TENSÕES DEVIDAS AQ IH-MOMENTO E,M TABULEJROS DE PONTES DE CON
CRETO ARMADO BJ-Ai1 0JADAS E COM CONTR,A)'ESQS MACIÇOS
Luiz Herkenhoff Coelho
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE PÕS GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇAO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.) EM ENGENHARIA CIVIL
Aprovada por:
Prof. Sydney Martins G.dos Santos
(Presidente)
Prof. Ronaldo Carvalho Batista
Prof. Sergio Fernandes Villaça
Prof. Benjamin Ernani Diaz
RIO DE JANE IRO, RJ - BRASIL MARÇO, 1984
ii
COELHO, LUIZ HERKENHOFF
Tensões devidas ao bi-momento em tabuleiros de pontes de concreto armado bi-apoiadas e com contrapesos maciços (Rio de Janeiro, 1984).
VIII,80P· 29,7cm (COPPE-UFRJ), M.Sc, Eng~
nharia Civil, 1984).
Tese - Univ.Fed. Rio de Janeiro
l .Bi-momento I .COPPE/UFRJ II Título (série).
iv
AGRADECIMENTOS
Agradecemos aos professores funcionários do
Departamento de Engenharia Civil da COPPE/UFRJ que di reta ou indiretamente contribuiram na nossa formação, em especial ao professor Sydney Martins Gomes dos San tos, pela orientação indispensável i execuçao deste tra
balho. Somos gratos, finalmente, a Thereza e Fátima
pelo trabalho de datilografia.
V
Resumo da Tese Apresentç1da à COPPE/UFRJ como parte dos requisi-
tos necessários para a obtenção do grau de Mestre em (M.Sc.)
Ciências
TENSÕES DEVIDAS AO BI-MOMENTO EM TABULEIROS
DE PONTES DE CONCRETO ARMADO BT-APOIADAS E
COM CONTRAPESOS MACIÇOS
LUIZ HERKENHOFF COELHO
Março,1984
Orientador: Sydney Martins Gomes dos Santos
Programa: Engenharia Civil
RESUMO
Este trabalho tem por objetivo estabelecer um
procedimento para a análise da ordem de grandeza das tensões de
vidas ao bi-momento em tabuleiros de pontes bi-apoiadas, de con
ereto armado, com contrapesos maciços.
Inicialmente, é apresentada uma revisão da teo
ria de bi-momento e um procedimento para o cálculo de estrutu
ras hiperestáticas, quando são introduzidas as expressões para
o bi-momento e tensões consequentes para a secção tipo de um ta
buleiro com duas vigas principais.
tudo das cargas móveis e das linhas
Posteriormente é feito o es
de influência do bi-momento.
Finalmente é feita a aplicação do procedimento
exposto a um projeto de tipo corrente.
Em apêndice, são apresentados procedimentos de
uso e listagens de programas para calculadoras de bolso\ TI-59
para cálculo de ordenadas de linhas de influência do bi-momento,
ordenadas do diagrama de 6i-momentos para viga bi-engastada e
ainda cálculo de parâmetros para determinação de tensões de fle
xao.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as partial
fulfillment of the requirements for the degree of Master
of Science (M.Sc.)
WARPING STR~SSES IN SIMPLY SUPPORTED
REINFORCED CONCRETE BRIDGE DECKS WITH
BULKY COUNTERWEIGHTS
LUIZ HERKENHOFF COELHO
March,1984
Chairman: Sydney Martins Gomes dos Santos
Department: Engenharia Civil
Abstract
The objective of the present study is to establish a
proceeding to analyse the order of magnitude of the warping stresses in simply supported reinforced concrete bridge deck
with bulky counterweights.
Initially it is presented a review of the warping moment
theory anda proceeding for the analysis of a particular statically indeterminated structure. The type of structure
under analysis is that of a standard roadway bridge having a
cross secction constituted by a slab and two main beams. For
this particular case adequate expressions for the warping
moment and stresses are introduced.into the analysis framework.
Moreover the warping moment influence lines for live loads are
presented.
Finally, the appendices present the user's manuals plus
computer programs, specially designed for pocket calculators TI-59, for obtaining the warping moment influence line ordinates,
warping moment ordinates for fixed-end beams, and also the
parameters necessary to find the flexural stresses.
vii
INDICE
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Cap.I - Hiperestática dos bi-momentos em vigas bi-engastadas ........................ 3
Cap.II~ Expressões do bi-momento e tensões
consequentes em tabuleiros com duas
vigas principais ............................ 16
Cap. III-Estudo das cargas móveis e linhas de
influência do bi-momento.................... 22
Cap.IV- Aplicações a um projeto de tipo co~ rente ....................................... 28
Conclusão ........................................... 57
Apêndices........................................... 59
Apêndice , I - Programa para cálculo das ord~
nadas de linhas de influência
do bi-momento em uma viga bi-
engastada............................. 60
Apêndice II - Programa para cálculo das ord~ nadas do diagrama de bi-momen
tos para uma viga bi-engastada
sujeita a um momento torsor 1!___
nitário uniformemente distribuí
do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6
Apêndice III- Programa para cálculo de parâm~
tros utilizados no cálculo de
tensões de flexão e flecha ( no
estádio II) de vigas retangul~ res ou "T"........................... 70
Biblio~rafia ...................................... 80
Vlll
NOTAÇÃO
T - momento torsor Ts- Torção de Saint-Venant
T8- Torção devida ao bi-momento
P - carga concentrada
C - constante
E - módulo de elasticidade longitudinal
G - módulo de elasticidade transversal
B - bi-momento J -t momento de iné rei a a torção
J -w momento setorial de inércia
Fw - momento setorial estático Ewy, Ewx - produtos setoriais de inércia
CG- centro de gravidade
YcG-ordenada do CG x,y, z - sis~ema de coordenadas
X A' YA - coordenadas do centro de cisalhamento
hf- espessura da mesa de Viga IITII
b -w espessura da alma de viga "T"
d - altura Útil
a,b, l- comprimentos
q - carga uniformemente distribuída
mt- momento torsor uniformemente distribuído o - tensão normal
w - área setorial (coeficie,nte de enpenamento)
~ - ângulo de rotação
1
INTRODUÇÃO
Em construção empregam-se frequentemente peças longas
de paredes delgadas, que têm alta resistência e relativamente
baixo peso próprio.
A característica das peças longas de paredes delgadas
e ter sua espessura muito menor que a largura e esta, por sua
vez, muito menor que o comprimento CFig.l ).
FIG. 1
_t_, O 1 .. , d
_d_"' 0,1 .e
Uma particularidade das barras de paredes delgadas ~
e
poderem apresentar tensões normais quando submet i'.ias à torção
pura. Analisemos o comportamento de uma viga "U" engastada nu
ma extremidade e com um momento torsor aplicado na extremidade
livre (Fig. 2 ).
p
e FIG. 2
2
FIG. 3
A deformação da viga serâ esquematizada na fig. 3 em
::iue a aba direita sofrerá tração nas fibras su,eriores e compres
são nas fibras inferiores, enquanto que na aba esquerda o fenôm~
no e inverso. Podemos concluir que as secções transversais nao mais permanecerão planas.
J empenamento das secçoes transversais darâ origem a tensões normais, que formarão um sistema de forças auto-equil~
brado, visto não terem sidas a?licadas solicitHçÕes normais nem fletoras.
A este sistema auto-e::iuilibrado, corresponde uma ex
pressao a ::iue VLAS30V2 deu o 'nome de bi-mo:nento.
3
CAP!TULO I
HIPERESTÁTICA DOS BI-MOMENTOS EM VIGAS BI-ENGASTADAS
1.1 Introdução:
Para a solução de estruturas isostâticas
car diretamente a equação diferencial(2):
podemos ap.li-
T = GJ dcj, - EJ d s cp EJ ( 2 ' "'"' tdz w d z 3 = 'w y cj, · - 'I' ) (1.1)
GJt y2 = EJw, ou
- cp '" = 2-EJw
a qual, para cada caso de carregamento, terá uma solução par
ticular e cj,p) .
