8/16/2019 Teoria de Conjuntos 11
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TEÓRIA
DE
CONJUNTOS 5ºProfesor: LUIS GONZALO PULGARÍN R
lugopul.wordpress.com
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INDICEINRODUCCI!N
RELACION DE PERENENCIA
DEER"INACION DE CON#UNOS
DIAGRA"AS DE $ENN
CON#UNOS ESPECIALES
RELACIONES ENRE CON#UNOSCON#UNOS NU"%RICOS
UNION DE CON#UNOS
INERSECCI!N DE CON#UNOS
DI&ERENCIA DE CON#UNOS
DI&ERENCIA SI"%RICA
CO"PLE"ENO DE UN CON#UNO
PRO'LE"AS
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DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
U( co()u(*o se puede e(*e(dercomo u(+ colecc,-( o +grup+c,-(,e( def,(,d+ de o)e*os de cu+l/u,er
cl+se. Los o)e*os /ue form+( u(co()u(*o so( ll+m+dos m,emros oeleme(*os del co()u(*o.
E)emplo:E( l+ f,gur+ +d)u(*+ *,e(es u(
Co()u(*o de Perso(+s.
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NOACI!Nodo co()u(*o se escr,e e(*re ll+0es 1 2
3 se le de(o*+ med,+(*e le*r+s"A45SCULAS A6 '6 C6 ...6sus eleme(*osse sep+r+( med,+(*e com+s.
E)emplo:El co()u(*o de l+s le*r+s del +lf+e*o7 +66 c6 ...6 86 36 9. se puede escr,,r +s:
L;1 +6 6 c6 ...6 86 36 92E( *eor+ de co()u(*os (o se +cos*umr+repe*,r eleme(*os por e)emplo: El co()u(*o
186 86 86 36 36 9 2 s,mpleme(*e ser< 1 86 36 9 2.
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RELACION DE PERTENENCIA
P+r+ ,(d,c+r /ue u( eleme(*o per*e(ece+ u( co()u(*o se us+ el smolo: ∈S, u( eleme(*o (o per*e(ece + u(
co()u(*o se us+ el smolo: ∉E)emplo: Se+ " ; 1=6>6?6@6B22 M∈ ...se lee = per*e(ece +l co()u(*o "
5 M∉ ...se lee (o per*e(ece +l co()u(*o "
INDICE
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DETERMINACION DE CONJUNTOS
I POR EENSI!N
F+3 dos form+s de de*erm,(+r u( co()u(*o6por E8*e(s,-( 3 por Compre(s,-(
Es +/uell+ form+ med,+(*e l+ cu+l se(omr+( c+d+ u(o de los eleme(*os delco()u(*o.E)emplos:
A El co()u(*o de los (meros p+res m+3ores/ue 3 me(ores /ue =B.
A ; 1 ?6@6B6=6>6?6@ 2
INDICE
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' El co()u(*o de l+s co(so(+(*es.
' ; 16 c6 d6 f6 g6 H6 )686 36 9 2
II POR CO"PRENSI!NEs +/uell+ form+ med,+(*e l+ cu+l se d+ u(+prop,ed+d /ue c+r+c*er,9+ + *odos los
eleme(*os del co()u(*o.E)emplo:se puede e(*e(der /ue el co()u(*o P es*+ form+do
por los (meros P; 1 B66=6J6>[email protected]$e+mos o*ro e)emplo por compre(s,-( 3 e8*e(s,-(
A ; 1 x M x es u( (mero pr,mo me(or /ue B2 A ; 1=6 J6 6 K6 6 J6 K6 6 =J6 =6 J6 JK6 >6 >J6 >K2
P ; 1 los (meros dg,*os 2
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O*r+ form+ de escr,,r es: P ; 1 8 8 ; dg,*o 2 se lee P es elco()u(*o form+do por los eleme(*os 8 *+l /ue 8 es u( dg,*o
E)emplo:E8pres+r por e8*e(s,-( 3 por compre(s,-( el co()u(*o ded+s de l+ sem+(+.
