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Prof. Andr Luis Christoforo
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- Elementos de barra;
- Equaes de equilbrio;
- Esforos solicitantes;
- Equaes constitutivas;
- Equaes de compatibilidade;
- Propriedades geomtricas de sees planas.
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----------------------------------------------
----------------------------------------------
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4/72
2
1
10020100i
AAx kNRkNkNRF
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5/72
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6/72
E
1 2
1
2
G
)1(2
E
G
1 2
1
2
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7/72
00 CAx RFRF
FRR CA
AE
LNLLLL BCABAC 0
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2h
2h
2b
2b
dybdA dAyI
A
Z
12
2
2
hbdybyI
h
hZ
z
y
dyb
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- Apresentar o problema da toro em barras de seo
circular juntamente com as hipteses de clculo utilizadas
nos modelos matemticos, permitindo calcular as tenses
de cisalhamento mximas e os deslocamentos angulares
mximos;
- Resolver problemas de aplicao;
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Introduo
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Determinar a distribuio dos esforos torores
(diagrama de momentos torores) para a viga da figura
abaixo.
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0 ( ) 10 0x CBFt Mt x
( ) 10 .CBMt x kN cm
0 ( ) 30 10 0x BAFt Mt x
( ) 20 .BAMt x kN cm
Mtodo das Sees:
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Superposio de efeitos:
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Hipteses de Clculo
- Continuidade do meio;
- Material homogneo;
- Material isotrpico;
- Material solicitado na fase elstico-linear;
- Estrutura restrita a pequenos deslocamentos;
- Teoria de primeira ordem;
- Vlida a superposio de efeitos.
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Toro Geral
seo cheia parede grossa parede fina
Sees Circulares:
perfil
I
perfil
U
seo vazada
quadrada
fechada
seo
celular
seo
retngular
cheia
Seo no Circulares:
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Seo circular
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Seo no circular
empenamento
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Toro em Sees Circulares
T
Deslocamento angular:
Componente de Tenso Cisalhante:Distribuio da Tenso
De Cisalhamento na Seo
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Tenso de Cisalhamento na Toro:
t
t
M(para qualquer seo transversal) x
N
A(tenso normal em
membros carregados
axialmente - analogia)momento toror (esforo solicitante)tM
mdulo de resistncia toro(propriedade geomtrica da seo transversal,
cada seo geomtrica possui um mdulo de
toro relativo)
t
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Momento de Inrcia de Segunda Ordem:
2 2 4I L L L
2
xA
I y dA 2y
AI x dA
dimenso
Momento Polar de Inrcia:
2
pA
I r dA 2 2 2r x ypresente no estudoda toro em vigas
presente no estudo
flexo em vigas
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Mdulo de resistncia Toro:
Anlise dimensional de W
4
3I LW L
x ou y L
2
xA
I y dA2
yA
I x dA
2
p t
A
I I r dA
xx
mx
I
y
y
y
mx
I
x
p
p t
I
c
Mdulo de Resistncia Polar:
presente no estudo
flexo em vigas
presente no estudo
da toro em vigas
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24/72
2
/ 22
0
/ 23
0
4/ 2
4
0
2
(2 )
2
2
4 32
p
A
D
p
D
p
D
p p
I r dA
dA r dr
I r r dr
I r dr
DI r I
4
3
32
16
2
p
p
p
p
I
c
DI D
Dc
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t
t
M(para qualquer seo transversal)
(para qualquer seo transversal)t t t
tt t
M M Mc
I I
c
OU
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Deslocamento Angular:
(para qualquer seo transversal)
(ser obtido atravs da equao de compatibilidade em deslocamentos)
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Determinao da mxima tenso de cisalhamento:
(02)
2dA r dr
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Teorema de Cauchy
(03)
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(04)
, 0 (no plano do elemento)aM
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Deslocamento angular
(07) (EDO)
(05)
(06)
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Lei de Hooke:
(08)
(09)
Subst i tu indo (06) e (07) em (05), temos :
(10)
(EDO)
(07)
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Seo transversal circular cheia
(01)
(02)
(12)
(13)
(11)
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(10)
(13)
(14)
(12)
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(seo d o engastam ento fi xo )
(seo d a ex tr em idade liv re)
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Seo transversal circular vazada
(15)
- Parede Fina
- Parede Grossa
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a) Tubo de parede grossa:
(01) (02) (11)
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(01)
(17)
(16)
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(18)
(10)
(19)
(16)
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b) Tubo de parede fina:
(15)
(20)(01)
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(21)
(23)
(22)
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(10)
(24)
(25)
(22)
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Exerccios:
1)Um barra eng astad a c om 7cm de d imetro e 2m de c omprimento
en contra-s e sujeita a ao de uma fo ra to ro ra d e in ten sid ad e2kN.m . Calcu lar a mxima tenso de cisalhamento e o mximo
des locamento angu lar. Dado : G=60 GPa.
