TEORIA GERAL DE EQUAÇÕES
CONSTITUTIVAS I
por Hilbeth Azikri ([email protected])
LACIT - Laboratório de Ciências Térmicas
(http://www.ppgem.ct.utfpr.edu.br/lacit)
NuMAT - Núcleo de Mecânica Aplicada e Teórica
(http://www.numat.ct.utfpr.edu.br)· · · · · · · · ·
Apoio: Agência Nacional do Petróleo - ANP (no. 0050.0064.585.11.9)
Introdução e Perspectivas
• As notas aqui apresentadas abordam um conteúdo que visa
levar o expectador a percorrer alguns tópicos fundamentais
em termodinâmica dos meios contínuos que servem de su-
porte a diversos temas dentro da mecânica teórica e aplicada
(dinâmica dos uidos não Newtonianos, deformações nitas,
mecânica do dano, plasticidade, viscoplasticidade, contato
unilateral e demais processos termodinamicamente irrever-
síveis.).
1
Escopo
1. Cinemática de Um Corpo Deformável;
2. Princípio das Potências Virtuais;
3. Primeiro e Segundo Princícpios da Termodinâmica;
4. Princípios da Teoria Constitutiva;
5. Bibliograa Recomendada.
2
1 Cinemática de Um Corpo Deformável
Seja E um espaço am associado a um espaço vetorial Eucli-
diano tridimensional V. Denotando por Lin o espaço vetorial
dos endomorsmos de V (isomorco ao espaço dos tensores de
segunda ordem) e por Sym o subespaço daqueles que são simétri-
cos.
Denição 1 Um corpo B é uma região regular do espaço Eucli-
diano E. Os elementos de B são chamados de pontos materiais.
Observação 2 B também é denotado como conguração de
referência.
3
1. Cinemática de Um Corpo Deformável
Denição 3 Uma deformação de B é um mapeamento suave
um-a-um F que mapeia B em uma região fechada de E e satisfaz
det(∇F) > 0.
Denição 4 O movimento de of B é um mapeamento de classe
C3, X : B ×R→ E, com X(·, t) para a deformação de B em cada
instante xo t.
4
1. Cinemática de Um Corpo Deformável
Referenciamo-nos a x = X(p, t) como a posição ocupada pelo
ponto material p no instante t, enquanto Bt = X(B, t) é a região
ocupada pelo corpo B no instante t.
Denição 5 Denota-se por trajetória de um movimento o con-
junto T = (x, t) : x ∈ Bt, t ∈ R.
5
1. Cinemática de Um Corpo DeformávelTomando P (·, t) : Bt → B o mapeamento inverso de X(·, t). En-
tão o mapeamento P : T → B fornece o ponto material que
ocupa a posição x num instante t. Este é também denominado
de mapeamento de referência do movimento. Designamos por
X(p, t) a velocidade e X(p, t) a aceleração do ponto material p
no instante t.
Observação 6 Designaremos doravante ˙(.)-derivada material e
(.)′-derivada espacial.
6
1. Cinemática de Um Corpo DeformávelCampos denidos em T são chamados de campos espaciais (ou
Eulerianos), enquanto que campos denidos em B×R são chama-
dos de campos materiais (ou Lagrangeanos).
Denição 7 Seja Ψ : B × R → T o mapeamento dado por
Ψ(p, t) := (X(p, t), t), e cuja inversa é dada por Ψ−1(x, t) =(P (x, t), t).
Observação 8 Seja φ um campo espacial, então sua descrição
material ca φm = φ Ψ, analogamente se ϕ é um campo mate-
rial, então sua representação espacial ca ϕs = ϕ Ψ−1.