Por E8*e(s,-( : D ; 1 lu(es7 m+r*es7 m,rcoles7 )ue0es70,er(es7 s
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D = { ……………………………………………………… }' = { nombre de los miembros de la sagrada familia }' = { ……………………………………………………………. } = {)*meros naturales ma$ores ue + pero menores ue -} = { }=. Determinar los siguientes conjuntos, escribiendo una propiedadcaracter%stica para todos los elementos. (Por compre(s,-( = { enero, febrero, mar!o}
= { …………………………………………………………………. }/ = { -, +, , 0, 1, 2, 3, 4, 5 }/ = { ……………………………………………………………. }6 = { + 7 0 7 2 7 4 7 8 }
6 = {…………………………………………………………………. }9 = { perro, gato, &aca, ballena }9 = { …………………………………………………………… }P = { :a )iña, la Pinta, :a 6anta "ar%a }P = { }
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pertenece o no pertenece#
$%%%%C 2%%%%%C $%%%%%%& 2%%%%%%&'%%%%%&
(%%%%%& )%%%%%%C '%%%%%%C *%%%%& *%%%%C 5%% C )%%%%&
2% Seg+n el diagrama completa con el !m"olopertenece o no pertenece #A, -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%.&, -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%.
C, -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%.( / & 2 / C 2 / & * / A2 / A * / & $ / C 0 / &' /C $ / & 5 / & $ / A
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AREA .Determinar los siguientes conjuntos, (Por e8*e(s,-(< listando todos sus elementos. = {letras de la palabra amistad} = {…………………………………………………………………. }C = {nombre de las niñas de tu aula}
C= {…………………………………………………………………. } = {nombre del presidente del #olombia $ Eene!uela} = {…………………………………………………………………. }: = {animales dom@sticos }:= {…………………………………………………………………. }
A = {n*meros naturales ma$ores ue 8 pero menores ue +5} A=
=. Determinar los siguientes conjuntos, Qpor compre(s,-(< escribiendo una propiedadcom*n para todos los elementos." = {man!ana, pl?tano, naranja}"= {…………………………………………………………………. }) = {%ndice, pulgar, cordial, anular, meñiue}) = {…………………………………………………………………. }
F = {do, re, mi, fa, sol, la, si}F= {…………………………………………………………………. }P = {norte, sur, este, oeste}P= {…………………………………………………………………. } = {a, b, c, d, e, f, g, G, i, j,…} = {…………………………………………………………………. }
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DIAGRAMAS DE VENN
Los d,+gr+m+s de $e(( /ue se dee( +l
f,l-sofo ,(gls #oH( $e(( Q@J>@@Js,r0e( p+r+ represe(*+r co()u(*os dem+(er+ gr
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A ; o A ; 1 2 se lee: A es el co()u(*o0+co o A es el co()u(*o (ulo
CONJUNTOS ESPECIALESCON#UNO $ACÍO
Es u( co()u(*o /ue (o *,e(e eleme(*os6*+m,( se le ll+m+ co()u(*o (ulo.Ge(er+lme(*e se le represe(*+ por los
smolos: o 1 2φ
φ
E)emplos:" ; 1 (meros m+3ores /ue 3 me(ores/ue 2
P ; 1 2 φ
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CON#UNO UNIARIOEs el co()u(*o /ue *,e(e u( solo eleme(*o.E)emplos:
& ; 1(mero /ue es pr,mo 3 p+r + l+ 0e92 &; 1 = 2G ; 1pr,mer+ le*r+ del +lf+e*o2 G;1+ 2CON#UNO &INIOEs el co()u(*o co( l,m,*+do (mero de eleme(*os.E)emplos:E ; 1 8 8 es u( (mero ,mp+r me(or /ue B 2
E; 16 J6 6 K6 2
N ; 1 8 8 es u( (mero p+r me(or /ue =B
N; 1 =6>6?6 @6B6=6>6?6@2
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CON#UNO IN&INIOEs el co()u(*o co( ,l,m,*+do (mero deeleme(*os.
