑥, 𝑦) para o deslocamento considerando carga uniforme:
𝑤 =16𝑝
𝜋6𝐷∑ ∑
𝑠𝑒𝑛𝑚𝜋𝑥
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑦
𝑏
𝑚. 𝑛(𝑚2
𝑎2 +𝑛2
𝑏2)𝑛𝑚
(18)
Com isso, é possível determinar os momentos fletores (𝑚𝑥 e 𝑚𝑦) pelas
equações a seguir.
𝑚𝑥 =16𝑝
𝜋4∑ ∑
(𝑚2
𝑎2 + 𝜈.𝑛2
𝑏2)
𝑚. 𝑛(𝑚2
𝑎2 +𝑛2
𝑏2)𝑛𝑚
𝑠𝑒𝑛𝑚𝜋𝑥
𝑎𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
(19)
𝑚𝑦 =16𝑝
𝜋4∑ ∑
(𝑛2
𝑏2 + 𝜈.𝑚2
𝑎2 )
𝑚. 𝑛(𝑚2
𝑎2 +𝑛2
𝑏2)𝑛𝑚
𝑠𝑒𝑛𝑚𝜋𝑥
𝑎𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
(20)
A partir dessas equações, se conhecido o valor de 𝑝 é possível determinar os
momentos fletores na placa. Observa-se que os valores de momentos são máximos
no centro da laje. Além disso, utilizando-se dessa solução, é possível determinar as
expressões para o cálculo das reações de apoio da laje nas vigas de bordo. (ARAÚJO,
2014)
38
2.5.2. Método das diferenças finitas
Através do método das diferenças finitas, obtêm-se uma solução aproximada
para a equação diferencial da placa. Nesse método, é considerada uma malha,
chamada de malha de diferenças finitas, podendo essa ser retangular, triangular ou
de outra forma. Essa malha é composta de pontos igualmente espaçados
denominados pontos nodais que se localizam nos nós da mesma.
Com base nisso, substituem-se as derivadas da equação de Lagrange por
aproximações de diferenças de valores correspondentes aos deslocamentos em
pontos nodais da malha. O erro obtido com as aproximações é inversamente
proporcional ao refinamento da malha, ou seja, quanto maior o número de pontos
nodais, menor o erro (CASTRO, 2001).
Para melhor compreensão do método, considera-se, primeiramente, um caso
unidimensional, representado na Figura 15.
Figura 15 - Aproximação de função para malha unidimensional
Fonte: Araújo, 2014, p. 124.
Nesse caso, a função 𝑓(𝑥) pode ser determinada a partir da Equação (21), onde
𝑎𝑖 é determinado obedecendo a igualdade 𝜑(𝑥) = 𝑓(𝑥) nos pontos em que 𝑓(𝑥) é
conhecida.
𝜑(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖𝑥
𝑖
𝑘
𝑖=0
(21)
39
Dessa forma, considerando-se 𝑘 = 1, a função é definida por segmentos de
reta. Quando 𝑘 = 2, a aproximação é feita por parábolas do segundo grau, conforme
Equação (22) (ARAÚJO, 2014).
𝜑(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥² (22)
Assim, quando considerados pontos nodais 𝑥𝑚−1, 𝑥𝑚, 𝑥𝑚+1, é possível obter
uma equação adequada para a função 𝑓(𝑥) e, a partir dessa, determinar as derivadas
correspondentes.
De forma análoga, considerando malha bidimensional, conforme Figura 16,
pode-se representar a equação de Lagrange aplicada ao ponto (𝑚, 𝑛), pela Equação
(23).
Figura 16 - Malha de diferenças finitas - caso bidimensional
Fonte: Araújo, 2014, p. 127.
(
𝜕4𝑤
𝜕𝑥4)
𝑚,𝑛
+ 2. (𝜕4𝑤
𝜕𝑥2𝜕𝑦2)
𝑚,𝑛
+ (𝜕4𝑤
𝜕𝑦4)
𝑚,𝑛
= (𝑝
𝐷)
𝑚,𝑛
(23)
Aplicando-se as aproximações das derivadas, obtêm-se a seguinte Equação
de equilíbrio:
∑ 𝐾𝑖,𝑗𝑤𝑖,𝑗 = (𝑝
𝐷)
𝑚,𝑛 (24)
onde 𝑖 varia de 𝑚 − 2 a 𝑚 + 2 e 𝑗 varia de 𝑛 − 2 a 𝑛 + 2.
Com isso, considerando um ponto (𝑚, 𝑛) de uma malha com ∆𝑥 = ∆𝑦, os
valores correspondentes ao coeficiente 𝐾𝑖,𝑗 estão representados na Figura 17.
40
Figura 17 - Ponto (m,n) malha de diferenças finitas
Fonte: Araújo, 2014, p.128.
A partir da Equação (24), é possível determinar um sistema de equações
algébricas simultâneas, que pode ser representado por:
𝐾𝑊 = 𝑃 (25)
onde:
𝐾 = matriz de rigidez da placa
𝑊 = vetor com flechas nodais a serem determinadas
𝑃 = vetor de cargas nodais
Resolvendo-se o sistema representado pela Equação (25), com base em
determinações das condições de contorno, é possível obter os valores dos
deslocamentos em cada ponto nodal da malha. A partir dos deslocamentos, pode-se
determinar os valores dos momentos fletores, torçores e esforços cortantes.
Dependendo do formato e tamanho da placa, pode ser necessário considerar
pontos fictícios fora do domínio da mesma, uma vez que os pontos nodais devem
apresentar mesmo espaçamento (PINHEIRO, 1988). Além disso, é válido observar
que o número de equações que compõem o sistema corresponde ao número de
pontos nodais da mesma, permitindo-se obter o deslocamento em cada nó.
