UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
TÓPICOS SELECIONADOS
DE TRIGONOMETRIA E SUA HISTÓRIA
Autor: Jaqueline de Oliveira
RA: 313530
Licenciatura em Matemática
Professor orientador: João Carlos Vieira Sampaio
Departamento de Matemática/CCET
São Carlos � SP
2010
TÓPICOS SELECIONADOS
DE TRIGONOMETRIA E SUA HISTÓRIA
Monogra�a apresentada na disciplina Trabalho de
Conclusão de Curso, 2o semestre de 2010, coorde-
nada pelos Professores Vera Lúcia Carbone, Liane
Bordignon, e Ivo Machado da Costa.
Jaqueline de Oliveira
João Carlos Vieira Sampaio
São Carlos � SP
2010
Agradecimentos
Agradeço primeiramente à Deus por me dar a cada dia a perseverança e a força
para continuar buscando novos conhecimentos e aprendizados.
Agradeço à minha família por suportar muitas vezes a minha ausência
devido a várias tarefas acadêmicas que ao longo desses cinco anos �zeram parte
de minha rotina.
Agradeço aos professores, em especial, ao meu orientador que foi um dos
melhores professores que tive durante a graduação, pela amizade, dedicação,
atenção, e maiormente pela imensa paciência tida comigo durante o desenvol-
vimento desse trabalho.
Agradeço aos meus amigos do curso de Licenciatura em Matemática que
estiveram comigo nesses cinco anos de curso e pelas grandes amizades conquis-
tadas neste longo percurso.
Agradeço às pessoas maravilhosas que fazem parte de minha vida e que
contribuem signi�cativamente para o meu sucesso.
2
Sumário
1 A Trigonometria nas Tábuas Babilônicas 5
1.1 Sumérios e Babilônios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 A Trigonometria na Grécia 17
2.1 A Trigonometria de Hiparco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 A Trigonometria de Ptolomeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Construção de Tábuas Trigonométricas
à Maneira de Hiparco e Ptolomeu . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 A Trigonometria Reiventada pelos Hindus 45
4 A Trigonometria torna-se Analítica a partir do Século XVI 50
5 Funções Trigonométricas nos Séculos XVIII e XIX 54
5.1 Introdução Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 A fórmula de Taylor com resto Integral . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Construindo uma tábua de senos por aproximações polinomiais . 59
Referências Bibliográ�cas 64
1
Resumo
Este trabalho apresenta um estudo sobre o desenvolvimento de alguns tópicos
selecionados da história da Trigonometria. Primeiramente iniciamos com a
Trigonometria babilônica, abordando o sistema de numeração sexagesimal, o
cálculo babilônico de raízes quadradas, e em seguida exibimos e estudamos a
mais conhecida ou mais famosa tábua trigonométrica � Plimpton 322 � a qual
contêm uma notável tabela de secantes, ainda que de forma implícita.
Em seguida, na Trigonometria Grega, com Hiparco e Ptolomeu veri�ca-
mos o desenvolvimento da construção das tabelas de cordas inspiradas pela
astronomia.
O trabalho segue um desenvolvimento histórico, relatando eventos da
história da trigonometria na Índia e na Europa dos séculos XVII, XVIII e
XIX.
Ao �nal, discutimos como construir uma tabela de senos de um jeito
moderno, através de uma aproximação polinomial adequada da funcão seno
(polinômio de Taylor).
2
Introdução
Ao ensinar Trigonometria nas escolas, podemos veri�car (ou constatar) que
existe, entre os alunos e até mesmo educandos, um questionamento sobre como
estudar, entender e ensinar esse conteúdo. Muitas vezes, nota-se por parte do
aluno um desinteresse ou uma desmotivação para a aprendizagem da Trigono-
metria.
Por esse motivo procura-se neste trabalho, apresentar a evolução da Tri-
gonometria ancorada em seu processo histórico, para que seu ensino tenha um
caráter motivador, não só para o aluno, bem como para o professor ao expor
esse conteúdo em sala de aula.
Nesse âmbito, a história da matemática surge como uma forte ferramenta
para a explicação de vários porquês matemáticos. Como a�rma Palarmido
(2008, p.8) em seu estudo,
Os Parâmetros Curriculares Nacionais apontam
para a necessidade de relacionar etapas da His-
tória da Matemática com a evolução da humani-
dade, e do estudo da Trigonometria estar ligado
às suas aplicações, como evidenciar o cálculo de
distâncias inacessíveis e a construção de modelos
de fenômenos periódicos, amenizando os cálculos
algébricos.
Ao entrar em contato com a história da Trigonometria, o aluno observa
que esta não surgiu de forma pronta, que de fato foi construída devido às ne-
cessidades dos povos antigos, percorrendo assim, um longo caminho até chegar
ao que conhecemos atualmente.
De maneira geral, contextualizar a Trigonometria do ponto de vista his-
tórico, além de auxiliar no aprendizado dos alunos, também possibilita ao
professor o enriquecimento e aprimoramento de seu repertório.
3
Para tanto, vamos mostrar neste trabalho alguns momentos importan-
tes da evolução da Trigonometria, como no capítulo 1, no qual trazemos a
mais famosa tábua babilônica � Plimpton 322 � exibindo uma notável tabela
de secantes, ainda que de forma implícita. Neste período, observamos que a
Trigonometria esteve inteiramente enraizada na astronomia.
No capítulo 2, desenvolvemos o cálculo das tabelas de cordas como as de
Hiparco e Ptolomeu. A Trigonometria mostra-se bastante integrada à astrono-
mia devido à localização de constelações e planetas, fortemente in�uenciadas
(ou inspiradas) pelas ideias dos babilônios. Neste período ainda não havia
sido de�nido o seno de um ângulo na Trigonometria, mas fazia-se uma asso-
ciação do comprimento da corda com o ângulo central. Mais tarde essa ideia
seria desenvolvida pelos hindus e pelos árabes, de modo que chegariam a uma
associação semelhante ao seno.
No capítulo 3, veri�camos outro passo importante na evolução da Tri-
gonometria. Já podemos estabeler uma relação das tabelas de meias-cordas
com as tabelas de senos, e a trigonometria vai, aos poucos, desligando-se das
teorias astronômicas conforme vão se desenvolvendo os conceitos pertinentes.
No capítulo 4, comprovamos a caminhada da Trigonometria para o for-
mato atual: há poucos resquícios da astronomia como característica.
A Trigonometria neste período, torna-se cada vez mais analítica. As seis
funções (seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente) aparecem.
No capítulo 5, �nalmente, a Trigonometria se torna analítica com Euler,
tomando sua forma atual.
4
Capítulo 1
A Trigonometria nas Tábuas
Babilônicas
1.1 Sumérios e Babilônios
Assim como na matemática, as origens da Trigonometria também são incertas.
Sabe-se que ao longo do tempo surgiu, na babilônia e no Egito, a necessidade
de explorar a Trigonometria para resolução de problemas relacionados à As-
tronomia, à cronologia do tempo e à agricultura.
Nessa busca desenfreada pela compreensão do Universo, a Trigonometria
foi uma importante ferramenta nas mãos dos babilônios, egípcios, gregos, hin-
dus e árabes. Descobertas fascinantes contribuíram para o desenvolvimento da
Arquitetura, da Navegação, da Astronomia e da Geogra�a, mas foi o interesse
pelo movimento dos astros que impulsionou a evolução da Trigonometria.
Tudo começou por volta de 2000 a.C com os sumérios, os quais viveram no
sul da Mesopotâmia entre o rio Tigre e Eufrates, região atualmente conhecida
como Iraque.
Absorvida pelos babilônios, sua cultura teve seu auge sob o reinado de
Nabucodonassar em 575 a.C, ao realizarem estudos relativos a fenômenos as-
tronômicos e geográ�cos, como determinação de eclipses, fases da lua, estimati-
vas de equinócios, estabelecimento de calendários, determinação de distâncias
inacessíveis, rotas de navegação, etc. Legados que mais tarde se tornariam
primordiais para os gregos estudarem e organizarem dados empíricos não com-
provados pelos babilônios.
Em relação à escrita, diversos instrumentos e materiais foram utilizados
5
para o registro no desenvolvimento matemático, tais como metais, pergaminho,
papel, tecidos de várias espécies, cera, madeira e, principalmente, a argila que
conserva a escrita com maior durabilidade.
Porém, com o passar do tempo, muitos dos registros deixados pelos ba-
bilônios perderam-se, levando consigo línguas (idiomas/dialetos) e escritas sem
deixar sinais. Restaram somente os registros protegidos pela ação do tempo,
cujo material de difícil destruição permitiu que chegassem de épocas tão dis-
tantes à contemporaneidade. Parte do material que se preservou durante anos
�cou gravado em tabletes ou tábuas de barro muito utilizados pelos babilônios.
Eles escreviam nesses tabletes com barro fresco por meio de uma espécie de
estilete e, logo após, deixavam o material secar ao sol ou cozinhar no forno.
Esse método conservou grande parte dos registros escritos por esta civilização,
perpassando o conhecimento desenvolvido durante anos.
Os caracteres dessa escrita eram gravados em forma de cunha, daí sua
designação de escrita cuneiforme.
Das 500.000 tábuas encontradas, cerca de 400 tábuas e fragmentos rela-
cionados à matemática foram encontrados copiados, traduzidos e explicados.
Muitas dessas tábuas auxiliavam nas medições e nos resultados dos cálculos
efetuados pelos astrônomos babilônios e também já revelavam algumas seme-
lhanças com as tábuas trigonométricas.
A maioria dos textos puramente matemáticos contidos nestas tábuas per-
tencia ao período Antigo Babilônico entre 1800 e 1600 a.C, e os textos mate-
máticos astronômicos pertenciam ao período Seulecida, em torno de 300 a.C
até o início de nossa era.
Dentre todo esse material, talvez a mais importante ou a mais conhecida
das tábuas seja a Tabela Plimpton 322, a qual será estudada mais adiante.
Os babilônios também estabeleceram um sistema de numeração para
além de so�sticado na época, superando a não menos importante matemática
egípcia, mas aprimorando-a ao representar os números usando valor posicional,
alicerçado na base sexagesimal, isto é, na base 60 com �dígitos� de 1 a 59.
6
Figura 1.1: Representação de números com símbolos em forma de cunha.
Fonte: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/sistema-numeracao-
babilonico.htm
Esse sistema foi adotado pelos babilônios provavelmente devido ao inte-
resse na metrologia e na facilidade em suas subdivisões em metades, terços,
quartos, quintos, sextos, décimos, doze avos, quinze avos, vigésimos e trigési-
mos, o equivalente a dez subdivisões. O grande número de divisores do número
60 tornou-o uma base �perfeita�, sobre a qual podiam fazer aritmética.
Os babilônios expressavam os números em termos de potências de 60.
Uma ideia muito importante, principalmente ao se tratar de representar as fra-
ções sexagesimalmente. Essa ideia é análoga à representação do nosso sistema
de numeração com frações decimais, mas utilizando no lugar das potências de
10 as potências de 60.
Por exemplo, nós escrevemos o número 222 como signi�cando o inteiro
2 · 102 + 2 · 10 + 2
logo, 222 signi�ca temos duas centenas, duas dezenas e duas unidades. Já os
babilônios, quando escreviam �222�, faziam-no através de três grupos de duas
cunhas cada, utilizando o mesmo processo de valor posicional usado no sistema
decimal, tal como mostrado na seguinte �gura.
Da direita para a esquerda, temos o primeiro grupo como duas unidades,
o segundo, como dois grupos de 60, e o último como dois grupos de 602, isto é,
2 · 602 + 2 · 60 + 2 = (7322)10 = (222)60
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Além disso, os babilônios descobriram uma maneira de realizar operações
de adição e multiplicação com números inteiros e fracionários, semelhante à
nossa forma de operar com inteiros e números decimais. Exploraram essa ideia
de tal forma que desenvolveram uma espécie de algorítmo para extrair a raiz
quadrada de um número.
