Transformada de Fourier em tempo
discreto
Capítulo 2*:
*Baseado no capítulo 5 do livro texto: “Sinais e Sistemas” de Alan V. Oppenheim, 2ª edição.
Prof. Alan Petrônio PinheiroUniversidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Elétrica
Sinais e Sistemas 2• Vamos relembrar a “big picture”
2 de 15
• Introdução tempo discreto
• Formulação matemática
• Propriedades
• Simetria
• Linearidades
• Deslocamento tempo-freq.
• Expansão no tempo
• Multiplicação e convolução
• Dualidade
• Outras (tabela propriedades)
• Tabela (transf. sinais)
• Sistemas e eq. diferenças
• Exercícios
Capítulo 2:
Transf. de Fourier em
tempo discreto
Contexto
Trans. FourierTEMPO
CONTÍNUO
Trans. FourierTEMPO
DISCRETO
Caracteri. no tempo e freq. de sinais e
sistemas
AmostragemTransf.
ZAplicações
controle
Sinais e Sistemas 2• “Cenas do capítulo passado ...”
• Conceito de tempo discreto
– Processo discretização:
– Representação:
– Amostragem (Ts e Fs)
• t=n.Ts
3 de 15
Introdução ao tempo discreto
01
11
11
01
10
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
memória
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• Sistemas e eq. diferenças
• Exercícios
Capítulo 2:
Transf. de Fourier em
tempo discreto
Sinais e Sistemas 2• Formulação matemática:
• Diferença entre:
– (i) série,
– (ii) TF em tempo contínuo
– (iii) TF em tempo discreto
– (iv) transformada discreta de Fourier (DFT)
4 de 15
[ ] ( )=π
ωω ωπ 22
1deeXnx njj
( ) [ ]∞
−∞=
−=n
njjenxeX
ωω
síntese
análise
NnmjN
n
enxmX
/21
0
)()(
π−−
−
=
( ) [ ]∞
−∞=
−=n
njj enxeX ωω
Formulação matemática TFTD
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tempo discreto
Sinais e Sistemas 2• Característica importante do kernel discretizado:
– ejωn é periódico a cada 2π (para mesmo n)
– Isto quer dizer que ej0n = ej2πn = ej4πn = ...
• O eixo de frequências agora não é mais dado em Hertz!
– Frequência vai de 0 a ϖ
– Para converter em Hertz:
• regra de três onde ϖ equivale a Fs/2 Hertz
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Transf. de Fourier em
tempo discreto
Sinais e Sistemas 2• Condições para existência:
– x[n] for somável
– Ou tiver energia finita
• Outra característica importante: simetria par
• Séries mais comuns:
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[ ]∞
−∞=
∞<n
nx
[ ]∞
−∞=
∞<n
nx2
)()(*
nNXnX −=
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tempo discreto
Sinais e Sistemas 2Exemplo: estime a TF do sinal:
7 de 15
[ ] [ ] 1 , <= anuanxn
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Transf. de Fourier em
tempo discreto
Sinais e Sistemas 2
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Propriedades
• Geralmente similares a do tempo contínuo
1) Simetria do espectro
– Não vale para o tempo contínuo
2) Linearidade
)()( )2( ωπω jjeXeX =+
[ ] [ ] ( ) ( )ωω jjebXeaXnbxnax 2121 +→←+
ℑ
( ) ωjeX
( )ωjeX∠
par de ω
ímpar de ω
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Capítulo 2:
Transf. de Fourier em
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Sinais e Sistemas 2 3) Deslocamento tempo-frequência-tempo
Exemplo: considere a resposta ideal do filtro passa-baixas ��������
com frequência corte .
A partir dela, projeto o filtro passa alta com resposta a freq. similar a:
9 de 15
[ ] ( )ωjeXnx →←ℑ
[ ] ( )ωω jnjeXennx 0
0
−ℑ→←−
[ ] ( ))( 00 ωωω −ℑ→←jnj
eXnxe
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tempo discreto
Sinais e Sistemas 24) Expansão no tempo
Exemplo:
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( )[ ][ ]
=kn
knknxnx k
de múltiplofor não se,0
de múltiplofor se,
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5) Convolução
6) Multiplicação no tempo
logo
[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=
h[n]x[n] y[n]
)()()( ωωω jjjeHeXeY =
[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 =
[ ] ( )ωjeXnx 11 →←ℑ [ ] ( )ωjeXnx 22 →←
ℑ
( ) [ ] [ ] [ ]∞
−∞=
−∞
−∞=
− ==n
nj
n
njj enxnxenyeY ωωω21
( ) ( ) ( )−=
π
θωθω θπ 2
)(
212
1deXeXeY jjj Convolução periódica de
������� e � �����
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Sinais e Sistemas 27) Questão da dualidade
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Existe dualidade tempo contínuo
NÃO existe dualidade tempo discreto
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Sinais e Sistemas 2• Formato:
• Matematizando:
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Sistemas caracterizados por equações de
diferenças
h[n]x[n] y[n]
X(e jω) H(e jω) Y(e jω)
[ ] [ ]==
−=−M
k
k
N
k
k knxbknya00
( ) ( )=
−
=
− =M
k
jjk
k
N
k
jjk
k eXebeYea00
ωωωω
( ) ( )( )
=
−
=
−
==N
k
jk
k
M
k
jk
k
j
jj
ea
eb
eX
eYeH
0
0
ω
ω
ω
ωω
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tempo discreto
Exercícios
1) Considere o sistema abaixo formado pelos módulos. Os sistemas ��� ��� são filtros passa baixas com frequências de corte em � 4⁄ e ganho unitário na banda de passagem. Determine a comportamento global do sistema.
2) Determine a resposta ao impulso do sistema LIT causal que é caracterizado pela equação de diferenças:
Dados/dicas: • roots([1 -3/4 1/8])
ans = 0.5 e 0.25
• Polo=(1 - r.e-jw)• Frações parciais tempo discreto: chamar e-jw=u (função Matlab: residuez)
[ ] [ ] [ ] [ ]nxnynyny 228
11
4
3=−+−−
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