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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA

TRANSMISSÃO DE CALOR Atualizado por: Prof. Ademar Michels

Aluno Msc. Maruí Samuel F. dos Santos Aluno Grad. Anderson Fávero Porte

Santa Maria, RS, Brasil

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Apostila de Transmissão de Calor

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Apostila de Transmissão de Calor

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Sumário: 1) GENERALIDADES ____________________________________________ 7

1.1) Introdução ________________________________________________ 7 1.2) Regimes de Transmissão de Calor _____________________________ 8 1.3) Formas de Transmissão de Calor ______________________________ 9

1.3.1) Transferência de Calor por Condução _______________________ 9 1.3.2 Transferência de Calor por Convecção ______________________ 15 1.3.3) Transferência de Calor por Radiação ____________________ 16

2) CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE ________ 18 2.1) Introdução _______________________________________________ 18 2.2) A Parede Plana ___________________________________________ 18 2.3) Isolantes e o Fator R _______________________________________ 20 2.4) Sistemas Radiais – Cilindros ________________________________ 20 2.5) O Coeficiente Global de Transferência de Calor _________________ 22 2.6) Espessura Crítica de Isolamento _____________________________ 23 2.7) Sistemas com Geração de Calor _____________________________ 24

2.7.1) Parede plana com geração de calor _______________________ 25 2.7.2) Cilindro com Geração de Calor ___________________________ 26

2.8) Sistemas com Condução e Convecção – Aletas _________________ 28 2.8.1) Aletas Longas _________________________________________ 30 2.8.2) Aletas com Perda de Calor Desprezível na Ponta _____________ 31 2.8.3) Aletas com Convecção na Ponta __________________________ 32

2.9) Eficiência da Aleta_________________________________________ 33 3 CONDUÇÃO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE TEMPERATURA ___ 36

3.1) Análise Global do Sistema __________________________________ 36 3.2) Condição de Contorno Mista ________________________________ 39 3.3) Placa – Emprego das Cartas de Temperatura Transiente __________ 40

3.3.1) Equações Adimensionais ________________________________ 41 3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa ______________ 43

3.4) Cilindro Longo e Esfera – Emprego das cartas de temperaturas transientes __________________________________________________ 45

3.4.1) Carta de Temperaturas Transientes num Cilindro Longo _______ 45 3.4.2) Carta de Temperaturas Transientes numa Esfera _____________ 47

4) CONVECÇÃO – CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS ______________ 50 4.1) Escoamento Sobre um Corpo ________________________________ 51

4.1.1) Camada Limite Cinética _________________________________ 51 4.1.2) Coeficiente de Arraste e Força de Arraste ___________________ 53 4.1.3) Camada Limite Térmica _________________________________ 54 4.1.4) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 55 4.1.5) Relação entre cx e h(x) __________________________________ 56

4.2) Escoamento no Interior de um Duto ___________________________ 57 4.2.1) Camada Limite Cinética _________________________________ 57 4.2.2) Fator de Atrito e Perda de Carga __________________________ 58 4.2.3) Camada Limite Térmica _________________________________ 60 4.2.4) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 61

4.3) Parâmetros Adimensionais __________________________________ 63

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4.4) Temperatura dinâmica devido ao movimento do fluido pela diferença de temperatura _________________________________________________ 64

5) CONVECÇAO FORÇADA NO ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS 65 5.1) Escoamento no Interior de um Tubo Circular ____________________ 65

5.1.1) Fator de Atrito _________________________________________ 65 5.1.2) Coeficiente de Transferência de Calor. _____________________ 67 5.1.3) Fluxo de Calor Constante. _______________________________ 68 5.1.4) Parede com Temperatura Constante. ______________________ 70 5.1.5) Estimativa das Propriedades Físicas. ______________________ 70 5.1.6) Média Logarítmica e Média Aritmética das Diferenças de Temperaturas. _____________________________________________ 71

5.2) Escoamento no Interior de Dutos com Diversas Seções Retas Transversais _________________________________________________ 71

5.2.1) Comprimentos da Entrada Hidrodinâmica e da Térmica ________ 71 5.3 Escoamento Turbulento no Interior de Dutos ____________________ 74

5.3.1) Fator de Atrito e Perda de Carga __________________________ 74 5.4) Coeficiente de Transferência de Calor _________________________ 76

5.4.1) Equação de Colburn. ___________________________________ 76 5.4.2) Equação de Dittus-Boelter. ______________________________ 77 5.4.3) Equação de Sieder e Tate. _______________________________ 77 5.4.4) Equação de Petukhov. __________________________________ 77 5.4.5) Equação de Nusselt. ___________________________________ 78 5.4.6) Equação de Notter e Sleicher. ____________________________ 78

5.5) Transferência de Calor nos Metais Líquidos ____________________ 79 5.5.1) Fluxo de Calor Uniforme nas Paredes ______________________ 80 5.5.2) Temperatura Uniforme nas Paredes _______________________ 80

6) CONVECÇÃO FORÇADA NO ESCOAMENTO SOBRE CORPOS ______ 82 6.1) Coeficiente de Transferëncia de Calor no Escoamento Sobre Uma Placa Plana ______________________________________________________ 82

6.1.1) Metais Líquidos num Escoamento Laminar __________________ 82 6.1.2) Fluidos Ordinários em Escoamento Laminar _________________ 86 6.1.3) Escoamento Turbulento _________________________________ 91

6.2) Escoamento Transversal a um Cilindro Circular Isolado ___________ 93 6.2.1) Coeficiente de Arraste __________________________________ 94 6.2.2) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 95

6.3) Escoamento em torno de uma esfera isolada ___________________ 98 6.3.1) Coeficiente de Arraste __________________________________ 98 6.3.2) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 99

6.4) Escoamento através de feixes de tubos _______________________ 100 7) TROCADORES DE CALOR ___________________________________ 103

7.1) Classificação dos Trocadores de Calor _______________________ 103 7.1.1) Classificação pelo Processo de Transferência ______________ 104 7.1.2) Classificação de Acordo com a Compacticidade _____________ 105 7.1.3) Classificação pelo Tipo de Construção ____________________ 106 7.1.4) Classificação Segundo a Disposição das Correntes __________ 111 7.1.5) Classificação pelo Mecanismo de Transferência de Calor _____ 113

7.2) Distribuição de Temperatura nos Trocadores de Calor ___________ 115 7.3) Coeficiente de Transferência de Calor Global __________________ 118

7.3.1) Fator de Incrustação __________________________________ 120 7.4) O Método DTML para Análise dos Trocadores de Calor __________ 122

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7.5) Correção da DTML em Trocadores com Correntes Cruzadas e Multipasse _________________________________________________ 125 7.6) Método ε -NUT para Análise dos Trocadores de Calor ___________ 127

7.6.2) Relação ε -NUT ______________________________________ 130 7.6.3) Significado Físico do NUT ______________________________ 132 7.6.4) Emprego das relações ε -NUT ___________________________ 133 7.6.5) Problema do Dimensionamento. _________________________ 134

7.7) Trocadores de Calor Compactos ____________________________ 135 7.7.1) Perda de Carga em Trocadores com Aletas de Chapa Contínua 138 7.7.2) Perda de Carga em Trocadores de Tubos Aletados __________ 139

7.8) Otimização dos Trocadores de Calor _________________________ 139 7.8.1) Problema do Cálculo da Capacidade ______________________ 141 7.8.2) Problema de Dimensionamento __________________________ 141 7.8.3) Problema da Otimização _______________________________ 141

8) RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES NUM MEIO INERTE ____________ 142 8.1) Natureza da radiação térmica _______________________________ 142 8.2) Radiação do corpo negro __________________________________ 144

8.2.1) Poder Emissivo do Corpo Negro _________________________ 146 8.2.2) Lei de Stefan-Boltzmann _______________________________ 148 8.2.3) Funções de Radiação do Corpo Negro ____________________ 150

8.3) Propriedades Radiantes das Superfícies ______________________ 151 8.3.1) Lei de Kirchhoff ______________________________________ 153 8.3.2) Corpo Cinzento_______________________________________ 154 8.3.3) Emissividade ________________________________________ 155 8.3.4) Poder de Absorção ____________________________________ 155 8.3.5) Refletividade _________________________________________ 156 8.3.6) Poder Transmissor ____________________________________ 156

8.4) Radiação Solar __________________________________________ 157 8.4.1) Radiação Solar que Chega à Terra _______________________ 159

8.5) Conceito de Fator de Forma ________________________________ 160 8.5.1) Fator de Forma entre duas Superfícies Elementares _________ 161 8.5.2) Fator de Forma de Superfícies Finitas _____________________ 162 8.5.3) Propriedades dos Fatores de Forma ______________________ 164

8.6) Métodos para Determinar Fatores de Forma ___________________ 165 8.6.1) Álgebra dos Fatores de Forma ___________________________ 171

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1) GENERALIDADES 1.1) INTRODUÇÃO

Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cessão de energia da região de temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenômeno dá-se o nome de transmissão de calor.

O objetivo de presente curso é estudar as leis e os princípios que regem a transmissão de calor, bem como suas aplicações, visto que é de fundamental importância, para diferentes ramos de Engenharia, o domínio dessa área de conhecimento. Assim como o Engenheiro Mecânico enfrente problemas de refrigeração de motores, de ventilação, ar condicionado etc., o Engenheiro Metalúrgico não pode dispensar a transmissão de calor nos problemas relacionados a processos pirometalúrgicos ou hidrometalúrgicos, ou nos projetos de fornos ou de regeneradores.

Em nível idêntico, o Engenheiro Químico ou Nuclear necessita da mesma ciência em estudos sobre evaporação, condensação ou em trabalhos de refinaria e reatores, enquanto o Eletricista a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e o Engenheiro Naval aplica em profundidade a transmissão de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc. Até mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em países frios, sentem a importância de, em seus projetos, preverem tubulações interiores nas alvenarias das edificações, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes de permitirem conforto maior mediante aquecimento ambiental.

Esses são, apenas, alguns exemplos, entre as mais diversas aplicações que a Transmissão de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia.

Conforme se verá no desenvolvimento da matéria, é indispensável aplicar recursos de Matemática e de Mecânica dos Fluidos em muitas ocasiões, bem como se perceberá a ligação e a diferença entre Transmissão de calor e Termodinâmica..

A Termodinâmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com sistemas em equilíbrio, enquanto a Transmissão de calor preocupa-se com o mecanismo, a duração e as condições necessárias para que o citado sistema atinja o equilíbrio.

É evidente que os processos de Transmissão de Calor respeitem a primeira e a segunda Lei da Termodinâmica, mas, nem por isto, pode-se esperar que os conceitos básicos da Transmissão de calor possam simplesmente originar-se das leis fundamentais da Termodinâmica.

Evidente também é, sem dúvida, que o calor se transmite sempre no sentido da maior para a menor temperatura, e só haverá transmissão de calor se houver diferença de temperatura, da mesma forma que a corrente elétrica transita do maior para o menor potencial e só haverá passagem de corrente elétrica se houver uma diferença de potencial; percebe-se, de início, sensível analogia entre os fenômenos térmico e elétrico, o que é absolutamente correto, pois que, de fato, o fenômeno é de transporte e pode ser, inclusive, estudado de forma global, como calor, eletricidade, massa, quantidade de movimento, etc., resultando daí a absoluta identidade entre as diferentes leis que comandam deferentes setores do conhecimento humano.

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1.2) REGIMES DE TRANSMISSÃO DE CALOR

Seja uma parede em forma de paralelepípedo, com todas as faces suficientemente isoladas, exceto duas opostas e paralelas; de início estas faces estão à mesma temperatura Ti, logo não há transmissão de calor através da parede. Em determinado instante, eleva-se subitamente uma das faces à temperatura Tf e haverá transporte de calor na direção x (Fig. 1.4)

Fig. 1.4

Imaginando-se que Ti e Tf sejam temperaturas mantidas inalteradas, haverá, para cada instante t que se considere, uma curva representativa de T = f(x), isto é, um mesmo ponto de uma mesma seção reta terá temperaturas diferentes no decorrer do tempo, daí as curvas para os tempos t1, t2, t3, etc. Desde que se conservem Ti e Tf, ocorrerá um determinado momento, a partir do qual os pontos de uma mesma seção reta não mais variarão sua temperatura com o tempo.

Com esse exemplo é possível caracterizar os dois regimes em que podem suceder as formas de transmissão de calor.

Durante o período em que um mesmo ponto da parede alterou sua temperatura com o tempo, diz-se que a parede estava em regime transitório, e, quando a temperatura do mesmo ponto conservou-se constante, diz-se que na parede reinava regime estacionário ou permanente; são esses os dois regimes de transmissão de calor.

O regime transitório pode ser particularmente um caso de periodicidade, no qual as temperaturas de um mesmo ponto variem ciclicamente segundo uma determinada lei, como, por exemplo, uma variação senoidal ou a variação da temperatura na cobertura de um edifício, exposta dia e noite às condições atmosféricas. A esse regime costuma-se denominar regime periódico.

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É possível, e inclusive muito útil, definir regime estacionário e regime transitório em termos de fluxo de calor. Assim, regime estacionário é aquele em que o fluxo de calor é constante no interior da parede, pois os pontos interiores já apresentam saturação térmica e não alterarão mais suas temperaturas, logo o fluxo de calor que entra é igual ao fluxo de calor que sai; e regime transitório é aquele em que o fluxo de calor é variável nas diferentes seções da parede ou, em outras palavras, o fluxo que entra é diferente do fluxo de calor que sai. 1.3) FORMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR

Existem três formas de transmissão de calor: condução, convecção e radiação. Tais formas são fundamentalmente diferentes, regidas por leis próprias, mas que,

na realidade, podem ocorrer em simultaneidade, o que torna, por vezes, muito complexa a solução absolutamente exata de um problema de transmissão de calor. O bom senso do engenheiro, sua experiência e o adequado conhecimento da matéria ensejar-lhe-ão a oportunidade de desprezar uma ou até duas formas de transmissão de calor, no projeto ou num problema de Engenharia, desde que as formas não consideradas tenham presença insignificante, não ocasionando falhas nos resultados finais e oferecendo, autenticamente, uma solução de Engenharia não deixando um problema sem solução, dada a preocupação com a exatidão, que, conforme se poderá perceber no desenvolvimento de assunto, é em várias ocasiões, absolutamente dispensável. Em capítulos seguintes será estudada, em detalhe, cada uma das formas de transmissão de calor, mas cabe aqui definir corretamente as diferenças entre as três citadas, para que o acompanhamento do assunto possa ser feito com maior segurança e categoria. 1.3.1) Transferência de Calor por Condução

Quando existe um gradiente de temperatura num corpo, a experiência mostra que ocorre uma transferência de energia de alta temperatura para a região de baixa temperatura. Diz-se que a energia é transferida por condução e a taxa de transferência de calor por unidade de área é proporcional ao gradiente normal de temperatura

≈Aq

xT

∂∂

Quando a constante de proporcionalidade é inserida

xTkAq

∂∂

−= 1-1

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10

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Fig. 1-2 Volume elementar para a análise da condução de calor unidimensional

Energia conduzida para dentro pela face esquerda + calor gerado no interior do elemento = variação de energia interna + energia conduzida para fora pela face direita. Estas quantidades de energia são dadas pelas seguintes expressões: Energia conduzida para dentro pela face esquerda:

xTkAqx ∂

∂−=

Calor gerado no interior do elemento: qx = q& Adx

Variação da energia interna: dxTcAEτ∂

∂ρ=∆

Energia conduzida para fora pela face direita:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂∂

−= ++ dxxTk

xxTkA]

xTkAq dxxdxx

onde q& = energia gerada por unidade de volume c = calor específico do material ρ = densidade A combinação das relações acima fornece:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

−τ∂

∂ρ=+

∂∂

− dxxTk

xxTkAdxTcAAdxq

xTkA &

ou τ∂

∂ρ=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ Tcq

xTk

x& 1-2

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Esta é equação da condução de calor unidimensional. Para tratar do fluxo de calor em mais de uma dimensão deve-se considerar o calor conduzido para dentro e para fora do volume elementar em todas as três direções coordenadas, como mostrado na Fig. 1-3. O balanço de energia conduz a:

Fig.1.3

τ+++=+++ +++ d

dEqqqqqqq dzzdyydxxgerzyx

sendo as quantidades de energia dadas por

xTkdydzqx ∂

∂−=

dydzdxxTk

xxTkq dxx ⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

−=+

yTkdxdzqy ∂

∂−=

dxdzdyyTk

yyTkq dyy ⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

−=+

zTkdxdyqz ∂

∂−=

dxdydzzTk

zzTkq dzz ⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

−=+

dxdydzqqger &=

τ∂∂

ρ=τ

TcdxdydzddE

Assim a equação geral tridimensional da condução fica:

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τρ

∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ Tcq

zTk

zyTk

yxTk

x& 1.3

Para condutividade constante a Eq. 1.3 pode ser escrita

τα ∂∂

=+∂∂

+∂∂

+∂∂ T

kq

zT

yT

xT 1

2

2

2

2

2

2 & 1.4

onde a quantidade α = k/ρc é chamada de difusividade térmica do material. Quanto maior o valor de α, mais rapidamente o calor irá se difundir através do material. Isto pode ser visto observando-se as quantidades que compõem α. Um valor elevado de α pode resultar tanto de um valor elevado da condutividade térmica quanto de um valor baixo da capacidade térmica ρc. Um valor baixo da capacidade térmica significa que menor quantidade de energia em trânsito através do material é absorvida e utilizada para elevar a temperatura do material; assim, mais energia encontra-se disponível para ser transferida. Nas deduções acima, a expressão da derivada x + dx foi escrita na forma de uma expansão de Taylor onde somente os dois primeiros termos da série foram considerados no desenvolvimento. Muitos problemas práticos envolvem somente casos especiais das equações gerais apresentadas acima. Como uma orientação pata desenvolvimento em capítulos futuros, é conveniente mostrar a forma reduzida da equação geral para alguns casos de interesse prático. Fluxo de calor unidimensional em regime permanente (sem geração de calor)

02

2

=dx

Td 1.5

Fluxo de calor unidimensional em regime permanente com fontes de calor

02

2

=+∂∂

kq

xT & 1.6

Condução bidimensional em regime permanente sem fontes de calor

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yT

xT 1.7

1.3.1.1) Condutividade Térmica A Eq. 1-1 é a equação de definição para a condutividade térmica. Com base nesta definição, podem ser feitas medidas experimentais para a determinação da condutividade térmica de diferentes materiais. Tratamentos analíticos da teoria cinética

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podem ser usados para gases em temperaturas moderadamente baixas para antecipar com precisão os valores observados experimentalmente. Em alguns casos existem teorias para o cálculo da condutividade térmica em líquidos e sólidos, mas em geral nestas situações os conceitos não são muito claros, permanecendo várias questões em aberto. O mecanismo da condução térmica num gás é simples. A energia cinética de uma molécula é identificada com sua temperatura; assim, numa região de alta temperatura as moléculas têm velocidades maiores do que numa região de baixa temperatura. As moléculas estão em movimento contínuo ao acaso, colidindo umas com as outras e trocando energia e quantidade de movimento.Esta movimentação ao acaso das moléculas independe da existência de um gradiente de temperatura no gás. Se uma molécula se movimenta de uma região de alta temperatura para uma de baixa temperatura, ela transporta energia cinética para esta região de baixa temperatura do sistema perdendo esta energia através de colisões com moléculas de energia mais baixa. Foi dito que a unidade da condutividade térmica é watts por metro por grau Celsius [W/(m.oC)] no SI. Note que existe uma taxa de calor envolvida, e o valor numérico da condutividade térmica indica a rapidez com que o calor será transferido num dado material. Qual é a taxa de transferência de energia levando-se em consideração o modelo molecular discutido acima? Quanto mais veloz o movimento das moléculas, mais rapidamente a energia será transportada. Portanto, a condutividade térmica de um gás deve ser dependente da temperatura. Um tratamento analítico simplificado mostra que a condutividade térmica de um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta. (Convém lembrar que a velocidade do som em um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta kRTv = ; esta velocidade é aproximadamente a velociade média das moléculas.) O mecanismo físico da condução de energia térmica em líquidos é qualitativamente o mesmo dos gases; entretanto, a situação é consideravelmente mais complexa, uma vez que o espaçamento das moléculas é menor e os campos de força molecular exercem uma forte influência na troca de energia no processo de colisão. A energia térmica pode ser conduzida em sólidos de duas maneiras: vibração da grade e transporte por elétrons livres. Em bons condutores elétricos um grande número de elétrons move-se sobre a estrutura do material. Como estes elétrons podem transportar carga elétrica, podem também conduzir energia de uma região de alta temperatura para uma região de baixa temperatura, como nos gases. A energia também pode ser transmitida como energia de vibração na estrutura do material. Entretanto, este último modo de transferência de energia não é tão efetivo quanto o transporte por elétrons, sendo esta a razão pela qual bons condutores elétricos são quase sempre bons condutores de calor, como por exemplo o cobre, o alumínio e a prata, e isolantes elétricos geralmente são bons isolantes térmicos. Um problema técnico importante é o armazenamento e o transporte, por longos períodos, de líquidos criogênicos como o hidrogênio líquido. Tais aplicações causaram o desenvolvimento de superisolantes para serem usados em temperaturas mais baixas (até aproximadamente –250oC). O superisolamento mais efetivo é constituído de múltiplas camadas de materiais altamente refletivos separados por espaçadores

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isolantes. O sistema é evacuado para minimizar as perdas pela condução no ar, sendo possível atingir condutividades térmicas tão baixas quanto 0,3 mW/(m.oC). 1.3.2 Transferência de Calor por Convecção

É sabido que uma placa de metal aquecida irá se resfriar mais rapidamente quando colocada em frente ao ventilador do que exposta ao ar parado. Este processo é chamado de transferência de calor por convecção. O termo convecção fornece ao leitor uma noção intuitiva em relação ao processo de transferência de calor; entretanto, esta noção intuitiva deve ser ampliada para que se possa conseguir um tratamento analítico adequado do problema. Por exemplo, sabemos que a velocidade do ar sobre a placa aquecida influencia a taxa de transferência de calor. Mas esta influência sobre o resfriamento será linear, ou seja, dobrando-se a velocidade do ar estaremos dobrando a taxa de calor transferido? Devemos supor que a taxa de transferência de calor será diferente se a placa for resfriada com água em vez de ar. Porém de quanto será essa diferença? Estas questões podem ser respondidas com o auxílio de algumas análises básicas a serem apresentadas nos próximos capítulos. Agora, o mecanismo físico da transferência de calor por convecção será esquematizado e mostrada a sua relação com o processo de condução.

Considere a placa aquecida mostrada na fig 1.5. A temperatura da placa é Tp, e a temperatura do fluido é T∞. Nesta está representado o comportamento da velocidade do escoamento, que se reduz a zero na superfície da placa como resultado da ação viscosa. Como a velocidade da camada de fluido junto à parede é zero, o calor deve ser transferido somente por condução neste ponto. Assim devemos calcular o calor transferido, usando a Eq. 1-1, com a condutividade térmica do fluido e o gradiente de temperatura junto à parede. Por que, então, se o calor é transferido por condução nesta camada, falamos em transferência de calor por convecção e precisamos considerar a velocidade do fluido? A resposta é que o gradiente de temperatura depende da razão na qual o calor é removido; uma velocidade alta produz um gradiente elevado de temperatura, e assim por diante. Portanto, o gradiente de temperatura junto à parede depende do campo de velocidade; conseqüentemente, em análises posteriores, desenvolveremos uma expressão que relaciona essas duas quantidades. Deve ser lembrado, entretanto, que o mecanismo de transferência de calor na parede é um processo de condução.

O efeito global da convecção pode ser expresso através da lei de Newton do resfriamento

q = h.A.(Tp - T∞) 1.8

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16

Fig. 1-5 transferência de calor por convecção

Aqui a taxa de transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a parede e o fluido e à área superficial A. A quantidade h é chamada de coeficiente de transferência de calor por convecção, e a Eq. 1.8 é a equação de definição deste parâmetro. Para alguns sistemas é possível o cálculo analítico de h. Para situações complexas e determinação é experimental o coeficiente de transferência é algumas vezes chamado de condutância de película devido à sua relação com o processo da condução na fina camada de fluido estacionário junto à superfície da parede. Pela Eq. 1.8 a unidade de h é watt por metro quadrado por grau Celsius [W/(m2.oC)] no SI. Em vista desta discussão, pode-se antecipar que a transferência de calor por convecção irá exibir uma dependência da viscosidade do fluido além da sua dependência das propriedades térmicas do fluido (condutividade térmica, calor específico, densidade). Isto é esperado porque a viscosidade influência o perfil de velocidade e, portanto, a taxa de transferência de energia na região junto à parede. Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa de movimentação de fluido, o movimento do ar será devido aos gradientes de densidade nas proximidades da placa. Esta convecção é chamada natural ou livre em oposição à convecção forçada, que ocorre no caso de se ter um ventilador movimentando o ar sobre a placa. Os fenômenos de ebulição e condensação são também agrupados dentro desse assunto de transferência de calor por convecção 1.3.3) Transferência de Calor por Radiação

Em contraste com os mecanismos de condução e convecção, onde a energia é transferida através de um meio natural, o calor pode também ser transferido em regiões onde existe o vácuo perfeito. O mecanismo neste caso é a radiação eletromagnética que é propagada como resultado de uma diferença de temperatura; trata-se da radiação térmica.

Considerações termodinâmicas mostram que um radiador ideal, ou corpo negro, emite energia numa taxa proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo. Quando dois corpos trocam calor por radiação, a troca líquida de calor é proporcional à diferença T4. Assim

q = σ.A.(T1

4 – T24) 1-9

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Apostila de Transmissão de Calor

17

Onde σ é a constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan-Boltzmann que vale σ = 5,669 x 10-8 W/(m2.K4). A Eq. 1-9 é chamada de lei de Stefan-Boltzmann da radiação térmica e vale somente para corpos negros. É importante observar que esta equação é válida somente para radiação térmica; outros tipos de radiação eletromagnética podem não ser tratados com esta simplicidade. Foi mencionado que um corpo negro é um corpo que emite energia de acordo com a lei T4. Tal corpo é denominado negro porque superfícies negras, como um pedaço de metal coberto por negro de fumo, se aproxima desse tipo de comportamento. Outros tipos de superfícies, como uma superfície pintada ou uma placa metálica polida, não emitem tanta energia quanto o corpo negro; entretanto, a radiação total emita por estes corpos ainda é proporcional a T4. Para levar em consideração a natureza “cinzenta” destas superfícies é introduzido um outro fator na Eq. 1-9, a emissividade ε, que relaciona a radiação de uma superfície “cinzenta” com a de uma superfície negra ideal. Além disso devemos levar em conta que nem toda a radiação que deixa uma superfície atinge a outra superfície, uma vez que a radiação eletromagnética se propaga segundo linhas retas havendo perdas para o ambiente. Portanto, para considerar estas duas situações, são introduzidos dois novos fatores na Eq. 1-9

q = Fε.FG.σ.A.(T14 – T2

4) 1.10 onde Fε é a função emissividade e FG é a função “fator de forma” geométrico. A determinação da forma destas funções para configurações específicas é objeto de um capítulo subseqüente. Entretanto, é importante alertar para o fato destas funções em geral não serem independentes uma da outra como indicado na Eq. 1-10. O fenômeno da transferência de calor por radiação pode ser muito complexo e os cálculos raramente são simples como indicado pela Eq. 1-10. No momento, interessa-nos somente enfatizar as diferenças entre o mecanismo físico da transferência de calor pela radiação e os sistemas condução e convecção.

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Apostila de Transmissão de Calor

18

2) CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE 2.1) INTRODUÇÃO Agora serão examinadas as aplicações da lei de Fourier da condução de calor para o cálculo da transferência de calor em sistemas unidimensionais. Muitos formatos físicos diferentes podem ser incluídos na categoria de sistemas unidimensionais. Sistemas cilíndricos e esféricos são unidimensionais quando a temperatura no corpo é função somente da distância radial e independe do ângulo azimutal ou da distância axial. Em alguns problemas bidimensionais os efeitos da segunda coordenada espacial podem ser tão pequenos a ponto de serem desprezados, e o problema de fluxo de calor multidimensional pode ser aproximado por uma análise unidimensional. Nestes casos as equações diferenciais são simplificadas e as soluções são obtidas mais facilmente como resultados destas simplificações. 2.2) A PAREDE PLANA Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicação direta da lei de Fourier (Eq. 1-1). Da integração resulta

( )12 TTx

kAq −∆

−= 2-1

para condutividade constante. A espessura da parede é ∆x, e as temperaturas das faces da parede são T1 e T2. Se a condutividade térmica varia com a temperatura de acordo com alguma relação linear k = ko(1 + βT), a equação resultante para o fluxo de calor é

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−

∆−= 2

12

212 2TTTT

xAkq o β 2.2

Se mais de um material estiver presente, como é o caso da parede composta mostrada na Fig. 2-1, o fluxo de calor poderá ser escrito

c

34c

B

23B

A

12A x

TTAkx

TTAkx

TTAkq∆

−−=

∆−

−=∆

−−=

Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo através de todas as seções. Resolvendo estas equações simultaneamente, o fluxo de calor é dado por

Ak/xAk/xAk/xTTq

cCBBAA

41

∆+∆+∆−

=

2-3

Page 19: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

Fourcomresisde c

que

F

F

stila de Tra

Aqui é crier. A taxbinação d

stência a ecalor, e a e

é uma rela

Fig. 2-1 Tran

Fig. 2-2 Tran

ansmissão

convenientxa de tranda condutiveste fluxo. quação de

ação seme

nsferência d

nsferência d

o de Calor

te introduznsferência vidade térA tempera

e Fourier p

de Fluxo

elhante à le

de calor unid

de calor em s

zir um pontde calor

rmica, espatura, e a fode ser es

RDifcalor e =

ei de Ohm

dimensionalelétr

série e em panalogia

to de vista pode ser

pessura dofunção potscrita

ea Resistêncip deferença

na teoria d

l através de rica

paralelo atraelétrica.

conceituaconsidera

o materialencial, ou

elétricapotencial

de circuitos

uma parede

avés de uma

al diferenteada como , e a áreamotora, pa

s elétricos

e composta

a parede co

e para a leium fluxo

a como uara este flu

2-4

.

a e analogia

mposta e a

19

de o, a uma uxo

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Apostila de Transmissão de Calor

20

Na Eq. 2-1 a resistência a resistência térmica é ∆x/kA, e na Eq. 2.3 á soma dos três termos do denominador. Esta situação é esperada na Eq. 2.3 porque as três paredes lado a lado agem como três resistências térmicas em série. A analogia elétrica pode ser empregada para resolver problemas mais complexos envolvendo resistências térmicas em série e em paralelo. Um problema típico e o seu circuito análogo estão mostrados na Fig. 2-2. A equação do fluxo de calor unidimensional para este tipo de problema pode ser escrita

∑∆

=t

total

RTq 2-5

onde Rt são as resistências térmicas dos vários materiais. É interessante mencionar que em alguns sistemas como o da Fig. 2-2 pode resultar um fluxo de calor bidimensional se as condutividades térmicas dos materiais B, C e D forem muito diferentes. Nesses casos outras técnicas devem ser empregadas para a obtenção de uma solução. 2.3) ISOLANTES E O FATOR R Para classificação de desempenho de um isolamento, é prática comum na industria de construção a utilização de um fator R, definido como

AqTR ∆

= 2-6

Observe que isto difere do conceito de resistência térmica discutido acima, pois aqui é usado um fluxo de calor por unidade de área. 2.4) SISTEMAS RADIAIS – CILINDROS Considere um cilindro longo de raio interno ri, raio externo re, e comprimento L, tal como mostrado na Fig. 2-3. Este cilindro é submetido a um diferencial de temperatura(Ti – Te) e deseja-se saber qual será o fluxo de calor. Pode-se considerar que o fluxo é transmitido na direção radial e assim a única coordenada espacial que deve ser especificada é r.

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Apostila de Transmissão de Calor

21

Fig. 2-3 Fluxo de calor unidimensional através de uma parede cilíndrica e a analogia elétrica

Fig. 2.4 Fluxo de calor unidimensional através de seções cilíndricas múltiplas e a analogia elétrica

Mais uma vez é usada a lei de Fourier, inserindo-se a relação de áreas apropriadas. A área para o fluxo de calor em sistemas cilíndricos é

Ar = 2πrL E, portanto a lei de Fourier fica

drdTkAq rr −=

ou

drdTkrL2q r π−= 2-7

com as condições de contorno T =Ti em r = ri T = Te em r = re

A solução da Eq. 2-7 é

( )( )ie

ei

rrTTkL

qln

2 −=

π 2-8

e a resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas, da mesma maneira que para paredes planas. Para o sistema de três camadas mostrado na Fig. 2-4 a solução é

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Apostila de Transmissão de Calor

22

( )( ) ( ) ( ) CBA krrkrrkrr

TTLq

342312

41

lnlnln2

++−

=π 2-9

O circuito térmico é mostrado na Fig. 2-4b. Sistemas esféricos também podem ser tratados como udimensionais quando a temperatura é somente função do raio. O fluxo de calor é então

ei

ei

r1r1)TT(k4q

−−π

= 2-10

2.5) O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Considere a parede plana mostrada na Fig. 2-5, exposta a um fluido quente A em um dos lados. O calor transferido é dado por

( ) ( ) ( )B22211A1 TTAhTTx

kATTAhq −=−∆

=−=

Fig. 2-5 Fluxo de calor através de uma parede plana

O processo de transferência de calor pode ser representado pelo circuito da resistência da Fig. 2-5, e o calor total transferido é calculado como razão entre a diferença total de temperatura e a soma das resistências térmicas

AhkAxAhTT

q BA

21 11 +∆+−

= 2.11

Observe que o valor 1/ha é usado para representar a resistência de convecção. O calor total transferido pelos mecanismos combinados de condução e convecção é freqüentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferência de calor U, definido pela relação

totalTUAq ∆= 2.12

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Apostila de Transmissão de Calor

23

onde A é uma área adequada para a transferência de calor. De acorda com a Eq. 2.11, o coeficiente global de transferência de calor é

21 111

hkxhU

+∆+=

A analogia elétrica para um cilindro oco, que troca calor por convecção interna e externamente, está representada na Fig. 2-6, onde TA e TB são as temperaturas dos fluidos.

Fig. 2-6 Analogia elétrica para um cilindro oco com troca de calor por convecção nas superfícies

interna e externa

Observe que a área para convecção não é a mesma para os dois fluidos neste caso. Estas áreas dependem do diâmetro interno do tubo e da espessura da parede. Neste caso, o fluxo total de calor é dado por

( )ee

ie

ii

BA

AhkLrr

Ah

TTq

12

ln1++

−=

π

2.13

de acorda com o circuito térmico da Fig. 2-6. Os termos Ai e Ae reapresentam as áreas das superfícies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferência de calor pode ser baseado tanto na área interna como na externa.