A Tableta número 7289 da coleção Yale, datada do período Antigo Ba-
bilônio, contêm um cálculo para√2 com três casas sexagesimais de aproxima-
ção.
Figura 1.2: Tableta Yale contendo o cálculo da raiz quadrada de 2.
Na tableta, o valor da raiz de 2 está escrito com os símbolos:
Em notação moderna, este número pode ser rescrito como 1; 24, 51, 10,
onde o ponto e vírgula é usado para separar a parte inteira da parte fracionária
e a vírgula para separar as posições sexagesimais. Por exemplo, o número dado
por esta é a forma para denotar e expressar os números em notação sexagesimal
e neste trabalho, algumas vezes, expressaremos resultados em termos dessas
notações.
13; 25, 27 = 13 +25
60+
27
602
tem 13 como parte inteira, e 25 e 27 como �algarismos� da parte fracionária.
Agora se tivermos
13, 25, 27; 22, 48 = 13 · 602 + 25 · 60 + 27 +22
60+
48
602
então 13, 25 e 27 representam os grupos da parte inteira e 22 e 48 os grupos da
parte fracionária. Esta é a forma para denotar e expressar números reais em
8
notação sexagesimal. Neste trabalho, algumas vezes mencionaremos resultados
em termos dessas notações.
Conforme dito anteriomente, os babilônios �zeram o cálculo do número
irracional√2 diferindo em menos que 10−5 do valor verdadeiro. Na Tableta
Yale desenharam um quadrado de lado 30 e outros dois números 1; 24, 51, 10 e
42; 25, 35.
Partindo do fato de que o produto de 30 por 1; 24, 51, 10 é exatamente o
valor 42; 25, 35 , admite-se então que 42; 25, 35 seja o comprimento da diagonal
e 1; 24, 51, 10 seja a√2. Notemos que 1; 24, 51, 10 = 1 + 24
60+ 51
602+ 10
603, que é,
no sistema decimal, o número 1, 41421296296296 . . ., que coincide com√2 ≈
1, 41421356 nas primeiras cinco casas decimais !
Provavelmente os escribas sabiam que estes valores não eram precisa-
mente o comprimento do lado do quadrado de área 2, e empregaram estes
valores como valores aproximados.
Não existe nenhum registro mostrando como√2 foi calculado, contudo
há alguma evidência textual para descrever o método possível de aproximação
utilizado pelos babilônios para calcular raízes quadradas de um modo geral.
Provavelmente os babilônios �zeram os cálculos utilizando a identidade
algébrica
(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2
descoberta possivelmente através de argumentos geométricos.
Assim, para encontrar a raiz quadrada de um número n ∈ N qualquer,
considere n como sendo a área de um quadrado e√n como sendo o lado desse
quadrado.
Tomamos a como a primeira aproximação para√n, ou seja,
√n ≈ a.
Agora vamos fazer√n =
√a2 + b.
O próximo passo é encontrar c tal que 2ac+ c2 é o mais próximo possível
de b. Para isso, vamos usar a identidade (a+ c)2 = a2 + 2ac+ c2.
Veja bem, nesse caso teremos√n = a+c. Se tomarmos a como uma boa
aproximação de√n (supondo que n não é um quadrado), teremos c fracionário,
isto é, entre 0 e 1.
Logo, c2 será bem menor em relação a 2a.
9
Teremos então
2ac+ c2 = b
c+c2
2a=
b
2a
Sendo c2
2a≈ 0, temos então c ≈ b
2a.
Dessa forma, podemos dizer que c ≈ b2a
logo,
√n =
√a2 + b
≈√a2 + 2ac+ c2
= a+ c
≈ a+b
2a.
Portanto, obtemos uma melhor aproximação
√n ≈ a+
b
2a
Reaplicamos o método, partindo agora dessa nova aproximação de√n,
fazendo agora√n =
√(a+ b
2a)2 + b ′.
Segundo historiadores este é o provável método utilizado pelos babilônios
para calcular raízes quadradas.
Para ilustrar o método, vamos calcular uma aproximação de√2. Fare-
mos nossas contas no sistema decimal. Os babilônios a fariam no seu sistema
sexagesimal.
Inicialmente tomamos 1 como aproximação de√2. Aplicando o método,
fazemos então √2 =
√12 + 1 ≈ 1 +
1
2 · 1= 1, 5
Assim, nossa segunda aproximação é 1, 5. Veri�camos que 1, 52 = 2, 25,
e então√2 =
√1, 52 − 0, 25 ≈ 1, 5 +
−0, 25
2 · 1, 5= 1, 5− 0, 8333 = 1, 4167
limitando nossos cálculos a quatro casas decimais.
E assim 1, 4167 é a terceira aproximação do método. Calculamos
1, 41672 = 2, 0070 (!). Aplicando a fórmula de aproximação mais uma vez,
temos√2 =
√1, 41672 − 0, 007 ≈ 1, 4167 +
−0, 007
2 · 1, 4167= 1, 4167− 0, 0025 = 1, 4142
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uma excelente aproximação, já que 1, 41422 ≈ 1, 99996.
Após comprender os procedimentos do sistema sexagesimal e o método
babilônico para o cálculo de raízes quadradas, vamos estudar um pouco a
Tabela Plimpton 322.
Este nome foi dado à tábua por esta fazer parte da coleção Plimpton
número 322 da Universidade de Columbia de Nova York.
A Plimpton é datada do Período Babilônico Antigo e por sua vez conserva
a escrita cuneiforme e o sistema de numeração dessa civilização.
Figura 1.3: Tabela Plimpton 322
O surgimento da Plimpton 322 deve-se ao interesse dos babilônios em
determinar triângulos retângulos de lados inteiros utilizando um caso especial
de triplas pitagóricas, nesse caso chamadas de triplas babilônicas.
Embora chamado de Teorema de Pitágoras, é provável que os babilônios
e o egípcios já o conheciam muito antes da época do próprio Pitágoras, cuja
atribuição deve-se ao fato de ser Pitágoras ou um membro de sua escola o
primeiro a demonstrar o resultado.
Para os egípcios, este resultado era utilizado para calcular ângulos retos
em terrenos inundados pelo Nilo na época das enchentes.
De acordo com Morey (2009, p.119) a Plimpton 322 é um fragmento
de um tablete, cuja parte esquerda se perdeu. A parte restante contém uma
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tabela com quatro colunas e 15 linhas.
Contudo, a parte restante não estava inteiramente legível e a partir de
uma dada interpretação, Neurgebauer restaurou as informações ilegíveis do
texto assim como a parte faltante.
A Tabela contém alguns erros de cálculos cometidos pelo escriba da
época, porém Otto Neugebauer os corrigiu e em seguida os explicou, de acordo
a sua interpretação. Veja a seguir, na Tabela 1.1, a Tabela Plimpton 322, no
sistema de numeração sexagesimal, descrita em notação moderna utilizando
algarismos arábicos.
Os dados em colchetes são os valores corretos de acordo com Naugebauer,
como na linha 2, coluna III, na linha 9, coluna II, e na linha 15, coluna III.
Tabela 1.1: Tabela Plimpton 322 restaurada e descrita em notação moderna.
I II III IV
[1; 59, 0,] 15 1, 59 2,49 1
[1; 56, 56,] 58, 14, 50, 6, 15 56, 7 [1,20,25] 2
[1;55, 7] 41, 15, 33, 45 1, 16, 41 1,50,49 3
[1;] 5,[3,1]0,29,32,52,16 3,31,49 5, 9, 1 4
[1;] 48, 54, 1, 40 1, 5 1, 37 5
[1;] 47, 6, 41, 40 5, 19 8, 1 6
[1;] 43, 11, 56, 28, 26, 40 38, 11 59, 1 7
[1;] 41, 33, 59, 3, 45 13, 19 20, 49 8
[1;] 38, 33, 36, 36 [8, 1] 12, 49 9
1;35, 10, 2, 28, 27, 24, 26, 40 1, 22, 41 2, 16, 1 10
1;33,45 45 1, 15 11
1;29, 21, 54, 2, 15 27, 59 48, 49 12
[1;] 27, 0, 3, 45 7, 12, 1 4, 49 13
1; 25, 48, 51, 35, 6, 40 29, 21 53, 49 14
[1;] 23, 13, 46, 40 56 [1, 46] 15
Tomando a coluna II, linha 3, para transformar os dados do sistema
12
sexagesimal para o sistema decimal, basta fazer:
1, 16, 41 = 1× 602 + 16× 601 + 41× 600 = 4601
Outro exemplo, para converter os dados da coluna III, linha 14, do sis-
tema sexagesimal para o sistema decimal, faz-se:
53, 49 = 53× 601 + 49× 600 = 3229
Apesar dos babilônios não terem o conhecimento que nós possuímos sobre
secantes, a Tabela Plimpton 322 continha essencialmente uma notável tábua
de secantes, descrita na primeira coluna da tabela 1.1.
Como os babilônios chegaram a este resultado?
Do Teorema de Pitágoras, da tripla (x, y, d) com x, y e d inteiros positivos
em que x2 + y2 = d2, obtêm-se os comprimentos dos lados dos catetos e da
hipotenusa de um triângulo retângulo de lados inteiros.
As triplas babilônicas listadas na Tabela 1.2 dão-nos valores y, (dy)2, x, e
d, reproduzidos em notação decimal. A primeira coluna é nossa, e as demais
estão presentes na tábua Plimpton 322.
Tabela 1.2: Tabela Plimpton 322 em notação decimal.
Primeira coluna inserida pela autora.
y (dy)2 x d linha
120 1.9834028 119 169 1
3456 1.9491586 3367 4825 2
4800 1.9188021 4601 6649 3
13,500 1.8862479 12,709 18,541 4
72 1.8150077 65 97 5
360 1.7851929 319 481 6
2700 1.7199837 2291 3541 7
960 1.6845877 799 1249 8
600 1.6426694 481 769 9
6480 1.5861226 4961 8161 10
60 1.5625 45 75 11
13
2400 1.4894168 1679 2969 12
240 1.4500174 161 289 13
2700 1.4302388 1771 3229 14
90 1.3871605 56 106 15
As triplas babilônicas da tábua Plimpton 322 eram todas calculadas na forma:
2uv, u2 − v2 e u2 + v2
com u e v inteiros relativamente primos, contendo apenas com os fatores 2, 3
e 5, que são os únicos fatores primos que compôem a base sexagesimal, 60 =
22 · 3 · 5.
Figura 1.4: Triângulo retângulo de lados inteiros.
Dessa forma os Babilônios obtiveram um triângulo retângulo Babilônico
observando que
(2uv)2 + (u2 − v2)2 = (u2 + v2)2
Os babilônios consideravam u e v, coordenadas dos ternos babilônicos, como
comprimentos dos lados do triângulo retângulo (Figura 1.4). E para encontrar
os lados do triângulo eles determinavam os valores das coordenadas e posteri-
ormente utilizavam as coordenadas para estabelecer as triplas babilônicas.
u2 + v2 = d, 2uv = y e u2 − v2 = x
Vamos encontrar o valor das coordenadas geradoras u e v a partir das
triplas babilônicas na Tabela Plimton 322. Vamos tomar a linha 1 como refe-
rência, somando x e d.
u2 − v2 = 119
u2 + v2 = 169
14
Obtêm-se,
2u2 = 288
u2 = 144
u = 12
Agora para encontrar o valor de v, basta substituir em uma das equações.
u2 + v2 = 169
144 + v2 = 169
v2 = 25
v = 5
Assim para as triplas (119, 120, 169), tem-se (u = 12, v = 5) como as coorde-
nadas de origem.
Da mesma forma, fazendo todos os cálculos, obtivemos os valores das
demais coordenadas resultando nas triplas babilônicas da Tabela 1.3.
Porém de acordo com alguns estudiosos, na transcrição da linha 11 o
escriba cometeu um erro fazendo com que a tripla (45, 60, 75) não seja exata-
mente uma tripla babilônica, pois neste caso u = 2√15 e v =
√15 não são
inteiros. O triângulo, porém, é semelhante a um triângulo babilônico, a saber
aquele que se obtém tomando-se u = 30 e v = 15.
