Trabalho de Laboratório deElectromagnetismo e Óptica
Campo magnético ~B produzido por umenrolamento percorrido por uma corrente eléctrica;
Lei de Faraday
Fernando Barão, Manuela Mendes, Filipe MendesProfs do Departamento de Física do IST
Departamento de Física, IST
Guia de Laboratório Campo Magnético
• Estudo do campo magnético produzido por um enrolamento deN espiras percorrido por uma corrente eléctrica.
• Utilização da lei de indução de Faraday para medição do campomagnético.
Objectivos
• Enrolamentos de espiras para produção de um campo magnéticoe para indução de uma força electromotriz
• Gerador de sinais
• Osciloscópio de 2 canais
• Resistências de 10 kΩ
• Cabos para ligações eléctricas
Material
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electromagnetismo e Óptica (MEBiom, LMAC / IST - 2018) (2)
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1 Introdução teórica
1.1 Lei de Biot-Savart
Um condutor percorrido por uma corrente eléctrica produz um campomagnético ~B. Dividindo o condutor em elementos infinitesimais decorrente Id~ℓ, o campo magnético produzido por cada um destes ele-mentos num dado ponto a uma distância r é de acordo com a lei deBiot-Savart,
d ~B =µ0
4πId~ℓ× ~ur
r2
onde µ0 corresponde à permeabilidade magnética do vazio, que noSistema Internacional de Unidades (SI) onde o campo magnético se
exprime em Tesla (T), assume o valor 4π · 10−7 T.m/A. O campo ~Bé perpendicular quer ao elemento de corrente, quer ao vector posição ~rque liga o elemento de corrente ao ponto P ; no caso da figura em queo elemento de corrente e o vector ~r se encontram no plano do papel,o campo ~B é perpendicular ao plano do papel e aponta na direcçãooposta à do leitor. O campo magnético total no ponto P obtém-se,integrando o campo magnético ao longo de todo o condutor,
~B =µ0
4πI
∫
C
d~ℓ × ~ur
r2(1)
1.2 Campo magnético no eixo de uma espira de corrente
O campo magnético produzido por uma espira de corrente de raioR e percorrida por uma corrente eléctrica I pode ser obtida usandocoordenadas cilíndricas (R, θ, z). Assim, nestas coordenadas, ocampo magnético produzido por um elemento de corrente infinite-simal Id~ℓ = I R dθ~uθ num ponto P ao longo do eixo da espira ea uma distância r =
√R2 + z2 do elemento é:
d ~B =µ0
4πI
R dθ
R2 + z2(~uθ × ~ur)
A simetria existente na distribuição da corrente eléctrica tem comoconsequência a existência de campo magnético somente segundo OZ,uma vez que as componentes perpendiculares ao eixo da espira produ-zidas por elementos de correntes opostos, se anulam. Tem-se assim:
dBz = |d ~B| cosα
onde α é o ângulo entre o eixo da espira e o campo ~B.