( )ee

iiei

i

i

hAA

kLrrA

h

U1

2ln1

1

++=

π

2-14

( )e

iee

ii

ee

hkLrrA

hAA

U1

2ln11

++=

π

2-15

2.6) ESPESSURA CRÍTICA DE ISOLAMENTO Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um tubo circular, como mostrado na Fig. 2-7. A temperatura interna do isolamento é fixada

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Apostila de Transmissão de Calor

24

em Ti, e a superfície externa troca calor com o ambiente a T∞. Do circuito térmico, o calor transferido vale

Fig 2-7 Espessura crítica de isolamento

( )( )

hrkrr

TTLq

e

ie

i

1ln2

+

−= ∞π

2-16

Vamos agora manipular esta expressão para determinar o raio externo de isolamento re que irá maximizar a transferência de calor. A condição de máximo é

( )

( ) 2

2

1ln

1120

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

==∞

hrkrr

hrkrTTL

drdq

e

ie

eeiπ

que fornece como resultado

hkre = 2.17

A equação 2.17 expressa o conceito de raio crítico de isolamento. Se o raio externo for menor que o valor dado por esta equação, então a transferência de calor será aumentada com a colocação de mais isolante. Para raios externos maiores que o valor crítico, um aumento de espessura de isolamento causará um decréscimo da transferência de calor. O conceito central é que para valores de h suficientemente pequenos as perdas de calor por convecção podem aumentar com o aumento da espessura do isolamento, porque isto aumenta a superfície externa do isolamento. 2.7) SISTEMAS COM GERAÇÃO DE CALOR Algumas aplicações interessantes dos princípios da transferência de calor estão relacionadas com sistemas onde o calor pode ser gerado internamente. Os reatores nucleares são um exemplo, assim como condutores elétricos e sistemas quimicamente

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Apostila de Transmissão de Calor

25

reagentes. Nossa discussão aqui ficará limitada aos sistemas unidimensionais ou, mais especificamente, sistemas onde a temperatura é função única de uma variável espacial. 2.7.1) Parede plana com geração de calor Considere a parede plana com fontes de calor uniformemente distribuídas como mostrado na Fig. 2-8. A espessura da parede na direção x é 2L, e é admitido que as dimensões nas outras direções são suficientemente grandes para que o fluxo de calor seja considerado unidimensional. O calor gerado por unidade de volume é q& e a condutividade térmica é considerada constante, não variando coma temperatura. Esta situação pode ser produzida na prática passando-se uma corrente elétrica através de um condutor. Do Capítulo 1, a equação diferencial para esta situação é

02

2

=+kq

dxTd & 2-18

Para as condições de contorno, especificamos as temperaturas dos dois lados da placa, isto é,

T = Tp em x = L 2-19

A solução geral da Eq.2-18 é

212

2CxCx

kqT ++−=&

2-20

Como a temperatura deve ser a mesma nos dois lados da parede, C1 deve ser zero. A temperatura do plano médio é denotado por To; da Eq 2-20

To = C2 Portanto, a distribuição de temperatura é

2

2x

kqTT o&

−=− 2-21ª

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

Lx

TTTT

op

o 2-21b

que é uma distribuição parabólica. Uma expressão para a temperatura do plano médio To pode ser obtida através de um balanço de energia. Em regime permanente, o calor total gerado deve ser igual ao calor perdido pelas duas faces. Assim,

LAqdxdTkA

Lx

22 &=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤−

=

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Apostila de Transmissão de Calor

26

onde A é a área de seção transversal da placa. O gradiente de temperatura na parede é obtido diferenciando-se a Eq. 2-21b:

( ) ( )L

TTLxTT

dxdT

opLx

opLx

222 −=⎥

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎥⎦

==

Então ( ) LqL

TTk op &=−−2

e po TkLqT +=

2

2& 2-22

Fig 2-8 Esquema ilustrativo do problema da condução unidimensional com geração de calor

2.7.2) Cilindro com Geração de Calor Considere um cilindro de raio R com fontes de calor uniformemente distribuídas e condutividade térmica constante. Se o cilindro for suficientemente longo para que a temperatura possa ser considerada somente uma função do raio, a equação diferencial apropriada pode ser obtida da equação

012

2

=++kq

drdT

rdrTd & 2-23

As condições de contorno são

T = Tp em r = R

e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfície

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Apostila de Transmissão de Calor

27

RrdrdTRLkLRq

=⎥⎦⎤−= ππ 22&

Como a função temperatura pode ser contínua no centro do cilindro, pode-se especificar que

0=drdT em r = 0

Entretanto, não será necessário usar esta condição, pois isto será verificado automaticamente quando as duas condições de contorno forem satisfeitas. A Eq. 2-23 pode ser escrita

krq

drdT

drTdr

&−=+2

2

sendo que

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+

drdTr

drd

drdT

drTdr 2

2

Portanto a integração fornece

1

2

2C

krq

drdTr +

−=

& e

21

2

ln4

CrCkrqT ++

−=

&

Da segunda condição de contorno acima,

RC

kRq

kRq

drdT

Rr

1

22+

−=

−=⎥⎦

=

&&

e, portanto C1 = 0 A solução final para a distribuição de temperatura é

( )22

4rR

kqTT p −=−&

2-24

ou, na forma adimensional

2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Rr

TTTT

po

p

onde To é a temperatura em r = 0 dada por

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Apostila de Transmissão de Calor

28

po Tk

RqT +=4

2&

2.8) SISTEMAS COM CONDUÇÃO E CONVECÇÃO – ALETAS O calor conduzido através de um corpo deve ser freqüentemente removido(ou fornecido) por algum processo de convecção. Por exemplo, o calor perdido por condução através de um forno deve ser dissipado para o ambiente por convecção. Em aplicações de trocadores de calor, um arranjo de tubos aletados pode ser empregado para a remoção de calor de um líquido quente. A transferência de calor do líquido para o tubo aletado é por convecção. O calor é conduzido através do material e finalmente dissipado no ambiente por convecção. Obviamente, uma análise dos sistemas que combinam condução e convecção é muito importante do ponto de vista prático. Parte desta análise dos sistemas que combinam condução e convecção será feita no Capítulo que trata de trocadores de calor. Aqui serão examinados alguns problemas simples de superfícies protuberantes. Considere a aleta unidimensional exposta a um fluido cuja temperatura é T∞, como mostrado na Fig.2-9. A temperatura da base da aleta é To. Para o estudo deste problema devemos fazer um balanço de energia sobre o elemento da aleta de espessura dx, como mostrado na figura. Assim

Fig. 2-9 Aleta retangular

Energia entrando pela face esquerda = energia saindo pela face direita + energia perdida por convecção A equação que define o coeficiente de calor por convecção é

q = hA(Tp - T∞,) 2-29

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Apostila de Transmissão de Calor

29

onde a área nesta equação é a área da superfície que troca calor por convecção. Seja A a área transversal da aleta e P o seu perímetro. Portanto, as quantidades de energia são

Energia entrando pela face esquerda: dxdTkAqx −=

Energia saindo pela face direita ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎥⎦

⎤−=+

+ dxdx

TddxdTkA

dxdTkAq

dxxdxx 2

2

Energia perdida por convecção ( )∞−= TThPdxq A área diferencial para a convecção é o produto do perímetro da aleta pelo comprimento diferencial dx. Quando combinamos estas quantidades, o balanço de energia fica

( ) 02

2

=−− ∞TTkAhP

dxTd

Este resultado é escrito mais compactamente na forma

0)()( 22

2

=− xmdx

xd θθ 2.30

onde m2 = hP/(Ak) θ(x) = T(x) - T∞

A Eq. 2.30 é a equação unidimensional da aleta para aletas com seção transversal uniforme. A solução desta equação diferencial ordinária sujeita às condições de contorno apropriadas nas extremidades da aleta dá a distribuição de temperatura na aleta. Uma vez conhecida a distribuição de temperatura, o fluxo de calor através da aleta é facilmente determinado. A Eq. 2.30 é uma equação diferencial ordinária, linear homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. Sua solução geral pode ser da forma

θ(x) = C1e-mx + C2emx 2.31

onde as constantes são determinadas a partir das duas condições de contorno especificadas no problema da aleta. A solução da Eq. 2.31 é a mais conveniente para utilizar na resolução da equação da aleta 2.30, no caso de uma aleta longa. Relembrando que o seno hiperbólico e o co-seno hiperbólico podem ser construídos pela combinação de e-mx e emx , é possível exprimir a solução 2.31 nas seguintes formas alternativas

θ(x) = C1cosh mx + C2senh mx 2.32a θ(x) = C1cosh m(L – x) + C2senh m(L – x) 2.32b

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Apostila de Transmissão de Calor

30

A solução dada pelas Eq. 2.32 é mais conveniente para analisar aletas de comprimento finito. A distribuição de temperatura θ(x) numa aleta com seção reta uniforme pode ser determinada a partir da Eq. 2.31 ou da Eq. 2.32, se as constantes de integração C1 e C2 forem determinadas pelas duas condições de contorno do problema, uma na base da aleta e a outra no topo da aleta. Ordinariamente, a temperatura na base x= 0 é conhecida, isto é

θ(0) = To - T∞ = θ o 2.33

onde To é a temperatura na base da aleta. Diversas situações físicas diferentes são possíveis no topo da aleta x = L; pode ser considerada qualquer das três seguintes condições:

Caso 1. A aleta é muito longa e a temperatura da extremidade da aleta é essencialmente a mesma do fluido ambiente.

Caso 2. A extremidade da aleta é isolada ou perda de calor desprezível na

ponta, e, assim dT/dx = 0 Caso 3 A aleta tem comprimento finito e perde calor por convecção pela sua

extremidade. 2.8.1) Aletas Longas

Numa aleta suficientemente longa, é razoável admitir que a temperatura na ponta da aleta se aproxima da temperatura T∞ do fluido que a rodeia. Com esta admissão, a formulação matemática do problema das aletas é

0)()( 22

2

=− xmdx

xd θθ em x > 0 2.34a

θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 2.34b

θ(x) → 0 em x → ∞ 2.34c

onde m2 = Ph/Ak. A solução é obtida na forma da Eq. 2.31

θ(x) = C1e-mx + C2emx 2.35

A condição de contorno 2.34c exige que C2 = 0, e a aplicação da condição de contorno 2.34b dá C1 = θo. Então, a resolução se torna

( ) ( ) mx

oo

eTTTxTx −

∞ =−−

θ 2.36

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Apostila de Transmissão de Calor

31

que é a solução mais simples do problema da aleta. Agora, uma vez que a distribuição de temperatura é conhecida, o fluxo de calor através da aleta é determinado calculando-se o fluxo de calor condutivo na base da aleta de acordo com a equação

( )0=

⎥⎦⎤−=

xdxxdAkQ θ 2.37

Derivando-se a Eq. 2.36 em função de θ(x) e substituindo o resultado na Eq.2.37, obtém-se

PhkAmAkQ oo θθ == 2.38 uma vez que )/(kAPhm = 2.8.2) Aletas com Perda de Calor Desprezível na Ponta A área de transferência de calor na ponta da aleta é em geral muito pequena diante da área lateral da aleta para a transferência de calor. Nesta situação, a perda de calor na ponta da aleta é desprezível em comparação com a perda pelas superfícies laterais, e a condição de contorno na ponta da aleta, que caracteriza essa situação, é dθ/dx = 0 em x = L. Dessa forma, a formulação matemática do problema da aleta se torna

0)()( 22

2

=− xmdx

xd θθ em Lx ≤≤0 2.39a

θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 2.39b

( ) 0=

dxxdθ em x = L 2.39c

Escolhemos a solução na forma da Eq. 2.32b

θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 2.40

A razão desta escolha está em que a solução 2.40 tem uma forma na qual uma das constantes de integração é imediatamente eliminada pela aplicação de uma das condições de contorno. De fato, a condição de contorno (2.39c) exige que C2 = 0; então, a aplicação da condição de contorno (2.39b) dá C1 = θo/cosh mL, e a solução se torna

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Apostila de Transmissão de Calor

32

( ) ( )ml

xLmTTTxTx

oo cosh)(cosh −

=−−

=∞

θθ 2.41

A taxa de fluxo de Q através da aleta é agora determinada introduzindo-se a solução Eq 2.41 na Eq 2.37. Assim, obtemos

Q = Akθom tg mL = mL tgPhkAoθ 2.42

2.8.3) Aletas com Convecção na Ponta Uma condição de contorno na ponta da aleta, fisicamente mais realista, é a que inclui transferência de calor por convecção entre a ponta e o fluido ambiente. Então, a formulação matemática do problema da condução de calor se torna

0)()( 22

2

=− xmdx

xd θθ em Lx ≤≤0 2.43ª

θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 2.43b

0)()(=+ xh

dxxdk eθ

θ em x = L 2.43c

onde k é a condutividade térmica da aleta e he é o coeficiente de transferência de calor entre a ponta da aleta e o fluido ambiente. A solução é escolhida na forma da Eq. 2.32b

θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 2.44

A aplicação das condições de contorno 2.43b e 2.43c, respectivamente, nos dá

θo = C1 cosh mL + C2 senh mL 2.45ª

e -k C2m + he C1 = 0 2.45b uma vez que

( )senhmLmkhmL

xLsenhmmkhxLmTTTxTx

e

e

oLxo )/(cosh)()/()(cosh)(

+−+−

=−−

=

θ 2.46

A taxa do fluxo de calor através da aleta é obtida quando introduzimos este resultado na Eq. 2.37. Então, vem

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Apostila de Transmissão de Calor

33

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=senhmLmkhmL

mLmkhsenhmLPhkAq

e

eo )/(cosh

cosh)/(θ 2.47

2.9) EFICIÊNCIA DA ALETA Na análise precedente, consideramos somente aletas de seção reta uniforme. Em numerosas aplicações, são utilizadas aletas de seção reta variável. A determinação da distribuição de temperatura, e daí do fluxo de calor nestes casos é bastante complicada, e fica além do objetivo desse curso. Entretanto, a análise de transferência de calor foi realizada com uma grande diversidade de geometrias de aletas, e os resultados foram apresentados em termos de um parâmetro chamado eficiência da aleta η definido pela relação entre a transferência real de calor através da aleta e transferência ideal de calor através de uma aleta, se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura To da base da aleta

ideal

aleta

QQ

=η 2.48

Aqui, Qideal é dado por

ofideal haQ θ= 2.49a onde, af = área de superfície da aleta h = coeficiente de transferência de calor θo = To - T∞ Portanto, se a eficiência da aleta η for conhecida, a transferência de calor Q através da aleta é denominada pela relação

ofidealaleta haQQ θηη == 2.49b

As gráficos 2.1 e 2.2 mostram a efeciência da aleta num gráfico em função do parâmetro )/(2 kthL com geometrias típicas de aletas. O gráfico 2.1 mostra a eficiência de aletas axiais em que a espessura da aleta varia com a distância x em relação à base da aleta, onde a espessura é t. O gráfico 2.2 é a eficiência de aletas em forma de disco circular de espessura constante. Nas aplicações práticas, uma superfície aletada, no que se refere à trasferência de calor, é composta pelas superfícies das aletas e pela fração lisa. A transferência de calor, Qtotal, desta superfície é obtida somando-se a transferência de calor através das aletas com a da fração lisa

Qtotal = Qaleta + Qfração lisa = ηafhθo + (a – af)hθo 2.50

Page 34: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

34

Onde a = área total de transferência de calor (isto é, superfícies das aletas + superfície lisa) af = área de transferência de calor das aletas. A equação pode ser escrita mais compactamente como

( )[ ] oototal ahahQ θηθβηβ ′≡−+= 1 2.51 onde

=−+≡′ ββηη 1 rendimento da aleta ponderada pela área

aa f=β

Embora a colocação de aletas numa superfície aumente a área da superfície de transferência de calor, aumenta também a resistência térmica sobre a fração da superfície onde as aletas foram fixadas. Por isso, podem haver situações em que a colocação de aletas não aumenta a transferência de calor. Como guia prático a razão Pk/(Ah) deve ser muito maior que a unidade, para justificar o emprego de aletas. No caso de aletas em forma de placas, por exemplo, P/A ≅ 2/t; então Pk/(Ah) se torna [2(k/t]h, implicando que a condutância interna da aleta deve ser muito maior que o coeficiente de transferência de calor para que as aletas aumentem a taxa de transferência de calor

Page 35: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

35

Page 36: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

3 TEM tempantedistrposiçcomtemphipótempglob calotemp 3.1) condTo, qumaconsconvdistrunifoexclusólid

stila de Tra

CONDUMPERA

Se a teperatura noes que sejaribuição deção como a posiçãoperatura futese é a po, a análial de cond

O emprr transientperatura va

ANÁLISE

Considedutividade que é repea temperatsiderado. vecção, coribuição deorme, de usiva do t

do pode se

Fig.3.1 No

ansmissão

UÇÃO ATURA

emperaturao interior da atingida e temperatu

com o temo é despreunção exclanálise glise é muitodução transrego de cate, simplearia com o

GLOBAL

ere um sótérmica k,

entinamenttura uniforA transfeom um c

e temperatutal modo

tempo, istoer escrita co

omenclatura

o de Calor

TRANS

a da face do sólido pa distribuiura é assumpo. Em mezível duralusiva do tlobal do so simples. siente de cartas de tees, numa tempo e c

L DO SISTE

ólido de fo, densidadte imerso, me T∞. A rência decoeficienteura dentroque a te

o é, T(t). Aomo

a da análise

SIENTE

de um coprincipia a vção de tem

unto complmuitas aplicante o esttempo. A a

sistema; poPor isso,

calor. emperaturaplaca, nu

com a posi

EMA

orma arbite ρ, calor no instantfig. 3-1 il

calor ene de transo do sólido,emperaturaA equação

e global do s

E US

orpo sólidovariar commperatura icado, poiscações prátado transanálise daor ser a tneste cap

a é ilustram cilindroção.

trária, voluespecíficote t = 0, elustra o sintre o sólsferência , em qualq

a de sólido de ener

sistema dura

SO DE

o for alterm o tempo.

estacionás a temperáticas, a viente e, po

a transferêtemperaturpítulo, princ

ado para reo ou numa

ume V, áo cp, a umaem um fluidistema da ido e o de calor

quer instano pode se

rgia na tra

ante o fluxo

E CAR

rada repenPassa-se

ária. A deteratura variaariação daor isso, concia de cara função cipiamos c

esolver a a esfera,

rea superfa temperado agitadotransferên

líquido seh. Admi

nte seja suer conside

ansferência

o transiente

RTAS D

ntinamentealgum tem

erminação a tanto coma temperatonsidera-sealor com eexclusiva

com a aná

condução nas quais

ficial total tura unifor

o e mantidncia de cae realiza te-se queficientemeerada funça de calor

de calor

36

DE

e, a mpo

da m a tura e a

esta do

lise

de s a

A, rme o a alor por

e a ente ção no

Page 37: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

37

Taxa de fluxo de calor afluente ao sólido de volume V = Taxa de aumento da energia interna do sólido de volume V.

Escrevendo-se as expressões matemáticas apropriadas a cada um destes termos, obtém-se:

[ ]dt

tdTVctTTAh p)()( ρ=−∞ 3.1

ou

0])([)(=−+ ∞TtT

VcAh

dTtdT

pρ em t > 0 3.2

sujeito à condição inicial

T(t) = To em t = 0 Para conveniência da análise, define-se uma nova temperatura θ(t)

θ(t)≡ T(t) - T∞ Então a equação 3-2 torna-se

0)()(=+ tm

dttd θθ em t > 0 3-3

e θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0 onde definimos

VcAhm

pρ≡ 3.4

A Eq. 3-3 é uma equação diferencial ordinária na temperatura θ(t), cuja solução geral é dada por

θ(t) = C e-mt 3.5 A aplicação da condição inicial dá a constante de integração C = θo. Então, a temperatura do sólido em função do tempo é

mt

oo

eTTTtTt −

∞ =−−

=)()(

θθ 3.6

A fig. 3-2 mostra um gráfico da temperatura adimensional da Eq 3.6 em função do tempo. A temperatura decai exponencialmente com o tempo, e a forma da curva é determinada pelo valor do expoente m. Aqui, m tem a dimensão de (tempo)-1. É claro que as curvas na fig. 3-2 se tornam cada vez mais inclinadas à medida que o valor de m cresce. Isto é, qualquer acréscimo de m fará com que o sólido responda mais rapidamente a uma variação de temperatura ambiente. O exame dos parâmetros na definição de m revela que o aumento da área superficial, para um dado volume, e o

Page 38: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

coefdens

ser cseja

e o n

ondeou ctransse

Discadm

que sólidunifomaio

stila de Tra

ficiente desidade, o c

Para esconsideradaplicável,

número de

e k é a cocilindro lonsiente, em

cutiremos mitiremos qu

O signif

é a razão do e a coorme no inor do que o

ansmissão

e transferêcalor espec

Fig. 3.2 A t

stabelecer da uniformvamos de

e Biot, Bi, c

ndutividadgo ou esfe qualquer

mais adiaue a análisficado físico

entre o coondutâncianterior do so coeficien

o de Calor

ncia de ccífico, ou o

temperatura

alguns crme no interefinir um co

como

e térmica era, a distinstante, é

ante este se global do do núme

B

oeficiente

a específicsólido é váte de trans

alor provoo volume, h

a adimensio

itérios comior do sólid

omprimento

do sólido.tribuição dé uniforme

Bi

assunto, do sistema ero de Biot

ss LkhBi =

de transfeca do sóliálida se a sferência c

ocam o auhaverá dim

onal θ(t)/θo e

m que a ddo, e como caracterí

AVLs =

khLBi s=

Em sólidode temperae, com um

,0≤=s

s

khL

que se té aplicáve visualiza-s

erência de ido. Portacondutânc

convectiva

umento deminuição de

em função d

istribuição que a anístico Ls co

s

os que tenatura dentrerro meno

1

tornará enel nas situase melhor

convectivanto, a hipcia especíde calor.

e m. Aumee m.

do tempo.

de tempeálise globa

omo

nham a forro do sólidor do que

ntão mais ações em qse for esc

a calor na pótese de fica do só

entando-se

eratura posal do siste

rma de plado, no estacerca de 5

claro. Aqque Bi < 0,rito na form

superfícietemperat

lido for mu

38

e a

ssa ema

3.7

3.8

aca, ado 5%,

3.9

qui, ,1. ma

do tura uito

Page 39: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

3.2) frontquanfluxo To. supepelacoefcont

placa

com

Para

Dess

onde

stila de Tra

CONDIÇÃ

Na discteiras da ndo parte do de calor,

ConsideEm qualquerfícies com outra suficiente de torno do pr

Fig. 3.3 N

Vamos a. O balan

a condiçã

a conveniê

sa forma, a

e definimos

ansmissão

ÃO DE CO

cussão prregião estda fronteircomo vam

ere uma pluer instanm uma couperfície, transferên

roblema.

Nomenclatur

admitir árenço de ene

ão inicial

ência na an

as Eqs. = 3

s

o de Calor

ONTORNO

recedente,tavam sujera está sujemos ilustrarlaca de es

nte t > 0, nstante depara um

ncia de cal

ra para anál

eas iguaisrgia, neste

AAq +

nálise, defin

3.10 são e

dttd )(θ

θ(t) =

MISTA

, considereitas a coeita a convr agora. spessura Lfornece-se

e q (W/m2)ambiente or h. A fig

lise global d

s A na trane caso part

tTTAh )([ −∞

Thq [ −+ ∞

T(t) = To

nimos umaθ(t) = T

escritas

tm =+ )() θ

To - T∞ ≡ θ

Lch

pρ e

ramos umonvecção. vecção e o

L, inicialmee calor à ), enquanto

com tem. 3.3 mostr

do fluxo tran

nsferência ticular dá

ALcp)] ρ=

ctT )]( ρ=−

em t =

a nova temT(t) - T∞

Q

θo

ma situaçãEste méto

o restante

ente a umaplaca atra

o se dissipmperatura ra a geom

nsiente de c

de calor e

dttdT )(

dttdTLcp)(

= 0

mperatura θ

em t > 0

em t = 0

Lcq

ão em quodo tambéestá sujeit

a temperatavés de upa calor pouniforme etria e as

calor em um

em ambas

em t >

θ(t)

ue todas ém se apto a um ce

tura uniforuma de suor convecçT∞ com condições

a placa.

s as faces

> 0 3-1

3-1

3-1

3-1

39

as lica erto

rme uas ção um de

da

10a

10b

11a

11b

Page 40: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

40

A solução da Eq. 3-11a é a soma da solução da parte homogênea da 3-11a com a solução particular na forma

θ(t) = Ce-mt + θp 3-12 onde C é a constante de integração. A solução particular θp é dada por

mQ

p =θ 3-13

Combinando as Eqs. 3-12 e 3-13, obtemos

mQCet mt += −)(θ 3-14

A constante de integração C é determinada pela aplicação da condição inicial 3-11b como

mQCo +=θ 3-15

Substituindo a Eq. 3-15 na 3-14, obtemos a solução deste problema da transferência de calor:

( )mQeet mtmt

o−− −+= 1)( θθ ou

( )hqeet mtmt

o−− −+= 1)( θθ 3-16

Para t → ∞, esta solução simplifica-se em

( )hq

mQ

==∞θ 3-17

que é a temperatura estacionária da placa. 3.3) PLACA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE Em muitas situações, os gradientes de temperatura no interior dos sólidos não são desprezíveis, e não é aplicável a análise global do sistema. Neste caso, a análise dos problemas da condução de calor envolve a determinação da distribuição de temperaturas no interior do sólido em função do tempo e da posição, e é um tema bastante complicado. Vários métodos de análise para resolver estes problemas são discutidos em diversos textos, com tratamento avançado da condução de calor. Problemas simples, como a condução de calor, unidimensional, dependente do tempo, em uma placa sem geração interna de energia, podem ser resolvidos facilmente pelo método da separação de variáveis, como será descrito mais adiante neste capítulo. Além disso, a distribuição de temperatura em tais situações foi calculada, e os resultados, apresentados na forma de cartas de temperaturas transientes em várias

Page 41: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

41

obras. Apresentaremos as cartas de temperaturas transientes e de fluxo de calor e discutiremos seu significado físico e seu emprego. Considere uma placa (por exemplo, uma parede plana) de espessura 2L confinada na região –L ≤ x ≤ L. Inicialmente, a placa está a uma temperatura uniforme Ti. De repente, a t = 0, ambas as superfícies de contorno da placa são sujeitas a convecção com um coeficiente de transferência de calor h para o ambiente à temperatura T∞ e assim mantida nos instantes t > 0. A fig 3.4a mostra a geometria, coordenadas e condições de contorno deste problema particular. Porém, neste problema, há simetria geométrica e térmica em torno do plano x = 0, de forma que podemos considerar o problema de condução do calor numa metade da região, digamos 0 ≤ x ≤ L. Com essa consideração, o problema da condução do calor numa placa de espessura 2L confinada à região –L ≤ x ≤ L, como está ilustrado na fig 3.4a, é equivalente ao problema de uma placa de espessura L confinada na região 0 ≤ x ≤ L, como está ilustrado 3.4b. Então, a formação matemática deste problema da condução do calor dependente do tempo, com a geometria e as condições de contorno de fig. 3.4b, é dada por

(a) (b)

Fig. 3.4 Geometria, coordenadas e condições de contorno da condução de calor transiente em uma placa.

tT

xT

∂∂

=∂∂

α1

2

2

em 0 < x < L, e t > 0 3.18a

0=∂∂

xT em x = 0, e t > 0 3.18b

∞=+∂∂ hThT

xTk em x = L, e t > 0 3.18c

T = Ti em t = 0, e 0 ≤ x ≤ L 3.18d

3.3.1) Equações Adimensionais O problema da condução transiente de calor, dado pelas Eqs. 3.18, pode ser expresso em forma adimensional introduzindo-se as seguintes variáveis adimensionais:

aladimensiona temperatur),(=

−−

=∞

TTTtxT

i

θ 3.19a

Page 42: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

42

aladimension coordenada==LxX 3.19b

Biotde número==khLBi 3.19c

Fourierde número ou al,adimension tempo2 ==Ltατ 3.19d

Desta forma, o problema da condução de calor dado pelas Eqs 3.19 se transforma em

τθθ

∂∂

=∂∂

2

2

X em 0 < X < 1, e τ > 0 3.20a

0=∂∂Xθ em X = 0, e τ > 0 3.20b

0=+∂∂ θθ BiX

em X = 1, e τ > 0 3.20c

θ = 1 em 0≤ X ≤ 1, e τ = 0 3.20d

O significado físico do tempo adimensional τ, ou número de Fourier, visualiza-se melhor se a equação 3.19d for reordenada na forma

C W/,L volumeno L de longo ao

calor de retenção de taxaC W/,L

volumeno L de longo aocalor de condução de taxa

/)/1(

o3

o3

3

2

2 ===tLc

LLkL

t

pρατ 3.21a

Portanto, o número de Fourier é uma medida da razão entre a taxa de condução e a taxa de retenção de calor, num elemento de volume. Por isso, quanto maior o número de Fourier, mais profunda é a penetração do calor num sólido durante um certo intervalo de tempo. O significado físico do número de Biot compreende-se melhor se a Eq. 3.19c for escrita na forma

L ocomprimentno sólido do acondutânci

sólidodo superfície nacalor de

ncia transferêde ecoeficient

/===

Lkh

khLBi 3.21b

Assim, o número de Biot é a razão entre o coeficiente de transferência de calor e a condutância do sólido sobre o comprimento característico.

Page 43: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

43

Comparando os problemas de condução de calor expressos pelas Eq. 3.18 e 3.20, concluímos que o número de parâmetros independentes que afetam a distribuição de temperatura no sólido reduz-se significativamente quando se exprime o problema na sua forma adimensional. No problema dado pelas Eqs. 3.18, a temperatura depende dos oito seguintes parâmetros físicos:

x, t, L, k, α, h, Ti, T∞

Porém, no problema adimensional expresso pelas Eqs. 3.20, a temperatura depende dos três seguintes parâmetros adimensionais:

X, Bi, e τ

Fica evidente que, se exprimirmos o problema na forma adimensional, o número de parâmetros que afetam a distribuição de temperatura reduz-se significativamente. Por isso, é prático resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na forma de cartas para referência rápida. 3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa O problema definido pelas Eqs. 3.20 já foi resolvido e os resultados para a temperatura adimensional estão nas Figs 3.5a e 3.5b. A Fig.35a dá a temperatura no plano central To ou θ(0, τ) em X = 0, em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi. A curva com 1/Bi = 0 corresponde ou a h → ∞, ou então as faces da placa estão mantidas na temperatura ambiente T∞. Nos grandes valores de 1/Bi, o número de Biot é pequeno, ou a condutância interna do sólido é grande em relação ao coeficiente de transferência de calor na superfície. Isto, por sua vez, implica que a distribuição de temperatura dentro do sólido é suficientemente uniforme, e, portanto, pode-se adotar a análise global do sistema. A Fig. 3.5b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro da placa com a temperatura do plano central, To. Se soubermos a temperatura To, saberemos as temperaturas nas diferentes posições dentro da placa. Um exame da Fig 3.5b revela que, nos valores de 1/Bi maiores do que 10, ou Bi < 0,1, a distribuição de temperaturas na placa pode ser considerada uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%. Devemos recordar que o critério Bi < 0,1, foi utilizado

Page 44: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

para

Figam

A FadimQ redura

stila de Tra

a que a aná

g. 3.5 Carta dmbas as face

Fig.3.6 Momensional, epresenta ante a trans

ansmissão

álise globa

de temperates. (a) Temp

ostra o cem vários a quantid

sferência d

o de Calor

al do sistem

turas transieperatura To

calor adimvalores do

dade total de calor. A

Qo = ρcp

ma fosse a

entes numano plano ce

com a pa

mensional o número dde energ

A quantidad

pV(Ti - T∞)

plicável.

placa de esentral x=0; (barte (a).

transferidde Biot, nu

gia perdidade Qo, defin

spessura 2Lb) correção

o Q/Qo euma placa a pela planida como

L sujeita a co de posição

em funçãode espess

aca até ce

3.

onvecção eo para utiliza

o do temsura 2L. Aqerto tempo

22

44

m ar

mpo qui, o t,

Page 45: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

repre

3.4) TEM transser c 3.4.1 raio supeh pamate

stila de Tra

esenta a e

Fig.

CILINDROMPERATUR

A distribsferência dcalculados

1) Carta de

Consideb, inicialm

erfície em ara um amemática de

ansmissão

energia inte

3.6 Calor a

O LONGO RAS TRAN

buição dasde calor, s nos casos

e Tempera

ere a condmente a um

r = b é sujmbiente àeste proble

R1

∂∂

∂∂

θ = 1

o de Calor

erna inicial

dimensiona

E ESFERNSIENTES

s temperasemelhantes de um cil

aturas Tra

ução de cama temperajeita a con

à temperatema de con

θ⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

RR

RR

0=Rθ

0=+∂∂ θθ BiR

da placa n

al transferido

RA – EMPRS

aturas adimes aos quelindro long

ansientes

alor, unidimatura unifovecção, cotura T∞ e ndução de

τθ

∂∂

=⎠⎞

0

em

na tempera

o Q/Qo num

REGO DAS

mensionaise estão nao e no de

num Cilin

mensional,orme Ti. Reom um coe

mantida calor é da

em 0

em R

em R

m 0 ≤ R ≤ 1

atura amb

ma placa de

S CARTAS

s transientas Figs 3.5uma esfer

ndro Long

, transienteepentinameficiente deassim em

ada em form

< R < 1, e

R = 0, e τ >

R = 1, e τ >

1, e τ = 0

iente.

espessura 2

S DE

tes e os r5 e 3.6, tamra.

o

e, num cilinente, no tee transferê

m t > 0. Ama adimen

e τ > 0

> 1

0

2L.

resultados mbém pod

ndro longoempo t = 0ência de caA formulaçnsional com

3.2

3.2

3.2

3.2

45

da dem

o de 0, a alor ção mo

23a

23b

23c

23d

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Apostila de Transmissão de Calor

46

onde as várias grandezas adimensionais são definidas da forma seguinte

==khbBi número de Biot 3.24a

== 2btατ tempo adimensional, ou número de Fourier 3.24b

( )

=−

−=

TTTtrT

i

,θ temperatura adimensional 3.24c

==brR coordenada radial adimensional 3.24d

O problema da Eq. 3.22 já foi resolvido, e os resultados para temperatura no centro To ou θ(0,τ) estão na Fig. 3.7a, em função do tempo adimensional, com vários valores do parâmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro do cilindro com a temperatura no plano médio To. Por isso, dada To, as temperaturas nas diferentes posições internas do cilindro podem ser determinadas a partir da Fig. 3.7b.

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Apostila de Transmissão de Calor

47

Fig. 3.7 Carta de temperaturas transientes num cilindro maciço longo, de raio r=b sujeito a

convecção na superfície r=b. (a) Temperatura To no eixo do cilindro; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a).

A Fig. 3.8 mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo adimensional com diversos valores do número de Biot, no problema do cilindro dado pelas Eqs. 3.22. Aqui Qo, tem o significado definido pela equação 3.22, e Q representa a quantidade total de energia perdida pelo cilindro até certo tempo t, durante a transferência transiente de calor.

Fig. 3.8 Calor adimensional transferido Q/Qo num cilindro longo de raio b

3.4.2) Carta de Temperaturas Transientes numa Esfera Numa esfera de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti e em t > 0, sujeita a convecção na superfície r = b, com um coeficiente de transferência de calor h, para um ambiente à temperatura T∞, o problema da condução transiente de calor é dado na forma adimensional como

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Apostila de Transmissão de Calor

48

τθθ

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

RR

RR2

2

1 em 0 < R < 1, e τ > 0 3.24ª

0=∂∂Rθ em R = 0, e τ > 0 3.24b

0=+∂∂ θθ BiR

em R = 1, e τ > 0 3.24c

θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, se for τ = 0 3.25c

Aqui, os parâmetros adimensionais Bi, θ e R são definidos como as Eqs. 3.24. A Fig. 3.9a mostra a temperatura no centro To, ou θ (0,τ), da esfera em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi.

A Fig. 3.9b apresenta a relação entre as temperaturas em diferentes posições dentro da esfera e a temperatura no centro To.

Fig. 3.9 Carta de temperaturas transientes numa esfera maciça, de raio r=b sujeito a convecção na

superfície r=b. (a) Temperatura To no centro da esfera; (b) correção de posição para empregar com a parte (a).

A Fig. 3.10 mostra o calor adimensional Q/Qo em função do tempo adimensional com diferentes valores do número de Biot. Aqui, Q e Qo são definidos como previamente.

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Apostila de Transmissão de Calor

49

Fig. 3.10 Calor adimensional transferido Q/Qo numa esfera de raio b

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Apostila de Transmissão de Calor

50

4) CONVECÇÃO – CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS

Até aqui consideramos a transferência condutiva de calor nos sólidos, nos quais não há movimento do meio. Nos problemas de condução, a convecção participou na análise, simplesmente como condição de contorno, na forma de um coeficiente de transferência de calor. Nosso objetivo, neste e nos capítulos seguintes a respeito da convecção, é estabelecer as bases físicas e matemáticas para a compreensão do transporte convectivo de calor e revelar as várias correlações na transferência de calor. Nas aplicações de engenharia, há interesse na perda de carga e na força de arraste associadas ao escoamento dentro de dutos ou sobre corpos. Por isso, são apresentadas as correlações apropriadas para prever a queda de pressão e força de arraste num escoamento. A análise da convecção é complicada, pois o movimento do fluido afeta a perda de carga, a força de arraste e a transferência de calor. Para determinar a força de arraste, ou a perda de carga, deve ser conhecido o campo de velocidades nas vizinhanças imediatas da superfície. Para determinar a transferência convectiva de calor também se precisa da distribuição de velocidades no escoamento do fluido, porque a velocidade participa da equação da energia; a solução da equação da energia determina a distribuição de temperaturas no campo do escoamento. A literatura a respeito da transferência convectiva de calor é superabundante e está sempre crescendo. Nestes últimos anos, com a disponibilidade de computadores digitais rápidos e de elevada capacidade, têm-se feito notáveis progressos na análise, com grandes detalhes, de problemas muito complicados de transferência de calor. Não obstante, um grande número de problemas de engenharia mais simples pode ser resolvido com o emprego de correlações padrões de transferência de calor. Por isso, vamos focalizar nossa atenção sobre esses casos. Para atingir este objetivo, apresentaremos neste capítulo uma visão coerente da convecção, a fim de propiciar uma base firme para aplicações. Serão discutidos os conceitos básicos associados ao escoamento sobre um corpo, ao escoamento dentro de um duto e à turbulência. Ilustraremos também o papel da distribuição de temperaturas e o da distribuição de velocidades, num escoamento, sobre a transferência de calor e a força de arraste. As distribuições de velocidades e de temperaturas no escoamento são determinadas a partir da solução das equações do movimento e da energia. Por isso, estas equações são apresentadas no caso de um escoamento bidimensional, de um fluido com propriedades constantes, incompressível, nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas. A simplificação destas equações é ilustrada a fim de se obterem as equações que governam a análise dos problemas mais simples de transferência de calor. Finalmente, discute-se o significado físico dos parâmetros adimensionais e apresentam-se as equações das camadas limites.

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Apos

4.1)

de transintrosupeAssiciné 4.1.1 de uda pÀ mem csobrretarem yé redistâu∞ pδ(x),iguadestcamcamcamdistacisalescodesp

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ESCOAM

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Cinética

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51

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52

Referindo-nos à ilustração na Fig. 4.1, vamos examinar o comportamento do escoamento na camada limite em função da distância x medida a partir da borda frontal da placa. A característica do escoamento é governada pelo valor da grandeza número de Reynolds. No escoamento sobre uma placa plana, como está na Fig. 4.1, este número é definido por

νxu

x∞≡Re (4.1)

onde u∞ = velocidade da corrente livre x = distância à borda frontal ν = viscosidade cinemática do fluido

A camada limite começa na borda frontal (isto é, em x =0) da placa como uma camada limite laminar, na qual o escoamento permanece ordenado e as partículas do fluído se movem ao longo das linhas de corrente. Este movimento ordenado continua ao longo da placa até que se atinge uma distância crítica, ou o número de Reynolds alcance um valor crítico. Depois de este número de Reynolds crítico ser atingido, os pequenos distúrbios no escoamento começam a ser amplificados, e flutuações no fluído começam a se desenvolver, o que caracteriza o final da camada limite laminar e o início da transição para a camada limite turbulenta. No escoamento sobre uma placa plana, o número de Reynolds crítico, no qual acontece a transição do escoamento laminar para o turbulento, é geralmente tomado, na maior parte das finalidades analíticas, como

5105Re x

vxu

x ≅≡ ∞ (4.2)

Entretanto este valor crítico é fortemente dependente da rugosidade da superfície e do nível de turbulência da corrente livre. Por exemplo, com distúrbios muito grandes na corrente livre, a transição pode começar em um número de Reynolds tão baixo como 105, e, nos escoamentos livres de perturbações, pode não começar até que o número de Reynolds atinja um valor de 106 ou mais. Mas num escoamento sobre uma placa plana, a camada limite é sempre turbulenta para Rex ≥ 4x106. Na camada limite turbulenta próxima da parede, há uma camada muito delgada, chamada subcamada laminar, onde o escoamento retém seu caráter laminar. Adjacente a subcamada laminar existe uma região chamada camada amortecedora, na qual há turbulência muito fina e a velocidade média axial aumenta rapidamente com a distância à superfície sólida. A camada amortecedora é seguida pela camada turbulenta, na qual há turbulência em alta escala e a velocidade muda relativamente pouco com a distância à parede. A fig 4.2 mostra o conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo. Neste caso, a coordenada x é medida ao longo da superfície curva do corpo; principiando pelo ponto de estagnação, e em cada posição x segundo a normal à superfície do corpo. A velocidade da corrente livre )(xu∞ não é constante, mas varia com a distância ao longo da superfície curva. O conceito de camada limite, discutido acima, também se aplica a esta situação particular. A espessura da camada limite )(xδ cresce com a distância x ao longo da superfície. Entretanto, devido a curvatura da superfície, depois de uma certa distância x, o perfil de velocidade ),( yxu mostra um ponto de

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Apostila de Transmissão de Calor

53

inflexão, isto é, yu ∂/δ se anula na superfície do sólido. Além do ponto de inflexão, há uma inversão do escoamento, e diz-se que a camada limite está descolada da superfície do sólido. Além do ponto de inversão do fluxo, os padrões do fluxo são muito complicados e o conceito da camada limite não é mais aplicável.