Veja que a notável coluna de secantes, em relação ao ângulo A no triân-
gulo ABC (�gura 1.4), é dada (calculada) por u2+v2
2uv.
Tidos como excelentes povos astrônomos, eles buscaram desenvolver fer-
ramentas e cálculos para fazer observações tais como registrar o tempo para o
desenvolvimento da agricultura, estabeleceram um calendário lunar através do
nascimento e o desaparecimento da lua respectivamente no horizonte a oeste e
leste, analisaram o movimento dos planetas, envolvendo fenômenos como eclip-
ses lunares e até mesmo localizaram constelações, permitindo a organização de
um calendário astrológico no século 28 a.C.
Pouco antes de 300 a.C, os babilônios introduziram a divisão da circun-
ferência em 360 partes, não se sabe ao certo o motivo, mas acredita-se que 360
seja mais facilmente divisível por pequenos números inteiros, ou porque seja
um número próximo de dias do ano.
Dois séculos depois, a divisão da circunferência em 360 partes, usada
pelos babilônios, foi adotada no mundo grego juntamente com a divisão sexa-
gesimal em graus, minutos e segundos, para exprimir comprimentos de arcos
15
Tabela 1.3: Triplas babilônicas (2uv, u2 − v2, u2 + v2), com os correspondentes
valores de u e v calculados pela autora. Na segunda coluna, apresentam-se os
valores das secantes (do ângulo adjacente ao cateto 2uv). A ordem decrescente
das secantes é que dita a organização da tábua.
2uv (u2 + v2)/2uv u2 − v2 u2 + v2 u v linha
120 1,4083333 119 169 12 5 1
3456 1,3961227 3367 4825 64 27 2
4800 1,3852083 4601 6649 75 32 3
13500 1,3734074 12709 18541 125 54 4
72 1,3472222 65 97 9 4 5
360 1,3361111 319 481 20 9 6
2700 1,3114815 2291 3541 54 25 7
960 1,3010417 799 1249 32 15 8
600 1,2816667 481 769 25 12 9
6480 1,2594136 4961 8161 81 40 10
30 1,25 45 75 2√15
√15 11
2400 1,2204167 1679 2929 48 25 12
240 1,2041667 161 289 15 8 13
2700 1,1959529 1771 3229 50 27 14
90 1,1777778 56 106 9 5 15
e cordas em uma circunferência. De acordo com uma tábua encontrada em
Suza em 1936, no Irã, os babilônios usavam o valor de π como 318, ou seja, em
notação babilônica, 3; 7, 30 = 3 + 760
+ 30602
, e já conheciam as fórmulas para
calcular áreas de triângulos, trapézios e a área do círculo.
16
Capítulo 2
A Trigonometria na Grécia
2.1 A Trigonometria de Hiparco
Mesmo estudando círculos e retas e aplicando esses resultados na Astronomia,
Aristarco (310-230 a.C) e Arquimedes (287-212 a.C) não conseguiram che-
gar em uma trigonometria sistemática. Eratóstenes de Cirene (276-196 a.C),
amigo de Arquimedes e bibliotecário chefe da grande Biblioteca de Alexandria,
produziu, usando semelhança de triângulos e razões trigonométricas, a mais
notável medida da Antiguidade para a circunferência da Terra.
Essa ideia o levou a perceber, a necessidade de estabelecer relações mais
sistemáticas entre ângulos e cordas, fazendo com que o conhecimento de ângulo
e como medi-lo fosse determinante para a realização de seu trabalho na época.
Apolônio, por sua vez, após Aristarco, teve sua contribuição para a Tri-
gonometria, na tentativa de calcular um melhor conjunto de cordas. Mas foi
somente por volta de 150 a.C que surgiu a primeira tabela trigonométrica com
o astrônomo Hiparco (180-125 a.C), o qual associou a corda de um arco ao
ângulo central correspondente em um círculo de raio �xo.
Aqui indicamos por α o ângulo central e a corda de α por crd(α), tanto
para os estudos de Hiparco como de Ptolomeu. Obviamente a corda subtendida
por um ângulo central depende também do raio da circunferência.
Essa descoberta foi um grande progresso para a astronomia, propagando
assim as ideias de Hiparco e lhes dando o título de �Pais da Trigonometria�.
Seu objetivo era estabelecer, através da relação entre a corda de um
ângulo e o ângulo central, um desenvolvimento para suas observações astronô-
micas. Tornando-se, dessa forma, um grande representante da transição da
17
astronomia babilônica para a obra de Ptolomeu.
A in�uência dos babilônios auxiliou fortemente os estudos de Hiparco
para a organização dos dados não comprovados por esta civilização.
Ele elaborou um catálogo estelar, realizando sistematicamente numerosas
observações das posições planetárias, introduzindo um sistema de coordenadas
para a esfera estelar, aperfeiçoando os dados referentes a importantes constan-
tes astronômicas, como o tamanho da lua, a duração do mês e do ano, e o
ângulo de inclinação da Eclítica, sendo este elemento de astronomia um con-
ceito que não abordaremos neste trabalho.
Baseado nas teorias babilônicas, Hipsicles (180 a.C) dividiu o dia em 360
partes e acredita-se que Hiparco generalizou essa ideia para o círculo dividindo-
o em 360 graus para construir sua Tabela de Cordas.
Hiparco utilizou a notação sexagesimal oriunda dos babilônios para ex-
pressar as medidas dos comprimentos das cordas em termos de graus, minutos
e segundos (um abuso de linguagem). Na verdade, o grau, como comprimento,
seria parte inteira, os minutos seriam partes sexagesimais e os segundos seriam
3600 avos.
Cada uma das 360 partes iguais em que a circunferência foi dividida
recebeu o nome de arco de 1 grau (1◦) e cada arco de 1 grau foi dividido em
60 partes iguais, sendo que cada uma dessas partes recebeu o nome de arco de
1 minuto (sexagésima parte de um grau, 1◦ = 60′). Além disso, cada arco de
1 minuto também foi dividido em 60 arcos iguais e recebeu o nome de arco de
1 segundo (sexagésima parte de um minuto, 1′ = 60′′)
Não há dados que comprovem como Hiparco realizou sua Tabela de Cor-
das, pois muitos registros se perderam. Entretanto, as teorias de Hiparco
contribuíram grandemente para a realização da mais importante obra da Tri-
gonometria da antiguidade, o �Almagesto� de Claudio Ptolomeu.
Sabendo que o comprimento da circunferência é 2πR, Hiparco tomou a
aproximação sexagesimal para π da seguinte forma:
3; 8, 30 = 3 +8
602+
3
603= 3.141666667
Depois calculou o raio aproximadamente como:
R =C
2π(C = comprimento da circunferência)
=360◦ × 60′
2× 3; 8, 30
18
Notemos que
360◦ × 60′ = 6× 602 + 0× 60 + 0× 1
= 6; 0, 0
e
2π = 6; 16, 60
= 6; 17
Portanto,
R =6; 0, 0
6; 17
= 57, 18′
= 57× 60 + 18′
= 3438′
E assim sendo, em seus cálculos Hiparco adotou uma circunferência de raio
3438.
Para calcular a Tabela de Cordas Hiparco iniciou com o ângulo de 60◦,
observando que a corda de 60 graus é igual ao raio da circunferência (triângulo
equilátero).
Logo,
crd(60) = 3438′ .
Para o ângulo de 90◦ ele obteve a corda igual a
R ·√2 = 3438′ × 1, 414 = 4862′ = 81, 2 = 81 · 60 + 2
Para completá-la e calcular o valor das outras cordas, Hiparco utilizou
dois resultados geométricos:
• Primeiro resultado: Na �gura 2.1, aplicando o Teorema de pitágoras
obtemos
(2 ·R)2 = crd2(180− α) + crd2(α)
crd2(180− α) = (2 ·R)2 − crd2(α)
crd(180− α) =
√(2R)2 − crd2(α)
A relação entre cordas e senos (inventados mais tarde pelos hindus) é
dada por
sen(α2
)=
1
2
crd(α)
Rou crd(α) = 2R sen
(α2
),
com α = AOB (Figura 2.2).
19
Figura 2.1: Cálculo da corda
Figura 2.2: Relação entre cordas e senos
A�rmação 1. Para ângulos α, com 0 ≤ α ≤ 180◦, a moderna relação
sen2 α2+ cos2 α
2= 1 é equivalente à igualdade crd(180− α) = 2R cos α
2.
De fato, sendo crd(α) = 2R sen α2
e crd(180−α) =√
(2R)2 − crd2 α,
se sen2 α2+ cos2 α
2= 1 então,
crd(180− α) =
√(2R)2 − (2R)2 sen2
α
2
= 2R
√1− sen2
α
2
= 2R cosα
2
Reciprocamente, se crd(180− α) = 2R cos α2,
sen2 α
2+ cos2
α
2= sen2 α
2+
crd2(180− α)
(2R)2
=(2R)2 sen2 α
2+ crd2(180− α)
(2R)2
=crd2 α + crd2(180− α)
(2R)2
=(2R)2
(2R)2= 1
20
• Segundo resultado: Hiparco deduziu uma fórmula para a corda do arco-
metade, crd(α2
)=√R (2R− crd(180− α)).
Figura 2.3: Corda da metade do ângulo
Vamos mostrar como Hiparco obteve a fórmula para o cálculo da metade do
ângulo.
Observando a �gura 2.3, suponha que α = ∠ BOC seja bissectado por
OD.
Para expressar crd(α2) = DC em termos da crd(α) = BC, vamos tomar
E em AC, tal que AE = AB.
Como OD bissecta BOC, os ângulos BOD e DOC são congruentes e
BD = DC.
Assim, segue que ∠DAB ∼= ∠DAC.
Agora como ∠DAC ∼= ∠DAE, temos que os triâgulos ABD e AED são
conguentes e portanto BD = DE.
Também DC = DE,pois BD = DC e BD = DE. Assim o triângulo
DCE é isósceles.
Tomando-se DF perpendicular a AC, então EF = FC, logo
FC =1
2(AC − AE) =
1
2(AC − AB) ⇒ FC =
1
2(2R− crd(180− α))
Da semelhança dos triângulos ACD e DCF , pois ∠ADC ∼= ∠DFC e
∠DCA ∼= ∠FCD, temos que
AC
CD=
CD
FC⇒ CD2 = AC · FC
Portanto
21
crd2(α2
)= CD2 = AC · FC
= 2R
(1
2· (2R− crd(180− α))
)= R(2R− crd(180− α))
Hiparco obteve crd(α2
)=√R (2R− crd(180− α)) para a fórmula da
corda do ângulo metade
Vejamos em notação moderna a fórmula padrão para o cálculo do seno
da metade do ângulo.(2R sen2 α
4
)2= R
(2R− 2R cos2
α
2
)Trocando α por 2α obtemos:(
2R sen2α
4
)2
= R
(2R− 2R cos
2α
2
)(2R sen
α
2
)2= R (2R (1− cosα))
4R2 sen2 α
2= 2R2(1− cosα)
sen2 α
2=
2R2(1− cosα)
4R2
sen2 α
2=
(1− cosα)
2
Dessa forma, Hiparco calculou sua Tabela de Cordas de 0◦ a 180◦ com
intervalos de 712
◦ em 712
◦, tendo em vista que 712
◦= 15◦/2 e 15◦ = 30◦/2.
Não há dados que comprovem como Hiparco fez sua tabela, pois muitos
registros se perderam. Porém ao comentar as tabelas de Ptolomeu, no século
IV, Téon de Alexandria fez referência a um tratado de doze livros que Hiparco
havia escrito sobre cordas em um círculo, e que provavelmente seus métodos
fossem parecidos com os utilizados posteriomente por Ptolomeu.
Desta forma, pressupõe-se que as teorias de Hiparco contribuíram grande-
mente para a realização da mais importante obra da Trigonometria da Antigui-
dade, o �Almagesto� de Claudio Ptolomeu.
