8/2/2019 Texto Construindo fractais
1/19
SERVIO PBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
INSTITUTO DE CINCIAS EXATAS E NATURAIS
Projeto: Construindo Fractais com Material Concreto
Raimundo Neto Nunes Leo
UFPA - 2009
1
8/2/2019 Texto Construindo fractais
2/19
Captulo 1
Construindo Fractais com material
concreto
1.1 Introduo
A geometria uma rea da matemtica responsvel pelo estudo das formas e de suas
propriedades. Com ela, o homem pde organizar e sistematizar reas. Os postulados
de Euclides impulsionaram o estudo dos planos e das trs dimenses e deram origem
a Geometria Euclidiana. Os estudos geomtricos fazem parte da vida cotidiana e so
amplamente empregados em diversas situaes: seja na medio de uma simples parede,
como no planejamento de uma cidade. A importncia da disciplina faz com que ela seja
obrigatria em muitos cursos superiores. Assim, os alunos de Matemtica, Engenharia,
Arquitetura, Design e outros cursos afins, so submetidos apreciao da geometria.
Vale ressaltar que a geometria ensinada durante quase toda a vida escolar de uma
pessoa e que se fosse feita uma pesquisa sobre a parte da Matemtica mais interessante
para os alunos de ensino funamental, no seria surpresa que o resultado dessa pesquisa
seria a geometria, simplesmente pelo fato das figuras geomtricas serem atraentes aos
olhos dos alunos, com base nessa atrao ou admirao artstica que possvel o ensino
de outras geometrias, no somente a geometria euclidiana, mas como exemplo a geometria
fractal.
Mas o que um fractal?
Mandelbrot em 1975 criou o termo Fractal que vem do latim, do adjetivo fractus,
derivado do verbo frangere que significa quebrar, fracionar. De acordo com Mandelbrot,
os fractais so formas geomtricas abstratas de uma beleza incrvel, com padres completos
que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma rea finita. O autor constatou ainda
que havia uma curiosa e interessante relao entre estes objetos e aqueles encontrados na
natureza. Existem duas caractersticas freqentes na Geometria Fractal so elas:
2
8/2/2019 Texto Construindo fractais
3/19
Complexidade Infinita: uma propriedade dos fractais que significa que nunca
conseguiremos represent-los completamente, pois a quantidade de detalhes infinita.
Sempre existiro reentrncias e salincias cada vez menores.
Auto-similaridade: Um fractal costuma apresentar cpias aproximadas de si mesmoem seu interior. Um pequeno pedao similar ao todo. Visto em diferentes escalas a
imagem de um fractal parece similar.
Com esses conceitos bsicos sobre fractais possvel o ensino dessa geometria para
alunos tanto do ensino fundamental quanto do ensino mdio, logicamente que os conceitos
mais complexos ficam a cargo do professor compreender e repassar aos alunos com uma
linguagem bem mais acessvel.
Dependo do nvel de escolaridade que se deseja trabalhar existem propriedades cada
vez mais interessantes para serem estudadas fazendo uso dos fractais.No prximo captulo teremos alguns fractais para serem desenvolvidos esses estudos,
observar essas propriedades e correlacion-los com outros assuntos matemticos, alm
claro do processo construtivo desses fractais.
3
8/2/2019 Texto Construindo fractais
4/19
Captulo 2
Construindo Fractais
Acredita-se perfeitamente possvel a construo dos fractais que neste captulo seprope a serem construidos em sala de aula ou, em uma feira de cincia, quem sabe em
uma exposio sobre arte matemtica dentre outros eventos que possivelmente venham a
surgir.
2.1 Objetivos a serem Alcanados
1. Construo de fractais com materiais concretos.
2. Perceber a propriedade da auto-similaridade.
3. Estudar as propriedades matemticas dos fractais: rea, permetro, volume (depen-
dendo do nvel escolar da classe a ser trabalhada).
4. Inter-relacionar os fractais com outros assuntos muito trabalhados em sala de aula
como o caso da Progresso Geomtrica (PG), Geometria plana (Propriedade:
rea) dentre outros que o professor e os alunos venham a perceber.
