113
Unidade G
Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I
Tecnologia em Construção de Edifícios IFRS – CAMPUS RIO GRANDE PROFª DÉBORA BASTOS
114
1. Taxa de variação
Muitos conceitos e fenômenos físicos, econômicos, biológicos, etc. estão
relacionados com taxa de variação.
Definição 1: Taxa de variação média. Considere x variável independente e y
variável dependente. Taxa de variação média de A(x1,y1) para B(x2,y2) é calculada
por:
tvm = 12
12
xx
yy
x
y
O coeficiente angular de uma reta é uma taxa de variação (a taxa de variação
de uma reta é constante para quaisquer que sejam os pontos considerados),
velocidade e aceleração de um móvel são taxas de variação. Se quisermos estudar
a variação da variável dependente quando a independente varia, temos uma taxa de
variação.
Definição 2: Taxa de variação Instantânea. Considere x variável independente e
y variável dependente. Taxa de variação instantânea em A(x0,y0) para B(x,y) é a
variação da variável dependente quando a variação da variável independente tende
a zero, para medir-se a taxa de variação no instante x = x0.
tvi = 0
0
xx0z xx
yylim
x
ylim
0
Se quisermos a taxa de variação instantânea numa função dada, tem-se y = f(x) e
y0 = f(x0), e:
tvi = 0
0
xx xx
)x(f)x(flim
0
ou tvi =
h
)x(f)hx(flim
00
0h
Exemplo: A tabela abaixo representa a altura de uma bola em relação ao solo t
segundos após seu lançamento.
t(seg) 0 0,5 1 1,5 2
h(m) 2 6,25 8 7,25 4
Calcule as seguintes velocidades médias:
(a) de t = 0,5 para t = 1 (b) de t = 1 para t = 1,5
Observação: Nesse caso não teríamos como calcular a velocidade instantânea em
t = 1, pois não temos a lei da função que relaciona a altura da bola com o tempo
decorrido.
Exemplo: Considere que altura da bola do exemplo anterior é descrita pela função:
h(t) = -5t² + 11t + 2
Determine a velocidade instantânea da bola em t = 1s.
115
2. Derivada de f(x) num ponto
Definição 3: A derivada de uma função, cuja lei é y = f(x), num ponto em que
x = x0 é:
0
0
xx0
xx
)x(f)x(flim)x('f
0
ou f’(x0) =
h
)x(f)hx(flim
00
0h
Se o limite existir a função é dita derivável em x = x0. Se o limite não existir,
assim, a função não é derivável em x = x = x0.
Notações: f’(x0), y’(x0), )x(dx
dy0 , )x(
dx
df0
Veremos adiante, que a derivada pode não existir, pois a definição é a partir de
limite e o limite pode não existir, ou ser infinito.
Observação muito importante: A derivada de uma função num ponto é definida como
a taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto. Veremos adiante outra
importante relação da derivada de uma função num ponto com geometria.
Exemplo:1. Calcule a derivada da função, cuja lei é f(x) = x² - 9 nos pontos:
(a) x = 1
(b) x = 2
2. Calcule a derivada da função f(x) = senx no ponto x = 0.
Em vez de calcularmos n vezes limites muito semelhantes, podemos definir a função
derivada f’(x) e se precisarmos calcular em pontos específicos apenas substituir
valores de x.
3. Função Derivada de uma função
Definição 4: Função derivada. Se f é derivável para todo ponto de seu domínio,
f é dita derivável e a função derivada f’ é a função resultante do seguinte
limite:
f’(x) = h
)x(f)hx(flim
0h
116
Observação: A definição de função derivada vem da definição da derivada em um ponto,
pois apenas precisamos considerar que não queremos mais calcular a derivada num ponto
específico x0 e sim num ponto qualquer x.