Araújo (2014) ressalta que, embora simples de ser aplicado, o método das
diferenças finitas apresenta inconvenientes que ocasionaram o abandono da
utilização desse método nos dias atuais. Dentre esses inconvenientes, pode-se citar
a dificuldade de desenvolvimento de algoritmo que corresponda às diferentes
41
condições de contorno existentes, bem como a necessidade de utilização de uma
malha consideravelmente refinada para que seja obtido um erro aceitável.
2.5.3. Teoria das grelhas e método de Marcus
A teoria das grelhas foi inicialmente desenvolvida considerando lajes sobre
apoios rígidos, ou seja, desconsiderando possíveis efeitos de torção. O método
desenvolvido por Marcus baseou-se nessa teoria, adaptando as equações já
existentes para incluir o efeito da torção nas lajes (ARAÚJO, 2014).
Para compreensão da teoria das grelhas, analisa-se uma laje retangular com
os bordos simplesmente apoiados, submetida a uma carga uniformemente distribuída
𝑝 e com apoios indeformáveis. Dessa placa, consideram-se duas faixas centrais, com
largura unitária e que se cruzam no centro da mesma (Figura 18).
Figura 18 - Laje simplesmente apoiada
Fonte: Araújo, 2014, p. 82.
O carregamento atuante pode ser dividido conforme a direção da faixa, sendo
denominados de 𝑝𝑥 e 𝑝𝑦, conforme mostrado na Figura 18, e devem obedecer a
relação:
𝑝 = 𝑝𝑥 + 𝑝𝑦 (26)
42
A flecha no centro da faixa na direção 𝑥 é dada pela Equação (27), onde 𝐷 é a
rigidez à flexão da faixa, e 𝑙𝑥 e 𝑝𝑥 correspondem ao vão e ao carregamento na direção
𝑥, respectivamente.
𝑊𝑥 =
5
384
𝑝𝑥𝑙𝑥4
𝐷
(27)
De forma análoga, a flecha na direção 𝑦 é dada por:
𝑊𝑦 =
5
384
𝑝𝑦𝑙𝑦4
𝐷
(28)
A flecha no centro da laje possui um valor único, portanto considera-se que
𝑊𝑥 = 𝑊𝑦, obtendo-se, assim, a seguinte relação:
𝑝𝑥𝑙𝑥4 = 𝑝𝑦𝑙𝑦
4 (29)
Substituindo-se a relação 𝑝𝑦 = 𝑝 − 𝑝𝑥, proveniente da Equação (26), tem-se:
𝑝𝑥 = (
𝑙𝑦4
𝑙𝑥4 + 𝑙𝑦
4) 𝑝
(30)
A partir da relação 𝜆 entre vãos definida por:
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
(31)
Pode-se determinar os valores de 𝑝𝑥 e 𝑝𝑦 pelas equações a seguir.
𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝 ; 𝑝𝑦 = 𝑘𝑦𝑝 (32)
Onde
𝑘𝑥 =𝜆4
1+𝜆4 ; 𝑘𝑦 = 1 − 𝑘𝑥 (33)
A partir da Equação (32) é possível concluir que os carregamentos
correspondentes às direções 𝑥 e 𝑦 dependem apenas dos vãos da laje. Também a
partir dessa equação, pode-se determinar os momentos fletores em ambas direções.
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝑙𝑥2 ; 𝑚𝑥 = 𝑘𝑥/8 (34)
𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝑙𝑦2 ; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦/8 (35)
Sendo 𝑀𝑥 o momento máximo na direção 𝑥 e 𝑀𝑦 o momento máximo na direção
𝑦.
No método desenvolvido por Marcus, as equações de momentos fletores
positivos apresentam coeficientes 𝐶𝑥 e 𝐶𝑦, que dependem das condições de contorno
e da relação entre os vãos da laje. Os momentos são, então, reduzidos quando
comparados aos calculados pela teoria das grelhas, uma vez que os coeficientes
43
apresentam valores inferiores a 1. Dessa forma, os momentos são definidos pela
equação a seguir.
𝑀𝑥𝑜 = 𝐶𝑥𝑀𝑥 ; 𝑀𝑦𝑜 = 𝐶𝑦𝑀𝑦 (36)
Os coeficientes 𝐶𝑥 e 𝐶𝑦 podem ser calculados por:
𝐶𝑥 = 1 −20𝑘𝑥
3𝛼𝑥𝜆² ; 𝐶𝑥 = 1 −
20𝑘𝑥
3𝛼𝑥𝜆2 (37)
Onde 𝛼𝑥 e 𝛼𝑦 dependem das condições de apoio, sendo 𝛼 = 8 para faixa
biapoiada; 𝛼 = 14,22 para faixa engastada e apoiada; e 𝛼 = 24 para faixa
biengastada.
Esses coeficientes surgem devido a consideração de que as deformações no
centro das faixas na direção 𝑥 e 𝑦 não apresentam o mesmo valor. Isso ocorre devido
a diferentes condições de continuidade nos bordos da laje. Com isso, surgem
momentos volventes nas extremidades da placa, responsáveis pela diminuição do
momento máximo positivo definido pelo método das grelhas (SOUZA; CUNHA, 1998).
2.5.3.1. Tabelas de Marcus
Com base nesse método, Marcus desenvolveu tabelas que permitem o cálculo
dos momentos fletores e das reações de apoio para diferentes configurações das
condições de apoio das lajes.
As tabelas de Marcus utilizadas para a realização desse trabalho são as
disponibilizadas por Souza e Cunha (1998) e podem ser encontradas no Anexo A.
