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GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA FUNDAÇÃO DE APOIO À ESCOLA TÉCNICA - FAETEC
INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DO RIO DE JANEIRO – ISERJ
TRABALHO DE MATEMÁTICA - NÍVEL: ENSINO MÉDIO - PROFª: TELMA CASTRO SILVA CURSO: Secretariado Escolar SÉRIE: 2ª TURMA: 1.209 DATA: 10/4/2013
ALUNO(A):________________________________________ Nº:_____
Logaritmos
DEFINIÇÃO: Chama-se logaritmo de um número "b" na base "a" ("a" e "b" reais, positivos e "a" diferente de
1), o expoente que se deve dar à base "a", de modo que a potência obtida seja igual a "b".
logab = x => b = ax
Consequências da definição:
O logaritmo de 1, em qualquer base, é igual a zero:
loga 1 = 0, pois a0 = 1
O logaritmo da base, qualquer que seja, é igual a 1:
loga a = 1, pois a1 = a
A potência de base a e expoente loga b é b:
aloga b
= b
Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos, também, são iguais:
logab = logac => b = c
Algumas vezes, precisaremos utilizar algumas propriedades para auxiliar o seu cálculo. São as seguintes:
1) Logaritmo do Produto: Em qualquer base a (0 < a diferente de 1), o logaritmo do produto de dois fatores reais
positivos é igual à soma dos logaritmos dos fatores.
( )
2
2) Logaritmo do Quociente: Em qualquer base a (0 < a diferente de 1), o logaritmo do quociente de dois fatores
reais positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.
(
)
3) Logaritmo da Potência: Em qualquer base a (0 < a diferente de 1), o logaritmo de uma potência de base real
positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
Destas, você também tira:
- definição de cologaritmo: oposto do logaritmo de b na base a (colog de b na base a = - log de b na base a =
log (1/b) na base a)
- log da raiz n-ésima de b na base a = log de (b elevado a 1/n) na base a = 1/n . log b na base a.
Outra operação que pode ser necessária à facilitação dos cálculos dos logaritmos é a chamada “Mudança de
Base”.
logab = a
b
c
c
log
log
O cálculo dos logaritmos era muito utilizado para realizar contas com números de grandezas extremas:
muito grandes ou muito pequenos. Para isso, eram usadas as propriedades e a Tábua de Logaritmos nos
números expressos em produtos por potências de dez.
Com a invenção das calculadoras eletrônicas, esta prática ficou obsoleta. Os cálculos de logaritmos são
estudados nos meios acadêmicos para resolução de equações que peçam este cálculo. Na verdade, são
enfatizadas as propriedades e sua aplicação.
ATIVIDADES
1) Utilizando este pequeno resumo, calcule estes logaritmos, usando a sua definição:
a) log3 27 d) log25 0,008 g) log 10000
b) log4
1 = 128 e) log2 64 h) log8 24
1
c) log5 3125 f) log 3 3 4 3 i) log8 32
3
2) Desenvolva as expressões a seguir, aplicando as propriedades operatórias (a, b e c são reais positivos)
a) log3
ac
b3
b) log2
b
c
5
3
c) log5
3
2
a
bc
d) log2 4
3 3
8a
cb
3) Dê a expressão logarítmica que equivale a
a) log3 a – log3 c + log3 b
b) 5 log3 b + log3 c – 2 log3 a
c) 5 log b – log a + 2 log c + 2
4) Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule
c
ba 2.log .
5) Sendo logx 2 = a , logx 3 = b calcule 3 12log x .
6) Sendo loga 2 = 20 , loga 5 = 30 calcule 100loga .
7) Resolva as seguintes equações:
a) 29log 3 x b) 2102log4 x c) 21loglog 32 x
d) 27log 2
1 xx e) 6log1log3log 222 x
f) 11log2log 33 x
g) xx log2loglog2 h) 21log72log 2
2
2 xxx
8) Determine a solução da equação: 72log13log2log 222 xxx
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