Exemplo: Calcule as funções derivadas das funções, cujas leis são:
(a) f(x) = 2
(b) f(x) = 3x + 8
(c) f(x) = x²
(d) f(x) = x
Observações:
1. A notação da função derivada e derivada num ponto é questão de trocar x0 por
x. Então função derivada podemos usar as notações f’(x), y’, dx
dy,
dx
)x(df;
2. A notação dx
dy, faz referência a definição de derivada, que é uma taxa de
variação instantânea, um quociente de y por x, no limite de x 0. Na verdade
dy, dx são conceitos independentes, dy = ylim0x
e dx = xlim0x
, chamados de
diferenciais de y e de x, respectivamente. Retornaremos a esses conceitos mais
tarde1. A derivada de uma função É a divisão dos diferenciais de y por x.
1 Disciplina de Matemática II
117
4. Interpretação geométrica da derivada
Nas figuras abaixo constam o gráfico da função real f(x); os pontos
P(x0,f(x0)) e Q(x,f(x)); a reta s que passa por P e Q (reta azul) e o triângulo
retângulo PAQ, que define o coeficiente angular da reta s. Deste modo, o
coeficiente angular da reta s é dado por a = tan = x
y
. Ou seja, o coeficiente
angular da reta secante é a taxa de variação média da função entre P e Q.
A reta t (vermelha) é a reta tangente
à função y = f(x) no ponto P (x0, f(x0)).
Por definição esta reta só intersecciona a
função neste único ponto.
A medida que diminuímos x, ou melhor,
fazemos x 0, observamos que Q P e
assim, no limite, a reta secante (azul) é a
reta tangente (vermelha) à função no ponto
P. Deste modo f’(x0) como limite do
coeficiente angular da reta secante, é o
coeficiente angular da reta tangente.
Acompanhe o raciocínio abaixo para entender
melhor a interpretação geométrica da derivada.
Lembre-se que a seta significa “tende a”.
Q P reta secante reta tangente
as at t00x
sa)x('f
x
ylim
x
ya
Observação: A derivada de uma função num ponto,
ou seja, a taxa de variação instantânea no ponto
x = x0 é o coeficiente angular da reta tangente
à curva no ponto P(x0,f(x0)).
Definição 5: Equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(x0,f(x0))
y – y0 = f’(x0)(x-x0)
Também podemos definir a reta normal a uma curva, já que esta é perpendicular à
reta tangente.
Definição 6: Equação da reta normal à curva y = f(x) no ponto P(x0,f(x0))
y – y0 = )x('f
1
0
(x-x0)
118
Exemplo 1. Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da
função f(x) = -2x²+ 4x + 2 no ponto em que x = 0.
Exercício: Nas figuras acima foi usado o Geogebra2 para a função f(x) = x³ no
ponto em que x = 1. Faça a construção no Geogebra e visualize a equação da reta
tangente e normal ao ponto citado na Janela de Álgebra. Use as definições 5 e 6
e compare os resultados.
5. Funções derivadas de funções básicas
A partir dos resultados abaixo, constituiremos um formulário de derivadas.
Proposição 7: f(x) = k , k ℝ
dx
kd 0
Demonstração: Sendo f(x) = k, então f(x+h) = k. Usando a definição de função derivada.
0h
0lim
h
kklim
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(df
0h0h0h
CQD
Exemplo: y =
Proposição 8: f(x) = x
dx
xd 1
Demonstração: Sendo f(x) = x, então f(x+h) = x + h. Usando a definição de função derivada.
1h
hlim
h
xhxlim
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(df
0h0h0h
Observação: Note a notação em dx é coerente com o resultado, pois esta derivada
é a divisão de um número por ele mesmo (dx /dx), logo o resultado só pode ser 1.