Nas construes dos fractais que propomos neste trabalho, no ser feita da maneira
tradicional como se constroe os fractais, por reduo de escala, ou seja, o fractal fica cada
vez mais refinado a medida que segue de fase neste caso o fractal fica restrido sempre
a uma mesma regio (rea onde o fractal est contido), como propomos um trabalho
com material concreto para no haver nessecidade de estar cortanto pedao de madeira,
por exemplo, para se obter a prxima fase, construiremos os fractais passando a nveis
consecutivos por ampliao das escalas, lembrando essa prtica no mudar o sentido da
interpretao do fractal, ou at mesmo desconfigurao do mesmo.
4
8/2/2019 Texto Construindo fractais
5/19
2.2 Material Necessrio
Para a construo dos fractais listados abaixo o material necessrio mais adequado
um conjunto de peas quadradas, de madeira (com pequena espessura).Fractais a serem construidos:
2.2.1 Fractal Trimin
A construo desse fractal simples, considere um trimin no-reto, construdo a partir
de trs quadrados, este ser considerado o nvel 1, convide os alunos para substituirem
cada quadrado por um trimin, obtendo assim o nvel 2, e da mesma maneira obtm-se
os demais nveis.
Esta uma outra forma de obter o fractal acima, atravs da seguinte construo: Con-
sidere um quadrado, divida esse quadrado em quatro outros quadrados, retire o quadrado
5
8/2/2019 Texto Construindo fractais
6/19
superior a direita, obtendo assim a primeira etapa, prossiga a construo semelhante a
primeira etapa, mas com os quadrados restantes, obtendo assim o fractal acima.
Perceba que na prtica a construo mais aconselhvel a primeira uma vez que faz-
se uso de uma extenso, ampliao de escala como j foi mensionado no texto, e no damaneira tradicional de se obter um fractal, lembre-se que o intuito utilizar materiais
concretos.
Uma pergunta que naturalmente h de surgir : O que estudar a partir desse fractal?
Uma resposta bastante sugestiva o processo de contagem de quadrados que compe
cada etapa, por exemplo:
1. etapa 1: 3 quadrados = 31 quadrados
2. etapa 2: 3 3 quadrados = 32 quadrados
3. etapa 3: 3 3 3 quadrados = 33 quadrados...
4. etapa n: 3 3 3 nvezes
quadrados = 3n quadrados
Note que o processo de contagem dos quadrados em cada etapa do fractal acima, re-
sultou em uma sequncia crescente, mais especificamente uma PG de razo 3, sendo assim
possvel descobrimos quantos quadrados havero em cada etapa seguinte, sem precisar
constru-las, basta ensinar o conceito de Progresso Geomtrica e suas propriedades.
2.2.2 Fractal Tetramin
Construo: Considere um tetramin formado por quatro peas quadrados, esse tetram-
in obtido a partir de um quadrado que foi subdividido em nove quadrados e foram reti-
rados os quadrados menores que pertenciam a diagonal do quadrado maior, pessa para os
alunos substituirem cada quadrado por um outro tetramin obtedo assim a fase seguintecontinue o processo at uma quantidade conveniente. Abaixo est a imagem que ser
construida.
1. etapa 1: 4 quadrados = 41 quadrados
2. etapa 2: 4 4 quadrados = 42 quadrados
3. etapa 3: 4 4 4 quadrados = 43 quadrados...
4. etapa n: 4 4 4 nvezes
quadrados = 4n quadrados
6
8/2/2019 Texto Construindo fractais
7/19
Se voc dispuzer de muitas peas quadradas (por exemplo, 729 peas) tente fazer a
construo desse mesmo fractal por remoo de peas como mostra a imagem abaixo. Esta
construo por remoo dos quadrados que pertencem a diagonal de cada quadrado que
forma cada etapa.
2.2.3 Fractal T
Construo:Considere um pentamin em forma de T, composto por cinco peas quadradas de
madeira em forma de T, pessa para os alunos substituirem cada quadrado por um penta-
min e assim sucessicamente, obtendo o seguinte fractal.