Equação homogênea sera:
cp d.v _ y2cp" 0
cuja solução geral é:
cp
cj,'
cj,"
cf>'"
=
=
=
c1
+ c2z+ c3chyz + c4shyz; donde:
c2 + y (C 3shyz + c4chyz)
y 2 (C3chyz + c4shyz)
y 3 (C 3shyz + c4chyz)
As constantes de integração sao determinadas com as
condições de extremidade. Com a expressão do ângulo de rotação cj, determinada,
temos:
T = GJ cj,' Torção de Saint-Venant s t
Tb =-EJw q,"' Torção devida ao bi-momento
B = - EJw <l>" Bi-momento
T = Ts + Tb
4
1.2 Sistema Principal:
Para a solução de estruturas hiperestáticas podemos
proceder de forma análoga ao método das forças, ou seja, libe
rando tantos vínculos quantos forem necessários para transformar
a estrutura em isostática. Assim, seja a viga bi-engastada
sujeita a um momento torsor qualquer (Fig. 1.1):
cj, =o mt cj, =o f =o ~ =o
~)))))) ))2 )l))) ~ l
FIG. 1.1
Neste caso temos que liberar 2 vínculos superabundan
tes; no caso escolhemos, por simplicidade, um engaste (Fig. 1.2)
e aplicamos na extremidade liberada um momento torsor (X1 ) e um
mt mt X2
~ Jll))) J))l))) l ~ =. ~1H))) JJ JJ Jl + !l-------+!!------I cp =o cj,'=o
cp =o q,'=o
cp =o cj,'=o
FIG. 1.2
bi-momento (X 2), de forma que as deformações se anulem na extre
midade
cj, o (1. 2)
cj,' = cj,'o + cj,~' + cj,2 *' o
5
As incógnitas do problema ficam sendo o momento torsor
(X 1) e o bi-momento (X 2).
Podemos resolver o sistema principal para um momento
torsor e um bi-momento unitários, obtendo assim: x1 ;e··l
,,_ ______ --- Xz = 1
i!I--I
As equaçoes (1.1) ficam
q,' + X </>' + X q,' = O o 1 1 2 2
ou em forma matricial
:j { ::} ·{ -:.ºJ (1. 3)
(1. 3)
6
1. 3 Cálculo dos Termos de Carga e dos Coeficientes das Equações
de Coerência Linear
Os termos de carga$ e$' são obtidos por integra-º o
çao direta da equação diferencial (1.1) para o carregamento
aplicado no sistema principal (Fig. 1.3).
~)JJ)))JJJl) ll)) f------,> z
FIG. 1.3
$ = $ (l) o $' = $' (l) o
Os coeficientes das equaçoes de coerência linear sao
obtidos por integração da equação (1.1) para o momento torsor
(X 1 = 1) e o bi-momento (X 2 = 1) aplicadas no sistema principal.
Solução para o momento torsor concentrado unitário
aplicado na extremidade livre:
1 z
Solução geral: $ c1 $' = Cz
$" = y2
cf>'" = y3
X = 1 1
1 1 1 1 T=l I J 111
+ c2z + c3chyz + c4
shyz
+ y (C 3shyz + c4chyz)
(C 3chyz + c4shyz)
(C 3shyz + c4chyz)
e 1. 4 i
7
Temos as seguintes condições de extremidade:
z =
cp (O)= O,C 1 + c 3 = O
<P' (O)= o,Cz + yC4 = O <P" (l) = o,c 3 + c 4tghy.t o
C4 1
yGJt
C3 1 tghyl
yGJt
CI 1 tghyl - ---
yGJt
Virá pois:
z =
= z + l tghyl(chyz - 1) y
GJ <P' = 1 - chyz + tghy lshyz t
Então:
.e_ -{ T = 1 B = O
1 shyz y
<P" = o
<P1 = <P (l) e.e.+ l tghyl (chyl - l} y
1 1 y shyl) 'GJt =
= ylchyl - shyl GJtychyl
<P' = <P' (l) = 1 - chyl + tghylshyl = chyl - 1 1 GJt GJt chyl
Solução para o bi-momento concentrado unitário apli
cado na extremidade livre:
Xz= 1
----1 1-> z
8
Temos as seguintes condições de extremidade:
{ cj, - o ,-{: 1 cj," 1 = =--
z = o -----> cj,' = z = EJw o
= o y2cj,' - ~Ili = o
cj, (O) o c1 + C3 = o
f (O) o Cz + yC4 = o
y 2cf,1
(l)-<í>"' Cl) = o . y2Cz o Cz = o .. c4 O
EJw y 2 (C chy,() = - -
1-3 EJw cj," (l) = ---
1
C3 = - 1 1 y 2EJw.chyl
- -GJtchyl
c1 = 1 GJtchyl
cj, 1 (1 - chyz) = GJtchyl
cj,' = _ yshyz GJtchyl
Então:
cj,2 = cj, ( ,() = 1 - chyl _ chy l - 1 GJtchYl - - GJtchyl
cj,' = cj,' (l) = _ yshyl 2 GJtchyf
Então, a matriz dos coeficientes das equaçoes de coe-
rência linear sera:
cj,' 1
cj,' 2
=
y fchy l - shy l GJt y chyl
chyl - 1 GJtchyf
chyl - 1 GJtchy,(
yshyl GJtchyf
ou, multiplicando as equaçoes por GJt:
ylchyl - shyl ychy,(
chyl - 1 chyl
chyl - 1 chyf
yshyl chyl
= ( 1. 5)
9
Resolvamos o sistema de equações:
6 = -ylshyl + 2(1 - chyl)
chyl
6 = GJ • _yshyl _ GJ •· .chyl - 1 1 t o chyl t o chyl
6 = _ GJ •· _ylchyl - shyl + GJ • 2 to ychyl to
61 x1 = 6
chyl - 1 chyl
Assim, para se resolver qualquer caso de carregamento
de uma viga bi-engastada, basta calcular os termos de carga
e resolver o sistema de equações lineares (1.5). Observe-se que
o sistema de equações (1. S) foi obtido para o sistema principal
da Fig. 1. 2.
Exemplo 1.1:
Viga bi-engastada com momento torsor uniformemente
distribuído:
m = 1 t
~))))))))))) ~
Sistema principal:
mt ~)))))))))) mt.l~
l ~ z
temos que:
Cálculo dos termos de carga,
T = EJw (y 2•' - <j,'"), ou derivando
<j,iv _ y 2 • ., = __ l_ dT EJw dz
<j,i V _ y 2 <j," = + 1 EJw
T = m (l - z) t
10
Com a solução particular p0
p = ZGJt
Solução geral da homogênea
Po = c1 + C2z + c3chyz + c4shyz;
a solução geral e : 2
Po = c1 + c2z + c3chyz c4shyz z + - --
ZGJt
Condições de extremidade,
{P (O)=
z=O-> o p'o(O) =
o { r = o : . y. 2 p' e .t) - p" e .t) = o ,z=.(--i, o o o' B =O:. ç,"
0(.t) = o
As constantes de integração terão os valores:
c1 = (1 + ylshyl) y 2 GJtchyl
Cz = .(
GJt
C3 (1 + ylshyl) y 2 GJtchyl
C4 = .( - --
yGJt
E a solução final:
GJ p = z (l _ ~) _ _l_ [ylshyz _ (1 + ylshyl) (chyz - l)J t o 2 y 2 chyl
GJ p' = (l - z) _ l. [ylchyz - (1 + ylshyl) to y chyl
shyz]
Fazendo z = l, obteremos os termos de carga
.(2 GJ P = t o z l ( 1 - chyl + ylshyl)
y 2 chyl
GJ p' t o = shyl-yl
ychyl
A solução da viga bi-engastada sera:
11
Passemos à determinação de x1 e x2. De acordo com o
processo apresentado neste capítulo temos:
6. = 1
X = 6.2 2 6.
l[2(1 - chyl) +ylshyl] 2chyl
donde: yl
x1 = -l [(1 - chyl) + zshyll
ylshyl + 2(1 - chyl)
y'c~yt {
2R_2
6. 2 = _Y_(l + chyl) 2
e
l =--2
[ylshyl + 2 (1 - chyl)]
= _ ~ 1 + chyl + 1 + f sh l
- ylshyt}
X2 2 ylshyl + 2(1 - chyl) y 2 y ylshyl + 2(1 - chyl)
Simplificando, vem:
l 1 X2 = - 2ytghY: + y2
donde a solução final:
= z (l - z) l
GJt~ 2 2ytghll
2
Ts =
B
GJ ~· z'- z
t 2
1 - EJ w~" = y2
onde z' = l - z .
Exemplo 1.2:
+ l
2tghYl 2
(1 -
[ 1 shyz + shy(J - z) -
shyl
chyz - chyz' shyl
shyz - shyz') shyl
J
Viga bi-engastada sujeita aum momento torsor concen
trado unitário:
12
T=l
1, a b 1
Sistema principal:
T=l -a b
Cálculo dos termos de carga
T=l T=l
a b a b
Temos a equaçao diferencial:
$iv - y 2 f' = O, pois T f constante em cada trecho (a ou b).