Fig. 4.2 Conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo

4.1.2) Coeficiente de Arraste e Força de Arraste Suponha que o perfil de velocidade ),( yxu na camada limite seja conhecido. A tensão de cisalhamento xτ que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinada a partir de sua definição por

0

),(

=∂∂

=y

x yyxuµτ (4.3)

A constante de proporcionalidade µ é a viscosidade do fluido. Logo, conhecendo-se a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força de cisalhamento, devida ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. A definição de tensão de cisalhamento, dada pela Eq. (4.3), entretanto, não é prática para aplicações de engenharia. Na prática, a tensão de cisalhamento ou força de arraste local xτ por unidade de área está relacionada com o coeficiente local de arraste cx pela relação

2

2∞=

ucxx

ρτ (4.4)

onde ρ é a densidade do fluido e ∞u é a velocidade da corrente livre. Portanto, conhecendo o coeficiente de arraste, podemos calcular a força de arraste exercida pelo fluido que está escoando sobre a placa plana. Igualando as Eqs. (4.3) e (4.4), obtemos:

oyx y

yxuu

c=∞ ∂

∂=

),(22

ν (4.5)

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Apostila de Transmissão de Calor

54

Portanto, o coeficiente local de arraste pode ser determinado pela Eq. (4.5), se o perfil de velocidade ),( yxu , na camada limite for conhecido. O valor médio do coeficiente de arraste Cm, de x=0 até x=L, é definido como

(4.6)

Sabendo o coeficiente médio de arraste Cm, podemos calcular a força de arraste F, que está atuando sobre a placa de x=0 até x=L e numa largura w, com a fórmula

2

2∞=

uwLCF m

ρ (N) (4.7)

4.1.3) Camada Limite Térmica Análogo ao conceito de camada limite cinética, pode-se imaginar o desenvolvimento de uma camada limite térmica ao longo da placa, associada ao perfil de temperatura no fluido. Para ilustrar o conceito, consideremos um fluido a uma temperatura uniforme ∞T que escoa sobre uma placa plana mantida a uma temperatura constante WT . Sejam x e y os eixos coordenados paralelo e perpendicular à superfície da placa, respectivamente, como está na figura 4.3.

Fig. 4.3 Conceito de camada limite térmica no escoamento de um fluido quente sobre uma placa

fria Definimos a temperatura adimensional θ(x,y) como

W

W

TTTyxT

yx−

−=

),(),(θ (4.8)

onde T(x,y) é a temperatura local no fluido. Na superfície da placa, a temperatura do fluido é igual à temperatura da parede; portanto

θ(x,y) = 0 em y = 0(superfície da placa) (4.9 a)

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55

A distâncias suficientemente grandes da placa, a temperatura do fluido é a mesma ∞T ; então

1),( →yxθ a medida que ∞→y (4.9 b)

Por isso em cada posição x ao longo da placa, pode-se imaginar uma posição )(xy δ= no fluido onde ),( yxθ seja igual a 0,99. O lugar geométrico destes pontos onde ),( yxθ=0,99 é chamado a camada limite térmica )(xδ . A espessura relativa da camada limite térmica )(xtδ frente a camada limite cinética )(xδ depende da grandeza do número de Prandtl do fluido. Nos fluidos que tem um número de Prandtl igual a unidade, como os gases, ).()( xxt δδ = A camada limite térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr <1, como os metais líquidos, e é muito mais delgado do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr >1. 4.1.4) Coeficiente de Transferência de Calor Suponha que a distribuição de temperatura T(x,y) na camada limite térmica seja conhecida. Então o fluxo de calor q(x) do fluido para a placa é determinado por

0

),()(=∂

∂=

yyyxTxq κ (4.10 a)

onde k é a condutividade térmica do fluido. Entretanto, nas aplicações de engenharia, não é prático empregar a Eq. (4.10 a) para calcular a taxa de transferência de calor entre o fluido e a placa. Na prática define-se um coeficiente de transferência de calor local h(x) para calcular o fluxo de calor entre o fluido e a placa:

))(()( WTTxhxq −= ∞ (4.10 b)

Igualando (4.10 a) e (4.10 b), obtemos

[ ]W

y

TTyT

kxh−

∂∂=

=0)( (4.11 a)

Esta expressão agora é escrita em termos da temperatura adimensional ),( yxθ como

0

),()(=∂

∂=

yyyxkxh θ (4.11 b)

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Apostila de Transmissão de Calor

56

Logo as Eqs. (4.11) fornecem a relação para determinar o coeficiente de transferência de calor local h(x) a partir do conhecimento da distribuição da temperatura adimensional

),( yxθ na camada limite térmica. O coeficiente de transferência de calor médio hm sobre a distância x=0 até x=L, ao longo da superfície da placa, é determinado a partir de

∫=L

m dxxhL

h0

)(1 (4.12)

Sabendo o coeficiente de transferência de calor médio hm, podemos determinar a taxa de transferência de calor Q do fluido para a placa de x=0 até x=L e para a espessura w.

)( Wm TTwLhQ −= ∞ (4.13)

4.1.5) Relação entre cx e h(x) Considerando as expressões exatas de coeficiente de local de arraste e do número de Nusselt local, no escoamento laminar sobre uma placa plana,

21Re332,02

−= xCx (4.14 a)

2131 RePr332,0 xxNu = (4.14 b)

Definimos o número de Stanton local, Stx, como

=ucxhSt

px ρ

)(

que pode ser reordenado na forma

x

xx

Nuvxuv

kxxhStRePr)/)(/(

/)(==

∞α

Então, a expressão (4.14 b) do número de Nusselt local pode ser reescrita como

2132 RePr332,0 −−= xxSt (4.14 c)

Das Eqs. (4.14 a) e (4.14 c), pode-se obter a seguinte relação entre o número de Stanton e o coeficiente de arraste:

2Pr 3/2 CxStx = (4.15 a)

Esta expressão recebe o nome de analogia de Reynolds-Colburn e relaciona o coeficiente local de arraste cx ao número de Stanton local Stx num escoamento laminar

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Apostila de Transmissão de Calor

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sobre uma placa plana. Portanto, fazendo-se as medidas do arraste atrativo no escoamento laminar sobre uma placa plana, quando não há transferência de calor, pode-se determinar o coeficiente de transferência de calor correspondente pela Eq. (4.15 a). É muito mais fácil fazer medidas de arraste do que medidas de transferência de calor. Pode-se também aplicar a Eq. (4.15 a) ao escoamento turbulento sobre uma placa plana, porém não se aplica ao escoamento laminar dentro de um tubo. No caso de valores médios, a Eq. (4.15 a) é escrita como

2Pr 3/2 m

mCSt = (4.15 b)

onde Stm e Cm são, respectivamente, o número de Stanton médio e o coeficiente médio de arraste. 4.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO Os conceitos básicos discutidos na última seção sobre o desenvolvimento das camadas limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana também se aplicam ao escoamento na região da entrada de dutos. Ilustramos este assunto considerando o escoamento no interior de um tubo circular. 4.2.1) Camada Limite Cinética Considere o escoamento dentro de um tubo circular, como está ilustrado na fig. 4.4.

Fig.4.4 Conceito de desenvolvimento da camada limite cinética na região de entrada de um tubo

circular O fluido tem uma velocidade de entrada uniforme 0u . Quando o fluido entra no tubo, começa a se desenvolver uma camada limite cinética sobre a superfície da parede. A velocidade das partículas do fluido, na superfície da parede, anula-se, e a velocidade nas vizinhanças da parede diminui; como resultado, a velocidade na parte axial do tubo aumenta para ser cumprida a exigência da continuidade do fluxo. A espessura da camada limite cinética )( zδ cresce continuamente ao longo da superfície

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do tubo até que ocupa todo o tubo. A região que se estende desde a entrada do tubo até um pouco além da posição hipotética em que a camada limite atinge o eixo do tubo é a região hidrodinâmica de entrada. Nesta região, a forma do perfil de velocidade varia tanto na direção axial como na radial. A região além da distância hidrodinâmica de entrada é chamada região hidrodinamicamente desenvolvida, pois nesta região o perfil de velocidade é invariante com a distância ao longo do tubo. Se a camada limite permanece laminar até encher todo o tubo, o perfil parabólico de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido prevalece na região hidrodinamicamente desenvolvida. Entretanto, se a camada limite transforma-se em turbulenta antes de a sua espessura atingir o eixo do tubo, há um escoamento turbulento completamente desenvolvido na região hidrodinamicamente desenvolvida. Quando o escoamento é turbulento, o perfil de velocidade é mais achatado do que o perfil parabólico de velocidade no escoamento laminar. No escoamento no interior de um tubo circular, o número de Reynolds, definido por

vDum≡Re (4.16)

é utilizado como critério para a passagem do escoamento laminar a turbulento. Nesta definição mu é a velocidade média do escoamento, D é o diâmetro interno do tubo, e v é a viscosidade cinemática do fluido. No escoamento no interior de um tubo circular, observa-se ordinariamente escoamento turbulento para

2300Re >=vDum (4.17)

Entretanto, este valor crítico depende fortemente da rugosidade da superfície, das condições de entrada e das flutuações no escoamento. Em geral, a transição pode ocorrer no domínio 2000<Re<4000. 4.2.2) Fator de Atrito e Perda de Carga Nas aplicações de engenharia, o gradiente de pressão dP/dz associado ao escoamento é uma grandeza de interesse, pois a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um dado comprimento do tubo pode ser determinada pela integração de dP/dz sobre o comprimento. Para desenvolver uma expressão que defina dP/dz, consideremos um balanço de forças sobre um comprimento diferencial dz do tubo. Igualando a força da pressão à força de cisalhamento na parede, obtemos (veja fig. 4.5)

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Fig. 4.5 Equilíbrio de forças num elemento diferencial de volume

wzzz zSPAPA τ∆=− ∆+)()(

www DDD

AS

dzdP ττ

ππτ 4

)4/( 2 −=−=−= (4.18 a)

onde A é a área de seção reta e S é o perímetro. A tensão de cisalhamento wτ na parede está relacionada com o gradiente de velocidade por

paredeparedew r

uyu

∂∂

−=∂∂

= µµτ (4.18 b)

uma vez que r= D/2 – y. Então, das Eqs. (4.18 a) e (4.18 b), temos

parederu

DdzdP

∂∂

=µ4 (4.18 c)

Nas aplicações de engenharia, a Eq. (4.18 c) não é prática para determinação de dP/dz, pois exige o cálculo do gradiente de velocidade na parede. Para calcular a perda de carga (queda de pressão) nas aplicações de engenharia, define-se um fator de atrito f.

Du

fdzdP m

2

2ρ−= (4.18 d)

onde um é a velocidade média do escoamento dentro do tubo e ρ é a densidade do fluido. Igualando as Eqs. (4.18 c) e (4.18 d) obtém-se a seguinte expressão para o fator de atrito:

paredem ru

uf

∂∂

−= 2

µ (4.18 e)

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Portanto, dada a distribuição de velocidades u do escoamento no interior do tubo, o fator de atrito f pode ser determinado pela Eq. (4.18 e). Dado o fator de atrito, a perda de carga P1 - P2 P∆≡ sobre a distância z2 – z1

L≡ no tubo é determinada pela integração da Eq. (4.18 d):

∫ ∫−=2

1

2

12

2P

P

Z

Z

m dzDu

fdPρ

ou a perda de carga P∆ fica

2

2mu

DLfP

ρ=∆ 2m

N (4.19 a)

Se M for a vazão, em metros cúbicos por segundo, através do tubo, a potência da bomba exigida para movimentar o fluido no tubo contra a perda de carga

P∆ se torna

Potência da bomba = ))(( 2

3

mNP

smM ∆

Potência da bomba = M P∆ ouWsmN . (4.19 b)

4.2.3) Camada Limite Térmica No caso da distribuição de temperaturas no escoamento no interior de um tubo circular, é mais difícil visualizar o desenvolvimento da camada limite térmica e a exigência de uma região termicamente desenvolvida. Entretanto, sob certas condições de aquecimento, ou de resfriamento, como fluxo de calor constante ou temperatura uniforme na parede do tubo, o conceito é possível. Considere um escoamento laminar no interior de um tubo circular sujeito a um fluxo de calor uniforme nas paredes. Sejam r e z as coordenadas, respectivamente, radial e axial. Define-se uma temperatura adimensional ),( zrθ como

)()()(),(

),(zTzTzTzrT

zrwm

w

−−

=θ (4.20a)

onde Tw(z) = temperatura na parede do tubo Tm(z) = Temperatura média de todo o fluido na área transversal do tubo em z T(r,z) = temperatura local do fluido Evidentemente, ),( zrθ é zero na superfície da parede do tubo e atinge um valor finito no eixo do tubo. Então visualiza-se o desenvolvimento de uma camada limite térmica paralelamente a superfície da parede. A espessura da camada limite térmica )(ztδ cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que preenche todo o tubo. A região da entrada do tubo até a posição hipotética onde a espessura da camada limite térmica atinge o eixo do tubo é a região de entrada térmica. Nesta região, a forma do

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perfil da temperatura adimensional ),( zrθ muda tanto na direção axial quanto na radial. A região além da distância de entrada térmica é chamada região termicamente desenvolvida, porque nesta região o perfil da temperatura adimensional permanece invariante com a distância ao longo do tubo, isto é,

)()()(),(

)(zTzTzTzrT

rwm

w

−−

=θ (4.20 b)

É difícil explicar qualitativamente por que )(rθ deve ser independente da variável z, pois as temperaturas no segundo membro da Eq. (4.20 b) dependem tanto de r como de z. Entretanto, pode-se demonstrar matematicamente que, não só com uma temperatura constante mas também com um fluxo de calor constante na parede, a temperatura adimensional )(rθ depende somente de r para valores suficientemente grandes de z. 4.2.4) Coeficiente de Transferência de Calor Nas aplicações de engenharia envolvendo o escoamento de um fluido num tubo, a taxa de transferência de calor entre o fluido e o tubo é uma informação de muito interesse. Discutiremos o conceito de coeficiente de transferência de calor que é utilizado com mais freqüência nas aplicações de engenharia para determinar a transferência de calor entre o fluido e a superfície da parede. Considere um fluido escoando dentro de um tubo circular de raio interno R. Seja T(r,z) a distribuição de temperaturas no fluido, onde r e z são as coordenadas radial e axial, respectivamente. O fluxo de calor do fluido para a parede do tubo é determinado por

parederzrTKzq

∂∂

−=),()( (4.21 a)

onde k é a condutividade térmica do fluido. Nas aplicações de engenharia não é prático utilizar a Eq. (6.21 a) para determinar a transferência de calor entre o fluido e a parede do tubo, pois essa equação envolve o cálculo da derivada da temperatura na parede. Para evitar esta dificuldade, define-se um coeficiente de transferência de calor local h (z)

[ ])()()()( zTzTzhzq wm −= (4.21 b)

onde Tm(z) = temperatura média global calculada sobre a área da seção transversal do tubo na posição z Tw(z) = temperatura na parede do tubo em z Evidentemente se o coeficiente de transferência de calor for conhecido, é questão muito simples determinar o fluxo de calor na parede para uma dada diferença entre a temperatura média do fluido e a da parede do tubo. Por isso o uso do coeficiente de

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transferência de calor é muito conveniente nas aplicações de engenharia e sua determinação, em várias condições de escoamento, foi objeto de numerosas investigações experimentais e analíticas. Trataremos da relação entre o coeficiente de transferência de calor h(z) a partir de T(r,z). Igualando (4.21 a) e (4.21 b), obtemos:

RparederrzTwzTmzrTkzh

=∂−∂

−=)()(

),()( (4.22 a)

onde Tm(z) e Tw(z), num tubo circular de raio R, são determinadas por

20

0

02),()(

2)(

2),()()(

Ru

rdrzrTru

rdrru

rdrzrTruzTm

m

R

R

R

π

π

π

π ∫∫

∫== (4.22 b)

Rparederw zrTzT=

= ),()( (4.22 c)

A temperatura média do fluido Tm(z) é uma definição baseada no transporte de energia térmica com o movimento global do fluido à medida que ele passa através da seção transversal, pois a grandeza "" utc pρ representa o fluxo de energia por unidade de área. Num fluido incompressível, de propriedades constantes, o termo ρ cp cancela-se no numerador e no denominador de (4.22 b). A Eq. (4.22 a) pode ser escrita em termos da temperatura adimensional

),( zrθ definida pela Eq. (4.20 a) como

Rparederrzrkzh

=∂∂

−=),()( θ (4.23 a)

Na região termicamente desenvolvida, a temperatura adimensional )(rθ é independente de z. Então, a equação (4.23 a) se reduz a

Rparederdrrdkh

=

−=)(θ (4.23 b)

onde )(rθ é definida pela Eq. (4.20 b). Este resultado implica que, na região termicamente desenvolvida,o coeficiente de transferência de calor não varia com a distância ao longo do tubo; e vale para a transferência de calor sob condições de fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante na parede. As definições dadas pela Eq. (4.23) podem ser empregadas para desenvolver expressões do coeficiente de transferência de calor se a distribuição da temperatura adimensional no fluido, definida pela equação (4.20 b), for conhecida.

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4.3) PARÂMETROS ADIMENSIONAIS Neste capítulo foram introduzidos parâmetros adimensionais, como os números de Reynolds, de Prandtl, de Nusselt e de Stanton, e vamos discutir o significado físico destes parâmetros adimensionais na interpretação das condições associadas com o escoamento do fluido, ou com a transferência de calor. Consideremos o número de Reynolds baseado em um comprimento característico L, reordenado na forma

===∞

∞∞2

2

//ReLvuLu

vLu força de inércia/força viscosa (4.24 a)

Então, o número de Reynolds representa a razão entre a força de inércia e a força viscosa. Este resultado implica que as forças viscosas são dominantes nos números de Reynolds pequenos, e as forças de inércia são dominantes nos números de Reynolds grandes. Lembremo-nos de que o número de Reynolds foi utilizado como critério para determinar a transformação do escoamento laminar em turbulento. O número de Prandtl pode ser escrito na forma

====xv

ckkc

p

p

)/(Pr

ρρµµ

difusividade molecular do momento/difusividade molecular do calor (4.24 b)

Representa, portanto, a importância relativa do transporte de momento e energia no processo de difusão. Nos gases com Pr ≅ 1, a transferência de momento e energia pelo processo de difusão é equilibrada. Nos óleos, Pr > 1 , e daí se vê que a difusão de momento é muito maior do que a difusão de energia; mas, nos metais líquidos, Pr<1, e a situação é inversa. Lembramos que, na discussão do desenvolvimento das camadas limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana, a espessura relativa das camadas limite cinética e térmica dependia da grandeza do número de Prandtl. Considere o número de Nusselt, baseado em um comprimento característico L, reordenado na forma

LTkTh

khLNu

/∆∆

== (4.25 a)

onde ∆ T é a diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e a temperatura dos fluidos. Então o número de Nusselt pode ser interpretado como a razão entre a transferência de calor por convecção e por condução através de uma camada do fluido de espessura L. Com base nesta interpretação, o valor do número de Nusselt igual a zero implica que não há convecção – A transferência de calor se efetua por pura condução. Um valor maior do número de Nusselt implica um aumento de transferência convectiva de calor. O número de Stanton pode ser reordenado como

TucTh

uchSt

mpmp ∆∆

==ρρ

(4.25 b)

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Apostila de Transmissão de Calor

64

onde T∆ é uma diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e o fluido. O numerador representa o fluxo de calor para o fluido, e o denominador representa a capacidade de transferência de calor do escoamento do fluido. O parâmetro adimensional, o número de Eckert, definido como

),/(2 TCpuE ∆≡ ∞ surgem freqüentemente em problemas de transferência de calor em alta velocidade. O número de Eckert pode ser reordenado como

TCpu

TCpuE

∆=

∆= ∞∞ /22

(4.26)

4.4) TEMPERATURA DINÂMICA DEVIDO AO MOVIMENTO DO FLUIDO PELA DIFERENÇA DE TEMPERATURA

Aqui, )2/(2

pCu∞ representa uma elevação ideal de temperatura, se um gás ideal com a velocidade ∞u fosse reduzido adiabaticamente à velocidade zero. Esta definição implica que, se o número de Eckert for pequeno, os efeitos da geração viscosa da energia devido ao movimento do fluido podem ser desprezados em comparação com as diferenças de temperaturas envolvidas no processo de transferência de calor. Lembramos que o termo da dissipação viscosa de energia, que apareceu na equação da energia, e a grandeza do número de Eckert tornam-se o critério para decidir se os efeitos de dissipação viscosa de energia devem ser considerados na análise da transferência de calor.

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Apostila de Transmissão de Calor

65

5) CONVECÇAO FORÇADA NO ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS 5.1) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM TUBO CIRCULAR Os problemas de transferência de calor estacionária e de perda de carga na convecção laminar forçada dentro de um tubo circular, em regiões afastadas da entrada, onde os perfis de velocidades e de temperaturas estão plenamente desenvolvidos, têm grande interesse em numerosas aplicações de engenharia. O fator de atrito e o coeficiente de transferência de calor no escoamento são determinados, respectivamente, a partir do conhecimento da distribuição da velocidade e da distribuição de temperaturas no fluido. 5.1.1) Fator de Atrito

Considere um fluido incompressível, de propriedades constantes, em uma convecção laminar forçada dentro de um tubo de raio R, na região onde o escoamento está hidrodinamicamente desenvolvido. O fator de atrito no escoamento, no interior de um tubo circular, está relacionado com o gradiente de pressão nas paredes pela Eq. (4.18e)

Rrm drdu

uf

=

−= 2

µ (5.1)

A distribuição de velocidades u(r) pode ser determinada a partir da solução das equações do movimento. Foi demonstrado que no escoamento hidrodinamicamente desenvolvido, dentro de um tubo circular, as equações do movimento se reduzem à simples equação escrita na forma:

dzdP

drdur

drd

r µ1)(1

= em 0 < r < R (5.2)

sujeita às condições de contorno

du/dr = 0 em r = 0 (5.3a) u = 0 em r = R (5.3b)

A primeira condição de contorno é a simetria do perfil de velocidades em torno do eixo do tubo, e a segunda é a nulidade da velocidade nas paredes.

No escoamento laminar estacionário, plenamente desenvolvido, dentro de um tubo circular, o gradiente de pressão dP/dz é constante. Então, a solução da Eq. (5.3) dá o perfil das velocidades plenamente desenvolvido u(r).

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Apostila de Transmissão de Calor

66

])(1[)41()( 22

RrR

dzdPru −−=

µ (5.4)

Aqui, a velocidade u(r) é sempre uma grandeza positiva no escoamento na direção positiva dos z, mas o gradiente de pressão dP/dz é uma grandeza negativa. A velocidade média do escoamento um, sobre a seção reta do tubo, é determinada a partir da definição, e fica

dzdPRdrrru

Ru

R

m ∫ −==0

2

2 8)(21

µπ

π (5.5)

uma vez que u(r) é dada pela Eq. (5.4). O significado físico da velocidade média um , implica que a vazão através do tubo é determinada por

vazão = (área da seção reta) um = muR 2π Agora, das Eqs. (5.4) e (5.5), obtemos

])(1[2)( 2

Rr

uru

m

−= (5.6)

Esta relação mostra que o perfil de velocidades u(r)um na região hidrodinamicamente desenvolvida é parabólico. A velocidade uo no eixo do tubo é obtida da Eq. (5.4) quando se faz r = 0;

dzdPRu

µ4

2

0 −= (5.7)

Uma comparação entre os resultados dados pelas Eqs. (5.5) e (5.7) mostra que a velocidade no eixo do tubo é igual ao dobro da velocidade média do escoamento:

muu 20 = (5.8)

O fator de atrito f no escoamento laminar, no interior de um tubo circular, na região hidrodinamicamente desenvolvida, é determinado quando se obtém o gradiente da velocidade a partir da Eq. (5.6)

Du

Ru

drrdu mm

Rr

84)(−=−=

=

(5.9)

e se introduz este resultado na Eq. (5.1),

Re6464

==Du

fmρµ (5.10 a)

onde D é o raio interno do tubo e

vDuDu mm ==

µρ

Re (5.10 b)

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Apostila de Transmissão de Calor

67

é o número de Reynolds. Na literatura, o fator de atrito também se define com base no raio hidráulico. Se fr

representa o fator de atrito baseado no raio hidráulico, ele está relacionado com o fator de atrito definido pela Eq. (5.10 a) por f = 4fr. Isto é, a Eq. (5.10 a), na representação de fr, seria fr = l6/Re, onde µρ /Re Dum= . Este resultado recebe muitas vezes o nome de relação de Hagen-Poiseuille para o fator de atrito em tubos, em virtude dos dados experimentais de Hagen ulteriormente verificados teoricamente por Poiseuille. 5.1.2) Coeficiente de Transferência de Calor.

O coeficiente de transferência de calor no escoamento interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida, está relacionado com o gradiente da temperatura adimensional nas paredes pela Eq. (4.23 b) .

Rrdrrdkh

=

−=)(θ (5.11)

onde θ (r) é definida pela Eq. (4.20b):

)()()(),(

)(zTzTzTzrT

rwm

w

−−

=θ (5.12)

Para determinar h, é necessária a distribuição de temperaturas no escoamento, o que pode ser estabelecido a partir da solução da equação da energia. . Na região hidrodinamicamente desenvolvida, a equação da energia, no escoamento laminar de um fluido incompreensível, dentro de um tubo circular, com dissipação viscosa da energia desprezível pela equação:

2

2

)(1)(1zT

rTr

rrzTru

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

α (5.13)

Em geral, esta é uma equação diferencial parcial para determinar a distribuição de temperaturas no escoamento, e sua solução é bastante complicada. Entretanto, na oonvecção forçada, no interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida, com temperatura da parede constante, ou com fluxo de calor na parede constante, pode-se demonstrar que o termo do gradiente de temperatura axial, na Eq. (5.13), reduz-se a uma constante, isto é,

=∂∂

zT constante

Então, a equação diferencial parcial (5.13) se reduz a uma equação diferencial ordinária no perfil de temperaturas plenamente desenvolvido T®, pois o termo 22 / zT ∂∂ se anula para zt ∂∂ / constante. Vamos examinar agora o problema da transferência de calor com a condição de contorno, fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante na parede, na convecção forçada, no interior de um tubo circular.

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Apostila de Transmissão de Calor

68

5.1.3) Fluxo de Calor Constante.

Demonstra-se que, na condição de fluxo de calor constante na parede, o gradiente de temperatura na direção do escoamento, em qualquer ponto do fluido, é constante e igual ao gradiente axial da temperatura média do fluido. Isto é,

==∂

∂dz

zdTz

zrT m )(),( constante (5.14)

Este resultado implica que, com o fluxo de calor constante na parede, a temperatura média do escoamento Tm(z), na região termicamente desenvolvida, cresce linearmente com a distância z ao longo do tubo. Quando a Eq. (5.14) for introduzida na Eq. (5.13), o termo 22 / zT ∂∂ se anula para zt ∂∂ / constante, e se obtém a seguinte equação diferencial ordinária para T(r):

dzzdTru

drdTr

drd

rm )()(1)(1

α= (5.15)

Esta equação escreve-se em termos da temperatura adimensional θ (r), definida pela Eq. (5.12), como

)]()([)()(1)(1 zTzTdz

zdTrudrdr

drd

rwm

m−=

αθ -1 (5.16 a)

onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido u(r) é dado pela Eq. (5.6)

])(1[2)( 2

Rruru m −= (5.16 b)

As Eqs. (5.16 a) e (5.16 b) são combinadas e escritas mais compactamente como

])(1[)( 2

RrAr

drdr

drd

−=θ em 0 < r < R (5.17 a)

onde a constante A é definida por

=−

=dz

zdTzTzT

uA m

wm

m )()]()([

constante (5.17 b)

As condições de contorno para a Eq. (5.17) são

0=drdθ

em r = 0 (5.18 a)

0=θ em r = R (5.18 b)

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Apostila de Transmissão de Calor

69

A primeira condição de contorno afirma que θ é simétrica em torno do eixo do tubo, e a segunda resulta da definição de θ dada pela Eq. (5.12), pois θ deve ser zero nas paredes. A Eq. (5.17 a) é semelhante à equação de condução de calor estacionária, em coordenadas cilíndricas, e pode ser integrada facilmente, sujeita às condições de contorno das Eqs. (5.18), para dar

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

242

41

161

163)(

Rr

RrARrθ (5.19)

A constante desconhecida A que aparece nesta equação pode ser determinada empregando-se a definição da temperatura média global do fluido. De acordo com a definição da temperatura média global do fluido, dada pela Eq. (4.22b), escrevemos

20

2)()()(

Ru

rdrrrum

m

R

π

πθθ ∫

= (5.20)

onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido u(r) é dado pela Eq. (5.16 b), isto é,

])(1[2)( 2

Rruru m −= (5.21)

As Eqs. (5.19) e (5.21) são introduzidas na Eq. (5.20) e as integrações são feitas. Obtém-se

9611 2ARm =θ (5.22 a)

Também, a definição de θ (r) dada pela Eq. (5.12) permite-nos escrever

1)()()()(

,=

−−

=zTzTzTzTm

wm

wmθ (5.22 b)

Igualando (5.22a) e (5.22b), encontramos

11962 −=AR (5.23)

Introduzindo este resultado de AR2 na Eq. (5.19), obtemos

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

24

41

161

163

1196)(

Rr

Rrrθ (5.24)

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Apostila de Transmissão de Calor

70

A Eq. (5.24) é o perfil de temperaturas adimensionais, na convecção forçada, em um tubo circular, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, com a condição de contorno fluxo de calor constante na parede. Lembramos que este perfil de temperaturas foi empregado para determinar o coeficiente de transferência de calor. Dado o perfil de temperaturas no fluido, o coeficiente de transferência de calor h é obtido imediatamente a partir de sua definição dada pela Eq. (5.11):

Dkh

1148

= (5.25 a)

ou

364,41148

==≡k

hDNu (5.25 b)

onde D é o diâmetro interno do tubo e Nu é o número de Nusselt. O resultado das Eqs. (5.25) representa o coeficiente de transferência de calor, na convecção laminar forçada, no interior de um tubo circular, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, com a condição de contorno fluxo de calor constante na parede. 5.1.4) Parede com Temperatura Constante.

O problema de transferência de calor descrito acima, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, também pode ser resolvido com a condição de contorno parede com temperatura constante; mas a análise é mais elaborada e não será apresentada aqui. O resultado é

657,3=≡k

hDNu (5.26)

que representa o número de Nusselt (ou o coeficiente de transferência de calor) na convecção laminar forçada, no interior de um tubo circular, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, com a condição de contorno parede com temperatura constante. 5.1.5) Estimativa das Propriedades Físicas.

Nos resultados dados pelas Eqs. (5.25) e (5.26), a condutividade térmica do fluido k depende da temperatura. Quando a temperatura do fluido varia ao longo do tubo, k pode ser calculada pela temperatura média global do fluido tb, definida como

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Apostila de Transmissão de Calor

71

)(21 ToTiTb += (5.27)

onde Ti = temperatura volumar do fluido na entrada e To = temperatura volumar do fluido na saída. 5.1.6) Média Logarítmica e Média Aritmética das Diferenças de Temperaturas.

A média logarítmica (MLDT) das duas grandezas 21 TeT ∆∆ é definida como

)/ln( 21

21ln TT

TTT∆∆∆−∆

=∆ (5.28 a)

enquanto a média aritmética (MA) de 21 TeT ∆∆ é definida como

( )2121 TTTMA ∆+∆=∆ (5.28 b)

5.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS COM DIVERSAS SEÇÕES RETAS TRANSVERSAIS

O número de Nusselt e o fator de atrito no escoamento laminar em dutos com diversas seções retas transversais foram determinados na região em que os perfis de velocidade e temperatura estão plenamente desenvolvidos. Se a seção transversal do duto não for circular, então a transferência de calor e o fator de atrito, em muitos casos de interesse prático, podem ser baseados no diâmetro hidráulico Dh, definido como

PA

D ch

4= (5.29)

onde Ac = Área de seção reta transversal do escoamento e P = perímetro molhado. Então, os números de Nusselt e de Reynolds, nestes casos são

KhD

Nu h= (5.30 a)

vDu hm=Re (5.30 b)

5.2.1) Comprimentos da Entrada Hidrodinâmica e da Térmica Há interesse prático em conhecer o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh e o comprimento da entrada térmica Lt no escoamento no interior de dutos. O comprimento da entrada hidrodinâmica Lh é definido, um tanto arbitrariamente, como

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Apostila de Transmissão de Calor

72

a distância, a partir da entrada do duto, necessária para que se atinja uma velocidade máxima correspondente a 99% da grandeza plenamente desenvolvida. O comprimento da entrada térmica Lt é definido, um tanto arbitrariamente, como a distância, a partir do começo da seção de transferência de calor, necessária para se atingir um número de Nusselt local Nux igual a 1,05 vez o valor plenamente desenvolvido. Se a transferência de calor para o fluido principia na entrada do fluido no duto, tanto a camada limite cinética como a camada limite térmica começam a se desenvolver imediatamente, e Lh e Lt são ambos medidos a partir da boca do tubo, como está na Fig. 5.1a.

Em algumas situações, a transferência de calor para o fluido começa após uma seção isotérmica acalmante, como está na Fig. 5.1b. Neste caso, Lh é medido a partir da entrada do duto, pois a camada limite cinética começa a se desenvolver imediatamente após a entrada do fluido no duto, mas Lt é medido a partir da posição onde se inicia a transferência de calor, pois a camada limite térmica começa a se desenvolver na seção de transferência de calor.

Os comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica, no escoamento laminar no interior de condutos, foram dados por vários autores. Apresentamos na Tabela 5.1 o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh no escoamento laminar no interior de condutos de várias seções transversais, baseados na definição mencionada anteriormente. Incluímos nesta tabela os comprimentos da entrada térmica nas condições de contorno temperatura da parede constante e fluxo de calor constante nas paredes, num escoamento hidrodinamicamente desenvolvido, mas termicamente em desenvolvimento. Nesta tabela, Dh é o diâmetro hidráulico e o número de Reynolds está baseado neste diâmetro.

Notamos, na Tabela 5.1, que, numa dada geometria, o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh depende apenas do número de Reynolds, enquanto o comprimento da entrada térmica Lt depende do número de Péclét, Pe, que é igual ao produto dos números de Reynolds e Prandtl. Por isso, líquidos que têm um número de Prandtl da ordem da unidade têm Lh e Lt com grandezas comparáveis; nos fluidos como os óleos, que têm um número de Prandtl grande, temos Lt>Lh e, nos metais líquidos, que tem um número de Prandtl pequeno, temos Lt<Lh.

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Apos

Fig. 5

Tab.

escoComtempé o eno e

stila de Tra

5.1 comprimboca do

5.1 Compri

Os com

oamento hmo discutirperaturas sescoamentescoament

ansmissão

mentos da eduto; (b) a t

imento da e

mprimentohidrodinamremos mase desenvoto com desto com de

o de Calor

entrada hidrotransferênc

ntrada hidro

s da entmicamente ais tarde, olvem simsenvolvimeesenvolvim

odinâmica eia de calor s

odinâmica ede du

trada térmdesenvol

em muitoultaneameento simult

mento simu

e térmica: (ase inicia dep

e térmica Lhutos

mica, dadlvido e seos casos ente na regtâneo. Os ultâneo tam

a) a transferpois de uma

Lt no escoa

dos na Te desenvoos perfis

gião de entcomprimenmbém dep

rência de caa seção isot

amento lami

Tabela 5.1olvendo tede veloc

trada. Estentos da enpendem do

alor se iniciatérmica.

inar no inter

1, valem ermicamen

cidades e e escoamentrada térmo número

73

a na

rior

no nte.

de ento mica

de

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Apostila de Transmissão de Calor

74

Prandtl. Por exemplo, no escoamento que se desenvolve simultaneamente dentro de um tubo circular, com temperatura constante nas paredes, o comprimento da entrada térmica Lt é

037,0=DPeLt com Pr =0,7

que deve ser comparada com

∞→= Pr..033,0 comDPeLt

que corresponde ao número dado na tabela 5.1 para o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido e termicamente em desenvolvimento. Portanto, Lt cresce quando o número de Prandtl diminui e é uma função fraca de número de Prandtl para Pr > 0,07. 5.3 ESCOAMENTO TURBULENTO NO INTERIOR DE DUTOS

O escoamento turbulento é importante nas aplicações de engenharia, pois aparece na grande maioria dos problemas de escoamento de fluido e transferência de calor encontrados na prática da engenharia.

5.3.1) Fator de Atrito e Perda de Carga

Considere um escoamento turbulento, plenamente desenvolvido, com uma velocidade média de mu através de um tubo circular de diâmetro interno D. A perda de carga P∆ sobre o comprimento L do tubo pode ser determinada segundo a equação:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=∆ 2

2

2.

mNu

DL

fP mρ (5.31)

onde: =f fator de atrito no escoamento. O fator de atrito no escoamento laminar, dentro de um tubo circular, pode ser encontrado por método puramente teórico e

demonstrou-se que vale Re64

=f . No caso de escoamento turbulento, entretanto um

certo empirismo se introduz em sua dedução, pois se emprega um perfil de velocidades semi-empírico nesta análise.

( ) 8,0Relog0,21

−= ff

(5.32 a)

Esta relação concorda com as experiências e é utilizada para determinar o fator de atrito no escoamento turbulento, no interior de canos lisos. A fig. 5.2 mostra a

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Apostila de Transmissão de Calor

75

comparação entre a equação (5.32 a) e as experiências de vários pesquisadores; aqui, as experiências de Nikuradse cobrem uma faixa de número de Reynolds até 3,4x106. A equação implícita (5.32 a) é aproximada quase exatamente pela seguinte expressão explícita

2)64,1Relog82,1( −−=f (5.32 b)

NiKuradse fez extensas experiências com escoamento turbulento no interior de canos

artificialmente rugosos, em uma faixa muito grande de rugosidade relativa Dλ

( isto é, a

altura da saliência dividida pelo diâmetro), de cerca de 1/1000 até 1/30. A rugosidade do grão de areia, utilizada nessas experiências, foi adotada como padrão para efeitos de rugosidade. Também foi desenvolvida uma correlação do fator de atrito para o escoamento turbulento no interior de tubos rugosos baseada em experiências feitas com tubos rugosos. A fig. 5.3 mostra uma carta do fator de atrito, originalmente apresentada por Moody para o escoamento turbulento no interior de tubos lisos e rugosos. A curva do tubo liso é baseada na equação

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

=LyemT

yemTyT

..0..

)(1

0

Também está incluído nesta figura o fator de atrito Re64

=f do escoamento laminar no

interior de tubos circulares.

Fig. 5.2. Lei de atrito no escoamento turbulento dentro de tubos lisos e dados experimentais de

vários pesquisadores.

É evidente que, no escoamento laminar, a rugosidade da superfície não tem efeito sobre o fator de atrito; no escoamento turbulento, entretanto, o fator de atrito é um mínimo para o tubo liso. O escoamento laminar está confinado à região Re < 2000. A turbulência transicional ocorre na região 2000<Re<10000. O escoamento plenamente turbulento ocorre na região Re>104. Nos tubos lisos, foram dadas expressões analíticas mais simples, porém aproximadas, para o fator de atrito na forma

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Apostila de Transmissão de Calor

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f = 0,316Re-0,25 para Re < 2 x 104 f = 0,184Re-0,2 para 2 x 104 <Re < 3 x 105

Estes resultados se aplicam ao escoamento turbulento hidrodinamicamente desenvolvido. O desenvolvimento hidrodinâmico no escoamento turbulento ocorre para x/D muito menor do que no escoamento laminar. Por exemplo, as condições de escoamento hidrodinamicamente desenvolvido ocorrem para x/D maior do que cerca de 10 a 20.

