DIVISÃO DE ENGENHARIA
CURSO DE ENGENHARIA DE PROCESSAMENTO MINERAL
TERMODINÂMICA
DEDUÇÕES DE MAXWELL
TRANSFORMAÇÕES ADIABÁTICAS, ISOTÉRMICAS E
ISOVOLUMÉTRICAS
Estudantes: Docente:
Balbino João Vale
D`clay Mário Eva Juta
Décio Alberto Taunde Douve Engº Floriano Jantar Torcida
Elton Francisco Isaías Boa
Emenaldo Jerson de Regina Massaite
Tete, Outubro de 2015
Balbino João Vale
D`clay Mário Eva Juta
Décio Alberto Taunde Douve
Elton Francisco Isaías Boa
Emenaldo Jerson de Regina Massaite
DEDUÇÕES DE MAXWELL
TRANSFORMAÇÕES ADIABÁTICAS, ISOTÉRMICAS E
ISOVOLUMÉTRICAS
Trabalho apresentado à Instituto
Superior Politécnico de Tete, no
ambito do plano da Cadeira de
Termodinâmica orientada por Engº
Floriano Jantar Torcida..
Tete, Outubro de 2015
ÍNDICE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 4
DEDUÇÕES DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL ...................................................... 5
Deduzindo a equação de Maxwell pela função de entalpia(H) ................................. 5
Dedução de Maxwell pela equação de energia interna(U) como uma função de P .. 7
TRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICA ......................................................................... 8
Equacao matemática que descreve o processo adiabático ........................................ 8
Equação de um processo adiabático em termos de Te V .......................................... 9
Trabalho numa transformaçao adiabática ............................................................... 10
Representação da curva de transformação adiabática ............................................. 10
TRANSFORMAÇÃO ISOVOLUMÉTRIVA ............................................................ 11
TRANSFORMAÇÃO ISOTÉRMICA ....................................................................... 12
CONCLUSÃO ................................................................................................................ 15
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 16
4
INTRODUÇÃO
As Leis da Termodinâmica foram desenvolvidas de forma a serem aplicadas a sistemas
de qualquer número de coordenadas. No caso de três ou mais coordenadas, falamos de
superfícies isotérmicas, adiabáticas, etc. No caso de duas coordenadas, falamos de curvas
planas (Exemplo: Sistemas Simples Compressíveis, Sistemas Hidrostáticos).
O presente trabalho aborda sobre as deduções matematicas das equações de Maxwell pela
equação de entalpia e tambem falou-se neste trabalho o segundo topico não obstante as
transformações termodinamicas, referimos transformações adiabáticas, transformações
isotérmicas e transformações isovolumétricas.
5
DEDUÇÕES DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL
Para a dedução das equações de Maxwell é necessário lembrar dois teoremas
matemáticos:
1º teorema: Se existe uma relação entre x, y e z, podemos imaginar z como função de x,
y. Sendo z uma função contínua de x, y a diferencial total desta função será;
2ºTeorema: Se “f” é uma função de x, y, z e existe uma relação entre x, y, z, então “f”
poderá ser expressada como função de qualquer par x, y, z. Similarmente se x, y, z são
funções de “f” e qualquer outra das coordenadas x, ou Y ou z.
Deduzindo a equação de Maxwell pela função de entalpia(H)
𝑯 = 𝑻𝑼 + 𝑷𝑽 (1)