Chamemos de $a e $b as soluções para os trechos o~z~a e a<z,l
respectivamente. Teremos, então:
$" = a y 2 (C 3chyz + c 4shyz)
cf>" 1 = y 3 (C 3shyz + c 4chyz) a
$b = CS + C6zl + c 7chyz 1 + c 8shyz 1
$b = c6 + y(C 7shyz 1 + c 8chyz 1)
f'b= y 2 (C 7chyz 1 + c 8shyz 1)
$"b= y 3 (C 7shyz 1 + c 8chyz 1)
Com as condições de extremidades
~{'" = o {: = o z = o zl = b-'e>
$' = o = o a
$" = o
cf>''' - y"$' = o
e as
</l e z a </l' e z a </l" e z a
condições de
= a) = <f,b( 2 1 = a) = </l6 e z i = a) = </l" e z b 1
13
continuidade = O)
O)
= O)
temos também que para O< z < a, T = 1.
Desta forma, as 8 constantes de integração podem ser
calculadas e encontramos:
c1 shyb - shy.i'. =
yGJtchy.i'.
Cz = 1 GJt
c3 - shyb - shy.i'. yGJtchy.i'.
C4 1 ----
yGJt
C5 a + shyb - shy.i'. =
yGJtchy.i'.
c6 = o
c7 - shyb(chya - 1)
yGJt chy.i'.
CS chyb(chya - 1)
yGJt chy.i'.
Temos então a solução:
19) ParaO<z<a
shyb - shy.i'. (l _ chyz) + 2 _ shyz ychy.i'. y
29) Para a < z < .i'.
GJ <f, =a+ shyb - shy.i'.+shyb(l-chya)chyz1 _ chyb(l-chya)shyz1 t ychy.i'. ychy.i'. ychy.i'.
que, simplificando, dará:
GJt = shyb - shy.i'. (l _ chyz) + 2 _ shyz + 1 h YchY.i'. y - 2 1 y s yzl
Observamos que as duas soluções são idênticas a menos das
14
duas Últimas parcelas na solução para a< z ~ l, assim podemos
escrever:
GJt<P = shyb - shyl (l _ chyz) + z _ shyz ychyl y 1 -
1 z +- shyz 1 1 y
Ts = GJ <j,' = - shyb - shyl shyz + 1 - chyz 1- 1 + chyz1 t chyl
onde os termos a direita da barra vertical têm significado ape
nas para a< z, l. Os termos de carga sao obtidos para z = l, z 1 = b.
GJt<j,o = shyb - shyl (l _ chyl) - l + shyl _ b + 1 shyb chyl Y Y
Simplificando:
= shyb - shyl + (l - b)Lchyl ychyl
shyb - shyl GJt<j,'
0 = - chyl .shyl + 1 - chyl - 1 + chyb
GJ q,' t o = eh y a ___:___l
chyl
Procedendo de forma análoga à anterior, obtemos:
shyl(shyb - shyl + yachyl) + (chya - 1) (1 - chyl) chyllylshyl + 2(1 - chylJJ
(1 - chya) (ylchyl - shyl) + (chyl - 1) (yachyl + shyb - shyl) ychyt Lylshyl + 2 (1 - chyl)J
A solução da viga bi-engastada será:
15
ou:
GJtcj, = B0 (1-chyz) +T0
(z -~ shyz) f - z 1 +~ shyz 1
T5
= GJtcf>' = - B0
yshyz + T0
(1 - chyz) f - 1 + chyz 1
B =-EJwcj," = B chyz + T . 1:. shyz 1 -1 shyz1
o o y y
onde: (b shyb) (1 1 sh L)
= L. (1 - chyL) l - yL - (1 - chyb) -yl Y Bo yLshyL + 2(1 - chYL)
sh .e.(b _ ~ shyb) + (1 - chyb) (1 - chyL)
yLshyL + 2(1 - chyL)
16
CAP!TULO II
EXPRESSÕES DO BI-MOMENTO E TENSOES CONSEQUENTES EM TABULEIROS
COM DUAS VIGAS PRINCIPAIS
Para a aplicação das expressões obtidas anteriormente,
torna-se necessária a determinação de características geométricas
e setoriais.
Passemos a sua determinação para uma secção tipo
(Fig. 2 .1) :
1
d
j b - b t-t
1
w a
1 ' YcG "
CG
y i~k bw a b
FIG. 2.1
2.1 Determinação das Características Geométricas:
-
- X
Por serem de uso corrente, nao entraremos em detalhe
do cálculo do centro de gravidade e dos momentos de inércia.
2.2 Características Setoriais:
Como complemento das características geométricas, ne
cessitaremos de outras características próprias das barras de
paredes delgadas que são determinadas utilizando a área setorial
que definimos a seguir.
Seja uma secção transversal (Fig. 2. 2) , escolhamos um
pólo P qualquer, liguemos este polo P às extremidades de um
elemento ds da linha média da secção.
17
FIG. 2.2
Chamemos dw o dobro da areado triângulo PAB
dw= r ds
onde r é a distância do polo P à tangente ao contorno da secçao
no ponto A. A integral
w = J rds
denomina-se area setorial ou coeficiente de ernuenarnento. Assim,
a área setorial será o dobro da área varrida pelo raio vetor PA
ao mover-se o ponto A desde uma origem O arbitrária até um certo
valor 1.:, do arco.
w será positivo se PA mover-se de x para y (sentido horário).
Com a área setorial conhecida, podemos definir as
outras grandezas setoriais:
E = J w w d s - momento setorial estático
Ediy = J x w
Ewx = J y w
J = J w2 ds w
ds} ds
produtos setoriais de inércia
- momento setorial de inércia
2.2.al Coordenadas do Centro de Cisalhamento
Podemos obter as coordenadas do centro de cisalharnen
to de urna secçao a partir de um polo P' arbitrário (Fig. 2.3)
pelas express5es:
P' -+------,-----!> X
xa lYa - - - - _ _.,..
A(xa, Ya)
FIG. 2.3
= Ewp' x Xa
Jx
Ya Ewp' y
Jy
18
Vejamos o processo de cálculo para a secçao tipo da
Fig. 2.1:
traça-se o diagrama das áreas setoriais (w) referidas a um
polo P' qualquer, por simplicidade o ponto O.
_s ___ "-.------'+------;----2 ----õ) X•
------+-----+---------+-----7~ X
CG
6
y
w'1 = o w'2 o w's = ad
w\ o w's = o w's =-ad
o diagrama fica
P'= O
-a.d
Ewp.x = f y w'ds = O (por simetria)
Ewp•·Y = + fx w'ds = bwfxw'ds = a 2 d 2bw
3
a.d
Então, as coordenadas do centro de cisalhamento (re
feridas ao ponto Q) sao:
XA = Ewp'.x = o = o
Jx Jx
Y'A Ewp'.y = - (ad} 2 bw ( 2 .1) Jy Jy
YA = IYÁI
19
2.2.b) Diagrama dos Coeficientes de Empenamento (w) Referidos
ao Centro de Cisalharnento A,
5 o 2
----+------+------+-----------'>, X
6 3
w ; o 'y o
Wt ; -Ya • a
W2 W.1 Ya · b w, ; Wt + a.d w, ;-w1
Ws =-w2
Ws =-w 3
o diagrama torna o aspecto seguinte:
w,
W5 W 1 ,-
Ws y W3
2.2.c) Cilculo do Momento Setorial de in6rcia
Jw; fw 2 ds
Integrando, vem:
Jw; 1 { hf(a + b)w~ + bw[yAwt + (d - yA)w~J}
ou
Jw ; ! { hf(a + b)w~ + bwd(wt + w~ + w1 w,J
2.3.a) Cilculo do Momento de In6rcia a Torçio
W2
X
e z. 2)
20
Jt = l i: h 3 s 3 i i
Jt = l[ca + b)h 3 + db\] J 3 · f
2.3.b) Módulo Transversal do Concreto
G = E 2(1 + v)
para o concreto v = 0,2 (NBI/78)
G = E
2,4
2.3.c) y2 = GJt = Jt EJw 2,4 Jw
y = V __ J-"t-2, 4 Jw
para o concreto
2.4 Cálculo do Bi-Momento
e 2. 3)
e 2 • 4)
Com o valor de y calculado, calcula-se o bi-momento
utilizando-se as expressões obtidas nos exemplos 1 e 2 do Cap. I.
2.5 Tensões Normais
a =
Para o cálculo das tensões normais, tem-se a expressão:
B w
Jw
Note-se que B e Jw sao constantes em cada secçao trans
versal da peça; temos, então, que crê diretamente pro
porcional a w. Então, o diagrama de tensões terá o mesmo
aspecto do diagrama dos coeficientes de empenamento refe
rentes ao centro de cisalhamento.
22
CAP!TULO III
ESTUDO DAS CARGAS MOVEIS E LINHAS DE INFLUENCIA DOS BI-MOMENTOS
Estudaremos as linhas de influencia de momentos fle
tores e bi-momentos no apoio e no meio do vio.
