Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional - ERMAC
30 e 31 de Maio e 01 de junho de 2012 UNESP – Campus de Botucatu
Um modelo de transmissão de moléstias infecciosas envolvendo duas
populações: distribuição quase-estacionária e a matriz de covariância
Maria Ângela Caldas Didier Departamento de Matemática da UFRPE,
Rua D Manoel Medeiros, s/n, Dois Irmãos Recife (0xx)81 3320-6001 E-mail: [email protected]
César Augusto Rodrigues Castilho Departamento de Matemática da UFPE,
Av. Prof. Moraes Rego, 1235 - Cidade Universitária Recife - PE - CEP: 50670-901 2126.8029
E-mail: [email protected]
Resumo: Neste trabalho, são apresentados
modelos de acoplamento de jump Markoviano
do tipo SIS (JPMDA, JPMCA e om JPMCA-
STP), com duas populações de tamanhos
constantes. As populações foram distribuídas
de forma homogênea com mecanismo de
transmissão direta de um indivíduo infectado de
uma população para um indivíduo suscetível da
outra população. Não existe transmissão entre
indivíduos de mesma população. Procurou-se
explorar o comportamento da distribuição
quase estacionária mostrando-se a dificuldade
em determiná-la de forma analítica para este
modelo. Para populações de tamanhos
suficientemente grandes e para um intervalo
[0,T] com T fixo, podemos aproximar o
equilíbrio estocástico do equilíbrio
determinístico. A matriz de covariância das
variáveis aleatórias para um modelo estocástico
de acoplamento de SIS satisfaz uma equação
diferencial linear. Assim, foi dado um
tratamento determinístico para o modelo
estocástico e determinamos o equilíbrio da
matriz de covariância. A alta variância nos
dados obtidos em campo para doenças
complexas como a Esquistossomose é um
obstáculo na sua descrição. Este fenômeno foi
descrito como resultado de um simples
acoplamento de modelos SIS entre duas
populações. A análise dos resultados obtidos
para as distribuições quase-estacionárias e para
o equilíbrio da matriz de covariância foi
realizada em função da reprodutividade basal,
que é um indicador de surto epidêmico.
Palavras-chave: Epidemia; Acoplamento de
SIS Logístico; Reprodutividade Basal; Processo
de jump Markoviano; Distribuição Quase-
estacionária; Matriz de Covariância.
1 - Introdução Nos modelos estocásticos, em alguns casos,
o tempo até a extinção da doença pode ser
muito longo [7]. Portanto, neste trabalho foi
investigada a possibilidade de construção de
uma distribuição de probabilidade condicionada
a não extinção da doença: a distribuição de
probabilidade quase-estacionária. Tais tipos de
distribuições em cadeias de Markov em tempo
discreto foram estudadas por Seneta e Vere
Jones [12] e em tempo-contínuo por Darroch e
Seneta [11]. Na definição de epidemia,
distribuições quase-estacionárias em tempo
contínuo foram estudadas por Kryscio e
Lefevre [6]. Recentemente, Nasell estudou as
distribuições quase-estacionárias para o
modelo SIS estocástico em tempo-contínuo
sem nascimentos e mortes [8,9] e para o
modelo SIR estocástico em tempo-contínuo,
também, sem nascimentos e mortes [10]. Ele
mostrou que as distribuições quase-
estacionárias têm formas diferentes dependendo
do valor de R0 e sua relação com N, o tamanho
total da população. Três regiões paramétricas
diferentes determinam a forma das
distribuições quase-estacionárias. Quando R0 <
1 ela é aproximadamente geométrica, quando
R0 > 1 ela é aproximadamente normal e existe
uma relação de transição quando R0 se
aproxima de 1, a forma da distribuição é
complexa. O tempo de extinção também
depende das três regiões [10].
Partindo-se desses pressupostos este
trabalho teve como objetivo principal
apresentar as vantagens e limitações dos
modelos determinísticos e estocásticos de
acoplamento SIS (suscetíveis – infectados –
suscetíveis) através de uma modelagem
minimalista. Conseguimos explicitar algumas
dificuldades encontradas com a modelagem de
doenças mais complexas como a
Esquistossomose e as Infecções Hospitalares.
5
ISSN 2317-3297
Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional - ERMAC
30 e 31 de Maio e 01 de junho de 2012 UNESP – Campus de Botucatu
Um modelo estocástico de jump Markoviano
para o acoplamento de modelos SIS (JPMCA)
foi construído introduzindo um vetor
bidimensional de cadeias de Markov (Ih(t);
If(t)), t ≥0 onde Ih(t) representa o número de
indivíduos infectados de uma população H e
If(t), o número de indivíduos infectados de uma
população F.