2.2 A Trigonometria de Ptolomeu
Por volta de 100 d.C, Menelau de Alexandria elaborou um tratado de seis livros
discorrendo sobre cordas e círculos, porém muitos deles não foram encontra-
dos, restando apenas o seu tratado mais importante, escrito em três livros,
22
chamado �Sphaerica�. Este tratado �cou conhecido como a mais antiga obra
sobre triângulos esféricos da época.
Contudo, coube a Claudio Ptolomeu a produção da mais in�uente e sig-
ni�cativa obra da Antiguidade, que introduz a trigonometria na astronomia,
conhecida como Syntaxis Mathemática ou ainda como o célebre Almagesto. A
Figura 2.4: Capa do Livro Almagesto
origem do nome Almagesto proveniente de Al magiste, surgiu com os árabes,
pois foram os primeiros a traduzi-la diversas vezes, principalmente porque con-
sideraram esta como a �maior� obra em relação aos trabalhos astronômicos de
Aristarco e outros.
No famoso trabalho de Ptolomeu foram feitas descrições matemáticas
completas sobre a posição dos planetas através do modelo grego, com parâ-
metros para vários movimentos do sol, da lua e dos planetas, distribuidas em
13 livros.
O primeiro dos 13 livros traz informações matemáticas básicas, indis-
pensáveis na época para compreender os fenômenos celestes, por exemplo as
proposições sobre geometria esférica já estudadas por seu predecessor Menelau
de Alexandria, os métodos para calcular o comprimento das cordas, as cons-
truções da tábua de cordas, entre outros. Os demais livros foram dedicados à
Astronomia.
O Almagesto contêm uma tabela de cordas mais completa que a de Hi-
parco. Como relatado anteriomente, acredita-se que as ideias de Hiparco te-
23
nham in�uenciado os métodos utilizados por Ptolomeu na construção de sua
tabela de cordas.
Ptolomeu empregou o sistema sexagesimal para obter os comprimentos
das cordas cuja unidade de medida denotou por parte. Em seguida, dividiu
o circulo em 360 partes, o diâmetro em 120 partes e utilizou 377120
como uma
aproximação para o π. Dessa forma calculou o comprimento das cordas cor-
respondentes aos ângulos centrais de 0◦ a 180◦ em intervalos de 12
◦.
Para calcular os comprimentos das cordas dos ângulos de 36◦ e 72◦ que
correspondem aos lados do decágono e pentágono regulares inscritos no círculo,
Ptolomeu utilizou alguns resultados do livro Os elementos de Euclides, como
as proposições 6 do livro II, 9 e 10 do livro III.
Vamos demonstrar como Ptolomeu calculou os comprimentos destas pri-
meiras cordas. Para tanto, denote o comprimento da corda de α por crd(α).
Proposição 2.1 (Proposição 9 Livro III). Se o lado de um hexágono e o
lado de um decágono inscritos em um mesmo círculo são alinhados de modo
a formarem um segmento, então o ponto que divide este segmento (o ponto
que separa os lados do hexágono e do decágono) o divide em extrema e média
razão. E o maior segmento é o lado do hexágono.
Em linguagem mais simples, a Proposição 2.1 no diz que sendo ℓ10 e
ℓ6 respectivamente os lados do decágono e hexágono inscritos em um mesmo
círculo,ℓ10ℓ6
=ℓ6
ℓ10 + ℓ6
Figura 2.5: Sendo a = ℓ10, e r = ℓ6, temos a/r = ϕ′ = (√5− 1)/2.
Demonstração. Considere o triângulo AOB isósceles (�gura 2.5), sendo AB =
a = ℓ10 e OB = r = ℓ6.
Seja D, um ponto em AO tal que AD = r − a e um segmento AC
contendo o lado AB do triângulo AOB de modo que BC = r.
24
Dessa forma, como ∆AOB ∼ ∆ABD então,
a
r=
r − a
a.
Logo,
a2 = r2 − ra ⇔ a2 + ra− r2 = 0
Assim,
a =−r +
√5r
2
=
√5− 1
2r
Portanto,a
r= ϕ′
Fazendo uso da proposição de Euclides, Proposição 2.1, Ptolomeu cal-
culou o comprimento da corda de 36◦ da seguinte maneira. Primeiramente,
Ptolomeu considerou a seguinte proposição.
Proposição 2.2. Seja AC o diâmetro de um círculo com centro em D. Seja
DB perpendicular e congruente a DC e seja E o ponto médio de DC. Seja F
um ponto em AD tal que EB = EF . Então o ponto D divide o segmento FC
em extrema e média razão.
Demonstração. Seja ADC o diâmetro do círculo (�gura 2.6) com centro em
D. O segmento BD é perpendicular a ADC. Sejam E um ponto em DC tal
que DE = CE e F em AD tal que EF = EB. Vamos mostrar que o ponto de
Figura 2.6: Dados da proposição 2.2.
25
extrema e média razão é o ponto D, isto é, é o ponto interior de divisão áurea
do segmento CF .
Deduziremos primeiramente a proposição 6 do livro II de Os Elementos,
que a�rma que
CF × FD + (ED)2 = (EF )2.
De fato,
FC = FD +DE + EC ,
logo pela construção de E segue que
FC = FD + 2 · ED.
Assim
FC · FD = (FD + 2ED) · FD = (FD)2 + 2 · ED · FD ,
então
CF · FD + (ED)2 = (FD)2 + 2 · ED · FD + (ED)2
CF · FD + (ED)2 = (FD + ED)2.
Como FD + ED = EF , então
CF · FD + (ED)2 = (EF )2
Como consequência
CF · FD = (EF )2 − (ED)2 (Teorema de Pitágoras)
= (EB)2 − (ED)2
= (BD)2
Por outro lado,
(BE)2 = (BD)2 + (ED)2
(BD)2 = (BE)2 + (ED)2
(BD)2 = (DC)2
Portanto,
CF · FD = (DC)2
ou seja,CF
DC=
DC
FD
26
Figura 2.7: Segmento de comprimento FC = x+ y
O cálculo da corda de 36 graus é feito então da seguinte maneira.
FDDC
= DCFC
⇔ FC · FD = (DC)2 = ϕ′ =√5−12
. Com efeito,
x
y=
y
x+ y
y2 = x2 + x · y0 = x2 + x · y − y2
Logo,
∆ = y2 − 4 · 1 · (−y2)
= y2 + 4 · y2
= 5 · y2
x =−y ±
√5 · y2
2
Como x > 0, então
x =(√5− 1) · y
2⇔ x
y=
√5− 1
2= ϕ′
Além disso, como x = crd(36) e y = crd(60) (lado do hexágono), mas
também y = R (o raio do círculo). Logo,
crd(36) =(√5− 1) ·R
2.
Como (√5−1)2
< 1, então crd(36) < crd(60).
Agora, vamos mostrar através da proposição a seguir que o comprimento
do lado do pentágono é crd(72◦) expressa em função do comprimento da corda
de 36 (o lado do decágono).
Proposição 2.3 (Proposição 10 Livro III). Se um pentágono equilátero está
inscrito em um círculo, então o quadrado do lado do pentágono é igual a soma
dos quadrados dos lados do hexágono e do decágono inscrito no mesmo círculo.
27
Figura 2.8: A corda de 72 é igual a raiz quadrada da soma dos quadrados do
raio e da corda de 36.
Demonstração. Da �gura 2.8, AB é um lado do pentágono regular inscrito de
comprimento y e AD é o lado de um decágono regular inscrito cujo compri-
mento mede x.
Note que OC intersecta DB e AB. Como os ângulos OAC e AOC são
congruentes (o triângulo OAB é isósceles com base AB e lados iguais a R)
segue que os triângulos OAB e COA são semelhantes.
Daí,
R
y=
AC
R
R2 = y · AC (2.1)
Também da �gura 2.8, veri�camos que os triângulos DAB e CDB são
isósceles, logo
x
BC=
y
xx2 = y ·BC (2.2)
Agora somando membro a membro (2.1) e (2.2),
R2 + x2 = y · (AC +BC)
Como AC +BC = y então,
R2 + x2 = y2
28
Mas, y = crd(72). Vejamos,
y2 = R2 +
((√5− 1) ·R
2
)2
= R2 +
((5− 2 ·
√5 + 1) ·R2
4
)
=4 ·R2 + 5 ·R2 − 2 ·
√5 ·R2 +R2
4
=10 ·R2 − 2 ·
√5 ·R2
4
=5 ·R2 −
√5 ·R2
2
=R2 ·
(5−
√5)
2
Logo,
y =
√5−
√5
2·R = crd(72)
Em decorrência dos resultados acima, Ptolomeu observou que como ân-
gulo inscrito que subtende o diâmetro é reto, aplicou o teorema de Pitágoras
para calcular os comprimentos das cordas de outros ângulos, como 108◦, 120◦
e 144◦.
Figura 2.9: Cálculo do comprimento das cordas dos ângulos de 108◦, 120◦ e
144◦, através do Teorema de Pitágoras.
Vamos calcular o comprimento das cordas destes ângulos,
Da �gura 2.9, temos
29
crd2(108) = (AC)2 − crd2(72)
crd2(108) = (2 ·R)2 −
R ·
√5−
√5
2
2
= 4 ·R2 − (5 ·R2 −√5 ·R2)
2
=8 ·R2 − 5 ·R2 +
√5 ·R2
2
=3 ·R2 +
√5 ·R2
2
crd(108) = R ·
√3 +
√5
2
Da mesma forma, obtemos crd(120) e crd(144).
crd2(120) = 4 ·R2 − crd2(60)
crd2(120) = 4 ·R2 −R2
crd(120) = R ·√3
Agora,
crd2(144) = 4R2 − crd2(36)
= 4 ·R2 −
(R · (
√5− 1)
2
)2
=16 ·R2 − 6 ·R2 + 2
√5R2
4
=
(10 + 2
√5
4
)R2
crd(144) =
√5 +
√5
2R
Para calcular o comprimento das demais cordas, Ptolomeu recorreu a um
teorema que recebeu seu próprio nome.
Teorema 2.1 (Teorema de Ptolomeu). Dado qualquer quadrilátero inscrito
em um círculo, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados
opostos.
30
Figura 2.10: Teorema de Ptolomeu
Demonstração. Seja E um ponto na diagonal AC, tal que os ângulos ∠ABE ∼=∠DBC.
Como consequência, os triângulos BDA e BCE são semelhantes pelo
caso AA, onde
∠ABD ∼= ∠EBC (por construção) e
∠BDA ∼= ∠BCE (subtendem o mesmo arco)
Daí,
BD
AD=
BC
ECBC · AD = BD · EC (2.3)
Agora, observando os triângulos BAE e BDC veri�camos de modo aná-
logo que são semelhantes, pois
∠ABE ∼= ∠DBC (por construção) e
∠BAE ∼= ∠BDC (subtendem o mesmo arco)
logo
AB
BD=
AE
DCAB ·DC = BD · AE (2.4)
Somando (2.3) e (2.4), obtemos
BC · AD + AB ·DC = BD · EC +BD · AE= BD · (EC + AE)
= BD · AC
31
Portanto,
BD · AC = AB ·DC + AD ·BC
A partir deste resultado, Ptolomeu formalizou três corolários, os quais
permitiram calcular a Corda da Diferença de dois Arcos, a Corda do Arco
Metade e a Corda da Soma de Dois Arcos. Vejamos como Ptolomeu efetuou
estes cálculos.
Corolário 2.1. 2R crd(α−β) = crd(α) · crd(180−β)− crd(β) · crd(180−α)
Figura 2.11: A corda da diferença é igual a corda de β subtraída da corda de
α
Demonstração. Através da Figura 2.11 é possivel observar que o comprimento
dos arcos é dado por: BD = crd(180 − β), AC = crd(α), AB = crd(β),
CD = crd(180− α), AD = 120 = 2 ·R e BC = crd(α− β).
