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TURBULÊNCIA
Escoamento turbulento pode ser
observado no nosso dia a dia,
seja pela fumaça de uma
chaminé, água em um rio ou
cachoeira, ou o sofro de um
vento forte.
Observando uma cachoeira,
observa-se imediatamente que o
escoamento é transiente,
irregular, parece aleatório e
caótico e certamente o
movimento de cada gota e
turbilhão é imprevisível.
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Na pluma formada pelo motor de um foguete, pode-se observar movimento turbulento de muitas escalas.
Os vórtices maiores se quebram em vórtices menores sucessivamente
Uma importante característica da turbulência é sua habilidade de transportar e misturar fluidos de maneira muito mais efetiva que o escoamento laminar
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3
A grande motivação para estudar a turbulência é a combinação dos seguintes itens:
A grande maioria dos escoamentos é turbulento
O transporte e mistura de matéria, momentum, energia em escoamentos é de grande importância prática.
A turbulência aumenta significativamente a taxas de transferência destes processos
A turbulência é caracterizada pela presença de agitação, perturbação
A turbulência deve satisfazer uma condição de irregularidade, sendo gerada por forças viscosas ao longo de superfícies sólidas ou por escoamento de camadas de fluidos com diferentes velocidades escoando sobre outras camadas.
O movimento turbulento de um fluido é a condição irregular do
escoamento, na qual as várias quantidades envolvidas apresentam
uma variação randômica no tempo e no espaço, tal que podem ser
diferenciados estatisticamente de seus valores médios.
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Existem diferenças marcantes entre os dois tipos de geração de
turbulência, portanto é conveniente utilizar diferentes designações
para cada tipo de geração de turbulência.
Define-se com “turbulência de parede” quando a turbulência é
gerada por paredes sólidas fixas e é continuamente afetada por
estas.
A turbulência gerada na ausência de paredes é denominada de
“turbulência livre”.
No caso real de fluidos viscosos, o efeito da viscosidade resulta
em uma conversão de energia cinética do escoamento em calor.
Portanto, um escoamento turbulento é dissipativo, assim como
todos os tipos de escoamentos. Se não existe uma fonte externa
contínua de energia para a geração contínua do movimento
turbulento, o movimento irá decair.
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A turbulência é chamada de isotrópica se as características
estatísticas não apresentarem nenhum preferência para
alguma direção particular, tal que perfeita desordem reina.
Neste caso, não haverá tensão cisalhante média e o
gradiente da velocidade média é nulo.
Para todos os outros casos, nos quais o gradiente da velocidade
média apresenta um gradiente, a turbulência será anisotrópica.
Dentro desta classe encontra-se a turbulência de parede, assim
como a turbulência livre anisotrópica.
Outro efeito da viscosidade é tornar a turbulência mais homogênea e torná-la menos dependente da direção. No caso extremo, a turbulência apresentará qualitativamente a mesma estrutura em todas as partes do escoamento. Neste caso a turbulência é considerada homogênea. O conceito de turbulência homogênea foi introduzido por von Kármán, para o caso de tensão média constante em todo o campo de escoamento, como é o caso do escoamento de Couette.
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Regime de Escoamento:
Escoamento laminar: movimento regular
Escoamento Turbulento: aparecem turbilhões no
escoamento, causando um movimento de mistura.
O turbilhamento provoca um regime não
permanente. Porém o tempo característico de
flutuação turbulenta < < escala de tempo que define
o regime permanente ou transiente
•Se o escoamento é laminar,
eventuais perturbações serão
amortecidas e desaparecerão
(Fig. a). Durante a transição,
picos esporádicos de turbulência
surgirão (Fig. b). Durante o
regime turbulento, o escoamento
flutuará continuamente (Fig. c).
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a turbulência em geral surge de uma instabilidade do escoamento em
regime laminar, quando o número de Reynolds torna-se grande. As
instabilidades estão relacionadas com interações entre termos
viscosos e termos de inércia não lineares nas equações de
quantidade de movimento linear.