2.5.4. Método dos elementos finitos
A ampla aplicabilidade do método dos elementos finitos permite sua utilização
para a análise do comportamento de diferentes elementos, bem como fluxo de fluidos,
condução de calor e análise estrutural. Conforme defende Araújo (2014, p. 132), “o
grande atrativo do método é a generalidade da formulação, o que permite que um
conjunto de rotinas de cálculo possa ser utilizado para resolver problemas diferentes”.
O método consiste na subdivisão da placa em um conjunto de pequenos
elementos, denominados elementos finitos. Esses elementos estão conectados por
nós e seu conjunto forma uma malha de elementos finitos. Essa malha pode ser
composta por elementos triangulares, retangulares ou isoparamétricos.
44
Ao contrário dos outros métodos, o método dos elementos finitos considera os
elementos ou regiões de forma isolada, permitindo variar as dimensões e
características elásticas de um elemento para outro. Além disso, essa análise
separada dos elementos origina polinômios mais simples para descrever a solução
aproximada quando comparados aos métodos baseados na teoria da elasticidade
(REIS, 2007).
De maneira geral, embora o método apresente resultados aproximados, o
refinamento da malha e aumento do número de nós permite a obtenção de resultados
mais próximos aos obtidos pela teoria da elasticidade (REGGIANI, 2016).
2.5.5. Utilização de tabelas
Devido à considerável complexidade de resolução da equação diferencial das
placas apresentada anteriormente e à falta de recursos computacionais disponíveis
para a análise da estrutura por elementos finitos ou analogia de grelha equivalente,
diversos autores desenvolveram tabelas para o cálculo dos momentos fletores,
flechas e reações de apoio em lajes maciças. Essas diferentes tabelas foram
elaboradas com base na resolução por meio de séries e podem apresentar
divergências entre si devido a aproximações das séries de Fourier ou devido a adoção
de valores distintos para o coeficiente de Poisson (ARAÚJO, 2014).
Nesse método, mesmo no caso de lajes contínuas, a análise é feita com a
discretização do pavimento, desconsiderando a existência de comportamento
monolítico na estrutura e considerando as lajes de forma isolada. Para isso, são
considerados apenas dois tipos de vinculação: bordos simplesmente apoiados ou
engastados. As diferentes possibilidades de vinculação das lajes nas estruturas
adjacentes estão ilustradas na Figura 19 (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015).
45
Figura 19 - Possibilidades de vinculação das lajes
Fonte: Bastos, 2015.
Essa análise pode gerar divergências nos resultados quando comparados com
os obtidos através de métodos que analisam as lajes de um pavimento de forma
contínua. Isso ocorre devido ao fato de que, quando consideradas contínuas, o painel
de lajes apresenta resistência maior que quando analisadas de forma isolada,
originando, no último caso, valores maiores para as solicitações atuantes (BOTELHO;
MARCHETTI, 2010).
No presente trabalho, serão utilizados os quadros desenvolvidos por Bares,
Czerny, Montoya, Marcus e Araújo. As tabelas apresentam valores de coeficientes a
serem utilizados na determinação dos momentos fletores, reações de apoio e flechas,
conforme as equações correspondentes. Para obtenção desses coeficientes, devem
ser consideradas as vinculações da laje e o valor de 𝜆, equivalente à relação entre o
maior e o menor vão da mesma.
46
2.5.5.1. Tabelas de Bares
As tabelas desenvolvidas por Bares (1972) foram baseadas na resolução por
meio de séries. Serão utilizadas nesse trabalho as tabelas disponibilizadas por
Carvalho e Figueiredo Filho (2015) adaptando as tabelas de Bares para o coeficiente
de Poisson 𝜈 = 0,20, conforme recomendação da NBR 6118:2014. As tabelas
utilizadas podem ser encontradas no Anexo B.
2.5.5.2. Tabelas de Araújo
As tabelas disponibilizadas por Araújo (2014) para cálculo dos esforços e
flechas em lajes retangulares armadas em duas direções foram baseadas nas tabelas
de Kalmanok (1961) e adaptadas para Coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,20. As tabelas
utilizadas nesse trabalho encontram-se no Anexo C.
2.5.5.3. Tabelas de Czerny
As tabelas desenvolvidas por Czerny foram baseadas na teoria da elasticidade
considerando Coeficiente de Poisson nulo (𝜈 = 0). Para a realização desse trabalho,
foram utilizadas as tabelas de Czerny devidamente adaptadas para Coeficiente de
Poisson 𝜈 = 0,20, disponibilizadas em Beton-Kalender (1976). As tabelas utilizadas
permitem a determinação dos momentos fletores e flechas máximas para as lajes, e
encontram-se no Anexo D.
2.5.5.4. Tabelas de Montoya
As tabelas disponibilizadas em Montoya, Meseguer e Cabré (2000) foram
desenvolvidas a partir da teoria da elasticidade para Coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,15
e podem ser encontradas no Anexo E. A partir dessas tabelas, é possível determinar
os momentos fletores e flechas máximas nas lajes de concreto armado.
47
2.5.6. Analogia de grelha
De maneira semelhante ao método desenvolvido por Marcus, o processo de
analogia de grelha consiste na substituição da laje por uma malha de vigas
equivalentes, chamada de grelha equivalente.
A possibilidade de utilização desse método em programação computacional
permite o dimensionamento de uma estrutura de maneira rápida e prática. Devido a
isso, é possível realizar modificações no sistema estrutural de forma bastante fácil,
permitindo simulação de diferentes situações estruturais para um mesmo projeto,
facilitando a análise e decisão da situação mais adequada ao projeto em questão
(CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015).