Proposição 9: g(x)= af(x) dx
)x(dfa
dx
))x(af(d
Demonstração: Sendo g(x) = af(x), então g(x+h) = af(x+h). Usando a definição de função derivada.
h
)x(f)hx(falim
h
)x(af)hx(aflim
h
)x(g)hx(glim
dx
)x(dg
0h0h0h
= dx
)x(dfa
h
)x(f)hx(flima
0h
CQD
Exemplo: y = 5x
2 Baixe o programa em www.geogebra.org . O GegoGebra também possui versão para Android.
119
Proposição 10: u(x)= f(x) + g(x) dx
)x(dg
dx
)x(df
dx
))x(g)x(f(d
Demonstração: Sendo u(x) = f(x) + g(x), então u(x+h) = f(x+h)+g(x+h). Usando a definição de função derivada.
h
)x(g)x(f)hx(g)hx(flim
h
)x(g)x(f)hx(g)hx(flim
dx
)x(du
0h0h
dx
)x(dg
dx
)x(df
h
)x(g)hx(glim
h
)x(f)hx(flim
h
)x(g)hx(g)x(f)hx(flim
0h0h0h
CQD
Observação: Aqui verificamos algo que podemos considerar trivial, mas não o é.
A derivada da soma é a soma das derivadas, mas a derivada do produto NÃO É o
produto das derivadas, muito menos a derivada do quociente é o quociente das
derivadas.
Exemplo: f(x) = 8x +
Proposição 11: f(x) = xn
dx
xdn
nxn-1
Exemplo: Faça as derivadas das funções abaixo por definição.
1. f(x) = x³
2. f(x) = x4
3. f(x) = x5
120
Observação: Todas essas funções com n natural tem um padrão que podemos
generalizar segundo a demonstração abaixo para este caso.
Demonstração: Considere o binômio de Newton
bba1-n
n...ba
3
nba
2
n+ ba
1
n + a=b)+(a
n1-n33-n22-n1-nnn
e que
k
n é o número do Triângulo de Pascal que está situado na linha n e na coluna k. Assim n
1n
n
1
n
.
Sendo f(x) = xn, então f(x+h) = (x+h)n e por sua vez :
(x + h)n= hhxn...hx3
nhx
2
n+ hxn + x
n1-n33-n22-n1-nn
Usando a definição de função derivada.
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(df
0h
=
h
x-hhxn...hx3
nhx
2
n+ hxn + x
lim
nn1-n33-n22-n1-nn
0h
=
h
hhxn...hx3
nhx
2
n+ hxn
lim
n1-n33-n22-n1-n
0h
=
h
hhxn...hx3
nhx
2
n+ nxh
lim
1n2-n23-n2-n1-n
0h
=
1n2-n23-n2-n1-n
0h
hhxn...hx3
nhx
2
n+ nxlim nxn-1 CQD
Exemplo: f(x) = 4x³ - 3x + 5
Proposição 12: u(x) = f(x).g(x) dx
)x(df)x(g
dx
)x(dg)x(f
dx
))x(g)x(f(d
Demonstração:
Anulam-se.
0 0 0 0
121
Sendo u(x) = f(x).g(x), então u(x+h) = f(x+h).g(x+h). Usando a definição de função derivada.
h
)x(g)x(f)hx(g)hx(flim
dx
)x(du
0h
=
h
)x(g)x(f)x(g)hx(f)x(g)hx(f)hx(g)hx(flim
0h
=
h
)x(f)hx(f)x(g)x(g)hx(g)hx(flim
0h
=
h
)x(f)hx(f)x(glim
h
)x(g)hx(g)hx(flim
0h0h
=
dx
)x(df)x(g
dx
)x(dg)x(f
h
)x(f)hx(flim)x(g
h
)x(g)hx(glim)x(f
0h0h
. CQD
Exemplo:1. h(x) = 4x2³xx
2. u(x) = (x2-3x+1)2
Proposição 13: f(x) = senx xcosdx
)senx(d
Demonstração: Sendo f(x) = senx, então f(x+h) = sen(x+h) = sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x). Usando a definição de função derivada.