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Assim, tendo em conta que cosα = R/√R2 + z2 e que os vectores
~uθ e ~ur são perpendiculares (portanto o módulo do produto externoé 1!), pode-se calcular o campo magnético segundo o eixo da espiracomo:
Bz =µ0
4πI
∫ 2π
0
R2
(R2 + z2)3/2dθ
=µ0
4π
IR2
(R2 + z2)3/2[θ]2π0
~B(z) =µ0
2
IR2
(R2 + z2)3/2~uz (2)
Para se entender melhor o comportamento do campo magnético parapontos do eixo a grandes distâncias z da espira, pode-se reescrever aexpressão (2) da seguinte forma:
~B(z) =µ0
2
IR2
R3[
1 +(
zR
)2]3/2
~uz
=µ0
2
I
R
~uz[
1 +(
zR
)2]3/2
(3)
O campo magnético no centro da espira (z = 0), vem:
~B(z = 0) =µ0
2
I
R~uz (4)
1.3 Campo magnético produzido por um enrolamento de N espiras
O campo magnético produzido por um enrolamento de N espirasnum ponto P ao longo do seu eixo pode em primeira aproximação sercalculado somando os campos produzidos por cada uma das espiras,
~B =
N∑
i=1
~Bespira
Esta aproximação é razoável se a espessura do enrolamento for pe-quena quando comparada com o seu raio. Tendo em conta a expressãodo campo magnético derivada para a espira (2), tem-se então para umponto a uma distância z ao longo do eixo da espira:
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~B(z) =µ0
2N
I
R
~uz[
1 +(
zR
)2]3/2
(5)
No centro do enrolamento (z = 0) o campo magnético vem dadopor:
~B(z = 0) =µ0
2N
I
R~uz (6)
A expressão do campo magnético no eixo pode então ser reescritaem termos do campo magnético existente no centro do enrolamentocomo:
B(z) =B(z=0)
[
1 +(
zR
)2]3/2
(7)
1.4 Força electromotriz num enrolamento: lei de indução magnética
Pensemos num enrolamento T composto por NT espiras circularesde raio RT , exposto a um campo magnético uniforme ~B, produzidopor um enrolamento externo (E). O fluxo do campo magnético queatravessa o enrolamento T , devido ao campo externo, é dado por:
ΦTE = NT
∫
S
~B · ~n dS (8)
onde ~n é um vector unitário e normal à área (S) da espira. Sendo Θ
o ângulo entre ~n e ~B, tem-se:
ΦTE = NT B πR2T cosΘ (9)
Pela lei da indução de Faraday, a força electromotriz existente aosterminais do enrolamento T depende da variação no tempo do fluxodo campo magnético que o atravessa. Este fluxo de campo magnéticopode-se escrever como a soma do fluxo devido ao campo externo e dofluxo auto-indutivo, ΦTT = LTIT :
ΦT = ΦTT + ΦTE = LT IT + NT πR2T cosΘ B
onde LT é o coeficiente de auto-indução do enrolamento. Vem entãopara a força electromotriz:
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ε = −dΦT
dt
= −LT
dIT
dt− NT πR2
T cosΘdB
dt(10)
O sinal negativo indica-nos que a polaridade da força electromotrizinduzida é definida de forma a opôr-se a variação de fluxo.
1.4.1 Variação do campo magnético
Consideremos que o campo magnético ~B é produzido por um enrola-mento de N espiras circulares de raio R que é atravessado por umacorrente eléctrica variável I(t). Assim, a variação no tempo do campomagnético deve-se à variação da corrente eléctrica. Por exemplo, nocentro do enrolamento (z = 0), a variação do campo magnético (6)expressa-se como:
dB
dt=
d
dt
(
µ0
2N
I
R
)
= µ0
N
2R
dI
dt(11)
1.4.2 Corrente eléctrica triangular
Admitamos que o enrolamento produtor do campo ~B é percorrido poruma corrente de forma triangular no tempo de amplitude I0, tal comose mostra na figura ao lado. A derivada da corrente é uma constante,ora positiva (troço ascendente) ora negativa (troço descendente), devalor
dI
dt=
∆I
∆t=
I0 − (−I0)
T/2=
2I0
T/2= 4
I0
T(12)
onde T = 1/f é o período da corrente.Para este tipo de corrente eléctrica, obtém-se então a variação docampo magnético no centro do enrolamento como:
dB
dt=
µ0
2
N
R4I0
T= 2 µ0
NI0
R
1
T(13)
Ipp
0+I
0−I
T/2
−ε
+ε0
0
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1.4.3 Corrente eléctrica sinusoidal
Consideremos agora que o enrolamento produtor de campo é per-corrido por uma corrente eléctrica I sinusoidal e amplitude I0,I = I0 sin(ωt). Tendo em conta que a derivada da corrente é dadapor:
dI
dt= I0 ω cos(ωt) (14)
a variação do campo magnético no centro do enrolamento vem dadapor:
dB
dt= µ0
N
2RI0 ω cos(ωt) (15)
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2 Trabalho experimental
2.1 Objectivos
Neste trabalho abordam-se os seguintes tópicos:
• produção de um campo magnético por um enrolamento de campo de N espiras.
• comparação do campo magnético produzido experimentalmente com o valor teórico calculadoa partir da lei de Biot-Savart.