Os efeitos advectivos altamente não lineares, são efeitos
amplificadores de perturbações é geradores de instabilidades. Por
outro lado os efeitos difusivos são amortecedores ou inibidores da
formação de instabilidades.
A diferença no comportamento está associada com as forças que
atuam no elemento de fluido. Quanto as forças viscosas dominam
em relação as forças de inércia, o escoamento apresenta
comportamento laminar. Quando as forças de inércia dominam, o
escoamento se comporta como turbulento.
O número de Reynolds (Re) é definido como a razão entre os
efeitos advectivos e os efeitos difusivos.
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O parâmetro que mede a razão entre as forças de inércia e
viscosas é o número de Reynolds, Re definido como
onde: r é a massa específica, m é a viscosidade absoluta. Vc
e Lc correspondem a velocidade e dimensão característica do
escoamento.
m
r cc LVRe
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ESCOAMENTOS EXTERNOS
A velocidade característica é a velocidade de
aproximação do corpo U
A dimensão característica é o comprimento do corpo
na direção do escoamento, L
9
m
r LURe O número de Reynolds que caracteriza a
transição neste caso é
Re Rec= 5 x 105 laminar
Re > Rec= 5 x 105 turbulento
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ESCOAMENTOS EXTERNOS: em geral desejamos
determinar as forças que atuam no corpo, isto é, força de arraste e
sustentação, assim como fluxo de calor.
Região afetada pela
presença do corpo
CAMADA LIMITE
Fora da camada limite, o
escoamento não é afetado
pela presença do corpo
forças viscosas não são
importantes
Quando o escoamento na camada limite é
desacelerado devido a uma diferença de
pressão, pode ocorrer uma reversão do
escoamento e a camada limite separa-se da
superfície do corpo, formando a esteira
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ESCOAMENTOS INTERNOS: em geral desejamos
buscar a relação entre vazão e queda de pressão, fluxo
de calor e variação de temperatura
• Em um escoamento interno, longe da região de entrada, observa-se que o
escoamento não apresenta variações na sua própria direção, e a pressão varia
linearmente ao longo do escoamento. O escoamento é considerado como hidro
dinâmicamente desenvolvido. Como vimos, a condição de termicamente
desenvolvida também pode ser obtida.
• O comportamento na região de entrada de uma tubulação apresenta o mesmo
comportamento que o escoamento externo.
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ESCOAMENTOS INTERNOS
O comprimento da região da entrada depende se o escoamento é
laminar ou turbulento. No caso laminar, para um duto circular, pode-
se estimar o comprimento da região da entrada como
Para o no. de Reynolds limite Re= 2300, temos que Le/D 140
Para o regime turbulento, como este está associado a uma maior
transferência de quantidade de movimento, o desenvolvimento do
escoamento ocorre para uma distância menor da entrada,
tipicamente, tem-se Le/D 40
m
r Due m06,0D
L
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ESCOAMENTOS INTERNOS
Considerando que o escoamento como hidrodinâmicamente
desenvolvido.
A velocidade característica é a velocidade média um
A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh
dAuA
1
A
Qu
TTm
m
th
P
A4D
At é a área transversal do
escoamento e Pm é o perímetro
molhado, o fator 4 é introduzido por
conveniência.
m
r hm DuRe
O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é
Re Rec=2300 laminar
Re > Rec=2300 turbulento
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Experiência de ReynoldsLaminar:
filamento de
corante não
se mistura
Turbulento: o
corante mistura
rapidamente
O escoamento turbulento
ocorre a altas velocidades. A
transição é caracterizada pelo
no. de Reynolds
m
r DVRe
Reynolds altos esc. turbulento
Reynolds baixo esc. laminar
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As equações de conservação que regem o escoamento independem do regime de escoamento. Porém o regime turbulento é sempre tri-dimensional e transiente.