7
1. Cinemática de Um Corpo DeformávelO vetor u(p, t) = X(p, t) − p representa o deslocamento de p no
instante t enquanto que o gradiente do movimento é o campo
tensorial denido por F (p, t) := ∇X(p, t) ∴ F (p, t) = I +∇u(p, t).Este gradiente fornece informações da deformação local do corpo,
porém não é o único dentre os demais pode-se citar C := FTF e
B := FFT , que são chamados respectivamente de tensor defor-
mação de Cauchy-Green a direita e a esquerda. Outra medida
seria o tensor deformação de Green-Lagrange (algumas vezes
chamado de Green-Saint Venant) denido por
G =1
2(C − I),
cuja parte linear dene o tensor deformação innitesimal
ε =1
2(∇u+ (∇u)T ),
8
1. Cinemática de Um Corpo Deformável
Denição 9 Seja Bt uma conguração C1. Assim F (p, t) : Tp(B)→TX(p,t)(Bt) é uma tranformação linear para cada p ∈ B em que
TY (Ω) designa o espaço tangente a Ω em Y ∈ Ω. Então o tensor
F (p, t), em que x = X(p, t), é dado por
Fij(p, t) =∂Xi(p, t)
∂pj.
Denição 10 O tensor deformação de Green, ou de Cauchy-
Green a direita, C é denido por:
C(p, t) : TpB → TpB, C(p, t) := F (p, t)TF (p, t),
ou mais concisamente C = FTF .
9
1. Cinemática de Um Corpo Deformável
Denição 11 Seja Bt uma conguração C1. O tensor defor-
mação de Finger, ou Cauchy-Green a esquerda, B é denido
por:
B(x, t) : TX(p,t)(Bt)→ TX(p,t)(Bt), B(x, t) := F (p, t)F (p, t)T ,
em que p = P (x, t), ou mais concisamente B = FFT .
Lema 12 Seja V um espaço de dimensão nita com produto
interno, e seja A : V → V, uma transformação linear simétrica
positiva denida, ou seja, A = AT e 〈Av, v〉 > 0, ∀v ∈ V com
v 6= 0. Então existe uma única transformação linear simétrica
positiva denida B : V → V tal que B2 = A.
Dem. 13 Dica: Tome BΦi =√λiΦi, A com autopares (λi,Φi)i.
10
1. Cinemática de Um Corpo Deformável
Denição 14 Sejam Bt regular e C e B como denidos ante-
riormente. Sejam agora U e V as únicas transformações lineares
simétricas positivas denidas tais que U2 = C e V 2 = B, em que
para cada x = X(p, t) ∈ Bt tem-se V (x, t) : TxBt → TxBt e para
cada p ∈ B tem-se U(p, t) : TpB → TpB.
Proposição 15 Seja Bt regular. Para cada p ∈ B existe uma
transformação ortogonal R(p, t) : TpB → TxBt, ou seja, R(p, t)TR(p, t)= I (identidade em TpB) e R(p, t)R(p, t)T = I∗ (identidade em
TxBt), tal que cada uma destas decomposições é única
F = RU ⇒ F (p, t) = R U(p, t);
F = V R⇒ F (p, t) = V R(p, t).
Dem. 16 Dica: Tome R = FU−1.
11
1. Cinemática de Um Corpo Deformável
A distribuição de massa na conguração de referência B é denidapor ρo(p) = B → R+. Assim, como consequencia da conservação
da massa, tem-se
ρ(x, t) = det(F (p, t))ρo(p).
Lema 17 Seja Φ um campo espacial (i. e. denido na trajetória
de um movimento X). Então para qualquer parte P e instante
t, tem-se
d
dt
∫PtρΦdVx =
∫PtρΦdVx.
Dem. 18 Exercício !!!
12
1. Cinemática de Um Corpo Deformável
Denição 19 Denotando N como o conjunto dos vetores unitá-
rios do espaço linear V, um sistema de força para um corpo Bdurante o movimento X é um par (s, b) de campos vetoriais
s : N × T → V e b : T → V com s(n, x, t), para cada n ∈ N e t,
uma função suave de x ∈ Bt, e b(x, t), para cada t, uma função
contínua de x ∈ Bt.
Observação 20 O campo vetorial s representa a densidade de
uma força externa supercial através de uma superfície orientada
S com um vetor unitário normal positivo n no ponto x (hipótese
de Cauchy). O campo vetorial b é a força de corpo, por unidade
de volume, exercida pela "natureza" do corpo em x.
13
1. Cinemática de Um Corpo Deformável
Conservação da Massa
ρ′+ div(ρv) = 0 ou ρ+ ρdiv(v) = 0;d
dt
∫PtρdVx =
∫∂Pt
ρv · ndAx.
