UM ESTUDO COMPARATIVO DAS TÉCNICAS
DE PERT/CPM COM SIMULAÇÃO DE MONTE
CARLO, UMA FERRAMENTA NA GESTÃO DE
RISCOS EM PROJETOS
Roberto Capparelli Marcal (PUC-GO )
Maria José Pereira Dantas (PUC-GO )
Os prazos de execução no gerenciamento de projetos vem se caracterizando
como uma significativa restrição em vários projetos. Um dos maiores
desafios do gerenciamento de projetos é planejar e controlar prazos, pois são
inúmeras as variáveis, que possuem um certo grau de variabilidade e que
possam impactar no cumprimento do cronograma previamente definido.
Muitos erros encontrados em cronogramas ocorrem na fase de planejamento
do tempo das atividades do projeto decorrentes de equívocos no
estabelecimento das estimativas e da qualificação e quantificação dos riscos
envolvidos em sua execução. Assim se torna necessário o emprego de mais
ferramentas que possam auxiliar o programador nesta fase de planejamento
do projeto. A utilização de métodos matemáticos e estatísticos podem
auxiliar o programador a lidar com estas dificuldades no processo de tomada
de decisão. Este trabalho faz uma análise comparativa dos resultados obtidos
utilizando a técnica PERT/CPM com a simulação de Monte Carlo para o
controle da variável duração de um projeto hipotético utilizando o software
@RISK. Por fim, identificar a simulação de Monte Carlo como ferramenta ágil
de apoio aos processos de tomada de decisão no gerenciamento de
cronogramas com atividades múltiplas com variabilidades,
interdependências e correlações.
Palavras-chaves: PERT/CPM, gerenciamento de projetos, gestão de riscos em
projetos, simulação Monte Carlo
XXXIV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO
Engenharia de Produção, Infraestrutura e Desenvolvimento Sustentável: a Agenda Brasil+10
Curitiba, PR, Brasil, 07 a 10 de outubro de 2014.
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1. Introdução
Para atender as demandas de maneira eficaz em um ambiente caracterizado pela velocidade de
mudanças, torna-se indispensável um modelo de gestão de projetos com foco nas prioridades
e objetivos. Segundo Limmer (1997), o planejamento é o processo pelo qual os objetivos e os
procedimentos de um projeto são estabelecidos; as expectativas de ocorrência de situações
previstas são discutidas; e as informações são veiculadas entre as pessoas, unidades de
trabalho, departamentos e as empresas.
A sobrevivência de qualquer empreendimento está intimamente vinculada ao conceito de
aproveitar as oportunidades dentro de um espectro de incertezas. O que torna a gestão de
riscos tão importante são os avanços da competitividade e da tecnologia, bem como as
condições econômicas, que fazem com que os riscos assumam muitas vezes proporções
incontroláveis. Para maiores detalhes ver (SALLES JUNIOR, C.A.C. et al, 2009).
A maioria dos projetos tem como principal característica a fixação dos recursos no momento
da sua contratação. Os desembolsos de recursos são regularmente acompanhados, com a
respectiva prestação de contas em cada etapa, podendo ocorrer auditagem pelo agente
financiador. Estes fatores delimitadores exigem uma sincronia entre os trabalhos técnicos e os
recursos financeiros disponíveis. Uma vez que seja verificado o não cumprimento adequado
de um destes, pode resultar em inadimplência e gerar sanções para o empreendedor, que é o
tomador do financiamento.
Os riscos são inerentes aos projetos e nenhum planejamento, por melhor que seja, pode
sobrepujá-los. Rovai (2005) afirma que muitos projetos no Brasil, quase a sua totalidade, são
desenvolvidos sem que haja adequado uso de metodologias e modelos de gerenciamento de
riscos, o que tem causado inúmeras e significativas perdas de recursos.
A preocupação com gerenciamento de riscos tornou-se mais evidente, para a comunidade de
gerenciamento de projetos, após a publicação da pesquisa de Ibbs e Kwak (2000), em que foi
reconhecida como a área de conhecimento mais carente em termos gerenciais, examinados em
três dos quatro setores econômicos estudados (CARVALHO e RABECHINI JUNIOR, 2011;
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SALLES JUNIOR et al.; 2009).