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(df
0h
=
h
)xcos()h(sen)x(sen)hcos()x(senlim
h
)x(sen)xcos()h(sen)hcos()x(senlim
0h0h
h
)xcos()h(senlim
h
1)hcos()x(senlim
0h0h
1)xcos(1)hcos(
1)hcos(
h
1)hcos(lim)x(sen
0h
=
)xcos(1)hcos(h
)h(senlim)x(sen
2
0h
)xcos(
1)hcos(
)h(sen
h
)h(senlim)x(sen
0h
xcos0)senx(xcos1)hcos(
)h(senlim)x(sen
0h
= cosx CQD
0 Exemplos: 1. h(x) = (x+1).senx
Somar ZERO
Colocar f(x+h) em evidência Colocar g(x) em evidência
Fundamental do seno!!!
Fundamental do seno!!!
122
2. h(x) = sen2x
Proposição 14: f(x) = cosx senxdx
)x(cosd
Demonstração: Sendo f(x) = cosx, então f(x+h) = cos(x+h) = cos(x)cos(h)-sen(x)sen(h). Usando a definição de função derivada.
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(df
0h
=
h
)h(sen)x(sen)xcos()hcos()xcos(lim
h
)xcos()h(sen)x(sen)hcos()xcos(lim
0h0h
h
)h(senlim)x(sen
h
1)hcos(lim)xcos(
h
)h(sen)x(senlim
h
1)hcos()xcos(lim
0h0h0h0h
=
0 (já resolvemos)
= )x(sen1)x(sen0)xcos( CQD
Exemplos: 1. h(x)=(senx).(cosx)
2. h(x)= cos2x
Proposição 15: f(x) = ax alnadx
)a(d x
x
Fundamental
do seno!!!
123
Demonstração: Sendo f(x) = ax, então f(x+h) = ax+h. Usando a definição de função derivada.
h
aaalim
h
aalim
h
)x(f)hx(flim
dx
)x(dfxhx
0h
xhx
0h0h
=
aln.ah
1alima
h
1aalim
x
h
0h
x
hx
0h
CQD
Exemplo: Derive a função f(x) = 1x .
Corolário 16: f(x) = ex x
x
edx
)e(d
Demonstração:
Sendo f(x) = ex, basta aplicar a proposição 15, com a = e.
xxx
x
e1eelnedx
)e(d
Proposição 17: Regra da cadeia Suponhamos que sejam deriváveis a função f(x)
e g(x) em relação à variável x, sendo elas f’(x) e g’(x), então:
dx
)x(gd)x(g
dx
df
dx
)x(fogd
Demonstração:
fog’(x)=h
))x(g(f))hx(g(flim
0h
=
)x(g)hx(g
)x(g)hx(g.
h
))x(g(f))hx(g(flim
0h
h
)x(g)hx(g.
)x(g)hx(g
))x(g(f))hx(g(flim
0h h
)x(g)hx(glim.
)x(g)hx(g
))x(g(f))hx(g(flim
0h0h
(1)
Sabemos que h
)x(g)hx(glim
0h
= g’(x). Precisamos resolver:
)x(g)hx(g
))x(g(f))hx(g(flim
0h
Faremos uma troca de variáveis: t = g(x+h) – g(x). Com h 0, teremos t 0. Isolando g(x+h) = g(x) + t. Substituindo isso no limite:
t
))x(g(f)t)x(g(flim
0t
. Já temos aqui o que queremos provar, mas não enxergamos. Assim, faremos o uso da notação y
= g(x) para visualizar.
t
))x(g(f)t)x(g(flim
0t
)x(g
dx
df
dx
)y(df
t
)y(f)ty(flim
0t
Voltando a (1):
dx
)x(fogd
h
)x(g)hx(glim.
)x(g)hx(g
))x(g(f))hx(g(flim
0h0h
=
dx
)x(gd)x(g
dx
df CQD
Proposição do último limite fundamental!!!
124
Observação: 1. Sabendo as derivadas f’(x) e g’(x), a derivada da composta é o
produto de derivada de f, substituindo x por g(x), )x(gdx
df, por g’(x).