7
8/2/2019 Texto Construindo fractais
8/19
Se voc dispuzer de muitas peas quadradas (por exemplo, 729 peas) tente fazer a
construo desse mesmo fractal por remoo de peas como mostra a imagem abaixo.
Divida o quadrado maior em nove quadrados retire quatro quadrados das laterais (dois
de cada lado) com a inteno de deixar quatro quadrados em forma de T, prossiga dessa
mesma forma como mostra a figuara abaixo:
2.2.4 Fractal Heptamin - H
Construo:
Considere um heptamin em forma de H, composto por sete peas quadradas de
madeira em forma de H, pessa para os alunos substituirem cada quadrado por um hepta-
min e assim sucessicamente, obtendo o seguinte fractal.
8
8/2/2019 Texto Construindo fractais
9/19
Se voc dispuzer de muitas peas quadradas (por exemplo, 729 peas) tente fazer a
construo desse mesmo fractal por remoo de peas como mostra a imagem abaixo. Esta
construo por remoo dos quadrados que pertencem ao extremo da coluna central de
quadrados que foramam o quadrado maior.
2.2.5 Tapete de Menger
Tome um quadrado formado por nove quadradinhos, retire o quadradinho central,
obtendo assim o nvel 1, para a segunda etapa, substitua cada quadradinho por um
quadrado do nvel 1 e assim sucessivamente , como mostra a imagem abaixo.
9
8/2/2019 Texto Construindo fractais
10/19
Se voc dispuzer de muitas peas quadradas (por exemplo, 729 peas) tente fazer a
construo desse mesmo fractal por remoo de peas como mostra a imagem abaixo.
Esta construo por remoo do quadrado central.
2.2.6 Tapete semelhante a Menger
Tome um quadrado formado por nove quadradinhos, retire o quadradinho a direita da
linha central, obtendo assim o nvel 1, para a segunda etapa, substitua cada quadradinhopor um quadrado do nvel 1 e assim sucessivamente , como mostra a imagem abaixo.
10
8/2/2019 Texto Construindo fractais
11/19
Se voc dispuzer de muitas peas quadradas (por exemplo, 729 peas) tente fazer a
construo desse mesmo fractal por remoo de peas como mostra a imagem abaixo.
Esta construo por remoo do quadrado da lateral direita da linha central.
2.2.7 Criando Carto Fractal
Este carto ser desenvolvido basicamente utilizando tesoura, e cartolina. Uma ativi-
dade prtica que pode ser bastante prazerosa em sala de aula, e ao mesmo tempo em que
instrui, desperta o lado ldico no aluno, como o caso da construo de um carto fractal
que no to complicado de se fazer.
Construo: Os materiais a serem utilizados so tesoura e cartolina cortada do tamanho
da uma folha de papel A4.
Carto Quartil Central
Das etapas:
1. Primeiro passo para a primeira gerao pegue uma folha de cartolina j cortada no
tamanho de uma folha A4.
11
8/2/2019 Texto Construindo fractais
12/19
2. dobre a folha ao meio, ao longo de sua altura (linha tracejada), como mostra a
figura.
3. com a folha dobrada ao meio faa dois cortes verticais simtricos a uma distncia x
das extremidades da folha, de altura x como mostra a figura abaixo.
4. dobre o retngulo formado para cima, fazendo um vinco na dobra, como mostra a
figura abaixo.
5. volte o retngulo dobrado (folha dobrada) para a posio inicial e puxe o centro da
figura em relevo. Podemos dizer que esta a primeira gerao do carto fractal.
12
8/2/2019 Texto Construindo fractais
13/19
6. prossiga da mesma forma, como mostra a figura abaixo.
7. Obter neste nvel o seguinte carto
8. O objetivo conseguir chegar ao fractal abaixo.
13
8/2/2019 Texto Construindo fractais
14/19
O carto fractal (Sierpinski gasket)
Das etapas:
1. Dobre ao meio uma folha de cartolina (tamanho A4).
2. Aps dobrar, corte ao meio e dobre a parte cortada, vide figura abaixo.
3. prossiga da mesma forma nas prximas etapas, como mostra a figuara abaixo.