Na linha dos estudos da natureza dos riscos e seus aspectos conceituais, destacam-se os
trabalhos de Wideman (1992), Meyer,Loch (2002) e Perminova, Gustafsson e Wilkstrom
(2008). Fundamentalmente, eles tratam dos aspectos do risco e as relações com incertezas,
dos efeitos e suas implicações para os resultados do projeto, das ambiguidades e
variabilidades, entre outros assuntos que constituem as bases do conhecimento e os alicerces
deste tema.
Os métodos mais utilizados para planejar e controlar projetos são o PERT (Program
Evaluation and Review Technique) e o CPM (Critical Path Method), os quais são úteis em
situações onde os gestores responsáveis pelo acompanhamento do projeto tem a
responsabilidade pelo planejamento, programação e controle de um projeto contendo
múltiplas atividades. No entanto estas técnicas apresentam limitações para uma previsão
realista. Ver ref.
O objetivo geral deste trabalho é propor um estudo comparativo dos resultados obtidos de
uma análise da variável duração de um determinado projeto hipotético, composto de uma
série de atividades dependentes, representadas por um diagrama de redes, utilizando o método
PERT/CPM. Posteriormente, comparar os resultados obtidos com os resultados pela
simulação de Monte Carlo desta mesma rede, utilizando o software @RISK
e Excel.
Para o desenvolvimento do artigo, na seção 2 são apresentados os métodos tradicionais e na
seção 3 é apresentado um referencial teórico para estabelecer as bases para a utilização da
simulação de Monte Carlo. Na seções 4 e 5 são detalhados os modelos utilizados para fins de
comparação. Na seção 6 os resultados são apresentados e discutidos. Por fim, a seção 7
apresenta as conclusões obtidas.
2. Métodos tradicionais de gerenciamento de prazos em projetos
O projeto é um empreendimento não repetitivo caracterizado por uma sequência clara e lógica
de eventos (com início, meio e fim), que se destina a atingir um objetivo claro e definido,
sendo conduzido por pessoas, dentro de parâmetros pré-definidos de tempo, custo e recursos
envolvidos e qualidade.
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Os métodos tradicionais gerenciamento de prazos e custos em projetos são: o CPM,
desenvolvido em 1957, utilizado para projetos cujos tempos de operação podem ser
considerados determinísticos, ou seja, conhecidos com certeza; o PERT, desenvolvido em
1958, utilizado tipicamente em projetos cujas estimativas de tempo não podem ser previstas
com certeza, aplicando conceitos estatísticos.
O planejamento com método PERT é realizado através de uma rede, apresentando uma
sequência lógica do planejamento, com as interdependências entre as operações, a fim de
alcançar um determinado objetivo. São colocadas na rede as durações das tarefas para
permitir uma análise de otimização das tarefas e ou de custo e programação. As operações que
participam de um projeto, consumindo tempo e recursos, são denominadas atividades e a
ordem em que são efetuadas, é descrita pelo diagrama de rede.
No diagrama de rede, cada atividade possui um início e um fim, que são pontos no tempo,
conhecidos como eventos. As atividades são representadas por setas e os eventos ponto inicial
e final por círculos (chamados também por nós). A seta aponta para o círculo que representa o
evento final, para dar uma ideia de progressão no tempo. As atividades são representadas por
números ou letras e os círculos são numerados, em ordem crescente da esquerda para direita.
Chama-se de duração de um caminho à soma das durações de todas as atividades que o
compõe. Em um diagrama de rede, o caminho com maior duração é denominado “Caminho
Crítico” e a sua duração determina o tempo de término de um projeto. Qualquer atraso neste
caminho, automaticamente, determinará atraso no projeto. As atividades do caminho crítico
são denominadas “Atividades Críticas”.
O PERT é quase idêntico ao método do caminho crítico (CPM), exceto por presumir que a
duração de cada atividade tem uma faixa que segue uma distribuição estatística e usa três
estimativas de tempo para cada atividade:
− Estimativa Otimista (a): representa o tempo mínimo que uma atividade pode tomar,
considerando condições totalmente favoráveis na execução da atividade.