Quantidade de Movimento Linear
d
dt
∫PtρvdVx =
∫∂Pt
s(n)dAx +∫PtbdVx;
(ρv)′+ div(ρv ⊗ v) = divT + b ou ρv = divT + b.(?)
Observação 21 (Teorema de Cauchy ?) ∃T : T → Sym (campo
tensorial simétrico de segunda ordem chamado tensor tensão de
Cauchy) tal que s(n, x, t) = T (x, t) ·n(= T (x, t)n, por simetria)⇔Os axiomas de Euler são válidos.
14
2. Princípio das Potências Virtuais
Teorema 22 Para cada parte P ⊂ B e instante t tem-se
d
dt
∫Ptρ|v|2
2dVx +
∫PtT : DdVx =
∫∂Pt
s(n) · vdAx +∫Ptb · vdVx,
em que D = L+LT
2 (L = grad(v)).
Observação 23 O formalismo apresentado deixa claro que se
os movimetos são descritos apenas com v e ∇v, os esforços
internos são descritos, obrigatoriamente por um tensor simétrico.
O princípio das potências virtuais fornece as equações de balanço
e as condições de contorno adequadas para o problema físico
(dependência de V).15
2. Princípio das Potências Virtuais
Dem. 24 Dica: Segue da fórmula de Green∫Ptdiv(T ) · vdVx =
∫∂Pt
Tn · vdAx −∫PtT : ∇vdVx;
=∫∂Pt
s(n) · vdAx −∫PtT : DdVx,
tem-se ainda
∂
∂t
∫Ptρ|v|2
2dVx =
∫Ptρv · vdVx;∫
Ptρv · vdVx =
∫Ptdiv(T ) · vdVx +
∫Ptb · vdVx.
16
3. Primeiro e Segundo Princícpios da Termodinâmica
Denição 25 Um sistema de calor para um corpo B durante
um movimento (com trajetória T ) é o par (g, f) de funções g :N × T → R e f : T → R em que
1. g(n, x, t), para cada n ∈ N e t, é uma função suave de x em
Bt;
2. f(x, t), para cada t, é uma função contínua de x em Bt.
Designa-se g como o calor supercial (taxa de calor por unidade
de área) e f o calor corpóreo (taxa de calor por unidade de
volume).
17
3. Primeiro e Segundo Princícpios da Termodinâmica
Denição 26 A taxa de calor fornecida a uma parte P do corpo
em um instante t pode ser escrita como
Q(P, t) = −∫∂Pt
g(n)dAx +∫PtfdVx.
Fato 27 Considere um sistema de forças (s, b) e um sistema de
calor (g, f) durante um movimento X de um corpo B. A lei da
conservação de energia (também chamada de primeiro princípio
da termodinâmica) arma que existe um campo escalar E, a
energia especíca total do sistema, tal que para cada parte P do
corpo em um instante t tem-se
d
dt
∫PtρEdVx =
∫∂Pt
s(n) · vdAx +∫Ptb · vdVx +Q(P, t).
18
3. Primeiro e Segundo Princícpios da Termodinâmica
Teorema 28 Supondo que as equações de balanço (massa e
quantidade de movimento linear e angular)sejam satisfeitas, en-
tão o primeiro princípio da termodinâmica é satisfeita ∃q (um
campo espacial vetorial, chamado de uxo de calor) tal que
1. para cada n ∈ N tem-se g(n, x, t) = q(x, t) · n;
2. ρE = div(T · v) + b · v − div(q) + f .
Dem. 29 Exercício !!!
19
3. Primeiro e Segundo Princícpios da Termodinâmica
Corolário 30 Assumindo que o primeiro princípio da termodi-
nâmica é satisfeito, então para cada t ∈ R e qualquer campo
escalar z : Bt → R, tem-se∫PtρEzdVx +
∫PtTv · ∇zdVx =
∫∂Pt
s(n) · vzdAx +∫Ptb · vzdVx
−∫∂Pt
g(n)zdAx +∫PtfzdVx, ∀P ⊂ B.
Dem. 31 Exercício !!!
20
3. Primeiro e Segundo Princícpios da Termodinâmica
Proposição 32 Denotando o campo escalar e = E − |v|2
2 como
a energia interna especíca, tem-se
d
dt
∫PtρedVx =
∫PtT : DdVx −
∫∂Pt
g(n)dAx +∫PtfdVx, ∀P ⊂ B;
ρe = T : D − div(q) + f.