3.1 Linhas de Influencia de Momentos Fletores
Nio entraremos em detalhes por este assunto ser cor
rente.
3.1.1 No apoio: P = l,i._ X ,j,'k--->t-1-
O momento no apoio e máximo quando a carga se encontra
na extremidade do balanço e e nulo quando a carga está no vio
interno.
3.1.2 No meio do vao:
l -4-
23
O momento no meio do vao e máximo quando a carga se
encontra no meio do vão e é mínimo quando a carga está na extre
midade do balanço.
3.2 Linhas de Influência do Bi-Mornento
A linha de influência do bi-rnornento em urna secçao s e
a representação do valor do bi-rnornento, nesta secção, produzido
por um momento torsor concentrado unitário que percorre a estru
tura.
Estudaremos aqui as linhas de influência de urna viga
bi-engastada.
3. 1
Ternos, do Cap. I, a expressão do bi-rnomento para um
momento torsor concentrado unitário.
shyz 1 B = B chyz + T --o o y b 1 (- - - shyb)(l
B = o .e y.f.
1 shyz1 y
- chy.f.) - (1 - chyb}(l - shy.f.) y .e .
o ~. 2(1 - chy.f.) + y.f.shy.f.
(1 - chy.f.) (1 - chyb) + yshy.f.(b
2(1 - chy.f.) + y.f.shy.f.
3.2.1 L.I. no Apoio:
1 - - shyb) y
3.1
A equação da L. I. no apoio será a equação (3J) para z = O
com b variando de .f. a O.
B = = .f. ci - :ft shyb) (1 - chy.f.) - (1 - chyb) (1 - :ft shy.f.)
2 (1 - chy.f.) + y.f.shy.f.
que, graficamente, tem o aspecto da Fig. 3.2.
24
Bmax ( no a;ioio)
FIG. 3. 2
Calculemos a posição da carga que produz o bi-momento
máximo:
dB db
= O =L. 1 I
shyL (1 - chyb) (1 - chyL) + yshyb CI -yy-}
2 (1 - chyL) + y.tshyL
(1 - chyb) (1 - chyL) + shyb(y L - shyL) = O
chyb - 1 shyb
yb 1 =
2 y
bm 1 =
y
tgh yb = YL - shyL 2 1 - chy L
[ 1 • yl - shyl 1
Ln 1 - chy.t
1 - xL - shxL 1 - chyL
Ln [ (1 - chyL) + (YL - shyL) J (1 - chyL) - (yL - shy.t)
o
Como vemos, tanto o valor do bi-momento quanto a posição
da carga para o bi-momento máximo variam, dependendo não só do
vão, mas também da secção transversal e do material da estrutura.
3.2.2 L.I. no Meio do Vão:
A equaçao da L.I. sera a equaçao 3.1 para z
graficamente, terá o aspecto da Fig. 3.3.
~ ~
~io do vão)
FIG. 3.3
L 2, que,
carga
25
O bi-momento máximo ocorre
ali se er:contra, também do vão, secção transversal e
tituída a peça.
no meio do vao, quando a
porem o seu valor depende
do material de que e cons-
3.3 Análise das Linhas de Influência
Estudaremos agora as posições mais desfavoráveis do
carregamento.
3.3.1 Para as Tensões no Apoio
Teremos duas situações críticas, uma com o momento
fletor má:icimo (Fig. 3. 4) e outra com o bi-momento máximo (Fig. 3. 5) .
1~ Situação: Veículo acabando de entrar no contrapeso já car-regado com a carga de multidão (introduzindo mo
mento fletor máximo no apoio)e o tabuleiro com uma pista totalmente
carregada(introduzindo torção e, consequentemente, tensões de
bi-momento) (Fig. 3. 4).
FIG. 3.4
2~ Situação: Contrapeso carregado com a multidão(introduzindo
momento fletor) e o tabuleiro com uma pista total
mente carregada e com o veículo na posição que introduza o bi
momento máximo (Fig. 3.5).
26
multidão
FIG. 3.5
3.3.2 Para as Tensões no Meio do Vão
A posição mais desfavorável do veículo, tanto para o
momento fletor quanto para o bi-momento, ocorre quando ele está
situado no meio do vão (Fig. 3.6). Quanto à carga de multidão,
será feita uma análise para determinar o comprimento ~ de carre
gamento de tal forma que a soma de tensões om + ob seja máxima.
Note-se que om ê máxima para o tabuleiro totalmente carregado e
ºb e máxima para metade do tabuleiro carregado.
Os contrapesos ficam descarregados.
FIG. 3.6
3.4 Cálculo das Tensões em Serviço
Vimos que as situações mais desfavoráveis ocorrem com
o carregamento assimétrico no vao interno (Fig. 3. 7), ou
FIB, 3.7
27
s'implificadamente, uma carga excêntrica (Fig. 3. 8a), que podemos
substituir pelo sistema estaticamente equivalente na Fig. 3. 8b,
com uma carga simêtrica e um momento torsur aplicado: p M=Pe
t e 1
FIG. 3.8a FIG. 3.8b
Calcularemos separadamente as tensões devidas à flexão Ccrml e
devidas ao bi-momento (crb).
O cálculo de ªm será feito no estádio II e o cálculo
de Gb, por simplificação, no estádio I, utilizando a conhecida
expressao:
B ªb = - . w Jw
28
CAP!TULO IV
APLICAÇOES A UM PROJETO DE TIPO CORRENTE
Seja a ponte bi-apoiada de concreto armado e com con
trapesos maciços da Fig. 4.1
;1
o
~-l '
2,0,0
315 o
o N
º-l l
~.3~
7,5 O
,o (
- !1135
o o a,
o o
a,
-
1,--p'Q
O,'+ O -~
o,~'-
2s o
o N ó
o
0,3 5 To-N
0,3 5 õ
f2,o ó 3,5 O 'i o 6 '
Fig. 4 .1
29
4.1 Dimensionamento a Flexão
4.1.1 Determinação do Carregamento
a) Peso próprio (carga permanente):
Contrapeso: 7,5 x 2,5 x 2,5 = 46,88 t/m
Vão central:
Lajes: 0,20 X 7,5 X 2,5 = 3,75 t/m
Vigotas: 0,20 X 0,20 X 3,50 X 2,5 X 3=0,03 t/m 40
Vigas principais: 2,30x0,35x2,5x2
q = 7,80 t/m
Esquema estrutural:
4,03 t/m
46,88t/m 46,88t/m
l l I 11 7,80t/m i;I I l l l J 1 l 1 J
8,00 40,00 8 , O O
FIG. 4.2
b) Carga acidental:
A carga acidental serâ determinada de acordo com a
NB6 para ponte em rodovia classe I (veículo tipo 36).
Trem tipo:
p
p'
p'
J, 6,0~
p = 500kg/m2
p' = 300kg/m2
Simplificação de cálculo: vigas retas com mais de
30 mde vão, permite-se substituir a carga concentrada
do veículo por carga igual, mas uniformemente dis
tribuída sobre a área retangular ocupada pelo mesmo.
Q = ~.OOO = 2.000 kg/m2 3x6
30
Q' = Q - 500 = 1.500 kg/m2
O trem tipo passa a ser o da Fig. 4.4.
300kg/m
500kg/m212000~t/1500kg/m2
300kg/m2
FIG. 4.4
Para o dimensionamento à flexão, devemos carregar o
tabuleiro até a viga 2 e deixar o restante do tabu-
leira descarregado, pois assim
na viga 1, como mostra a Fig.
1
Vl vz
FIG. 4.5
teremos a carga máxima
4. 5:
un ln de inn,tuênua pMa ~ wúbU,{,ção
tltan1.ivvu.,a.l do c.MJtegamento audenta.l
Temos assim o carregamento mostrado na Fig. 4.6:
Q'=l,5t/m2
p'=0,5t/m2 p=0,3t/m2
J l l J. .1. .l J
FIG. 4.6.a FIG. 4.6.b
E j J.