Segue do Teorema de Ptolomeu que
BD · AC = AB ·DC + AD ·BC
crd(180− β) · crd(α) = crd(β) · crd(180− α) + 120 · crd(α− β)
logo
2R crd(α− β) = crd(α) · crd(180− β)− crd(β) · crd(180− α)
Mediante a várias aplicações dessa fórmula, é possível calcular o compri-
mento das cordas de 6◦ a 180◦ em intervalos de 6◦. Para o exemplo a seguir,
32
mencionamos a notação sexagesimal utilizada por Ptolomeu ao expressar o
comprimento das cordas:
ap; b′, c′′ , a, b, c ∈ R . (2.5)
Em que ap = a partes , b′ = b minutos e c′′ = c segundos.
Assim,
crd 12◦ = crd(72◦ − 60◦) = 12; 32, 36 = 12p 32′ 36′′
crd 6◦ = crd(18◦ − 12◦) = 6; 16, 50 = 6p 16′ 50′′
e assim sucessivamente.
Note que esta fórmula pode ser traduzida para a fórmula da Diferença
do Seno de Dois Arcos. De fato, desde que OA = OB = R seja um raio
unitário, o segmento AM (�gura 2.12) é dado como sen(α2
). Enquanto que
para Ptolomeu o segmento AB era o comprimento da corda do ângulo central
α = AOB. Então, podemos dizer que
12· crd(α)R
= sen(α2
)crd(α) = 2R sen
(α2
)
Figura 2.12: Cálculo da Corda da diferença de Dois Arcos em notação moderna
Agora substituindo este resultado na fórmula da Diferença de Cordas
33
de Ptolomeu temos que,
2R crd(α− β) = crd(α) · crd(180− β)− crd(β) · crd(180− α)
2R
(2R sen
(α− β
2
))= 2R sen
(α2
)· 2R sen
(180− β
2
)−
2R sen
(β
2
)· 2R sen
(180− α
2
)4R2 sen
(α
2− β
2
)= 4R2 sen
(α2
)· sen
(90− β
2
)−
4R2 sen
(β
2
)· sen
(90− α
2
)
sen
(α
2− β
2
)= sen
(α2
)· sen
(90− β
2
)−
sen
(β
2
)· sen
(90− α
2
)Tomando α
2= a e β
2= b, segue que
sen(a− b) = sen(a) · sen(90− b)− sen(b) · sen(90− a)
Como cos(θ) = sen(90− θ), logo
sen(a− b) = sen(a) · cos(b)− sen(b) · cos(a) (2.6)
A equação (2.6) expressa a diferença de cordas na notação moderna.
Agora, vamos veri�car como Ptolomeu chegou na fórmula para a Corda
do Arco Metade.
Corolário 2.2. Segundo resultado provado por Hiparco: A Corda do Arco
Metade: Seja ABCD o semicírculo de diâmetro AB, com o ângulo DAB
bissectado pelo segmento AC. Sejam E um ponto em AB tal que AD = AE e
F um ponto em AB tal que CF⊥AB, logo
BC =
√1
2· AB · (AB − AD)
Ptolomeu demonstrou esse resultado da mesma forma que Hiparco, che-
gando na fórmula:
crd(α) =√2R2 − crd(180− 2α)R (2.7)
Observa-se que dado um ângulo podemos através da equação (2.7) en-
contrar os comprimentos de cordas cada vez menores. Por exemplo,
crd(3◦) = crd (6◦/2) = 3; 8, 28 = 3p 8′ 28′′
34
Figura 2.13: Ptolomeu calculou o comprimento do segmento BC, corda do
ângulo α = BOC, sendo 2α = BOD.
crd
(11
2
◦)= crd (3◦/2) = 1; 34, 15 = 1p 34′ 15′′
crd
(3
4
◦)= crd
[1
2
(11
2
◦)]= 0; 4, 8 = 0p 4′ 8′′
e assim por diante.
De modo equivalente, a fórmula para a corda do arco metade pode ser
transformada na fórmula do seno do Arco Metade. Para tanto, basta dividir-
mos a equação
(BC)2 =1
2· AB · (AB − AD)
por (AB)2.
Assim, (BC
AB
)2
=1
2·(AB
AB
)2
−(AB · AD(AB)2
)(BC)2
(AB)2=
1
2·(1− AD
AB
)Como sen(α) = BC
ABe cos(2α) = AD
AB(�gura 2.13) então,
sen2(α) =1
2· (1− cos(2α))
Portanto,
sen(α) =
√1− cos(2α)
2
Corolário 2.3. 2R crd(α+ β) = crd(β) · crd(180− α) + crd(α) · crd(180− β)
Demonstração. Pela �gura 2.14 e aplicando o Teorema de Ptolomeu é fácil
veri�car que:
AC ·BD = AB ·DC + AD ·BC
2R · crd(α + β) = crd(β) · crd(180− α) + crd(α) · crd(180− β) (2.8)
35
Figura 2.14: A fórmula para a corda da Soma de Dois Arcos é imediata do
Teorema de Ptolomeu.
Aplicando esta fórmula a dois outros comprimentos de cordas já conhe-
cidos é possível determinar o valor do comprimento arco que se quer encon-
trar. Assim, fazendo aplicações sucessivas deste corolário às cordas já obtidas,
determina-se todos os comprimentos de cordas para os ângulos de 0◦ a 180◦
com incremento de (112)′. Por exemplo,
crd
(19
1
2
)◦
= crd
(18◦ +
(11
2
)◦)= 20; 19, 20 = 20p; 19′, 20′′
crd 21◦ = crd(18◦ + 3◦) = 21, 52, 6 = 21p; 52′, 6′′
crd
(21
1
2
)◦
= crd
(21◦ +
(11
2
)◦)= 23; 24, 40 = 23p; 24, 40
Novamente, em notação moderna obtemos a fórmula do Seno da Soma
de Dois Ângulos a seguir:
Note que, crd(θ) = 2R sen(θ2
), logo pela equação (2.8) temos
2R · 2R sen
(α
2+
β
2
)= 2R sen
(β
2
)· 2R sen
(180− α
2
)+
2R sen(α2
)· 2R sen
(180− β
2
)
4R2 sen
(α
2+
β
2
)= 4R2 sen
(β
2
)· sen
(90− α
2
)+
4R2 sen(α2
)· sen
(90− β
2
)sen
(α
2+
β
2
)= sen
(β
2
)· sen
(90− α
2
)+
sen(α2
)· sen
(90− β
2
)
36
Tomando α/2 = a e β/2 = b, então
sen(a+ b) = sen(b) · sen(90− a) + sen(a) · sen(90− b)
Sendo cos(θ) = sen(90− θ), logo
sen(a+ b) = sen(a) · cos(b) + sen(b) · cos(a)
Ptolomeu, calculou praticamente todas as cordas baseado nestes resulta-
dos, exceto as cordas de ângulos menores como o de 1◦ e 12
◦. Para esse caso,
Ptolomeu aplica um outro resultado, o qual permite realizar o cálculo para
pequenos tamanhos de comprimento de cordas com o mínimo de erro possivel.
Aplicando esse resultado, encontramos a crd(1◦) a partir da crd(112
◦) e
crd(34
◦), pois o valor dessas duas cordas já são conhecidos.
Para tanto, vamos demonstrar o resultado antes de iniciar os cálculos.
Corolário 2.4. Se α e β são comprimentos de arcos tais que 0 < α < β <
180◦, entãocrd β
crdα<
β
α
Figura 2.15: Ptolomeu calculou o comprimento do segmento AB, corda do
ângulo central α = AOB
Demonstração. Sejam α e β os comprimentos de AB e BC, respectivamente.
Considere ∠ABC bissectado pelo segmento BD e E o ponto de intersecção de
AC e BD (�gura2.15).
A�rmação: Se ∠ABE = ∠EBC, então ABAE
= BCCE
.
De fato, tomandoK no segmento BD (�g: 2.15) de modo que CE = CK,
então o triângulo ECK é isósceles e portanto ∠EKC = ∠KEC. Como ∠AEB
e ∠KEC ( ângulos opostos pelo vértice) segue que ∠EKC = ∠KEC = ∠AEB
37
e portanto os triângulos ABE e CBK são semelhantes pelo caso AA (∠ABE =
∠KBC por construção e ∠AEB = ∠BKC opostos pelo vértice).
Disto segue queAB
AE=
BC
KC=
BC
CE
Agora tracemos uma perpendicular de D a AC com F em AC (�gura
2.16) de modo que os arcos AD e CD sejam iguais (subtendem o mesmo ângulo
∠ABE = ∠EBC). Agora, vamos tomar D como centro do círculo e GEH um
arco desse círculo, com raio DE tal que G é a interseção do cículo com AD e
H é a interseção do círculo com a extensão do segmento DF .
Figura 2.16: A razão entre os arcos é maior que a razão entre as áreas
Note que os triângulos EDF e AED tem a mesma altura, logo
Area ∆EFD
Area ∆AED=
1/2 · EF ·DF
1/2 · AE ·DF
=EF
AE
Dessa forma,
A�rmação:
EF
AE<
∠EDF
∠ADE=
Area do setor EHD
Area do setor GED
De fato, (Area do ∆EFD
Area do ∆AED
)<
(Area do setor EHD
Area do setor GED
)pois
Area do ∆EFD < Area do setor EHD
Area do setor GED < Area do ∆AED
38
Assim,(Area do ∆EFD
Area do ∆AED
)<
(Area do setorEHD
Area do ∆AED
)<
(Area do setor EHD
Area do setor GED
)logo,
EF
AE=
(Area do ∆EFD
Area do ∆AED
)<
(Area do setor EHD
Area do setor GED
)=
∠EDF
∠ADE(2.9)
Agora, notemos que:
EC = EF + FC = EF + AF = 2 · EF + AE (2.10)
Conforme a �gura 2.15
∠EDC = ∠EDF + ∠FDC
= ∠EDF + ∠ADE + ∠EDF
= 2 · ∠EDF + ∠ADE (2.11)
Assim de (2.10) segue que,
crd β
crdα=
BC
AB
=EC
AE
=2 · EF
AE+
AE
AE
De (2.9) e (2.11) temos
2 · EF
AE+
AE
AE<
2 · ∠EDF
∠ADE+
∠ADE
∠ADE.
Mas,
2 · ∠EDF + ∠ADE = ∠EDF + ∠ADF
= ∠EDF + ∠FDC
= ∠EDC
Logo,
2 · EF
AE+
AE
AE<
∠EDC
∠ADE=
β
α
Portanto,crd β
crdα<
β
α
39
Aplicando o corolário acima, vamos calcular a crd(1◦) e em seguida en-
contrar a crd(12
◦) a partir da crd(1◦) usando a fórmula do arco-metade.
2
3crd(1◦30′) < crd(1◦) <
4
3crd(45′)
Como,
1◦30′ = 11
2
◦= 1, 5◦ = (1; 34, 15)60
e
45′ =3
4
◦= 0, 75◦ = (0; 47, 8)60
então, aplicamos o corolário e obtemos
crd(112)◦
crd 1◦<
(112)◦
1◦=
3
2crd(11
2)◦
crd 1◦<
3
22
3crd(1
1
2)◦ < crd(1◦)
Por outro lado,
crd 1◦
crd(34
◦)
<4
3
crd(1◦) <4
3crd
(3
4
◦)Observe que:
2
3=
2× 20
3× 20=
40
60= 0; 40
e4
3=
4× 20
3× 20=
80
60= 1; 20
Agora,
crd(1◦) >2
3crd
(11
2
◦)> 0; 40× (1; 34, 15) = 1; 2, 50, 10
Também,
40
crd(1◦) <4
3crd
(3
4
◦)< 1; 20× (0; 47, 8) = 1; 2, 50, 40
Assim, Ptomoleu tomou crd 1◦ = 1; 2, 50 e usando a fórmula do arco
metade encontrou a crd(12
◦) = (0; 31, 25)60.
Potanto, Ptolomeu possuía ferramentas su�cientes para preencher e com-
pletar sua Tabela de Cordas com incrementos de arcos de 12
◦.