2. Toda essa demonstração NÃO É PARA ESQUECERES A MULTIPLICAÇÃO POR g’(x). Ela
é fundamental, sem ela a derivada ESTÁ TOTALMENTE ERRADA.
Exemplo: Derive as funções abaixo:
(a) h(x) = )x5(sen
(b) u(x) = sen(x²)
(c) h(x) = sen(ex)
(d) u(x) = )x5(sen2
125
(e) h(x) = 5senx
(f) u(x) = sec(x)
(g) h(x) = cos(3x²)
(h) u(x) = sen4(cos(e2x))
126
(i) h(x) = )x5(sen
2
2
Corolário 18: Seja f(x) e g(x)=xn, considerando a função f(x) derivável, ou seja,
f’(x) existe, então a derivada da função gof(x) = g(f(x)) = f(x)n é dada por:
dx
)x(fd)x(nf
dx
)x(fd 1n
n
Demonstração: Aplicando a regra da cadeia: Usando a versão gof(x):
dx
)x(fd)x(f
dx
dg
dx
)x(gofd
Considere g(x) = xn e f(x) qualquer função de x. gof(x) =f(x)n. A derivada de g(x) é : dx
)x(dg= nxn-1, então
1n)x(nf)x(f
dx
dg . Substituindo na regra da cadeia:
dx
)x(fd)x(nf
dx
)x(fd 1n
n
. CQD
Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo:
(a) f(x)= (x2 + 1)100
127
(b) g(x)= 3²x4
(c) h(x)= 22
x3x
1
(d) u(x) = cos3(2x)
Proposição 19: u(x) = )x(g
)x(f
)²x(g
dx
)x(gd)x(f
dx
)x(fd)x(g
)x(g
)x(f
dx
d
Demonstração: Podemos demonstrar a derivada da divisão de duas funções considerando que dividir equivale a multiplicar pelo inverso.
A proposição 12 nos diz que dx
)x(df)x(g
dx
)x(dg)x(f
dx
))x(g)x(f(d
. Nela, faremos a seguinte adaptação:
1)x(g)x(f
)x(g
)x(f . Assim substituindo na proposição 12:
dx
)x(df)x(g
dx
)x(gd)x(f
dx
))x(g)x(f(d
)x(g
)x(f
dx
d 1
11
. (1)
128
Conhecemos f(x) e g(x), também suas derivadas, mas ainda não sabemos quem é a derivada de [g(x)]-1 = )x(g
1.3
Agora, usando o corolário 18, temos que
dx
)x(gd)x(g
dx
)x(gd)x(g1
dx
)x(gd 211
1
.
Precisamos voltar para a equação (1):
)x(g
)x(f
dx
d
dx
)x(df)x(g
dx
)x(gd)x(g).x(f
12 =
dx
)x(df
)x(g
1
dx
)x(gd
)x(g
)x(f2
.
Neste ponto do desenvolvimento para chegar na resposta, só precisamos manipular algebricamente a expressão.
)x(g
)x(f
dx
d
222)x(g
dx
)x(gd)x(f
dx
)x(fd)x(g
)x(g
dx
)x(gd)x(f
)x(g
dx
)x(fd
dx
)x(gd
)x(g
)x(f
dx
)x(fd
)x(g
1
. CQD
Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo:
(a) f(x)= x43
1x2
(b) h(x)= tanx
(c) h(x) = )1x2cos(
31x2
3 Não podemos confundir [g(x)]-1 com g-1(x). Como por exemplo, se g(x) = ax, então
[g(x)]-1 = a-x e g-1(x)=logax. Uma é O inverso, e a outra é A inversa. Conceitos matemáticos
totalmente diferentes.
129
6. Derivada da Função Inversa
Funções inversas entre si tem a seguinte característica
f: A B e g: B A
y = f(x) y= g(x)
Então
gof: A A e fog: B B
gof(x)=x fog(x)=x
Veremos como calcular a derivada de uma função conhecendo a derivada de
sua inversa. Por exemplo, f(x) = x2 em ]0,+[ e g(x) = x em ]0,+[ são funções inversas.