− Estimativa Mais Provável (m): representa o tempo normal que uma atividade deve
tomar e é o resultado que ocorreria mais frequentemente se a atividade fosse feita
um grande número de vezes.
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− Estimativa Pessimista (b): representa o tempo máximo que uma atividade pode
durar. Só ocorre em condições totalmente adversas.
Isso significa que a duração de cada atividade pode variar de um tempo otimista a um tempo
pessimista, e uma média ponderada pode ser calculada para cada atividade.
Uma hipótese que se faz é que os tempos de atividades são distribuídos segundo a distribuição
Beta, em que a estimativa mais provável é dada por m. A distribuição do projeto representa a
soma das médias ponderadas das atividades no(s) caminho(s) critico(s). Assumida a
distribuição Beta, a duração esperada de uma atividade qualquer i pode ser calculada
aproximadamente por:
1.0)
em que: = média ponderada,
a = tempo otimista,
b = tempo pessimista,
m = tempo mais provável.
Uma hipótese adicional que se faz é de que o desvio padrão σ da duração de
uma atividade qualquer i é dado por:
(2.0)
A duração média do projeto ( ) é a soma de todos os tempos médios da atividade ao longo do
caminho crítico, soma de , e segue uma distribuição Normal.
(3.0)
A equação a seguir é usada para calcular o valor de “Z” encontrado nas tabelas estatísticas,
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que por sua vez, irá fornecer a probabilidade de terminar o projeto em um determinado tempo
especificado (Ts):
(4.0)
A variabilidade da duração esperada do projeto é dada pela seguinte equação:
(5.0)
As limitações dos métodos tradicionais dificulta a aplicação dos mesmos em projetos reais. O
CPM trabalha com variáveis determinísticas. O PERT apesar de levar em conta a incerteza,
considera distribuições de probabilidades para a duração das atividades, assumindo
pressupostos sobre a forma destas distribuições que não se adequam à generalidade dos
projetos. O método PERT assume que a duração do projeto obedece a uma distribuição
Normal. Se o número de atividades for grande este pressuposto pode ser razoável (teorema do
limite central), mas se for pequeno, 5 ou 6 atividades, pode acontecer que a real distribuição
de probabilidades seja longe da Normal. O método admite ainda que a distribuição da
probabilidade do tempo de conclusão do projeto é igual à do caminho crítico, subestimando
constantemente o tempo previsto de conclusão do projeto além de considerar independências
entre os tempos das atividades.
Segundo Herbert (apud Leal e Oliveira, 2011), em 1963, Van Slyke, apresenta a primeira
proposta de aplicação da Simulação de Monte Carlo (SMC) em gerenciamento de projetos,
para resolver as limitações dos métodos CPM e PERT.
3. Simulação por Monte Carlo (SMC)
A simulação é uma representação da operação de um processo ou sistema real, que envolve a
geração de uma história artificial desse sistema e a observação desta para fazer inferências
relativas às características do processo real (BANKS, CARSON e NELSON; 1996). Hillier e
Liberman (1995) indicam que a realização de uma simulação inicia-se com o
desenvolvimento de um modelo que represente o sistema a ser investigado. Tal modelo, no
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entendimento de Pidd (1996), consiste em uma representação explícita e externa de um
extrato parcial da realidade, vista pela pessoa que deseja usar o modelo, para entender, mudar,
gerenciar, indicar políticas e controlar parte daquela realidade.
A simulação tem sido utilizada na engenharia para tratar situações em que se tenta
compreender características de um sistema, sendo especialmente útil em situações que
envolvem análise de riscos (LUSTOSA; PONTE; DOMINAS, 2004).
A SMC envolve o uso de números aleatórios e probabilidades para analisar e resolver
problemas (GENTLE; 2003). Esse método surgiu no Projeto Manhattan no laboratório de
armas nucleares Los Alamos, Estados Unidos, durante a Segunda Guerra Mundial,
desenvolvido pelos cientistas John Von Newmann e Stanislaw Ulam. A denominação “Monte
Carlo” foi atribuída em referência aos jogos de azar que fazem uso constante de sorteios e de
dados, uma atração popular na cidade de Monte Carlo, Mônaco.