E)emplos:R ; 1 8 8 T ? 2 R; 1 K6 @6 6B6 6 =6 J6 2S ; 1 8 8 es u( (mero p+r 2 S ; 1 =6>6?6 @6B6
=6>6 2
CON#UNO UNI$ERSALEs u( co()u(*o refere(c,+l /ue co(*,e(e +*odos los eleme(*os de u(+ s,*u+c,-(
p+r*,cul+r6 ge(er+lme(*e se le represe(*+por l+ le*r+ UE)emplo: U ;1 le*r+s del +lf+e*o 2
U; 1 Nmeros (+*ur+les 2 INDICE
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RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
INCLUSI!N o suco()u(*oU( co()u(*o A es*+ ,(clu,do e( o*ro co()u(*o ' 6s 3s-lo s6 *odo eleme(*o de A es *+m,( eleme(*ode 'NOACI!N : ⊂ A B
Se lee : A es*< ,(clu,do e( '6 A es suco()u(*o de'6 A es*< co(*e(,do e( ' 6 A es p+r*e de '.
REPRESENACI!N GR&ICA : 1 3 5
+- +
+3 +2 +1 ++ +0
+ 0 2 4 8' A
⊂ A B
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E)emplo: A;1 =6 >2 3 ';16 =6 J6 >6 6 ? 2
= J>
?
A
'
Observa que A está
incluido en B, por lo tanto
P = 1 m,u,r,c,i,e,l,a,g,o 2
M = 1 p, e, r, a, s 2
M ⊆ P
M no está incluido en P
⊂ A B
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CON#UNOS CO"PARA'LESU( co()u(*o A es CO"PARA'LE co( o*roco()u(*o ' s, e(*re d,cHos co()u(*os e8,s*e u(+rel+c,-( de ,(clus,-( o co(*e(c,+Qsuco()u(*o
E)emplo:A;16=6J6>62 3 ';1=6>2
=J
>
A
'
Observa que B está
incluido en A , por lotanto Ay B son
COMPARAB!"
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CON#UNOS DIS#UNOSDos co()u(*os so( d,s)u(*os cu+(do (o *,e(e(eleme(*os comu(es.
REPRESENACI!N GR&ICA :
A '
K
J
=
>
@
?
Como puedes
observar los
con#untos A y B no
tienen elementos
comunes, por lo
tanto son
CO$%&$'O"
()"%&$'O"
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
N
3
4
I
C
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K?
?
UNION DE CONJUNTOS
A &
El co()u(*o A u(,-( ' /ue se represe(*+ +s,es el co()u(*o form+do por *odos los eleme(*os /ueper*e(ece( + A6 + ' o + +mos co()u(*os.
∪A &
}{∪ = ∈ ∨ ∈A & 6 A &
E)emplo: A ; 1 6 =6 J6 >6 6 ?6 K 2
' ; 1 6 ?6 K6 @6 2
@K
J
>
=
}{∪ =A & $7 27 (7 *7 57 )7 '7 07 1
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REPRESENACIONES GR&ICAS DE LAUNI!N DE CON#UNOS
S, A 3 ' so( (o comp+r+les S, A 3 ' so( comp+r+les
S, A 3 ' so(co()u(*os d,s)u(*os
AU'
U
U
U
A
A
A'
'
'
AU' AU'
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REPRESENACIONES GR&ICAS DE LAINERSECCI!N DE CON#UNOS
S, A 3 ' so( (o comp+r+les S, A 3 ' so( comp+r+les
S, A 3 ' so(co()u(*os d,s)u(*os
U
U
U
A
A
A'
'
A ' A '; '
'
A ' ; V
U U
U
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K?
?
A &
El co()u(*o A me(os ' /ue se represe(*+es el co()u(*o form+do por *odos los eleme(*os /ueper*e(ece( + A 3 (o per*e(ece( + '.
A &−
}{A & 6 A &− = ∈ ∧ ∉
E)emplo: A ; 1 6 =6 J6 >6 6 ?6 K 2
' ; 1 6 ?6 K6 @6 2
@K
J
>
=
}{A & $7 27 (7 *− =
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
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K?
?
A &
El co()u(*o ' me(os A /ue se represe(*+es el co()u(*o form+do por *odos los eleme(*os /ueper*e(ece( + ' 3 (o per*e(ece( + A.