2 - Considerações Iniciais sobre a
Modelagem O modelo JPMCA desenvolvido neste
trabalho foi baseado no modelo de jump
Markovino para doenças do tipo SIS proposto
por Nasell [8]. Em Didier [4] é mostrado em
detalhes, que o tratamento analítico para a
obtenção de uma distribuição quase-
estacionária é complexo. Foi recorrido então a
aproximações analíticas e numéricas e foi
demonstrado que o tempo de extinção para o
modelo de acoplamento em tempo contínuo
construído com início em uma distribuição
quase-estacionária tem crescimento
exponencial. Segundo Barbour [1], pelo
Teorema Central do Limite, para populações de
tamanhos suficientemente grandes e para um
intervalo [0,T] com T fixo, pode-se aproximar
o equilíbrio estocástico do equilíbrio
determinístico. Além disso, ele mostrou que a
matriz de covariância das variáveis aleatórias
para um modelo estocástico de acoplamento de
SIS satisfaz uma equação diferencial linear.
Assim, foi realizada uma pequena modificação
no modelo de acoplamento assumindo apenas
que a probabilidade do tempo de permanência
em um mesmo estado seja nula, modelo
baseado no modelo do Barbour, foi calculado o
equilíbrio da matriz de covariância e analisado
alguns resultados obtidos em instâncias dos
parâmetros de base (taxas de transmissão e de
recuperação) do modelo estocástico. Foi
observado uma alta variância nos resultados
obtidos através de um simples acoplamento
entre duas populações, o que é comprovado na
alta variância de dados obtidos em campo,
obstáculo na descrição de tais doenças para tais
modelos [2]. Para a demonstração dos
resultados obtidos, nos referimos a um valor
limiar usado na epidemiologia, a
reprodutividade basal (R0) definido como o
valor esperado de infectados que derivam
diretamente de um único indivíduo infectado da
mesma população durante o seu período
infeccioso [5]. Este valor é fundamental para o
estudo de epidemias, em particular, para a
dinâmica de uma doença. Foi dado um
tratamento determinístico ao modelo de
acoplamento de SIS estocásticos e
consideramos o valor de R0 igual a razão entre
o produto das taxas de transmissão e o produto
das taxas de recuperação da doença tratada.
3 – Modelos JPMDA e JPMCA Baseando-se no modelo SIS estocástico em
tempo-contínuo sem nascimentos e mortes
[8,9], foi construído um modelo de jump
puramente Markoviano em tempo-discreto para
o acoplamento de dois modelos SIS
denominado modelo JPMDA. Foi definido um
vetor bidimensional (Ih(t); If(t)), t ≥0 onde Ih(t)
representa o número de indivíduos infectados
de uma população H e If(t), o número de
indivíduos infectados de uma população F,
onde Nh e Nf são os tamanhos das populações H
e F, respectivamente, e são considerados
constantes. O tamanhos das cadeias Ih(t) e If(t),
são Nh +1 e Nf +1, respectivamente. As
hipóteses para o acoplamento de dois modelos
SIS são formuladas em termos de expressões
para a probabilidade de transição sobre
pequenos intervalos de tempo. A interpretação
restringe-se às taxas de infecção αh (de um
indivíduo infectado da população F infectar um
indivíduo suscetível da população H) e αf (de
um indivíduo infectado da população H infectar
um indivíduo suscetível da população F) e às
taxas de recuperação γh e γf dos indivíduos
infectados das populações H e F,
respectivamente. O modelo JPMDA foi
definido através das probabilidades de transição
das variáveis aleatórias Ih(t) e If(t) durante o
intervalo Δt.
Na Tabela 1 são apresentadas as
probabilidades de transição utilizadas no
modelo JPMDA.
Fizemos os intervalos de tempo para
transição dos estados do modelo JPMDA tender
a zero, resultando no modelo de jump
puramente Markoviano para o acoplamento de
dois SIS em tempo-contínuo denotado por
JPMCA.
Neste modelo foi considerada a matriz
associada às equações de Kolmogorov para as
probabilidades de transição do processo de
Poisson tempo-contínuo (∆t→0) [3] e as
probabilidades dos estados do vetor aleatório
(Ih(t);If(t)), t ≥0 foram denotadas através do
vetor p(t)=P{(Ih(t); If(t))=(ih,if)} as quais
dependem da distribuição inicial p(0).
6
ISSN 2317-3297
Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional - ERMAC
30 e 31 de Maio e 01 de junho de 2012 UNESP – Campus de Botucatu
Tabela l: Probabilidades de transição durante um
intervalo de tempo Δt.