Para variações infímas ou pequenas do volume a equação acima será escrita na forma de
derivada em:
𝒅𝑯 = 𝑻𝒅𝑺 + 𝑽𝒅𝑷 (2)
Dividindo a equação de dH acima por 𝜕𝑃 a temperatura (T) constante teremos:
𝜕𝐻
𝜕𝑃= 𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑃) + 𝑉(
𝜕𝑃)
𝜕𝑃 (3)
𝜕𝐻
𝜕𝑃= 𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑃) + 𝑉 (4)
Como as equações foram escritas a temperatura constante podemos escrever o seguinte:
(𝜕𝐻
𝜕𝑝)𝑇 = 𝑇(
𝜕𝑆
𝜕𝑃)𝑇 + 𝑉 (5)
E como sabe-se que:
(𝜕𝑆
𝜕𝑃)𝑇 = −(
𝜕𝑉
𝜕𝑇)𝑃 (6)
Então substituindo na equação (5) a derivada parcial (𝑑𝑆
𝑑𝑃)𝑇 pela expressão −(
𝑑𝑉
𝑑𝑇)𝑃
obteremos:
(𝜕𝐻
𝜕𝑝)𝑇 = −𝑇(
𝜕𝑉
𝜕𝑇)𝑃 + 𝑉 (7)
6
E organizando em Função do sinal podemos ter:
(𝜕𝐻
𝜕𝑝)𝑇 = 𝑉 − 𝑇. (
𝜕𝑉
𝜕𝑇)𝑃 (8)
Aplicando o teorema 2:
Escrevendo as equações de Maxwell em rela H=H’(T,P) obteremos:
𝐻 = 𝐻′(𝑇, 𝑃)
dH= (𝜕𝐻
𝜕𝑇)𝑃𝑑𝑇 + (
𝜕𝐻
𝜕𝑃)𝑇𝑑𝑃
Como (𝜕𝐻
𝜕𝑇)𝑃 = 𝐶𝑝 𝑒 (
𝜕𝐻
𝜕𝑃)𝑇= = 𝑉 − 𝑇. (
𝜕𝑉
𝜕𝑇)𝑃 então substituindo na equação acima
teremos:
𝑑𝐻 = 𝐶𝑝𝑑𝑇 + (𝑉 − 𝑇. (𝜕𝑉
𝜕𝑇)
𝑃)𝑑𝑃
Escrevendo as equações de Maxwell em rela S=S’(T,P) obteremos:
𝑆 = 𝑠′(𝑇, 𝑃)
𝑑𝑆 = (𝜕𝑆
𝜕𝑇)𝑃𝑑𝑇 + (
𝜕𝑆
𝜕𝑃)𝑇𝑑𝑃
Observações sobre a equação
Para qualquer substância pura:
Mudança de entalpia numa isóbara: 𝑑𝐻𝑃 = 𝐶𝑝𝑑𝑇
Mudança de entalpia numa isoterma: (𝑉 − 𝑇. (𝜕𝑉
𝜕𝑇)
𝑃)𝑑𝑃
Como (𝜕𝑆
𝜕𝑇)𝑃 =
𝐶𝑝
𝑇 e (
𝜕𝑆
𝜕𝑃)𝑇 = − (
𝜕𝑉
𝜕𝑃)
𝑃 então substituindo na equação acima teremos:
𝑑𝑆 = 𝐶𝑝𝑑𝑇
𝑡− (
𝜕𝑉
𝜕𝑝)
𝑃
𝑑𝑃
7
Dedução de Maxwell pela equação de energia interna(U) como uma função de P
U = H – PV
Diferenciando em função de pressão(P):
(𝜕𝑈
𝜕𝑃)𝑇 =
𝜕𝐻
𝜕𝑃)𝑇 − 𝑃(
𝜕𝑉
𝜕𝑃)𝑇 − 𝑉
E como (𝜕𝐻
𝜕𝑝)𝑇 = 𝑉 − 𝑇. (
𝜕𝑉
𝜕𝑇)𝑃 então substituindo na expressão acima teremos:
(𝜕𝑈
𝜕𝑃)𝑇 = 𝑉 − 𝑇. (
𝜕𝑉
𝜕𝑇)
𝑃− 𝑃(
𝜕𝑉
𝜕𝑃)𝑇 − 𝑉
Resolvendo matematicamente teremos:
(𝜕𝑈
𝜕𝑃)𝑇 = −𝑇. (
𝜕𝑉
𝜕𝑇)
𝑃− 𝑃(
𝜕𝑉
𝜕𝑃)𝑇
8
TRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICA
Transformação adiabática é uma transformação termodinâmica pela qual não há troca
de calor com o ambiente, apesar de haver variação térmica.
Matematicamente teremos:
∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊
Já que Q =0 ( não ha troca de calor com o meio), a energia interna transforma-se
directamente em trabalho:
∆𝑈 = −𝑊
Isto é, o trabalho é, então, realizado às custas da energia interna do sistema.
É o processo básico do Ciclo Brayton, que explica o funcionamento da turbina a gás. O
aquecimento adiabático e processos de arrefecimento ocorrem normalmente devido às
alterações na pressão de um gás. Isto pode ser quantificado utilizando a lei dos gases
ideais.
Adiabático, vem do grego adiabatos, impenetrável, diz-se do sistema que esteja isolado
de quaisquer trocas de calor ou de matéria com o meio externo.
Equacao matemática que descreve o processo adiabático
PV = nRT
nRt=constante
P𝑉𝛾= constante
Onde:
P=a pressão do gás,
V =o volume
𝛾 =razão entre os calores específicos molar a pressão constante (Cp) e a volume constante
(Cv).
𝛾 =𝐶𝑃
𝐶𝑉
9
Para um gás ideal monoatômico aceitasse 𝛾=5
3
Para um gás ideal diatômico com as suas moléculas girando aceitasse 𝛾=7
5
Quando o gás passa de um estado inicial (𝒾) para um estado final (f) , podemos escrever
a equação da transformação adiabática na forma:
𝑃𝒾𝑉𝒾𝛾 = 𝑃𝑓𝑉𝑓
𝛾
Equação de um processo adiabático em termos de Te V
Para escrever a equação de um processo adiabático em termos de T e V usamos a pressão
P em relação a equação dos gases ideais.