A próxima seção exibe parte de sua tabela.
2.3 Construção de Tábuas Trigonométricas
à Maneira de Hiparco e Ptolomeu
Após calcular todos os comprimentos das cordas de uma arco utilizando as fór-
mulas crd(α) =√
(2R)2 − crd(180− α) e crd(α2) =
√R(2R− crd(180− α)),
Hiparco construiu a primeira tabela trigonométrica da época, a tabela de cor-
das. Vamos calcular, por exemplo, as cordas de 30◦ e 150◦. Como já visto, a
crd(60) = R, então vamos aplicar a fórmula para a metade da corda e obter a
crd(30). Logo,
crd2 60
2= R(2R− crd(180− 60))
A crd(120) é complemento da crd(60) como no triângulo inscrito na circun-
ferência (�g:2.1) e pelo teorema de pitágoras crd(120) =√3R. Daí, basta
aplicar na fórmula para obter a crd(30). Assim,
crd2(30) = R(2R−√3R)
= 2R2 −√3R2
crd(30) =
√R2(2−
√3)
= R
√2−
√3
41
Agora, para calcular a crd(150) usamos a fórmula complementar:
crd(180− 30) =
√(2R)2 − crd2(30)
=
√4R2 − (R(
√2−
√3))2
=
√2R2 +R2
√3
= R
√2 +
√3
Para calcular o comprimento das outras cordas, Hiparco utilizou uma
forma prática para completar sua tabela, pois se tinha crd(α) obtinha crd(α2)
e vice- versa. Dessa forma, a tabela de cordas pode ser preenchida e computada
por Hiparcos. Veja a seguir:
Tabela 2.1: Tabela de Cordas de Hiparco em notação
algébrica, deduzidas pela autora.
α em graus crd(α)
7◦ 12
R
√2−
√2 +
√3
15◦ R
√2−
√2 +
√3
22◦ 12
R
√2−
√2 +
√2
30◦ R√2−
√3
37◦ 12
R
√2−
√2 +
√2−
√3
45◦ R√2−
√2
52◦ 12
R
√2−
√2−
√2−
√3
60◦ R
67◦ 12
R
√2−
√2−
√2
75◦ R
√2−
√2−
√3
42
82◦ 12
R
√2−
√2−
√2 +
√3
90◦ R√2
97◦ 12
R
√2 +
√2−
√2 +
√3
105◦ R
√2 +
√2−
√3
112◦ 12
R
√2 +
√2−
√2
120◦ R√3
127◦ 12
R
√2 +
√2−
√2−
√3
135◦ R√2 +
√2
142◦ 12
R
√2 +
√2 +
√2−
√3
150◦ R√2 +
√3
165◦ R
√2 +
√2 +
√3
172◦ 12
R
√2 +
√2 +
√2√3
180◦ R√2
Lançando mão das fórmulas da Diferença da Corda de um Arco, o Arco
Metade, a Soma de Dois Arcos e a Relação entre os Arcos (maior e menor),
Ptolomeu também obteve sua Tabela de Cordas. Veja a seguir, na tabela 2.2.
43
Tabela 2.2: Tabela de Cordas de Ptolomeu com os comprimentos de cordas
em notação sexagesimal.
α em graus crd(α)
12
◦0; 31, 25
1◦ 1; 2, 50
1◦ 12
1; 34, 15
2 2; 5, 40
2◦ 12
2; 37, 4
3◦ 3; 8, 28
5◦ 5; 14, 4
10◦ 10; 27, 32
20◦ 20; 50, 16
30◦ 31; 3, 30
40◦ 41; 2, 33
60◦ 60; 0, 0
70◦ 68; 49, 45
90◦ 84; 51, 57
100◦ 91; 55, 32
120◦ 103; 55, 23
135◦ 110; 51, 57
140◦ 112; 45, 28
160◦ 118; 10, 37
180◦ 120; 0, 0
44
Capítulo 3
A Trigonometria Reiventada pelos
Hindus
In�uenciados pelo conhecimento trigonométrico helenístico, foi com os Hindus
que surgiu a mais importante contribuição para a trigonometria, a criação da
precursora da função trigonométrica moderna, a função seno.
Os astronômos da Índia compreenderam dos estudos de Hiparco e Ptolo-
meu, que como a corda era a maneira mais simples de relacionar um segmento
de reta com um ângulo, observaram que em muitos casos era preciso utilizar
apenas a metade da corda do dobro de um ângulo, isto é, estabeleceram uma
correspondência entre a metade da corda de um círculo e a metade do ângulo
central subentendido. Diferentemente de Ptolomeu, que para realizar seus cál-
culos, estabelecia uma relação entre o comprimento da corda de um círculo e
o ângulo central subtendido.
Em outras palavras, para os matemáticos hindus, o comprimento da meia
corda era calculado por R sen(α) ou o mesmo que,
1
2· crd(2α) = R sen(α) .
Consequentemente os hindus possibilitaram a substituição das tabelas de
cordas dos gregos mediante a introdução da função seno, iniciando deste modo
a tabulação da metade das cordas, ao invés de construir uma tabela de cordas
como �zeram seus antecessores.
Umas das poucas obras que se conservaram deste período foram os
Siddhantas e o Aryabhatiya das quais trazem umas das mais antigas tabe-
las de senos.
Os Siddhantas é um conjunto de textos, cujo signi�cado é sistemas de
45
astronomia, vem descrito em versos e redigidos em sânscrito.
Mesmo com poucas explicações e quase nenhuma prova sobre matemá-
tica e regras astronômicas, esse antigo tratado traz uma tabela de meia cordas
com base na tabela de Ptolomeu. Percebe-se nos Siddhantas sinais de in-
�uência grega, apesar do desacordo dos estudiosos hindus a esse respeito, pois
a�rmavam serem independentes de outros autores.
Por volta do ano de 500 d.C com Aryabhata autor de Aryabhatiya, pe-
queno livro escrito em versos sobre matemática e astronomia, surge o primeiro
trabalho se referindo explicitamente ao seno como uma função de um ângulo,
bem como a tabela �Jiva�, a tabela de meias cordas, conhecida atualmente
como a tabela de senos.
Pouco mais de cem anos após Aryabhata, esta tabela foi reportada no
trabalho de Brahmagupta (628 d.C), o qual reproduziu o mesmo modelo.
Tanto nos Siddhantas como em Aryabhatiya são calculados os senos de
0◦ a 90◦, com vinte e quatro intervalos iguais de 3◦ 34cada um e para expressar
o comprimento do arco e o comprimento do seno na mesma unidade, o raio foi
considerado como 3438 e a circunferência como 360× 60 = 21600.
Dessa forma, encontraram para π o valor semelhante ao de Ptolomeu
com até o quarto algarismo sign�cativo, como:
π =360× 60
(2× 3438)
=21.600
6.876= 3.14136
Isso explica a semelhança do trabalho produzido pelos hindus em relação
ao trabalho de Ptolomeu sobre trigonometria e astronomia.
No entanto, mesmo possuindo seu conhecimento do helenismo, esses ele-
mentos tomaram um novo formato nas mãos dos hindus. Tanto que em si-
tuação diferente, Aryabhata usou o valor√10 para o número π, valor mais
encontrado na Índia, denotado algumas vezes como �valor hindu� e Brahma-
gupta explicitou dois valores para π. O primeiro como 3 considerado como
um �valor prático� e o outro já conhecido por Aryabhata como√10, o �va-
lor hindu�, além disso, tomou o raio como 3270 e não 3438, o raio usado por
Aryabhata.
Chamadas como Jya-ardha ou apenas como Jya, os indianos obtinham
as meias cordas através do segmento AB (Figura 2.12) em um círculo de raio
46
próprio. Em outras palavras, eles calculavam as meias cordas utilizando o seg-
mento AB, considerando o raio do círculo de acordo com uma escala adequada.
Nos cálculos de Ptolomeu o raio foi tomado como 60.
Esse processo de obter as meias cordas é semelhante ao nosso para obter
o valor do seno, porém com uma diferença, a de que calculamos o seno como a
razão entre a metade do segmento AB e o raio do círculo (com raio unitário).
Não havia métodos determinados para calcular a tabela de cordas, con-
tudo, para calcular o comprimento exato da corda de um ângulo arbitrário, os
matemáticos hindus desenvolveram técnicas de aproximação.
De acordo com Boyer (2003, p.147), os hindus usaram um raciocínio que
em nossa linguagem, mostra que o seno de um ângulo pequeno é aproximada-
mente à medida em radianos do ângulo.
Do século VI com Aryabhata ao século XII com Baskara foi possível
encontrar técnicas cada vez mais so�sticadas para descobrir essas aproxima-
ções. Esses métodos antecederam algumas ideias que posteriomente seriam
aprimoradas pelos europeus.
Entretanto, foi através dos árabes e não diretamente dos hindus que estas
ideias chegaram ao conhecimento dos europeus. Por exemplo, o matemático
astronômo Al-Battani (850-929), conhecido na Europa como Albategnius, foi
o primeiro a transmitir a teoria dos senos para os europeus, embora o seno já
fosse usado antes por Thabit ibn Qurra.
Tudo que os árabes aprenderam sobre a astronomia foi proveniente da
Índia. Eles entraram em contato com a teoria de meias cordas, e viram tudo
sobre as tabelas jya. Estudaram suas técnicas e seus métodos, mas não dei-
xaram de acrescentar suas concepções ao assunto que lhes traziam interesse e
julgavam pertinente.
Com os árabes, houve dois tipos de trigonometria: a geométrica grega
das cordas como podemos localizar no Almagesto e a tabelas dos senos com
os Hindus vinda dos Siddhantas.
Porém, basearam-se praticamente na função seno in�uenciados pelas ta-
belas de meias-cordas do hindus.
Podemos encontrar no livro Sobre o movimento das estrelas de Al-
Battani, a fórmula deduzida em termos do comprimento da sombra de um
gnômon vertical de altura a devido à elevação do Sol acima do horizonte. Ele
47
expressou a fórmula da seguinte forma:
b =[a sen(90◦ − A)]
senA(3.1)
(�gura 3.1 abaixo) em que são mostradas as funções seno e seno versor. O
seno versor de um ângulo signi�ca o seno do ângulo complementar, que poste-
riomente será denominada como função cosseno.
Através dessa fórmula, Al-Battani construiu uma �tabela de sombras�,
essencialmente uma tabela de cotangents para cada grau de 1◦ a 90◦.
Note que ao expressar a fórmula (3.1) ele usou apenas a função seno, pois
as outras funções ainda não eram conhecidas pelo nome.
Embora mencionamos a palavra seno, ela apenas surgirá com os europeus.
Os árabes transformaram para o seu dialeto a palavra Jya em Jiba, fato que
mais tarde daria o nome a palavra seno, devido a um erro de tradução cometido
pelos europeus. Estes, interpretaram a palavra Jiba como jaib, cujo signi�cado
é baía, angra ou algo sinuoso e escolheram a palavra sinus para a tradução de
jaib.
Os árabes contribuíram para o desenvolvimento das funções tangente,
co-tangente, secante e cossecante, embora não fossem assim denominadas por
eles. Construíram essa teoria baseada no comprimento das sombras em relação
à unidade de comprimento do gnômon devido a variação da altitude solar
projetada. Como os árabes não tinham uma unidade de medida para a barra
ou gnômon usado, eles adotavam frequentemente um palmo ou a altura de um
homem.
Figura 3.1: funções �sombra�: o segmento a representa o comprimento do
gnômon.
Assim, eles encontraram a �sombra reversa�, o que chamamos de tangente
da elevação do Sol, a sombra lançada numa parede por uma barra ou gnômon
projetada na parede horizontalmente a/b ; a �sombra horizontal�, para o gnô-
mom vertical de comprimento conhecido, chamamos de co-tangente do ângulo
48
de elevação do Sol b/a; �hipotenusa da sombra�, sendo a distância da ponta do
gnômon à ponta da sombra do gnômon c/a, a nossa atual função co-secante e
por �m a �hipotenusa da sombra�, faz o papel da nossa função secante c/b.
