Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade
Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I
Prof. Tarciana Liberal
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
Departamento de Estatística
Larson/Farber Ch. 3
Existem muitas situações queenvolvem incertezas: fenômenos ouexperimentos aleatórios.
Um modelo matemático ajudará ainvestigar de maneira bastante precisaesse fenômeno.
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Introdução
• Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos edeterminados pelas condições sob as quais o procedimentoseja executado .
• Exemplo: Lançamento de um corpo, velocidade média, leis da física…
• Não-Determinístico (Probabilístico ou Aleatório) :
Aplicados em situações que envolvem incerteza.
Resultados variam de uma observação para outra, mesmoem condições normais de experimentação.
As condições do experimento determinam apenas ocomportamento probabilístico do resultado observável .
• Exemplo: Lançamento de um dado, índices econômicos, tempo de vida de um paciente.
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos:
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A teoria das probabilidades é o fundamento para a
inferência estatística. O objetivo desta parte é que o
aluno compreenda os conceitos mais importantes da
probabilidade.
• O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-dia
dos trabalhadores de todas as áreas, uma vez que seu
conceito é frequentemente utilizado. Por exemplo,
podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70%
de ser aprovado em uma determinada disciplina. Um
professor está 90% seguro de que um novo método de
ensino proporcione uma melhor compreensão pelos
alunos. Um engenheiro de produção afirma que uma
nova máquina reduz em 20% o tempo de produção de
um bem.
Introdução
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• Experimentos Aleatórios (E) : Sãoaqueles onde o processo deexperimentação está sujeito a influências defatores casuais que conduzem a resultadosincertos.
Exemplo: Lançar um dado, Lançar uma moeda, Retirar uma carta do Baralho, Preço do Dólar ao final do dia.
Conceitos importantes
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• Características de um experimento aleatório :
Pode ser repetido indefinidamente sob asmesmas condições .
Podemos descrever todos os possíveisresultados.
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Conceitos importantes
• Espaço Amostral (Ω) : É o conjunto de todos ospossíveis resultados de um experimento aleatório.
Exemplo 1: Lançamento de um dado e observação da faceΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Exemplo 2: Jogar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de coroas e carasΩ=(k,k,k),(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k),(c,c,k),(c,k,c),(k,c,c), (c,c,c)
Exemplo 3: Número de mensagens transmitidas por dia em uma rede de computaçãoΩ = 0,1, 2, 3, 4, …
Exemplo 4: Tempo de duração de um equipamento
0/ tIRt
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O espaço amostral pode ser
• Finito: Número limitado de resultados.
Exemplo 1 e 2.
• Infinito Enumerável: Número infinito de
resultados que podem ser listados.
Exemplo 3.
• Infinito: Intervalo de números reais.
Exemplo 4.
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• Evento: Dado um espaço amostral Ω, associado a umexperimento E qualquer, definimos como evento qualquersubconjunto desse espaço amostral.
• Exemplo 1: Sair um número parA =
• Exemplo 2: Sair duas carasB =
• Exemplo 3: transmitir duas mensagensC =
Diz-se que “ocorre o evento A, B ou C ”, quando oresultado do experimento aleatório for um elemento de A,B ou C.
Conceitos importantes
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Alguns Eventos
• Em particular, o conjunto universo, , e o
conjunto vazio, , são também eventos, onde
é denominado de evento certo e evento
impossível.
• Se A contém apenas um elemento, dizemos
que A é um evento elementar ou simples.
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Algumas Operações entre conjuntos
• A B é o evento que ocorrerá se e somente se
A ou B ou ambos ocorrerem.
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Algumas Operações entre conjuntos
• A B é o evento que ocorrerá se e somente se
A e B ocorrerem simultaneamente.
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Algumas Operações entre conjuntos
• ocorrerá se e somente se não ocorrer A
(COMPLEMENTAR).
A
A
A
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Algumas Operações entre conjuntos
• A B ocorrerá se e somente se ocorrer A e não
ocorrer B.
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Algumas Operações entre conjuntos
• LEIS DE MORGAN:
(I) O complementar da ocorrência de pelo menos um dos
eventos é a não ocorrência de todos os eventos.