PV= nRT , isolando a Pressão teremos:
P= 𝑛𝑅𝑇
𝑉 substituindo na expressão: P𝑉𝛾= constante teremos:
( 𝑛𝑅𝑇
𝑉 ). 𝑉𝛾= constante
Já que a temperatura (T) varia, e como n e R são constantes, podemos escrever esta
equação na forma:
𝑇
𝑉 . 𝑉𝛾= constante
T. . 𝑉𝛾−1 = constante
Quando o gás passa de um estado inicial (𝒾) para um estado final (f) , podemos escrever
a equação da transformação adiabática na forma:
𝑇𝒾𝑉𝒾𝛾−1
= 𝑇𝑓𝑉𝑓𝛾−1
10
Trabalho numa transformaçao adiabática
De acordo com a primeira lei da termodinâmica:
∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊 , mas já sabido que Q=0 , a energia interna se transforma em trabalho:
∆𝑈 = −𝑊 .
Para um gás ideal monoatômico temos o trabalho definido como:
W=-3
2 nR∆𝑇 , tendo em conta que: ∆𝑈=
3
2 nR∆𝑇
Para um gás ideal diatômico que tenha suas moléculas girando temos:
W=-5
2 nR∆𝑇 , tendo em conta que: ∆𝑈=
5
2 nR∆𝑇
Representação da curva de transformação adiabática
A curva que representa o processo adiabático aparece no gráfico representado pela figura
1. Com cuidado pode-se observar que essa curva está entre as transformações isotermas
T1 e T2. Assim como nos demais diagramas pV, a área debaixo da função representa o
trabalho do processo.
Exemplo:
a) 5 Mol de néon gasoso a 2 atm e a 27ºC são comprimidas adiabaticamente para um terço
do volume inicial. Determine a pressão final e o trabalho realizado sobre o gás.
𝛾 =𝐶𝑃
𝐶𝑉=
5
3
11
b) Um gás ideal expande-se adiabaticamente até um volume triplo do seu volume original.
Ao fazê-lo, o gás realiza um trabalho de 720J. Quanto calor sai do gás?Qual é a alteração
da energia interna do gás? A temperatura aumenta ou diminui?
Resolução:
a)𝑃𝑉𝛾= cte é uma relação válida para qualquer processo adiabático.
b) Não sai calor nenhum do gás, já que é essa a definição de processo adiabático (sem
trocas de calor). ΔW = −ΔU ⇔ ΔU = −720J A energia interna do gás diminui 720J.A
temperatura diminui pois ΔU = nCvΔT.
TRANSFORMAÇÃO ISOVOLUMÉTRIVA
Nessa transformação “a pressão que o gás exerce é diretamente proporcional a sua
temperatura”. Essa lei ficou conhecida como Lei de Charles, onde a pressão e a
temperatura variam, e o volume mantém-se constante.
𝑃
𝑇= 𝐾
A transformação isocórica é aquela em que, num processo termodinâmico de um gás
ideal, o volume permanece constante durante o processo.
Essa transformação também recebe o nome de Lei de Charles.
12
A lei pode ser enunciada como:
"Com volume constante, a pressão de uma determinada massa de gás é diretamente
proporcional a sua temperatura absoluta, ou seja, a razão entre pressão e temperatura é
uma constante."
O diagrama pV, mostra que o trabalho realizado na transformação isocórica é zero, já
que não há área compreendida debaixo de uma reta, o que pode ser explicado também
pela variação de volume: para volume constante:
∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖
onde:
∆V = 0
assim:
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 = 𝑃0. ∆𝑉
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 = 𝑃0. 0
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 = 0
TRANSFORMAÇÃO ISOTÉRMICA
Nessa transformação “a pressão exercida pelo gás é inversamente proporcional ao volume
por ele ocupado”. Essa lei ficou conhecida como Lei de Boyle-Mariotte, onde a pressão
e o volume variam, e a temperatura mantém-se constante.
𝑃 . 𝑉 = 𝐾
Em 1676 Mariotte, um físico francês, descobriu de forma independente a mesma lei. Por
isso ela é chamada hoje de lei de Boyle-Mariotte.
Em síntese, a lei pode ser enunciada como:
"Quando a temperatura de uma amostra de gás permanece constante, a sua variação de
volume é inversamente proporcional à sua variação de pressão."