31
0,3t/m2
J. ,L .l 1
4. 6. c - Faixa em que nao trafega o veículo
2,0t/mZ
~,-º ,_5 t_/ m_z ,--------11 1 1 [ J g 0,5t/m2
4 J. L
4.6.d-Faixa em que trafega o veículo
A carga acidental fica, então:
b.l) Para o dimensionamento no apoio:
Teremos o contrapeso totalmente carregado e com o
veículo acabando de entrar na ponte, assim (Fig. 4. 7) :
Ql = 0,5 X 3,0 + 0,3 X 4,5 = 2,85 t/m
Qz 1,5 x 3,0 4,5 t/m
7,35t/m
FIG. 4.7
32
b.2) Para o dimensionamento no meio do vao:
Deixaremos os contrapesos descarregados e carregare
mos o tabuleiro conforme a Fig. 4.6, obtendo:
b.2.1) carga devida ã multidão
Q _O 5x2,02
+º 3x3,50+0,2xl,5( 2 +Ll) =l,0 5 t/m 1 - 2 2 3,5 2
b.2.2) carga devida ao veículo
Q' = l,5x2,0 2 +1,5xl,5.( 2 l 2 3 5 ,
2,63 t/m
Teremos, então:
3,70t/m
+~-l~;-º_5t_/~.,m--.-~1J/J 1r-~:-·_,o_5~:-/_m_4~~
õ. 2s.:
FIG. 4.8
4.1.2 Cálculo dos Esforços Máximos:
a) Cálculo do momento máximo negativo:
Carga permanente:
da Fig. 4.2, temos:
X - -A
46,88 X 8 2
2 = - 1.500 t.m
Carga acidental:
da Fig. 4.7, temos:
285x8 2 6 2
-4,5x6x(2+ 2) 226 t.m
Então, o momento máximo no apoio sera:
X= - 1.500 - 226 =-1.726 t.m
Para o dimensionamento das vigas, teremos:
X = 1. 726
2 - 863 t.m em cada viga.
33
b) Cálculo do momento máximo positivo:
Carga permanente:
da Fig. 4.2, temos:
7,80 X 40 2 M =-1.500 + = 60 t.m
8
Como a carga permanente é simétrica, cada viga deverá
absorver a metade deste momento.
Carga acidental:
da Fig. 4.8, temos:
M = (1, O 5 x 4 O + l~x~~) x ~ _ 1, O 5 x 20 2 _ l_,__ ó 3 x ~ = 3 56 t. m
2 2 2 2 2
então, o momento máximo positivo (no meio do vão) sera:
M = 386 t m
4.1.3 Dimensionamento das Ferragens das Secções mais Solici
tadas:
a) No apoio:
250
Para os momentos nos apoios (negativos), as vigas
trabalham como retangulares de dimensões 35 x 250
(Fig. 4.9):
A' s
M 863 t.m
fck = 300 kg/m2 CASO B
FIG. 4. 9
Calculando as areas de aço de acordo com a NBI/78,
obteremos:
140,0 cm2 e A' = 10,30 cm2 e poderemos adotar s
141,9 cm2 ---> 28 0 25mm
11,40 cm2 - 4 0 20mm
34
b) No meio do vao:
Para o momento no meio do vao (positivos) as vi
gas serão calculadas como vigas "T" (Fig. 4 .10) : b
f
A' s
M = 386 tm
fck = 300 kg/cm2
CASOB
De acordo com a NBl/78, teremos:
b3 = 120 cm; bl = 150 cm
bf = 30 5 cm
b w 35 cm
hf = 20 cm
Dimensionando, teremos:
As 52, 23 cm2, A' s =O, e adotaremos
As= 54,30 cm2 -4 14 0 20mm
A' = 2,5 3 cm2 - 2 0 s 12,5mm
35
4.2 Determinação das Características Geométricas da
TransvePsal
hf=0,20
Secção
x1 ., 1-1 1 --
r YcG
-CG
X
2,50 d=2,40
- '--- ~s--
·k 'k i'/ =ó', 35 b=2,00
bw=0,35 2a=3,50 b =2 , 00 y' w ., ,, '
" - '
FIG. 4.11
a) Centro de Gravidade 2,30
y =0,20x7,50x0;10+2x0,35x2,30x(-2-+0,20) =0, 7471m cg 0,20 x 7,50 + 2,0 x0,35 x2,30
Y = 74,71 cm cg
b) Momento de Inércia
J = 0, 20 X 7,503
+ 2 X [2, 30 X O, 35 \ (3, 50, 2
X O 35 X 2 3J Y 12 12 2
1 ' ' j
J = 11 98 m' y ,
36
4.3 Determinação das Características Setoriais
a) Centro de cisalhamento:
Para esta secção, temos a equaçao 2.1:
Y' = -A
onde a
d
bw
Jy
YA ;
(a.d) 2 bw
Jy x = O (pois a secçao é simétrica
A em relação ao eixo Y).
= 3,50 =
2 1,75 m
; 2,40 m ; 0,35 m ; 11,98 m4
2
(l,75x2,40) X O, 35
11,98
YA. = - 0,515 m
YA = 0,515 m
XA = O
b) Diagrama dos coeficientes de empenamento (w) referidos
ao centro de cisalhamento:
Do
w o
w 1
w 2
w 3
w 4
w 5
w 6
5
Cap.
; o
A
o 2
---4----+-----1----------o>, X
6 3 , y
II , temos:
;
YA·ª ; 0,902 m2
; w1 - YA. b =-1,933 m2
; W1 + a.d ; 3,298 m2
=-w l
=-w 2
=-w 3
37
O diagrama sera:
·[=lr,9~3r:r:JS~o;,~90~==i-=~-~o ,~9~0 ij:=r::r::tJJ I ) - -1,93 J
-3, 30 y FIG. 4.12
4.4 Cálculo do Momento Setorial de Inércia:
Substituindo, vem:
Jw= 6,7487 m6
4.5 Momento de Inércia à Torção:
J t ~ i [e a + b) h; + db '] w . Equação 2.3
Substituindo:
J = O 0886 m' t ,
Podemos agora calcular a grandeza
y = ' 0t = O ,073961/m VWw
X
3,30
38
4.6 Linhas de Influência do Bi-Mornento:
Os contrapesos, sendo maciços, impedem o empenamento da
secção no apoio. Então, para o bi-rnornento, a ponte será
considerada corno engastada nas extremidades e com o empe-
namento impedido ( cp =O; cp• = O).
Então, para o traçado das linhas de
influência, podemos utilizar as
equações 3 .1, obtendo os seguintes
valores numéricos (*):
a) Para o bi-rnornento no meio do
vao:
Valores calculados de 1 em 1
metro, desde zero até 40 rn.
L.I. traçada na Fig. 4.13.
º= 00000 º= 00::::::9 O., 0:356 i º= 0:::0:30 o .. 14321 0,,22469
º= 4.,4522 0,,5S54:3 0 .. 746?:3
1:: 6210:3 1 .. 90292 2 .. 21299 2,,55296 2,, '3246B :3 .. :3:3019 :3= 77170 4. ê:5i6:3 :3:: 77170
2 .. 55296 2 .. 21299 i = ·302:·=,1;2 1 .. 6210:3 1 = :36580 1,, 1:3582 O .. 92'3B4 O, 746 7:3 O .. 5:354B o .. 4452;2 O .. :3251B o .. 2246'3 º= 14:321 o .. 0;30:30 o .. 0:3561 o .. ooi::B9 0 .. 00000
(*) Valores estes obtidos com auxílio do programa listado
no apêndice I.
39
b) Para o bi-momento no apoio:
Valores calculados de 1 em 1
metro, desde zero até 40 m.
L.I. - Fig. 4.14. O" O!JOO!J -o. '33::>i-2
-3= b06B2 -,:L 04217
-·4,, 90066 -5= 05707
-5=20657 -5:20900 -::i,, 16902 ·-5= 0906B -.:L '3 77::i i -4= B:3406
-,:L 467?'0 -A -:,;:;i.:::·:i -, = ,:_ ·-' .!. ,_, ·-'
-:3., 50B60 -:3 .. 2:3902 -2= '36::::20 H ~-- = ,:, ;:; ::: ;:; ;:;
-~:'. .. 40:38 i -2 .. 12572 -1,, :::52:36
-o= 6552:::'.i -0,,47045 --o=::::1119 -o .. 1 :::os? -O,, 08:304 ·-D. 02144
º= 00000
42
4,7 Linhas de Influ;ncia dos Momentos Fletores:
a) No apoio (Fig. 4.15):
FIG. 4.15
b) No meio do vao (Fig. 4.16):
-4 -4 /
10
FIG. 4.16
4.8 Cálculo das Tensões:
4.8.1 Tensões no Apoio:
Calcularemos as tensões no apoio para as duas situações
mostradas no item 3.3.1 (Cap. III). 1~ Situação: Veículo acabando de entrar no contrapeso.
a) Tensões de flexão: Temos, para este caso, o momento fletor calculado
anteriormente:
X = 1. 726 t. m
Temos, no apoio, a situação mostrada na Fig. 4.17; a
secção será considerada, para o cálculo das tensões
de flexão, como sendo duas vigas retangulares, cada
qual absorvendo metade do momento fletor.