O método de SMC pode ser aplicado em problemas de tomada de decisão a qual envolva risco
e incerteza, ou seja, em situações nas quais os comportamentos das variáveis envolvidas com
o problema não são de natureza determinística.
Law (2007) alerta para o uso adequado de modelos de simulação. Para uma correta
operacionalização da SMC, Lustosa, Ponte, Dominas (2004) indicam que a simulação seja
replicada um grande número de vezes para que se obtenha uma amostra representativa do
comportamento do sistema. Como instrução básica deve-se aplicar o maior número possível,
levando em consideração o poder de processamento do equipamento a ser utilizado, pois o
equilíbrio entre a precisão e o tempo de computação é uma característica importante das
simulações baseadas em SMC.
A cada interação, o resultado da simulação é armazenado. Ao final, a sequência de resultados
é transformada em uma distribuição de frequências, que possibilita calcular estatísticas
descritivas, como média (valor esperado), valor mínimo, valor máximo e desvio-padrão,
cabendo ainda ao executor das simulações a prerrogativa de projetar cenários futuros de
operação do sistema em análise.
3.1 Simulação por Monte Carlo aplicada ao gerenciamento de prazos em projeto e
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trabalhos correlatos
Leal e Oliveira (2011) realizaram uma pesquisa na qual fizeram uma revisão da literatura
sobre o tema nos últimos 20 anos. Os autores concluíram que as metodologias de simulação
aplicadas ao gerenciamento de projetos com maior relevância foram Simulação de Eventos
Discretos e a SMC. Outro ponto levantado pela pesquisa foi o foco da aplicação de simulação
em gerenciamento de projetos. Os autores identificaram que a simulação é aplicada
principalmente em gerenciamento de riscos, especialmente naqueles relacionados a prazos e
custos.
Um exemplo da utilização da SMC para gerenciamento de riscos de prazos foi exposto por
Galvão (2005). O autor demonstra através da utilização de uma ferramenta de Simulação de
Monte Carlo, que a probabilidade de um projeto terminar após o prazo determinado por
ferramentas determinísticas como o Método do Caminho Crítico (CPM) é alta.
Um estudo apresentado por Matias Jr. (2006) propôs a utilização da Simulação de Monte
Carlo para, mediante o atraso no cronograma, calcular o impacto financeiro deste atraso no
orçamento do projeto.
Vários estudos demonstram vantagens da Simulação de Monte Carlo, no gerenciamento de
cronogramas com atividades múltiplas, variabilidades, interdependências e correlações. Uma
boa avaliação da superioridade do método pode ser encontrada em TYSIAK, W.;
SERESEANU (2010).
JUPRI, N. & MALIM, 2013 apresentam uma comparação entre PERT e simulação de Monte
Carlo usando o software Crystal Ball, para determinar a probabilidade do projeto de
construção de um Campi do National Institute of Occupational Safety and Health (NIOSH),
ser executado dentro do prazo previsto.
Os principais softwares para Simulação de Monte Carlo operam junto a planilhas eletrônicas.
Exigem conhecimento básico de estatística e possuem muitos recursos para a realização das
simulações e análises. Neles a criação de um modelo computacional pode ser realizada de
foram simples e rápida, evitando a necessidade de desenvolver programas sofisticados em
linguagem de programação.
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Neste trabalho utilizou-se o software @RISK, que é uma ferramenta de modelagem e análise
de risco, desenvolvido pela Palisade Corporation para uso com o Microsoft Excel. Utilizou-se
aqui uma versão “demo” que pode ser obtida no site da fabricante, pelo prazo de 20 dias.
Existem softwares similares, tais como o Crystal Ball desenvolvido pela Oracle, ver Charnes,
J. (2012), e o software SIMULAR (livre), apresentado em (AGUIAR, G.; ALVES, C. C.;
HENNING, E.; 2010).
4. Modelagem PERT/CPM
Como objeto deste estudo comparativo foi utilizado uma rede PERT hipotética constituída por
diversas atividades interdependentes, representadas esquematicamente por um diagrama de
rede (Figura 1). Cada atividade proposta possui suas características específicas e seu prazo de
duração pode ser definido também de forma subjetiva com a interferência de um especialista
para atribuir as estimativas deste prazo de duração (Tabela 1).