Nesse método, os elementos estruturais do pavimento – vigas e lajes – são
substituídos por uma malha de barras, configurando a grelha equivalente, conforme
ilustrado na Figura 20. Isso permite a reprodução de elementos com diferentes
geometrias. A disposição e espaçamentos dessas barras deve ser definida com base
na situação mais adequada para o pavimento.
Figura 20 - Malha de grelha equivalente
Fonte: Carvalho e Figueiredo Filho, 2015, p. 327.
48
Os carregamentos são analisados com base na área de influência de cada
barra, podendo ser dispostos de maneira distribuída ao longo do comprimento das
barras ou de forma concentrada nos nós.
Na configuração de grelha, a rigidez à flexão e torção da laje encontra-se
considerada no elemento de grelha mais próximo. E, conforme citado por Neves
(2010, p. 21),
O ideal seria a rigidez das vigas ser tal que, quando a laje e a respectiva grelha estivessem sujeitas a carregamentos idênticos, as duas estruturas fletissem de igual forma e os esforços em cada elemento de grelha igualassem os esforços na seção de laje que o elemento de grelha pretende simular. No entanto, devido às diferentes características da laje e da grelha equivalente, este ideal pode apenas ser aproximado.
Apesar disso, é possível obter resultados satisfatórios a partir desse método,
desde que aplicado de maneira apropriada, com espaçamento e rigidezes adequados.
Nesse trabalho, o método da analogia de grelha será utilizado através do
software comercial SAP 2000. Na representação do pavimento no programa, serão
seguidas as recomendações a respeito dos parâmetros de rigidez e espaçamento de
malha conforme indicados a seguir.
2.5.6.1. Rigidez à flexão
A malha da grelha, como citado anteriormente, é composta de barras
longitudinais e transversais. A largura dessas barras varia conforme o espaçamento
considerado para a malha em questão, e a altura da barra corresponde à espessura
da laje. Dessa forma, a rigidez à flexão (𝐼𝑓) das barras pode ser calculada pela
Equação (38).
𝐼𝑓 =
𝑏ℎ3
12
(38)
Onde,
𝑏 = largura (soma da metade dos espaços entre os elementos vizinhos);
ℎ = espessura da laje.
49
2.5.6.2. Rigidez à torção
A rigidez à torção da barra depende do módulo de elasticidade transversal (𝐺)
do material e do momento de inércia à torção ( 𝐼𝑡) da barra, e corresponde a 𝐺. 𝐼𝑡.
O módulo de elasticidade transversal (𝐺) pode ser calculado pela Equação
(39), onde 𝐸𝑐𝑠 é o módulo de elasticidade longitudinal do material e 𝜈 é o Coeficiente
de Poisson. Conforme já citado, a NBR 6118:2014 estabelece o uso de 𝜈 = 0,2.
𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
(39)
A NBR 6118:2014 recomenda utilizar a relação 𝐺 = 𝐸𝑐𝑠/2,4.
Segundo Carvalho e Figueiredo Filho (2015), a inércia à flexão e à torção varia
para elementos de placa e elementos compostos de viga e placa. Quando analisados
elementos de placa, ou lajes, pode-se considerar a rigidez à torção como sendo o
dobro da rigidez à flexão, quando no estádio I. Dessa forma, a inércia à torção
(𝐼𝑡) pode ser definida por:
𝐼𝑡 = 2𝐼𝑓 =
𝑏ℎ3
6
(40)
Coelho (2000) realizou a análise de diferentes relações 𝐼𝑡/𝐼 e concluiu que,
para obtenção dos esforços e flechas, a relação que obtém valores mais próximos aos
obtidos pela teoria da elasticidade correspondem a 𝐼𝑡/𝐼 entre 2 e 2,5. Entretanto,
conforme estudos realizados por Stramandinoli (2003), a relação mais adequada para
determinação dos deslocamentos corresponde a 𝐼𝑡/𝐼 = 3.
Com base nas considerações apresentadas, nesse trabalho será utilizada
relação 𝐼𝑡 = 2𝐼 para obtenção dos esforços e deslocamentos.
No caso de elemento viga-placa, a viga pode ser considerada como de seção
“T” ou “L”, de modo que parte da laje atue como mesa da viga, para isso deve-se
calcular a largura colaborante. Então, quando no estádio I, a inércia a torção da viga
pode ser calculada por:
𝐼𝑡 =
ℎ𝑏3
3
(41)
Quando trabalhando no estádio II, a inércia pode ser considerada equivalente
a 10% da inércia da viga, conforme apresentado na Equação (42).
𝐼𝑡 =
ℎ𝑏3
30
(42)
50
A NBR 6118:2014 (item 14.6.6.2) permite que em modelos de grelhas e pórticos
a rigidez a torção das vigas de apoio sejam reduzidas em 85% do seu valor. Além
disso, nesses modelos, a norma também possibilita a consideração de rigidez a torção
nula das vigas para a verificação do estado limite último. Nesse trabalho serão
analisados modelos considerando a inércia à torção equivalente a 0,15. 𝐼𝑡.
2.5.6.3. Disposição da malha adotada
Carvalho (1994) apresenta algumas recomendações a serem consideradas na
definição da grelha equivalente. Dentre elas, pode-se destacar:
a) O espaçamento adotado para as barras não deve ser superior a 25% do
vão;
b) As vigas ou regiões rígidas devem ser consideradas como elementos;
c) Deve ser feito refinamento da malha em regiões nas quais interessa saber
os efeitos localizados.
51
3. METODOLOGIA
Inicialmente, esse estudo abordou a apresentação de conceitos fundamentais
para a compreensão dos procedimentos e da análise realizada no trabalho, através
de uma revisão bibliográfica. Nesta, foram apresentados assuntos como elementos
estruturais, lajes de concreto armado, métodos de análise estrutural, teoria de flexão
das placas e métodos elásticos de cálculo das lajes. Dentro desses conceitos, foram
apresentadas as recomendações da NBR 6118:2014 correspondentes.