O objetivo conseguir construir o seguinte carto fractal
14
8/2/2019 Texto Construindo fractais
15/19
Carto Cubos Contrrios
Das etapas:
1. Recorte o retngulo abaixo nas linhas contnuas.
2. Dobre nas linhas pontilhadas, obtendo assim o seguinte fractal.
15
8/2/2019 Texto Construindo fractais
16/19
Captulo 3
Estudo dos fractais apresentados
3.1 Propriedades
1. Nmero de quadrados utilizados
2. rea
3. Estudo de PG
Faamos algumas investigaes matemticas acerca dos fractais expostos neste tra-
balho.
Fractal Trimin (por ampliao de escala)
Estudo de PG
etapa 1: 3 quadrados = 31 quadrados
etapa 2: 3 3 quadrados = 32 quadrados
etapa 3: 3 3 3 quadrados = 33 quadrados...
etapa n: 3 3 3
nvezes
quadrados = 3n quadrados
Obtemos uma PG crescente de razo 3 e o primeiro termo, a1 = 3.
Fractal Trimin (por remoo)
Estudo de PG
etapa 0: 1 quadrados = 30 quadrados
etapa 1: 3 quadrados = 31 quadrados
etapa 2: 3 3 quadrados = 32 quadrados...
etapa n - 1: 3 3 3 (n1)vezes
quadrados = 3n1 quadrados.
Obtemos uma PG crescente de razo 3 e o primeiro termo, a1 = 1.
16
8/2/2019 Texto Construindo fractais
17/19
Representao grfica
A representao a seguir referente a PG obtida pelo fractal acima descrito (trimin
- por ampliao de escala)
Estudo de rea, assuma uma rea inicial X, antes de qualquer iterao.
etapa 0: rea = X
etapa 1: rea= 3X4
=34
1X
etapa 2: rea =9X
16 = 3
42X
etapa 3: rea = 27X64
=34
3X
...
etapa n: rea =3
4
3
4
3
4 nvezes
X =34
nX
Obtemos uma PG decrescente de razo 34
e o primeiro termo, a1 = X Se X = 100
teremos a seguinte representao grfica.
17
8/2/2019 Texto Construindo fractais
18/19
Analogamente pode-se trabalhar os demais fractais citados neste trabalho, com n-
fase semelhante as quais foram feitas, como o caso da relao com PG, clculo de
rea, representao grfica, pode at mesmo fazer uma analogia grfica com funo
exponencial.
Carto Fractal
Analisando as etapas de construo podemos construir duas tabelas atravs das
anlises do carto fractal, so elas:
Tabela 1
Etapa No de paraleleppedos (NP) No de paralelepdedos novos (NPN)
0 1 2
0
= 11 3 21 = 2
2 7 22 = 4
n 2n+1 1 2n
Graficamente temos:
Estudo de PG
Atravs da tabela e da representao grfica podemos perceber uma PG na terceira
coluna, grfico NPN, sendo esta de razo 2 e termo inicial igual a 1. Note ainda
que a segunda coluna d origem a uma sequncia que no uma PG, no entanto, se
subtrairmos o segundo termo pelo primeiro, o terceiro termo pelo segundo e assim
sucessivamente, obteremos a seguinte sequncia (2, 4, 8, 16, . . .) que uma PG derazo 2 com o primeiro termo igual a 2.
18
8/2/2019 Texto Construindo fractais
19/19
3.2 Bibliografia
[1] ALMEIDA, T. B.; MARTINELLI, R. O.; RODRIGUES V. M.; SILVA, A.
M. M.FRACTAIS NO ENSINO FUNDAMENTAL: EXPLORANDO ESSANOVA GEOMETRIA.
[2] RINALDI R. M.; MENEZES M. dos S. GEOMETRIA FRACTAL: UMA
NOVA PROPOSTA PARA O ENSINO DO DESENHO GEOMTRICO.
[3] OLIVEIRA, D. A GEOMETRIA FRACTAL NO ENSINO FUNDA-
MENTAL E MDIO.
[4] BARBOSA, R.M.DESCOBRINDO A GEOMETRIA FRACTAL para a
sala de aula.
Top Related