Fig. 5.3. Fator de atrito para ser utilizado na relação 2/.)(/( 2

mUDLfP ρ=∆ para a perda de carga em um escoamento no interior de tubos circulares. ( De Moody.)

5.4) COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Uma vez que a análise de transferência de calor no escoamento turbulento é muito mais elaborada do que no escoamento laminar, foi desenvolvido um grande número de correlações empíricas para determinar o coeficiente de transferência de calor. Apresentaremos algumas destas correlações. 5.4.1) Equação de Colburn.

Nu = 0,023 Re0,8 Pr1/ 3 (5.33) onde Nu = hD/ K, Re = ,/ vDmu e Pr = αν / . A equação (5.33) pode ser aplicada quando

0,7 < Pr < 160 Re > 10000 L/ D > 60 em tubos lisos

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Apostila de Transmissão de Calor

77

5.4.2) Equação de Dittus-Boelter.

Nu = 0,023 Re0,8 Pr n (5.34)

onde n = 0,4 no aquecimento (Tw > Tb) e n = 0,3 no resfriamento (Tw < Tb) do fluido. A faixa de aplicabilidade é a mesma que a da equação de Colburn. 5.4.3) Equação de Sieder e Tate. Nas situações que envolvem grande variações de propriedades:

Nu = 0,027 Re0,8 Pr1/ 3 14,0.. )/( wb µµ (5.35)

Esta equação é aplicável quando

0,7 < Pr < 16700 Re > 10000 L/ D > 60 em tubos lisos

Todas as propriedades são estimadas na temperatura média global do fluido Tb, exceto

wµ que é calculado à temperatura da parede. 5.4.4) Equação de Petukhov. As relações que acabamos de apresentar são relativamente simples, mas dão um erro máximo de ± 25% na faixa de 0,67 < Pr < 100 e podem ser aplicadas no escoamento turbulento em dutos lisos. Uma correlação mais precisa, que é também aplicável em dutos rugosos, foi desenvolvida por PetuKhov e colaboradores no Instituto de Altas Temperaturas de Moscou:

2/13/2

8)1(Pr7,1207,1

8Pr.Re

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fX

fX

Nn

w

bu

µµ

(5.36)

n = 0,11 aquecimento com Tw uniforme (Tw > Tb) 0,25 esfriamento com Tw uniforme ( Tw < Tb)

0 fluxo de calor uniforme na parede ou gases As Eqs. (5.36) são aplicáveis no escoamento turbulento plenamente desenvolvido na faixa

104 < Re < 5x106 0,5 < Pr < 200 com erro de 5 a 6%

0,5 < Pr < 2000 com erro de 10%

0,08 < b

w

µµ

< 40

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Apostila de Transmissão de Calor

78

Notamos que b

w

µµ

< 1 quando o líquido for aquecido e b

w

µµ

> 1 quando o líquido for

resfriado. Todas as propriedades físicas, exceto wµ , são estimados na temperatura média global. O fator de atrito f , nas equações (5.36), pode ser estimado pelo diagrama de Moody para tubos lisos, ou obtido da carta de Moody (fig. 5.3) para tubos lisos ou rugosos. 5.4.5) Equação de Nusselt. As relações anteriores são aplicáveis no domínio L/D > 60. Nusselt estudou os dados experimentais com L/D de 10 a 100 e concluiu que h, neste domínio, é aproximadamente proporcional a (D/L)1/ 8. Daí substituiu a Eq. (5.35) por

Nu 40010PrRe036,0055,0

3/18,0 <<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

DLem

LD (5.37)

onde L é o comprimento medido do princípio da seção de transferência de calor, e as propriedades do fluido são calculadas à temperatura média global do fluido. 5.4.6) Equação de Notter e Sleicher. O número de Nusselt é determinado teoricamente a partir da solução da equação da energia com o emprego de um perfil apropriado de velocidades no escoamento turbulento. O número de Nusselt resultante, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, foi expresso na forma

Nu = 5 + 0,016 ba PrRe (5.38) onde

a= 0,88 - Pr4

24,0+

e b = 0,33 + 0,5e-0,6.Pr

que é aplicável em 0,1 < Pr < 104 104 < Re < 106

25>DL

A Eq. (5.38) correlaciona bem os dados experimentais e proporciona uma representação mais exata do efeito do número de Prandtl. Pode ser preferida à Eq. (5.37).

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Apostila de Transmissão de Calor

79

5.5) TRANSFERÊNCIA DE CALOR NOS METAIS LÍQUIDOS

Os metais líquidos são caracterizados pelo número de Prandtl muito baixo, variando de cerca de 0,02 a 0,003. Por isso, as correlações de transferência de calor das seções anteriores não se aplicam aos metais líquidos, pois sua faixa de validade não se estende a valores tão baixos do número de Prandtl. O Lítio, o Sódio, o Potássio, o Bismuto e o sódio-potássio estão entre os metais comuns de baixo ponto de fusão que são convenientes para a transferência de calor. Há interesse, para a engenharia na transferência de calor em metais líquidos, pois se podem transferir grandes quantidades de calor em altas temperaturas com diferença de temperatura relativamente baixa entre o fluido e a superfície da parede do tubo. As altas taxas de transferência de calor resultam da alta condutividade dos metais líquidos, comparada com a condutividade dos líquidos e gases ordinários. Por isso, são particularmente atraentes como meio de transferência de calor nos reatores nucleares e em muitas outras aplicações em alta temperatura e com elevado fluxo de calor. A principal dificuldade no emprego dos metais líquidos está em seu manuseio. São corrosivos e alguns podem provocar violentas reações quando entram em contato com o ar ou a água. Como se discutiu no Cap. 4, quando Pr<1, como nos metais líquidos, a camada limite térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética. Isto implica que o perfil de temperaturas, e, portanto, a transferência de calor nos metais líquidos não é influenciada pela subcamada laminar ou pela viscosidade. Desse modo, nesses casos, espera-se uma dependência bastante fraca entre a transferência de calor e o número de Prandtl. Por isso, a maior parte das correlações empíricas da transferência de calor com metais líquidos foi estabelecida fazendo-se o gráfico do número de Nusselt contra o número de Péclét, Pe = Re.*Pr. Esta situação, discutida inicialmente com referência ao escoamento sobre uma placa plana, também se aplica ao escoamento num tubo circular, como está ilustrado na figura 5.4. Nesta figura os números de Nusselt no aquecimento de metais líquidos em tubos longos, sujeitos a um fluxo de calor constantes nas paredes, compiladas de várias fontes por Lubarsky e Kaufman, estão plotados contra os números de Péclét. Os dados parecem ter boa correlação, mas há também espalhamento. A explicação está nas dificuldades inerentes às experiências com metais líquidos, especialmente em ter que se tratar com altas temperaturas e diferenças de temperatura muito pequenas. O fato de alguns metais líquidos não molharem a superfície sólidas também é considerado uma possível explicação para alguns valores medidos do número de Nusselt serem mais baixos do que as previsões teóricas. Resumiremos algumas correlações empíricas e teóricas para a transferência de calor nos metais líquidos, no escoamento turbulento plenamente desenvolvido, dentro de um tubo circular, com fluxo de calor constante nas paredes e também temperatura constante da parede como condição de contorno.

Page 80: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

80

Fig. 5.4. Números de Nusselt medidos no aquecimento de metais líquidos em tubos longos,

circulares, com fluxo de calor constante nas paredes. 5.5.1) Fluxo de Calor Uniforme nas Paredes Lubarsky e Kaufman propuseram a seguinte relação empírica para calcular o número de Nusselt, no escoamento turbulento plenamente desenvolvido, de metais líquidos em tubos lisos.

Nu = 0,625 Pe 0,4 (5.39) número de Péclét ≡ Pe = Re . Pr para 102 < Pe < 10 4, L/D > 60, e as propriedades são calculadas à temperatura média global do fluido. Skupinski, Tortel e Vautrey, baseados nas experiências de transferência de calor feitas com misturas de sódio e potássio, recomendaram a seguinte expressão para metais líquidos em escoamento turbulento plenamente desenvolvido, dentro de tubos lisos:

Nu = 4,82 + 0,0185 Pe 0,827 (5.40)

para 3,6 x 10 3 < Re < 9,05 x 10 5, 10 2 < Pe <10 4 e L/D > 60. As propriedades físicas são calculadas à temperatura média global do fluido. A Eq. (5.39) prevê número de Nusselt mais baixo que a Eq. (5.40); é previsão conservadora. 5.5.2) Temperatura Uniforme nas Paredes

Seban e Shimazaki utilizaram a analogia entre a transferência de momento e a transferência de calor e propuseram a expressão seguinte para metais líquidos em tubos lisos, com temperatura uniforme nas paredes:

Nu = 5,0 + 0,025 Pe 0,8 (5.41)

Page 81: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

81

para Pe > 100, L/D > 60, e lpropriedades físicas calculadas à temperatura média global do fluido. Também foram desenvolvidas expressões para o número de Nusselt no escoamento turbulento, plenamente desenvolvido, de metais líquidos em tubos lisos, sujeitos à condição de contorno temperatura uniforme nas paredes, mediante ajustes empíricos dos resultados das soluções teóricas. Apresentaremos agora os resultados destes ajustes: Sleicher e Tribus:

Nu = 4,8 + 0,015 Pe 0,91 Pr 0,30 para Pr < 0,05 (5.42)

Azer e Chão: Nu = 5,0 + 0,05 Pe 0,77 Pr 0,25 para Pr < 0,1, Pe < 15000 (5.43)

Notter e Sleicher

Nu = 4,8 + 0,0156 Pe 0,85 Pr 0,08 para 0,004 < Pr <0,1, Re < 500000 (5.44)

Page 82: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

6) CO 6.1) UMA

que frontcomvalofor cparti

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DE CALOR

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W

y

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∂∂

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MENTO

COAMENTO

fluido, ou calor se inmite cinétra relativa

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o fluido e

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1 (gases)

isso, a cé,δt> δ).

m metais líq

SOBR

O SOBRE

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(6

e da pare

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o do papel , que envo

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82

RE

E

ido, rda

mica do

mite o a

6.1)

ede,

da de

s. A este

da olve

mite

1.

Page 83: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

83

A Fig. 6.1 ilustra as camadas limites cinética e térmica quando ambas começam a se desenvolver a partir da borda frontal da placa plana. Sejam T∞ e u∞ a temperatura e a velocidade do fluido, respectivamente, fora das camadas limites; TW é a temperatura da superfície da placa. Admitiremos um fluido incompressível, de propriedades constantes, num escoamento bidimensional, estacionário, com dissipação viscosa de energia desprezível. A equação da energia, que governa a distribuição de temperaturas T(x, y) na camada limite térmica, é obtida pela equação:

2

2

yT

yTv

xTu

∂∂

=∂∂

+∂∂ α (6.2)

Para conveniência de análise, definimos uma temperatura adimensional θ (x, y) como

( )w

w

TTTyxT

yx−

−=

),(,θ (6.3)

onde θ(x, y) varia de zero na superfície da parede até a unidade na extremidade da camada limite térmica. Então, a equação da energia é escrita em termos de θ(x, y) como

2

2

yyv

xu

∂∂

=∂∂

+∂∂ θαθθ para x > 0 (6.4)

e as condições de contorno são

θ = 0 em y = 0 (6.5 a) θ = 1 em y = )x(tδ (6.5 b)

onde as Eqs. (6.5 a) e (6.5 b) dão, respectivamente, a temperatura na superfície da parede igual a Tw, e a temperatura na fronteira da camada limite térmica, com espessura )x(tδ , igual a T ∞ .

A análise exata deste problema de temperatura é bastante elaborada, pois as componentes da velocidade u e v devem ser determinadas a partir do problema cinético antes que a equação da energia (6.4) possa ser resolvida.

Entretanto, uma solução aproximada deste problema, com o método integral, é relativamente simples. Os passos básicos são os seguintes: A equação da energia (6.4) é integrada em relação a y na camada limite térmica, e a

componente da velocidade v(x, y) é eliminada por meio da equação da continuidade. A equação resultante, chamada a equação integral da energia, é dada por

ty

yemdyddyu

dxd t δθαθ

δ≤≤=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

=∫ 0.)1(

00

(6.6)

Page 84: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

84

onde )(xtt δδ ≡ ),(),( yxeyxuu θθ ≡≡ . Até aqui, a análise e a Eq. (6.6) são exatas, mas esta equação não pode ser resolvida, pois ela envolve três incógnitas )x(tδ

),(),,( yxyxu θ . Por isso, precisamos de relações adicionais. Neste estágio são introduzidas aproximações a fim de desenvolverem-se expressões analíticas simples para u(x, y) e θ (x, y) coerentes com a realidade física. Uma vez que a camada limite cinética é muito delgada, a velocidade do escoamento em uma grande porção da camada limite térmica é uniforme e igual a u∞, como está ilustrado na Fig. 6.1. Por isso, numa primeira aproximação, o perfil de velocidades é tomado como

u (x, y) = u ∞ = constante (6.7)

O perfil de temperaturas θ (x, y) pode ser representado como uma aproximação polinomial dentro da camada limite térmica. Suponhamos uma aproximação cúbica para θ (x, y), com a forma

θ (x,y)= c0 +c1(x)y + c2(x)y2 + c3(x)y3 )x(y0em tδ≤≤ (6.8)

e que as quatro condições necessárias para determinar os quatro coeficientes tenham a forma

θ = 0 em y = 0 (6.9 a) θ = 1 em y = tδ (6.9 b)

0y

=∂∂θ em y = tδ (6.9 c)

0y2

2

=∂∂ θ em y = 0 (6.9 d)

Notamos que as duas primeiras condições são as condições de contorno, a terceira está baseada na definição da camada limite térmica, e a última é obtida pela estimativa da equação da energia (6.4) em y = 0, observando-se que u = v = 0 na superfície da parede. A aplicação das condições (6.9) à Eq. (6.8) dá o perfil de temperaturas na forma

3

tt

y21y

23)y,x( ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

δδθ (6.10)

Os perfis de velocidades e de temperaturas, dados pelas Eqs. (6.7) e (6.10), são introduzidos na equação integral da energia (6.6). Obtemos

Page 85: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

85

t0

3

tt 23dyy

21y

231u

dxd t

δα

δδδ

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∫ ∞ (6.11)

onde o segundo membro vem da relação [ ( ).2/3]y/ t0y δθ =∂∂ = Quando se faz a integração em relação a y, a equação diferencial ordinária para a espessura tδ da camada limite térmica:

t

t

23

dxd

83u

δαδ

=∞

ou (6.12)

dxu4d tt

=αδδ

A integração da Eq. (6.12), com as condições 0t =δ em x = 0, dá a espessura da camada limite térmica como

xu82

t∞

=αδ (6.13 a)

ou

=u

x8t

αδ (6.13 b)

O gradiente de temperatura na parede, com o perfil cúbico da temperatura, Eq. (6.10), fica

t0y 23

y δθ

=∂∂

=

(6.14)

e o coeficiente de transferência de calor, definido pela Eq. (6.1), escreve-se em termos de )y,x(θ , como

0yyk)x(h

=∂∂

=θ (6.15)

A partir das Eqs. (6.14) e (6.15), temos

t

k23)x(h

δ= (6.16)

Levando tδ da Eq. (6.13 b) para a equação (6.16), determina-se o coeficiente de transferência de calor local h(x) como

PrRexk

823v

vxu

xk

823

xu

82k3)x(h x=== ∞∞

αα (6.17)

Page 86: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

86

O número de Nusselt local Nux no escoamento laminar de metais líquidos sobre uma placa plana mantida a uma temperatura uniforme fica

21xxx Pe530.0PrRe

823

kx)x(hNu === (6.18)

== ∞

vxuRex número de Reynolds local

==αvPr número de Prandtl

=== ∞

αxuPrRePe xx número local de Péclét

A solução dada pela Eq. (6.18) foi obtida por uma análise aproximada. Este resultado deve ser comparado com a solução exata de Pohlhausen para este problema de transferência de calor, no caso limite Pr → 0, dada por '

Nux = 0,564 2/1xPe (exato) para Pr → 0 (6.19)

Esta equação foi deduzida sob a hipótese de que Pr → 0; na prática, esta hipótese implica que se trata de metais líquidos (isto é, Pr < 0,05). A solução aproximada, dada pela Eq. (6.18), é razoavelmente próxima deste resultado exato.

No começo desta análise, estabelecemos que nos metais líquidos a camada limite cinética é muito menor do que a camada limite térmica. Para testar a validade desta afirmação, dividamos a espessura da camada limite cinética δ (x), pela espessura da camada limite térmica )x(tδ , Eq. (6.13 b). Obteremos

Pr692,2813

280)()(

== ∞

∞ xu

uv

xx x

t αδδ

Nos metais líquidos, com Pr ≅ 0,01, encontramos

164,0)x()x(

t

=δδ (6.20)

o que mostra, nos metais líquidos, ser δ (x) < tδ (x). 6.1.2) Fluidos Ordinários em Escoamento Laminar

Examinaremos agora a determinação do coeficiente de transferência de calor no escoamento laminar de fluidos ordinários, que tem Pr > 1, sobre uma placa plana mantida a uma temperatura uniforme. Admite-se que um fluido, a uma temperatura T ∞ , flui com a velocidade u ∞ sobre uma placa plana. O eixo x é paralelo à placa, na direção do escoamento, com a origem x = 0 na borda frontal, e o eixo y é perpendicular à placa,

Page 87: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

no s≤ x calocamResstérmenqutranspropdissi

e as

onde com

1

que incóg

stila de Tra

sentido da ≤ x0 e a u

r entre a padas limitsaltamos q

mica, pois uanto tδ (xsferência

priedades ipação visc

condições

e θ é definUma vezplicada, no

1. A equaçtérmicada conti

é a mesmgnitas, (tδ

ansmissão

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x) começade calor

constantescosa desp

Fig. 6.2 Ca

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nido pela E que a ovamente

ção da en, e a compinuidade. A

ma Eq. (6),,(),( yxux θ

o de Calor

a o fluido. Aeratura unfluido não

a e térmicmada limitδ (x) com

a a se der. Novames num escrezível. A e

xu

∂∂θ

amadas limit

rno são θθ

Eq. (6.3). análise econsiderem

ergia (6.21ponente deA equação

udxd tδ

⎢⎣⎡∫0

6.6). Esta ),( yxθ . Po

A placa é iforme Tw,

o começa ca na situae cinética

meça a seesenvolverente, admcoamento equação d

yv

x=

∂∂

+θθ

te cinética e

0= em y =1=θ em y

xata destmos a solu

1) é integre velocidad

o integral d

( )dyu θ =⎥⎦⎤−1

equação nr isso prec

mantida a na regiãoaté a posação físicé mais e

e desenvor em x = mitiremos

bidimensida energia

2

2

y∂∂ θα em

e térmica, nu

= 0 = )(xtδ

te problemução pelo m

rada em rede v(x,y) éa energia

y

eyθα

∂∂

==0

não pode cisamos de

uma tempo x > xo. Istição x = xa que aca

espessa dolver na bxo, onde um fluid

ional, estana camad

m x > xo

um fluido co

ma de temétodo int

elação a y é eliminadaé determin

tyem δ≤≤0

ser resolve relações

peratura Tto é, a tranxo. A Fig. abamos do que a corda frontprincipia

o incompacionário, a limite é

om Pr > 1

mperaturaegral:

sobre a ca por meionada como

t

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∞ na regiãnsferência6.2 ilustra

de descrevcamada limtal da plaa seção

pressível, laminar, c

(6.

(6.22 (6.22

a é basta

camada limo da equaço

(6.

envolve ts.

87

ão 0 de as

ver. mite aca,

de de

com

21)

2 a) 2 b)

ante

mite ção

23)

três

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Apostila de Transmissão de Calor

88

2. Introduzimos aproximações para desenvolver expressões analíticas de u(x,y) e de )y,x(θ . Para o perfil de velocidades, u(x,y), escolhemos uma aproximação polinomial cúbica e tomamô-la na forma

3y

21y

23

u)y,x(u

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∞ δδ (6.24)

Para o perfil de temperaturas )y,x(θ , escolhemos um perfil cúbico e imediatamente obtemos a sua expressão pela Eq. (6.10)

3

tt

y21y

23)y,x( ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

δδθ (6.25)

3. Os perfis de velocidades e de temperaturas dados pelas Eqs. (6.24) e (6.25), são

levados á equação integral da energia (6.23). Obtemos

t

3

tt

3

t0 2

3dyy21y

231y

21y

23u

dxd t

δα

δδδδδ

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∫∞ (6.26 a)

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−∫ u2

3dyy4

1y4

3y21y

43y

49y

23

dxd

t0

63t

34

t3

33

43t

2

t

t

δα

δδδδδδδδδδδ

(6.26 b)

A integração em relação a y é então realizada:

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−

u23

281

203

81

203

43

43

dxd

t3

4t

3

4t

3

4t

2t

2t

2t

δα

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

(6.27)

Agora, uma nova variável )x(∆ é definida como a razão entre a espessura da camada limite térmica e a espessura da camada limite cinética:

)x()x(

)x( t

δδ

∆ = (6.28)

Então, a Eq.(6.27) se torna:

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

u23

2803

203

dxd 42

∆δα∆∆δ (6.29)

Consideraremos agora a situação em que a espessura da camada limite térmica é menor do que a espessura da camada limite cinética δ , como está ilustrado na Fig 6.2, para Pr>1. Então, ∆ <1, e na Eq. (6.29), o termo (3/280) 4∆ pode ser desprezado em comparação com (3/20) 2∆ . A Eq. (6.29) é simplificada para

Page 89: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

89

=u

10)(dxd 2 α∆δ∆δ (6.30)

Feita a derivação em relação a x,

=∆

∆+∆

∆udx

ddxd αδδ 102 322

ou

=+u

10dxd

dxd

32 3

32 αδδ∆∆δ (6.31)

uma vez que

dxd

31

dxd 3

2 ∆∆∆ =

A espessura da camada limite cinética δ foi determinada como

=uvx

132802δ (6.32 a)

e derivando obtemos

=uv

13140

dxdδδ (6.32 b)

A substituição das equações (6.32) na equação (6.31) leva a

v5639

43

dxdx 3

3 α∆∆=+ (6.33)

Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem em 3∆ e sua solução geral é escrita como

v1413Cx)x( 433 α∆ += − (6.34)

A constante de integração C é determinada pela condição de contorno 0t =δ em x = xo, que é equivalente a

0)x( =∆ em x = xo (6.35) Encontraremos

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= −

43

013

xx

1Pr1413)x(∆ (6.36)

onde

==αvPr número de Prandtl

Se admitimos que a transferência de calor para o fluido principia na borda frontal da placa, fazemos 0x0 → e a Eq. (6.36) simplifica-se para

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Apostila de Transmissão de Calor

90

31

31

31

t Pr976,0Pr1413

)x()x(

)x(−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

δδ

∆ (6.37)

Esta relação mostra que a razão entre a espessura da camada limite térmica e da cinética, num escoamento laminar sobre uma placa plana, é inversamente proporcional à raiz cúbica do número de Prandtl. A substituição de )x(δ , da Eq. (6.32 a), na Eq. (6.37) dá a espessura da camada limite térmica como

3121x

t PrRex53,4)x( =δ (6.38)

onde

vxu

Re x∞=

Na aproximação polinomial cúbica considerada aqui para )y,x(θ , o coeficiente de transferência de calor local h(x) foi relacionado anteriormente com a espessura da camada limite térmica )x(tδ , pela Eq. (6.16).

)x(k

23)x(h

tδ= (6.39)

Introduzindo-se )x(tδ , da Eq. (6.38), na Eq. (6.39), encontra-se o número de Nusselt local Nux,

2/1x

3/1x RePr331,0

kx)x(hNu == com Rex<5*105 (6.40)

Esta solução aproximada é notavelmente próxima da solução exata deste problema, dada por Pohlhausen, como

2/1x

3/1x RePr332,0Nu = (exata) com Rex<5*105 (6.41)

Note que a relação de transferência de calor, dada pela Eq. (6.40), foi deduzida por uma análise aproximada com a hipótese δδ <t ou Pr>1. Entretanto, a comparação com os resultados exatos mostra que ela é válida no domínio 0,6<Pr<10, que cobre muitos gases e líquidos. Para grandes valores do número de Prandtl, os cálculos exatos de Pohlhausen mostram que o número de Nusselt local, Nux, é dado por

2/1x

3/1x RePr339,0Nu = (exata) com ∞→pr e Rex<5*105 (6.42)

Para calcular o coeficiente de transferência de calor a partir das relações acima,

recomenda-se que as propriedades do fluido sejam calculadas na média aritmética

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Apostila de Transmissão de Calor

91

entre a temperatura da parede Tw e a temperatura do escoamento externo ∞T , isto é, Tf=(1/2)(Tw+ ∞T ), a chamada temperatura películar.

Nas aplicações de engenharia, define-se um coeficiente de transferência de calor médio hm sobre o comprimento da placa, desde x = 0 até x = L,

∫=L

0m dx)x(hL1h (6.43)

Notando que hx = x -1/2, encontramos que o coeficiente de transferência de calor médio no escoamento laminar paralelo a uma placa plana, sobre a distância de x = 0 até x = L, é dado por

Lxm )x(h2h=

= (6.44)

Então, os números de Nusselt médios, no escoamento laminar paralelo à placa plana, são dados por

2/1L

3/1m RePr664,0Nu = (exata)0,6<Pr<10 (6.45 a)

2/13/1 RePr678,0 LmNu = (exata) ∞→Pr (6.45 b)

onde

kLh

Nu mm =

vLu

ReL∞=

e as propriedades são estimadas na temperatura pelicular. A Eq. (6.45 b), deduzida para o caso limite Pr ∞→ , é aplicável aos fluidos que têm um número de Prandtl grande, como os óleos. 6.1.3) Escoamento Turbulento A transição do escoamento laminar para o turbulento ocorre no domínio dos números de Reynolds entre 2 x 105 e 5 x 105, no escoamento sobre uma placa plana. As correlações da transferência de calor podem ser desenvolvidas no escoamento turbulento sobre uma placa plana utilizando-se as relações entre o coeficiente de transferência de calor e o de arraste dados pela Eq. (6.15a)

2Pr 3/2 CxSt x = (6.46)

Por exemplo, se Cx for obtido da equação 2.0

xRe0592,0Cx −= encontraremos

752.03/2 10Re105.Re0296,0Pr <<= −xxx xcomSt (6.47 a)

ou Cx é

97584,23/2 10Re10.)Re(log185,0Pr <<= −xxx comSt (6.47 b)

Page 92: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

92

e todas as propriedades são calculadas na temperatura pelicular. Mais recentemente, Whitaker utilizou os dados experimentais de Zukauskas e Ambrazyavichyus e modificou a expressão de Colburn, para desenvolver a seguinte correlação para a camada limite turbulenta sobre uma placa plana:

Nux = 43,08,0x PrRe029,0 (6.48)

válida de Rex > 2 *105 até 5 *105; todas as propriedades são calculadas na temperatura pelicular. Nas aplicações práticas, há interesse no coeficiente de transferência de calor médio hm na distância 0 ≤ x ≤ L da placa. Quando o escoamento é turbulento, é sempre precedido por uma camada limite laminar na qual a equação que governa a transferência de calor é diferente da que governa o escoamento turbulento. Por isso, a promediação deve ser feita em ambas as regiões, como descreveremos agora. Admita um escoamento laminar na região 0 ≤ x ≤ c e turbulento na região c < x ≤ L. Os coeficientes de transferência de calor locais, nestas duas regiões, são obtidos das Eqs. (6.41) e (6.48), respectivamente, como

emvxu

xkhl

x3/1

2/1

Pr332,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∞ 0 ≤ x ≤ c (laminar)

emPrv

xuxk029,0h 43,0

8,0lx ⎟

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∞ c<X ≤ L (turbulento)

O coeficiente de transferência de calor médio hm, na região 0 ≤ x ≤ L é definido como

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += ∫∫

L tx

C Lxm dxhdxh

Lh

00

1

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∫∫ −∞−∞ L

c

2,043,08,0

c

0

5,03/15,0

m dxxPrv

uk029,0dxxPr

vu

k332,0L1h (6.49 a)

e o número de Nusselt médio, Num, na região 0 ≤ x ≤ L, é

kLh

Nu mm = (6.49 b)

Depois de feitas a integrações, o número de Nusselt médio nas regiões de escoamento Laminar e turbulento é

( ) 5,0c

3/18,0c

8,0L

43,0m RePr664,0ReRePr036,0Nu +−= (6.50)

válida para ReL > Rec, onde ReL = u ∞ L/v e Rec = número de Reynolds crítico para a transição. Evidentemente, o Num, dado pela Eq. (6.50), depende do valor do número de Reynolds crítico da transição do escoamento laminar para o turbulento. O nível da turbulência da corrente livre afeta a transição. Quando há geração elevada da turbulência na corrente livre, a transição para o escoamento turbulento ocorre em um

Page 93: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

93

número de Reynolds crítico mais baixo. Entretanto, se se tomar cuidado para eliminar a turbulência da corrente livre, retarda-se a transição para o escoamento turbulento. Com o número de Reynolds crítico Rec = 2 * 105, a Eq. (6.50) se torna

( ) 3/18,0L

43,0m Pr29717400RePr036,0Nu +−= (6.51)

O último termo do segundo membro pode ser aproximado por

43,03/1 Pr297Pr297 ≅ e a correção de viscosidade pode ser introduzida multiplicando-se o segundo membro da expressão resultante por 25,0

w )/( µµ ∞ . Então, obtém-se a seguinte expressão:

( )9200RePr036,0Nu 8,0L

43,0m −= 25,0

w )/( µµ ∞ (6.52)

Todas as propriedades físicas são calculadas na temperatura da corrente livre, excetowµ , que é calculado na temperatura da parede. Nos gases, a correção de viscosidade é

desprezível, e, neste caso, as propriedades físicas são calculadas na temperatura pelicular. A Eq. (6.52) dá o número de Nusselt médio nas camadas limite laminar e turbulenta, sobre uma placa plana, com ReL > 2 *105. Foram propostas por Whitaker e usadas para correlacionar os dados experimentais de vários investigadores com o ar, a água e óleos, cobrindo as seguintes faixas:

2 * 105 < ReL < 5,5 * 106 0,70 < Pr < 380

0,26 < µµ /∞ < 3,5

A Eq. (6.52) relaciona os dados experimentais razoavelmente bem, quando a turbulência da corrente for pequena. Se estiver presente turbulência de alto nível na corrente livre, a Eq. (6.52), sem a constante 9.200, correlaciona os dados razoavelmente bem. 6.2) ESCOAMENTO TRANSVERSAL A UM CILINDRO CIRCULAR ISOLADO

O escoamento transversal a um cilindro circular isolado é encontrado freqüentemente na prática, mas a determinação dos coeficientes de arraste e de transferência de calor é assunto muito complicado devido à complexidade dos padrões do escoamento em torno de um cilindro. A Fig. 6.3 ilustra as características do escoamento em torno de um cilindro circular, evidentemente, elas dependem do número de Reynolds, definido como

vDu

Re ∞= (6.53)

onde D é o diâmetro do cilindro e ∞u é a velocidade da corrente livre. Para um número de Reynolds menor do que 4, aproximadamente, o escoamento não se separa e o campo de velocidades pode ser analisado pela solução das equações do movimento.

Page 94: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

Pararegiãdo c 6.2.1 Consdiâmcoef

AquipelacircucomA FiisolapercFig. camturbiparcdo epredarrasturbuparte

stila de Tra

a númerosão da estecilindro, com

1) Coeficie

sidere ummetro D, eficiente de

Fig. 6.3 Es

i, LD repres Eq. (6.80

unferência primento Lg. 6.5 mos

ado. O signcebido se e

6.4. Comada limite ilhões na

cialmente àescoamen

dominantemste a Re =ulenta, faze posterior

ansmissão

de Reynoira e a anám Re > 4,

ente de Ar

m escoamee seja F aarraste cD

scoamento e

senta a ár0), é o vado cilindr

L do cilindrstra o coenificado físexaminarm

m Re < 4, permanec

esteira; poà formaçãoto. Na re

mente pelo= 3,5 x 10zendo comr do cilindro

o de Calor

olds acimaálise da distorna-se m

rraste

ento à vea força de

é definido

L

em torno de

ea normal alor médioro. Portantro pode seficiente de

sico da varmos os res

o arrastece aderentor isso, o o da esteiregião 5 xos vórtices5 é provoc que o pono, o que re

a de 4, aprstribuição d

muito comp

elocidade e arraste ao como

2u

cLDF

D=ρ

e um cilindro

ao escoamo do coefito, dado cr calculada

e arraste criação de csultados dae é causadte ao cilindarraste é

ra, isto é, à 103 < R

s muito turbcada pela nto de sepeduz a dim

roximadamde velocid

plicada.

∞u , transvatuando n

2u2

o circular, e

mento. O cciente de cD, a forçaa de acordcD no escocD com o na Fig. 6.5 do somentdro. Na redevido pa

à baixa preRe < 3,5 bulentos ntransforma

paração doensão da

mente, os tades e de

versal a uo comprim

em vários nú

coeficientearraste lo

a de arraso com a E

oamento tranúmero derelacionante pelas fo

egião 4 < Rarcialmenteessão provx 105, o

a esteira. Aação súbitao escoameesteira, e d

turbilhões temperatu

um cilindromento L d

úmeros de R

e de arrastocal calcuste F atuaq. (6.54). ansversal e Reynoldsndo-os aosforças viscRe < 5.000e às forçavocada pe

o arraste A reduçãoa da cama

ento desloqdaí o arras

começam uras em to

o circular do cilindro.

(6.

Reynolds

e cD, definlado sobreando sobre

a um cilins é mais bs esboços cosas, pois0, formam

as viscosasela separaçé provoca

o repentinaada limite que-se parste.

94

na rno

de . O

54)

nido e a e o

dro bem

da s a

m-se s e ção ado

a do em

ra a

Page 95: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

6.2.2 A Ficaloum cmosos gdeseo núsejaWhitméddada

que

stila de Tra

Fig.6.4 Coe

2) Coeficie

ig. 6.6 mor médio hmcilindro isotra explicitgases têmenvolvidas úmero de Pm gases. taker esta

dio hm no a por

concorda

ansmissão

eficiente de

ente de Tr

ostra a corm, no resfr

olado. As ptamente a m um nú

correlaçõePrandtl e da

beleceu uescoamen

Nu

com os da

o de Calor

arraste no

ransferênc

rrelação deiamento, o

propriedadedependên

mero de es mais elaí estende

uma correlnto de gas

mm k

Dhu =≡

ados exper

escoamento

cia de Cal

e MacAdaou no aquees sâo estincia entre

Prandtl daboradas

er a aplicab

lação entrses ou de

5,0Re4,0(=

rimentais d

o transversa

or

ams para oecimento, imadas a (os resultada ordempor diversobilidade do

re o coeficlíquidos, t

25 Re06,0+

dentro de ±

al a um cilin

o coeficiendo ar que ( T ∞ + Tw)ados e o n

m da unidos pesquis

os resultad

ciente de transversa

4,03/2 Pr) ⎜⎜⎝

± 25% nas

ndro circula

nte de tranflui transv

)/2. Esta coúmero de

dade. Por sadores, a os para flu

transferênl a um cili

25,0

w⎟⎟⎠

⎞∞

µµ

faixas seg

r isolado.

nsferência versalmentorrelação nPrandtl, pisso, for

fim de incuidos que n

ncia de caindro isola

(6.

guintes

95

de te a não pois ram cluir não

alor ado,

55)

Page 96: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

96

Fig. 8.5 Número de Nusselt médio para o aquecimento, ou o resfriamento, do ar fluido em torno de

um único cilindro circular

40< Re< 105 0.67 < Pr <300 0.25< wµ

µ∞ <5.2

Page 97: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

onde

wµ , viscotempdepedepenão em expe Berntorno

faixareco

para

stila de Tra

Fig. 8.6 N

e as proprque é e

osidade éperatura pendências endência fudestacadatorno do c

erimentais Uma co

nstein parao de um ci

A Eq. (6a de 20.000omenda-se

a 20.000 <

ansmissão

úmero de N

riedades fíestimada né desprezpelicular. O

funcionaiuncional Ra, e a depcilindro. Ade vários

orrelação a o coeficlindro isola

mNu =

6.56) prev0 < Re < 4

e a seguinte

mNu

Re < 400.

o de Calor

Nusselt no e

ísicas são na temperzada, e nObservams entre o

Re0,5 caractpendência A fig. 6.6 m

pesquisadmais elabiente de tado aplicáv

([16,03,0

++=

vê muitos d400.000. Poe forma mo

[+=m1

3,0

000.

escoamento

estimadaratura da neste casos que a número teriza a coRe2/3 cara

mostra a cdores para borada, poransferêncvel para 10

( ) /2

2/1

Pr/4,0

PrRe62

dados comor isso, neodificada d

(+

2/1

Pr/4,01

Re62,0

transversal

s na tempparede.

so, as pra equaçãode Nusse

ontribuição acteriza a ccorrelaçãodiferentes

orém maiscia de calo02 < Re < 1

] 4/13/

3/1

1r

⎢⎢⎣

⎡⎜⎝⎛+

m desvio pesta faixa pda Eq. (6.5

) ] ⎢⎢⎣

⎡4/13/2

3/1

1r

Pr

l a um cilind

peratura daPara os gropriedadeo 6.55 enelt e o nú

oriunda dacontribuiçã

o entre a fluidos.

s geral, é or médio 107 e Pe =

5

000.282Re

⎟⎠⎞

⎝⎛

para menoparticular d56):

⎜⎝⎛+

000.282Re1

dro circular

a correntegases, a

es são envolve duaúmero de a camada ão da regiãEq. (6.55)

dada pohm no escRe.* Pr >

5/48/5

⎥⎥⎦

os de cercado número

⎥⎥⎦

⎤⎟⎠⎞

2/1

0

isolado.

e livre, exccorreção

stimadas as diferenReynoldslimite lamião da este) e os dad

r Churchilcoamento 0,2.

(6.

a de 20% de Reynol

(6.

97

ceto de na

ntes . A nar eira dos

ll e em

56)

na

lds,

57)

Page 98: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

pelicdadosódiocons prop

As p 6.3) dos depeo núde c 6.3.1 Se Fo co

ondeNota

stila de Tra

Nas Eqcular. As Eos experimo líquido, stante na p

Para o puseram a

propriedade

ESCOAM

As caraescoamen

endência eúmero de Rcilindro únic

1) Coeficie

F for a forçeficiente m

e A é a áramos que

Fi

ansmissão

s. (6.56) eEqs. (6.56) mentais de

com tempparede.

domínio correlação

es devem

ENTO EM

acterísticasntos apreseentre o coeReynolds dco.

ente de Ar

ça total de médio de a

rea frontal F/A é a fo

g. 6.7. Coefic

o de Calor

e (6.57), toe (6.57), fmuitos pe

peratura c

do número

m ,0(Nu =ser estima

M TORNO D

s do escoaentados naeficiente dedeve ter, n

rraste

arraste derraste cD é

cAF

D=ρ

(isto é, A rça de arra

ciente de arra

odas as prforam deseesquisadoreconstante

ro de Péc

Pln8237, −adas na tem

DE UMA E

amento ema fig (8.3) e arraste, ono caso de

evida ao esé definido p

2u2

∞ρ

= 4/D 2πaste por un

aste no esco

ropriedadeenvolvidas es, incluinna parede

clét menor

12/1 )Pe − mperatura

ESFERA IS

m torno de no caso dou o coefice uma esfe

scoamentopela relaçã

4 ) e ∞u é nidade de

amento em to

es são estifazendo-sdo fluidos,e e també

r do que

com Ppelícular.