A primeira tabela de tangentes e co-tangentes foi construída por volta
de 860 por Al-Habash Hasib, baseado na relação entre o gnômon e a sombra.
E o tratamento dessas relações em função de um ângulo surge neste período.
Um século após Al-Battani, Abu'l-Wefa construiu uma tabela de senos
para ângulos que se diferiam por 1/4◦ o mesmo que a precisão de oito casas
decimais e encontrou uma versão mais simples para a fórmula (3.1) como
a = b tanA
pois a função tangente era bastante conhecida na época.
Além de Al-Habash Hasib, Abu'l-Wefa foi um dos que forneceu a tabela
de tangentes e usou as seis funções trigonométricas comuns, como também
estabeleceu relações entre elas. No entanto, essas tabelas só foram impressas
no século XV por outros estudiosos.
Este fato, nos colocou em contato maior com a trigonometria moderna,
porquanto a função tangente dos árabes era dada para um círculo unitário,
diferente da função seno dos hindus, a qual tinha o raio como R = 3438.
A trigonometria assume uma forma mais sitemática com Abu'l-Wefa,
pois ele prova teoremas como as fórmulas para ângulo duplo ou metade.
Mesmo que o árabes tenham sido in�uenciados fortemente pela função
seno dos hindus, foi através do Almagesto que estes estudiosos puderam mani-
pular resultados trigonométricos como a lei dos senos, por exemplo. Essa lei foi
estudada por Ptolomeu e posteriomente atribuída aos estudos sobre a fomula-
ção de leis para triângulos esféricos de Abu 'I-Wefa , embora fosse submetida
no trabalho de Brahmagupta.
Em suma, os árabes contribuiram grandemente para a trigonometria,
tanto que estabeleceram conexões entre a Trigonometria e a Álgebra, solu-
cionando o problema do cálculo do seno de ângulos arbitrários, através da
resolução de equações cúbicas, tornando a Trigonometria árabe cada vez mais
so�sticada.
No próximo capítulo, vamos ver o desenvolvimento de uma Trigonometria
que deixa de fazer parte apenas da astronomia e tornar-se Analítica.
49
Capítulo 4
A Trigonometria torna-se
Analítica a partir do Século XVI
Após entrarem em contato com a Trigonometria árabe, os europeus desenvolve-
ram uma trigonometria que tornou-se objeto de si mesma, apesar de bastante
enraizada nas origens astronômicas, no século XVI a trigonometria passa a
desvincular-se dessas teorias e se aperfeiçoar em torno de uma trigonometria
mais analítica.
Havia ainda outra razão para o desenvolvimento da trigonometria analí-
tica na primeira metade do século XVII: o papel crescente da matemática em
descrever o mundo físico ao nosso redor.
No século XIV uma nova tabela de senos, baseada na obra de Ptolomeu
foi computada por Purbach e seu trabalho foi disseminado entre os estudiosos
europeus.
Nesta época o sistema hindu-arábico, sistema decimal, estava se propa-
gando pela Europa. Tanto que, Purbach já utilizava esse sistema para calcular
suas tábuas trigonométricas.
Logo após apareceu um dos maiores matemáticos do século XV Johan-
nes Muller (1436 - 1476), mais conhecido como Regiomontanus, discípulo de
Purbach.
Regiomontanus produziu um trabalho de grande importância para época
um tratado em cinco livros intitulado por Tratado sobre triângulos. Nesse tra-
balho ele trás uma trigonometria mais completa, além de determinar questões
envolvendo geometria plana e esférica, calculou novas tábuas trigonométricas
e aprimorou as de seno de Purbach, como também inseriu na trigonometria
50
dos europeus a utilização das tangentes contendo-as em suas tábuas.
A partir deste trabalho, a trigonometria foi de�nida como uma ciência
independente da Astronomia.
De modo geral, Regiomontanus contribuiu essencialmente para os futu-
ros trabalhos na trigonometria plana e esférica , e provavelmente o primeiro
trabalho impresso em trigonometria foi Tabulas Directionum.
Em seguida, por volta de 1520 Copérnico (1473-1543), completou alguns
trabalhos de Regiomontanus.
Um século depois com Georg Joachim Rhæticus (1514 - 1576) as tábuas
de Regiomontanus foram recalculadas com maior exatidão, tanto que foram
aumentadas com a precisão de onze casas decimais para cada valor, além disso
ele calculou os senos, cossenos, tangentes e secantes de minuto em minuto para
os arcos do primeiro quadrante e para o arco de 1◦ calculou os mesmos de dez
em dez segundos.
Em seu trabalho Canon Doctrinae Triangulorum todas as seis funções
trigonométricas aparecem pela primeira vez, de�nidas como funções do ângulo
em vez de funções do arco, isto é, ilustradas em termos de razões de�nidas
no triângulo retâgulo sem fazer menção a um círculo dado. A primeira tabela
impressa de secantes apareceu com Rhæticus em seu trabalho, embora não
tenha dado os nomes para o seno, cosseno, secante e etc.
Já no século XVI, Viète foi de grande importância para a trigonometria,
pois acrescentou um tratamento analítico à trigonometria, tanto que para re-
presentar qualquer coe�ciente fez uso de letras, culminando para o progresso
da Álgebra. Ele computou as tábuas trigonométricas calculando o seno de 1◦
com a precisão de três casas decimais.
Viète também obteve um avanço no cálculo de medidas de lado e ângulos
e triângulos esféricos, utilizando funções trigonométricas, além de decompor os
triângulos oblíquos em triângulos retângulos para que se pudesse determinar
todas as suas medidas dos seus lados e ângulos.
Em seu trabalho, Variorun de Rebus Mathematicis, ele demonstra a fór-
mula para tangentes, análoga a conhecida atualmente:
tg(A+B)
tg(A−B)=
a+ b
a− b
com A e B ângulos e a e b arcos correspondentes. Porém, esta relação foi
publicada na obra do matemático dinamarques Thomas Fincke Geometria Ro-
tundi.
51
Em 1525 foi elaborado e publicado um tratado no qual foram corrigidas
as tábuas de Rhaeticus e atualizou a forma como o assunto fora tratado.
Logo após, o britânico Napier (1617 1550) auxiliou no desenvolvimento
ao criar os logarítmos em 1614 e formulou regras para triângulos esféricos que
só foram publicadas após sua morte em o Constructio.
Outro grande nome na evolução da trigonometria foi Oughtred, ele tentou
desenvolvê-la simbolicamente, embora essa ideia fosse aceita somente no século
XVIII com Euler, pois na época de Oughtred o simbolismo algébrico era pouco
avançado.
A palavra seno já estava sendo utilizada pelos europeus em seus textos
matemáticos, após traduzirem do árabe. A notação abreviada para seno como
sen foi usada pela primeira vez por um ministro inglês e professor de astrono-
mia, Edmund Gunter (1581 - 1626). Foi ele também quem usou pela primeira
vez a palavra cotangente em 1620.
Já as palavras tangente e secante foram inventadas por Thomas Fincke
(1561-1656). Porém o surgimento da notação abreviada para secante apareceu
em 1626 como sec com o matemático Albert Girard (1595-1632).
Em 1658 John Newton(1622-1678) publicou um tratado nomeado por
Trigonometria Britannica sendo este um dos livros mais completos da época
sobre trigonometria, antecedendo ideias sobre a introdução de divisões cente-
simais nas tábuas trigonométricas.
Como já mencionamos anteriomente a função cosseno considerada atu-
almente como de igual importância para o seno, surgiu da necessidade de
calcular o seno do ângulo complementar. Denotado primeiramente como sinus
complementi ou complemento do seno,
sen(90◦ − α) = cos(α)
o nome cosinus passou a existir com Edmund Gunter, o qual escrevia o cosseno
como co.sinus.
Porém, a palavra co.sinus foi modi�cada para cosinus com John Newton
(1622-1678). E a primeira abreviação de cosinus como cos foi usada pelo
matemático e agrimensor inglês Jonas Moore (1617-1679) em 1674.
Já o nome Trigonometria foi concebido por Bartholomeo Pitiscus (1561-
1613), tanto que publicou um livro em 1595, o qual recebeu o nome de sua
criação Trigonometria.
Uma outra importante contribuição para a trigonometria foi dada por
52
John Wallis (1616 -1703), o qual exprimiu fórmulas usando equações no lugar
de proporções e ainda por lidar com séries in�nitas. Além disso, foi John Wallis
quem introduziu o símbolo ∞.
Ao mesmo tempo que estudava os cálculos in�nitesimais assim como John
Wallis, sustentados na Geometria do movimento, Isaac Newton (1642-1727) foi
de grande in�uência para o avanço da trigonometria ao trabalhar com séries
in�nitas, estendendo o arc sen(x) em séries e inferindo a série para sen(x)
por reversão, bem como transmitiu a Leibnz a fórmula geral para sen(nx) e
cos(nx).
Essas ideias, trouxeram perspectivas para que o sen(x) e cos(x) deixas-
sem de ser grandezas e se tornassem números. No entanto, essas perspectivas
só foram alcançadas no século XVIII com Kastner, em 1758. Sendo este, o
primeiro matemático a de�nir as funções trigonométricas de números puros.
Em 1710, a peoridicidade das funções trigonométricas foi comprovada em
primeira mão pelo matemático Thomas Fanten de Lagny.
Dessa forma, percebemos que a Trigonometria ao longo do tempo foi
tomando o formato conhecido nos dias atuais, contudo isso só ocorreu com
Euler.
No próximo capítulo, vamos veri�car como se deu o avanço da trigono-
metria com Euler.
53
Capítulo 5
Funções Trigonométricas nos
Séculos XVIII e XIX
5.1 Introdução Histórica
No século XVIII, a trigonometria assume sua forma atual com Leonard Euler
(1707-1783), ao tomar a medida do raio de um círculo como unidade e de�nir
funções aplicadas a um número e não mais a um ângulo, diferente daquilo que
era realizado até o momento.
Basicamente, ocorreu uma transição das razões trigonométricas para fun-
ções periódicas iniciada com Viète no século XVI, a qual teve novo impulso
com o surgimento do cálculo in�nitesimal no século XVII e atingiu o seu ponto
mais alto com o ilustre representante deste século ao criar a função e, conhecida
como função de Euler.
Através desta função é possível descobrir o sen(x) e o cos(x) em função
de uma variável x, com x ∈ R. A função de Euler permitiu que a Análise
Matemática e diversas aplicações às ciências físicas abrissem as portas para
a trigonometria, tanto que Euler escreveu um livro chamado �Introductio in
Analysin In�nitorum� considerado a obra chave da Análise Matemática, o qual
deu um tratamento às funções trigonométricas do ponto de vista analítico.
Euler mostra em seu livro que o seno alcança a condição de ser um
número obtido pela coordenada de um ponto de um círculo unitário ou o
número de�nido pela série:
sen(x) = x− x3
3!+
x5
5!− x7
7!+ ... . (5.1)
Veremos depois a justi�cativa da igualdade (5.1).
54
Em 1748 Euler exprimiu as funções seno e cosseno no conjunto dos nú-
meros complexos através da fórmula:
eiϕ = cos(ϕ) + i sen(ϕ) ,
(i é a unidade imaginária).
A fórmula descrita acima é equivalente a:
ϕi = log(cos(ϕ) + i sen(ϕ)) ,
que foi criada pelo matemático inglês Roger Cotes (1682-1716) em 1722 (Fór-
mula em notação moderna, onde i =√−1 e log é o logaritmo natural na base
e = 2.708).
Notemos que, se
(eϕi)n = (cos(ϕ) + i sen(ϕ))n , n ∈ N ,
enϕi = cos(nϕ) + i sen(nϕ) . (5.2)
Em 1722, antes mesmo de Euler, De Moivre (1667-1754) utilizou a fór-
mula
(cos(ϕ) + i sen(ϕ))n = cos(nϕ) + i sen(nϕ)
de (5.2) para encontrar a raiz n-ésima de um número real ou complexo.