Se diferentes escoamentos turbulentos são comparados, observa-se diferentes padrões de escoamento com diferentes tamanhos. Para descrever um escoamento turbulento é portanto necessário introduzir a noção de escala de turbulência. Escala de tempo e escala espacial. Para um escoamento turbulento em um tubo, por exemplo, espera-se que a escala de tempo seja da ordem da razão entre o diâmetro do tubo e a velocidade média do escoaento na seção transversal e a escala espacial seja da ordem de grandeza do diâmetro do duto.
Considerando ser possível definir a velocidade como a soma de um valor médio mais uma flutuação
uuu
O valor médio é obtido por
t
tdut
1u
sendo 0u
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Somente a escala da turbulência não é suficiente para caracterizar o escoamento turbulento. É preciso ter uma noção sobre a "violência" do movimento. O valor médio da velocidade não pode ser uma medida da violência do movimento, pois é exatamente a violência das flutuações em relação a velocidade média que desejamos saber.
Como a velocidade média não é uma boa medida para a violência, é conveniente utilizar como definição de violência, a intensidade da turbulência, a qual foi definida por Dryden and Kuethe, 1930, como a raiz quadrada do valor médio da flutuação (root mean square)
2)(uu
As equações de conservação de massa e quantidade de movimento linear são não lineares e acopladas.
Como o escoamento turbulento é transiente e tridimensional, a solução numérica destas equações traz muitas complicações porque características importantes dos escoamento turbulentos estão contidos nas recirculações que possuem apenas alguns milímetros em tamanho para escoamento com domínios de muitos metros.
Mesmo o problema mais simples necessitaria uma malha muito fina.
Além disso, para captar a variação temporal dos turbilhões, passos de tempo muito pequenos são necessários.
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Atualmente existem basicamente três métodos para se analisar um escoamento turbulento, os quais serão descritos a seguir.
DNS (Direct Numerical Simulation): cálculo de todas as escalas de comprimento da turbulência.
LES (Large Eddy Simulation): cálculo dos turbilhões de grandes escalas, com uma modelagem dos turbilhões de escala menor.
RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes): modelos da turbulência estatística baseado nas equações de Navier-Stokes médias no tempo.
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u
t
transiente permanente
u'
A análise estatística baseia-se no fato de que o escoamento turbulento pode ser descrito por um valor médio e mais uma flutuação u’(muitas vezes da ordem de 1% a 10% de )u
'uuu
• Para o engenheiro, muitas vezes é suficiente conhecer o comportamento do valor médio.
u
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Note que com relação ao valor médio, podemos fazer a hipótese de regime permanente, pois
Observamos ainda que se o vetor velocidade é dado por ,
poderemos fazer a hipótese de 2-D com relação aos valores médios.
0 tu /
kwjvviuuV
)()(
Dessa forma, podemos simplificar bastante o problema. Desejamos então determinar o campo médio de velocidades. Neste caso, é preciso obter equações de conservação para essa grandeza.
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Equações Médias de Reynolds
Os modelos de turbulência baseados nas equações de
Navier-Stokes médias no tempo RANS (Reynolds
Averaged Navier-Stokes) serão descritos.
No estudo de um escoamento turbulento, como as
quantidades analisadas são caracterizadas por
apresentar flutuações randômicas em torno de um valor
médio, pode-se utilizar de métodos estatísticos. Uma
simples análise estatística é suficiente.
20
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Decomposição de Reynolds:
21
'
iii uuu 'ppp
'
t
dtt
1
0'
Φ Ψ
;
Generalizando podemos escrever:
onde o valor médio é obtido por
Antes de derivarmos as equações médias para um escoamento
turbulento, vamos sumarizar algumas regras que governam as médias
temporais das flutuações das propriedades
e suas combinações, derivadas e integrais
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Essas equações podem ser facilmente demonstradas, ao notar que a
operação de média é uma operação de integração e, portanto a ordem
de diferenciação ou integração e obtenção de média temporal podem
ser invertidas.