SOLADA

uma esfede um cilinciente de trera, a mes

o em torno ão

(6.59)

a velocárea fronta

orno de uma

imadas nase a correla como o a

ém com fl

0,2, Naka

Pe < 0.2

era são semdro isoladoransferêncsma forma

de uma e

idade da cal da esfer

única esfera

a temperatação entrear, a água uxo de ca

ai e Okaz

(6.

melhanteso. Por issocia de calo

que no ca

sfera isola

corrente liva.

a.

98

tura e os e o alor

zaki

58)

às o, a r, e aso

ada,

vre.

Page 99: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

99

A fig. 6.7 apresenta o coeficiente médio de arraste cD no escoamento em torno de uma esfera única. A comparação entre as curvas do coeficiente de arraste nas Fig. 6.4 e 6.7, para um cilindro isolado, e para uma esfera isolada respectivamente, revela que as duas curvas tem características gerais semelhantes. 6.3.2) Coeficiente de Transferência de Calor No escoamento de gases em torno de uma única esfera, Mc Adams recomenda a correlação simples

6,0mm Re37,0

kDh

Nu == para 17 < Re < 70.000 (6.60)

onde hm é o coeficiente de transferência de calor médio sobre a superfície inteira da esfera. As propriedades estão calculadas em ( wTT +∞ )/2. Uma correlação mais geral para o escoamento dos gases e de líquidos em torno de uma esfera única foi apresentada por Whitaker na forma

25,0

w

4,03/25,0m Pr)Re06,0Re4,0(2Nu ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∞

µµ

(6.61)

que é válida nos domínios e as propriedades físicas são estimadas na temperatura de corrente livre, exceto

3,5 < Re < 8 x 104 0,7 < Pr < 380

1 < wµµ∞

< 3,2

wµ que é estimada na temperatura da parede. Com os gases, a correção de viscosidade é desprezível, e as propriedades físicas são estimadas na temperatura pelicular. A Eq. 6.61, para uma esfera, e a Eq. 6.55 para um cilindro, tem a mesma dependência funcional entre o número de Nusselt e o número de Reynolds, exceto quanto a constante 2. Na Eq. 6.61. À medida que Re → 0 ( isto é, o escoamento se anula), a Eq 6.61 admite um valor limite Nu = 2, que representa a condução de calor estacionária de uma esfera, a uma temperatura uniforme, para o meio infinito que a rodeia.

Page 100: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

A figágua 6.4)

numtransfeixetransfreqüresptransdiagno catravde etuboReyn

Gmáé a ve D base

stila de Tra

Fig.

g. 6.8 mosta e o óleo.

ESCOAM

A transfmerosas ap

sferência de de tubosversalmenüentement

pectivamensversal STonal SD, ecaso do avés de um

escoamentoos em umanolds no e

áx = ρumávazão másé o diâm

eada na ár

ansmissão

. 6.8 Número

tra a correA Eq. 6.6

ENTO AT

ferência delicações nde calor. Pos com unte em torte incluemnte. A geT e pelo entre os cearranjo alte

m feixe de to livre dispa linha tra

escoamento

áx = velocidssica por uetro exterrea mínim

o de Calor

o de Nussel

elação entr1 represen

RAVÉS DE

e calor e ao projeto d

Por exemplum fluido rno dos tu os arranjo

eometria dpasso lonentros dosernado. Ptubos, a veponível paransversal o num feix

dade máximunidade derno do tuba de esco

t no escoam

re a Eq. (6nta razoave

E FEIXES

perda de de trocadolo, um tipo

passandubos. Os aos alinhaddos feixesngitudinal s tubos, noara definielocidade ra o escoaquer em

xe de tubos

DRe =

ma da vaze área, ondbo, ρ é a damento liv

mento em to

6.61) e os elmente be

DE TUBO

carga carares de calo

o comum do dentro

arranjos deo e alterna

s de tuboSL entre

o sentido dr o númedo escoam

amento, quuma linha

s é definido

µmáxDG

zão mássicde a velociddensidadevre dispon

orno de uma

dados expem os dado

OS

acterística or e de eq

de trocadordos tubo

e feixes deado, ilustraos é caraos centro

diagonal, éro de Rey

mento é bauer a área a diagonalo por

ca dade do e

e, e umáx éível no esc

a esfera únic

perimentaisos.

de feixes uipamentor de calor os e oute tubos utados na Facterizada os dos tubé utilizado ynolds no aseada na mínima oc. Então, o

scoamento

é a velocidcoamento

1

ca.

s para o a

de tubos to industrialconsiste nro passantilizados m

Fig. 6.8 a epelo pas

bos; o pasmuitas vezescoameárea míni

corra entreo número

(6.

(6.o for máximdade máxido fluido.

100

r, a

têm de

num ndo

mais e b, sso sso zes

ento ima

e os de

62)

63) ma, ima Se

Page 101: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

∞u fentrainterumáx

ondearranem u

Fig.

ocorprim

pode

ondesegu

que perdexpeexpe

stila de Tra

for a velociar no feixerior do casc, no arranjo

e ST é o pnjo alinhaduma fila tra

6.9 Definiçã

No arra

rrer entre meiro caso,

A velocie ser calcu

e M = vazundo e Amí

Os padé virtualm

da de cargerimental erimentais

ansmissão

idade do fle de tubosco do trocao alinhado

passo trando, ST -D éansversal,

ãodos passalinhados e

anjo alterntubos adjdetermina

idade máxulada a par

zão mássicín= área totrões do es

mente impoga no esé a únicna literatu

o de Calor

uido medids (ou a velador sem o

o da Fig. 8.

nsversal e é a área dpor unidad

os longitude alternados

ado da Fijacentes n

a-se umáx co

um

xima da vartir de

ca total dotal mínimascoamentoossível precoamento ca alternara.

da em um ocidade dos tubos), l0a, é dete

= ∞ Suumáx

D é o diâe escoamede de com

inal, transves; (a) arranjo

g. 6.9 b, numa fila omo se en

(2= ∞ S

SuD

máx

zão mássi

Gmáx =

o escoame de escoamo através dever, medi

através dativa, e d

ponto do to escoameentão a ve

erminada p

=− ∞u

DSS

T

T

âmetro exteento livre mprimento d

ersal e diago alinhado;

a área detransvers

nsinou acim

) 21

=− ∞u

DSSD

T

ica Gmáx,

mínAM

ento atravémento livrede um feixiante análide feixes dispomos

trocador deento baseaelocidade mpor

1//

−∞ DSDS

T

T

erno do tumínima endo tubo.

gonal nos ar(b) arranjo a

e escoameal ou num

ma; no últim

1//

−∞ DSDS

D

T

definida p

és do feixe. xe de tuboise, a trande tubosde grand

e calor antada no esmáxima do

ubo. Evidetre os tubo

rranjos de fealternado.

ento livre ma linha mo caso, fa

pela Eq. (6

e, em qui

os são tãonsferência s. Por issde riqueza

1

es de o fluscoamento o escoame

(6.

ntemente, os adjacen

eixes de tub

mínima podiagonal. az-se:

(6.

.63), tamb

(6.

logramas

complicadde calor eo, o métoa de dad

101

uido no

ento

64)

no

ntes

bos

ode No

65)

bém

66)

por

dos e a odo dos

Page 102: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

102

As pesquisas experimentais indicam que nos feixes de tubos com mais do que cerca de N = 10 a 20 filas de tubos na direção do escoamento, com o comprimento do tubo grande em comparação com o diâmetro do tubo, os efeitos da entrada, da saída e das bordas são desprezíveis. Nesses casos, o número de Nusselt do escoamento através do feixe depende dos seguintes parâmetros:

Re Pr SL/D ST/D e do arranjo geométrico dos tubos, isto é, se os tubos estão alinhados ou alternados.

Page 103: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

103

7) TROCADORES DE CALOR

Os trocadores de calor são equipamentos que facilitam a transferência de calor entre dois ou mais fluidos em temperaturas diferentes. Foram desenvolvidos muitos tipos de trocadores de calor para emprego em diversos níveis de complicação tecnológica e de porte, como usinas elétricas a vapor, usinas de processamento químico, aquecimento e condicionamento de ar em edifícios, refrigeradores domésticos, radiadores de automóveis, radiadores de veículos espaciais, etc. Nos tipos comuns, como os trocadores de calor de casco e tubos e os radiadores de automóveis, a transferência de calor se processa principalmente por condução e convecção, de um fluido quente para um fluido frio, separados por uma parede metálica. Nas caldeiras e nos condensadores, a transferência de calor por ebulição e por condensação é de primordial importância. Em certos tipos de trocadores de calor, como as torres de resfriamento, o fluido quente (por exemplo, a água) é resfriado por mistura direta com o fluido frio (por exemplo, o ar): isto é, a água nebulizada, ou que cai numa corrente induzida de ar, é resfriada por convecção e por vaporização. Nos radiadores para aplicações espaciais, o calor residual do fluido refrigerante é transportado por convecção e condução para a superfície de uma aleta e daí, por radiação térmica, para o vácuo.

O projeto de trocadores de calor é assunto complicado. A transferência de calor e a perda de carga, o dimensionamento e a avaliação do desempenho, os aspectos econômicos têm papéis importantes no projeto final. Por exemplo, embora sejam muito importantes as considerações de custo nas aplicações de grande porte como usinas de eletricidade e de processamento químico, as considerações de peso e de dimensões são o fator dominante na escolha do projeto para aplicações espaciais ou aeronáuticas. Um tratamento completo dos trocadores de calor está fora, portanto, das finalidades deste polígrafo.

Neste capítulo nós discutiremos a classificação dos trocadores de calor, a determinação do coeficiente de transferência de calor global, a diferença de temperatura média logarítmica e os métodos de cálculo e do dimensionamento dos trocadores de calor.

7.1) CLASSIFICAÇÃO DOS TROCADORES DE CALOR

Os trocadores de calor são feitos em tantos tamanhos, tipos, configurações e disposições de escoamento que uma classificação, mesmo arbitrária, é necessária para o seu estudo. Fraas e Ozisik, Walker, e Kakaç, Shah e Bergles classificam os trocadores de calor. Na discussão seguinte consideramos as classificações de acordo com (1) o processo de transferência, (2) a compacticidade, (3) o tipo de construção, (4) a disposição das correntes, e (5) o mecanismo da transferência de calor.

Page 104: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

7.1.1 contfluidode reutilizdiret

Fig. 7a

térmlagotiragna Fconvordinvelocgotíctorreconsresfratrave asA F

stila de Tra

1) Classifi

Os trocatato indiretos imiscíveesfriamentzando pulvto.

7.1 Secção aaumentar a

As torremico dos pr

ou no ocgem naturaFig. 7.1, pvecção térnária e peicidade méculas à coes de resfrstruídas priamento cvés da torrpira o ar pig. 7.2 mo

ansmissão

cação pel

adores de to. No tipoeis, como to, condensverizadores

através de uárea efetiva

es de resfrocessos inceano. Os

al e as torreulveriza-sermica. As ia evaporaédia de qorrente de riamento dara resfria

com tiragemre, impulsiopara cima, ostra uma

o de Calor

lo Process

calor podo de contaum gás esadores cos de água

uma torre dea da superfíc

friamento ndustriais,s tipos maes com tirae a água n

gotículas ação da ágqueda das

ar que asde tiragemar o despm forçadaonada por ou do lado

a secção a

so de Tran

dem ser cato direto, um líquidom nebuliza, são ex

e resfriamencie das gotí

são largam lançando ais comunagem forçana correntcadentes

gua. O rechs gotículass resfria, e

m natural, cpejo térmic, a água éum ventila

o de fora datravés de

nsferência

classificadoa transfero, que ent

zação paraemplos típ

nto com conículas de ág

mente emo calor na

ns incluemada. No tipte de ar q de águaheio ou ens e aumeenquanto com mais co das usé pulverizaador que pa base, de

e uma tor

a

os como drência de tram em c

a vapor de picos de t

nvecção natgua mediant

mpregadas a atmosfer

m as torrespo com tiraue ascend são resfr

nchimento nta o temcaem atrade 100 m

sinas de ada na corpode ser me modo a imre de resf

de contatocalor ocor

contato direágua e ou

trocadores

tural e com e múltipla s

para dispra, e não es de resfragem natude atravésriadas peldentro da

mpo de exavés da tometros de

força. Nurrente de aontado nompelir o arfriamento

1

o direto e rre entre deto. As torutros vapors por cont

“recheio” psubdivisão.

por do rejeem um rio iamento cral, mostra

s da torre a convecçtorre redu

xposição dorre. Grand

altura, foruma torre ar que circ alto da tor para a tocom tirag

104

de dois rres res, tato

para

eito ou

com ado por ção

uz a das des ram

de cula rre, rre.

gem

Page 105: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

105

forçada e induzida por um ventilador. A circulação intensificada do ar aumenta a capacidade de transferência de calor da torre de resfriamento.

Nos trocadores de calor de contato indireto, como os radiadores de automóveis, os fluidos quente e frio estão separados por uma superfície impermeável, e recebem o nome de trocadores de calor de superfície. Não há mistura dos dois fluidos.

7.1.2) Classificação de Acordo com a Compacticidade

A definição de compacticidade é tema bastante arbitrário. A razão entre a área da superfície de transferência de calor, num dos lados do trocador de calor, e o volume pode ser empregada como medida da compacticidade do trocador de calor. Um trocador de calor com densidade de área superficial, em um dos lados, maior do que cerca de 700 m2/m3 é classificado, arbitrariamente, como trocador calor compacto, independentemente de seu projeto estrutural. Por exemplo, os radiadores de automóvel, com uma densidade de área superficial da ordem de 1.100 m2/m3, e os trocadores de calor de cerâmica vítrea, de certos motores a turbina de gás, que têm uma densidade de área superficial da ordem de 6.600 m2/m3, são trocadores de calor compactos. Os pulmões humanos, com uma densidade de área da ordem de 20.000 m2/m3, são os trocadores de calor e de massa mais compactos. O miolo do regenerador do motor Stirling, de finíssima estrutura, tem uma densidade de área que se aproxima da densidade de área do pulmão humano.

Fig. 7.2 Torre de resfriamento com tiragem forçada e induzida por um ventilador

No outro extremo da escala de compacticidade, os trocadores do tipo tubular plano e os do tipo casco e tubos tem densidade da área superficial na faixe de 70 a 500 m2/m3, e não são considerados compactos.

Page 106: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

valoespemarírefrigcomtrocapor granparatorna 7.1.3

caraplaca

stila de Tra

O incen

r da compecificado. ítimos, a ageração opacticidadadores de exemplo, o

ndeza maisa se ter uma-se muito

3) Classifi

Os trocacterísticasa aletada,

ansmissão

ntivo para spacticidadeQuando oviões ou aou de coe - são imcalor, em

o coeficiens baixa do

m projeto eqo mais com

cação pel

cadores des construtiv

de tubo al

o de Calor

Fig.7

se utilizar e reduz o os trocadoa veículos aondicionammportantes.

pregam-sente de tranque do ladquilibrado;

mpacta. A F

lo Tipo de

e calor tavas. Por eetado e re

7. 3 Radiado

trocadoresvolume dres de caaeroespac

mento de Para aume aletas. Nnsferência do do líquid a superfíc

Fig. 7.3 mo

e Construç

mbém podexemplo, eegenerativo

or de automó

s de calor o trocador

alor se desciais, a siste

ar, o pementar a efNum trocad

de calor ddo. Por isscie de tran

ostra um ra

ção

dem ser cexistem troos.

óvel

compactor de calor stinam a aemas criog

eso e o ficiência oudor de caldo lado do

so, usam-snsferência adiador de

classificadocadores t

os está empara um

automóveigênicos, a volume -

u a compaor de gás o gás é umse aletas node calor doautomóve

os de acotubulares,

1

m que um adesempens, a motoaparelhosportanto,

acticidade dpara líqui

ma ordem o lado do go lado do gl típico.

ordo com de placa,

106

alto nho ores s de , a dos ido, de

gás gás

as de

Page 107: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

7.1.3

muitoperfabridissetrocacilíndde uexteo feidirigfluidogeomdo cescodiferconstroca

ou gcomno lacoefnece

usamtrans

recucrioginter

stila de Tra

3.1) Troca

Os troctos tamanhrar em umicação e o eminado nador de cdrico, com

um trocadornamente xe de tuboem a correo no cascmetria e docasco, dasoamento. renças esstrução. Diadores de

Fig. 7.4 T

Quanto gás para gum. Amboado dos tuficiente de essidade d

A dispom-se em gsferência d

Os trocauperadoresgênicos dernas e exte

ansmissão

adores de

cadores dehos, com m extensocusto rela

nas aplicacasco e tu os eixos p

or que tem aos tubos

os, o cascoente do fluco. Há váo espaçams exigênciaSão dispo

stão no aiscutiremoscalor segu

Trocador de

à espéciegás. Os troos os fluidoubos, e no

transferênde aletas. sição líquigeral aletade calor é badores do

s de pré aqe liquefaçãoernas nos t

o de Calor

Calor Tub

e calor tumuitos ar

o domínio ativamente ações de eubos, consparalelos aum fluido . Os princio, os cabeçuido na dirários tipos mento depeas da susoníveis muarranjo das esse ass

undo o arra

e calor de ca

e dos fluidoocadores dos são bom

lado do cncia de ca

ido para gas no ladobaixo. tipo gás p

quecimentoo de gás, etubos, para

bulares.

ubulares sranjos de de pressbaixo con

engenhariasiste em tao eixo do correndo npais compçotes e as reção norm

de chicanende da v

stentação duitas variaas correntsunto maisanjo do esc

asco e tubo;

os, podemdo tipo líqumbeados acasco, ocoalor é alto

ás tambémo do tubo

para gás so do ar nose nos fornoa intensific

são amplaescoamen

sões e denstituem a a. Um motubos cilíncasco. A Fno interior

ponentes dchicanas.

mal aos tubnas, e a azão, da pdos tubos ações do tes do ess tarde, juncoamento.

; um passe

os ter líquuido para latravés do rre por concom o flux

m é comumem que f

são adotads sistemas os de aço.

car a transf

mente usanto e em e temperaprincipal raodelo comndricos moFig. 7.4 ilusdos tuboseste tipo dAs chican

bos e aumescolha dperda de c

e das vibtrocador d

scoamentontamente c

no casco e

ido para lílíquido sãotrocador; anvecção foxo do líqui

mente emplui o gás,

dos nos exde turbina Geralmenferência de

ados e fadiversos t

aturas. A azão para

mumente eontados estra as prin

s e outro flude trocadornas sustententam a tu

do tipo decarga permbrações inde casco o e nos com a clas

um passe n

íquido, líquo os de apa transferêorçada. Umido, não h

pregada; nonde o c

xaustores das de gás, nte se empe calor.

1

abricados tipos. Podfacilidade seu empre

empregadom um casncipais paruido correnr de calor stam os tuburbulência chicana,

mitida no landuzidas p

e tubos, detalhes

ssificação d

no tubo.

uido para gplicação mência de cama vez quá geralme

nestes cascoeficiente

de gás e nnos sistem

pregam ale

107

cm dem

de ego o, o sco rtes ndo são bos, do da

ado pelo

as de

dos

gás mais alor e o

ente

sos, de

nos mas etas

Page 108: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

7.1.3

placanão cilíndcom

7.1.3

6.00confsepaparaconvgerapresmáxaleta

7.1.3

supeilustrOs tdo fque

stila de Tra

3.2) Troca

Como oas delgadapode sup

drico, são pacticidad

3.3) Troca

O fator 00 m2/m3) figurações aradas poalelas são veniente dalmente emssão, que ximas de oada també

3.4) Troca Quando

erfície extera duas cotrocadoresluido nos vão desde

ansmissão

adores de

o nome inas. As placortar pressordinariame nos troca

adores de

de compacom os típicas

or chapas arranjos qas aletas

mpregadosnão ultrapperação em são emp

F

adores de

o se preciensa de uonfiguraçõe de tubo atubos, não

e as baixas

o de Calor

Calor de P

ndica, os tcas podemsões ou d

mente projeadores de

Calor de P

acticidade trocadorede placaplanas.

que podemem cada

s nas trocpassem ceestão limitapregados e

Fig. 7.5 Troc

Calor de T

sa de umm lado, utes típicas, aletado poo ultrapasss, nas aplic

Placa.

trocadoresm ser lisas

iferenças etados parplaca se s

Placa Alet

pode ser es de calas aletada

Correntesm ser obtilado da pas de gás

erca de 10adas a cercem criogen

cadores de

Tubo Aleta

m trocador tilizam-se uma com

odem ser usando cerccações crio

s de calor ou ondulade temperra temperasitua entre

tada.

aumentadoor de pla

as. As ales cruzadasdos com f

placa. Os ts para gás0 atm (istoca de 800nia.

calor de pla

ado.

que operos trocadotubos cilín

utilizados eca de 30 ogênicas,

são geradas. Já quraturas tãoaturas ou p120 e 230

o significaaca aletadetas planas, contracfacilidade trocadoress, porém e

o é, 1.000 °C. Trocad

aca aletada

re em altaores de tundricos e oem um largatm, e opaté cerca

almente coue a geomeo altas quapressões m0 m2/m3.

tivamente(da. A Figas ou oncorrente, omediante

s de placaem aplicaçkPa). As

dores de c

a pressão,ubo aletadoutra com tgo domínioeram em de 870°C.

1

onstruídos etria da plaanto um tumoderadas

(até cerca g. 7.5 ilusnduladas sou correna orientaç

a aletada sções a batemperatu

calor de pla

, ou de uo. A Fig. tubos chato de presstemperatu A densida

108

de aca ubo s. A

de stra são

ntes ção são aixa uras aca

uma 7.6 tos. são

uras ade

Page 109: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

máxaleta

reatoeletr

7.1.3

tipo bolaUmaescotrocaprinccalocomaqueporéexem

stila de Tra

xima de comada.

Os trocaores nuclerônica, crio

3.5) Troca Os troc

estático ns, seixos,

a válvula aoamento dador regecipia o escr do miolopactos, pecedores dém, ser regmplo.

ansmissão

mpacticida

adores de ares, em a

ogenia, em

adores de

adores denão tem papós etc.) aalternadora

do fluido qnerativo. coamento o para o flpara o usde ar, na fgeneradore

o de Calor

ade é cerca

calor de tuautomóveis condicion

Calor Reg

e calor regartes móveatravés daa regula ouente, o cDepois, odo fluido uido frio. O

so em altfabricação es compac

Fig. 7.6 Tro

a de 330 m

ubo aletads e aeropla

nadores de

generativo

generativoseis e cons

a qual passo escoamecalor é trao escoamefrio. DuranOs regeneta temperde coque

ctos para

cadores de

m2/m3, men

do são empanos, em be ar e muita

os.

s podem ssiste em usam alternento periódansferido dento do fnte a passeradores dratura (90e e nos tanuso em re

calor de tub

nor que a d

pregados ebombas deas outras a

ser ou estáma massaadamente dico dos d

do fluido qfluido quesagem do de tipo está0 a 1.50

nques de fefrigeração

bo aletado

dos trocado

em turbinae calor, emaplicações.

áticos ou a porosa (fluidos qu

dois fluidoquente parente é inte

fluido frio,ático pode

00°C), comfusão de vo, no moto

1

ores de pla

as de gás, m refrigeraç

.

dinâmicospor exemp

uentes e frios. Durantera o miolo errompido, transfereem ser poumo nos pvidro. Podeor Stirling,

109

aca

em ção,

. O plo, ios. e o do

, e e-se uco pré-em, por

Page 110: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

em tda cmiolocontregetempOs rpois maiotranstrans

da pde cvariádefintranstrocacapacom

stila de Tra

Nos regtorno de ucorrente quo durante tato com a enerativo dperaturas aregeneradosomente c

or do que sferência dsferência d

Uma veparede depcalor dos áveis novanir as temsferência ador. No tacidade ca as vazões

ansmissão

generadoreum eixo deuente e, eo contatocorrente f

de ar Ljungaté 870°C;ores rotativcom gases

a capacide calor dede calor é mez que o mpendem do

regeneradas. Nos trmperaturasde calor

trocador dealorífica dos dos fluido

o de Calor

Fig. 7.7 Pr

es do tipo de modo quem seguido com o gfria. O exemgstrom, Fig; miolos devos só sãos a capaciddade caloe líquido pmuito meniolo da tra

o espaço e dores é crocadores s de entrdos dois e calor roto rotor comos e com a

ré-aquecedo

dinâmico, ue uma paa, atravésgás quentemplo típicog. 7.7. Os e cerâmicao conveniedade calororífica do gpara líquidonor do que nsferênciado tempo

complexa, de calor

rada e defluidos e tativo, entrm a capaca velocidad

or de ar Ljun

o miolo temrte qualqu

s da correne é transf

o de regenregenerad

a são utilizantes para ífica do migás escoao, pois a ca capacida

a de calor g; como respois o flconvencio

e saída, as áreas

retanto, é cidade calode de rotaç

ngstrom.

m a forma uer passa nte fria. Oferido paraerador rotadores rotatados em tea troca deolo, que tr

ante. Não capacidadeade calorífgira, a temsultado, a aluxo perióonais, estaas vazõesuperficia

necessáriorífica dasção.

de um tamperiodicam

O calor arma o gás frativo é o ptivos podeemperaturae calor de gransfere o

é convene caloríficafica do líqu

mperatura danálise da

ódico introacionários,es, os coeais dos do também

s correntes

1

mbor que gmente atravmazenado rio duranteré-aquece

em operar as mais altgás para gcalor, é mu

niente paraa do miolo uido. dos gases transferênduz divers é suficieeficientes ois lados

m relacionas dos fluid

110

gira vés no

e o dor em tas. gás, uito a a de

e a ncia sas

ente de do

ar a dos,

Page 111: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

7.1.4 troca 7.1.4

fluem 7.1.4

fluem

7.1.4

perpcruz

atravmovmist

stila de Tra

4) Classifi

Existem adores de

4.1) Corre

Os fluidm na mesm

4.2) Contr

Os fluidm em direç

Fig.

4.3) Corre

No trocpendicularmzadas, o es

A Fig. 7vés de can

ver-se na durada.

ansmissão

cação Seg

numerosacalor. Vam

ntes Para

dos quentema direção

acorrente

os quenteções opost

7.8 (a) Corre

ntes Cruz

cador commente um scoamento7.9a mostranais separdireção tra

o de Calor

gundo a D

as possibmos resum

lelas.

e e frio eno, e deixam

e.

e frio entrtas, como e

entes parale

zadas.

m correnao outro, c

o pode ser a uma dispados form

ansversal.

Disposição

bilidades pir aqui as p

ntram na mm juntos a o

ram em exestá na Fig

elas, (b) con

tes cruzacomo estámisturado

posição emados por oDiz-se, en

o das Cor

para a dprincipais.

mesma exoutra extre

xtremidadeg. 7.8b.

ntracorrente

adas, em á na Fig. 7

ou não mim que ambondulaçõesntão, que c

rentes

disposição

xtremidadeemidade, c

es opostas

e, e (c) corre

geral o.8c. Na disisturado, d

bos os fluids; por issocada corre

do esco

e do trocaomo está n

s do trocad

entes cruzad

os dois fsposição cdependenddos, quenteo, os fluidoente do flu

1

oamento n

dor de cana Fig. 7.8

dor de calo

das

fluidos flucom correno do projee e frio, flu

os não podido está n

111

nos

alor, 8a.

or e

uem ntes eto. uem dem ão-

Page 112: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

correambtrans

assimmisttranstornade scruz

Figtemp

stila de Tra

A Fig. 7entes são

bos os fluisversal às

Na dispm não pourado. Entsversal. Poar uniformesaída de

zada.

. 7.9 Disposperaturas qu

ansmissão

7.9b ilustranão-mistudos são ucorrentes.

posição do ode se motretanto, oor isso, a ce a tempeuma corr

sições com cuando ambo

o de Calor

a o perfil tradas, comuniformes,. escoamen

over na dio fluido quecorrente de

eratura do rente mist

correntes cos os fluido

típico de tmo está na mas as

nto da Fig ireção tranente flui soe fluido qufluido na dturada ap

ruzadas: (a)s estão não

quente m

temperatura Fig. 7.9atemperatu

7.9c, o flunsversal. Pobre os tuuente está direção trapresenta v

) ambos os o-misturadosisturado

ras, na saa. As tempuras de sa

uido frio fluPor isso, bos e podmisturada

ansversal; pvariação d

fluidos nãos; (c) fluido

aída, quandperaturas daída mostr

ui no interioo fluido fr

de mover-sa. A misturpor isso, a

desprezíve

-misturadosfrio não-mi

1

do ambas de entradaram variaç

or de tuborio está nse na direçração tenda temperatl na direç

s; (b) perfil dsturado, flu

112

as de ção

os e ão-ção e a tura ção

de ido

Page 113: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

Fignos

conf(2) umistEm uparatemp

7.1.4

freqüeficiêconftípictuboconfconf

7.1.5

com1.Co

stila de Tra

g. 7.10 Dispos tubos; (b)

Em ge

figurações um fluido eurados. A um trocado

a "misturarperatura te

4.4) Escoa A conf

üentementência globfigurações as. O troc

os", e recefiguração figuração "

5) Classifi

As possbinação de

onvecção f

ansmissão

ositivos de edois passe

eral, numidealizada

está misturúltima conor de cascr" o fluido

ende a se t

amento Mu

figuração te no projebal, acima

das correador de caebe o no"dois passtrês passe

cação pel

sibilidadese quaisqueforçada ou

o de Calor

escoamentos no casco,

trocadoras do escoado, e o o

nfiguração co e tubos,o no lado tornar unifo

ultipasse.

de escoeto de troc

das eficiêentes comalor da Figme de troses no ca

es no casco

lo Mecanis

s para o mer dois entr convecçã

o de múltiplo, quatro pas

passes no

r com coamento: (utro está nnão é usad a presençdo casco

orme em q

oamento cadores deências ind

m passes g. 7.10a teocador deasco, quato, seis pas

smo de Tr

mecanismore os seguo livre mon

os passes: sses nos tubos tubos

correntes (1) ambos não-misturda comumça de um go, conform

qualquer se

com pae calor, podividuais. É

múltiplos.em "um pae calor "utro passessses no tub

ransferênc

o de transuintes: nofásica

(a) um passbos, e (c) trê

cruzadas,os fluidos

rado; e (3) mente. grande númme se diseção transv

asses múois a multiÉ possíve A Fig 7asse no cam-dois". As nos tubbo".

cia de Cal

sferência

se no cascoês passes n

são pos estão não

ambos os

mero de chcutiu acimversal.

últiplos é passageml grande v.10 ilustraasco e doisA Fig. 7.l

bos", e a

lor

de calor

1

, dois passeo casco, se

ossíveis to-misturad fluidos es

hicanas sema; isto é

empregam intensifica

variedade a disposiçõs passes n0b mostraFig. 7.l0c

incluem u

113

es is

três dos; stão

erve , a

ada a a de

ões nos a a c, a

uma

Page 114: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

2. M3. REm monradiaebulcalo a) Cusinaelétrsupecomdevo

F

passdo va deminicondresfrvertitransdas impotrans

stila de Tra

Mudança deadiação outodos os

nofásica emadores deição e de r.

Condensadas de forçaricas de verfície, os um é o c

olvido à ca

ig. 7.11 Cor

A Fig. 7ses, de umvapor, na sensidade dmizar a pedensador ériamento calmente psversalmenregiões qu

ortante, posferência d

ansmissão

e fase (ebuu convecçã

casos dim ambos usinas d radiação,

dores. Osa a vapor dveículos e

condensacondensadoaldeira atra

rte Transver

7.11 mostrm grande tu

aída da tudo vapor é erda de caré montadoflui horizopara baixonte sobre ue ficam eois a presede calor na

o de Calor

ulição ou cão e radiaçiscutidos os lados

de força e, respectiv

s condensde água, p

espaciais. adores a jor de supvés do sist

rsal de um cgrande u

ra um corturbina a varbina, é demuito baix

rga, na trao ordinariaontalmenteo, entrando

os tubos. exatamenteença de gáa condensa

ondensaçãção combinanteriormedo trocad

spaciais invamente, s

sadores sãplantas de Os principato e os

perfície, qutema de a

condensadousina de forç

e através apor em ue somente xa e a vaznsferência

amente abe no inteo por uma

Observe e acima doás não conação.

ão) nadas ente, consdor de cancluem msobre uma

ão utilizadprocessampais tipos condensad

ue tem a limentação

or de superfíça, a vapor d

de um coma usina d1,0 a 2,0 p

zão do fluida do vapor aixo da tu

erior dos grande abque há di

o centro dondensável

sideramos lor. Condeecanismos

a das supe

dos em vámento quím

incluem dores evavantagem

o de água.

ície típico, dde água

ndensadorde força. Upolegadasdo é extreda turbina

urbina e ligtubos, e

bertura na spositivo do poço queno vapor

a convecensadoress de conderfícies do

árias aplicmico e usinos conde

aporativos. de o con

de dois pass

r de superUma vez q de mercú

emamente a para o cogado a elanquanto parte supede aspiraçente. Estereduz o c

1

cção força, caldeiras

densação, o trocador

ações, conas nucleaensadores

O tipo mndensado

ses, de uma

rfície, de dque a pressrio absolutgrande. P

ondensadoa. A água o vapor erior, e pasção do ar dispositiv

coeficiente

114

ada s e de de

omo ares

de mais

ser

a

dois são tas, ara r, o de flui ssa frio o é de

Page 115: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

115

b) Caldeiras. As caldeiras a vapor de água constituem uma das primitivas aplicações dos trocadores de calor. O termo gerador de vapor é muitas vezes aplicado às caldeiras nas quais a fonte de calor é uma corrente de fluido quente em vez de produtos da combustão.

Uma enorme variedade de caldeiras já foi construída. Existem caldeiras em pequenas unidades, para aquecimento doméstico, até unidades gigantescas, complexas e caras, para as modernas usinas de força. c) Radiadores de usinas de força espaciais. A rejeição do calor residual do condensador de uma usina de força cuja finalidade é produzir eletricidade para o equipamento de propulsão, de orientação ou de comunicação de um veículo espacial acarreta sérios problemas mesmo com a usina produzindo uns poucos quilowatts de eletricidade. O único modo com que se pode dissipar o calor residual de um veículo espacial é pela radiação térmica, aproveitando a vantagem da relação de quarta potência entre a temperatura absoluta da superfície e o fluxo de calor radiativo. Portanto, na operação de algumas usinas de força de veículos espaciais, o ciclo termodinâmico se processa em temperaturas tão altas que o radiador trabalha aquecido ao rubro. Mesmo assim, é difícil manter a dimensão do radiador dentro de um casco razoável, nos veículos de lançamento.

7.2) DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NOS TROCADORES DE CALOR Nos trocadores de calor do tipo estacionário, a transferência de calor do fluido quente para o fluido frio provoca variação da temperatura de um ou de ambos os fluidos que passam através do trocador. A Fig. 7.12 ilustra como a temperatura do fluido varia ao longo do percurso no trocador de calor, em alguns trocadores de calor típicos, com um passe. Em cada instante, a distribuição de temperatura é plotada em função da distância à entrada do fluido frio. A Fig. 7.12a, por exemplo, caracteriza um trocador de calor em contracorrente no qual a elevação da temperatura do fluido frio é igual à queda da temperatura do fluido quente; a diferença de temperatura ∆ T, entre o fluido quente e o fluido frio, é constante, em todos os pontos. Entretanto, nos outros casos (Fig. 7.12b até e), a diferença de temperatura ∆ T, entre o fluido quente e o fluido frio, varia com a posição ao longo do percurso do fluido. A Fig. 7.12b corresponde à situação em que o fluido quente se condensa e transfere calor para o fluido frio, fazendo com que sua temperatura se eleve ao longo do percurso.

Na Fig. 7.12c, o líquido frio está se evaporando e resfria o fluido quente ao longo do seu percurso. A Fig. 7.12d mostra configuração de escoamento paralelo, na qual ambos os fluidos se deslocam na mesma direção, com o fluido frio experimentando uma elevação de temperatura e o fluido quente, uma queda de temperatura. A temperatura de saída do fluido frio não pode ser mais elevada do que a do fluido quente. Por isso, a eficiência dos trocadores de calor com escoamento paralelo é limitada. Devido a esta limitação, não são em geral considerados para a recuperação de calor. Entretanto, uma vez que a

Page 116: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

tempe do

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temp7.13cascum mist

stila de Tra

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diente signi

Fig. 7.12 Di

Nas coperatura, n3 mostra aco e dois ptrocador durados.

ansmissão

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1

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116

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Page 117: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

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stila de Tra

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1

o casco e do

uzado. Amb

de calor cpara evita

o transversão uniforma misturaça tornar-se

117

ois

bos

com ar a sal,

mes. ção e-ia

Page 118: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

118

7.3) COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR GLOBAL

Na análise da transferência de calor nos trocadores de calor várias resistências térmicas no percurso do fluxo de calor, do fluido quente para o frio, combinam-se para constituir um coeficiente de transferência de calor global U.

Considere que a resistência térmica total R ao fluxo de calor, através de um tubo, entre a corrente interna e a externa, seja composta das seguintes resistências térmicas:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

=

externadacorrentetérmica

sistência

dotubodomaterialtérmica

sistência

ernadacorrentetérmica

sistência

R

ReRe

int

Re

(7.1)

-e os vários termos são dados por

00

11hAKA

thA

Rmii

++= (7.2)

onde Ao, Ai = áreas das superfícies externa e interna, respectivamente, m2

i

im

AA

AAA

0

0

ln

−= = média logarítmica da área, m2

hi, ho = coeficiente de transferência de calor, da corrente interna e externa, respectivamente, W/(m2 .°C) k = condutividade térmica do material do tubo, W/(m .°C) R = resistência térmica entre a corrente interna e a externa. t = espessura do tubo, m A resistência térmica R dada pela Eq. (7.2) pode ser expressa como um coeficiente de transferência de calor global baseado na superfície interna ou na superfície externa do tubo. Não importa sobre que área está baseado, desde que seja especificada na definição. Por exemplo, o coeficiente de transferência de calor global U0, baseado na superfície externa do tubo, é definido por

( )( ) ( )( ) =++

==0000

0 /1///1/11

hktAAhAARAU

mii

( )( ) ( )[ ] ( ) =++ 0000 /1/ln2/1/1/

1hDDDkhDD iii

(7.3)

im DD

tD

AA 000 ln

2= Do – Di = 2t (7.4)

e Di e Do são os diâmetros interno e externo do tubo, respectivamente.

