TÉCNICAS DE CODIFICAÇÃO DE SINAIS
CÓDIGOS DE BLOCO
Evelio M. G. Fernández - 2009
Sejam:
Vn: espaço vetorial das n-uplas ppqqFaVaaa min ,,1,,1,0,,,, 21
primo, m inteiro.
S = Subespaço de Vn, Dim(S) = k.
DEF: Código linear C:
C é um código linear C = S sub Vn.
nn VSSvaaavC sub,/,,,: 21
v = palavra-código.
Se S tem Dim(S) = k
C: (n, k).
k = comprimento da informação em dígitos.
n = comprimento da palavra código em dígitos.
Código de Bloco Linear
É o código linear C’ associado ao espaço nulo S’ de S (SS’) C’:
(n, n – k), [pois Dim(Vn) = Dim(S) + Dim(S’)].
EX: Dado S = {000, 111, 101, 010}, determine:
- S’ / S’S.
- Dim(S) e Dim(S’).
- Código C associado a S’.
- Código dual C’ associado a S’.
- Matriz geradora de S (código C)
- Matriz geradora de S’ (código C’).
- C: (n, k) = ?
- C’ = (?)
Código Dual de C(n, k)
DEF: Matriz G geradora de um código linear C:
As linhas (n-uplas) de G formam uma base para S sub Vn.
Dim(S) = k nkG e rank(G) = k.
DEF: Equação de codificação:
Uma palavra código v C: (n, k) corresponde a uma combinação linear
das linhas da matriz geradora de C.
u v = uG
u = [u1, u2, ..., uk]: vetor informação.
v = [v1, v2, ..., vk]: palavra código.
G: Matriz geradora de C: (n, k).
Codificador linear
Matriz Geradora, G
DEF: Matriz H de paridade de um código linear C.
Seja C S Sub Vn com Dim(S) = k. As linhas (n-uplas) de H formam uma
base para S’ = espaço nulo de G. S’ é o espaço das linhas de H.
- Se Dim(S) = k Código C: (n, k) Dim(S’) = n – k; S’S.
H é uma matriz nkn e rank(H) = n – k = no de linhas L.I. de H.
A matriz geradora de C’ dual de C é equivalente à matriz H (obtida por operações
lineares sobre as linhas).
Matriz de Verificação de Paridade, H
Seja C = Subespaço de V com Dim(S) = k. Então o seu código dual C’ = S’, Subespaço
de V onde S’S, Dim(S’) = n – k C’: (n, n – k). Se G gera o código C, G’ H (matriz
de paridade de C) gera o código C’ dual de C.
Então: 0 TGG
ou equação de verificação de paridade do código C.
Seja C: (n, k) com matriz geradora nkG e matriz de paridade nknH .
Então:
C = espaço das linhas de G ou espaço nulo de H.
C’: Dual de C = espaço das linhas de H ou espaço nulo de G.
Condição necessária e suficiente para v G,
0 THv
0 THG
Códigos Duais
A matriz geradora de um código equivalente a um código C, é obtida por
permutações de colunas da matriz G geradora de C. Códigos equivalentes apresentam
a mesma probabilidade de erro PE em canais DMC.
Código Sistemático:
knkkk
kn
kn
kn
ppp
ppp
ppp
ppp
G
,21
,33231
,22221
,11211
*
|1000
|
|0100
|0010
|0001
nkk PI ,
Teorema 3.2 (P & W):
Todo código linear é equivalente a um código sistemático.
Códigos Equivalentes
Teorema 3.3 (P & W).
Seja C* o espaço das linhas de G* = [Ik | P], então C* é o espaço nulo da
matriz,
kn
T IPH |
ario- códigopara moduloadição na inverso
*
Isto é: knkTHG ,
* 0
Códigos Sistemáticos
Teorema 3.1 (P & W).
Seja C:(n, k) um código linear que é o espaço nulo de uma matriz H (matriz de
verificação de paridade de C). Então para cada palavra-código de peso de Hamming
igual a w, existem em correspondência w colunas L.D. em H e vice-versa. (para w
colunas L.D. palavra código de peso = w).
DEF: Peso de Hamming.
No de dígitos diferentes de zero em uma n-upla, sobre GF(q).
EX: PH(10110) = ?
PH(20120) = ? Corolário 3.1 (P & W):
Um código de bloco C, que é o espaço nulo de uma matriz H, tem distância mínima igual a w se e somente se todas as combinações de (w – 1) colunas de H ou menos, são L.I.
Peso de Hamming
Singleton Bound
• A distância mínima de qualquer código de bloco (n, k) satisfaz,
• Códigos cuja distância mínima cumpre com,
são chamados de códigos de distância máxima (MDS: maximum-
distance separable codes)
1min knd
1min knd
Seja um código linear C:(n, k) de matriz geradora [G]k,n e matriz de paridade [H]n – k, n.
