Sinais e SistemasAula 6
Professor: Rafael Antunes Nbrega
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Continuao... CAPTULO 1: Introduo:
Sinais de tempo contnuo e de tempo discreto; Energia e Potncia de um sinal Transformaes de variveis independentes; Sinais peridicos Sinais senoidais e exponenciais; Funes impulso unitrio e degrau unitrio; Sistemas de tempo contnuo e de tempo discreto; Propriedades bsicas de sistemas;
CAPTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo: Representaes de sinais em termos de impulso; Convoluo. Esquema de Interconexes Propriedades de sistemas LIT Equaes diferenciais lineares com coeficientes constantes Funes de singularidade
CAPTULO 3: Srie de Fourier Perspectiva histrica Resposta dos sistemas LIT s exponenciais complexas Representao de sinais peridicos de tempo contnuo 2
visto
Funes de singularidade
Examinaremos a funo impulso unitrio de tempo contnuo;
Funes de singularidade representam um conjunto de sinais relacionado ao impulso unitrio;
Idealizamos o impulso unitrio com um pulso suficientemente curto;
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Funes de singularidade
Vimos que (propriedade seletiva do impulso):
x(t) = x(t)*(t), para qualquer x(t);
Logo: (t) = (t)*(t);
Podemos supor que: lim0(t)= (t)
e r(t) = (t)*(t);
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O impulso unitrio como um pulso idealizado
Funes de singularidade
https://maxwell.ict.griffith.edu.au/spl/Excalibar/Jtg/Conv.html
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O impulso unitrio como um pulso idealizado
Funes de singularidade
Temos que no limite 0, ento r(t) deve ser um impulso unitrio assim como: r(t)* r(t) r(t)* (t) ...
Por coerncia, h um nmero ilimitado de sinais que parecem diferentes, sendo que todos se comportam como um impulso no limite;
A resposta de um sistema LIT a todos esses sinais essencialmente idntica para suficientemente curto.
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O impulso unitrio como um pulso idealizado
Funes de singularidade
Exemplo:
Considere
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O impulso unitrio como um pulso idealizado
Funes de singularidade
)()(2)(
txtydt
tdy
Para pequeno, as respostas so essencialmente indistinguveis de modo que todos os sinais de entrada se comportam da mesma maneira.
Exemplo:
Considere
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O impulso unitrio como um pulso idealizado
Funes de singularidade
)()(20)(
txtydt
tdy
Note que agora deve ser menor...
Logo, o valor mx. de dependedo sistema.
O impulso unitrio ento a idealizao de um pulso curto cuja durao suficiente-mente curta para o sistema em questo;
O impulso unitrio um sinal que quando aplicado a um sistema LIT, gera a resposta ao impulso. x(t) = x(t) * (t)
As propriedades do impulso unitrio podem ser obtidas a partir da definio operacional acima. Exemplo: se x(t) = 1 para todo t, ento:
De modo que o impulso unitrio tem rea unitria;
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Definindo o impulso unitrio por meio da convoluo
Funes de singularidade
Usando um mtodo alternativo, tomamos um sinal arbitrrio g(t) e o espelhamos em g(-t) para efetuar a convoluo com o impulso:
Uma equao implica na outra...
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Definindo o impulso unitrio por meio da convoluo
Funes de singularidade
Verificando:
Que igual a:
Logo, a equao de g(0) uma definio operacional equivalente do impulso unitrio.
O impulso unitrio o sinal que quando multiplicado por um sinal g(t) e depois integrado de - a +, produz o valor g(0).
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Definindo o impulso unitrio por meio da convoluo
Funes de singularidade
Esta equao, dada por g(0) til para determinarmos algumas das propriedades do impulso unitrio. Considere o sinal f(t)(t), sendo que f(t) outro sinal, ento:
Porm, se considerarmos o sinal f(0)(t), temos que:
Logo, os dois sinais se comportam de maneira idntica quando multiplicados por qualquer sinal g(t) e depois integrado de - a +.
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Definindo o impulso unitrio por meio da convoluo
Funes de singularidade
Outras maneiras de se chegar a propriedade de seletividade do impulso
No captulo 1, chegamos a mesma concluso de maneira mais direta:
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Definindo o impulso unitrio por meio da convoluo
Funes de singularidade
Considere o sistema LIT para o qual a sada a derivada da entrada:
A resposta ao impulso desse sistema chamada de doubletunitrio u1(t), e pode ser representado assim:
Essa equao pode servir como definio operacional de u1(t).
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Doublets unitrios e outras funes de singularidade
Funes de singularidade
dt
tdxty
)()(
)(*)()(
)( 1 tutxdt
tdxty
Podemos definir u2(t) como a resposta ao impulso de um sistema LIT que retorna a segunda derivada da entrada:
Observe que:
De modo geral:
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Doublets unitrios e outras funes de singularidade
Funes de singularidade
)(*)()(
)( 22
2
tutxdt
txdty
)(*)(*)()()(
112
2
tututxdt
tdx
dt
d
dt
txd
)(*)()( 112 tututu
k vezes ,)(*...*)()( 11 tututuk
Cada uma dessas funes de singularidade tem propriedades que podem ser deduzidas de sua definio operacional; Por exemplo, se considerarmos x(t) = 1:
Logo, o doublet unitrio tem rea nula.
Fazendo a convoluo de g(-t) com u1(t), temos:
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Doublets unitrios e outras funes de singularidade
Funes de singularidade
Esses funes podem ser relacionadas a pulsos curtos;
Podemos entender o doublet como a idealizao da derivada de um pulso curto com rea unitria.
Como (t) se comporta como um impulso quando 0, podemos esperar que sua derivada se comporte como um doubletquando 0.
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Doublets unitrios e outras funes de singularidade
Funes de singularidade
1/
(t)
Como:
E usando o fato que x(t)*(t-t0) = x(t-t0), temos:
Essa aproximao se torna cada vez mais precisa medida que 0.
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Doublets unitrios e outras funes de singularidade
Funes de singularidade
Podemos definir sinais que representam integrais sucessivas da funo impulso unitrio:
Com a seguinte definio operacional de u(t):
Para um sistema feito de uma cascata de dois integradores:
Como u(t) = 0 para t < 0 e u(t) = 1 para t 1, temos que:
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Doublets unitrios e outras funes de singularidade
Funes de singularidade
Sinal chamado de rampa unitria
Podemos obter uma definio operacional para o comportamento de u-2(t):
E podemos definir integrais de ordem mais elevada:
Essas integrais podem ser calculadas diretamente:
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Doublets unitrios e outras funes de singularidade
Funes de singularidade
Integrais sucessivas podem ser definidas para cada valor de t
Notao:
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Doublets unitrios e outras funes de singularidade
Funes de singularidade
Como o diferenciador um sistema inverso do integrador, temos:
Generalizando:
Logo, ao definirmos as funes de singularidade em termos do seu comportamento em convoluo, obtemos uma caracterizao que nos permite manipul-las com relativa facilidade e interpret-las diretamente em termos de sua importncia para os sistemas LIT.
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Doublets unitrios e outras funes de singularidade
Funes de singularidade
Prxima aula SRIE DE FOURIER
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