(II) O complementar da ocorrência de todos os eventos é
a não ocorrência de pelo menos um dos eventos.
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Eventos mutuamente excludentes
Dois eventos, A e B, serão mutuamente excludentes se
não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, a
ocorrência do evento A impede a ocorrência de B. Na
teoria dos conjuntos representamos que dois eventos são
mutuamente exclusivos por AB = .
Exemplo: A = sair PAR = 2, 4, 6
B = sair IMPAR = 1, 3, 5
A BExclusão mútua
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Eventos não mutuamente excludentes
Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa,
eles não são mutuamente excludentes, ou seja,
AB .
Exemplo: A = sair PAR = 2, 4, 6
B = sair nº maior que 4 = 5, 6
A BSem exclusão mútua
A B
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•REGRA DA ADIÇÃO: Se existirem k procedimentose o i-ésimo procedimento puder ser realizado de ni
maneiras, então o número de maneiras pelas quaispoderemos realizar ou o procedimento 1 ou oprocedimento 2,..., ou o procedimento k, supondoque dois deles não possam ser realizadosconjuntamente, é:
Alguns Conceitos Básicos de Contagem
•REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: O procedimentoformado por 1, seguido por 2,..., seguido peloprocedimento k poderá ser executado de :
•PERMUTAÇÃO SIMPLES: O número de maneiras dese permutar n objetos distintos é:
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•ARRANJO SIMPLES: São todas as maneiras deescolher r objetos dentre n (r<n) objetos distintos(ordenados) que diferem pela natureza e pelaORDEM.
Alguns Conceitos Básicos de Contagem
•COMBINAÇÃO SIMPLES: São todas as maneiras deescolher r objetos dentre n (r<n) objetos distintossem considerar a ordem.
•Algumas oservações:
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•EXEMPLO 1: Luciano, José, Bruno, Leiliane eAntônio vão fazer uma entrevista para um estágio.De quantas formas os candidatos podem serchamados para fazer a entrevista?
EXEMPLOS
•EXEMPLO 2: Os alunos de E. Mecânica, Física,Química Industrial , E. de Produção e E. Alimentosdisputam um campeonato em que apenas três timesserão classificados. De quantas formas pode seressa classificação?
•EXEMPLO 3: De uma produção de 10 peças, dasquais 3 são defeituosas, de quantas formaspoderemos escolher 4 peças das quais metade édefeituosa?
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•Definição: é uma medida com a qual podemosesperar a chance de ocorrência de umdeterminado evento, atribuindo um número(valor) entre 0 e 1. Assim, se temos a certeza deque um evento ocorrerá, diremos que suaprobabilidade é 1 (ou 100%), caso contráriodiremos que sua probabilidade é 0 (ou 0%).
Se, por exemplo, a probabilidade é ¼ diremos queexiste uma chance de 25% de ocorrência de talevento
Probabilidade
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Clássica
Probabilidade
número de resultados do evento A
número total de resultados no espaço amostralP(A)
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Espaços amostrais finitos e equiprováveis
• Um espaço amostral é dito finito se =
a1,a2,...,an. Considere o evento Ai = ai
formado por um resultado simples. A cada
evento simples ai associaremos um número
pi, denominado de probabilidade de ai,
satisfazendo às seguintes condições:
i) pi 0, i = 1, 2, ..., n.
ii) p1 + p2 + ... + pn =1.
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Exemplo 6
• Três cavalos, A, B e C, estão numa corrida; A é duas vezes
mais provável de ganhar que B e B é duas vezes mais do
que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um,
isto é, P(A), P(B) e P(C)? Qual é a probabilidade de que B ou
C ganhe?
Seja P(C) = p; como B é duas vezes mais provável de ganhar do
que C, P(B)=2p; e como A é duas vezes mais provável do que B,
P(A) = 2P(B) = 2(2p) = 4p. Como a soma das probabilidades tem
que ser 1; então
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1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Detemine a probabilidade de que: A =a soma seja 4.
Determine a probabilidade de que: B = (a soma seja 11.