0 '' Φ
ss
Φ dsds Φ
ΨΦ
ΨΦψψ
0 ψψ ''
;
;
;
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Correlação entre variáveis
Vimos que a média de uma flutuação é nula. No entanto, a média do
produto de duas flutuações só é diferente de zero, se estas forem
correlacionadas, se estas não forem correlacionadas, a média é nula.
23
A figura a seguir ilustra o
conceito de flutuações de
variáveis que são
correlacionadas
A flutuação da variável a tem o
mesmo sinal que a variável b,
na maior parte do tempo,
resultando em > 0. Por outro
lado, a variável c não é
correlacionada com a e b,
então
ab
0ac 0bc
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24
0vu ''
As flutuações da velocidade são
correlacionadas, então
''
''''''
ΨΦ
)ΦΨΨ(Φ))(Ψ(Φ
De um modo geral, tem-se
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25
Uma vez que o divergente e o gradiente são
diferenciações, as regras acima podem ser estendidas para
um vetor com flutuação e sua combinação com um escalar
com flutuação
Aa
divdiv
)a()a()a( div)(divdivdiv A
Φgraddivgraddiv
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26
0x
u
t j
j
rr
0x
u
j
j
As equações de Navier-Stokes médias no tempo são apresentadas a
seguir:
Equação da continuidade
para r constante 0
x
u
j
j
Note que subtraindo a equação acima da equação de conservação de massa
obtemos
isto é, as flutuações da velocidade assim como as velocidades médias
satisfazem a equação de conservação de massa incompressível.
0x
u
x
u
x
u
j
j
j
j
j
j
'
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Equação de Conservação de Quantidade de
Movimento Linear
27
ij
k
k
i
j
j
i
ji
ij
iji
x
u
x
u
x
u
xg
x
p
x
uu
t
u
m
mr
rr
3
2
Para propriedades variáveis a equação média no tempo de Navier-Stokes é
j
jiij
k
k
i
j
j
i
j
iij
iji
x
uu
x
u
x
u
x
u
x
gx
p
x
uu
t
u
)( r
m
m
rrr
3
2
O termo é denominado tensão de Reynolds, e envolve os
componentes das flutuações da velocidade que não são conhecidas.
Com muita freqüência o tensor de Reynolds é definido
''ji uur
''ji uu
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Equação de Conservação de um
Escalar
Considerando
A equação média da quantidade é obtida de forma análoga ao feito
anteriormente, isto é, calculando-se a média temporal da equação
28
rr
Sxxx
u
t jjj
j
r
rr
Suxxx
u
tj
jjj
j
''
'' r ju fluxo difusivo turbulento também precisa ser
determinado
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29
''divgraddiv hutD
pDTk
tD
hD rmr
'' Tuxcpx
T
cp
k
xx
Tu
t
Tj
jjjj
jr
mrr
''1
1121
11 r
rrr
jjjjj
ju
xxD
xr
x
u
t
Equação de conservação de energia, sem geração
ou com propriedades constantes
Equação de difusão de massa para uma mistura binária
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30
Modelos RANS
Determinar diretamente as Tensão de Reynolds e
fluxos turbulentos através de suas equações de
conservação
Modelos de Viscosidade Turbulenta
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Viscosidade e Difusividade Turbulenta
Como vimos, o efeito da turbulência implica em uma
aumento de difusão. Baseados neste fato, pode-se
modelar o fluxo turbulento de um escalar utilizando uma
difusividade turbulenta t
Definindo a difusividade efetiva como ef t x, t
A equação de conservação do escalar médio é
31
r tju ''
r StD
Def
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Os modelos de viscosidade turbulenta são baseados no conceito
da viscosidade turbulenta introduzido por Boussinesq em 1877.
Boussinesq propõe para o núcleo turbulento uma analogia entre
as tensões turbulentas e as tensões existentes no regime
laminar.
Vimos que a tensão viscosa para um fluido Newtoniano é
Em notação indicial a equação acima pode se escrita com
onde ij é o delta de Kronecker.