Em seguida, foram calculados os esforços e flechas atuantes nas lajes de um
pavimento através das tabelas baseadas na teoria da elasticidade propostas por
Marcus, Bares, Czérny, Araújo (adaptadas de Kalmanok) e Montoya. Após, foi
realizada a análise e comparação dos resultados obtidos através dos coeficientes e
equações apresentados em cada uma das tabelas citadas.
Além disso, foi realizada a modelagem do pavimento, com o auxílio do software
SAP 2000, com base na teoria da analogia de grelha. Nessa modelagem, foram
analisadas diferentes situações e considerações dos elementos constituintes da
estrutura, configurando dois diferentes casos que serão apresentados no item 3.5
desse trabalho. Para cada caso, foram determinados os esforços e deslocamentos
das barras.
3.1. CARACTERÍSTICAS DA ESTRUTURA
Para a obtenção dos resultados e comparação dos métodos foi utilizado o
projeto de um pavimento, conforme apresentado na Figura 21. O pavimento é
composto por 13 lajes retangulares, com as dimensões e espessuras representadas
na figura.
Foram calculados os vãos teóricos e efetivos das lajes e determinada a relação
𝜆 entre o maior e o menor vão (𝜆 = 𝑙𝑦/𝑙𝑥). Com isso, as lajes foram classificadas como
armadas em uma ou duas direções. Os valores obtidos são apresentados no Quadro
1. Neste trabalho, foram analisadas apenas as lajes que apresentam armação nas
duas direções, portanto, não foram consideradas as lajes L8 e L9 na análise.
52
Figura 21 - Pavimento modelo
Fonte: Autora, 2018.
Quadro 1 - Classificação das lajes do pavimento.
LAJE h
(cm) d
(cm) 0,3*h
Vão livre horizontal
(cm)
Vão livre
vertical (cm)
Vão efetivo
horizontal (cm)
Vão efetivo vertical
(cm)
lx (m) ly (m)
λ Armação (menor dim.)
(maior dim.)
L1 11 8 3,3 684,5 587,5 691,1 594,1 5,94 6,91 1,16 2
L2 10 7 3 250 422,5 256 428,5 2,56 4,29 1,67 2
L3 8 5 2,4 356 422,5 360,8 427,3 3,61 4,27 1,18 2
L4 8 5 2,4 250 422,5 254,8 427,3 2,55 4,27 1,68 2
L5 8 5 2,4 409 422,5 413,8 427,3 4,14 4,27 1,03 2
L6 8 5 2,4 303 422,5 307,8 427,3 3,08 4,27 1,39 2
L7 8 5 2,4 247,5 422,5 252,3 427,3 2,52 4,27 1,69 2
L8 8 5 2,4 886 150 890,8 154,8 1,55 8,91 5,75 1
L9 8 5 2,4 989,5 150 994,3 154,8 1,55 9,94 6,42 1
L10 11 8 3,3 684,5 459,5 691,1 466,1 4,66 6,91 1,48 2
L11 10 7 3 886 459,5 892 465,5 4,66 8,92 1,92 2
L12 10 7 3 621 459,5 627 465,5 4,66 6,27 1,35 2
L13 8 5 2,4 353,5 459,5 358,3 464,3 3,58 4,64 1,30 2
Fonte: Autora, 2018.
53
3.2. PARÂMETROS ADOTADOS
Para a escolha dos parâmetros foram seguidas as recomendações da NBR
6118:2014. Dessa forma, foi considerada edificação em ambiente urbano com
pequeno risco de deterioração, caracterizando classe de agressividade ambiental II,
conforme Tabela 6.1 da referida norma. Adotou-se concreto da classe C25 e para o
módulo de elasticidade transversal do concreto foi considerado o valor estimado
apresentado na Tabela 8.1 da Norma para concreto C25, sendo 𝐸𝑐𝑠 = 24 𝐺𝑃𝑎.
3.3. CARREGAMENTOS
Conforme apresentado anteriormente, os carregamentos atuantes podem ser
classificados em permanentes e acidentais. Para a carga permanente do pavimento
foi considerado o peso próprio das lajes, correspondendo ao produto do peso
específico do concreto armado (𝛾𝑐 = 25 𝑘𝑁/𝑚³) pela espessura da laje. Também
foram considerados os revestimentos (piso e forro) e a camada de regularização da
laje, totalizando um carregamento de 1,5 kN/m². Para a carga acidental foi
considerado edifício residencial com 2,0 kN/m². O total do carregamento considerado
para cada laje está apresentado no Quadro 2, sendo considerada combinação em
serviço.
Quadro 2 – Carregamentos
LAJE h PP Revestimentos Permanente (g) Acidental (q) Total (p)
(cm) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²)
L1 11 2,75 1,50 4,25 2,00 6,25
L2 10 2,50 1,50 4,00 2,00 6,00
L3 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50
L4 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50
L5 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50
L6 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50
L7 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50
L10 11 2,75 1,50 4,25 2,00 6,25
L11 10 2,50 1,50 4,00 2,00 6,00
L12 10 2,50 1,50 4,00 2,00 6,00
L13 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50
Fonte: Autora, 2018.
54
Nas tabelas baseadas na teoria de flexão das placas, o carregamento total foi
aplicado de maneira distribuída na área da laje. Enquanto na modelagem pelo método
da analogia de grelha esse foi distribuído linearmente nos elementos de barra da
malha equivalente. Para obtenção da carga linear foram consideradas as áreas de
influência de cada barra. Para não ocorrer a duplicação dos carregamentos em cada
barra, a carga linear a ser aplicada nas barras foi multiplicada por 0,5.