Figura 1- Diagrama de Redes
Fonte: Adaptado de Moreira (1998, p.458)
Cada atividade possui um início e um fim, que são pontos no tempo. Estes pontos no tempo
são os eventos, ponto inicial e final representados por círculos e a seta aponta para o círculo
que representa o evento final. As atividades estão representadas por letras de A-P e os círculos
enumerados em ordem crescente da direita para a esquerda conforme a progressão do tempo.
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No caso do CPM, estas estimativas de tempo são bem acuradas e só tem uma medida
(determinística). No caso PERT o tempo destas atividades têm uma certa imprecisão na
duração e convencionalmente foram feiras três estimativas de tempo para cada atividade: a
estimativa OTIMISTA, MAIS PROVÁVEL e a PESSIMISTA.
As atividades hipotéticas estão representadas na coluna A pelas letras de A-P. A
representação das interdependências destas atividades é apresentada na coluna B.
Tabela 1-Tabela dos prazos de duração das atividades (em semanas)
Fonte: Adaptado de Moreira (1998, p. 459)
Os valores de ti e σti foram obtidos pela aplicação direta das equações (1.0) e (2.0) a partir dos
dados informados por um especialista das estimativas Otimista, Provável e Pessimista para
cada atividade da rede PERT.
Baseado no Diagrama de Rede é possível determinar a variável duração de cada atividade
( , determinar o caminho crítico, calcular a duração do projeto e a folga de cada atividade
em particular conforme tabela 2:
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Tabela 2-Tabela de cálculo do tempo de projeto e folgas CPM
Fonte: Próprio autor
Em que, DTI é a data mais atrasada em que uma atividade pode começar.
− DCI é a data mais próxima em que uma atividade pode começar, assumindo que todas
as atividades predecessoras começam tão cedo quanto possível.
− DTT é a última data em que a atividade pode terminar sem que atrase o projeto.
− DCT é a data mais próxima em que uma atividade pode terminar.
− DCT=DCI+ti
− DTI=DTT-ti
− Folga=DTI-DCI (coluna 5), Folga=DTT-DCT (coluna 8)
O caminho crítico é determinado pela sequência das atividades que apresentam folga zero.
Neste caso são dois os caminhos: B-E-G-K-N-O-P e C-J-H-G-K-N-O-P. A duração do projeto
(Ti), é determinada pela soma dos tempos médios das atividades que compõe o caminho
crítico conforme aplicação da equação (3.0):
Ti (B-E-G-K-N-O-P)=Ti (C-J-H-G-K-N-O-P)=53,332 semanas.
Determinado o caminho crítico e duração do projeto (Ti) é possível, utilizando a equação 4.0
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serem feitas inferências estatísticas para se determinar alguma condição específica, como por
exemplo, determinar a probabilidade que certo evento ocorra em um determinado tempo. Em
uma rede PERT a hipótese que se faz é a de que os prazos de duração das atividades (ti) são
variáveis distribuídas segundo uma distribuição beta e a duração do projeto (Ti) se distribui
segundo uma distribuição Normal.
5. Modelagem por SMC utilizando o @Risk
Quando um projeto apresenta uma quantidade pequena de interdependências e correlações
entre elas, é possível de se determinar a duração do projeto (Ti) de forma analítica e já quando
estas características não se verificam, fica bastante complexo este cálculo, por esta razão e
neste caso, será utilizado a SMC para a estimativa desta variável.
Para utilização do software de simulação @RISK foi implementado no software Excel o
Diagrama de Redes com as suas atividades e a sua respectiva lógica (coluna C,tabela 3). Para
as atividades de A-P, que na rede PERT que se distribuem conforme uma distribuição Beta,
foram assumidas distribuições triangulares (coluna B, tabela 3), muito similares a distribuição
Beta, Tysiak e Sereseanu (2010).
Tabela 3-Distribuições de probabilidades das atividades e Lógica da Rede
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Fonte: próprio autor
Utilizando a função @RISK “Definir Distribuições” (Figura 2) e os dados das atividades
informados na Tabela 1, obtém-se as variáveis de entrada conforme coluna B, na Tabela 3.