32
IV3
2VV T
div])grad(grad[ mm
ijk
k
i
j
j
iij
x
u
3
2
x
u
x
umm
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Fazendo uma analogia entre a tensão laminar e turbulento, a tensão
turbulenta é definida como:
onde mt é a viscosidade turbulenta. O termo r k é a parte isotrópica
do tensor e pode ser interpretado como a pressão dinâmica
associada aos turbilhões, em analogia à pressão estática,
termodinâmica. k é a energia cinética turbulenta, definida como
Com a substituição da expressão para a tensão de Reynolds na
equação média de Reynolds, obtêm-se a seguinte expressão para a
equação de conservação de quantidade de movimento linear para
regime turbulento baseada no conceito da viscosidade turbulenta
33
ijijk
kt
i
j
j
itji
x
u
x
u
x
uuu kr
m
mr
3
2
3
2
2222
i wvu2
1u
2
1 ''''k
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( C )
onde P é a pressão modificada, definida como
e a viscosidade efetiva mef:
onde m é a viscosidade molecular e mt é a viscosidade turbulenta.
34
ijijk
kt
i
j
j
it
i
j
j
i
j
iij
ij
i
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
gx
p
x
uu
t
u
rk
mm
m
m
rr
3
2
3
2)(
ii
j
j
ief
jij
ij
i gx
u
x
u
xx
P
x
uu
t
urmr
kr
m
3
2
x
u
3
2pP
k
kt
)(x, ttef mmm
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35
As equações médias apresentadas não constituem um modelo
de turbulência por si só, mas é a base para construção de um
grande número de modelos de turbulência simples e complexos,
cujo ponto de partida é a avaliação da viscosidade turbulenta mt.
A viscosidade turbulenta não é uma propriedade, e sim função
do escoamento. Analisando o escoamento próximo à parede,
observamos que na região imediatamente adjacente à parede, a
viscosidade turbulenta mt é desprezível em relação a
viscosidade absoluta m. Esta região é denominada sub-camada
laminar. Longe da parede, na região do núcleo turbulento, a
viscosidade absoluta m é de uma magnitude muito inferior à da
viscosidade turbulenta mt.
m << mt
m mt
m > > mt
núcleo turbulento
camada amortecedora
sub-camada laminar
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36
Diferentes modelos têm sido propostos para a
avaliação da viscosidade turbulenta. Cada modelo
apresenta um grau de complexidade diferente e com
uma abrangência diferente.
Os modelos podem ser classificados em modelos:
modelos algébricos, modelos de zero equações
diferenciais
modelos de uma equação diferencial
modelos de duas equações diferenciais
modelos de n equações diferenciais
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Modelos de Difusividade Turbulenta
37
jxtju
r ''
h
jjj x
h
x
h
x
Tj
cp
kkq
Pr
m
Para avaliar o fluxo de difusão turbulento de uma grandeza
escalar, também é possível fazer uma analogia com o fluxo
de difusão molecular.
onde t é a difusividade
turbulenta.
O fluxo difusivo de calor molecular é
Vamos supor que a equação de interesse é a equação da
energia e que a grandeza escalar é a entalpia,
logo, o coeficiente
de difusão é Pr
m onde Pr é o número de Prandtl.
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38
t
tt
Pr
m
jt
t
jjj
x
T
xcp
q
x
Tu
t
T
PrPr
mr
m
A difusividade turbulenta pode
então ser definida como
Normalmente, Prt é dado como um valor constante. Alguns
dados empíricos são:
o jatos livres e esteiras: Prt = 0,5
o camadas limites formadas em paredes sólidas: Prt = 0,9
onde Prt é o número de Prandtl turbulento.