Vetor de transição bidimensional Probabilidades
(Ih; If)→ (Ih+1; If-1)
(Ih; If)→ (Ih+1; If)
(Ih; If)→ (Ih+1; If+1)
(Ih; If)→ (Ih; If-1)
(Ih; If)→ (Ih; If)
(Ih; If)→ (Ih; If +1)
(Ih; If)→ (Ih-1; If -1)
(Ih; If)→ (Ih-1; If )
(Ih; If)→ (Ih-1; If +1)
o(Δ2t)
(αhIf(Nh-Ih )Δ t)/Nh
+o(Δ2t)
o(Δ2t)
If γf Δt + o(Δ2t)
1-(soma das
probabilidades de
transição deste estado
para todos os outros)
(αfIh(Nf-If )Δ t)/Nf +
o(Δ2t)
o(Δ2t)
Ih γh Δt + o(Δ2t)
o(Δ2t)
Portanto, as equações de Kolmogorov foram
escritas na forma matricial
(p')T
=pTA, (1)
onde p(t) é um vetor coluna com componentes
p(ih,if)(t) onde, 1≤ ih≤Nh , 1≤ if≤ Nf e A, é uma
matriz quadrada de ordem (Nh+1)(Nf+1),
definida por
A=M-I (2)
sendo I a matriz identidade de ordem
(Nh+1).(Nf+1) e M, a matriz de transição de
Markov com ∆t=1. A matriz A possui cinco
diagonais, possivelmente, não nulas. Além
disso, a soma de suas linhas é igual à zero, dado
que a soma das linhas da matriz de Markov é
igual a um. A distribuição estacionária é a
trivial que tem probabilidade 1 na origem, visto
que a primeira linha de A é nula. Ainda,
notamos que o estado (0,0) (estado livre de
infecção) é absorvente e os estados (ih,if) com,
1≤ ih≤Nh , 1≤ if≤ Nf são estados transientes
para o nosso modelo.
O vetor solução estacionária do processo de
Poisson definido pela equação (1) tem a sua
primeira componente igual a um e as demais
nulas. O que o torna não informativo, assim,
construímos um vetor solução condicionando o
processo a não extinção, ou seja, não
permitindo que o estado (0,0) seja alcançado.
Portanto, a distribuição quase-estacionária é
uma distribuição estacionária condicional. Ou
seja, para defini-la, foi estudado o processo de
Poisson em tempo-contínuo para o vetor
aleatório (Ih(t),If(t)) condicionado a não-
extinção no tempo t. Nós denotamos por q(t), o
vetor coluna cujas entradas são as
probabilidades q(ih,if)(t) dos estados (ih,if) para
1≤ ih≤Nh e 1≤ if≤ Nf . Observe que q(t)
depende da distribuição inicial q(0). Então,
produzimos um sistema de equações
diferenciais para q(t) estritamente relacionado
com o sistema dado na equação (1). Seja pQ(t) o
vetor contendo todas as componentes de p(t)
exceto a primeira, e assuma que o estado
inicial (Ih(0),If(0))≠(0,0). Defina então,
q(t)=pQ(t)/(1-p(0,0)(t)). Observamos aqui, que o
vetor q(t) será uma distribuição visto que a sua
definição parte de um vetor distribuição p(t)
que é solução da equação que define o processo
de jump de Markov no tempo-contínuo
(JPMCA). Diferenciando-se q(t) em relação a t
e usando a equação (1), produz-se a equação
qTAQ= -(γh q(1,0) + γf q(0,1) )q, (3)
onde AQ é a matriz Nh Nf ×Nh Nf formada a
partir de A deletando-se a primeira linha e a
primeira coluna. A distribuição quase-
estacionária é gerada por Nf+1 parâmetros.
Apresentamos a forma de recorrência para o
cálculo do vetor q do modelo de acoplamento
JPMCA e estudamos as condições necessárias e
suficientes para que este vetor seja, de fato,
uma distribuição. Com o propósito de conseguir
uma distribuição quase-estacionária em nossas
simulações, foram necessárias várias
atribuições para as Nf+1 probabilidades
associadas as Nf+1 primeiras coordenadas do
vetor q. Foram encontradas equações de
recorrência para a sua determinação, porém,
elas apresentaram problemas numéricos. Em
alguns casos, conseguimos as coordenadas do
vetor q em função da reprodutividade basal
determinística R0D de modo que ele seja uma
distribuição. Para os demais casos, não
conseguimos determinar condições analíticas
explícitas de modo que o vetor q encontrado
fosse uma distribuição. Em Didier [4] são
apresentadas as demonstrações e os exemplos.