• medição do campo magnético com um enrolamento-sonda, usando a lei de Faraday.
• estudo da variação do valor do campo magnético produzido com a frequência da correnteeléctrica e com a distância ao enrolamento.
2.2 Montagem
Na montagem experimental a realizar em laboratório, existe um circuito primário composto poruma resistência eléctrica R1 = 10 kΩ e por um enrolamento de N espiras circulares de raioR e resistência eléctrica interna Ric = 830 Ω. Este é o circuito responsável pela produção docampo magnético ~B que se pretende medir. Ao enrolamento existente neste circuito chamaremoso enrolamento de campo.
Existe ainda um circuito secundário composto por um enrolamento de NT espiras circularesde raio RT e resistência eléctrica interna RiS = 220 Ω em série com uma resistência eléctricaR2 = 10 kΩ. Ao enrolamento existente neste circuito chamaremos o enrolamento sonda ousonda de campo.
As resistências eléctricas R1 e R2 colocadas em ambos os circuitos servem para limitar ascorrentes eléctricas existentes quer no enrolamento de campo, I, quer no enrolamento sonda,IT .
No canal 1 do osciloscópio observa-se o sinal de tensão aplicado pelo gerador Vg(t) e no canal2 observa-se a queda de tensão V2 existente aos terminais da resistência R2. Aplicando a lei de
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Faraday à malha constituída pelo enrolamento sonda e pelas resistências eléctricas R2 e Ris, tem-se:
V2 + RisIT = −dΦT
dt⇒ V2 +RisIT − εT = 0
Note que para baixas frequências, os efeitos auto-indutivos no enrolamento sonda podem ser des-prezados. Isto é, a variação do fluxo do campo magnético no enrolamento sonda e portanto a forçaelectromotriz εT é essencialmente devido ao campo magnético criado pelo enrolamento de campo.
A corrente eléctrica que percorre o circuito do enrolamento sonda é dado por:
IT =εT
R2 +Ris
onde εT é a força electromotriz medida aos terminais do enrolamento sonda.A queda de tensão aos terminais da resistência R2 é dada por:
V2 = εTR2
R2 +Ris
2.3 Campo magnético produzido pelo enrolamento de campo
De acordo com o exposto na introdução teórica (expressão 5), o campo magnético produzido peloenrolamento de campo de N espiras circulares de raio R e percorrido por uma corrente I, parapontos situados ao longo do seu eixo, é dado aproximadamente por:
~B(z) =µ0
2
N I
R
1[
1 +(
zR
)2]3/2
~ez (16)
2.4 Força electromotriz induzida no enrolamento de teste (sonda)
O enrolamento sonda composto por NT espiras circulares de raio RT é colocado no eixo doenrolamento de campo, a uma distância variável z. A variação no tempo do campo magnético~B produzido pelo enrolamento de campo nessa região, provoca o aparecimento de uma forçaelectromotriz induzida, de acordo com a expressão (10). Em primeira aproximação, podemos consi-derar o campo magnético produzido pelo enrolamento de campo e que atravessa o enrolamentode teste, como uniforme e igual ao existente no eixo do enrolamento de campo. Tendo emconta o valor do campo magnético produzido pelo enrolamento de campo no seu eixo dado pelaexpressão (16), pode-se calcular a força electromotriz induzida (desprezando a auto-indução) comosendo:
εT = − cosΘµ0
2N NT
πR2T
R
1[
1 +(
zR
)2]3/2
dI
dt(17)
onde Θ é o ângulo que as normais aos dois enrolamentos fazem.