Dem. 33 Exercício !!!
21
3. Primeiro e Segundo Princícpios da Termodinâmica
Fato 34 Considere um sistema de calor (g, f) durante um movi-
mento X de um corpo B, o segundo princípio da termodinâmica
arma que existe um campo escalar s, entropia especíca, e um
campo escalar estritamente positivo θ, tais que
d
dt
∫PtρsdVx ≥ −
∫∂Pt
q · nθdAx +
∫Pt
f
θdVx,
para toda parte P ∈ B e instante t. As quantias
S(P, t) =∫PtρsdVx;
−∫∂Pt
q · nθdAx +
∫Pt
f
θdVx,
são chamadas respectivamente de enetropia (S) e taxa de en-
tropia fornecida (soma) a uma parte P num instante t.
22
3. Primeiro e Segundo Princícpios da Termodinâmica
Observação 35 Pode-se escrever ainda, considerando adicional-
mente um sistema de forças (s, b) durante um movimento X de
um corpo B, tem-se:
ρs + div(qθ
)− f
θ ≥ 0 e ρθs− ρe+ T : D − 1θq · ∇θ ≥ 0.
Denição 36 Considerando um sistema de calor (g, f) e um sis-
tema de forças (s, b) durante um movimento X de um corpo B,dene-se a energia especíca livre de Helmholtz como o campo
escalar
Λ = e− sθ ∴ ρΛ + ρθs− T : D +1
θq · ∇θ ≤ 0.
23
3. Primeiro e Segundo Princícpios da Termodinâmica
Observação 37 Pode-se ainda denir outras medidas de tensão
como por exemplo 1o e 2o Piola-Kirchho, respectivamente
P(p, t) := det(F (p, t))T (x, t)F−T (p, t) = ρo∂Λ
∂F;
S(p, t) := det(F (p, t))F−1(p, t)T (x, t)F−T (p, t) = ρoF−1∂Λ
∂F.
assim a equação do balanço de quantidade de movimento linear
pode ser reescrita de diversas formas:
ρu = divP + b∗,
com b∗(p, t) = b(x, t)det(F (p, t)). Isto se deve aos pares conjuga-
dos ∫PtT : DdVx =
∫PP : ∇udVp =
∫PS : GdVp = · · · .
24
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Denição 38 Um processo termodinâmico para um corpo com
uma distribuição de massa ρo é um conjunto de oito mapeamen-
tos:
X : B × R→ E;T : T → Sym; b : T → V; e : T → R;
θ : T → R+; q : T → V; f : T → V; s : T → R,
tal que X é um movimento, T sua trajetória, T ∈ C(T ;Sym), b ∈C(T ;V), e ∈ C1(T ;R), θ ∈ C1(T ;R), q ∈ C1(T ;V), f ∈ C0(T ;R),
s ∈ C1(T ;R) e as relações seguintes são válidas:
ρv = divT + b;
ρe = T : D − div(q) + f.
25
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Observação 39 Note que para se denir um processo termodi-
nâmico é suciente é suciente prescrever os seis mapeamentos
X,T, e, θ, q e s.
Denição 40 Um corpo material é uma tripla (B, ρo, C) con-
sistindo de um corpo B, uma distribuição de massa ρo e uma
família C de perocessos termodinâmicos chamada de classe cos-
ntitutiva do corpo.
26
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Denotando Lin+ = G ∈ Lin|det(G) > 0, tem-se
Denição 41 A material hiperelástico com condução de calor
e viscosidade (Coleman-Noll) é um material que possui a classe
constitutiva de todos os processos termodinâmicos satisfazendo:
T (x, t) = T (F (p, t), s(x, t), p) + l(F (p, t), s(x, t), p)(L(x, t));
e(x, t) = e(F (p, t), s(x, t), p); θ(x, t) = θ(F (p, t), s(x, t), p);
q(x, t) = q(F (p, t), s(x, t), grad(θ), p),
para algumas funções-resposta sucientemente suaves
T : Lin+ × R× B → Sym; e : Lin+ × R× B → R;
θ : Lin+ × R× B → R+; q : Lin+ × R× V × B → V;
l : Lin+ × R× B → L(Lin, Sym).