A equação da energia para fluidos incompressíveis,
desprezando a dissipação viscosa fica igual a
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39
jj xxjSc
Dj 11121
mr
t
tt
Sc
m
jt
tSc
jjj
xScxr
xu
t
11
11 mr
m
De forma análoga, para uma mistura binária, o fluxo de
massa difusivo da espécie 1 em relação a mistura,
pode ser obtido em função da fração em massa como
A difusividade turbulenta pode então
ser definida como
A equação de difusão em massa de uma espécie é
onde Sct é o número de Schmidt turbulento
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VISCOSIDADE TURBULENTA
Interpretação física:
De acordo com a teoria cinética dos gases, a viscosidade absoluta
(molecular) é resultante da transferência de quantidade de movimento
resultante da colisão de moléculas ( m r a x ), onde a é a velocidade do
som e x é o caminho médio livre entre colisões.
De forma análoga a viscosidade turbulenta é definida como sendo
resultante da transferência de quantidade de movimento da colisão de
turbilhões turbulentos, podendo ser estimada por
onde Vc e Lc são, respectivamente, a velocidade e o comprimento
característico ou típicos da escala de movimento.
Os diversos modelos para viscosidade turbulenta, diferem com respeito
a determinação dos valores característicos da escala turbulenta.
40
cct LVrm
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Diferentes modelos têm sido propostos para a avaliação da viscosidade
turbulenta. Cada modelo apresenta um grau de complexidade diferente
e com uma abrangência diferente. Os modelos podem ser classificados
em modelos:
modelos algébricos, modelos de zero equações diferenciais
modelos de uma equação diferencial
modelos de duas equações diferenciais
modelos de n equações diferenciais
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Modelos Algébricos
Os modelos algébricos também são chamados de modelos de zero
equações (diferencias)
Viscosidade Turbulenta Constante
Este é o modelo mais simples possível. Ocasionalmente, como uma
primeira aproximação, para alguns escoamentos, a viscosidade
turbulenta pode ser considerada como constante, onde o valor da
constante deveria ser ajustado a partir de dados experimentais, Este
modelo não é muito utilizado, por ser muito grosseiro.
42
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Modelo de Prandtl para Camadas Cisalhantes Livres:
43
turbulento
irrotacional
U
Uc
Para a situação de escoamentos livres,
como por exemplo a esteira formada
atrás de um cilindro, a intensidade da
turbulência é muito elevada e
fortemente tridimensional. Na ausência
de gradientes de velocidade, ou outro
mecanismo de suprimento de energia,
a turbulência decai com a distância.
A tensão cisalhante de Reynolds é nula no centro da esteira devido à
condição de simetria e também tende a zero à medida que se aproxima
da borda da esteira, onde vigora o escoamento irrotacional. Neste tipo
de escoamento, a intensidade de é muito maior do que a de
, fazendo com que a esteira aumente rapidamente o seu
espalhamento, com a conseqüente queda da diferença de velocidade
U∞ - Uc, onde U∞ e Uc são as velocidades da corrente livre e da linha de
centro.
vu
yu /
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Modelo de Prandtl para Camadas Cisalhantes Livres:
44
Prandtl propôs então
e L =
onde é a espessura da camada cisalhante, logo
O valor da constante C depende do tipo de escoamento. Por exemplo:
I. camadas de mistura: C = 0,010
II. jatos planos: C = 0,014
III. esteiras planas: C = 0,026
cc UUV
rm ct UUC
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Modelo de Comprimento de Mistura:
A Hipótese do Comprimento de Mistura foi desenvolvida por Prandtl
(1925), considerando um escoamento turbulento simples com
Considere que em um escoamento turbulento ao longo de uma parede,
porções de fluido se juntam e se movimentam através de um
determinado comprimento m sem alterar sua quantidade de movimento
na direção x.