Seja vi C; vi = palavra código de C, i = 1, 2, ..., qk.
kqvvvC ,,,0 11 e seja gj V; gj = n-upla do espaço vetorial Vn; j = 1, 2, ...,
qn. O arranjo padrão para o código C é um arranjo especial de todas as n-uplas de Vn.
qn-k linhas (cosets).
Líderes dos cosets qk colunas.
# palavras códigos = qk.
# cosets = qn-k.
# elementos arranjo padrão = qn (total de n-uplas de Vn).
v1 0 v2 v3 vqk
g1 + v1 g1 g1 + v2 g1 + v3 g1 + vqk
g2 + v2 g2 g2 + v2 g2 + v3 g2 + vqk
: : : : : : : :
Arranjo Padrão (Standard Array)
Arranjo Padrão para Códigos Binários
u v r u
v = palavra código de C: (n, k) (n-upla q-ária).
r = vetor recebido após canal com ruído (n-upla q-ária).
(v, r) Vn.
DEF: Padrão de erro:
e = r – v (n-upla q-ária).
Teorema 3.5 (P & W):
Se o arranjo padrão for usado como tabela de decodificação de um código de bloco C,
então um vetor recebido r, r Vn será decodificado corretamente na palavra código
transmitida v se e somente se o padrão de erro e = r – v for líder de coset.
Codificador Canal Ruidoso
Decodificador
Sistema Codificado (simplificado)
DEF: Síndrome:
A síndrome de um vetor recebido r é o vetor de (n – k) dígitos:
THrs
onde: [H]n – k, n = matriz de paridade do código C.
[r]1, n = n-upla recebida.
[s]1, n – k = síndrome de r.
Propriedade: A síndrome de v C é o vetor zero:
0 THvs v {espaço nulo de H} {espaço das linhas de G}
Síndrome
Teorema 3.6 (P & W): Dois vetores ri e rg estão no mesmo coset se e somente se
suas síndromes forem iguais.
s
Tq
TTT HrHrHrHes k 32
“Cada síndrome distinta corresponde a apenas 1 padrão de erro e”.
# síndromes = # cosets = # padrões de erro = knq .
DEF: Potencialidade de correção de erro.
2
1mindt
t = peso (máximo) dos padrões de erro corrigíveis.
v1 0 v2 v3 vqk
r1 = e r2 = v2 + e r3 = v3 + e rqk = vq
k + e
Síndrome
Procedimento:
r si = rHT
si ei
Palavra decodificada: vi = r – ei
Teorema 3.7 (P & W): Supondo palavras código equiprováveis, a probabilidade média de
decodificação correta PC, é máxima se a tabela de decodificação (“decodificação ótima”) for
o arranjo padrão que tiver em cada coset o vetor de menor peso como o líder de coset.
Propriedade:
222
110
nnnC QppQQP
i = # de líderes de coset com peso = i.
p = probabilidade de transição do BSC.
Q = 1 – p
s e s1 e1 s2 e2
knqs knqe
Tabela de Síndromes como Tabela de Decodificação
Exemplo: Decodificador de um Código (6, 3)
6533
5422
6411
654321
101
110
011
100
010
001
rrrs
rrrs
rrrs
rrrrrrs
Hrs T
Tipos de Decodificadores
• Três possíveis resultados da decodificação:
1. Decodificação correta, ĉ = c2. Erro não corrigível detectado, c = indefinido3. Erro de decodificação, ĉ ≠ c
• Decodificação completa: Toda palavra recebida é decodificada em alguma palavra-código
• Decodificação incompleta (bounded-distance decoding): Correção de todos os padrões de erro de peso ≥ t.
DEF: Código Perfeito
Os líderes de cosets de seu arranjo padrão correspondem a todos os padrões de erro
de peso t.
DEF: Códigos quase-perfeitos:
Os líderes de cosets correspondem a todos os padrões de erro de peso t ou menos,
alguns de peso t + 1 e nenhum de peso maior.
DEF: Código ótimo para canal BSC:
Um código binário de grupo é “ótimo” para canal BSC se a sua probabilidade de
erro PE é a menor possível para os mesmos valores de n e k.
Propriedade:
Todo código quase-perfeito (quando existir para dados n e k) se constitui em um código ótimo.
Códigos Perfeitos e Códigos Ótimos
A) Códigos Cíclicos.
B) Códigos de paridade simples (altas taxas)
C: (k + 1, k) ou (n, n – 1)
dmin = 2 02
1min
dt
“sem potencialidade de correção (t = 0) são usados em esquemas de detecção
de erro simples”.
C) Códigos de repetição simples (baixas taxas)
C: (n, 1) R = 1/n
dmin = n
Exemplos de Códigos de Bloco
D) Códigos de Hamming Binários (Hamming, 1950).
mC mm 12,12:
12 mn e k = n – m
m = n – k dígitos de verificação de paridade
São códigos cujos Hmxn: colunas correspondem as m-uplas 0 (# m-uplas = 2m – 1)
dmin = 3, independe de m 12
13
t correção de erros simples
São códigos perfeitos.