27
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Denição 42 Dene-se um material como sendo hiperelástico
como um material elástico cuja função resposta T (.) tem a forma
T (F, s, p) = ρFhF (F, s, p)T = ρhF (F, s, p)FT , em que a função es-
calar h(F, s, p) é chamada de função energia de deformação ou
função energia acumulada.
Observação 43 Uma condição necessária e suciente para que
um material elástico ser hiperelástica é que a elasticidade Eijkl =
ρo∂2h
∂xi,j∂xk,ltenha a seguinte propriedade Eijkl = Eklij.
28
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Observação 44 Supondo as condições seguintes i) Materiais
perfeitos em movimentos a uma temperatura uniforme; ii) Ma-
teriais perfeitos em movimentos a uma entropia especíca uni-
forme; iii) Materiais simples em equilíbrio térmico a uma temper-
atura uniforme; iv) Materiais simples em equilíbrio térmico a uma
entropia especíca uniforme. A função energia de deformação
são: Λ para os casos (i) e (iii), e para os casos (ii) e (iv).
Observação 45 Em um material perfeito F e s determinam
T = ρF eF (F, s)T e θ = ρes(F, s). Em um material simples a
determinação da tensão T depende somente do histórico do gra-
diente de deformação F (T (t) = T∞t=0(F (t− t)) = T∞t=0(F (t)(t))).
29
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Princípios gerais (Apresentação Informal):
Indiferença de Referencial Material: As equações constitutivas
(C - classe cosntitutiva do corpo B) são invariantes sob transfor-
mação de observadores;
Admissibilidade Física: Todas as equações constitutivas devem
ser consistentes com as leis básicas da física (conservação da
massa, balanço dos momentos linear e angular, conservação da
energia e a desigualdade de Clausius-Duhem);
Equipresença: Uma quantia que aparece como uma variável inde-
pendente em uma equação constitutiva deve aparecer am todas
as demais equações constitutivas da classe constitutiva;
30
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Determinismo: Os valores das variáveis constitutivas em um
ponto material x de um corpo Bt em um instante t são determi-
nadas pela história dos movimentos e temepratura de todos os
pontos do corpo;
Ação Local: As variáveis constitutivas dependentes em x não são
substancialmente afetadas por valores de variáveis independentes
em pontos materiais distantes de x;
Simetria Material: As equações constitutivas devem ser invari-
antes em forma com respeito a um grupo G de transformações
unimodulares da conguração de referência.
31
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Denição 46 Um tensor H ∈ G (grupo de simetria material) do
ponto material p se
T (FH(p)) = T (F (p)), ∀F t.q.det(F ) > 0.
Observação 47 Um grupo de simetria material G é um conjunto
t.q. i) I ∈ G, ii) se M,N ∈ G ∴ MN ∈ G e iii) se M ∈ G, ∃M−1 ∈ Gt.q. M−1M = MM−1 = I.
Observação 48 Pode-se denir: uido se G = M |det(M) =
1, sólido se G ⊂ M |MMT = I e det(M) = 1 e isotrópico se
G = M |MMT = I e det(M) = 1.32
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Teorema 49 Considere uma material de Coleman-Noll com uma
classe constitutiva C. Assuma como hipótese que existe uma
função sufucientemente suave, s : Lin+ × R+ × B → R, tal quese s ∈ R, F ∈ Lin+, θ ∈ R+ e p ∈ B, então s = s(F, θ, p) ⇔ θ =θ(F, s, p). Então todos os elementos de C satisfazem o segundo
princípio da termodinâmica se e somente se
θ(F, s, p) =∂e
∂s(F, s, p);
T (F, s, p) =ρo(p)
det(F )
∂e
∂F(F, s, p)FT ;
l(F, s, p)(L) : L ≥ 0;
q(F, s, w, p) · w ≤ 0,
para todo F ∈ Lin+, s ∈ R, p ∈ B, L ∈ Lin e w ∈ V.33
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Observação 50 Note que a hipótese do teorema anterior im-
plica que ∂s∂θ(F, θ, p) 6= 0, ∀F ∈ Lin+, θ ∈ R+ e p ∈ B. De fato
s = s(F, θ(F, s, p), p)⇒ 1 = ∂s∂θ(F, θ, p)∂θ∂s(F, s, p) com θ = θ(F, s, p),
o que implica no resultado.