45
Vamos analisar o movimento de uma porção de
fluido começando em y = - m e se deslocando
com velocidade v positiva (v' > 0) até a posição
y =0. Sua quantidade de movimento por unidade
de volume é . Considerando que o
fluido mantém sua quantidade de movimento, sua
velocidade na nova posição y=0 é menor do que a
velocidade a existente lá. A diferença entre as
velocidades na nova posição será
0wvyuu ;)(
v' >0
v' <0
)( mu
)(0u
)( mu
)( mu r
)()( m1 u0uu
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esta diferença de velocidades pode ser estimada utilizando uma
expansão em série de Taylor
Considerando agora, uma porção de fluido se deslocando com
velocidade negativa (v' < 0), saindo de y = m até a posição y =0. Sua
velocidade será maior do que da nova posição e a diferença de
velocidades será
As diferenças no valor de velocidade originada pelo movimento
transversal podem ser interpretadas como as flutuações de velocidade
em y=0. O valor médio do módulo dessas flutuações de velocidade em
y=0 pode ser avaliado por
46
0ym1
y
uu
02
ym
y
uu
0y
m21y
uuu
2
1u
'
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Analisando a equação anterior, pode-se interpretar o comprimento de
mistura, como sendo a distância que deve ser percorrida por uma
porção de fluido com sua velocidade original de tal forma que a
diferença entre os valores de sua velocidade e o da velocidade na
nova região seja igual ao valor médio da flutuação de velocidade
naquela região.
Considerando que o componente transversal de flutuação de
velocidade, v', seja da mesma ordem de grandeza que o componente
horizontal, u', isto é
onde 0 < c < 1.
47
0ym
y
ucucv
''
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Para avaliar o produto , podemos notar que uma condição de
v' > 0 geralmente está associada a uma condição de u' < 0, já que
porções de fluido vindas de regiões com menores velocidades tendem
a produzir uma redução de velocidade (flutuação) no novo meio.
Usando o mesmo argumento, podemos associar à condição de v'<0
valores de u' > 0. Desta forma, a tensão cisalhante pode ser
escrita para o perfil de velocidade representado na figura como
que finalmente, pode ser rescrita em função da velocidade média como
onde a constante c foi incorporada na expressão para m , que ainda
não foi definida.
48
'' vu
'''' vucvu
'' vu
22m
y
uvu
''
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A expressão anterior, deve ser modificada, para que o sinal da tensão
turbulenta seja coerente para diferentes perfis de velocidade, logo
Esta expressão é o principal resultado da
Hipótese de Comprimento de Mistura de Prandtl.
Finalmente, podemos determinar a viscosidade turbulenta, pois
Então sendo
já que
49
y
u
y
uvu 2
m''
y
uvu tmr ''
y
u2mt
rm
y
uV mc
mct V rm
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A distribuição de m deve ser especificada algébricamente.
Para escoamentos mais gerais, a viscosidade turbulenta pode ser
obtida de
50
21
j
i
i
j
j
i2mt
x
u
x
u
x
u/
rm
O valor do comprimento de mistura m varia de acordo com o tipo de
escoamento:
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camadas limites ao longo de paredes: Para
escoamentos ao longo de superfícies sólidas, espera-se
que à medida que se aproxima a superfície sólida, a
escala de comprimento da turbulência associada ao
tamanho dos vórtices diminua. Nestas situações, o
comprimento de mistura é definido como
51
)/(
)/(
y
yy
m
m
para
para
onde K= 0,435 e = 0,09 e é
a espessura da camada limite
local.
A figura ilustra alguns dados experimentais típicos para m em cinco
posições diferentes ao longo de uma superfície (d99 é a espessura da
camada limite, no ponto onde u/U=0,99).
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Na região próxima à parede, o dados se ajustam ao perfil linear,
sendo a constante de proporcionalidade k 0,41, sendo
usualmente chamada de constante de von Kàrmàn.
O mesmo comportamento é observado com gradiente de pressão
adverso/favorável, com sucção/injeção, e as constantes
aparentemente são pouco afetadas pelas condições de contorno.
Estas observações são válidas para uma camada limite em
equilíbrio.