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Clculo das reaes:
2kN.m=M0=M-2kN.m AA
Clculo dos esforos solicitantes:
CORTEI (0 X 2):
2kN.m=M0=M-2kN.m0=M+M- A
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Diagrama dos esforos solicitantes:
Clculo da tenso de cisalhamento:
tM
16
D
10734,616
07,0 5 m MPa70,2910735,6
20005
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Clculo do deslocamento:
ANGULAR
O des lo camento angu lar obtido p ela equao:
Atr ibuindo para x o compr imento L da barra, ob temos :
O momen to de inrc iapara seo c ir cu lar c heia calcu lad o pela expres so:
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O des locamento nulo na seo A , dev ido ao engastamento e
mximo na ex t rem idade l iv re B .
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2) Considere uma barra com mdulo de elasticidade
transversal G e seo circular cheia com o dimetro
variando linearmente ao longo de seu comprimento. O
dimetro da extremidade livre DB e o dimetro daextremidade engastada DA. Determinar a expresso
analtica para o clculo do mximo deslocamento angular.
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Substituindo os extremos de integrao:
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perfilI perfilUseo vazadaquadrada
fechada
seocelular seoretngular
cheia
Seo no Circulares:
TORO EM SEES NO CIRCULARES
SEO CIRCULAR:
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SEO CIRCULAR:
(calculado
anteriormente)
TORO EM TUBOS DE PAREDE FINA DE SEO FECHADA:
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TORO EM TUBOS DE PAREDE FINA DE SEO FECHADA:
Mdulo de Resistncia Toro:
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Momento de Inrcia Toro:
- Determinado atravs da igualdade entre o trabalho das foras
externas com o trabalho das foras internas (energia de deformao)
Trabalho das Foras Externas:
(espessura constante na direo x)
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Trabalho das Foras Internas (energia de deformao):
Para sees com espessuras constantes por trecho:
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Para sees com espessuras constantes por trecho:
Exemplo:
2 2
31 2 4
1 1 2 3 4
4 4t n
i
i i
A AI
ss s ss
t t t t t
Mdulo de Resistncia:
Mdulo de Resistncia:
1 2 4 3t t t t
1
2
, 2 (da seo)
, 2
t
t mnimo
t
A t
mx A t
mx A t
1 3 2 4;s s s s
2 3A s s
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1) Para a seo dada, determinar o Mdulo de Resistncia a
toro e o momento de Inrcia de toro. Considerando-se que em umadeterminada posio da barra, com esta seo transversal, que um
momento toror igual a5000 N.cm, calcular as tenses de cisalhamento
nos pontos B e C.
Exerccios:
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57/72
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58/72
2)
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59/72
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60/72
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61/72
Trecho AB
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62/72
Trecho BC
P (t) t t t d t l t d i i
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63/72
2
2
1 2 3
4
4
... (permetro da linha de esqueleto)
t
t
n
A
I ds
t
A tI
P
P s s s s
Para espessura (t) constante em toda a seo transversal o momento de inrcia
Toro pode ser obtido pela equao grifada a seguir.
2 220 10 173,20h cm
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64/72
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65/72
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66/72
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67/72
TORO EM TUBOS DE PAREDE FINA DE SEO ABERTA:
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68/72
TORO EM TUBOS DE PAREDE FINA DE SEO ABERTA:
3
1
1
3
n
t i iiI t s
3
1
1
3
n
t i iimx
t st
Exemplo:
3
3 3 3 31 1 2 2 3 3
1
1 13 3
t i i
i
I t s t s t s t s
33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2
1 1
3 3t i i
imx
t s t s t s t st t
(o momento de inrcia e o mdulo de
resistncia toro so obtidos por umametodologia intitulada analogia de
mebrana, no sendo aqui discutida)
1 3 2t t t
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Exerccio:
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70/72
7/25/2019 Toro Geral
71/72
3 4
;4,81 7,10
t t
a aI
3 4
;20 46
t t
a aI
2 3
2 2 ;
2t t
a b a bI
a b
TORO EM TUBOS DE PAREDE DE SEO FECHADA:
CONCENTRAO DE TENSES NA TORO:
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CONCENTRAO DE TENSES NA TORO:
3
16
mxTK K
d
(seo circular
macia)
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