Observação 51 Pode-se mostrar ainda que supondo µ(A) =det(A) sucientemente suave, com A invertível, então:
1. ∂µ∂A(A)(U) = det(A)tr(UA−1), ∀U ∈ Lin;
2. µ(A) = det(A)tr(AA−1).
34
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Denição 52 Dois processos termodinâmicos (X,T, b, e, θ, q, f, s)
e (X∗, T ∗, b∗, e∗, θ∗, q∗, f∗, s∗) estão relacionados por uma mudança
de observador se existem duas funções C3: y : R → E e Q : R →Orth+ tal que
X∗(p, t) = y(t) +Q(t)(X(p, t)− o);
T ∗(x∗, t) = Q(t)T (x, t)QT (t);
e∗(x∗, t) = e(x, t);
θ∗(x∗, t) = θ(x, t);
q∗(x∗, t) = Q(t)q(x, t);
s∗(x∗, t) = s(x, t),
para algum o ∈ E, com x = X(p, t) e x∗ = X∗(p, t).
35
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Denição 53 Diz-se que um corpo material se comporta de
forma independente do observador de sua classe constitutiva,
C, possui a seguinte propriedade: Se (X,T, b, e, θ, q, f, s) ∈ C e
(X∗, T ∗, b∗, e∗, θ∗, q∗, f∗, s∗) é outro processo termodinâmico rela-
cionado no sentido previamente denido (relacionados por uma
mudança de observador), então (X∗, T ∗, b∗, e∗, θ∗, q∗, f∗, s∗) ∈ C.
Denição 54 Diz-se que um corpo material satisfaz o princípio
da indirefrença de referencial material se sua função-resposta é
independente do observador, no sentido da denição acima.
36
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Observação 55 Refere-se ao tensor anti-simétrico Q(t) como a
rotação do referencial, como consequência o tensor Q(t)QT (t) =Ξ(t) também é anti-simétrico e representa a taxa com a qual o
novo referencial rotaciona.
Proposição 56 Considere um material de Coleman-Noll, se este
satisfaz o princípio da indiferença de referencial material então
as seguintes condições são satisfeitas:
e(F, s, p) = e(QF, s, p); θ(F, s, p) = θ(QF, s, p);
QT (F, s, p)QT = T (QF, s, p);
Ql(F, s, p)(L)QT = l(QF, s, p)(QLQT + W);
Qq(F, s, w, p)QT = q(QF, s, Qw, p),
para todo F ∈ Lin+, s ∈ R, p ∈ B, L ∈ Lin, Q ∈ Orth+ e W ∈ skw.37
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Observação 57 Pode-se mostrar ainda que: F ∗(p, t) = QF (p, t),
U∗(p, t) = U(p, t), C∗(p, t) = C(p, t), V ∗(x∗, t) = QV (x, t)QT ,
B∗(x∗, t) = QB(x, t)QT , L∗(x∗, t) = QL(x, t)QT + Ξ, W ∗(x∗, t) =
QW (x, t)QT +Ξ, D∗(x∗, t) = QD(x, t)QT , e grad∗(θ∗) = Qgrad(θ),
com D = sym(L) e W = skw(L).
Observação 58 Suponha que a mudança de referencial de para
um campo tensorial seja dada de forma análoga que D, será
que D satisfaz o princípio da indiferença de referencial material
? (D∗ = QDQT + ΞD∗ −D∗Ξ).
38
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Exemplo 59
D = D +DW −WD (taxa corrotacional);
?D = D +DL+ LTD (taxa covariante);
4D = D − LD −DLT (taxa contravariante).
39
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Denição 60 Dene-se um material hipoelástico como um ma-
terial simplessujeito as seguintes condições constitutivas:
• o funcional resposta T satisfaz a seguinte identidade T (t) =
T∞t=0(F (t)(t)) = T∞t=0(F (t)(π(t))), ∀F ∈ Dom(T), com π(0) =
0 e limt→∞ π(t) =∞;
• ∃G(T, L) continuamente diferenciável numa vizinhança de L
identicamente nulo t.q. T = G(T, L).