caso A: corrente I(t) triangular de amplitude I0:
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Como neste caso se tem dI/dt = 4I0/T , vem:
εT = − cosΘ 2µ0 N NT I0πR2
T
R
1
T
1[
1 +(
zR
)2]3/2
(18)
caso B: corrente I(t) sinusoidal de amplitude I0:
Como neste caso se tem dI/dt = I0ω cos(ωt), vem:
εT = − cosΘµ0
2N NT I0
πR2T
Rω cos(ωt)
1[
1 +(
zR
)2]3/2
(19)
2.5 Determinação do campo magnético a partir da medição da forçaelectromotriz
Da expressão (10) que relaciona a força electromotriz com a variação no tempo do campo magnético,podemos retirar a lei de variação do campo magnético:
dB
dt≃
ε
cosΘ πR2T NT
(20)
Assim, para extrairmos o valor máximo do campo magnético variável, integra-se a expressão anterior,entre um tempo t0 onde a corrente seja nula (e portanto o campo magnético é nulo) e um tempot = t0 + T/4 em que a corrente é máxima (e portanto o campo!):
B0 =1
cosΘ πR2T NT
∫ t0+T/4
t0
ε dt (21)
caso A: corrente triangular:
Da expressão (18) verifica-se que a força electromotriz induzida é constante ε0 e inverte o seu valorem cada meio período ficando a expressão (21):
B0 =ε0
cosΘ πR2T NT
∫ T/4
0
dt =T
4
ε
NT πR2T cosΘ
(22)
caso B: corrente sinusoidal:
Da expressão (19) verifica-se que a força electromotriz induzida é neste caso variável no tempo edada por ε = ε0ω cos(ωt). Assim a expressão (21) fica:
B0 =ε0ω
cosΘ πR2T NT
∫ T/4
0
cos(ωt)dt =ε0
cosΘ πR2T NT
(23)
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Electromagnetismo e Óptica - MEEC
Relatório do trabalho de Campo Magnético de Indução
Identificação do Grupo
N: Nome:
N: Nome:
N: Nome:
Data de realização do trabalho: / / 2011, Horas: -
Atenção:
• Os quadros 2 e 6 podem e devem ser preenchidos antes da sessão de laboratório!
• Pesquise antecipadamente o valor do campo magnético terrestre existente na zona de Lisboa
• Nos cálculos a efectuar considere as seguintes características para os enrolamentos:enrolamento de campo
- número de espiras, N = 2000- raio, R = 7, 00 cm
enrolamento sonda- número de espiras, NT = 2000- raio, RT = 1, 75 cm
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3 Procedimento experimental
3.1 Montagens e ambientação à aparelhagem
Montagem do circuito primário
• Proceda às ligações do circuito primário. Ligue o gerador de sinais ao enrolamento decampo em série com a resistência de 10 kΩ. Ligue o canal 1 do osciloscópio ao gerador desinais.
• Produza uma onda triangular de amplitude 10 V e frequência 100 Hz e observe-a no osci-loscópio. Verifique que a frequência do sinal gerado apresentada no mostrador do gerador desinais corresponde ao sinal que observa no osciloscópio.Nota: um sinal de amplitude V0 = 10 V corresponde a um valor medido no ecrâ do oscilos-
cópio pico-a-pico de Vpp = 2V0 = 20 V.
• Repita o procedimento para uma onda sinusoidal de características idênticas.
Montagem do circuito secundário
• Proceda agora às ligações do circuito secundário (ou de teste). Ligue o enrolamento sondaem série com a resistência de 10 kΩ. Ligue a extremidade de um cabo ao canal 2 doosciloscópio e as pontas da outra extremidade à resistência eléctrica de 10 kΩ, observandoassim a queda de tensão na resistência.
Circuito Primário Circuito Secundário
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3.2 Medição do campo magnético
• Registe no quadro 1 as características dos enrolamentos de campo e sonda com que vaitrabalhar bem como das resistências totais dos circuitos primário, R1 + Ric e secundário,R2 +Ris .
• Aplique uma tensão Vg(t) de forma triangular de frequência f = 100 Hz no enrolamentode campo, com uma amplitude de sucessivamente 4, 6, 8 e 10 V.
• Preencha o quadro 2. Calcule a amplitude da corrente eléctrica I que percorre o circuitoprimário bem como o campo magnético esperado, produzido pela bobine de campo.
• Coloque o enrolamento sonda no centro do enrolamento de campo. Faça a medição noosciloscópio, da amplitude da queda de tensão na resistência R2 e calcule de seguida a forçaelectromotriz εT induzida no enrolamento sonda.