M I y
A' s
M (d - x) . n I
43
FIG. 4.17
X
A' s
b w
LN
+-+
d h
Podemos utilizar o programa listado no apêndice~, entran
do com os seguintes dados:
fck 300 kg/cm 2
bf = 35 cm= bw d = 240 cm
d' 10 cm
As 141,9 cm 2
A' = 11,4 cm 2 s
hf o
:300 =
.-,;::
.:.,._! =
--~ .::., ·-'.
240=
1 º=
- " u.
:3==V5'326= 79B6 6=070648497 :;-;:5= 4::::36:3016 1= 712:3E,:35t:5 2 ::f:":'. 4 ::u:r3 1 = ·::1 9
FCK
BF
Bl,J
D
D!
H- ,:· ·-·
A,:- 1
·-·
HF
E,-. ·-· M
I
Temos então:
M = 863 t. m
863 X 1.000 X 100
28248892
ºc máx. = 261 kg/cm 2
ºs = 2.865 kg/cm 2
44
y = 3,05 y
b) Tensões devidas ao bi-momento:
Quando o veículo acaba de entrar na ponte, a situação
mais desfavorável para o bi-momento será o vão interno
com uma pista totalmente carregada com a carga de multidão
(Fig. 4.18):
o ,5t/m2 O, 3t/m2
~)))))))).~
(a) (b)
FIG. 4.18
m = t O • 3 x 3 • 7 5 2 + O , 2 x 3 x ( 3 , 7 5 - 1 , 5) = 3 , 4 6 tm/ m
2
Para o caso mostrado na Fig. 4.18b, temos, do Cap. I, a
equaçao:
B = _l (1 _ yl
Y2 2tghyl 2
shyz - shyz' ) shyl
45
com a qual podemos calcular os valores para traçar o dia
grama de bi-momento da Fig. 4.19 (*).
·-'3B= D 1 -:::o= ::::s -6,=L 1 :3
-11a'39 -1 = ?e
?= 42 15= 66 22= '39
51 = 4:3 52=50 52=85 52=50 51= 4:3 4'3a 64 4 7 = 13 A-:, ,:,7 -r ._, = ,_, i
:3·3= :::5 :35= 05 29= 44 .-, .-, ,-, ,-, .::.::.= 7 :::'
15 .. 66 7 = 42
- i 7,:, _;_ = ! ,_,
.-, .-, .-, .. ~ -:::.-:.,., :::.e,
-49= 26 -64= 1 :3 -:::o= 35 -·::1:::= O 1 ~ 1 -:, .-. ~
·- .!. i 1 = .:: • .!.
(*) Os valores fOram obtidos com auxílio do programa do
apêndice 2.
ESC- tlOlL. l;.2.01l
VER-lcin= 20m2
FIG. 4.19 Dl™MA DE.BLMf>MERTO..S PARA U.M MOMENTO TO.RSOR UN!TÁRl-0 U1*1FOR.MEMENTE DISTRIBUI DO
47
No apoio, temos que:
B = 3,46 X 117,21 = 405,47 tm 2
B 405,47 ºb = ~ w = w = 60,08 w Jw 6,75
Com w dado na Fig. 4.12.
As tensões ficam, então:
o = 60,08 xw 1 = 60,08 x (-0,90) =-54,1 t/m 2 =-5,41 kg/cm 2
1 o = 60,08 xw
2 = 60,08 x (-1,93) =-116,0 t/m 2 =-11,60 kg/cm 2
2
o3
= 60,08xw3
=60,08x3,30 =198,3 t/m 2 = 19,83 kg/cm 2
o ~ -o, 4
o = -02 5
o = -o 3 6
Na Fig. 4. 20 está representado o diagrama de tensões de
vidas ao bi-momento:
FIG. 4.20
48
Vejamos agora a outra situação desfavorável para as
tensões no apoio.
2~ Situação: Veículo no vao interno da ponte.
a) Tensões de flexão:
Neste caso, a situação mais desfavorável ocorre com o
contrapeso totalmente carregado com a carga de multidão.
Temos assim:
X = -1, 5 0 Ü - 2 8 S X 8 2
1 9 2 =- .5 1, t.m 2
e cada viga retangular absorverá metade deste momento.
M = 796 t.m
M = 796 X 1. 000 X 100 2,82 ªc = - y y y I 28248892
ªc max. = 241 kg/cm 2
(J s = 2642 kg/cm 2
b) Tensões devidas ao bi-momento:
Como já foram calculadas as tensões devidas à carga de
multidão, calcularemos agora apenas as tensões devidas
à passagem do veículo (Fig. 4.21):
l,St/m2
a 6,0 b
(a) (b)
FIG. 4.21
49
mt = 1,5 x 3 x (0,75 + 1,50) = 10,13 t.m/m
Para determinarmos a posição do veículo que produz o
bi-momento máximo, utilizaremos a linha de influência
da Fig. 4 .14.
A posição mais desfavorável do veículo será aquela em
que a área sob a L. I. seja máxima, como é mostrado es
quematicamente na Fig. 4.22:
6 m
FIG. 4.22
B = mt A máx.
mt = 10,13 tm/m
Amâx. = 30,87 m2 (*)
B = 312,7 t.m 2
B ºb = -.w
Jw = 312,7
6,75 w = 46,34 w
com w dado na Fig. 4.12.
As tensões ficam, então:
01
=-41,8 t/m 2 =-4,18 kg/cm 2
o 2 = -89, 6 t/m 2 =-8, 96 kg/cm 2
o 3 = 152,8 t/m 2 = 15,28 kg/cm 2
o4 =-01
os = ~o 2
o 6 = -o 3
(*) Calculada utilizando a regra de Simpson.
50
As tensões devidas ao bi-momento sao, então:
0 1 =-5,41 - 4,18 = - 9,59 kg/cm 2
o 2 =-11,60 - 8,96 =-20,56 kg/cm 2
03 = 19,83 + 15,28 = 35,11 kg/cm 2
O 4 = ··O 1
Os = -O 2
0 s =-o3
O diagrama terá o mesmo aspecto do da Fig. 4.20.
4.8.2 Tensões no Meio do Vão:
Façamos a análise dita no item 3.3.2 para determinar o
carregamento mais desfavorável.
Sabemos, a priori, que o veículo estará situado no meio
do vao. Falta determinarmos o comprimento a da carga
de multidão p'. (Fig. 4.23):
1, 5t/m2
FIG .4. 23 - a) _Carga devido ao veículo
p=0,5t/m2 P'=0,3t/m2
1 1 1 1 '
a ' .,
FIG.4.23 - b) Carga de Multidão
51
Nestas condições temos, ao longo da ponte:
2S. 17,0
,[ J I [ l q=4,St/m
6,0 17,0
p=l,St/m
E j j l j
p'=0,3(0,7S+a)
! l J, l 1
E os momentos torsores:
17 ,O 17 ,O
~2 ~ ) ) ) ) ) ) ) ) J ) ) ) ) )~
~)))))))))))))))) )~
em que:
mtl = l,Sx3x(0,7Sxl,S) = 10,13 tm/m
= 0 , 5 X 3 ( 0 , 7 5 + 1 , 5) = 3 , 3 8 tm/ m
= 0,3xº•752 -o 3x~=O 15 (O 75 2 -a 2) tm/m 2 ' 2 ' '
52
com a em metros.
O momento fletor no meio do vao sera:
Carga permanente: M0 = 60 t.m
veículo: M1 = 250 t.m
carga p: Carga acidental carga p':
M2 = 300 t.m 40 2
M:3=0,3 x (0,75 + a) x-8- =
= (45 + 60a) t.m
Então, M=M0 +M1 +M 2 +M3 = (655+60a) t.m
O bi-momento rio meio do vão será:
B = Bo + B1 + B2 + B3
B0 O, pois a carga permanente e simétrica.
B1 = Mtl -A1
Onde A1 é a area sob a linha de influência do bi-mo
mento no meio do vão, esquematicamente mostrada na Fi
gura 4; 24
17,0 6,0
FIG. 4.24
A1 = 21,53 m2
17,0
B1 = 10,13 X 21,53 218 t.m 2
B2 Mt 2 .52,85 = 179 t.m 2
B 3 = Mt 3. 5 2 , 8 5 = O , 15 ( O , 7 5 2 - a 2 ) x 5 2 , 8 5
B3 = (4,5 - 80a 2) t.m 2
Então, o bi-momento no meio do vão tem o seguinte va
lor:
B = (402 - Sa 2) t.m 2
com a em metro.
CÁLCULO DAS TENSOES:
d
53
a) Flexão:
Para o momento no meio do vao (positivo), o tabuleiro
estará comprimido. Teremos a seguinte secçao trans
versal (Fig. 4.25).
M - y I
M
I X
X
FIG. 4.25
A' s
1 ~ b w
Para o cálculo de x e I podemos utilizar o programa do
Apêndice 3, observando o seguinte:
As e A~ serão as áreas totais de aço na secção e bwse
rá a soma das larguras das 2 nervuras.