& A−
}{& A 6 & A− = ∈ ∧ ∉
E)emplo: A ; 1 6 =6 J6 >6 6 ?6 K 2
' ; 1 6 ?6 K6 @6 2
@K
J
>
=
}{& A 07 1− =
8A9&,&9A:
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REPRESENACIONES GR&ICAS DE LADI&ERENCIA DE CON#UNOS
S, A 3 ' so( (o comp+r+les S, A 3 ' so( comp+r+les
S, A 3 ' so(co()u(*os d,s)u(*os
U
U
U
A
A
A'
'
A ' A '
'
A ';A
INDICE
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
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COMPLEMENTO DE UN CONJUNTOD+do u( co()u(*o u(,0ers+l U 3 u( co()u(*oA6 se ll+m+ compleme(*o de A +l co()u(*o
form+do por *odos los eleme(*os delu(,0erso /ue (o per*e(ece( +l co()u(*o A.No*+c,-(: AW o AC
E)emplo:
U ;16=6J6>66?6K6@62
A ;16J6 6 K6 2
AW;1=7>7?6@2
S,m-l,c+me(*e: }
{A ; 5 6 5 U 5 A= ∈ ∧ ∉ AW ; U A
= @
? >
U
J K
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D+dos los co()u(*os: A ; 1 6 > 6K 6B 6 ... 6J>2
' ; 1 = 6>6?6...6=?2 C ; 1 J6 K666...6J2+ E8pres+r A6 ' 3 C por
compre(s,-(
$
SOLUCIÓN
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A ; 16>6K6B6J6?66==6=6=@6J6J>2
' ; 1=6>6?6@6B6=6>6?6@6=B6==6=>6=?2C ; 1J6K6666=J6=K6J2
F+ll+r: A ' 6 C A6 'UC
A ' ; 1 2
C A ; 1 2' U C ; 1
S+emos /ue A ' es*+ form+do por loseleme(*os comu(es de A 3 '6 e(*o(ces:
U U
U
U
U
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2 E8pres+r l+ reg,-( somre+d+ e(*rm,(os de oper+c,o(es e(*re los
co()u(*os A6' 3 C.
A '
C
A
'
C
SOLUCIÓN
A
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A '
C
A '
CA
'
CA
'
C
A '
' C
A C
U
U
U
'
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A '
A
'
C
Oser0+ como seo*,e(e l+ reg,-(
somre+d+
od+ l+ 9o(+ de +m+r,llo esAU'L+ 9o(+ de 0erde es A '
C
&,(+lme(*e le +greg+mos C 3 se o*,e(e:
A ' C C;
U
U
U
S l f , d >=B
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Seg( l+s prefere(c,+s de >=Bperso(+s /ue 0e( los c+(+les A6' oC se oser0+ /ue @B 0e( el c+(+lAQRCN 6=>B 0e( el c+(+l'QCARACOL 3 B (o 0e( el c+(+lCQCANAL UNO6los /ue 0e( por lo
me(os = c+(+les so( =JBXcu
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El u(,0erso es: >=B
$e( el c+(+l A: @B $e( el c+(+l ': =>B
No 0e( el c+(+l C: BE(*o(ces s, 0e( el c+(+l C: >=B B ; =KB
A '
C
+
d
QI + [ e [ d [ 8 ;@B
e
8f
QII [ e [ f [ 8 ; =>B
c
QIII d [ c [ f [ 8 ; =KB
D+*o: $e( por lo me(osdos c+(+les =JB 6e(*o(ces:
QI$ d [ e [ f [ 8 ; =JB
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QI + [ e [ d [ 8 ;@BQII [ e [ f [ 8 ; =>BQIII d [ c [ f [ 8 ; =KB
Sum+mos l+s ecu+c,o(es QI6QII 3 QIII
S+emos /ue : +[[c[d[e[f[8 ;>=B
=JB
e(*o(ces : +[[c ;B
+ [ [ c [ =Qd [ e [ f [ 8 [ 8 ; ?B
B =JBB [ ?B [ 8 ;?B 8 ; >B
Es*o s,g(,f,c+ /ue >B perso(+s 0e( los *res c+(+les
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