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Apostila de Transmissão de Calor

119

De modo semelhante, o coeficiente de transferência de calor global Ui, baseado na superfície interna do tubo, é definido por

( )( ) ( ) =+++

==)/1(////1

11

000 hAAktAAhAiR

Uimii

( )[ ] ( ) ( ) =++ )/1(//ln2/1/1

1

000 hDDDDDkh iiii

(7.5)

Quando a espessura da parede for pequena e a condutividade térmica for alta, a resistência do tubo pode ser desprezada e a Eq. (7.5) se reduz a

0/1/11

hhU

ii +

= (7.5 a)

No uso dos trocadores de calor, a superfície de transferência de calor fica suja com a acumulação de depósitos, que introduzem resistência térmica adicional ao fluxo de calor. O efeito das incrustações é geralmente levado em conta na forma de um fator de incrustação F com as dimensões m2°C/W; este assunto será discutido adiante com mais detalhes. Consideraremos agora a transferência de calor através de um tubo com incrustações em ambas as superfícies, externa e interna. A resistência térmica R ao fluxo de calor, neste caso, é

000

0 11hAA

FKA

tAF

hAR

mi

i

ii

++++= (7.6)

onde Fi e F0 são os fatores de incrustação (resistência unitária de incrustação) nas superfícies interna e externa do tubo, respectivamente, e as outras grandezas foram definidas previamente.

Nas aplicações de trocadores de calor, o coeficiente de transferência de calor global é, ordinariamente, baseado na superfície externa do tubo. Então (7.6) pode ser representada em termos do coeficiente de transferência de calor global baseado na superfície externa do tubo como

( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) =++++ 000000 /1/ln2///1/

1hFDDkDFDDhDD iiiii

U0 (7.7)

O valor do coeficiente de transferência de calor global em diferentes tipos de aplicação varia amplamente. Intervalos típicos de U0 são os seguintes: Trocadores de água para óleo: 60 a 350 W/(m2 . °C) Trocadores de gás para gás: 60 a 600 W/(m2 . °C) Condensadores de ar: 350 a 800 W/(m2 . °C) Condensadores de amônia: 800 a 1400 W/(m2 . °C) Condensadores de vapor de água: 1500 a 5000 W/(m2 . °C)

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Apostila de Transmissão de Calor

120

Fica evidente que Uo é geralmente baixo para fluidos que têm baixa condutividade térmica, como os gases ou os óleos. 7.3.1) Fator de Incrustação

Na década passada, muito esforço se fez a fim de compreender a incrustação. Durante a operação, os trocadores ficam incrustados com depósitos de um tipo ou de outro nas superfícies de transferência de calor. Por isso, a resistência térmica ao fluxo de calor cresce, o que reduz a taxa de transferência de calor. O dano econômico das incrustações pode ser atribuído: 1. Ao dispêndio mais alto de capital em virtude de unidades superdimensionadas. 2. Às perdas de energia devidas à falta de eficiência térmica. 3. Aos custos associados à limpeza periódica dos trocadores de calor. 4. À perda de produção durante o desmonte para limpeza. l. Incrustação por precipitação, a cristalização da substância dissolvida na solução sobre a superfície de transferência de calor. 2. Incrustação por sedimentação, o acúmulo de sólidos finamente divididos, suspensos no fluido do processo, sobre a superfície de transferência de calor. 3. Incrustação por reação química, a formação de depósitos sobre a superfície de transferência de calor, por reação química. 4. Incrustação por corrosão, o acúmulo de produtos de corrosão sobre a superfície de transferência de calor. 5. Incrustação biológica, o depósito de microorganismos na superfície de transferência de calor. 6. Incrustação por solidificação, a cristalização de um líquido puro, ou de um componente da fase líquida, sobre a superfície de transferência de calor sub-resfriada.

Evidentemente, o mecanismo de incrustação é muito complicado, e não dispomos ainda de técnicas confiáveis para sua previsão.

Quando um trocador de calor novo é posto em serviço, seu rendimento se deteriora progressivamente em virtude do desenvolvimento da resistência das incrustações. A velocidade e a temperatura das correntes parecem estar entre os fatores que afetam a taxa de incrustação sobre uma dada superfície. O aumento da velocidade diminui a taxa de depósito e também a quantidade final do depósito sobre a superfície. Aumentando a temperatura do fluido como um todo, aumenta a taxa de crescimento das incrustações e o seu nível estável terminal.

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Apos

Fabr– TEtransum quesdas

stila de Tra

Tabel

Baseadricantes deEMA) presferência dtema mui

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ansmissão

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o de Calor

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ios, a Assnufacturerguia nos

ultados. A agem simpara se aval

1

calor

sociação drs Associat cálculos incrustaçãples é muliar os efei

121

dos tion da

ão é uito itos

Page 122: Trans Miss Ão Decal Or

Apos

7.4) atravatendo ttempdistâ

estade texpr

ondecaloNa améd7.15da F

Vam A = mc, m∆ T U = °C.) A taxelem

stila de Tra

O MÉTOD

Na análisevés do tro

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Na anábelecer umtransferêncressão sim

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Fig. 7.15 N

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área de trmh = vazão= Th - Tc =coeficient

xa de tranmentar dA,

ansmissão

DO DTML

e térmica dcador é umrocadores ado na Fig∆ T, entre oongo do troálise da trama diferençcia de cal

mples:

ea de tranédio baseaguinte desfiguração dado obtido

Nomenclatu

ferir à Fig.

ransferêncio mássica diferença e de trans

nsferência no ponto A

o de Calor

PARA AN

dos trocadma quantidde calor d

g. 7.15. É os fluidos qocador de cansferênciça ∆ Tm, elor Q entr

nsferência ado nesta áenvolveremde correntepoderá se

ra para a de

11.15. Faç

ia de calordos fluidoslocal de te

sferência d

de calor dA, é dada p

ÁLISE DO

ores de cadade de ine passe úevidente,

quente e fcalor. a de caloentre o fluidre os fluid

Q =AU ∆

de calor toárea. mos uma ees paralela

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r medida a s frio e queemperaturade calor gl

dQ, do fluidpor

OS TROCA

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do quente

ADORES D

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o coeficie

o para a difm único pas configu

a temperatur

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cal entre o

para o frio

DE CALOR

ransferêncConcentra

guração dera, que a constante

e calor, ée modo qurminada p

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ra média log

2 te, kg/h ente e frio,

os dois flui

o, através

1

R

cia de caloaremos nose escoame

diferença ; varia com

convenieue a taxa topela segui

(7

nsferência

e temperatstrado na Fe escoame

garítmica

, °C. dos, W/(m

de uma á

122

or Q ssa

ento de

m a

ente otal inte

7.8)

de

tura Fig. ento

m2 .

rea

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Apostila de Transmissão de Calor

123

DQ = U dA ∆ T (7.9)

Entretanto, dQ deve ser igual ao calor desprendido pelo fluido quente, ou absorvido pelo fluido frio, ao passarem do ponto A para o ponto A + dA; com esta consideração, escrevemos

dQ = -mh cph dTh (fluido quente) (7.10 a) dQ = mc cpc dTc (fluido frio) (7.l0 b)

onde cpc e cph são os calores específicos, e dTc e dTh são as variações das temperaturas dos fluidos frio e quente, respectivamente. Notemos que

∆ T = Th - Tc (7.11 a) ou

d( ∆ T) = dTh - dTc (7.11 b) Combinando as Eqs. (7.10) e utilizando a Eq. (7.11 b), obtemos

d( ∆ T) = - ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−

pccphhpccphh cmcmdQ

cmdQ

cmdQ 11 (7.12)

que pode ser escrita mais compactamente como

d( ∆ T) = - B dQ (7.13a) onde

B=pccphh cmcm

11+ (7.13 b)

A eliminação de dQ entre as Eqs. (7.9) e (7.13 a) dá .

d( ∆ T) / ∆ T = - UB dA (7.14)

A integração da Eq. (7.14) sobre o inteiro comprimento do trocador de calor dá

( )

∫∫ −=∆∆∆

tL AT

TUdAB

TTd

00

( )t

A

t

T

T A

UdABA

TTd

t

L ∫∫ −=

∆∆∆

0

0

(7.15)

onde At é a área total de transferência de calor do trocador de calor. Agora definimos o coeficiente de transferência de calor global médio Um para o trocador de calor inteiro

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Apostila de Transmissão de Calor

124

como

∫= tA

tm UdA

AU

0

1 (7.16)

Então, a Eq. (7.15) é integrada para dar

tmL

ABUTT

=∆∆ 0ln (7.17)

A taxa total de transferência de calor Q, através do trocador de calor, é determinada pela integração da Eq. (7.13 a) sobre todo o comprimento

( ) ∫∫ −=∆∆

QT

TdQBTdL

00

∆ T0 - ∆ TL = BQ

Q = B

TT L∆−∆ 0 (7.18)

A eliminação de B entre as Eqs. (7.17) e (7.18) leva a

Q = At Um)/ln( 0

0

L

L

TTTT

∆∆∆−∆ (7.19)

Nosso objetivo nessa análise era exprimir a taxa total de transferência de calor através do trocador de calor em termos de uma diferença média de temperatura ∆ Tln na forma

Q = At Um ∆ Tln (7.20)

A comparação entre os resultados das Eqs. (7.19) e (7.20) revela que a diferença média de temperatura ∆ Tln, entre os fluidos quente e frio, em todo o comprimento do trocador de calor, é

)/ln( 0

0ln

L

L

TTTT

T∆∆∆−∆

=∆ (7.21)

A diferença de temperatura média ∆ Tln, definida pela Eq. (7.21), é a diferença de temperatura média logarítmica (DTML).

Portanto, a taxa total de transferência de calor entre os fluidos quente e frio, em todas as disposições de correntes com passe único, da Fig. 7.12, é determinada a partir de

Q = A U ∆ Tln (7.22)

onde ∆ Tln é definida pela Eq. (7.21). Observamos que, no caso especial ∆ T0 = ∆ TL, a Eq. (7.21) leva a ∆ Tln = 0/0 = indeterminado. Mas a aplicação da regra de L'Hospital

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Apostila de Transmissão de Calor

125

mostra que neste caso particular ∆ Tln = ∆ T0= ∆ TL. É interessante comparar a DTML de ∆ T0 e ∆ TL com a média aritmética:

Tab. 7.2

20 L

aTT

T∆+∆

=∆ (7.23)

Apresentamos, na Tabela 7.2, uma comparação entre as médias logarítmica e aritmética das duas grandezas ∆ To e ∆ TL. Notamos que as médias aritmética e logarítmica são iguais para ∆ To = ∆ TL .Quando ∆ To ≠ ∆ TL, a DTML é sempre menor do que a média aritmética; se ∆ To não é mais do que 50% maior do que ∆ TL, A DTML pode ser aproximada pela média aritmética dentro de cerca de 1,4%. 7.5) CORREÇÃO DA DTML EM TROCADORES COM CORRENTES CRUZADAS E MULTIPASSE

A DTML, desenvolvida na Sec. 7.4, não se aplica à análise da transferência de calor em trocadores de correntes cruzadas e muitos passes. As diferenças efetivas de temperatura foram determinadas nos escoamentos de correntes cruzadas e também multipasse, mas as expressões resultantes são muito complicadas. Por isso, nessas situações, é costume introduzir um fator de correção F de modo que a DTML simples possa ser ajustada para representar a diferença efetiva de temperatura corrT∆ para a disposição de correntes cruzada e multipasse na forma

corrT∆ = F( ∆ Tln em contracorrente) onde ∆ Tln deve ser calculada nas condições de contracorrente. Especificamente, ∆ T0 e ∆ TL, que aparecem na definição da DTML dada pela Eq. (7.12), devem ser (veja Fig. 7.12b)

∆ T0 = Th,ef - Tc,af ( 7.25 a) ∆ TL = Th,af - Tc,ef (7.25 b)

onde os índices c e h se referem, respectivamente, aos fluidos frio e quente. A Fig. 7.16 mostra o fator de correção F em algumas configurações usualmente empregadas nos trocadores de calor. Nestas figuras, a abscissa é a razão dimensional P, definida como

P = 11

12

tTtt

−− (7.26 a)

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Apostila de Transmissão de Calor

126

onde T se refere à temperatura do lado do casco, t é a temperatura do lado dos tubos, e os subscritos 1 e 2 se referem, respectivamente, às condições de entrada e de saída. O parâmetro R que aparece nas curvas é definido como

R = oladodocascp

ladodotubop

mcmc

ttTT

)()(

12

21 =−− (7.26 b)

Observe que os fatores de correção, na Fig. 7.16, podem ser aplicados quer o fluido quente esteja do lado do casco, quer do lado dos tubos.

Fig. 7.16 Fator de correção F para o cálculo de corrigidaT∆ em trocadores multipasse com correntes cruzadas. (a) um passe no casco e dois passes nos tubos; (b) dois passes no casco e quatro

passes nos tubos, ou múltiplo de quatro passes nos tubos; (c) correntes cruzadas, um só passe, os dois fluidos sem misturação.

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Apostila de Transmissão de Calor

127

Em geral, F é menor do que a unidade nos arranjos de correntes cruzadas e multipasses; é igual à unidade nos trocadores de calor em verdadeira contracorrente. Representa o grau de afastamento da verdadeira diferença média de temperatura em relação à DTML na contracorrente.

Na Fig. 7.16 notamos que o valor do parâmetro P se situa entre 0 e 1, e representa a eficiência térmica do fluido do lado do tubo. O valor de R vai de zero até o infinito, com o zero correspondendo à condensação pura do vapor no lado do casco e infinito à evaporação no lado dos tubos.

7.6) MÉTODO ε -NUT PARA ANÁLISE DOS TROCADORES DE CALOR

O cálculo da capacidade e o das dimensões dos trocadores de calor são os dois problemas importantes da análise térmica dos trocadores de calor. O cálculo da capacidade se refere à determinação da taxa de transferência de calor, das temperaturas de saída do fluido, e das perdas de carga num determinado trocador de calor ou num trocador já dimensionado; portanto, pode-se dispor da área da superfície de transferência de calor e das dimensões dos canais de passagem das correntes. O problema do dimensionamento se refere à determinação das dimensões do feixe de tubos para atingir as exigências da transferência de calor e da perda de carga. Se não considerarmos a perda de carga, o cálculo térmico envolve a determinação da taxa total de transferência de calor a um determinado trocador de calor; e o dimensionamento envolve a determinação da superfície total de transferência de calor necessária para atingir a taxa de transferência de calor especificada.

Se as temperaturas de entrada e de saída do fluido quente e do fluido frio, assim como o coeficiente da transferência de calor global, forem especificadas, o método da DTML, com ou sem a correção, pode ser empregado para resolver o problema do cálculo térmico ou do dimensionamento.

Em algumas situações são dadas apenas as temperaturas de entrada e as vazões dos fluidos quente e frio, e o coeficiente de transferência de calor global pode ser estimado. Em tais casos, a temperatura média logarítmica não pode ser determinada, pois as temperaturas de saída não são conhecidas. Por isso, o método da DTML na análise térmica dos trocadores de calor envolverá iterações tediosas para se determinar o valor próprio da DTML que satisfaça a exigência de o calor transferido no trocador de calor ser igual ao calor arrastado pelo fluido.

Para ilustrar o tedioso processo de iteração envolvido nestes cálculos, consideremos o cálculo térmico com as seguintes condições: Dados: Propriedades físicas dos fluidos quente e frio. Temperaturas de entrada Tc, af e Th,af Vazões mc e mh, kg/s Coeficiente de transferência de calor global Um Superfície total de transferência de calor A Carta de correção da DTML Determinar: A taxa total de transferência de calor Q Podem-se seguir os seguintes passos para resolver o problema:

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Apostila de Transmissão de Calor

128

1. Admita uma temperatura de saída, e determine P e R de acordo com as Eqs. (7.26a) e (7.26b), respectivamente; encontre também o fator de correção F da DTML na carta. 2. Calcule ∆ Tln nas condições de escoamento em corrente. 3. Determine Q a partir de Q = A UmF ∆ Tln 4. Calcule as temperaturas de saída a partir de Q e das vazões. 5. Compare as temperaturas de saída, calculadas no passo 4, com os valores admitidos no passo 1. 6. Se os valores admitidos e calculados das temperaturas de saída forem diferentes, repita os cálculos até obter uma convergência especificada. Evidentemente, estes cálculos são muito tediosos. A análise pode ser significativamente simplificada se usarmos o método −ε NUT ou o método da efetividade, desenvolvido originalmente por Kays e Londor. Neste método, a efetividade ε é definida como

maxQQ

ε = taxa real de transferência de calor / taxa máxima possível de transferência de calor de uma corrente para outra

A taxa máxima possível de transferência de calor Qmax é obtida num trocador em contracorrente se a variação de temperatura do fluido que tiver o valor mínimo de mcp for igual à diferença entre as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio. Consideramos (mcp)min, porque a energia perdida por um fluido deve ser igual à recebida pelo outro fluido. Se considerarmos (mcp)máx, então o outro fluido deve sofrer uma variação de temperatura maior do que a maior diferença de temperatura disponível; isto é, a ∆ T do outro fluido seria maior do que Th,af – Tc,af. Isto não é possível. Com esta consideração, Qmax é escolhido como

Qmax = (mcp)min – (Th,af – Tc,af) (7.27)

Então, dados ε e Qmax , a taxa real de transferência de calor Q é

Q = ε * (mcp)min * (Th,af – Tc,af) (7.28)

Aqui, (mcp)mín é a menor entre mhcph e mccpc dos fluidos quente e frio; Th,af e Tc,af são as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio, respectivamente. Evidentemente, se a eficiência ε do trocador for conhecida, a Eq. (7.28) dá uma expressão explícita para a determinação de Q no trocador. Vamos agora descrever a dedução da expressão da efetividade ε . 7.6.1) Determinação de ε: A equação da efetividade depende da geometria do trocador de calor e da disposição das correntes. Para ilustrar o procedimento geral da dedução de ε , consideramos novamente o escoamento em correntes paralelas da Fig. 7.15. Da Eq. (7.28) nós escrevemos

( ) ( )afcafhmínp TTmcQ

,, −=ε (7.29)

Page 129: Trans Miss Ão Decal Or

Apostila de Transmissão de Calor

129

A taxa real de transferéncia de calor Q é dada por

( ) ( )afcefcpccefhinhphh TTcmTTcmQ ,,,, −=−= (7.30) A substituição da Eq. (7.30) em (7.29) dá

( )( )afcafhmín

efhafhh

TTCTTC

,,

,,

−=ε (7.31 a)

( )( )afcafhmín

afcefcc

TTCTTC

,,

,,

−=ε (7.31 b)

onde definimos

phhh cmC ≡ pccc cmC ≡ (7.32) e Cmín é igual ao menor entre Ch e Cc. Agora, nosso objetivo é eliminar a razão das temperaturas, digamos, na Eq. (7.31b). O processo é o seguinte: Consideramos a Eq. (7.17)

ABUTT

mL

=∆∆ 0ln (7.33)

onde, com a disposição de escoamento paralelo, temos

afcafh TTT ,,0 −=∆ (7.34 a)

efcefhL TTT ,, −=∆ (7.34 b) Leva-se a Eq. (7.33) para a forma exponencial, e usam-se os resultados da Eq. (7.34):

mBAU

afcafh

efcefh eTTTT −=

,,

,, (7.35)

A Eq. (7.31) é resolvida em Th,ef:

( )afcefch

cafhefh TT

CC

TT ,,,, −−= (7.36)

Este resultado entra na Eq. (7.35) para eliminar Th,ef:

mBAU

h

c

incinh

afcefc eCC

TTTT −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−− 11

,,

,,

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Apostila de Transmissão de Calor

130

hc

BAU

incinh

incefc

CCe

TTTT m

/111

,,

,,

+−

=−

−−

(7.37)

Este resultado entra na Eq. (7.31b) e se elimina a razão entre as temperaturas. A efetividade ε é determinada como

hmíncmín

BAU

CCCCe m

//1

+−

=−

ε (7.38 a)

onde B é definido pela Eq. (7.13b)

ch CCB 11

+= (7.38 b)

Evidentemente, se considerarmos uma disposição de escoamento diferente, teremos uma expressão diferente para a efetividade. 7.6.2) Relação ε -NUT Por conveniência, nas aplicações práticas, define-se um parâmetro adimensional, o número de unidades de transferência (de calor) (NUT) como

NUT = mín

m

CAU (7.39a)

Para simplificar a notação, adotamos a seguinte abreviação

NUT ≡ N (7.39 b)

Então, a Eq. (7.38) é escrita na forma

( )[ ]hcmín

hcmín

CCCCCCCCN

////exp1

min

min

++−−

=ε (7.40)

Definimos agora

máx

mín

CC

C ≡ (7.41)

onde Cmín e Cmáx são, respectivamente, a menor e a maior das duas grandezas Ch e Cc. Então, a Eq. (7.40) é escrita mais compactamente como

( )[ ]C

CN+

+−−=

11exp1ε (correntes paralelas ) (7.42)

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Apostila de Transmissão de Calor

131

Esta equação dá a relação entre a efetividade ε e o número de unidades de transferência de calor N num trocador de calor com correntes paralelas, independentemente de Cmín ocorrer no lado quente ou no lado frio.

Cálculos semelhantes podem ser feitos e as relações ε -NUT podem ser desenvolvidas em trocadores de calor que têm outros arranjos de correntes, como contracorrente, correntes cruzadas, passes múltiplos, etc.

Fig. 7.17 Efetividade num trocador de calor com correntes Fig. 7.18 Efetividade num paralelas. trocador de calor em contracorrente.

Nas Figs. 7.17 a 7.21 apresentamos algumas cartas de efetividade para arranjos típicos de escoamento. Também listamos, na Tabela 7.3, algumas relações funcionais para rápida referência. Condensadores e caldeiras: No caso de condensadores e caldeiras, a temperatura do fluido no lado da ebulição ou no da condensação permanece essencialmente constante. Lembremo-nos da Eqs. (7.31) para a definição de efetividade. Se a efetividade deve permanecer finita, Cc ou Ch, no lado em que há mudança de fase, deve comportar-se como um calor específico infinito, pois Taf - Tef neste lado é praticamente zero. Essa exigência implica que, numa caldeira ou num condensador, devemos ter Cmáx →°°, e, como resultado,

0→=máx

mín

CC

C (7.43)

Nestas situações, as expressões da Tabela 7.3 simplificam-se para

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Apostila de Transmissão de Calor

132

Ne−−= 1ε para C 0→ (7.44) Onde N = AUm / Cmín . 7.6.3) Significado Físico do NUT O significado físico do parâmetro adimensional NUT pode ser visto como segue:

NUT = mín

m

CAU (7.45)

(capacidade calorífica do trocador /capacidade calorifica das correntes)

Fig. 7.19 Efetividade num trocador de calor, com correntes Fig. 7.20 Efetividade num trocador de cruzadas, ambas não misturadas. um passe no casco e dois, quatro , seis, etc. passes nos tubos.

Fig. 7.21 Efetividade num trocador de calor de dois passes no casco e quatro, oito, doze, etc. passes nos

tubos.

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Apostila de Transmissão de Calor

133

Para um determinado valor de Um/Cmín, o NUT é uma medida da área real de transferência de calor A, da "dimensão física" do trocador. Quanto mais alto o NUT, maior é a dimensão física.

Um trocador em contracorrente tem o valor maior de ε para valores especificados de NUT e de C, C = Cmín/Cmáx não tem muito efeito sobre a efetividadeε .

Um trocador em contracorrente tem o valor maior de ε para valores especificados de NUT e de C, em comparação com os valores de outras configurações do escoamento. Por isso, dados NUT e C, a configuração em contracorrente proporciona o melhor desempenho na transferência de calor.

Tab. 7.3 Fórmulas efetivas de trocador de calor.

7.6.4) Emprego das relações ε -NUT

As relações ε -NUT podem ser facilmente empregadas para a resolução dos problemas de cálculo térmico e de dimensionamento.

Problema do cálculo térmico Suponha que as temperaturas de entrada Tc,af e

Th,af, as vazões mc e mh, as propriedades físicas de ambos os fluidos, o coeficiente de

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Apostila de Transmissão de Calor

134

transferência de calor global Um, e a área total de transferência de calor A sejam dados. O tipo e a configuração do escoamento do trocador são especificados. Desejamos determinar a taxa total de fluxo de calor Q e as temperaturas de saída Th,ef e Tc,ef. Os cálculos são os seguintes: 1. Calcule C = Cmín / Cmáx e N = NUT = UmA/Cmín a partir dos dados de entrada especificados. 2. Sabendo N e C, determine ε a partir da carta ou da equação para a geometria e configuração do escoamento especificados. 3. Sabendo ε , calcule a taxa total de transferência de calor Q a partir de

)( ,, afcafhmín TTCQ −= ε

4. Calcule as temperaturas de saída a partir de

Th.,ef = Th,af hC

Q−

cafcefc C

QTT += ,,

A discussão precedente do método ε -NUT ilustra claramente que o problema do cálculo térmico, quando as temperaturas de saída não são dadas, pode ser resolvido rapidamente com o método ε -NUT, mas será necessário um tedioso processo de iteração para resolvê-lo com o método DTML, e a convergência pode não ser fácil.

7.6.5) Problema do Dimensionamento.

Suponha que sejam dados as temperaturas de entrada e de saída, a vazão, o

coeficiente de transferência de calor global e a taxa total de transferência de calor; também a disposição do escoamento é especificada. Desejamos determinar a superfície total de transferência de calor A. 1. Sabendo as temperaturas de entrada e de saída, calcule ε de acordo com as Eqs.

(7.31). 2. Calcule C = Cmín /Cmáx . 3. Sabendo ε e C, determine NUT a partir da carta apropriada de ε -NUT. 4. Sabendo NUT, calcule a superfície de transferência de calor A segundo a Eq. (7.39a):

( )m

mín

UCNUT

A =

O emprego do método ε -NUT geralmente é preferido no projeto de trocadores

de calor compactos para aplicações automotivas, aeronáuticas, de condicionamento de ar e outras aplicações industriais onde as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio são especificadas e as taxas de transferência de calor devem ser determinadas. Nas indústrias de processamento de eletricidade e petroquímicas, tanto as temperaturas de entrada como de saída dos fluidos quente e frio são especificadas; por isso o método DTML é geralmente empregado.

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Apostila de Transmissão de Calor

135

7.7) TROCADORES DE CALOR COMPACTOS

Um trocador de calor que tenha uma densidade de área superficial maior do que cerca de 700 m2/m3 é classificado arbitrariamente como trocador de calor compacto. Estes trocadores de calor são geralmente empregados em aplicações com corrente gasosa. Por esse motivo, o coeficiente de transferência de calor é baixo, e é importante a pequenez de peso e de tamanho. São encontrados em uma grande variedade de configurações do miolo de transferência de calor, e suas características térmicas e hidrodinâmica foram estudadas extensamente. A Fig. 7.22 mostra miolos típicos dos trocadores de calor compactos. A Fig. 7.22a mostra um feixe de tubos com aletas circulares em cada tubo; a Fig. 7.22b mostra um miolo de aleta de chapa placa contínua e canais formados por chapas onduladas; a Fig. 7.22c mostra um miolo de tubos chatos aletados por chapas planas contínuas.

As características de transferência de calor e de perda de carga destes equipamentos para emprego como trocadores de calor compactos são determinadas experimentalmente. Por exemplo, as Figs. 7.23 a 7.25 mostram transferências típicas de calor e dados do fator de atrito nos três diferentes modelos. Note que os principais grupos adimensionais que governam essas correlações incluem os números de Stanton, de Prandtl e de Reynolds

pGChSt =

KC p µ

=Pr µ

hGD=Re (7.47)

Aqui, G é a velocidade mássica, definida como G = m / Amín onde m = vazão mássica total do fluido (kg/s) e Amín = área transversalmente mínima do escoamento livre (m2), onde quer que esse mínimo ocorra. A grandeza do diâmetro hidráulico Dh, em cada configuração, é especificado nas Figs. 7.23 a 7.25. O diametro hidráulico Dh é definido como

ALA

D mính 4= (7.48)

onde A é a área total de transferência de calor e a grandeza LAmín pode ser considerada o volume mínimo de passagem da corrente livre uma vez que L é o comprimento do percurso do fluido no miolo do trocador de calor.

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Apostila de Transmissão de Calor

136

Fig. 7.22 Miolos típicos de trocadores de calor compactos: (a) feixe de tubos cilíndricos aletados; (b) chapa plana aletada; (c) feixe de tubos chatos aletados.

Fig. 7.23 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos cilíndricos com aletas de chapas contínuas

Portanto, uma vez conhecidas as cartas de transferência de calor e do fator de atrito para um modelo determinado de miolo, como a da Fig. 7.23, e conhecido o número de Reynolds do escoamento, poderão ser calculados o coeficiente de transferência de calor h e o fator de atrito f do escoamento através do miolo. Então, o problema do cálculo da capacidade e das dimensões poderá ser resolvido mediante o processo da DTML ou com o método da análise da efetividade. Descreveremos agora a análise da perda de carga nos trocadores de calor compactos.

A perda de carga associada ao escoamento através de um trocador de calor compacto consiste em três componentes: o atrito no miolo, a aceleração no miolo e as perdas de entrada e de saída.

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Apostila de Transmissão de Calor

137

Vamos apresentar agora a análise de perda de carga nos trocadores com aletas de chapa contínua e de tubos com aletas.

Fig. 7.24 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos chatos com aletas de chapas contínuas

Fig. 7.25 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos cilíndricos com aletas individuais

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138

7.7.1) Perda de Carga em Trocadores com Aletas de Chapa Contínua Considere o miolo de um trocador com aletas de chapa contínua, como está ilustrado na Fig. 7.22b. A medida que o fluido entra nos canais, sofre quedas de pressão em virtude da contração resultante de variações de área e da expansão livre irreversível depois de uma contração repentina. À medida que o fluido passa através do miolo do trocador de calor (isto é, do núcleo), sofre queda de pressão em virtude do atrito fluido. Também, dependendo de existir aquecimento ou resfriamento, há variação de pressão em virtude de aceleração ou de desaceleração da corrente. Finalmente, à medida que o fluido deixa o miolo do trocador de calor, há quedas de pressão associadas à variação de área e a separação do fluido. Então, a perda de carga total no escoamento do fluido através do miolo do trocador de calor é dada por:

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+=∆

0

2

0

22

11212 ρ

ρσ

ρρ

ρρ

σρ

i

m

i

mín

ic

i

KeAAfKGP

(7.49)

onde frontalárea

livreescoamentodomínimaáreaAA

fr

mín

.....

==σ

livreescoamentodemínimaáreacalordeciatransferêndetotalárea

DL

AA

hmín .........4

==

σ

ρρ∞∞ ==

uA

AuG

mín

fr = velocidade mássica, Kg/(m2.s)

Kc,Ke = coeficiente de contração e de expansão do escoamento, respectivamente =0, ρρ i densidade na entrada e na saída respectivamente

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

0

11211

ρρρ im

A Eq. (7.49) dá a perda de carga associada ao escoamento através do miolo do trocador de calor. Pode-se considerar a relação também válida para o escoamento no interior dos tubos do trocador de calor. Por isso, a perda total de carga através do trocador de calor é igual à soma das perdas de carga do escoamento através dos tubos e no interior dos mesmos.

Na Eq. (7.49), a perda de carga por atrito é em geral a mais importante e responde por cerca de 90%, ou mais, da perda de carga total através do miolo. As perdas na entrada e na saída se tornam importantes nos trocadores curtos (isto é, com pequenos L) com pequenos valores de σ , valores grandes do número de Reynolds e com gases. Com líquidos são desprezíveis.

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139

7.7.2) Perda de Carga em Trocadores de Tubos Aletados

No escoamento normal a um banco de tubos aletados, fig. 7.22a, as perdas na entrada e na saída são em geral devidas ao fator de atrito, e por isso Kc = Ke = 0. Então, pondo Kc = Ke = 0 na Eq. (7.49), a perda de carga total no escoamento através do banco de tubos se torna

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=∆

m

i

mín

i

i AAfGP

ρρ

ρρ

σρ

112 0

22

aceleração da corrente atrito no miolo

7.8) OTIMIZAÇÃO DOS TROCADORES DE CALOR Embora os projetos padrões dos trocadores de calor possam satisfazer às necessidades da maior parte das unidades pequenas e simples, operando em temperaturas moderadas e pressões baixas é possível que sejam necessárias unidades individualmente projetadas, para numerosas aplicações especiais.

Os trocadores de calor são projetados para uma vasta variedade de aplicações, por isso, os critérios de otimização dependem do tipo de aplicação. Por exemplo, os critérios de otimização podem requerer um mínimo de peso, um mínimo de volume ou superfície mínima de transferência de calor, custo inicial mínimo, ou custos inicial e operacional mínimos, maior taxa de transferência de calor, perda de carga mínima para uma certa taxa de transferência de calor, diferença média de temperatura mínima, e assim por diante.

Por isso, para efetivar um estudo de otimização, deve ser executado o projeto térmico do trocador de calor e os cálculos devem ser repetidos para cada variável do projeto até que o critério de otimização seja satisfeito. Já existem programas de computador para o projeto térmico dos trocadores de calor.

Bell descreve o procedimento de um projeto auxiliado por computador, no caso do projeto térmico de trocadores de calor de casco e tubos. Shah discute os aspectos básicos de um projeto térmico auxiliado por computador, e o processo de otimização de trocadores de calor compactos. Spalding ressalta os aspectos gerais de uma abordagem numérica para determinar a dinâmica do fluido e o desempenho térmico dos trocadores de calor.

Para ilustrar a estrutura lógica básica da otimização dos trocadores de calor, focalizaremos nossa atenção nos trocadores de calor compactos.

O primeiro passo no processo de otimização é a solução dos problemas do cálculo da capacidade e das dimensões. O problema do cálculo da capacidade se refere à determinação da taxa de transferência de calor, das temperaturas de saída e da perda de carga em cada lado. Geralmente, são especificadas as seguintes grandezas nos problemas deste cálculo: tipo do trocador de calor, geometria das superfícies, disposição das correntes, vazões, temperaturas de entrada e dimensões totais do miolo.

O problema do dimensionamento se refere à determinação das dimensões do miolo para se atingir a transferência de calor especificada e a perda de carga tolerada.

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O papel do projetista é selecionar o tipo de construção, a disposição das correntes e a geometria das superfícies de ambos os lados. As seguintes grandezas são em geral especificadas: temperaturas de entrada e de saída do fluido, vazões, perdas de carga e taxa de transferência de calor.

Shah descreve os pontos principais das grandes sub-rotinas de computador necessárias para realizar os cálculos de dimensionamento e de desempenho térmico e hidrodinâmico. Incluem o seguinte: 1. Especificações do projeto. As especificações completas do projeto devem ser conhecidas, assim como a sub-rotina do computador. A informação deve incluir o tipo do trocador de calor; a disposição das correntes; a geometria das superfícies; as condições de operação, como temperaturas, pressões, vazões, tipos de fluidos, etc, na entrada; dimensões totais. 2. Propriedades do fluido. As propriedades dos fluidos, como calor específico, densidade, viscosidade, condutividade térmica e o número de Prandtl, devem ser incluídas como uma função da temperatura na forma de correlações. 3. Geometria do miolo. A informação que caracteriza a geometria do miolo deve ser fornecida em cada lado do trocador, incluindo a área mínima do escoamento livre, o diâmetro hidráulico, as dimensões das aletas, necessárias para o cálculo da eficiência das aleta, etc. 4. Relação ε -NUT. Uma vez que o método ε -NUT é utilizado no projeto térmico de trocadores de calor compactos, devem ser fornecidas as fórmulas que definem a relação ε -NUT. As relações devem ser suficientemente gerais para permitirem a determinação de e quando forem conhecidas NUT e C = Cmín/ Cmax, e para calcular NUT quando ε e C forem disponíveis. 5. Relação h e f. As características da transferência do calor e do atrito do escoamento nos trocadores de calor compactos são geralmente dadas na forma de cartas de j e de f plotados em função do número de Reynolds. Esses dados devem ser fornecidos na forma de correlações. 6. Rendimento das aletas. Quando são usadas superfícies estendidas no miolo da transferência de calor, a eficiência das aletas η e a eficiência das aletas ponderada pela área η ' são necessárias nos cálculos de transferência de calor. Por isso devem ser dadas as fórmulas que definem a eficiência η e a informação necessária para o cálculo de η '. 7. Relações de perda de carga. A perda de carga no escoamento através do miolo é devida ao atrito do escoamento, à aceleração e à desaceleração resultantes da transferência de calor, à contração e à expansão da corrente na entrada e na saída do miolo. Devem ser dadas as relações apropriadas para o cálculo da perda de carga decorrente destas causas. Também deve ser feita provisão para o cálculo da perda de carga nos ângulos, nas curvas, nos distribuidores e coletores, etc.

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7.8.1) Problema do Cálculo da Capacidade Se o problema envolve a otimização associada à taxa de transferência de calor, ou à perda de carga, resolve-se o problema da capacidade e calcula-se a taxa de transferência de calor, ou a perda de carga, resultante. 7.8.2) Problema de Dimensionamento Se o problema envolve otimização associada às dimensões, ao peso, ou à superfície de transferência de calor, e, portanto, ao custo, então o problema do dimensionamento é resolvido e as dimensões do miolo e a superfície da transferência de calor são calculadas. 7.8.3) Problema da Otimização Como se discutiu antes, o critério para otimização depende da aplicação específica. Por isso, a grandeza otimizada (isto é, maximizada ou minimizada) deve ser estabelecida. Pode haver alguma restrição adicional. Uma variedade de técnicas pode ser utilizada para se chegar a um projeto otimizado; qualquer que seja a técnica adotada, cada caso envolve a resolução do problema do cálculo da capacidade e das dimensões.Suponha que o trocador de calor deva ser otimizado para um custo total mínimo. O problema envolve restrições explícitas, como uma área frontal fixa e intervalos das dimensões do trocador de calor, e restrições implícitas sobre a taxa mínima de transferência de calor ou a perda de carga. Uma vez escolhida a geometria da superfície, o projetista tem a opção de impor restrições adicionais, como os valores máximo e mínimo da altura da aleta, espessura da aleta, passe da aleta, condutividade térmica da aleta, comprimento da aleta, razão do gás, etc. Então, o problema se reduz à resolução do problema do cálculo térmico dentro dos limites das variáveis especificadas.

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Apostila de Transmissão de Calor

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8) RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES NUM MEIO INERTE 8.1) NATUREZA DA RADIAÇÃO TÉRMICA

A radiação térmica é a energia radiante emitida pelos corpos em virtude das suas temperaturas. Todos os corpos, a uma temperatura acima do zero absoluto, emitem radiação térmica. Considere, por exemplo, um corpo quente à temperatura Th colocado em uma câmara de vácuo cujas paredes estão frias, à temperatura Tc, como está ilustrado na Fig. 8.1. Uma vez que o corpo quente está separado das paredes frias pelo vácuo, não é possível a transferência condutiva ou convectiva de calor. 0 corpo quente se resfria em virtude da troca de calor pela radiação térmica.