Vejamos: f’(x) = 2x e g’(x)= x2
1
Reescreveremos da seguinte maneira, considerando que y = f-1(x)= x
g’(x)= y2
1=
)y('f
1
Teorema 20: Teorema da função inversa Seja f: I ℝ uma função derivável e
crescente (ou decrescente) em um intervalo não trivial I. Se f’(x) 0 para
todo x I, então f-1 é derivável em f(I) e (f-1)’(f(x))= )x('f
1.
Demonstração: Considerando a regra da cadeia para fof-1(x) = x, derivaremos cada membro da equação, o primeiro pela regra da cadeia e o segundo pela derivada de x em relação a x.
dx
)x(fd)x(f
dx
df
dx
)x(offd11
1dx
)x(fd)x(f
dx
df1
Passando f’(x) dividindo o segundo membro:
dx
)x(fd
1)x(f
dx
df1
CQD
Observação: Nota-se que o primeiro membro significa que a derivada da inversa de
f está composta com f e é isso que é o inverso da derivada de f. O que realmente
queremos é dx
)x(df1
e não )x(fdx
df1
. Para isso devemos ter conhecimento de funções
compostas.
Exemplo: Determine as derivadas das funções abaixo, pelo teorema da função
inversa.
a) f(x) = x2 em ]0,+[ e g(x) = x em ]0,+[
130
(b) f: ℝ ℝ+∗ f-1: ℝ+
∗ ℝ
f(x)= ax f-1(x) = logax
(b) f: [0,2] [-1,1] f-1: [-1,1] [0,2]
f(x) = sen(x) f-1(x) = arcsen(x)
(c) f:
2,
2
ℝ f-1: ℝ
2,
2
f(x) = tan(x) f-1(x) = arctan(x)
131
7. Funções não deriváveis
Existem funções que não possuem
derivadas em alguns pontos e também que não
são deriváveis em nenhum ponto. Vamos
analisar a característica geométrica da
função que não é derivável em algum ponto.
Como sabemos, a derivada em um ponto
é o coeficiente angular da reta tangente
ao gráfico da função no ponto dado. Para a
derivada não existir, o limite que a define
não existe, ou seja:
0
0
xx0
0
xx xx
)x(f)x(flim
xx
)x(f)x(flim
00
O coeficiente da reta tangente que se
aproxima do ponto em que x = x0 pela
esquerda é diferente do coeficiente da reta
tangente que se aproxima pela direita.
Assim temos duas retas tangentes distintas
para o mesmo ponto.
Quando isso acontece? Observe o
gráfico ao lado. A reta a (azul) é a reta
tangente ao gráfico no ponto A(2,0) pela
esquerda. A reta b (vermelha) é a reta
tangente ao gráfico no ponto A pela direita. O gráfico possui um “bico” neste
ponto, assim como no ponto B(-2,0). A função f não é derivável nos pontos A e B.
Para uma função ser derivável o comportamento do gráfico não pode ter
mudanças abruptas. Outro fator que torna uma função não derivável num ponto é a
descontinuidade. Pelo mesmo motivo dos “bicos”, quando a função é descontínua
num ponto, as retas tangentes pela esquerda e pela direita deste ponto não
coincidem.
No gráfico à esquerda, a função é
descontinua no ponto O(0,0). A reta tangente à
função no ponto O pela esquerda é a reta
horizontal d (verde) e a reta tangente à função
no ponto O pela direita é a reta vertical e
(vermelha). Também não é derivável.
Proposição 21: Se a função y = f(x) não é
contínua no ponto x = x0, então f(x) não é
derivável no ponto x = x0.