4 - Tratamento Determinístico e a
Reprodutividade Basal O modelo JPMCA foi redefinido de forma
que a probabilidade de permanência do vetor
aleatório (Ih(t),If(t)) em um mesmo estado seja
nula e o denotamos por JPMCA-STP.
Consideramos
7
ISSN 2317-3297
Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional - ERMAC
30 e 31 de Maio e 01 de junho de 2012 UNESP – Campus de Botucatu
Îh(t)= Ih(t)/Nh
Îf(t)= If(t)/Nf (4)
com as variáveis Îh(t) e Îf(t) normalizadas,
soluções das equações diferenciais
dÎh/dt=αh(1-Îh ) Îf - γhÎh, (5)
dÎf/dt=αf(1-Îf) Îh – γfÎf.
Os pontos críticos deste sistema de equações
diferenciais são o trivial (0,0) e, o não-trivial
(Ih*,If
*) =
[(γhγf(R0D-1))/(( αh+γh) αf) ;
( γhγf(R0
D -1))/((αf+γf) αh )], (6)
onde R0D= αhαf/ γhγf . A razão entre o produto
das taxas de transmissão e o produto das taxas
de recuperação denotada por R0D é interpretada
como o valor esperado de infectados que
derivam diretamente de um único infectado da
mesma população durante o seu período
infeccioso, conhecido como valor de
reprodutividade basal para este modelo. Foi
demonstrado que para R0D>1 o equilíbrio não-
trivial é (Ih*,If
*) um nódulo impróprio
assintoticamente estável. Ou seja, temos um
equilíbrio endêmico em (Ih*,If
*) [4].
5 - Matriz de Covariância Analisamos o comportamento das variáveis
aleatórias Ih(t) e If(t) do modelo estocástico,
próximo do equilíbrio determinístico (Ih*,If
*).
Segundo Barbour [1], o teorema central do
limite é válido em qualquer intervalo de tempo
finito [0,T]. Foi considerada a matriz de
derivadas parciais das funções definidas
F((Îh,Îf))=(F1((Îh,Îf)),F2((Îh,Îf))) pelo sistema de
equações diferenciais do modelo determinístico
normalizado visto no sistema de equações
diferenciais (5) calculada no ponto de equilíbrio
e as mudanças de variáveis definidas (Îh*,Îf
*) no
sistema (4). Assim, conseguimos o equilíbrio da
matriz de covariância com a seguinte forma:
∑(∞)=((-xv-2yb)/(2x),b,b,(tv-2bw)/(2t)) (7)
onde ,
b=(yxtv+wtxv)/(2x 2t+2xt
2 - 2ywt-2ywx) (8)
Denotamos por x, y, w e t, os elementos da
matriz das derivadas parciais das funções
F1((Îh,Îf)) e F2((Îh,Îf)) ordenados por linha e
xv,yv,wv e tv os elementos da matriz σ2(t),
matriz de variância, também ordenados por
linhas. Foi observado que sob certas condições
nos tamanhos das populações, do determinante
da matriz das derivadas parciais calculada, no
ponto de equilíbrio e nas taxas de transmissão e
recuperação da doença, é possível obter
resultados do cálculo do equilíbrio da matriz de
covariância das variáveis aleatórias Ih(t) e If(t)
para t≥0 do modelo JPMCA-STP.
Na Tabela 2 abaixo é apresentada a situação
de equilíbrio do Modelo JPMCA-STP.
Tabela 2: Situação de equilíbrio da matriz de
covariância das variáveis aleatórias do modelo
JPMCA-STP.
Nas diagonais das matrizes de covariância
obtidas para a Tabela acima temos as variâncias
das variáveis aleatórias Ih(t) e If(t) , t≥0. Foi
observado que para Nh=Nf e R0D>1 os valores
obtidos nas diagonais são não-negativos.
Observamos também que os valores para as
covariâncias entre as variáveis Ih(t) e If(t) são
positivos. Isto significa que se a variável
aleatória Ih(t) assumir um valor grande (ou
pequeno) o mesmo acontece com a variável
aleatória If(t) no equilíbrio, ainda que esta
relação seja pequena.
N
h
N
f
α
h
α
f
γh γf Var
(Ih)
Var
(If)
Cov
(Ih,If)
Cov
(If,Ih)
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
.
3
0
.
3
0
.
3
0
.
3
0
.
1
0
.
6
0
.
1
0
.
6
0
.
0
1
0
.
0
6
0
.
0
1
0
.
0
6
0
.
0
1
0
.