Exeperimento: Dois dados são jogados
P(A) =
P(B) =
Espaço Amostral ()
Exemplo 9
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Tabela de contingência
Revela a existência de eventos combinados, e
facilita o tratamento probabilístico de tais
eventos.
É uma tabela que disponibiliza informações
diretamente nas linhas e colunas, e que além
dessas informações é possível visualizar
também o número de casos comuns às
interseções de eventos.
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Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades
se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão
a seguir.
J. Pessoa Recife C. Grande Total
Sim 100 150 150 400
Não 125 130 95 350
Não sabe 75 170 5 250
Total 300 450 250 1.000
Determine a probabilidade de sortear um adulto de C. Grande
ou que tenha respondido SIM
P(C. Grande SIM) = 250/1.000 + 400/1.000 – 150/1.000
= 500/1.000 = 0,5
Exemplo 10
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Perguntou-se a uma amostra de adultos formados em
engenharia, em três capitais, se eles atuavam na área. Os
resultados estão a seguir.
1. P(Natal U Sim)
2. P(Recife ∩ Não)
3. P(João Pessoa)
João Pessoa Recife Natal Total
Sim 160 220 180 560
Não 135 80 95 310
Total 295 300 275 870
Um adulto é selecionada ao acaso. Determine:
Exemplo 10
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Probabilidade condicional
Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosos
e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. Sejam
A=o 1 artigo é defeituoso e B=o 2 artigo é defeituoso.
Calcule P(A) e P(B)
a) com reposição; b) sem reposição.
a) Se extrairmos com reposição, , pois cada vez que
estivermos extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de
100.
b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que .
Mas e sobre P(B) ? É evidente que, a fim de calcularmos P(B) é
necessário conhecer a composição do lote no momento de se extrair a
segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou não.
Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte
conceito
P A P B( ) ( ) 20100
15
P A( ) 15
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Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer,
dado (ou na condição de) que outro evento B já
ocorreu.
Sempre que calcularmos P(A|B) , estaremos
essencialmente calculando P(A) em relação ao
espaço amostral reduzido B, em lugar de fazê-lo
em relação ao espaço original .
Probabilidade condicional
0)( para,)(
)()|(
BP
BP
BAPBAP
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• Observações importantes:
1) Se P(B) = 0, nada podemos afirmar a respeito
da probabilidade condicional.
2) Se A e B forem mutuamente excludentes,
então
Probabilidade condicional
P A BP
P B( / )
( )
( )
0
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 11
Dois dados são lançados ao acaso. Qual a
probabilidade da soma ser igual a 6, dado que o
primeiro dado saiu um número menor que 3
A = soma igual a 6 = (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)
B = 1º dado com nº < 3 = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4),
(1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
A B = (1,5), (2,4)
Logo P(A | B) =
Larson/Farber Ch. 3
100 150 150
125 130 95 350
75 170 5 250
J. Pessoa Recife C. Grande Total
Sim
Não
Não sabe
Total 300 450 250
400
1.000
Exemplo 12
1. P(Não | C. Grande)
2. P(João Pessoa | Sim)
3. Qual a probabilidade do adulto ter respondido não, sabendo que
ele não é de Recife?
= 95/250 = 0,38
Larson/Farber Ch. 3
Estudos realizados pela SDS da Paraíba, em relação a situação do status de
promoção de oficiais masculinos e femininos, são apresentados na tabela
abaixo (dados fictícios):
Depois de rever o registro de promoções, um comitê feminino de oficiais
levantou um caso de discriminação com base em que 288 oficiais masculinos
receberam promoções mas somente 36 oficiais femininas foram promovidas. A
administração da polícia argumentou que o número relativamente baixo de
promoções para as oficias femininas foi devido não à discriminação, mas ao
fato de que há relativamente poucas oficias mulheres na força policial. E agora,
como as mulheres podem analisar os dados para defender o seu
questionamento da acusação de discriminação?
Exemplo 13
Larson/Farber Ch. 3
Teorema da Multiplicação
A mais importante consequência da definição de
probabilidade condicional é o seguinte teorema:
Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo
espaço amostral , então:
)/()()( BAPBPBAP
)/()()( ABPAPBAP
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Teorema da Multiplicação
O teorema da multiplicação de probabilidades pode
ser generalizado para mais de dois eventos.