Assim, obteremos:
54
300.
750.
1 o.
108= 6
5.04
FCK
BF
Bl,.1
D
D'
AS
AS 1
HF
345926=7986 EC 6,,070648497 N 19=66163121 X 1 = 16:3846927 RÇ 33910068=04 I
55
Com estes resultados, podemos calcular as tensões de
flexão:
= (655 + 60a) X 1.000 X 100 X 19 ,66 = 33910085
= (38 + 3,5a) kg/cm 2
b) Bi-momento:
(402 - 8a 2)
6, 75 1,93 = (115 +2,3a 2
) t/m 2
ªb máx. = (11,5 - 0,23 a 2) kg/cm 2
A tensão máxima, de compressão, será:
a= ªcM + a0 = 38 + 3,5a + 11,5 - 0,23a 2 = 49,5 + 3,5a - 0,23a 2
que terá seu valor máximo quando
da= 0 da
da = 3,5 - 0,46a = O da
a= 7,61 m
Como o valor de a é maior que a metade da largura do
tabuleiro, tomaremos para a o seu valor máximo possí
ve 1 , ou se j a:
a= 3,75 m
Então temos:
M 655 + 60 x 3,75 = 880 t.m
B 402 8 X (3,75) 2 = 290 t,m 2
Mr e ªc = :ry= 2,60 y
ªcmai.· 2,60 x 19,66 = 51,02 kg/cm 2
n (d-x) M 3471 kg/cm 2
ªs = I
= B 290 w=42,97w ªb -w=--Jw 6,75
ªl!ii = 4 2 , 9 7 x ( -0, 9 O) = - 3 8, 8 t/m 2 =-3, 8 8 kg/ cm 2
Ob;2
= 42,97 x (- 1,93) = - 83,1 t/m 2 =-8,31 kg/cm 2
ª1:P = 42 ,97 x (3 ,30) = 141, 7 t/m 2 = 14 ,17 kg/cm 2
~, =-ab1 0 bs =-ab
2
56
e o diagrama de tensões sera (Fig. 4.26):
FIG. 4. 2 6
RESULTADOS NUMrRICOS
Tensões máximas de compressão no apoio
1~ Situação: com o veículo acabando de entrar no con
trapeso.
a = 261 kg/cm cmáx.
2
2
ªb - = 19,Bkg/cm max. ªmáx. = 28lkg/cm
2
2ª . - - 1 . Situaçao: com o veicu o
ªc - = 24lkg/cm2
max. 2
ªbmáx. = 35 ,lkg/cm
ªmáx. = 276kg/cm2
já no vao interno •
Tensões máximas de compressao no meio do vao
ªcmâx. = 5lkg/cm2
2 ªb - = 8,3kg/cm max.
amáx. = 59kg/cm2
57
CONCLUSÃO
Analisando os resultados numéricos obtidos, sin-
tetizados no final do Cap. I'V, verificamos que a tensão máxima
devida ao bi-momento ocorre no apoio e atinge cerca de 13% da
tensão total de compressão, enquanto que no meio do vão sobe a
14% da tensão total, porém esta é, numericamente, bastante infe
rior à tensão no apoio.
Uma vez que o objetivo do trabalho é obter a or
dem de grandeza das tensões devidas ao bi-momento, algumas sim
plificações e aproximações foram admitidas, tais como:
- As vigotas transversais da ponte, por serem de
pequenas dimensões, não foram levadas em conta
no cálculo das tensões devidas ao bi-momento.
- A ponte foi considerada como peça de parede
delgada, embora a relação entre espressura e
altura da secção seja pouco maior do que 0,1.
Para o cálculo das tensões devidas ao bi-momen
to, admitiu-se a estrutura no estádio I e para
cálculo das tensões de flexão admitiu-se a es
trutura no estádio II.
Deixamos para um estudo mais avançado a consideraçao da estrutura no estádio II, ou atê mesmo no estádio III ,
para o cálculo das tensões tanto de flexão como de bi-momento.
De qualquer modo, de um caso isolado como
nao e possível generalizar conclusões amplas. este
No entanto, o exemplo escolhido é bem como que
uma média de casos correntes. Vimos que os valores a que chega
mos introduziram acréscimos muito modestos às tensões de flexão.
~ de supor que, embora as percentagens determinadas variem em
cada caso, pelas peculiaridades próprias às relações dimensio-
58
nais no concreto a.i:Jl)ado, ess,es ac,ésciJl)QS nao sejam jamais ex
pressivos. SÔ em situa.ções de peças mui.to delgadas, como ocor
renas estruturas protendidas, torna-se possfvel que as tensões
devidas ao bi-momento, apresentem grandezas realmente ponderi
veis. :E essa portanto uma situação que fica ainda por ser examinada.
APÊNDICE
59
APENDICES
1 : Programa para Cálculo
nhas de Influência do
Viga Bi-Engastada.
das Ordenadas de Li
Bi-Momento em uma
APÊNDICE 2: Programa para Cálculo das Ordenadas do
Diagrama de Bi-Momentos para uma Viga BiEngastada Sujeita a um Momento Torsor Uni
tário Uniformemente Distribuido.
APÊNDICE 3: Programa para Cálculo de Parâmetros Utili
zados nos Cálculos de Tensões de Flexão e
Flecha de Vigas Retangulares ou "T" (Est~
dio II).
60
APÊNDICE I
Programa para Cilculo das Ordenadas de Linhas
de Influência do Bi-Momen to em uma Viga Bi-Engas tada.
a
z
T=l ~
b
uso do programa:
Introduzir inicialmente nos resgistros de dados os se
guin tes valores:
Registro Valor a ser Introduzido
onde
Roo y - ~ /mJ
Rol l - [m J Roz 11 a- [m]
R04 zo- [m]
y = vfF l = vao interno da viga
Lia= acréscimo no valor a, ponto de aplicação da ca~
ga.
z0 = secçao a que é referida a 1 inha de influência.
Com os valores nos registros, introduzir a0 (ponto inicial
de aplicação da carga) e pressionar a tecla D.
Serão impressas as ordenada l.i desde a abscissa a 0 até l
com incremento Lia· Apresentamos a seguir a listagem do programa.
61
iJCiO 76 LBL 001 11 A 002 003 004
e: ·:i ._,._,
5 :3
005 10 10 006 22 I t-~ 1
./
007 23 LH/
00'3 4:3 F:'.CL 010 10 10
--- Oi 1 94 +./-
Oi4 54 015 O 1 6 D17 013
t:- !;;' ._,._1 O:::'. 2
ti:, LBL 020 12 B
022 53 023 4:~: F-:'.CL 024 10 10 025 22 I f-~\·1
026 ~:::::: Lt-~:=<
r, •"*, ,-, -~ .-, r, ,-. , u:::,,:, ~t . .:,. r:.t~,L
029 10 10 '34 + . ..-' -22 I t·i'/
035 02 .-, :::.
036 54 037 92 f:TN o::.;::; 76 LBL
1 .-, ,-. i . .:,. !_.
040 43 RCL 041 00 00 042 65 04:3 4:3 RCL 044 01 01 045 95 :::: 046 42 :::ro 047 10 i!J 04B 42 STD D4'3 DE. 06
62
050 051 052 053
01 1
B =
054 42 STD
056 057 058
02 +
n~q 11 A 060 42 STD 061 09 09 062 063 064 065
43 RCL ~ n lU ~~ 7J
10 =
066 42 STD 067 07 O? 068 43 RCL 069 00 00 070 071 072 073 074 075 076
43 RCL 04 04 95 = 42 STD 10 1 ?
10 n D
077 42 STD 15 o l !
078 079 080 081 43 RCL 082 00 00 083 95 = 084 42 STD 085 16 lb
086 92 RTN 087 76 LBL 088 16 A~ 089 43 RCL 090 00 00 091 65 092 43 RCL 093 05 05 094 95 = 095 42 STD 096 10 10 097 43 RCL 098 05 05 099 75
63
101 55
105 42 STO 1.06 14 107 01
14
1 o::: 109 110
~ .-, l ,::.
95 1 i i 4~:'. '.;:;TO 1 1 2 1 :3 1 3
114 43 F::CL 115 1. 16 i 'i 7 .;. ,!. !
11 ::; 119 i2C
,1,-, !_,,:,
+ 4:3 ~'.CL.
0':l _.- r.:' e, .. }
43 RCL 21 00 00
-~ 25 i --) L .l. ,:_ '-·'
.. - .:e,._!