40
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Material hipoelástico de grau zero:oτ =
o
det(F )T = 2G(D + νtr(D)
1−2ν I),
como() = () + ()Ξ−Ξ() (taxa do tipo corrotacional), em que Ξ
representa o tensor spin.
Jaumann (Corrotacional):
ΞJ = W ;
Green-Naghdi (Corrotacional):
ΞR = RRT = W +∑ni=1
(∑nk=1,k 6=i
bk−bibk+bi
BiDBk);
41
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Logaritma (Corrotacional):
ΞL = W +∑ni=1
(∑nk=1,k 6=i
(bk+bibk−bi
− 1ln(bk)−ln(bi)
)BiDBk
);
Truesdell (não Corrotacional) Oldroyd (não Corrotacional)
oσ = σ − σLT − Lσ + σtr(D)
oτ = τ − τLT − Lτ ;
Cotter-Rivlin (não Corrotacional)
oτ = τ + τLT + Lτ ;
42
4. Princípios da Teoria ConstitutivaXiao, H., Bruhns, O. T., Meyers, A., Choice of objective rate in single pa-
rameter hypoelastic deformation cycles. Computers and Structures 84 (2006)
11341140.
43
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Especicação: ν = 0.3, ab
= 0.1 e bH
= 0.02.
44
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Especicação: ν = 0.3, ab
= 0.1 e bH
= 0.02.
45
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Especicação: ν = 0.3, ab
= 0.1 e bH
= 0.1.
46
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Especicação: ν = 0.3, ab
= 0.1 e bH
= 0.1.
47
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Especicação: ν = 0.3, ab
= 1 e bH
= 0.02.
48
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Especicação: ν = 0.3, ab
= 1 e bH
= 0.1.
49
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Especicação: ν = 0.3, ab
= 5 e bH
= 0.1.
50
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Especicação: ν = 0.3, ab
= 5 e bH
= 0.1.
51
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Rigid-viscoplastic Fluids
TA = −aA, TP = T + P I, D =⟨Fk
⟩n ∂F∂TP
eoA =
⟨Fk
⟩n ∂F∂TA
, com
n ≥ 0, k > 0 e 〈.〉 = max0, ..
F = T vm(TP + TA)− Ty com T vm(TP + TA) = 32(TP + TA)dev :
(TP + TA)dev12.
D =oA = 3
2
⟨T vm(TP+TA)−Ty
k
⟩n(TP+TA)devT vm(TP+TA)
∴ A = ε.
Cisalhamento puro: v1 = γx2, v2 = v3 = 0 considerandoo() =
() + ()Ξ−Ξ() com Ξ = W − η(AD −DA).
52
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Da relação D =oA, tem-se
A11 − 2γ[1− 2ηA11]A12 = 0;
A12 − 2γ[1− 2ηA11]A11 = γ;
A22 = −A11;A13 = A23 = A33 = 0,
e deste modo segue que
γ =
√3
2
⟨√3|T12 − aε12| − Ty
k
⟩n(T12 − aε12)
|T12 − aε12|;
T11 = −T22 = −TA11 = aε11, T13 = T23 = T33 = 0,
ou T12 =Ty√
3+ aε12 + k√
3
(2γ√
3
)1n.
53
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Costa Mattos, H. S., A thermodynamically consistent constitutive theory for
uids. Int. J. Non-Linear Mechanics, Vol 33, No. 1, pp. 97-110, 1998.
54
4. Princípios da Teoria Constitutiva
Especicação: η = 0 ∴ A11(t) = ε11(t) = 12[1 − sen(2γt)] e A12(t) = ε12(t) =
12sen(2γt)
55
56
5. Bibliograa Recomendada
[1] C. Truesdell and W. Noll, The Non-linear Field Theory of
Mechanics, 3th edition, Springer-Verlag, Germany, Berlin, 2004.
[2] M. Silhavy, The Mechanics and Thermodynamics of Con-
tinuous Media, Texts and Monographs in Physics, Springer-Verlag,
Germany, Berlin, 1997.
[3] C. Truesdell, Rational Thermodynamics, 2nd edition, Springer-
Verlag, USA, New York, 1984.
[4] A. C. Eringen, Mechanics of Continua, Wiley, USA, New
York, 1980.
57
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