Na coluna C, também na tabela 3, através das fórmulas apresentadas, o tempo das atividades
são calculados para a obtenção da variável de saída.
Figura 2-Barra de comando @RISK-Definir Distribuições
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Fonte: próprio autor
Utilizando a barra de comandos do software @RISK na função “Adicionar Output” (Figura 3),
foi nomeada a célula C55 da Tabela 3 como variável de saída, representando a variável
“Duração do Projeto”, que é variável a ser simulada.
Figura 3-Barra de comando @RISK-Adicionar Output
Fonte: próprio autor.
Definidas as variáveis de entrada, as fórmulas e a variável de saída, o número de simulações
foi estabelecido em 1 simulação com 10.000 iterações, tipo de amostragem “Monte Carlo” e o
gerador de número aleatórios fornecido pelo @RISK denominado “Mersenne Twister”, na
barra de comando do @RISK, “Iniciar Simulação”.
Figura 4-Barra de comando @RISK-Iniciar Simulação
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Fonte: próprio autor
6. Análise dos resultados
Na rede PERT, as atividades experimentam certa variabilidade em sua duração, as quais são
assumidas como distribuindo-se segundo uma distribuição Beta, e a duração do projeto sofre a
influência destas variabilidades, isto é, variam dentro de certos limites. Calcular estas
variabilidades é particularmente importante para aquelas que compõe o caminho crítico, pois
a sua avaliação pode determinar um novo caminho crítico.
Calculando os desvios padrões, conforme aplicação da equação (2.0), valores de ,
(conforme tabela 1) e aplicando a equação (5.0), os resultados são para (B-E-G-K-N-
O-P) e (C-J-H-G-K-N-O-P), respectivamente de 4,027 e 4,034 semanas.
Apesar dos valores dos desvios padrões apresentados estarem muito próximos, o maior valor
desvio pode apresentar maior variabilidade no tempo de duração do projeto, portanto o
caminho critico adotado é determinado pela sequência das atividades críticas C-J-H-G-K-N-
O-P com a menor variabilidade. A duração estimada do projeto, utilizando PERT é de:
Ti=53,332 semanas e desvio padrão = 4,034.
Utilizando o software @RISK realizou-se a simulação com 10.000 iterações e os resultados
obtidos são apresentados na figura 5.
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Figura 5 – Simulação @RISK após 10.000 iterações
Fonte: próprio autor.
Após as iterações o valor encontrado para a duração do projeto foi:
=56,255 semanas, com desvio padrão =4,751.
Como a duração do projeto ( ) é a soma de todos os tempos médios das atividades críticas ao
longo do caminho crítico e segue uma distribuição Normal foi utilizando a função “Ajuste de
distribuição” do software de simulação @RISK foi realizado um ajuste da simulação para a
distribuição Normal com o resultado de novos parâmetros obtidos conforme a Figura 6:
Figura 6 – Ajuste da Simulação –Distribuição Normal
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Fonte: próprio autor.
O tempo ajustado de duração do projeto ajustado de acordo com uma distribuição Normal
obtido pela simulação no @RISK é:
=56,242 semanas, com desvio padrão = 4,805.
Tanto para o PERT/CPM e a simulação podemos obter outras informações através de
inferências estatísticas como por exemplo, determinar qual seria a probabilidade da duração
do projeto estar entre 50 e 65 semanas.
Aplicando-se a equação (4.0) e tabelas de estatísticas para a distribuição Normal, tem-se que
a probabilidade do projeto ter duração entre 50 e 65 semanas, é 79,2 % (PERT) e 86,9%
(SMC).
6. Conclusão
O presente estudo de caso, propôs uma análise comparativa do uso das técnicas tradicionais
PERT/CPM e SMC, para o estudo da variável duração de um projeto hipotético.
O cálculo das estatísticas PERT é realizado após a definição do caminho crítico. O caminho
crítico é obtido através de cálculos determinísticos pelo CPM, e calculadas sem levar em
conta as possíveis variabilidades destas atividades. O PERT por sua vez, utiliza modelo
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analítico com pressupostos frágeis. Com a SMC pode-se ter uma estimativa mais realista do
tempo de duração do projeto.
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