Hewlett-Packard
Ano: 2016
TRONCO DE CONE Aula 01
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Sumário SEÇÃO DE UM CONE REGULAR ............................................................................................................................... 1
A SEMELHANÇA ENTRE DOIS CONES REGULARES .................................................................................................. 1
O TRONCO DE UM CONE REGULAR ........................................................................................................................ 2
ÁREA DA BASE MENOR DE UM TRONCO DE CONE REGULAR ............................................................................ 2
ÁREA DA BASE MAIOR DE UM TRONCO DE CONE REGULAR .............................................................................. 2
ÁREA LATERAL DE UM TRONCO DE CONE REGULAR .......................................................................................... 2
ÁREA TOTAL DE UM TRONCO DE CONE REGULAR ............................................................................................. 2
VOLUME DE UM TRONCO DE CONE REGULAR ................................................................................................... 2
A SEÇÃO MERIDIANA DE UM TRONCO DE CONE REGULAR................................................................................ 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 2
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1
AULA 01 SEÇÃO DE UM CONE REGULAR Considere um cone com base contida em um plano 𝛼.
A uma distância ℎ do vértice 𝑉 desse cone passa um
plano 𝛽//𝛼, que o secciona, dividindo-o em 2 sólidos.
Na figura acima, temos:
CONE GRANDE
𝑯: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
𝑮: 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
𝑹: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
CONE PEQUENO
𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜
𝒈: 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜
𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜
TRONCO DE CONE
Sólido que é parte do cone e está compreendido entre
os planos 𝛼 e 𝛽.
𝒉𝑻: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒
𝒈𝑻: 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒
𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒
𝑹: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒
Observação 1.1: Observe que os cones pequeno e
grande são semelhantes.
A SEMELHANÇA ENTRE DOIS CONES
REGULARES Observe que
Se a razão de semelhança entre os elementos lineares
dos cones pequeno e grande for tal que
𝒓
𝑹=
𝒈
𝑮=
𝒉
𝑯=
𝒄
𝑪= 𝒌
Em que
𝒄: 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜
𝑪: 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
Então, a razão entre as áreas das superfícies dos
cones pequeno e grande será tal que
𝑨𝒃
𝑨𝑩
=𝑨𝒍
𝑨𝑳
=𝑨𝒕
𝑨𝑻
= 𝒌𝟐
Em que
𝐴𝑏: á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜
𝐴𝐵: á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
𝐴𝑙: á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜
𝐴𝐿: á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
𝐴𝑡: á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜
𝐴𝑇: á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
E a razão entre os volumes dos cones pequeno e
grande será
𝒗
𝑽= 𝑘3
Em que
𝒗: 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜
𝑽: 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2
O TRONCO DE UM CONE REGULAR Observe a figura apresentada na página anterior.
ÁREA DA BASE MENOR DE UM TRONCO
DE CONE REGULAR É igual à área da base do cone pequeno.
𝐴𝑏 = 𝜋𝑟²
ÁREA DA BASE MAIOR DE UM TRONCO DE
CONE REGULAR É igual à área da base do cone maior.
𝐴𝐵 = 𝜋𝑅²
ÁREA LATERAL DE UM TRONCO DE CONE
REGULAR Pode ser obtida fazendo-se a diferença entre as áreas
laterais dos cone grande e pequeno, nessa ordem.
Ou por meio da fórmula:
𝐴𝐿 = 𝜋 ∙ (𝑅 + 𝑟) ∙ 𝑔𝑇
ÁREA TOTAL DE UM TRONCO DE CONE
REGULAR É a soma das áreas de suas duas bases e da área de sua
superfície lateral.
𝐴𝑇𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝑏 + 𝐴𝐿
VOLUME DE UM TRONCO DE CONE
REGULAR Pode ser obtido pela diferença entre os volumes dos
cones grande e pequeno, nessa ordem.
Ou, por meio da fórmula:
𝑉𝑇 =𝜋 ∙ ℎ𝑇
3(𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅 ∙ 𝑟)
A SEÇÃO MERIDIANA DE UM TRONCO DE
CONE REGULAR A seção meridiana de um tronco de cone regular é um
trapézio isósceles, como ilustrado na figura a seguir.
Uma ferramenta muito explorada em exercícios é o
trabalho com o triângulo retângulo destacado em
vermelho, pois por meio dele conseguimos encontrar
uma das medidas envolvidas quando conhecemos as
demais. Assim, temos:
(𝑔𝑇)2 = (ℎ𝑇)2 + (𝑅 − 𝑟)2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1) Um tronco de cone é tal que os comprimentos das
circunferências das suas bases menor e maior são,
respectivamente, iguais a 6𝜋 cm e 12𝜋 cm. Dado que a
geratriz desse tronco tem medida igual a 5 cm,
determine a área total e o volume desse tronco de
cone.
TAREFA 1: PSA: 1, 2, 4 e 7
+ LISTA: questões, 15 a 21
Top Related