3.4. UTILIZAÇÃO DAS TABELAS
Na análise através das tabelas de Bares, Czérny, Araújo, Montoya e Marcus
foram consideradas as lajes do pavimento de forma isolada. Para isso, foi
estabelecida a vinculação de cada placa nas estruturas adjacentes, conforme
apresentado na Figura 22. A representação das vinculações foi feita de acordo com
as convenções apresentadas no item 2.2.4 desse trabalho. Com base nessa
determinação, as lajes foram classificadas conforme os casos apresentados por cada
tabela para, em seguida, serem obtidos os coeficientes para cálculo dos esforços e
das flechas.
Figura 22 - Vinculação das lajes
Fonte: Autora, 2018.
55
3.5. MODELAGEM DO PAVIMENTO
Na modelagem do pavimento no software SAP 2000 foram considerados
diferentes parâmetros e características das seções e do material. Adotou-se módulo
de elasticidade (𝐸) do concreto para as vigas de apoio igual a 24 GPa e com valor
multiplicado por 10000, a fim de simular a situação de apoios indeformáveis que é
considerada na análise por meio das tabelas. Além disso, para a rigidez à torção das
vigas foi considerado valor reduzido a 15% da rigidez elástica, ou seja, com 𝐼𝑡1 =
0,15. 𝐼𝑡, conforme recomendado no item 14.6.6.2 da NBR 6118:2014. Por fim, para a
rigidez à torção das barras da malha de grelha equivalente das lajes, foi considerada
a relação 𝐽 = 2𝐼.
56
4. ANÁLISE DOS RESULTADOS
Na modelagem do pavimento no software SAP 2000 foi possível obter a
estrutura deformada do pavimento. As Figuras 23 e 24 ilustram essa deformada para
os casos de apoios indeformáveis e deformáveis, respectivamente.
Figura 23 - Deformada do pavimento – Apoios indeformáveis
Fonte: Autora, 2018.
Figura 24 - Deformada do pavimento – Apoios deformáveis
Fonte: Autora, 2018.
57
4.1. MOMENTOS POSITIVOS
Os valores obtidos para os momentos positivos máximos das lajes do
pavimento pelos diferentes métodos utilizados estão apresentados nos Gráficos 1 a
11. Para a análise dos resultados, foi adotado o menor vão como direção x e o maior
como direção y.
Gráfico 1 - Momentos positivos L1
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 2 - Momentos positivos L2
Fonte: Autora, 2018.
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
Direção X Direção Y
Mo
men
tos
po
siti
vos
(kN
.m)
LAJE L1
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
Direção X Direção YMo
men
tos
po
siti
vos
(kN
.m)
LAJE L2
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
58
Gráfico 3 - Momentos positivos L3
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 4 - Momentos positivos L4
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 5 - Momentos positivos L5
Fonte: Autora, 2018.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
Direção X Direção Y
LAJE L3
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
Direção X Direção YMo
men
tos
po
siti
vos
(kN
.m)
LAJE L4
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
Direção X Direção Y
Mo
men
tos
po
siti
vos
(kN
.m)
LAJE L5
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
59
Gráfico 6 - Momentos positivos L6
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 7 - Momentos positivos L7
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 8 - Momentos positivos L10
Fonte: Autora, 2018.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
Direção X Direção YMo
men
tos
po
siti
vos
(kN
.m)
LAJE L6
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
Direção X Direção Y
Mo
men
tos
po
siti
vos
(kN
.m)
LAJE L7
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
Direção X Direção Y
Mo
men
tos
po
siti
vos
(kN
.m)
LAJE L10
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
60
Gráfico 9 - Momentos positivos L11
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 10 - Momentos positivos L12
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 11 - Momentos positivos L13
Fonte: Autora, 2018.
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
Direção X Direção Y
Mo
men
tos
po
siti
vos
(kN
.m)
LAJE L11
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
Direção X Direção Y
Mo
men
tos
po
siti
vos
(kN
.m)
LAJE L12
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
Direção X Direção Y
Mo
men
tos
po
siti
vos
(kN
.m)
LAJE L13
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
61
A partir da análise dos gráficos, é possível observar que os resultados obtidos
para os momentos fletores positivos a partir das tabelas de Bares, Czerny, Araújo,
Montoya e Marcus possuem pequena variação, sendo a diferença inferior a 5%.
Dentre as tabelas, na maioria das lajes as tabelas propostas por Marcus apresentaram
os menores valores para os esforços (Mx e My).
Além disso, ao comparar os valores de momentos fletores obtidos pelas tabelas
com os da modelagem considerando modelo com apoios indeformáveis, nota-se que
este apresentou resultados inferiores, correspondendo a uma redução média de 20%
para os momentos positivos na direção x e 15% na direção y.
Por fim, analisando os valores das tabelas e da modelagem considerando
apoios deformáveis, nota-se que na modelagem se obteve resultados com uma
redução média de apenas 10% na direção x. Já na direção do maior vão, os valores
da modelagem foram consideravelmente superiores aos das tabelas.
Além disso, é interessante observar que a modelagem considerando apoios
deformáveis não apresentou momentos positivos para a laje L2 na direção do menor
vão. Isso pode ter ocorrido devido à existência e a influência de uma laje adjacente
com dimensões consideravelmente maiores que esta, como a laje L1.
4.2. MOMENTOS NEGATIVOS
Os valores dos momentos negativos máximos das lajes do pavimento
determinados pelos diferentes métodos utilizados estão apresentados nos Gráficos
12 a 22. Da mesma forma que nos momentos positivos, para a análise dos resultados
foi considerado o menor vão como direção x e o maior como direção y. Na análise,
não foi realizada compatibilização dos momentos negativos, a fim de permitir a
comparação dos resultados obtidos diretamente das tabelas.