0
3
0
.
0
1
0
.
0
1
0
.
0
1
0
.
0
6
0
.
0
6
0
.
0
1
0
.
0
1
0
.
0
3
0
.
0
1
0
.
0
1
0
.
0
0
1
6
0
.
0
0
8
6
0
.
0
0
1
4
0
.
0
0
9
6
0
.
0
0
0
5
0
.
0
1
1
9
0
.
0
0
0
6
0
.
0
.
0
0
2
9
0
.
0
1
4
8
0
.
0
1
7
4
0
.
0
0
2
5
0
.
0
0
0
9
0
.
0
1
7
1
0
.
0
0
5
4
0
.
0
.
0
0
0
8
0
.
0
2
6
1
0
.
0
0
4
5
0
.
0
0
4
7
0
.
0
0
6
8
0
.
0
0
2
0
0
.
0
0
1
2
0
.
0
.
0
0
0
8
0
.
0
2
6
1
0
.
0
0
4
5
0
.
0
0
4
7
0
.
0
0
6
8
0
.
0
0
2
0
0
.
0
0
1
2
0
.8
ISSN 2317-3297
Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional - ERMAC
30 e 31 de Maio e 01 de junho de 2012 UNESP – Campus de Botucatu
6 – Conclusão A alta variância nos dados obtidos em campo
tem sido um obstáculo na descrição de doenças
como a Esquistossomose. Mostramos que
mesmo com uma modelagem minimalista de
doenças como a Esquistossomose e as
Infecções Hospitalares a alta variância nos
dados obtidos continua sendo um obstáculo na
descrição dessas doenças. Descrevemos tal
fenômeno como resultado de um simples
acoplamento entre duas populações.
Estabelecemos relações entre conceitos
determinísticos e os sistemas estocásticos a
exemplo do que é feito para o modelo SIS. Tal
relação permitirá uma descrição dos modelos
estocásticos bem como discutir estratégias
efetivas de controle. Para tanto, estudamos a
suscetibilidade dos modelos criados aos seus
parâmetros de base. Como doenças possíveis de
serem estruturalmente conceituadas através
dos modelos desenvolvidos nesse trabalho,
citamos, novamente, os casos da
Esquistossomose e das Infecções Hospitalares.
Na primeira, temos a população de humanos e a
população de focos da doença. Na segunda,
temos a população de doentes e a população
formada por médicos e enfermeiros de um
hospital.
Referências
[1] A. D. Barbour , Population and disease models.
Not for general distrubution. Universitat
Zurich. Angewandle Mathematik ,
Winterhurerstrasse 190, CH-8057 ZURICH.
Switizerland:[email protected].
[2] A.D. Barbour; A. Pugliese, On the variance to
mean ratio in models of paratise distributions,
Adv. Appl. Prob. 32,701-719 (2000). Printed in
Northem Ireland.
[3] J. M. Charles, K. S. Candace. Stochastic
process in epidemiology. HIV/AIDS, Other
infectious diseases and computers. World
Scienti_c Publishing Co. Pte.Ltd. , 2000.
[4] M. A. C. Didier. Modelos de Acoplamento de
SIS. 2011. 158 f. Tese (Doutorado em
Matemática Computacional) - Universidade
Federal de Pernambuco, Recife, 2011.
[5] J.M. Herfferman , R.J. Smith, and L.M. Wahl,
Perspectives on the basic reproductive ratio.
Journal of the Royal Society Interface,
2:281_293, 2005.
[6] R. J. Kryscio, C. Lefêvre , On the extinction of
the S-I-S stochastic logistic model, J. Appl.
Prob. 26 (1989) 685.
[7] I. Nassel, Hybrid Models of Tropical Infections,
Lectures Notes in Biomathematics, Managing
Editor:S. Levin, 59 1980.
[8] I. Nassel, The quasi-stationary distribution of
the closed endemic SIS model, Adv. Appl.
Prob. 28 (1996) 895.
[9] I. Nassel, On the quasi-stacionary distribution of
the stochastic logistic epidemic, Math. Biosci.
156 (1999) 21.
[10] I. Nassel, On the time to extinction in
reccurrent epidemics, J. Roy, Statist. Soc. B 61
(1999) 309.
[11] E. Seneta, J.N. Darroch, On quasi-stationary
distributions in absorbing continuous time
finite Markov chains, J. Appl. Prob. 4 (1967)
192.
[12] E. Seneta, D. Vere Jones, On quasi-stationary
distributions in discrete-time Markov chains
with denumerable infinity of states, J. Appl.
Prob3 (1996) 403.
9
ISSN 2317-3297
Top Related