Na região bem próxima a parede (a qual não é visível na figura
apresentada), observa-se grande discrepância entre os valores
medidos e previstos. Deissler (1955) e van Driest (1956)
apresentaram, respectivamente, as seguintes relações para avaliar
a viscosidade turbulenta
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124,0;)exp(1 22
nyu
nyun
parededantoamortecimelexponenciadecaimento
aladimenisonsno.Reynold
molecularideia
t
m
rrm
*
222 26
4,0)exp(1r
mrm
Aek
y
u
A
yyk
parededantoamortecimelexponenciadecaimentomolecular
ideia
t
A relação de Deissler apresenta a vantagem de não envolver
nenhum gradiente, sendo mais fácil de ser tratada.
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Modelos Diferenciais
Modelos de 1 equação diferencial: k - m
Velocidade característica: energia cinética turbulenta, equação
diferencial
Comprimento característico: m algébrico
Modelos de 1 equação diferencial: Modelo de Spalart-Allmaras
Equação diferencial para viscosidade turbulenta adimensional
54
kcV 222
2
1wvu k
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Modelos De Duas Equações
Estes modelos consistem na solução de duas equações
diferenciais para avaliar a viscosidade turbulenta. Na
elaboração de um modelo de duas equações, faz sentido
continuarmos utilizando a equação para a energia cinética
k, devido ao pouco empiricismo usado na sua obtenção.
Como podemos utilizar qualquer combinação das
grandezas relevantes para a segunda variável, várias
propostas surgiram ao longo dos anos:
Freqüência de vórtices f ( f = k ½ -1) (Kolmogorov, 1942)
Produto energia versus escala de comprimento k (Rodi e Spalding, 1970)
Vorticidade ( k -2 ) (Wilcox, 1988)
Dissipação e (e k 3/2 -1 ) da energia cinética turbulenta k
(Harlow e Nakayama, 1968 e Launder e Spalding, 1974)
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Modelo ke
O modelo ke é sem dúvida o modelo que tem recebido maior atenção
devido, principalmente, aos trabalhos de Jones e Spalding (1972,
1973) e Launder e Spalding (1974).
Neste modelo a velocidade característica continua sendo Vc k 1/2
o comprimento característico é obtido em função da dissipação
(e Pot/ r L3= F u / r 3= Cd r u2 2 u/ r 3 u u 3 / u 3 / e
k 3 /2 / e .
A viscosidade turbulenta é (mt cm k 1/2 k 3/2 e -1 ), ou melhor
Para avaliar a energia cinética e a taxa de dissipação da energia
cinética, deriva-se uma equação de conservação para cada variável,
manipulando a equação de Navier-Stokes
e
rm
m2
t
kc
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Equação de Conservação da Energia Cinética
Turbulenta k
A equação de conservação para k é obtida através das seguintes
etapas:
i. Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de
Navier-Stokes
ii. Produto escalar da flutuação com a equação resultante
iii. obter a média da equação resultante
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Equação de Conservação da Dissipação da Energia
Cinética Turbulenta eA equação de conservação para e é obtida através das seguintes
etapas:
i. Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de
Navier-Stokes
ii. Derivar a equação resultante em relação a xj
iii. Fazer um produto escalar com 2 u’i / xj
iv. obter a média da equação resultante
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Equações de Conservação do Modelo ke Padrão
nas equações acima, as constantes empíricas são:
cm=0,09 ; c1e =1,44 ; c2e =1,92 ; sk =1,0 e se =1,3
erk
s
mmkr
kr
kk
j
t
j
jj xx
Puxt
k
eerk
e
s
mm
er
er
ee
e21 cPc
jxjxju
jxt
t
j
i
i
j
j
it
x
u
x
u
x
uP
mk e
krm m
2
t c
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Deficiências do Modelo ke
Em algumas situações comuns de escoamento, o modelo
ke apresenta deficiências significativas. Exemplos destas
situações são:
Escoamento na presença de curvatura de linhas de
corrente
Escoamento sob ação de gradientes de pressão adversos
Escoamentos com regiões de separação
Jatos
Escoamentos sob ação de campos de força
Escoamentos com rotação ("swirl")
Necessidade de leis de parede
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