62
Gráfico 12 - Momentos negativos L1
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 13 - Momentos negativos L2
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 14 - Momentos negativos L3
Fonte: Autora, 2018.
0,00
20,00
40,00
Direção X
Mo
men
tos
neg
ativ
os
(kN
.m)
LAJE L1
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYAMARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
2,80
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
Mo
men
tos
neg
ativ
os
(kN
.m)
LAJE L2
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
Mo
men
tos
neg
ativ
os
(kN
.m)
LAJE L3
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
63
Gráfico 15 - Momentos negativos L4
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 16 - Momentos negativos L5
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 17 - Momentos negativos L6
Fonte: Autora, 2018.
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
Direção X
Mo
men
tos
neg
ativ
os
(kN
.m)
LAJE L4
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
Direção X
Mo
men
tos
neg
ativ
os
(kN
.m)
LAJE L5
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
Direção X
Mo
men
tos
neg
ativ
os
(kN
.m)
LAJE L6
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
64
Gráfico 18 - Momentos negativos L7
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 19 - Momentos negativos L10
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 20 - Momentos negativos L11
Fonte: Autora, 2018.
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
Direção X
Mo
men
tos
neg
ativ
os
(kN
.m)
LAJE L7
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
Direção X Direção Y
Mo
men
tos
neg
ativ
os
(kN
.m)
LAJE L10
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
2,50
5,00
7,50
10,00
12,50
15,00
17,50
Direção Y
Mo
men
tos
neg
ativ
os
(kN
.m)
LAJE L11
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
65
Gráfico 21 - Momentos negativos L12
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 22 - Momentos negativos L13
Fonte: Autora, 2018.
Pela análise dos resultados, percebe-se que os valores dos momentos fletores
negativos obtidos através das tabelas de Bares, Czerny, Araújo, Montoya e Marcus
apresentaram pequena variação em ambas as direções. Na direção x os resultados
variaram em um valor médio inferior a 1%, e na direção y aproximadamente 10%.
Assim como nos momentos positivos, as tabelas de Marcus forneceram os menores
valores para os momentos negativos das lajes.
Além disso, observa-se que os momentos negativos da modelagem foram, de
maneira geral, inferiores aos das tabelas. A modelagem com apoios indeformáveis
apresentou uma redução média em torno de 8% na direção do menor vão. No entanto,
na direção do maior vão essa redução foi consideravelmente maior, apresentando
0,00
5,00
10,00
15,00
Direção Y
Mo
men
tos
neg
ativ
os
(kN
.m)
LAJE L12
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
Direção Y
Mo
men
tos
neg
ativ
os
(kN
.m)
LAJE L13
BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA
MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS
66
valor médio de 35%. Já a modelagem com apoios deformáveis apresentou uma
redução média de 18% para os valores na direção x, e de 25% na direção y.
4.3. FLECHAS
Os valores dos deslocamentos verticais máximos das lajes do pavimento
determinados pelos diferentes métodos utilizados estão apresentados nos Gráficos
23 a 33. Para a obtenção dos valores das flechas do modelo considerando apoios
deformáveis foi descontado o valor do deslocamento das vigas. Além disso, não foram
consideradas as tabelas de Marcus nessa análise, visto que essas não disponibilizam
equações para o cálculo das flechas.
Gráfico 23 - Flechas L1
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 24 - Flechas L2
Fonte: Autora, 2018.
0,002,004,006,008,00
10,0012,0014,0016,0018,00
Flec
has
(m
m)
LAJE L1
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
Flec
has
(m
m)
LAJE L2
67
Gráfico 25 - Flechas L3
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 26 - Flechas L4
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 27 - Flechas L5
Fonte: Autora, 2018.
0,000,501,001,502,002,503,003,504,004,50
Flec
has
(m
m)
LAJE L3
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
Flec
has
(m
m)
LAJE L4
0,000,501,001,502,002,503,003,504,004,505,00
Flec
has
(m
m)
LAJE L5
68
Gráfico 28 - Flechas L6
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 29 - Flechas L7
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 30 - Flechas L10
Fonte: Autora, 2018.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
Flec
has
(m
m)
LAJE L6
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
Flec
has
(m
m)
LAJE L7
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
Flec
has
(m
m)
LAJE L10
69
Gráfico 31 - Flechas L11
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 32 - Flechas L12
Fonte: Autora, 2018.
Gráfico 33 - Flechas L13
Fonte: Autora, 2018.
9,5
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
Flec
has
(m
m)
LAJE L11
0,001,002,003,004,005,006,007,008,009,00
Flec
has
(m
m)
LAJE L12
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
Flec
has
(m
m)
LAJE L13
70
A partir dos resultados apresentados nos gráficos, é possível observar que, de
maneira semelhante aos momentos positivos e negativos, as tabelas forneceram
valores bastante próximos para as flechas máximas das lajes, apresentando uma
variação média de apenas 2%.
No entanto, os deslocamentos obtidos pelas tabelas e na modelagem
apresentam uma divergência maior. Mesmo considerando apoios indeformáveis,
simulando condições e aproximações feitas pelas tabelas, o modelo apresentou
resultados superiores, sendo a variação média dos resultados de aproximadamente
40%. No modelo com apoios deformáveis, os valores das flechas foram
consideravelmente superiores aos das tabelas.