Onde essa constante depende da temperatura em que ocorre a transformação da amostra
do gás confinado no recipiente. Essa relação pode ser descrita ainda de outra forma. Se a
amostra de gás, a uma pressão inicial pi, ocupando o volume Vi, passar a ter pressão Pf e
volume Vf, mantendo sempre a temperatura constante, pode-se afirmar que:
𝑃𝑖. 𝑉𝑖 = 𝑃𝑓 . 𝑉𝑓
13
O gráfico abaixo mostra a função do volume inversamente proporcional à pressão
correspondente. Pode-se verificar ainda que a sombra compreendida abaixo da curva do
gráfico (área abaixo da curva), corresponde ao trabalho realizado na transformação.
Exemplo:
a) Calcular o trabalho realizado durante um processo isotérmico de um gás perfeito.
b) Considere a compressão isotérmica de 0,10 mol de um gás perfeito a 0ºC. A pressão
inicial é de 1 atm e o volume final é 1
5 do inicial. Determine o trabalho realizado e o calor
transferido.
c) Um gás ideal ocupa um volume de 8,0m3 a uma pressão de 4 atm e a uma temperatura
de 300K. Expande-se o gás até à pressão final de 1 atm. Calcular o volume e temperatura
finais, o trabalho realizado, o calor absorvido e a variação de energia interna para uma
expansão isotérmica.
Resolução:
Pela definição de trabalho de um gás perfeito 𝑊𝑣𝑖→𝑣𝑓 = ∫ 𝑃𝑑𝑉𝑣𝑓
𝑣𝑖 e, da equação de estado
PV = nRT temos 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇1
𝑉
Substituindo no integral acima:
𝑊𝑣𝑖 →𝑣𝑓= −𝑛𝑅𝑇 ∫1
𝑉
𝑣𝑓
𝑣𝑖
𝑑𝑣 = −𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛 (𝑉𝑖
𝑉𝑓) = 𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛 (
𝑉𝑖
𝑉𝑓)
b) Usando a expressão obtida anteriormente W = 0,10×8,314× 273× ln 5 = 365,3J
ΔQ = ΔU − ΔW = nCvΔT − 365,3 A temperatura é constante logo ΔQ = −365,3J.
c) 𝑃𝑉 = 𝑐𝑡𝑒 𝑃𝑖𝑉𝑖 = 𝑃𝑓𝑉𝑓 ↔ 𝑉𝑓4×8,0
1= 32𝑚3
14
𝑇𝑓 = 𝑇𝑖 = 300𝑘 𝑃𝑖𝑉𝑖 = 𝑛𝑅𝑇 ↔ 𝑛 =4 × 105 × 8,0
8,314 × 300= 1283𝑚𝑜𝑙
𝑊𝑣𝑖→𝑣𝑓 = 𝑛𝑅𝑇 (𝑉𝑖
𝑉𝑓) = 1283 × 8,314 × 𝑙𝑛 (
8,0
32) = −4,4 × 106𝐽
∆𝑄 = −∆𝑊 = 4,4 × 106
∆𝑈 = 0
Fazendo uma comparação de cada tipo transformação apresentada neste trabalho
podemos verificar:
Transformações Volume Pressão Temperatura
Isotérmica Varia Varia constante
Isobárica Varia constante varia
Isovolumétrica Constante Varia varia
15
CONCLUSÃO
Após a realização deste trabalho os autores concluiram que:
Quando se diz transformação adiabática refere-se a um sistema que possui trés ou mais
coordenadas. As Leis da Termodinâmica foram desenvolvidas de forma a serem aplicadas
a sistemas de qualquer número de coordenadas.
Quando numsistema não há troca de calor com o ambiente refere-se a transformação
adiabática e matematicamente isto quer dizer que o calor é igual a zero. O seja a energia
interna transforma-se directamente e trabalho.
O diagrama pV, mostra que o trabalho realizado na transformação isocórica é zero, já que
não há área compreendida debaixo de uma reta, o que pode ser explicado também pela
variação de volume.
16
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BAMBERG, P. and STERNBERG, S. A Course in Mathematics for Students of
Physics Cambridge University Press (1992).
BASSALO, J. M. F. e CATTANI, M. S. D., Rev. Bras. Ens. de Fis. 21(3), 366
(1999).Observe-se que, nesta Refer^encia, h_a um tratamento das Leis da
Termodinâmica no contexto do formalismo das formas diferenciais.
MAXWELL, J. C. Theory of Heat (London, 1870).
11.VALENTE, Z. A. Rela_c~oes de Maxwell da Termodinâmica através de
Formas Diferenciais. Tese de Mestrado, DFUFPA (1999).
HALLIDAY, D., RESNICK,R., WALKER, J., Fundamentos de física. 8ª edição,
vol. 2, editora LTC
http://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_adiabatico
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