Sejam A1, A2,..., An eventos quaisquer de um mesmo
espaço amostral , a probabilidade da ocorrência
simultânea de A1, A2,..., An é dada por:
P(A1 A2 ... An) = P(A1)*P(A2/A1)*...*P(An/A1 A2 ... An-1)
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Exemplo 15
Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas.
Retira-se ao acaso 3 lâmpadas, sem reposição.
Calcule a probabilidade dessas 3 lâmpadas serem
boas.
Seja Ai: a i-ésima lâmpada é boa, então
P(A1 A2 A3) = P(A1)xP(A2/A1)xP(A3/A1 A2) = .5
1
4
2
5
3
6
4
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Dois carros são selecionados em uma linha
de produção com 12 unidades, 5 delas
defeituosas. Determine a probabilidade de
ambos os carros serem defeituosos.
A = o 1o carro é defeituoso.
B = o 2o carro é defeituoso.
P(A) = P(B|A) =
P(A B) =
Exemplo 16
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Teorema da probabilidade Total
Sejam A um evento qualquer do espaço amostral
e B1, B2,..., Bk uma partição do mesmo espaço
amostral , então:
P(A) = P(A/ B1)P(B1) + P(A/ B2)P(B2) + ... + P(A/ Bk)P(Bk) = P A B P Bi i
i
k
( / ) ( )
1
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 17
Voltando ao exemplo 5.1, calcule a P(B) se as
retiradas dos artigos são feitas sem reposição.
Como já vimos . Assim, temos que .
Agora, , porque se A tiver ocorrido,
então na segunda extração restarão somente 99
peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De
modo similar, temos que . Pelo teorema
da probabilidade total, temos
P A( ) 1
5P A( )
4
5
P B A( / ) 19
99
P B A( / ) 20
99
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Dois eventos A e B são independentes se a
probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada
pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A.
A = tomar uma aspirina por dia.
B = ter um ataque do coração.
A = ser mulher.
B = ter menos de 1,62 m.
Dois eventos que não são independentes são
dependentes.
A = ser mulher.
B = ter sangue tipo O.
A = 1o filho ser menino.
B = 2o filho ser menino.
Eventos independentes
Larson/Farber Ch. 3
Se os eventos A e B são independentes, P(B|A) = P(B)
Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2
são selecionados ao acaso.
A = o primeiro carro é defeituoso.
B = o segundo carro é defeituoso.
A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o
primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes.
Eventos independentes
Probabilidade condicional Probabilidade
Larson/Farber Ch. 3
Dois dados são lançados. Determine a probabilidade
de sair 4 em ambos.
A = sair 4 no primeiro dado e B = sair 4 no segundo dado.
P(A) = 1/6 P(B|A) = 1/6
P(A B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,028
Quando dois eventos A e B são independentes,
P(A B) = P(A) x P(B)
Exemplo 18
Larson/Farber Ch. 3
Teorema de Bayes
Sejam B1, B2, ..., Bk uma partição do espaço amostral , ou
seja, eventos mutuamente exclusivos. Seja A um evento
qualquer associado a S, então:
)().|()().|(
)().|(
)(
)()|(
11 kk
iiii
BPBAPBPBAP
BPBAP
Ap
ABPABP
Larson/Farber Ch. 3
Teorema de Bayes
Exemplo 16: Em uma turma 60% dos estudantes são
homens e 40% mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos
homens e 4% das mulheres tem menos de 1,60m. Dado
que um estudante com menos de 1,60m foi sorteado
aleatoriamente, qual a probabilidade de ser mulher ?
Solução: H=Homem, M = Mulher, A = menos de 1,60m
)()(
)(
)(
)()|(
AHPAMP
AMP
Ap
AMPAMP
)60,001,0()40,004,0(
40,004,0
)().|()().|(
)().|(
HPHAPMPMAP
MPMAP
727,0
Larson/Farber Ch. 3
Exemplo 19
Um Produto é escolhido ao acaso e é verificado ser defeituoso. Qual
a probabilidade dele ter vindo da fábrica 3? e
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