71
5. CONCLUSÃO
Este trabalho apresentou uma análise dos esforços e deslocamentos verticais
em lajes maciças de concreto armado para o pavimento de um edifício obtidos por
diferentes métodos de cálculo a fim de verificar as diferenças dos resultados. Para
isso, foram utilizadas as tabelas de Bares, Czerny, Araújo, Montoya e Marcus,
desenvolvidas com base na teoria de flexão das placas. Sendo também realizada a
modelagem das lajes do pavimento com base no processo de analogia de grelha. Este
foi realizado com o auxílio do software comercial SAP 2000, no qual foram utilizados
dois modelos diferentes do pavimento: um considerando apoios indeformáveis, a fim
de simular as condições estabelecidas pelas tabelas, e o outro com apoios
deformáveis, com o intuito de considerar a interação do pavimento como um todo.
A partir dos resultados obtidos, foi possível verificar que para os valores dos
momentos positivos na direção do menor vão das lajes não houve grandes variações.
Apesar disso, observou-se que ambos os modelos baseados na analogia de grelha
apresentaram valores inferiores aos das tabelas. No entanto, quando analisado o
maior vão, o modelo com apoios deformáveis apresentou valores consideravelmente
superiores aos das tabelas enquanto o modelo com apoios indeformáveis apresentou
resultados inferiores.
Para os momentos negativos observou-se que os resultados por analogia de
grelha foram inferiores aos das tabelas. Dentre eles, o modelo que apresentou
diferença mais significativa nos esforços foi o que considerava apoios deformáveis.
Essa diferença foi observada, principalmente, nos momentos na direção do maior vão
das lajes. De maneira geral, comparando os resultados das tabelas entre si, tanto para
os momentos negativos e positivos, as tabelas de Marcus apresentaram os menores
valores.
Por fim, a análise dos deslocamentos permitiu verificar a variação mais
considerável nos resultados. Os valores das flechas pelo processo de analogia de
grelha apresentaram valores notavelmente superiores aos das tabelas, sendo o
modelo de apoios deformáveis aquele que apresentou os maiores valores dentre
todos.
Essas divergências nos resultados podem estar relacionadas com as diferentes
considerações dos métodos utilizados, como a rigidez a torção e flexão das barras na
modelagem. Possivelmente, ao considerar parâmetros diferentes dos que foram
72
adotados nesse trabalho, os resultados obtidos não seriam os mesmos. Além disso,
como os modelos baseados na analogia de grelha consideram o pavimento como um
todo, a influência dos elementos adjacentes pode ocasionar em valores diferentes
para os momentos fletores e flechas do que os obtidos através da utilização das
tabelas.
73
REFERÊNCIAS
ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. 4. ed. Rio Grande: Dunas, 2014. 421 p. v. 2.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. _____. NBR 6120: Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. _____. NBR 8681: Ações e segurança nas estruturas. Rio de Janeiro: ABNT, 2004.
BASTOS, P. S. S. Notas de aula da disciplina de Estruturas de Concreto I – Lajes de concreto. Curso de graduação em Engenharia Civil. Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2015. _____. Notas de aula da disciplina de Sistemas Estruturais I – Histórico e principais elementos estruturais de concreto armado. Curso de graduação em Engenharia Civil. Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2006. BOTELHO, M. H. C.; MARCHETTI, O. Concreto armado eu te amo. 6. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2010. v. 1. CARVALHO, R. C. Análise não – linear de pavimentos de edifícios de concreto através da analogia de grelha. 1994. 203 p. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) - Universidade de São Paulo, São Carlos, 1994. CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e Dimensionamento de Estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 3. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2010. CASTRO, L. M. S. Análise de Lajes com o Método das Diferenças Finitas. IST, Lisboa, 2001. Disponível em: <http://www.civil.ist.utl.pt/~luis/textos/lajesdf.pdf> COELHO, J. A. Modelagem de lajes de concreto armado por analogia de grelha. 2000. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2000. FILHO, A. C. Projeto de lajes maciças de concreto armado. 2014. 45 p. Disciplina de concreto armado II. Porto Alegre: Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Disponível em: <https://chasqueweb.ufrgs.br/~americo/eng01112/lajes.pdf>. HENNRICHS, C. A. Estudos sobre a modelagem de lajes planas de concreto armado. 2003. 201 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) - Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2003. LANGENDONCK, T. V. Teoria elementar das charneiras plásticas. 1. ed. São Paulo: ABCP, 1970. v. 1.
74
MONTOYA, P.J.; MESEGUER, A.; CABRE, M. Hormigon Armado 14.a Edición Basada em EHE ajustada al Código Modelo y AL Eurocódig. Barcelona, Gustavo Gili, 2000. NEVES, L. F. C. S. Comparação de modelos de grelha e de elementos finitos de laje na modelação de estruturas de edifícios de betão armado. 2010. 86 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Militar) – Universidade Técnica de Lisboa, 2010. PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projeto de edifícios. 2007. 380 p. São Carlos: Universidade de São Paulo. Disponível em: <http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf>. REGGIANI, R. F. P. Verificação de lajes de concreto armado no estado limite de serviço de deformação excessiva. 2016. 151 p. TCC (Graduação) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2016. REIS, E. M. Análise de pavimentos de edifícios utilizando a analogia de grelha. 2007. 127 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2007. SOUZA, V. C. M.; CUNHA, A. J. P. Lajes em Concreto armado e protendido. 2. ed. Niterói: EDUFF, 1998. 580 p. STRAMANDINOLI, J. S. B. Contribuições à análise de lajes nervuradas por analogia de grelha. 2003. 199 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2003. TIMOSHENKO, S. P.; WOINOWSKY-KRIEGER, S. Theory of plates and shells. 2. ed. United States of America: MacGraw-Hill Book Company, 1959. WHITE, R. N.; GERGELY, P.; SEXSMITH, R. G. Structural engineeging: behavior of members and systems. 1. ed. Nova York: John Wiley & Sons, 1972. v. 3.
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