• Usando a expressão (22), determine o campo magnético no centro do enrolamento decampo (quadro 3).
• Represente graficamente os valores de campo magnético esperado e medido em função datensão aplicada.
• Comente os resultados obtidos e compare os valores de campo obtido com o campo magnéticoà superfície da Terra, em Lisboa.
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3.2.1 Medidas
Características dos enrolamentos de espiras
Quadro 1
Enrolamento de campo Enrolamento de teste
N = NT =
R = R1 + Ric = RT = R2 +Ris =
Determinação do campo magnético produzido pelo enrolamento de campo no seu centro
Utilizando a expressão (6), determine acorrente eléctrica e o campo magnéticoque espera observar (Besp) no centro doenrolamento de campo, para cada tensãoaplicada Vg.
Quadro 2: a preencher antecipadamente
Vg I [A] Besp [T]
4 V
6 V
8 V
10 V
Registe os valores medidos de amplitude da tensãoaplicada (Vg), da tensão medida V2, da amplitudeda força electromotriz induzida calculada (εT ) e ocampo magnético máximo calculado a partir da ex-pressão (22).
Quadro 3: valores medidos
Vg [V] V2 [mV] εT [mV] B [T]
Cálculos detalhados do campo magnético esperado Besp e campo magnético medido B, para
o valor de tensão aplicada de 4 Volts:
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Representação gráfica dos valores de: 1) Besp = f(Vg) e 2) B = f(Vg)
Comentários:Comente os resultados obtidos e compare os valores de campo obtido com o campomagnético à superfície da Terra, em Lisboa.
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3.3 Medição da força electromotriz induzida
• Seleccione un sinal sinusoidal de tensão no gerador de sinais com uma amplitude de Vg = 5 Ve uma frequência de 50, 100, 500, 1000, 1500, 3000 e 5000 Hz.
• Registe a amplitude da queda de tensão V2 e calcule a força electromotriz induzida no enro-lamento sonda, εT .
• Represente graficamente a variação da força electromotriz com a frequência. Comente osresultados.
Quadro 4: valores medidosf [Hz] 50 100 500 1000 1500 3000 5000V2 [mV]
ε [mV]
Representação gráfica: ε(f)
Comentários:
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3.4 Variação da força electromotriz com os ângulos dos enrolamentos
• Seleccione un sinal sinusoidal de frequência 100 Hz e amplitude 5 Volts, no circuito primário.
• Coloque o enrolamento de teste no centro do enrolamento de campo, sendo Θ o ângulo entreos eixos dos enrolamentos.
• Registe a amplitude da queda de tensão aos terminais da resistência V2 e calcule a forçaelectromotriz induzida no enrolamento sonda, εT , para os ângulos Θ = 0, 45 e 90.
• Faça a razão entre as forças electromotrizes obtidas e comente os resultados.
Quadro 5: valores medidos
Θ 0 45 90
ε [mV]
Comentários:
ε(Θ = 45)
ε(Θ = 0)=
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3.5 Variação da força electromotriz com a distância ao enrolamento
• Seleccione um sinal sinusoidal de frequência 100 Hz e 10 Volts de amplitude no circuitoprimário.
• Coloque o enrolamento de teste ao longo do eixo do enrolamento de campo, nas posiçõesz = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 15 cm.
• Registe para cada posição a amplitude da queda de tensão aos terminais da resistência V2 ecalcule a força electromotriz induzida no enrolamento sonda, εT .
• Faça a razão entre as forças electromotrizes obtidas nas diferentes distâncias z e o pontocentral z = 0. Compare os resultados com os valores previstos dados pela expressões derivadasatrás.
Quadro 6: valores a calcular antecipadamente
N = 2000z [cm] ε(z) [mV] ε(z)/ε(z = 0)0
1
2
3
4
5
8
10
15
Cálculos detalhados para z = 0 e 10 cm
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Quadro 7: valores medidos
z [cm] V2 [mV] ε(z) [mV] ε(z)/ε(z = 0)0
1
2
3
4
5
8
10
15
Representação gráfica dos valores medidos e calculados: ε(z)/ε(z = 0) em função de z
Comentários:
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