Corolário 22: (Contra recíproca) A função
derivável no ponto x = x0 é contínua no ponto
x = x0
8. Derivadas Laterais
Definição 23: Derivada lateral à direita da função y=f(x) no ponto x = xo é dado por f’+(x0) = 0
0
xx xx
)x(f)x(flim
0
.
Definição 24: Derivada lateral à esquerda da função y=f(x) no ponto x = xo é dado por f’-(x0) = 0
0
xx xx
)x(f)x(flim
0
.
132
Importante definição para, por exemplo, determinarmos retas tangentes a curvas
em ponto com “picos”, ou em pontos de descontinuidade, cujas derivadas não
existem, mas as laterais podem existir.
Exemplos: Verifique se há pontos em que a função f(x) não é derivável.
(a) f(x) = x
(b)f(x)= 1)1x(32
133
(b) g(x) = 2
32x3
Observação: Rigorosamente o limite não sendo finito ele não existe, mas se a
derivada por infinita significa que o coeficiente angular da reta tangente é
infinito??? Sim, pois a = tan e se o ângulo correspondente a “tangente infinita” é 90º. Ou seja, quando a derivada é infinita num ponto, a reta tangente à função
nesse ponto é vertical.
9. Derivadas Sucessivas
O princípio é simples. Dizemos que derivada segunda de uma função é a
derivada da função derivada. A derivada terceira é a derivada da derivada
segunda e assim por diante.
Notação: Para derivada segunda (derivada da derivada) "y"fdx
fd
2
2
Para derivada terceira (derivada da derivada segunda) 3
3
dx
fd= f”’ = y”’
Observações:
1. Nada podemos garantir sobre a derivabilidade de uma função n vezes. Existem
funções que são infinitamente deriváveis e outras não existe se quer a derivada
de ordem.
2. Podemos relacionar este fato com a continuidade das funções.
3. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em função do tempo. Por sua
vez, velocidade é a taxa de variação do deslocamento em função do tempo, ou seja,
a aceleração é a derivada segunda do deslocamento em relação ao tempo.
Exemplo: Determine as derivadas indicadas:
134
(a) Derivada segunda de f(x)= (x2 + 1)100
(b) Derivada quinta de f(x)= arcsen(cos(5x))
10. Alguns exercícios
Atenção: Os exercícios aqui indicados são apenas uma amostra.
RECOMENDAMOS EXPRESSAMENTE que busques fontes bibliográficos para
complementar teu estudo.
Em relação às funções abaixo, calcule as derivadas nos pontos indicados se
existirem:
1- f(x) = x³ determine f’(1)
2- f(x) = x²+x
1 determine f’(1)
3- f(x) = x2 determine f’(2)
4- f(x) = 1²x
1
determine f’(0)
Determine a equação da reta tangente às funções abaixo, nos pontos indicados:
5- f(x) = x²- 3x – 4 no ponto em que x = -1
6- f(x) = x
1 no ponto em que x = 1
7- f(x) = 1x no ponto em que x = 5
135
8- Um projétil é lançado de um penhasco de 122,5 metros de altura. O
deslocamento s, em metros, do projétil em função do tempo t, em segundos, é
descrito pela função s(t)=4,9t², determine a velocidade e a aceleração do
projétil nos instantes:
(a) t = 0 s (b) t = 1 s (c) t = 3 s (d) Em que atinge o solo.
Determine as funções derivadas das funções abaixo:
9- f(x) = 3x(8x³-2)
10- g(x) = 3²x
1x
11- h(x) = 3 2x7²x6
12- f(x) = e(x³+2)³
13- g(x) = )1x2ln(
1x2
14- h(x) = 1x
ex
15- f(x) = 4
x21
1x3
16- g(x) = x11
17- h(x) = cos(4x²-1)
18- f(x)=
2
9x4²sen
19- g(x)=ln(cos(5x))
20- h(x) = tan(x)
21- f(x) =
x4²x3
senxln
22- g(x) =
2
xe
²x9ln
23- h(x) = (3x²+5)4x+1
24- f(x) = )x5(tan12
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