14 14 =
1:32 4:3 ?CL 13:3 14 14 1:34 65
1 ::::? 1 .-, ,-, ' .. ··--:, i :39 140 i 41 142 l .;+.j
~ .--, ~ .-, .l-.) i . . .:,
.-- e:' c,._I
4:3 ~:CL D1 01 .-- ;::-e,·-'
145 01 1 146 147 14::: CEC! ,_, -·· 149 55
09
64
150 43 RCL 151 06 06 152 54 153 95 = 154 55 155 43 RCL l~b 07 07 157 95 = 158 42 STD 159 11 i L
160 92 RTN 1b1 76 LBL 162 14 D 163 94 +/-164 + 165 43 RCL 166 167
01 n~ 7J
OI =
168 42 STD 169 170 e 171 76 LBL 172 15 r e 173 16 A' 174 29 CP 175 43 RCL 176 04 04 177 85 + 178 43 RCL 179 05 05 180 75 181 43 RCL 100 iv~
183 184 185
01 95 77
01 = GE =
186 25 CLR 187 42 STD 188 17 17 189 61 GTD 190 85 + 191 76 LBL 192 95 = 193 65 194 43 RCL 195 00 00 196 95 = 197 42 STD
10 1 1
10 o "
65
200 C' ;;:-._! ._I
2Di 43 f:CL. ~:'.O~:'. DO 00 2D3 '35 = 204 42 :::To 205 17 17 :206 76 LBL 207 ;35 +
209 ~ i j_ l 1 1
~- .l
211 4:3 PCL :: 12 .-, -: .·-, e.. i . .:,
. "" .l. ·-' ;:_:5
15 +
214 4:3 F'.CL 21.5 12 12 2 i 6 ·:, "! -7 ,:_ .l.'
•. - C' c,._l
218 16 16 21'3 75 220 43 F'.CL 221 17 222 95
17
224 43 f'.CL. 225 02 02 226 ·:,-::, It·~'/ 227 44 SUM 22S 05 05 22'3 43 F::CL. 2:30 .-, .-, ~
.;:.::J, .!.
.-,.,.-, .:::..::J.e::.
r,i;::!_I ._I
15
,-,\:.:· u._1 GE E
66
APENDICE II
Programa para cálculo das ordenadas do diagrama
de Bi-Momentos para uma Viga Bi-Engastada Sujeita a
uma momento Torsor Unitário Uniformemente Distribuído.
Mt~l
~J)JJJJJJJJJJJ)))JC .e.
z >
uso do programa Introduzir inicialmente nos registros de dados os se
guintes valores:
Registro Valor a ser Introduzido
Roo y - [' /m]
ROl .e. [m]
Roz Íl. z [m]
onde
!J.z é o incremento das abscissas. Com os valores nos registros, introduzir z0 (abscissa
inicial) e pressionar a tecla A.
Serão impressas as ordenadas
to desde a abscissa z0 até
do diagrama de bi-momen
l, com incremento !J.z .
Apresentamos a seguir a listagem do programa.
67
OO!J 001 002 oo::.=:: 004 005 006 007 oo::: 009
76 LBL
e:'•''", ._1.,:i
5:3
1 n ..t ,_, 1 ;J 22 I f·~\1
23 u-r< 4:3 RCL
010 10 10 ,-, -1 -1 Ull '34 + ... -· -O 1 ê~ .-, .-, T L 11 1
L. ~: 1 r-i ',' .-. J .-.
U 1 . .:; 2 3 L f·1 ::-:: 014 015
~.-'! ._,, ;::- t:" ._! .• _!
Oi6 02 017 oi:::
54
.·-, e..
O 1 '::l ü20 021 022 023
( t• LBL 17 B~ ::::·:• ·-··-' e:'·-· ._! • .:,
024 1 !J 1 !)
027 ,-,e:' ,:, ._! +
1 n ..t ,_, 029 iD 030 94 + . ...- -0:3 i ·-:-•·::, I t·-i\·' 0:32 2:3 LH'.=< 0:33 54
0:35 ,-,., .. -u . .:,;:,
o~: 95
2 =
0:3:3 76 LBL 12 r,
D
040 4:3 F.:CL 041 00 00 042 65 04:3 4:3 i:;::CL 044 01 045 95
01
047 iD 10
04'3 75
68
050 051 052 05:3 054 055
c:i 1 '35 e. e:: ·-··-· 02 95
1 ==
2 ==
.-,i::- -1 .•• •• •
.::., ._! l . .- (··,
056 65 >='.
057 4:3 RCL 05::: 10 10 05'3 '35 = 060 42 STO OE.1 04 04 062
064 065 066
==i·::• i?TM -:, .. - 1 r,1 ;· O LC1 L
11 A 42 STD
0:3 8
06:3 43 F.'.CL 06'3 O 1 070 071
.;.-, '··' ~ T .::., .::. ,··-, ~ !
76 LBL 072 '35 = 07:3 4:3 RCL 0?4 0:3 0:3 075 67 EG! 0?6 65 D77 ?"~ GE
079 76 LBL 080 65 ::-~ 081 65
084 ,-, e:" ::i ._; ==
085 42 ::;To 086 10 10 qn-:, -i .-- Q ! u,:, i' lo ! •
089 5:3 090 5:3 091 4:3 F'.CL 092 01 01
094 4:3 RCL.. 095 0:3 0:3 096 0'37 09:'3
54 .- r-• t, ::1 43 F.'.CL
69
100 54 101 42 STD 102 10 10 103 16 A~ 104 95 = 105 g4 +/-106 65 107 43 RCL 108 109 110 1 1 1 112 113
04 04 +
01 1
43 RCL 114 00 00 11s 33 x2 116 95 = 117 99 PRT 118 43 RCL 119 02 02 120 qq SUM 121 03 03 122 61 GTD 123 124 76 LBL 125 85 + 126 91 R/S
70
APÊNDICE III
Programa para Cilculo de Parimetros Utilizados
no Cilculo de Tensões de Flexão e Flecha (No Esti
dio II) de Vigas Retangulares ou "T".
d
A = s Área .da armadura tracionada A'= Área da armadura comprimida s b = w largura da nervura
bf= largura da mesa
hf= espessura da mesa
d= altura Útil da viga
d'
d'
cP= dist. do CG da armadura ao bordo da viga
uso do programa Pressionar as teclas RST seguida de R/S
Seri impresso FCK, introduzir o valor fck- [kg/cm2] e
pressionar R/S seri impresso o valor fck e BF, irrtro
<luzir o valor bf(cm) e pressionar R/S, etc.
Os valores introduzidos serao:
fck - [ g/cm2]
bf [ cm J b [ cm J w d [ cm J d' [ cm J As [cm 2 J A' s [cm2 J hf [cm J
Serão
Ec
n
X
71
calculados e impressos os seguintes valores:
- módulo de deformação do concreto -[kg/cm2J - relação dos módulos de deformação n = ~
- dist. da linha neutra
- relação de curvatura
à borda comprimida
3IEci+E s Rc=
Ec
- [cm]
IEcl+Es I - momento de inércia no estádio II - [cm4 J
72
001 22 IM\=1
oo;;:: 58 F I :=-=:
003 02 2 004 005 006 007 oos DD9
Oi 01 05 02 06
1
5 2 6 A
01D 42 STD 011 00 00
013 0:3 :::: 014 05 5 015 95 =
017' 65
01'3 o::: B :J2D 0'3 '3 OC~i 00 D 022 00 O
Oê~4 42 STD 025 OC~6 027
02'3
o:::: i D32 n·:•·:= ,_,._, __ ,
0:35 C!:36
02 01 00
00 00 00 '35
0:3
.-, "-i o o o o o =
.-. e:- " .• '··' .::_,._! l .. · ,···,
42 STD 0~37 0'3 0'3 03::; 01 1 0:3'3 04 4 04D 02 2 041 01 1 042 11 A 04:3 42 STD 044 01 01 045 046 047 C!4B 04'3
Oi 04 04
'i i .!. .!
1
.-, .::.,
A
73
050 42 '.3TD 051 02 02 052 Oi 1 05:3 06 6 054 11 A 055 42 STO 056 05 05 057 Oi 1 05B Ot~, 6 059 06 6 060 05 5 06 i 11 A 062 42 ::;TO
064 01 065 0:3 066 0:3 067 06
04 i
-~ .,:,
6 OE,;3 11 A 06'3 42 ::;TO 070 071 072 07:3 0?4
,-, .--u c,
OE. 06 05
D6 1 .-, .:., :3 6 6 e·-'
075 076 077 07::;
ii A 4;2 :::TO
07'3 07 OBD 02
0:::2 02 0:33 01 0:34 11
07
2 i A
OE:6 0:3 03 0:37 43 RCL 088 09 09 or::9 090 0'31
.. - ;::-C• ,_I
5:3 43 F.'.CL
092 OE. 06
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74
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