Outro exemplo é a transferência de energia do sol para a terra; a energia térmica emitida do sol se propaga através do espaço e atinge a superfície da terra. 0 transporte de energia radiante não exige um meio interveniente entre a superfície quente e fria. 0 verdadeiro mecanismo da propagação de radiação não está completamente compreendido, mas diversas teorias foram propostas para explicar o processo. De acordo com a teoria eletromagnética de Maxwell, a radiação é tratada como ondas eletromagnéticas, enquanto o conceito de Max Planck trata a radiação como fótons, ou quanta, de energia. Ambos os conceitos são utilizados para descrever a emissão e propagação de radiação. Por exemplo, os resultados obtidos a partir da teoria eletromagnética são usados para prever as propriedades radiantes dos materiais, enquanto os resultados do conceito de Planck são empregados para prever a grandeza da energia radiante emitida por um corpo a uma dada temperatura.

Quando a radiação é tratada como uma onda eletromagnética, considera-se a radiação de um corpo, à temperatura T, como se fosse emitida em todos os comprimentos de onda, desde 0=λ até ∞=λ . Nas temperaturas encontradas na maior parte das explicações de engenharia, o conjunto da energia térmica emitida por um corpo está nos comprimentos de onda entre 1,0≅λ mµλ 100≅ . Por este motivo, a região do espectro de comprimentos de onda entre 1,0=λ e mµλ 100= recebe geralmente o nome de radiação térmica. 0 sol emite radiação térmica a uma temperatura efetiva superficial de cerca de 5.760 k e o conjunto desta energia está nos comprimentos de onda entre 1,0≅λ e mµλ 3≅ ; por isso, esta região do espectro é conhecida geralmente como a radiação solar. A radiação emitida pelo sol, nos comprimentos de onda entre λ = 0,4 e λ= 0,7 µ m é visível para o olho; esta região do espectro é a radiação visível (isto é, a luz visível). A Fig. 8.2 ilustra essas subdivisões do espectro de ondas eletromagnéticas.

Fig. 8.1. Troca de radiação térmica

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Apostila de Transmissão de Calor

143

A natureza ondulatória da radiação térmica implica que o comprimento de onda λ deve estar associado à freqüência ν da radiação. A relação entre λ e o ν é

vc

=λ (8.1)

onde c é a velocidade de propagação no meio. Se o meio no qual a radiação se propaga for o vácuo, a velocidade de propagação é igual à velocidade da luz, isto é,

co = 2,9979 * 108 m/s (8.2)

Utilizando esta relação entre λ e ν, incluímos na Fig. 8.2 o espectro de freqüências correspondentes.

Fig. 8.2 Espectro típico da radiação eletromagnética devida a temperatura de um corpo.

Outros tipos de radiação, como os raios X, os raios gama, as microondas, etc.,

são bem conhecidos e utilizados em vários ramos da ciência e da engenharia. Os raios X. são produzidos pelo bombardeio de um metal com elétrons de alta freqüência, e o grosso da energia está no domínio entre me µλλ 24 1010 −− ≅≅ . Os raios gama são produzidos pela fissão dos núcleos, ou pela desintegração radiativa, e o grosso da energia está concentrado no domínio de comprimentos de onda menores do que o dos raios X. Neste livro, não vamos tratar destas radiações. Nosso interesse está concentrado na radiação térmica como mecanismo de transporte de energia entre objetos em temperaturas diferentes.

No estudo da transferência de radiação, deve-se fazer uma distinção entre os corpos semitransparentes à radiação e os opacos. Se o material for semitransparente à radiação, como o vidro, os cristais incolores e os gases a temperaturas elevadas, então a radiação que sai do corpo por suas superfícies externas é o resultado de emissões ocorrentes em todas as profundidades dentro do material. A emissão de radiação, nestes casos, é um fenômeno global, ou volumar. Se o material for opaco à radiação térmica, como os metais, a madeira, as rochas, etc., a radiação emitida pelas regiões do interior do material não atinge a superfície. Nesses casos, a radiação emitida pelo corpo tem origem no material na vizinhança imediata da superfície (i. e., dentro de cerca de 1 µ m), e a emissão é um fenômeno superficial. Observe-se também que o material

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Apostila de Transmissão de Calor

144

pode comportar-se como um meio semitransparente em certas faixas de temperatura e como opaco em outras temperaturas. O vidro é um exemplo típico deste comportamento; é semitransparente à radiação térmica em temperaturas elevadas ou opaco em temperaturas intermediárias ou baixas.

8.2) RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO Um corpo, em qualquer temperatura acima do zero absoluto, emite radiação em todos os comprimentos de onda, em todas as direções possíveis no espaço. O conceito de corpo negro é uma idealização que serve para comparar as características da emissão e da absorção dos corpos reais.

Um corpo negro absorve toda a radiação incidente vinda de todas as direções, em todos os comprimentos de onda, sem que o corpo a reflita, transmita ou espalhe. Numa dada temperatura, num dado comprimento de onda, nenhum outro corpo, à mesma temperatura pode emitir mais radiação do que um corpo negro. A emissão de radiação por um corpo negro, a qualquer temperatura T, é a emissão máxima possível nesta temperatura. O termo negro deve ser distinguido do seu uso ordinário em relação ao negrume de uma superfície sob observação visual. O olho humano pode detectar o negrume somente na região visível do espectro. Por exemplo, um objeto como o gelo é brilhante ao olho mas é quase negro para a radiação térmica de grande comprimento de onda. Entretanto, um corpo negro é completamente negro à radiação térmica, em todos os comprimentos de onda desde λ = 0 até ∞=λ .

A radiação é emitida por um corpo em todas as direções. É de interesse saber a quantidade de radiação emitida por um corpo negro em uma dada direção. A quantidade fundamental que especifica a grandeza da energia da radiação emitida por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, num comprimento de onda λ , em qualquer direção dada, é a intensidade da radiação espectral do corpo negro λbI (T). O termo espectral é utilizado para denotar a dependência entre o comprimento de onda e a intensidade da radiação, e o índice b se refere ao corpo negro.

A grandeza de λbI (T) para a emissão no vácuo foi determinada primeiro por Planck e é dada por

λbI (T) = ( )[ ] 1/exp2

5

2

−kThchc

λλ (8.3)

onde h ( = 6,6256 x 10-34 J. s) e k (= 1,38054 x 10-23 J. K) são as constantes de Planck e de Boltzmann, respectivamente, c (= 2,9979 x l08 m/s) é a velocidade da luz no vácuo, T, em kelvins, é a temperatura absoluta, e λ é o comprimento de onda. λbI (T) representa a energia radiante emitida por um corpo negro, à temperatura T, passando através de uma unidade de área perpendicular à direção de propagação, por unidade de comprimento de onda em torno do comprimento de onda λ , por unidade de ângulo sólido em torno da direção de propagação do feixe. Com base nesta definição, as unidades de λbI (T) podem ser escritas como

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Apostila de Transmissão de Calor

145

Energia /(Área)(comprimento de onda)(ângulo sólido) (8.4a)

onde a área é medida perpendicularmente à direção da propagação.

1Fig. 8.3 Definição de ângulo sólido

Se a energia for medida em watts, a área em metros quadrados, o comprimento de onda em micrômetros e o ângulo sólido em esterorradianos (sr), a Eq. (8.4a) tem a dimensão

srmm

W..2 µ

(8.4b)

O significado físico do ângulo sólido é mais bem visualizado se nos referirmos à Fig. 8.3. Seja Ω a direção de propagação e 0 a posição de referência. Consideremos uma pequena área dA a um distância r de 0 e normal à direção Ω . O ângulo sólido dw subtendido por dA, em O, é definido como

2rdA

dw = (8.5)

Com base nesta definição, podemos inferir facilmente que o ângulo sólido subtendido por um hemisfério, no seu centro, é 2 π (isto é, 2π r2/r2) e por toda a esfera no seu centro é 4π (isto é, 4π r2/r2). Na Eq. (8.3), λbI (T) é a intensidade da radiação do corpo negro, por unidade de comprimento de onda, em torno do comprimento de onda λ . Entretanto, a radiação é emitida em todos os comprimentos de onda. Para determinar a intensidade da radiação do corpo negro λbI (T), emitida à temperatura T, sobre todos os comprimentos de onda, integramos λbI (T) desde λ = 0 até ∞=λ :

bI (T) = ( )∫∞

=0 bIλ λ λdT W/(m2.sr) (8.6)

Aqui, Ib( T) é a intensidade da radiação do corpo negro.

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Apostila de Transmissão de Calor

146

8.2.1) Poder Emissivo do Corpo Negro Há interesse prático em conhecer-se a quantidade de energia radiante emitida por unidade de área de um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, em todas as direções de um espaço hemisférico. Para calcular esta grandeza, consideremos uma área elementar dA à temperatura T, como está ilustrado na Fig. 8.4a. Seja n a normal a esta superfície, θ o ângulo polar medido a partir desta normal, e θ o azimute. A superfície emite radiação de intensidade espectral λbI (T) em todas as direções. De acordo com esta definição, esta intensidade, dada pela Eq. (8.3), é independente da direção. A grandeza

λbI (T)dA θcos dw (8.7)

representa a energia radiante espectral emitida pelo elemento de superfície dA, que se propaga através do ângulo sólido elementar dw, em uma dada direção Ω . Nesta expressão, o termo dA cosθ é a projeção de dA sobre um plano normal à direção Ω ; o emprego da área projetada é necessário pois λbI (T), por definição, está baseada na área normal à direção de propagação. Dividindo a Eq. (8.7) por dA, obtemos

λbI (T) θcos dw (8.8)

que representa a energia radiante espectral do corpo negro, emitida por unidade de área da superfície, que se propaga através do ângulo sólido elementar dw em qualquer direçãoΩ . Observe a Fig. 8.4b. Um ângulo sólido elementar dw pode ser relacionado ao ângulo polar θ e ao azimute φ por

( )( ) θθφθ senr

senrdrdrdAdw === 22

1 dθ d φ (8.9)

Então a Eq. (8.8) se torna

λbI (T)cosθ senθ dθ d φ (8.10)

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Apostila de Transmissão de Calor

147

Fig. 8.4 Nomenclatura para (a) emissão de radiação por uma superfície dA; (b) definição do ângulo

sólido dw em termos de φθ , .

A radiação espectral do corpo negro, emitida por unidade de área da superfície, em todas as direções, dentro do espaço hemisférico, é obtida pela integração da Eq. (8.10)

sobre πφ 20 ≤≤ e 0<θ2π

≤ .

Obtemos, λbE (T) = λbI (T) ∫∫ ==

2/

0

2

0...cos

π

θ

π

φφθθθ ddsen

= π2 λbI (T) ∫=

2/

0..sen.cos

π

θθθθ d

= π2 λbI (T)2/

0

2sen21 π

θ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

λbE (T) = π λbI (T) (8.11)

λbI (T) é o poder emissivo espectral do corpo negro. Representa a energia radiante

emitida por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, por unidade de área, por unidade de tempo, por unidade de comprimento de onda em torno de λ , em todas as direções de um espaço hemisférico. Representa realmente o fluxo de radiação espectral do corpo negro. A função de Planck, definida pela Eq. (8.3), entra agora na Eq. (8.11). Obtemos

λbE (T) = ( )[ ] 1/exp 2

51

−Tcc

λλ W/(m2. µ m) (8.12)

onde c1 = 2π hc2 = 3,743 x 108 W . µ m4 /m2 c2 = hc/k = 1,4387 x 104 µ m.K T = temperatura absoluta, K λ = comprimento de onda, µ m

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148

A Eq. (8.12) pode ser usada para calcular λbE (T) para quaisquer λ e T. A Fig. 8.5 mostra o gráfico de λbE (T) em função de λ em várias T. Notamos, a partir desta figura, que, a um dado comprimento de onda, a radiação emitida cresce com a elevação de temperatura, e, para uma dada temperatura, a radiação emitida varia com o comprimento de onda e apresenta um máximo. Esses máximos tendem a se deslocar para os comprimentos de onda menores à medida que a temperatura cresce. As posições destes máximos são dadas pela lei do deslocamento de Wien como

( ) kmT máx ..6,2897 µλ = (8.13) As posições dos máximos estão mostradas, na Fig. 8.5, pela linha tracejada.

Fig. 8.5 Poder emissivo espectral do corpo negro a diferentes temperaturas.

8.2.2) Lei de Stefan-Boltzmann A energia radiante emitida por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, em todos os comprimentos de onda, por unidade de tempo, por unidade de área, é determinada pela integração da Eq. (8.12) desde λ =0 até ∞=λ :

Eb(T) =( )[ ] ∫

= −02

51

1/expλλ

λλd

Tcc

A variável de integração é modificada de λ para λT ≡ x:

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Apostila de Transmissão de Calor

149

Eb(T) =T4[ ] xd

xcxc

x∫∞

= −02

51

1)/(exp (8.14)

Esta integração pode ser realizada e o resultado é expresso como

Eb(T) =σT4 W/m2 (8.15)

onde T está em kelvins e σ é a constante de Stefan-Boltzmann, cujo valor numérico é

σ = 5,67 x 10-8 W/(m2. K4) (8.16)

Aqui, Eb(T) é o poder emissivo do corpo negro, e a Eq. (8.15) é a lei de Stefan-Boltzmann. O significado físico de Eb(T) é representar o fluxo de radiação do corpo negro, emitido por uma superfície unitária a uma temperatura absoluta T. Pode-se determinar a relação entre Eb(T) e Ib(T) pela integração da Eq. (8.11), sobre todos os comprimentos de onda. Obtemos

Eb(T) = π Ib(T) W/m2 (8.17)

e das Eqs. (8.15) e (8.17) escrevemos

Ib(T) = 41Tσ

π W/(m2.sr) (8.18)

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Apostila de Transmissão de Calor

150

8.2.3) Funções de Radiação do Corpo Negro

Tab. 8.1 Funções de radiações do corpo negro

Em numerosas aplicações, o interesse está centrado na emissão de radiação por um corpo negro no intervalo de comprimento de onda desde λ= 0 até λ , em função da emissão total, desde λ= 0 até λ= ∞ . Esta grandeza é determinada, conforme sua definição, por

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Apostila de Transmissão de Calor

151

40

0

0)(

)(

)()(

TdTE

dTE

dTETf

b

b

bo σ

λ

λ

λλ

λ

λ

λ

λλ

∫∫∫

== ∞− (8.19)

Entrando com )(TEbλ , da Eq. (8.12), na Eq. (8.19):

( )[ ]∫ Τ

=− −=

λ

λ σ 02

51

1/exp)(

xo xcxdxc

Tf (8.20)

onde a variável de integração foi modificada de λ para λ T = x. A integração na Eq. (8.20) pode ser efetuada e ( ),0 Tf λ− calculada para um dado λ T. A tabela 8.1 dá a função de radiação do corpo negro ( ),0 Tf λ− em termos de λ T, originalmente calculada por Dunkle .Nesta tabela, a primeira e a Segunda coluna dão λ T em µ m . K e µ m . o R , respectivamente. A terceira coluna é útil para computar o poder emissivo espectral do corpo negro λbE (T) numa temperatura e num comprimento de onda especificados. Até aqui discutimos a intensidade da radiação do corpo negro e o poder emissivo, que são úteis para comparação da energia radiante emitida por superfícies reais . Um corpo negro não existe na realidade; entretanto podemos chegar a situações bastante próximas dele. Considere, por exemplo, uma esfera oca cuja superfície interna é mantido a uma temperatura uniforme T, com um pequeno orifício na sua superfície. A radiação que sai pelo orifício é a melhor aproximação da radiação do corpo negro, à temperatura T. 8.3) PROPRIEDADES RADIANTES DAS SUPERFÍCIES

A radiação emitida por um corpo real, a uma temperatura T e num comprimento de onda λ , é sempre menor do que do corpo negro. Por isso, a emissão do corpo negro é escolhida como referência, e se define uma grandeza, a emissividade da superfície, como a razão entre a energia emitida por uma superfície real e a energia emitida pelo corpo negro, à mesma temperatura; o valor da emissividade varia de 0 a l. Evidentemente, existem numerosas possibilidades para fazer tal comparação; por exemplo, a comparação pode ser feita num dado comprimento de onda, ou em todos os comprimentos de onda, ou entre as energias emitidas numa direção especificada, ou entre as energias emitidas num espaço hemisférico. Aqui, consideraremos a comparação somente entre as energias emitidas no espaço hemisférico, não só num dado comprimento de onda mas também na média sobre todos os comprimentos de onda. Com esta consideração, empregamos os seguintes símbolos; ελ = emissividade espectral hemisférica e ε = emissividade hemisférica.

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Apostila de Transmissão de Calor

152

Fig. 8.5 Reflexão pelas superfícies. (a) reflexão especular, (b) reflexão difusa.

Um corpo negro absorve toda a radiação sobre ele incidente, em todos os comprimentos de onda, enquanto uma superfície real absorve somente parte da radiação e a fração absorvida varia com o comprimento de onda da radiação e com a temperatura na qual a radiação é emitida. A grandeza poder de absorção, ou absortividade, de uma superfície é a fração da radiação incidente absorvida pela superfície. Evidentemente, existem numerosas possibilidades nesta definição; por exemplo, a absorção pode ser considerada em um dado comprimento de onda, ou em todos os comprimentos de onda, ou para a energia incidente em uma dada direção, ou para a energia incidente em todas as direções de um espaço hemisférico. Aqui, consideraremos somente a situação na qual a radiação incide sobre a superfície vinda de todas as direções no espaço hemisférico para um dado comprimento de onda e para a média sobre todos os comprimentos de onda. Com esta consideração, empregamos os símbolos seguintes: λα = poder de absorção espectral hemisférico e α = poder de absorção hemisférico.

Quando a radiação incide em uma superfície real, uma fração é refletida pela superfície. Se a superfície for perfeitamente plana, isto é, se as asperezas da superfície forem muito menores do que o comprimento de onda da radiação, os raios incidente e refletido serão simétricos em relação a normal no ponto de incidência, como está ilustrado na Fig. 8.5a. Esta reflexão, como a dos espelhos, é a reflexão especular. Se a superfície tiver asperezas, a radiação incidente será espalhada em todas as direções. Uma reflexão idealizada, nesta situação, é aquela em que a intensidade da radiação refletida é constante em todos os ângulos de reflexão e independente da direção da radiação incidente: é chamada reflexão difusa. A Fig. 8.5b ilustra a reflexão difusa em uma superfície. As superfícies reais encontradas nas aplicações de engenharia não são nem perfeitamente difusas nem perfeitamente especulares. Entretanto, o conceito é útil para estudar os efeitos dos dois casos limites na transferência de radiação: A refletividade de uma superfície é definida como a fração da radiação incidente refletida pela superfície. Existem numerosas possibilidades para a definição da refletividade; por exemplo, a reflexão pode ser considerada em um dado comprimento de onda, ou sobre todos os comprimentos de onda, ou para a energia incidente em uma dada direção, ou para a energia incidente em todas as direções no espaço hemisférico. Há também a possibilidade de a reflexão ser especular ou difusa. Aqui consideraremos somente a reflexão difusa nas situações em que a radiação incide sobre a superfície vinda de todas as direções do espaço hemisférico, tanto para um dado comprimento de onda como para a média de todos os comprimentos de onda. Com esta consideração,

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153

empregamos os seguintes símbolos λρ = refletividade espectral hemisférica e ρ = refletividade hemisférica. Finalmente, se o corpo for opaco à radiação, a soma da refletividade e do poder de absorção do corpo deve ser igual à unidade:

λα + λρ = 1 (8.20 a) ρα + = 1 (8.20 b)

Se o corpo for semitransparente à radiação, a soma do poder de absorção e da refletividade é menor do que a unidade, e a diferença é chamada o poder transmissor do corpo. Com esta consideração, escrevemos

1=++ λλλ τρα (8.21 a) 1=++ τρα (8.21 b)

Fig. 8.6 Reflexão, absorção e transmissão da radiação incidente por um material semi-

transparente onde definimos λτ = poder transmissor espectral e τ = poder transmissor. A Fig. 8.6 mostra que um feixe de radiação incidente sobre um corpo semitransparente, de espessura finita, uma placa de vidro, por exemplo, é parcialmente refletido, parcialmente absorvido e o restante é transmitido através do vidro. 8.3.1) Lei de Kirchhoff O poder de absorção e a emissividade de um corpo podem ser relacionados pela lei de Kirchhoff da radiação. Considere um corpo colocado no interior de uma cavidade negra, fechada, cujas paredes são mantidas à temperatura uniforme T. O corpo acaba por atingir o equilíbrio com as paredes da cavidade. Seja iqλ (T) o fluxo de radiação espectral das paredes, à temperatura T, incidente no corpo. O fluxo de radiação espectral λq (T) absorvido pelo corpo, no comprimento de onda λ , é

λq (T) = λα (T) iqλ (T) (8.22)

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Apostila de Transmissão de Calor

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onde λα (T) é o poder de absorção espectral do corpo. A grandeza λq (T) também representa o fluxo de radiação espectral emitido pelo corpo, no comprimento de onda λ, uma vez que o corpo está em equilíbrio radiante. Notamos que a radiação incidente

iqλ (T) provém das paredes perfeitamente negras da cavidade, à temperatura T, e que a emissão pelas paredes não é afetada mesmo que o corpo introduzido na cavidade seja um corpo negro. Com esta consideração, temos

bq .λ (T) = iqλ (T) (8.23)

onde bq .λ (T) é o fluxo de radiação espectral emitido pelo corpo negro, à temperatura T. Das Eqs. (8.22) e (8.23), escrevemos

=)()(

.

.

TqTq

λλα (T) (8.24)

A emissividade espectral λε (T) do corpo, para a radiação à temperatura T, é definida como a razão entre o fluxo de radiação espectral λq (T) emitido pelo corpo e o fluxo de radiação espectral emitido pelo corpo negro bq .λ (T), à mesma temperatura, isto é,

=)()(

.

.

TqTq

λλε (T) (8.25)

Das Eqs. (8.24) e (8.25), obtemos

λα (T) = λε (T) (8.26)

que é a lei de Kirchhoff da radiação que afirma ser a emissividade espectral para a emissão de radiação à temperatura T, igual ao poder de absorção espectral para a radiação proveniente de um corpo negro, à mesma temperatura T.

Deve-se tomar muito cuidado na generalização da Eq. (8.26) para os valores médios de α e de ε sobre todos os comprimentos de onda, isto é, para o caso

α (T) = ε (T) (8.27)

A Eq. (8.26) é sempre válida, mas a Eq. (8.27) se aplica quando a radiação incidente e a radiação emitida tem a mesma distribuição espectral ou quando o corpo é cinzento, isto é, quando as propriedades radiativas são independentes do comprimento de onda. A aplicação da Eq. (8.27) simplifica enormemente o cálculo da troca de calor por radiação entre as superfícies, como ficará claro, mais adiante, neste capítulo. 8.3.2) Corpo Cinzento Para simplificar a análise da transferência radiativa de calor, adota-se freqüentemente, em muitas aplicações, a hipótese de o corpo ser cinzento; isto é, admite-se que as propriedades radiativas λλλ ρεα ,, sejam uniformes em todo o espectro de

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comprimentos de onda. Tais corpos recebem o nome de corpos cinzentos, e com a hipótese do corpo cinzento o poder de absorção e a emissividade estão relacionados pela lei de Kirchhoff como α = ε 8.3.3) Emissividade Se q(T) for o fluxo de radiação espectral emitido por uma superfície real, a uma temperatura T, e λ.bE (T) for o poder emissivo espectral do corpo negro (isto é, o fluxo) à mesma temperatura T, então a emissividade espectral hemisférica λε da superfície é definida como

λε = )(

)(

. TETq

b λ

λ (8.28)

O valor médio de λε sobre todos os comprimentos de onda, chamado a emissividade hemisférica e, é definido como

)(

)(

)(

)(0 .

0 .

0 .

TE

dTE

dTE

dTE

b

b

b

b ∫∫

∫ ∞

==λε

λ

λεε

λλ

λ

λλ (8.29)

Se λε for conhecida em função do comprimento de onda, a Eq. (8.29) poderá ser utilizada para calcular ε . Note que, neste processo de calcular a média, o poder emissivo espectral do corpo negro λ.bE (T) serve como fator de ponderação. 8.3.4) Poder de Absorção Se α for o fluxo de radiação espectral incidente sobre uma superfície e aqλ (T) for a quantidade de radiação absorvida pela superfície, então o poder de absorção espectral hemisférico, λα será definido como

)()(

TqTq

i

a

λ

λλα = (8.30)

O valor médio de λα sobre todos os comprimentos de onda, o poder de absorção hemisférico α , é definido como

∫∫

=

0

0

)(

)(

λ

λαα

λ

λλ

dTq

dTq

i

i

(8.31)

Dado λα em função do comprimento de onda, a Eq. (8.31) pode ser utilizada para calcularα .

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Apostila de Transmissão de Calor

156

Observamos que o poder de absorção α depende da distribuição espectral da radiação incidente iqλ (T) ,e portanto iqλ (T) é utilizado como fator de ponderação; mas a emissividade depende da temperatura da superfície, e por isso o poder emissivo espectral do corpo negro λ.bE (T), à temperatura da superfície, é utilizado como fator de ponderação na Eq. (8.29). 8.3.5) Refletividade Se iqλ (T) for o fluxo de radiação espectral incidente na superfície e rqλ (T) for a quantidade de radiação refletida pela superfície, então a refletividade espectral hemisférica λρ , será definida por

)()(

TqTq

i

r

λ

λλρ = (8.32)

O valor médio de λρ sobre todos os comprimentos de onda é a refletividade hemisférica p, definida como

∫∫

=

0

0

)(

)(

λ

λρρ

λ

λλ

dTq

dTqi

i

(8.33)

Dada λρ em função do comprimento de onda, a Eq. (8.33) pode ser empregada para calcular p. Neste processo de promediação, o fluxo de radiação espectral incidente iqλ

(T) serve como fator de ponderação. 8.3.6) Poder Transmissor A análise do poder transmissor de um corpo semitransparente é, em geral, assunto complicado, porque a radiação incidente sobre um corpo semitransparente penetra nas profundidades do meio, onde é atenuada em virtude da absorção, e, em alguns casos, do espalhamento pelo material. Por isso, o poder transmissor depende das propriedades radiantes do material, da sua espessura e das condições nas superfícies externas. Entretanto, nas aplicações de engenharia, há muitas situações, como a transmissão de radiação através de uma lâmina de vidro, nas quais o poder transmissor espectral hemisférico λτ é definido como

)()(

TqTq

i

tr

λ

λλτ = (8.34)

onde iqλ (T) trqλ (T) são os fluxos de radiação incidente e transmitido, respectivamente.

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Dada a distribuição espectral de λτ , o poder transmissor hemisférico τ é determinado a partir de

∫∫

=

0

0

)(

)(

λ

λττ

λ

λλ

dTq

dTqi

i

(8.35)

8.4) RADIAÇÃO SOLAR

A energia do sol provém das regiões internas do sol, em virtude de uma reação de fusão contínua. Quase 90% desta energia são gerados dentro da região 0,23 vezes o raio do sol e em seguida transferidos radiativamente até uma distância cerca de 0,7 vezes o raio do sol. Fora desta região há a zona convectiva, onde a temperatura está na faixa de 6.000 K. A frieza relativa da superfície externa do sol é indicação de que a energia criada no interior é dissipada radiativamente pela superfície externa do sol. Portanto, o sol, com seu raio R ~ 6,96 x 105 km e massa M ~1,99 x 1030 kg, é uma fonte de energia quase inexaurível para a terra. Somente uma pequena fração de energia do sol atinge a terra, em virtude da grande distância entre eles. A intensidade da radiação solar que atinge a atmosfera foi determinada muito precisamente por uma série de medidas elevadas feitas com o emprego de balões, de aviões, e de naves espaciais, de 1967 a 1970. A energia resultante conhecida como a constante solar Gs, vale

Gs = 1.353 W/m2 (8.36)

Fig. 8.7 Constante solar Gs e radiação solar extraterrestre Go

Essa quantidade representa o fluxo de radiação solar incidente sobre um plano normal aos raios de sol, exatamente no limite da atmosfera da terra, quando esta está à distância média do sol. À medida que a terra se desloca em torno do sol, em uma órbita ligeiramente elíptica, a distância entre eles varia de 98,3% da distância média, quando a terra está no ponto mais próximo do sol, até 101,7% da distância média, quando a terra atinge sua distância máxima ao sol. Por isso, o valor instantâneo de Gs varia aproximadamente por ± 3,4%, isto é, do máximo 1.399 W/m2, em 21 de dezembro, ao mínimo 1.310 W/m2, em 21 de junho. Entretanto, para fins práticos a variação de Gs é

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158

desprezada, e retorna a constante como 1.353 W/m2. Então a energia solar Go que incide normalmente na superfície externa da atmosfera terrestre é

Go = Gs cos θ W/m2 (8.37)

onde Go é a radiação solar extraterrestre. A Fig. 8.7 ilustra o significado físico de Gs e de Go em relação à direção do feixe de raios solares. O valor de Gs pode ser utilizado na lei da radiação do corpo negro para estabelecer uma temperatura efetiva Ts da superfície do sol:

42

ss TRr

G σ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= (8.38)

onde Gs = 1.353 W/m2 r = 6,9598 x lOs m, raio do disco solar R = 1,496 x 10" m, distância média da terra ao sol σ = 5,6697 x 10-8 W/(m2 K4), constante de Stefan-Boltzmann Então, a temperatura efetiva da superfície do sol é T = 5.762 K. A radiação solar que atinge a superfície mais elevada da atmosfera terrestre propaga-se através da atmosfera da terra antes de chegar à superfície. Aproximadamente 99% da atmosfera estão contidos à distância de cerca de 30 km a partir da superfície da terra. À medida que a radiação solar atravessa a atmosfera, é absorvida ou é espalhada pelo meio atmosférico. A fig 8.8 mostra a distribuição espectral da radiação solar G λs , exatamente fora da atmosfera da terra e no nível do solo, quando a atmosfera está clara. Notamos que a energia total contida abaixo da curva G λs , representa o fluxo de radiação solar exatamente acima da atmosfera terrestre, isto é,

20 . 1353mw

GdG ss ==∫∞λλ (8.39)

A curva da distribuição espectral da radiação solar que chega na superfície da terra fica abaixo da curva de G λs , e mostra vários mínimos. O motivo disto é a absorção da radiação solar pelo O3, O2, CO2 e H20 em diversos comprimentos de onda. O ozônio (O3), que está concentrado em uma camada 10 a 30 km acima da superfície da terra, absorve fortemente a radiação ultravioleta no intervalo λ = 0,2 a a = 0,29

Fig. 8.8 Efeitos da atenuação atmosférica sobre a distribuição espectral da radiação solar

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159

µ m e bastante no intervalo 0,29 a 0,34 µ m. Por isso, é desprezível a radiação solar com comprimentos de onda menores do que cerca de 0,3 µ m que atinge a superfície da terra. Assim, os sistemas biológico na terra estão protegidos da danosa radiação ultravioleta. A absorção do oxigênio ocorre numa raia muito estreita centrada em λ = 0,76 µ m. As bandas de absorção devidas ao vapor de água são visíveis distintamente na faixa de 0,7 a 2,2 µ m. O dióxido de carbono e o vapor de água absorvem fortemente a radiação térmica nos comprimentos de onda maiores do que cerca de 2,2 µ m. Disso resulta que a radiação solar que atinge a superfície da terra está essencialmente contida nos comprimentos de onda entre 0,29 e 2,5 µ m. A energia total subtendida pela curva do espectro solar na superfície da terra, num dia de atmosfera límpida é cerca de 956 W/m2. Este valor é consideravelmente menor do que a constante solar 1.353 W/m2, na fronteira da atmosfera terrestre.

Além da absorção da radiação solar, há o seu espalhamento pelas moléculas do ar, pelas gotículas de água nas nuvens e pelos aerossóis ou partículas de poeira, à medida que a radiação atravessa a atmosfera. As moléculas de ar espalham a radiação solar de comprimentos de onda muito curtos em relação às dimensões das moléculas, e este espalhamento é o espalhamento Rayleigh. Gotículas de água, aerossóis e outras sujeiras atmosféricas espalham a radiação em comprimentos de onda comparáveis ao diâmetro das partículas.

A parte da radiação solar que não é espalhada nem absorvida pela atmosfera, e que atinge a superfície da terra como um feixe é a radiação solar direta. A parte espalhada da radiação que atinge a superfície da terra, vinda de todas as direções do firmamento, é a radiação solar difusa. Assim, a radiação solar recebida pela superfície da terra é composta das partes direta e difusa. A componente difusa varia de cerca de 10% do total, num dia claro, a quase 100%, num dia totalmente nublado.

8.4.1) Radiação Solar que Chega à Terra A quantidade de energia solar recebida por uma superfície no nível do mar depende da orientação da superfície em relação ao sol, da hora do dia, do dia do ano, da latitude do ponto de observação e das condições atmosféricas. Na alvorada ou no crepúsculo, a radiação solar que atinge a superfície da terra percorre um caminho oblíquo, mais longo, através da atmosfera; por isso, a atenuação atmosférica é maior e a intensidade se reduz significativamente.

O fluxo total de energia solar qt, recebido por unidade de área de uma superfície ao nível do mar consiste nas componentes direta e difusa. Seja qdf (em watts por metro quadrado) a radiação solar difusa incidente sobre uma superfície horizontal e devida à radiação proveniente de todo o hemisfério espacial, e seja qD o fluxo da radiação solar direta, por unidade de área normal à direção do feixe de radiação solar, no nível do mar. Seja θ o ângulo de incidência, isto é, o ângulo entre o raio do sol e a normal à superfície, conforme a ilustração da Fig. 8.9 Então, o fluxo de energia solar total qt recebido pela área unitária da superfície no nível do mar, é

fdDt qqq .cos += θ W/m2 (8.40)

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160

Portanto, para calcular o fluxo total de energia solar recebido por uma superfície, precisa-se saber o fluxo da radiação solar difusa, o fluxo da radiação solar direita sobre um plano normal à direção do feixe, e o ângulo de incidência θ .

Fig. 8.9 Radiação solar recebida na superfície terrestre.

O ângulo de incidência θ pode ser relacionado ao ângulo de inclinação (isto é, o ângulo entre o plano horizontal e a superfície), à latitude (isto é, a distância angular ao equador) e à declinação (isto é, o ângulo entre o raio do sol e o plano equatorial no meio-dia solar).

A energia solar incidente sobre uma superfície opaca é parcialmente absorvida pela superfície e o restante é refletido.

8.5) CONCEITO DE FATOR DE FORMA

Até agora discutimos a radiação para uma superfície única ou de uma superfície única. Entretanto, nas aplicações de engenharia, os problemas de interesse prático envolvem troca de radiação entre duas ou mais superfícies. Quando as superfícies estiverem separadas por um meio inerte, que não absorve, nem emite, nem difunde a radiação, a troca de radiação entre as superfícies não é afetada pelo meio. O vácuo, por exemplo, é um perfeito meio inerte; entretanto, o ar e muitos gases se aproximam quase exatamente desta condição. Para quaisquer duas superfícies dadas, a orientação entre elas afeta a fração da energia radiante emitida por uma superfície e que, incide diretamente na outra superfície. Por isso, a orientação das superfícies tem papel importante na troca radiativa de calor.

Para formalizar os efeitos da orientação na análise da troca radiativa de calor entre superfícies, adota-se o conceito de fator de forma. Os termos fator de vista, fator de visada e fator de configuração também são utilizados na literatura. Deve-se fazer uma distinção entre o fator de forma difuso e o fator de forma especular. O primeiro se refere à situação em que as superfícies são refletores difusos e emissores difusos, enquanto o último se refere à situação em que as superfícies são emissores difusos e refletores especulares. Neste livro vamos considerar apenas os casos em que as superfícies são emissores difusos e refletores difusos; por isso, não precisamos fazer a distinção. Vamos empregar simplesmente o termo fator de forma, e este termo corresponde ao fator de forma difuso.

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O significado físico do fator de forma entre duas superfícies é representar a fração de energia radiante emitida por uma superfície que incide diretamente na outra superfície. 8.5.1) Fator de Forma entre duas Superfícies Elementares A fim de termos uma visão mais profunda da dedução das relações que definem os fatores de forma, vamos demonstrar a expressão que define o fator de forma entre duas superfícies elementares.

Fig 8.10 Coordenadas para a definição do fator de forma

Consideremos duas superfícies elementares dA1 e dA2, como está ilustrado na Fig. 8.10. Seja r a distância entre essas duas superfícies: 1θ o ângulo polar entre a normal n1 ao elemento de superfície dA1 e a reta r que liga dA1 a dA2; e 2θ , o ângulo polar entre a normal n2 a elemento de superfície dA2 e a reta r. Seja 12dw o ângulo sólido sob o qual um observador em dA1 vê o elemento de superfície dA2, e I1, a intensidade da radiação emitida difusivamente pelo elemento de superfície em todas as direções do espaço hemisférico. A taxa de energia radiante dQ1 emitida por dA1 e que incide na superfície dA2 é

dQ1 = dA1I1cos 1θ dw12 (8.41)

onde o ângulo sólido dw12 é dado por

dw12 = (dA2cos 2θ )/r2 (8.42)

A substituição da Eq. (8.42) na Eq. (8.41) leva a

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Apostila de Transmissão de Calor

162

2221

111coscosr

dAIdAdQ

θθ= (8.43)

A taxa da energia de radiação Q1 emitida pelo elemento de superfície dA1 em todas as direções sobre o espaço hemisférico é

∫ ∫= =

φ

π

θφθθθ

2

0

2/

0 1111111

sencos ddIdAQ (8.44)

onde φ é o azimute. Para uma superfície refletora e emissora difusa de radiação, a intensidade da radiação emitida pela superfície é independente da direção. Então, com I1, constante, a Eq. (8.44) é integrada e nos dá

Q1 = 11. dAIπ (8.45)

O fator de forma elementar 21 dAdAdF − , por definição, é a razão entre a energia radiante

emitida por dA1, que incide diretamente sobre dA2, e a energia radiante emitida por dA1, em todas as direções no espaço hemisférico. Portanto, essa razão é obtida dividindo-se a Eq. (8.43) pela Eq. (8.45):

21 dAdAdF − 2221

1

1

.coscos

rdA

QdQ

πθθ

== (8.46)

O fator de forma elementar

12 dAdAdF − , de dA2 para dA1 é agora obtido imediatamente da Eq. (8.46) pela permutação dos índices 1 e 2. Encontramos

12 dAdAdF − = 2121

.coscos

rdA

πθθ

(8.47)

A relação de reciprocidade entre os fatores de forma

21 dAdAdF − e 12 dAdAdF − , segue-se das

Eqs. (8.46) e (8.47) como dA1

21 dAdAdF − =dA2 12 dAdAdF − (8.48)

Esta relação implica que, dadas duas superfícies elementares dA1 e dA2, se um dos fatores de forma for conhecido, o outro é facilmente calculado pela relação de reciprocidade. 8.5.2) Fator de Forma de Superfícies Finitas Já desenvolvemos o fator de forma entre duas superfícies elementares dA1 e dA2. Esses resultados são agora generalizados para se obterem os fatores de forma entre um elemento de superfície dA1 e uma superfície finita A2 ou entre duas superfícies finitas A1 e A2.

