Trigonometria e o Triângulo
Retângulo
Cursista: Príscila Henriques Gomes Oliveira
Especialização em Novas Tecnologias para o Ensino de Matemática
Projeto de Aprendizagem
Informática Educativa I
Introdução
• Neste projeto estudaremos a trigonometria em triângulo retângulo e teorema de Pitágoras.
• Assunto é geralmente abordado no 9º ano do Ensino Fundamental.
• Tentaremos com isso proporcionar uma melhor compreensão das relações trigonométricas e do teorema de Pitágoras usando software.
• Assim, incluindo os alunos às novas tecnologias.
Objetivos
• Criar uma planilha no Excel que permita calcular de forma rápida e automática:
• O seno, cosseno e tangente.
• O teorema de Pitágoras.
• Utilizar um software de Geometria Dinâmica o Régua e Compasso, para construção dos triângulos de modo que permita visualizar os comprimentos e ângulos.
Material e Método
• Uso do laboratório de informática
• Uso de Datashow para o professor
• Uso software de desenvolvimento de planilhas como o Microsoft Excel.
• Uso Software de geometria dinâmica régua e compasso (ReC).
• Criação do slideshare, para postagem do projeto na web.
Material e Método
• Vídeos do telecurso 2000 sobre teorema de Pitágoras e relações trigonométricas.
• Utilização do software ReC para construção dos triângulos retângulos.
• Utilização do software Excel para elaboração da planilha.
Vamos ao conteúdo...
História – Teorema de Pitágoras • Diz-se que Pitágoras viajou pelo Egito e pela Babilónia vindo a fixar-se no sul da
Itália (em Crotona) fundando a chamada Escola Pitagórica, onde se estudava Matemática, Filosofia, Música e outras Ciências;
• Pitágoras viveu no séc. VI a.C., na Grécia e pensa-se que nasceu na ilha de Samos;
• Foi Pitágoras o primeiro a elevar a ciência dos números e da geometria à categoria das artes maiores e a estabelecer o princípio de que uma proposição científica deve ser totalmente convincente, isto é, verdadeiramente demonstrada;
• Atribuem-se notáveis descobertas a Pitágoras, tais como o sistema de numeração decimal, tabelas de multiplicação e a demonstração do célebre teorema que leva o seu nome;
• Há uma lenda que conta que Pitágoras ofereceu aos deuses mil bois como agradecimento, por ter descoberto a demonstração do referido teorema;
• Os Pitagóricos tinham algumas superstições e para prevenir desgraças usavam o símbolo «pentagrama», nas portas das casas e nos sítios que queriam preservar de maus acontecimentos;
• Este teorema indica que os gregos conseguiram estabelecer uma ligação abstrata entre os números e as figuras, o que representa um importante esforço intelectual. Também prova que tinham aprendido a demonstrar, e não apenas a persuadir, o que representa um considerável salto cognitivo.
• Existem inúmeras demonstrações do teorema de Pitágoras. Em 1940 o matemático americano Elisha Scott Loomis compilou 367 demonstrações diferentes para o seu livro 'The Pythagorean Proposition‘.
As várias demonstrações do teorema
Teorema de Pitágoras • Lembramos que o triângulo retângulo pode ser
identificado pela existência de um ângulo reto isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe: Catetos: a e b Hipotenusa: c
• O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.” a² + b² = c²
• Assistir vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=dqJ8Bzk1OtI
Exemplos Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Exemplo 2: Aplicação dos números Irracionais
:
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2
√2 = 1,414213562373....
Exemplo
Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial,
percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:
Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)
Seno, cosseno e tangente
• História visitar o site: http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm
• Atividade: O aluno deve fazer um resumo da história e conversar com os colegas a respeito.
• Os alunos devem se atentar para a história nesta atividade.
• Assistir vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=nT2A4Ehf1kU
• A trigonometria é considerada uma das áreas mais importantes da Matemática, pois possui diversas aplicações nos estudos relacionados à Física, Engenharia, Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, entre outras.
• No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois estão presentes em diversos cálculos. Por isso seus valores trigonométricos correspondentes são organizados em uma tabela, veja:
• Nas situações envolvendo outros ângulos, os valores trigonométricos podem ser obtidos através do uso de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sen (seno), cos (cosseno) e tan (tangente). Outra opção seria dispor de uma tabela trigonométrica.
Uso do software ReC • Usamos o software régua e compasso. • Ferramenta – ícone triângulo. • Clicando com o botão esquerdo do mouse sobre cada ponto abre
uma janela chamada editor de ponto onde podemos nomear cada ponto (fazemos isso para os pontos A, B e C).
• Escrevemos no lugar de nome a letra que representa o ponto, selecionamos o ícone exibir nomes dos objetos para que apareça o nome próximo ao ponto.
• Clicamos com o botão esquerdo do mouse também sobre cada semirreta para aparecer os valores dos comprimentos de cada uma delas.
• Selecionamos o ícone mostrar valores dos objetos para aparecer os valores dos comprimentos de cada uma das semirretas.
• Usando o ícone ângulo, clicamos em três ângulos consecutivos e com o botão direito do mouse clique para editar e peça para mostrar os valores dos ângulos.
• Se usarmos o ícone mover ponto modificamos os triângulos e a cada modificação calculamos o seno, cosseno e tangente de cada ângulo.
Uso do ReC – Mostrar Teorema de
Pitágoras
Uso do ReC – Mostrar Teorema de
Pitágoras
Uso do ReC – Mostrar seno, cosseno e
tangente.
Planilha no Excel
Atividade
• Construa triângulos retângulos no software ReC e calcule seus ângulos, seno cosseno tangente no excel.
• Verifique também o Teorema de Pitágoras.
• Os alunos podem criar seus próprios triângulos.
Conclusão
• Nos quatro últimos slides podemos ver a aplicação de softwares em sala de aula.
• Através dos softwares podemos explorar os conteúdos. Sendo um aliado para professor e aluno.
• Nossa aula pode ser criada pelos alunos, através dos exemplos desenvolvidos por eles.
Referências
• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. ALMEIDA, Nilze de. Matemática Ciência e Aplicações, 6ª ed. São Paulo. Editora Saraiva. 2010.
• ANDRINI, Álvaro. VASCONCELOS, Maria José. Novo Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2006.
• Régua e Compasso. Disponível em: http://www.professores.uff.br/ hjbortol/car.
• http://www.youtube.com/watch?v=nT2A4Ehf1kU • http://www.youtube.com/watch?v=dqJ8Bzk1OtI • http://www.brasilescola.com/matematica/utilizando-as-
relacoes-trigonometricas.htm • http://www.brasilescola.com/matematica/trigonometria-no-triangulo-
retangulo.htm • http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm25/pitagoras/dirhpitagoras.htm • http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm • http://www.brasilescola.com/matematica/seno-cosseno-tangente-
angulos.htm
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