Em 1822, o matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
lançou sua mais importante obra Théorie analytique de la chaleur que relata
quando uma função contínua e periódica de período 2π pode ser representada
por uma série trigonométrica como:
f(x) = a0 + a1 cos(x) + a2 cos(2x) + a3 cos(3x)...
+b1 sen(x) + b2 sen(2x) + b3 sen(3x)...
(com ai e bi encontradas através de integrais apropriadas)
Mais tarde, este resultado foi aplicado a funções não periódicas, isto é,
no caso que uma série in�nita torna-se uma integral.
Diferentemente da expansão de Taylor, a qual pode ser calculada somente
para funções de classe C∞, a série de Fourier pode ser calculada para funções
contínuas e para uma certa classe de funções descontínuas.
55
5.2 A fórmula de Taylor com resto Integral
Neste trabalho para estimar os valores de senos, de ângulos de 0 a 90 graus,
usaremos um polinômio de Taylor. A fórmula de Taylor com resto integral nos
permite estimar valores do seno com margem de erro pré-estabelecida.
Sejam Pn um polinômio de Taylor e f uma função que possui derivada
de ordem n + 1 contínua, então o erro é de�nido como a aproximação de f
pelo polinômio Pn em um certo ponto. Em outras palavras, o erro En(x) é a
diferença entre a função f e o polinômio Pn. Assim, dado a ∈ R, temos que:
f(x) =n∑
k=0
f (k)(a)
k!(x− a)k + En(x) (5.3)
Teorema 5.1. Se f admite derivada de segunda ordem f ′′ contínua numa
vizinhança de um ponto a, então para todo x nessa vizinhança, tem-se
f(x) = f(a) + f ′(a) · (x− a) + E1(x)
com
E1(x) =
∫ x
a
f(x− t)f ′′(t)dt
Demonstração. Por (5.3), temos:
E1(x) = f(x)− f(a)− f ′(a) · (x− a)
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
E1(x) =
∫ x
a
f ′(t)dt− f ′(a)
∫ x
a
dt
=
∫ x
a
[f ′(t)− f ′(a)]dt (5.4)
Calculamos (5.4) por integração por partes.
Tomando u = f ′(t)− f ′(a) e v = x− t, temos du = f ′′(t)dt e dv = 1 · dt
Assim,
E1(x) =
∫ x
a
udv = u · v −∫ x
a
vdu
= uv −∫ x
a
(t− x) · f ′′(t)dt
= [f ′(t)− f ′(a) · (x− a)]|xa −∫ x
a
(t− x)f ′′(t)dt
=
∫ x
a
(t− x)f ′′(t)dt
56
Para uma aproximação polinomial de grau n demonstramos a seguir a
generalização do resultado acima.
Teorema 5.2. Suponha que f tem uma derivada contínua de ordem n+1, em
algum intervalo contendo a. Então, para todo x no intervalo, temos a fórmula
de Taylor
f(x) =n∑
k=0
f (k)(a)
k!(x− a)k + En(x)
onde
En(x) =1
n!
∫ x
a
(x− t)nf (n+1)(t)dt
Demonstração. Vamos demonstrar o teorema usando indução �nita em n.
Para n = 1 segue do teorema 5.1. Suponhamos por hipótese de indução
que o resultado é válido para n. Vamos mostrar que vale para n+ 1.
Notemos que para um polinômio de ordem n+ 1, temos:
f(x) =n+1∑k=0
f (k)(a)
k!(x− a)k + En+1(x)
=n∑
k=0
f (k)(a)
k!(x− a)k +
f (n+1)(a)
(n+ 1)!(x− a)n+1 + En+1(x)
Como En(x) = f(x)−n∑
k=0
f (k)(a)
k!(x− a)k, então
En+1(x) = En(x)−f (n+1)(a)
(n+ 1)!(x− a)n+1
Por hipótese de indução
En(x) =
∫ x
a
(x− t)n
n!f (n+1)(t)dt
Então,
En+1(x) =
∫ x
a
(x− t)n
n!f (n+1)(t)dt− f (n+1)(a)
(n+ 1)!(x− a)n+1
=
∫ x
a
(x− t)n
n!f (n+1)(t)dt− f (n+1)(a)
n!
(x− a)n+1
(n+ 1)
Mas,(x− a)n+1
(n+ 1)=
∫ x
a
(x− t)ndt
57
Então,
En+1(x) =
∫ x
a
(x− t)n
n!f (n+1)(t)dt− f (n+1)(a)
n!
∫ x
a
(x− t)ndt
=1
n!
∫ x
a
(x− t)nf (n+1)(t)dt− f (n+1)(a)
∫ x
a
(x− t)ndt
=1
n!
∫ x
a
(x− t)n[f (n+1)(t)− f (n+1)(a)]dt
Usando integração por partes e tomando, u = f (n+1)(t) − f (n+1)(a) e
v = − (x−t)n+1
n+1, então du = f (n+2)(t)dt e dv = (x− t)ndt. Logo
En+1 =1
n!
∫ x
a
udv
=1
n!
(uv −
∫ x
a
vdu
)= −
[(f (n+1)(t)− f (n+1)(a))
((x− t)n+1
(n+ 1)!
)]xa
+
∫ x
a
(x− t)n+1
(n+ 1)!f (n+2)(t)dt
=
∫ x
a
(x− t)n+1
(n+ 1)!f (n+2)(t)dt
Portanto,
En+1(x) =1
(n+ 1)!
∫ x
a
(x− t)n+1f (n+2)(t)dt
é válido para todo n ≥ 1.
Com o auxílio do Cálculo Diferencial e Integral encontramos a fórmula
geral para o erro estimado por meio do Polinômio de Taylor e calculamos a
função seno para uma série de ângulos.
A fórmula da função Seno e do erro E(x) é obtida da seguinte forma:
f(x) = sen(x)
= f(0) + f ′(0)x+ f ′′(0)x2
2!+ ...+ (−1)n · f (2n+1)(0)
x2n+1
(2n+ 1)!+E2n+1(x)
Mas,
f(x) = sen(x), f ′(x) = cos(x), f ′′(x) = − sen(x), f ′′′(x) = − cos(x), ...
58
e
f ′(0) = 1, f ′′(0) = 0, f ′′′(0) = −1, ..., f (2n+1)(0) = (−1)n
Portanto,
f(x) = sen(x) = x− x3
3!+
x5
5!− x7
7!...+ (−1)n
x2n+1
(2n+ 1)!+ E2n+1(x)
(justi�cativa de (5.1))
Para o erro da aproximação do Polinômio de Taylor pela função temos:
En(x) =1
n!
∫ x
0
(x− t)nf (n+1)(t)dt
E2n+1(x) =1
(2n+ 1)!
∫ x
0
(x− t)2n+1f (2n+2)(t)dt
=1
(2n+ 1)!
∫ x
0
(x− t)2n+1(−1)n sen(t)dt
|E2n+1(x)| ≤ 1
(2n+ 1)!
∫ x
0
|x− t|2n+1| sen(t)|dt
Notemos que x > 0 então, x ≥ t ≥ 0 ⇒ x− t ≥ 0. Logo,
|E2n+1(x)| ≤ 1
(2n+ 1)!
∫ x
0
(x− t)2n+1dt
5.3 Construindo uma tábua de senos por aproxi-
mações polinomiais
Vamos encontrar o valor da integral e estimar o valor do erro para x ∈ [0, π/2].
Através deste resultado podemos construir tabelas de senos sem a necessidade
de fazer inúmeros cálculos manuais, assim como faziam os gregos e os hindus,
por exemplo.
1
(2n+ 1)!
∫ x
0
(x− t)2n+1dt = −[(x− t)2n+2
(2n+ 2)
]x0
· 1
(2n+ 1)!
=x2n+2
(2n+ 2)· 1
(2n+ 1)!
59
Tabela 5.1: Cálculo do erro
n (1, 58)(2n+2) (2n+ 2)! (1, 58)(2n+2)/(2n+ 2)!
1 6, 23201296 24 0, 259667207
2 15, 55759715 720 0, 021607774
3 38, 83798553 40320 0, 000963244
4 96, 95514709 3628800 2, 67182× 10−05
5 242, 0388292 479001600 5, 05299× 10−07
6 604, 2257332 8, 718× 1010 6, 93092× 10−09
Como π2< 1, 58 pois, π ≈ 3, 141592654 < 3, 16 então, π
2< 3,16
2= 1, 58.
Assim,
E2n+1(x) ≤ x2n+2
(2n+ 2)!
≤(π2)2n+2
(2n+ 2)!
≤ (1, 58)2n+2
(2n+ 2)!
Através de uma simples panilha do Excel podemos construir uma tabela
de senos sem a necessidade de fazer inúmeros cálculos manuais como faziam
os gregos e os hindus, por exemplo.
Dessa forma, conhecida a fórmula do erro, tomamos E2n+1(x) < 10−8 com
n = 6 e contruímos uma tabela para o erro e para a função seno f(x) = sen(x)
no intervalo de 0 a π2para uma série de ângulos calculados em radianos.
Tabela 5.2: Cálculo do seno para uma série de ângu-
los, tomando n = 90, usando o Polinômio de Taylor de
sen(x), de grau 2n + 1, com cálculos realizados em uma
planilha do Excel.
( π180
× minutos60
) graus (◦) minutos sen
1 0, 002908882086657 0 10 0, 00290888
60
2 0, 005817764173314 0 20 0, 00581773
3 0, 008726646259972 0 30 0, 00872654
4 0, 011635528346629 0 40 0, 01163527
5 0, 014544410433286 0 50 0, 01454390
6 0, 017453292519943 1 00 0, 01745241
7 0, 020362174606601 1 10 0, 02036077
8 0, 023271056693258 1 20 0, 02326896
9 0, 026179938779915 1 30 0, 02617695
10 0, 029088820866572 1 40 0, 02908472
11 0, 031997702953229 1 50 0, 03199224
12 0, 034906585039887 2 00 0, 03489950
13 0, 037815467126544 2 10 0, 03780646
14 0, 040724349213201 2 20 0, 04071309
15 0, 043633231299858 2 30 0, 04361939
16 0, 046542113386516 2 40 0, 04652531
17 0, 049450995473173 2 50 0, 04943084
18 0, 052359877559830 2 00 0, 05233596
19 0, 055268759646487 3 10 0, 05524063
20 0, 058177641733144 3 20 0, 05814483
21 0, 061086523819802 3 30 0, 06104854
22 0, 063995405906459 3 40 0, 06395173
23 0, 066904287993116 3 50 0, 06685439
24 0, 069813170079773 4 00 0, 06975647
25 0, 072722052166430 4 10 0, 07265797
26 0, 075630934253088 4 20 0, 07555885
27 0, 078539816339745 4 30 0, 07845910
28 0, 081448698426402 4 40 0, 08135867
29 0, 084357580513059 4 50 0, 08425757
30 0, 087266462599717 5 00 0, 08715574
61
31 0, 090175344686374 5 10 0, 09005318
32 0, 093084226773031 5 20 0, 09294986
33 0, 095993108859688 5 30 0, 09584575
34 0, 098901990946345 5 40 0, 09874083
35 0, 101810873033003 5 50 0, 10163508
36 0, 104719755119660 6 00 0, 10452846
37 0, 107628637206317 6 10 0, 10742096
38 0, 110537519292974 6 20 0, 11031256
39 0, 113446401379631 6 30 0, 11320321
40 0, 116355283466289 6 40 0, 11609291
41 0, 119264165552946 6 50 0, 11898163
42 0, 122173047639603 7 00 0, 12186934
43 0, 125081929726260 7 10 0, 12475602
44 0, 127990811812917 7 20 0, 12764165
45 0, 130899693899575 7 30 0, 13052619
46 0, 133808575986232 7 40 0, 13340963
47 0, 136717458072889 7 50 0, 13629194
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62
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75 0, 218166156499291 12 30 0, 21643961
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63
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90 0, 261799387799149 15 0 0, 25881905
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Referências Bibliográ�cas
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