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Apostila de Transmissão de Calor

163

O fator de forma 21 AdAF − , de dA1 para A2, é determinado imediatamente integrando-se o

fator de forma elementar, 21 dAdAdF − dado pela Eq. (8.46), sobre a área A2, ou seja,

21 AdAF − = 2221

.coscos

2

dArA π

θθ∫ (8.49)

O fator de forma

12 dAAF − , de A2 para dA1 é obtido pela integração da Eq. (8.47) sobre a área A2 seguida pela divisão por A2:

12 dAAF − = 2221

2

1

.coscos

dArA

dAπ

θθ∫ (8.50)

A divisão por A2, no segundo membro, torna a energia incidente em dA1 uma fração da emitida por A2 em todo o espaço hemisférico. Das Eqs. (8.49) e (8.50) escrevemos a relação de reciprocidade entre os fatores de forma

21 AdAF − e 12 dAAF − , como

dA1

21 AdAdF − = dA2 12 dAAdF − (8.51)

O fator de forma A2 para A1 é obtido pela integração da Eq. (8.50) sobre A1:

FA1 – A2 = ∫ ∫2 1

21221

2 .coscos1

A AdAdA

rA πθθ (8.52)

E o fator de forma de A1 para A2 é obtido pela integração da Eq. (8.49) sobre A1 e dividindo-se o resultado por A1:

FA1 – A2 = ∫ ∫1 2

12221

1 .coscos1

A AdAdA

rA πθθ (8.53)

A divisão por A1 no segundo membro faz da energia incidente na superfície A2 uma fração da energia emitida por A1 em todo o espaço hemisférico.

Das Eqs. (8.52) e (8.53), a relação de reciprocidade entre os fatores de forma 21 AAF − e

12 AAF − é A1

21 AAF − = A212 AAF − (8.54)

As relações de reciprocidade são úteis para determinar um fator de forma a termos o conhecimento do outro.

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Apostila de Transmissão de Calor

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8.5.3) Propriedades dos Fatores de Forma Vamos considerar agora uma cavidade fechada consistindo em N zonas, cada uma com a área superficial ,iA i = 1, 2, ... N, como está ilustrado na Fig. 8.11. Admite-se que cada zona seja isotérmica, emissor difuso e refletor difuso. A superfície de cada zona pode ser plana ou convexa ou côncava. Os fatores de forma entre as superfícies Ai e Aj da cavidade fechada obedecem à seguinte relação de reciprocidade:

Aiji AAF − = Aj

ij AAF − (8.55)

A soma dos fatores de forma de uma superfície da cavidade fechada, digamos A1 para todas as superfícies da cavidade, inclusive para si mesma, deve ser igual à unidade, pela própria definição de fator de forma. Esta é a relação da adição dos fatores de forma de uma cavidade fechada, e é escrita como

11

=∑=

N

kAA ki

F (8.56)

Fig. 8.11 Cavidade fechada com N zonas

onde N é o número de zonas da cavidade fechada. Nesta soma, o termo

ii AAF − é o fator de forma da superfície Ai para si mesma; representa a fração da energia radiante emitida pela superfície Ai que incide diretamente sobre si própria. Evidentemente,

ii AAF − se anulará quando Ai for plana ou convexa, e será não-nulo se Ai for côncava; esta afirmação se escreve

ii AAF − = 0 se Ai for plana ou convexa (8.57a)

ii AAF − ≠ 0 se Ai for côncavo (8.57 b)

As regras da reciprocidade e da adição são úteis, pois proporcionam relações simples adicionais para se calcularem os fatores de forma num espaço fechado a partir do conhecimento de outros fatores. Isto é, para determinação de todos os possíveis fatores de forma numa cavidade fechada, não se precisa calcular cada um deles diretamente, mas deve-se fazer uso das regras de reciprocidade e de adição, sempre que possível. Esta situação é mais bem visualizada se todos os fatores de forma numa cavidade fechada com N zonas forem expressos em notação matricial, como

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(8.58) Evidentemente há N2 fatores de forma a serem determinados numa cavidade fechada de N zonas. Entretanto, a regra da reciprocidade fornece N(N - 1)/2 relações e a regra da adição fornece N relações adicionais entre os fatores de forma. Então, o número total de fatores de forma que devem ser calculados, numa cavidade fechada de N zonas, a partir das expressões do fator de forma, é

N2 – ½ N(N - 1) - N = ½ N(N - 1) (8.59)

Se as superfícies forem convexas ou planas, N desses fatores de forma de uma superfície para si mesma se anulam e o número total de fatores de forma a serem calculados diretamente, a partir da disposição geométrica das superfícies, reduz-se a

½ N(N - 1) - N = 2

)3( −NN (8.60)

Por exemplo, numa cavidade fechada com N = 5 zonas, com superfície plana em cada zona, de todos os possíveis N2 = 25 fatores de forma, o número de fatores de forma a serem determinados pela disposição geométrica das superfícies é somente 1/2(N)(N - 3) = 5.

Se a geometria possuir simetria, alguns dos fatores de forma são conhecidos a partir da condição de simetria, o que reduz mais ainda o número de fatores de forma a serem calculados. 8.6) MÉTODOS PARA DETERMINAR FATORES DE FORMA O cálculo do fator de forma entre duas superfícies elementares, definidos pelas Eqs. (8.46) e (8.47), não apresenta problema, mas a determinação do fator de forma de superfícies finitas envolve a integração sobre as superfícies, o que é difícil de realizar-se analiticamente, exceto em geometrias simples. Na Tabela 8.2 apresentamos expressões analíticas dos fatores de forma em diversas configurações simples. Alguns dos fatores de forma estão plotados nas Figs. 8.12 a 8.16.

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Tab. 8.1 Funções de radiações do corpo negro

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Fig. 8.12 Fator de forma

21 AdAF − de uma superfície elementar dA1, para uma superfície retangular A2.

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Fig. 8.13 Fator de forma

21 AAF − de uma superfície retangular A1, para uma superfície retangular A2 adjacentes e com planos perpendiculares

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Fig 8.14 Fator de forma

21 AAF − de uma superfície retangular A1, para uma superfície retangular A2 paralela e diretamente em frente da outra.

Fig. 8.15 Fator de forma

21 AAF − entre dois discos paralelos coaxiais

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Fig. 8.15 Fator de forma

12 AAF − para cilindros concêntricos de comprimento finito. (a) Do cilindro externo para o cilindro interno, (b) do cilindro externo para si mesmo.

8.6.1) Álgebra dos Fatores de Forma As cartas-padrão dos fatores de forma encontram-se para um número limitado de configurações simples. Entretanto, pode ser possível dividir a configuração de uma disposição geométrica complicada em várias configurações simples, de modo que o fator de forma possa ser determinado a partir das cartas-padrão. Assim, será possível determinar o fator de forma da configuração original, complicada, pela soma algébrica dos fatores de forma das configurações separadas, mais simples. Este método é conhecido como a álgebra dos fatores de forma. Constitui método poderoso para determinar os fatores de forma de muitas configurações complicadas.

Não se pode estabelecer um conjunto-padrão de regras deste método, mas o emprego apropriado das relações de reciprocidade e das regras da adição é a chave do sucesso da técnica.

Para ilustrar como a regra da adição e a relação de reciprocidade podem ser aplicadas, consideremos o fator de forma de uma área A1 para uma área A2 que é dividida em duas áreas A3 e A4 como

A2 = A3 + A4 (8.61)

segundo está ilustrado no esboço seguinte. Então, o fator de forma A1 para A2 pode ser escrito como

F1- 2 = F1- 3 + F1- 4 (8.62)

que é coerente com a definição do fator de forma. Isto é, a fração da energia total emitida por A1 que incide em A3 e A4 é igual à fração que incide na superfície A2.

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Outras relações adicionais entre estes fatores de forma podem ser escritas. Por exemplo, os dois membros da Eq. (8.62) são multiplicados por A1:

A1F1 – 2 =A1F1 – 3 + A1F1 – 4

Então, a relação de reciprocidade aplicada a cada parcela dá:

A2F2 – 1 =A3F3 – 1 + A4F4 – 1 ou

F2 – 1 = =+ −−

2

144133

AFAFA

43

144133

AAFAFA

++ −− (8.63)

Suponha que a área A2 seja dividida em mais parcelas como

A2 =A3 + A4 + ....+ AN (8.64)

Então, a forma correspondente da Eq. (8.59) é

F2 – 1 = N

NN

AAAFAFAFA

+++++ −−−

...............

43

1144133 (8.65)

Evidentemente, manipulações semelhantes podem ser feitas com a Eq. (8.63), e podem obter outras relações entre os fatores de forma.

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TRANSMISSÃO DE CALOR

LISTA DE EXERCÍCIOS I

1. A parede de uma casa pode ser aproximada por uma camada de 4 polegadas de tijolo comum [(k = 0,7 (W/m oC)] seguida de uma camada de 1,5 polegadas de gesso [(k = 0,48 (W/m oC)]. Que espessura de isolamento de lã de rocha [(k = 0,065 (W/m oC)] deve ser adicionada para reduzir a transferência de calor através da parede em 80 por cento?

2. Um tubo de parede grossa de aço inoxidável [18% Cr, 8% Ni, (k = 19 (W/m oC)] com 2 cm de diâmetro interno e 4 cm de diâmetro externo é coberto com uma camada de 3 cm de isolamento de amianto [(k = 0,2 (W/m oC)]. Se a temperatura da parede interna do tubo é mantida a 600 oC e a superfície externa do isolamento a 100 oC, calcule a perda de calor por metro de comprimento.

3. A parede um forno industrial é feita de tijolos refratários de espessura L1 = 0,20 m e condutividade térmica k = 1,0 (W/m oC), recoberta na superfície externa por uma camada de material isolante de espessura L2 = 0,03 m, e condutividade térmica k2 = 0,05 (W/moC).Se a superfície interna da parede está na temperatura Ti =830oC e a superfície externa To = 30 oC, determine a taxa de transferência de calor por metro quadrado da parede do forno.

4. Calcule o raio crítico de isolamento para o amianto [(k = 0,17 (W/m oC)] que

reveste um tubo ficando exposto ao ar a 20oC com h = 3,0 (W/m2 oC)]. Calcule a perda de calor de um tubo de 5 cm de diâmetro a 200 oC, quando coberto com o raio crítico de isolamento e sem isolamento.

5. Um tubo de aço, com 5 cm de diâmetro e 7,6 cm de diâmetro externo, tendo k =

15 (W/moC), está recoberto por uma camada isolante de espessura t = 2cm e k = 0,2 (W/moC). Um gás, aquecido a Ta= 330oC, ha = 400 W/(m2 oC), flui no interior do tubo. A superfície externa do isolamento está exposta ao ar mais frio a Tb = 30oC com hb = 60 W/(m2 oC). Calcule a perda de calor do tubo para o ar ao longo de H = 10 m do tubo. Calcule as quedas de temperatura resultantes das resistências térmicas do fluxo de gás quente, do tubo de aço, da camada isolante e do ar externo.

6. Determinar o raio crítico em cm para um tubo de asbesto [(kabs = 0,208 (W/m oC)] se o coeficiente de transferência de calor externo é 8,51 W/m2 oC.

7. Traçar um gráfico de q/l (W/m) em função de r (cm) para a situação do problema

4 se ri = 1,50 c, Ti = 120 oC e To = 20 oC. Considerar a região desde r = ri até r = 4,00cm.

8. Por um fio de aço inoxidável [(k = 19 (W/m oC)] de 3 mm de diâmetro passa uma

corrente elétrica de 200 A. A resistividade do aço pode ser tomada como 70µΩ cm, e o comprimento do fio é 1m. O fio está imerso num fluido a 110 oC e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 4 kW/m2.oC. Calcule a temperatura do centro do fio.

Page 174: Trans Miss Ão Decal Or

9. Uma barra muito longa de cobre de 1 cm de diâmetro [(k = 377 (W/m oC)] encontra-se num ambiente a 22 oC. A temperatura da base da barra é mantida a 150oC. O coeficiente de transferência de calor entre a barra e o ar ambiente é 11 W/m2.oC. Determinar o calor transferido da barra para o ar.

10. Repetir o problema 7 para comprimentos finitos 2, 4, 8, ..., 128 cm, considerando

a perda de calor pela extremidade. Supor hL = 11 W/m2 oC.

11. Aletas em forma de disco circular de espessura constante, estão fixas sobre um tubo de 2,5 cm de diâmetro externo, com um espaçamento de 100 aletas por metro de tubo. As aletas são feitas de alumínio [(k = 160 (W/m oC)], com a espessura t = 1mm e comprimento L = 1 cm. A parede do tubo é mantida a To = 170 oC, e o calor é dissipado por convecção para o ambiente a T∞ = 30 oC, com o coeficiente de transferência de calor h = 200 W/(m2oC). Calcular a perda térmica para o ar ambiente, por metro de comprimento do tubo. Comparar esta perda térmica com a que ocorreria no tubo sem aletas.

12. Discos circulares de alumínio empregados como aletas, com seção retangular

constante, são fixados a um tubo de diâmetro externo D = 2,5 cm com um espaçamento de 8 mm. As aletas têm espessura t = 1 mm, altura L = 15 mm, e condutividade térmica k = 200 (W/m oC). A parede do tubo se mantém a uma temperatura To = 190 oC, e as aletas dissipam convectivamente calor para o ar ambiente a T∞ = 40oC, com um coeficiente de transferência de calor h∞ =80 W/(m2 oC)

(a) Determine a eficiência da aleta. (b) Determine a eficiência da aleta ponderada pela área. (c) determine a perda líquida de calor por metro de comprimento de tubo. (d) Qual será a perda de calor por metro de comprimento do tubo na ausência de aletas? 13. Aletas planas de cobre com seção reta retangular, tendo espessura t = 1 mm,

altura L = 10mm e condutividade térmica k = 380 (W/m oC), são fixadas a uma parede plana mantida à temperatura To = 230 oC. As aletas dissipam calor por convecção para o ar ambiente a T∞ = 30 oC, com um coeficiente de transferência de calor h = 40 W/(m2.oC). Há um espaço de 8 mm entre as aletas. Admita perda de calor desprezível na ponta.

(a) Determine a eficiência da aleta. (b) Determine a eficiência da aleta ponderada pela área. (c) determine a taxa líquida de transferência de calor por metro quadrado da superfície plana da parede. (d) Qual seria a taxa de transferência de calor da parede plana na ausência da aletas? 14. Fixam-se aletas de alumínio de seção retangular a uma parede plana com 5 mm

de espaçamento. As aletas têm espessura t = 1 mm, comprimento L = 10 mm, e condutividade térmica k = 200 W/(m.oC). A parede é mantida a uma temperatura To = 200 oC, e as aletas dissipam convectivamente calor para o ar ambiente a T∞ = 40 oC com coeficiente de transferência de calor h = 50 W/(m2.oC)

(a) Determine a eficiência da aleta. (b) Determine a eficiência da aleta ponderada pela área. (c) determine a perda de calor por metro quadrado da superfície da parede.

Page 175: Trans Miss Ão Decal Or

15. Uma placa de alumínio [k = 160 W/(m.oC), r = 2790 kg/m3, cp = 0,88 kJ/(kg.oC)] com L = 3 cm de espessura e uma temperatura uniforme To = 225oC é repentinamente imersa em um fluido agitado mantido a uma temperatura constante T∞ = 25 oC. O coeficiente de transferência de calor entre a placa e o fluido é h = 320 W/(m2.oC). Determine o tempo necessário para que o centro da placa atinja 50oC.

16. A temperatura de uma corrente de gás é medida com um termopar. A junta pode

ser aproximada por uma esfera de diâmetro D = 1 mm, k = 25 W/(m.oC), r = 8400 kg/m3 e cp = 0,4 kJ/(kg.oC). O coeficiente de transferência de calor entre a junta e a corrente de gás é h = 560 W/(m2.oC). Quanto tempo passará para que o termopar acuse 99% da diferença de temperatura aplicada?

17. Uma barra de aço [r = 7800 kg/m3, cp = 0,5 kJ/(kg.oC) e k = 50 W/(m.oC) de

diâmetro D = 5 cm deve ser recozida mediante resfriamento vagaroso de Ti = 800oC até 120 oC, em um ambiente a T∞ = 50 oC. Se o coeficiente de transferência de calor entre o ar ambiente e a superfície da barra for h = 45 W/(m2.oC), determine o tempo necessário para o recozimento, aplicando o método da análise global do sistema.

Page 176: Trans Miss Ão Decal Or

TRANSMISSÃO DE CALOR

LISTA DE EXERCÍCIOS II

1. Um ferro elétrico de engomar tem uma base de aço [k = 70W/(m.oC), r = 7840 kg/m3, cp = 450 J/(kg.oC)] que pesa M= 1 Kg. A base tem uma área A =0,025 m2

e é aquecida pela outra face por um elemento colefator de 250 W. Inicialmente, o ferro está em uma temperatura Ti = 20oC. Repentinamente, inicia-se o aquecimento, e o ferro dissipa calor por convecção pela superfície externa para o ambiente a T∞ = 20 oC, com um coeficiente de transferência de calor h = 50 (W/m2 oC). Calcule a temperatura do ferro a t = 5 min depois que se iniciou o aquecimento. Qual será a temperatura de equilíbrio do ferro, se a corrente elétrica não for

desligada?

2. Uma placa de ferro com 5 cm de espessura aço [k = 60W/(m.oC), r = 7850 kg/m3, cp = 460 J/(kg.oC) e α1,6 x 10-5 m2 /s] está inicialmente a Ti = 225oC. De repente, ambas as faces são expostas à temperatura ambiente T∞ = 25oC com um coeficiente de transferência de calor h = 500 (W/m2 oC). Calcule a temperatura no centro em t = 2 min depois do início do resfriamento. Calcule a temperatura a 1,0 cm da superfície em t = 2 min depois do início do resfriamento. Calcule a energia removida da placa por metro quadrado durante este intervalo

de tempo.

3. Uma esfera de ferro [k = 60W/(m.oC), r = 7850 kg/m3, cp = 460 J/(kg oC) e α1,6 x 10-5 m2 /s] de diâmetro D = 5cm , está inicialmente em ema temperatura uniforme Ti = 225oC . Repentinamente, a superfície da esfera é exposta a um ambiente à temperatura T∞ = 25oC com um coeficiente de transferência de calor h = 500 (W/m2 oC). Calcule a temperatura no centro da esfera em t = 2 min depois do início do

resfriamento. Calcule a temperatura à profundidade de 1,0 cm a partir da superfície, 2 min depois do início do resfriamento.

4. Uma esfera de aço inoxidável de 2 cm de diâmetro [k = 61W/(m.oC), r = 7865 kg/m3, cp = 0,4 J/(kg.oC)] é aquecida uniformemente até Ti = 800oC. Ela será temperada, mergulhando-se de repente em um banho de óleo a T∞ = 50oC. Se a tempera ocorre quando a esfera atinge 100oC e o coeficiente de transferência de calor entre o óleo e a esfera for 300 (W/m2 oC), quanto tempo deve ser a esfera conservada no óleo? Se forem temperadas 100 esferas por minuto, determine a taxa de calor que deve ser retirada do banho de óleo, por minuto, a fim de manter sua temperatura a 40 oC.

5. Um ferro elétrico de passar tem uma base de alumínio [k = 204W/(m.oC), r=2700kg/m3 cp = 0,896 J/(kg.oC)] que pesa 1,5 Kg. A base tem a face de passar com 0,06 m2 e é aquecida na outra face por um calefator de 500 W. Inicialmente, o ferro está a mesma temperatura do ar ambiente, T∞ = 20oC.

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Quanto tempo gastará o ferro para atingir 120oC, se o coeficiente de transferência de calor entre o ferro e o ar ambiente for 20 (W/m2 oC)?

6. Uma esfera de Al com 3 cm de diâmetro [k = 204W/(m.oC), r=2700kg/m3 cp = 0,896 J/(kg.oC)] está inicialmente a T0 = 175oC. De repente, ela é imersa em um fluído agitado a T∞ = 25oC. A temperatura da esfera cai para T(t) = 100 oC em t = 42 seg. Calcule o coeficiente de transferência de calor.

7. Uma laranja com 10 cm de diâmetro está inicialmente a uma temperatura uniforme de 30oC e é colocado em um refrigerador em que a temperatura do ar é de 2oC. Se o coeficiente de transferência de calor entre a laranja e o ar for h = 50 (W/m2 oC), determine o tempo necessário para que o centro da laranja atinja 10oC. Admita que as propriedades térmicas da laranja são as mesmas que a da água na mesma temperatura [k = 0,59W/(m.oC) e α1,4 x 10-7 m2 /s].

8. Uma salsicha comprida [k = 0,50W/(m.oC) e α1,6 x 10 10-7 m2 /s] com diâmetro

D = 2 cm, inicialmente na temperatura uniforme 7oC, é mergulhada repentinamente em água fervente a T∞ = 100oC. o coeficiente de transferência de calor entre a água e a superfície é h = 150 (W/m2 oC). A salsicha está cozida quando sua temperatura central atinge 80oC. Quanto tempo vai ser preciso para que a temperatura no centro da salsicha atinja 80oC?

9. Uma batata com 6cm de diâmetro, inicialmente na temperatura uniforme de

20oC, é mergulhada de repente na água fervente a 100oC. O coeficiente de calor entre a água e a superfície é h = 6000 (W/m2 oC). As propriedades termofísicas da batata podem ser tomadas com as da água [k = 0,68W/(m.oC) e α1,6 x 10-7

m2 /s]. Determine o tempo necessário para que a temperatura no centro da batata atinja 95oC, e determine a energia transferida para a batata durante este tempo.

10. Uma esfera maciça de Al [k = 204W/(m.oC) e α8,4x 10-5 m2 /s] de diâmetro D =

10 cm, está inicialmente a Ti = 250oC. Repentinamente, ela é imersa em um banho bem agitado a T∞ = 80oC. O coeficiente de transferência de calor entre o fluído e a superfície é h = 1000 (W/m2 oC). Quanto tempo vai passar para que o centro da esfera se esfrie até 100oC?

11. Uma barra cilíndrica de aço cromado, co 8 cm de diâmetro [k = 40W/(m.oC) e α

1,1x 10-5 m2 /s] está inicialmente a uma temperatura Ti = 225oC. Subitamente, é exposto a um meio convectivo a T∞ = 25oC, com um coeficiente superficial de transferência de calor h = 50 (W/m2 oC). Com o emprego de carta de temperatura transiente, determine: (a) temperatura no eixo e (b) a temperatura na superfície, 6 minutos e 1 hora depois da exposição ao ambiente mais frio.

12. Uma barra cilíndrica maciça de ferro [k = 60W/(m.oC) e α=2 x 10-5 m2 /s], de

diâmetro D= 6 cm, inicialmente na temperatura Ti = 800oC, é repentinamente mergulhada em um banho de óleo a T∞ = 50oC. O coeficiente de transferência de calor entre o fluído e a superfície é h = 400 (W/m2 oC). (a) Utilizando a carta de temperatura transiente, determine a temperatura no eixo 10 min depois na imersão do fluído; (b) Quanto tempo vai passar para que o eixo atinja 100 oC?

Page 178: Trans Miss Ão Decal Or

TRANSMISSÃO DE CALOR

LISTA DE EXERCÍCIOS III

1. O perfil de velocidade u(x,y), na camada limite de um escoamento sobre uma

placa plana é dado por: 3

)(21

)(23

u),( )( x

yx

yyxuδδ −=∞

onde a espessura da camada limite δ(x) é:

∞= uvxx 13

280)(δ Deduza uma expressão para o coeficiente local de arraste Cx. Deduza uma expressão para o coeficiente médio de arraste Cm sobre uma distância x = L, a partir da borda frontal da placa.

2. A expressão exata do coeficiente local de arraste Cx , num escoamento laminar

sobre uma placa plana é dado por:

(x) Re

664,0

21)( =xc

O ar atmosférico, à pressão normal é T∞ = 300 K, flui com uma velocidade u∞ = 1,5 m/s sobre uma placa. Determine a distância a partir da borda frontal da placa em que começa a transição de escoamento laminar para turbulento. Calcule a força de arraste F que atua, por metro de largura da placa, na distância que vai de x = 0 até onde começa a transição.

3. Uma expressão aproximada para o perfil de temperatura na camada térmica é:

[ ]3)(2

1)(2

3),(),..( xty

xty

TwTTwyxTyx δδθ −== −∞

e a espessura da camada limite δ(x) é dada por

31

21

PrRe53,4)(

x

xxt =δ

onde Pr é o número de Prandtl. Desenvolva uma expressão para o coeficiente de transferência de calor local h(x).

4. A expressão exata do número de Nusselt local num escoamento laminar sobre uma placa plana é:

xkxxh

xNu 21

31

RePr332,0)( ==

Deduza uma expressão para o coeficiente de transferência de calor médio h(x) de x = 0 até L.

Page 179: Trans Miss Ão Decal Or

O ar atmosférico, a T∞ = 400 K, com uma velocidade u∞ = 1,5 m/s, flui sobre uma placa plana L = 2m de comprimento, mantida a uma temperatura uniforme Tw= 300 K. Calcule o coeficiente de transferência de calor médio hm desde x = 0 até x = L = 2 m. Calcule a taxa de transferência de calor da corrente de ar para a placa desde x = 0 até x = L = 2 m com w = 0,5 m.

5. O ar atmosférico, a T∞ = 300 K , com uma velocidade u∞ = 5 m/s, flui sobre uma placa plana L = 1m de comprimento. A placa tem uma largura w = 0,5 m. A força de arraste total atuando sobre a placa é F = 18 x 10-3 N . Empregando a analogia de Reynolds-Colburn, estime o coeficiente de transferência de calor médio hm no escoamento do ar sobre a placa.

6. O ar atmosférico, a T∞ = 400 K , com uma velocidade u∞ = 4 m/s, flui sobre uma

placa plana L = 1m de comprimento mantida a uma temperatura uniforme Tw= 300 K. O coeficiente de transferência de calor médio é hm = 7,75 w/( m2ºC). Usando a analogia de Reynolds-Colburn, calcule a força de arraste exercida sobre a placa, por metro de largura.

7. O perfil de velocidade no escoamento laminar hidrodinamicamente desenvolvido

dentro de um tubo circular é dado por :

( )[ ]212 Rr

mr uu −=

onde R é o raio interno do tubo e um é a velocidade média de escoamento. Desenvolva uma expressão para o fator de atrito f no escoamento dentro do tubo.

8. O óleo de máquina (r = 868 kg/m3, v = 0,75 x 10-4 m2/s) escoa com uma velocidade média um 0,15 m/s dentro de um tubo circular com diâmetro interno D=2,5 cm. Calcule o fator de atrito e a perda de carga no comprimento L = 100 m do tubo.

9. Considere uma convecção laminar forçada no interior de um tubo circular de raio

interno R com um fluxo de calor uniforme na parede do tubo. Na região onde os perfis de velocidade e de temperatura forem completamente desenvolvidos, a temperatura adimensional θ(x), é dada no forma:

( ) ( )[ ]2

414

161

163

1196

)()()(),(

Rr

Rr

zTzTzTzrT

r wm

w −+== −−θ

Deduza a expressão do coeficiente de transferência de calor.

10. Um óleo de máquina ferro [k = 0,14W/(m.ºC), e v =0, 8 x 10-4 m2/s] escoa com uma velocidade média vm 0,2 m/s no interior de um tubo de 1,25 cm de diâmetro, eletricamente aquecido nas paredes a uma taxa uniforme q = 2450 W/m2 . A transferência de calor ocorre na região termicamente desenvolvida . Calcule a diferença de temperatura entre a superfície da parede do tubo e a temperatura média de escoamento.

Page 180: Trans Miss Ão Decal Or

TRANSMISSÃO DE CALOR

LISTA DE EXERCÍCIOS IV

1. Bombeia-se óleo de máquina com uma velocidade média um 0,6 m/s através de um feixe de n = 80 tubos, cada um com um diâmetro interno D = 2,5 cm e comprimento L = 10 m. As propriedades físicas do óleo são υ = 0,75 x 10-4 m2/s e, r = 868 kg/m3. Calcule a perda de carga em cada tubo e a potência total necessária para bombear óleo através dos 80 tubos e superar o atrito fluido do escoamento.

2. Considere o aquecimento do ar atmosférico que está fluindo co uma velocidade

um 0,5 m/s no interior de um tubo de paredes delgadas, com 2,5 cm de diâmetro, na região hidrodinâmica e térmica desenvolvida. O aquecimento pode ser feito quer por condensação do vapor de água na superfície externa do tubo, ou seja, mantendo-se uma temperatura superficial uniforme, quer por aquecimento por resistor elétrico, isto é, mantendo-se um fluxo de calor superficial constante. Calcule o coeficiente de transferência de calor em ambas condições de aquecimento, admitindo que as propriedades do ar possam ser calculadas a 350 K.

3. Determine os comprimentos de entrada hidrodinâmica e térmica em termos do

diâmetro interno D do tubo num escoamento a uma temperatura média Tm = 60oC e Re = 200, dentro de um tubo circular com o mercúrio, ar, água, etileno glicol, e óleo de máquina, com a condição de contorno fluxo de calor constante nas paredes.

4. O ar atmosférico, a Tm = 300 K e uma velocidade de corrente global um 10 m/s,

flui através de um tubo com D = 2,5 cm de diâmetro interno. Calcule a perda de carga, em cada 100 m de comprimento de tubo, para (a) um tubo liso e (b) um tubo de aço comercial.

5. A água flui com uma velocidade média um 10 m/s num tubo circular de diâmetro

interno D = 5 cm. O tubo é feito de aço comercial, sua parede é mantida a uma temperatura uniforme Tw = 100 ºC, pela condensação de vapor de água em sua superfície externa. No local em que o escoamento está hidrodinâmica e termicamente desenvolvido, a temperatura média global da água é Tb= 60 ºC. Calcule o coeficiente de transferência de calor h utilizando a equação de Petukhov.

6. Resolva o problema (5) considerando um tubo liso e usando as seguintes

correlações: i. Equação de Notter e Sleicher. ii. Equação de Petukhov. iii. Equação de Sieder e Tate. iv. Equação de Dittus e Boelter.

7. O NaK líquido (56% de Na) flui com uma velocidade média 3 m/s, no interior de

um tubo liso, de diâmetro interno D = 2,5 cm, e é aquecido pela parede do tubo mantida a uma temperatura uniforme Tw = 120 ºC. Determine o coeficiente de

Page 181: Trans Miss Ão Decal Or

transferência de calor da região em que a temperatura média global do fluído é Tb = 95 ºC e o escoamento é completamente desenvolvido, usando as equações de Seban e Shimazaki, Sleicher e Tribus, e Notter e Sleicher. Compare os resultados.

8. O ar atmosférico a 300 K e à velocidade 1 m/s, flui sobre uma placa plana.

Calcule a espessura da camada limite δx, e o coeficiente de arraste local Cx em x = 0,75 m a partir da borda frontal da placa. Qual é a força de arraste F que atua na placa, no comprimento x = 0 até L e numa largura w, é determinada por:

NuwLCF m 2. 2

∞=ρ

9. O ar atmosférico a 275 K e à velocidade 20 m/s, flui sobre uma placa plana de

comprimento L = 1,5 m, mantida a uma temperatura uniforme Tw = 325 K. i. Calcule o coeficiente de transferência de calor médio hm sobre a

região onde a camada limite é laminar. ii. Determine o coeficiente de transferência de calor médio sobre o

comprimento inteiro L = 1,5 m da placa. iii. Calcule a taxa total de transferência de calor Q, da placa para o

ar, no comprimento L = 1,5 m e largura w = 1 m Admita que a transição ocorra a Rec = 2 x 105.

10. O ar atmosférico, a T∞ = 250 K, com uma velocidade de corrente livre um 30 m/s, flui transversalmente a um cilindro circular, de diâmetro D = 2,5 cm. A superfície do cilindro é mantida a uma temperatura uniforme Tw = 350 K.

i. Calcule o coeficiente de transferência de calor médio hm. ii. Determine a taxa de transferência de calor Q, por metro de

comprimento do cilindro. iii. Determine o coeficiente de arraste médio Cd. iv. Calcule a força de arraste F que atua por metro de comprimento

do cilindro.

11. O ar atmosférico, a T∞ = 275 K, flui transversalmente a um fio elétrico de 1 mm de diâmetro, mantido a temperatura uniforme Tw = 325 K. Se o fio dissipa 70 W/m, calcule a velocidade da corrente livre u∞ do ar.

12. O ar atmosférico a T∞ = 250 K e à velocidade de corrente livre u∞ = 30 m/s, flui

em torno de uma esfera de diâmetro D = 2,5 cm. A superfície da esfera é mantida a uma temperatura uniforme Tw = 350 K. por aquecimento elétrico.

i. Calcule o coeficiente de transferência de calor médio hm. ii. Encontre a taxa de transferência de calor Q efluente da esfera. iii. Determine o coeficiente de arraste médio Cd. iv. Determine a força de arraste F que está atuando sobre a esfera.

Page 182: Trans Miss Ão Decal Or

TRANSMISSÃO DE CALOR

LISTA DE EXERCÍCIOS V

1. Uma corrente de água, à temperatura média Tm = 80ºC e à velocidade média Um

= 0,15 m/s, flui no interior de um tubo de cobre de paredes delgadas, com diâmetro interno de 2,5 cm. Uma corrente de ar atmosférico, a T∞ = 20ºC e velocidade de U∞ = 10 m/s, flui transversalmente ao tubo. Desprezando a resistência da parede do tubo, calcule o coeficiente de transferência de calor global e a taxa de perda por metro de tubo.

2. Em um trocador de calor de casco e tubos e passe único, as temperaturas de entrada e saída do fluído quente são, respectivamente, Th,i = 260ºC e Th,o = 140ºC; no fluído frio, elas são Tc,i = 70ºC e Tc,o = 125ºC. Calcule a diferença de temperatura média nas configurações:

a. contracorrente b. correntes paralelas

3. Um trocador de calor de casco e tubos, em contracorrente, é empregado para aquecer água a vazão m = 0,8 Kg/s desde Ti = 30ºC até To = 80ºC, com um óleo quente entrando a 120ºC e saindo a 85ºC. O coeficiente de transferência global médio é U = 125 w/( m2ºC). Calcule a área de transferência de calor necessária.

4. Um resfriador de óleo de um grande motor diesel deve resfriar óleo de máquina

de 60 para 45ºC, empregando água do mar à temperatura de entrada 20ºC, com uma elevação de temperatura em 15ºC. A carga térmica do projeto é Q = 140KW, e o coeficiente de transferência de calor global médio, baseado na área de superfície externa dos tubos, é 70 w/( m2ºC). Calcule a área da superfície de transferência de calor num escoamento de passe único, em:

a. contracorrente b. correntes paralelas

5. Quer-se construir um condensador de vapor de água de casco e tubos, com tubos horizontais de diâmetro externo 2,5 cm e diâmetro interno 2,2 cm, de passe único, com o vapor se condensando, a Ts = 54ºC, no interior dos tubos. A água de refrigeração entra em cada tubo a Ti = 18ºC, com uma vazão m = 0,7 Kg/s por tubo e sai a To = 36ºC. O coeficiente de transferência de calor na condensação do vapor é hs 8000 w/(m2ºC).

a. Calcule o comprimento do tubo L b. Calcule a taxa de condensação por tubo.

6. Um trocador de calor com dois passes no casco e quatro passes nos tubos, com

as correntes da figura abaixo, tem água no lado do casco e salmoura no lado dos tubos. A água é resfriada de T1 = 18ºC até Ti = 6ºC, com a salmoura

Page 183: Trans Miss Ão Decal Or

entrando a T1 = -1ºC e saindo a T2 = 3ºC. O coeficiente de transferência de calor global é U = 600 w/(m2ºC).Calcule a área necessária de transferência de calor para um projeto com a carga térmica Q = 24000 W.

7. Um trocador de calor com um passe no casco e dois passes nos tubos,conforme figura abaixo, tem água no lado dos tubos e óleo de máquina no lado do casco. Deve ser projetado para aquecer 1,5 Kg/s de água desde T1 = 30ºC até T2 = 80ºC, com o óleo de máquina entrando a T1 = 120ºC e saindo a T2 = 80ºC. O coeficiente de transferência de calor global é U = 250 w/(m2ºC). Calcule a área necessária de transferência de calor.

8. Um trocador de calor com um passe no casco e dois passes nos tubos,conforme

figura acima, deve ser projetado para aquecer mc = 2,0 Kg/s de água pressurizada, desde T1 = 40ºC até T1 = 120ºC, fluindo no lado dos tubos, utilizando água quente, no lado do casco, entrando a T1 = 300ºC com uma vazão mh = 1,03 Kg/s. O coeficiente de transferência de calor global é U = 1250 w/(m2ºC). Calcule a área necessária de transferência de calor.

9. Quer-se projetar um trocador de calor para resfriar mh = 9,7 Kg/s de uma

solução de álcool etílico [cph = 3840 J/(Kg.ºC)], de T1 = 75ºC até T1 = 45ºC, com água fria [cpc = 4180 J/(Kg.ºC)], entrando no lado dos tubos a T1 = 15ºC, a uma vazão mc = 9,6 Kg/s. O coeficiente de transferência de calor global baseado na parte externa do tubo é U = 500 w/(m2ºC). Calcule a área necessária de transferência de calor. Em cada uma das seguintes configurações:

a. Correntes paralelas, no casco e tubo. b. Contracorrente no casco e tubos. c. Um passe no casco e dois passes nos tubos. d. Correntes cruzadas, ambos os fluídos não misturados.

Page 184: Trans Miss Ão Decal Or

10. Um trocador de calor em contracorrente, com uma área de transferência de calor de 12,5 m2, deve resfriar óleo [cph = 2000 J/(Kg.ºC)], com água [cpc = 4170 J/(Kg.ºC)]. O óleo entra a Th,af = 100ºC e mh = 2 Kg/s, enquanto a água entra a Tc,af = 20ºC e mc = 0,48 Kg/s. O coeficiente de transferência de calor global é U = 400 w/(m2ºC). Calcule a temperatura de saída da água e a taxa de transferência de calor Q.

11. Um trocador de calor de um passe no casco e quatro passes nos tubos, deve

resfriar óleo, à razão de mh = 1,5 Kg/s [cph = 2100 J/(Kg.ºC)], de Th,af = 90ºC até Th,ef = 40ºC, com água [cpc = 4180 J/(Kg.ºC)], entrando a Tc,af = 19ºC e mc = 1 Kg/s. O coeficiente de transferência de calor global é U = 250 w/(m2ºC). Calcule a área necessária de transferência de calor.

12. Um condensador de vapor de água, de casco e tubos, com tubos horizontais de

diâmetro externo 2,5 cm e um passe nos tubos, condensa o vapor a Th = 54ºC. A água de resfriamento entra nos tubos a Tc,af = 18ºC, com uma vazão mc = 0,7 Kg/s por tubo, e sai a Tc,ef = 36ºC. O coeficiente de transferência de calor global baseado na parte externa do tubo é U = 3509 w/(m2ºC). Calcule o comprimento L do tubo e a taxa de transferência de calor Q.