E) Códigos de Hamming q-ários (dmin = 3)
Para GF(q) e dado m
C: (n, k); 1
1
q
qn
m
k = n – m dmin = 3 t = 1
São códigos para correção de erros simples (t = 1).
Exemplos de Códigos de Bloco
F) Códigos de Hamming incompletos (códigos de Hamming com dmin = 3 e n )
Dado n qualquer e m = menor inteiro tal que:
nm 12
C: (n, n – m) e dmin = 3
Construção: Consiste em apagar colunas do código de Hamming de mesmo valor de m.
G) Código de Hamming com paridade nos bits (dmin = 4)
Dado m qualquer são códigos com mn 2 e m + 1 dígitos de paridade
12,2: mC mm .
Construção:
111 de valor dado o
para Hamm. cód.
do Matriz
0
0
m
H
H
OBS: São conhecidos como os códigos quase-perfeitos de Hamming.
Exemplos de Códigos de Bloco
H) Códigos de Hamming com dmin = 4 e n .
Dado n qualquer e m = menor inteiro tal que nm 12
C: (n, n – m); dmin = 4
Construção: Consiste em apagar colunas do código de Hamming com paridade nos bits
e mesmo valor de m.
I) Código de Golay (dmin = 7).
1123
23
2
23
1
23
0
23
corrige todos os padrões de erro de peso t = 1, 2 e 3 é código perfeito C: (23, 12).
J) Códigos ótimos para BSC.
Alguns códigos quase-perfeitos e portanto ótimos:
a) Repetição simples com n = par (dmin = n)
b) Código de Hamming com bit de paridade (dmin = 4)
c) Código de Hamming incompletos (n) (dmin = 3)
d) BCH (Bose – Chaudhuri – Hocquenghem)
Exemplos de Códigos de Bloco
Seja C: (n, k) um código de bloco. Seja Ai = No de palavras código de peso “i”,
DEF:
{Ai; i = 0, 1, 2, ..., n} = espectro de pesos ou distribuição de pesos de C
(‘weight spectrum’, ‘weight distribution’)
Aplicação: determinação da probabilidade de erro não detectável de C.
DEF: Erro não detectável:
Padrão de erro = palavra código não zero (para código não linear).
DEF: Probabilidade de não detecção Pnd,
n
i
iniind ppAP
1
1
p = probabilidade de transição do canal BSC.
Espectro de Pesos para Códigos de Bloco
Sejam: {A0, A1, ..., An} = espectro de pesos C e {B0, B1, ..., Bn} = espectro
de pesos de C’C.
Representação polinomial:
n
n
nn
zBzBBzB
zAzAAzA
10
10
OBS: Idéia: calcular Ai a partir dos Bi.
z
zBzzA nkn
1
112 → Identidade de MacWilliams
Identidades de MacWilliams
Códigos de Bloco Lineares Modificados
• Comprimento de bloco de projeto de um código: determinado por propriedades algébricas e combinacionais de matrizes ou polinômios.
• Comprimento de bloco desejado: frequentemente diferente do comprimento de bloco de projeto.
Exemplo:• Comprimento de bloco de projeto de um código de Hamming:
n = 2m 1 (7, 15, 31, ...)• Número de bits de informação pode não ser k = 2m 1 m (4,
11, 26, ...) Existem seis formas de modificar parâmetros de um código de
bloco linear (n, k, n k)
• Encurtar: n k fixo, diminuir k e, portanto, n.
• Símbolos de informação são apagados para se obter um comprimento de bloco menor do que o comprimento de projeto.
• Os símbolos que serão apagados são supostos como sendo zeros das palavras-códigos
• Exemplo: Pacotes Ethernet têm no máximo 1500 bytes de dados ou 12000 bits. O checksum Ethernet de 32 bits provem de um código de Hamming com n = 232 1 = 4294967295 bits ou 536870907 bytes.
Códigos Encurtados (Shortened Codes)
Códigos Encurtados: Exemplo
• Um código de Hamming binário (15, 11) tem a seguinte matriz de verificação de paridade,
• Um código encurtado (12, 8) pode ser obtido apagando as colunas de peso máximo 12, 13, e 14 da matriz H.
111101011001000
011110101100100
001111010110010
111010110010001
H
101011001000
010101100100
011010110010
110110010001
H
Códigos Alongados (Lengthened Codes)
• Alongar: n k fixo, aumentar k e, portanto, n.
• Novos símbolos de informação são introduzidos e incluídos nas equações de paridade.
• Exemplo: Códigos de Reed-Solomon estendidos obtidos alongando códigos RS(Q 1, k) para códigos RS(Q +1, k +2) adicionando duas coluna à matriz H,
22
2242
22
22
2242
22
110
100
101
1
1
1
Qddd
Q
Q
Qddd
Q
Q
HH
Códigos Expurgados (Expurgated Codes)
• Expurgar: n fixo, diminuir k e incrementar n k.
• Palavras-código são apagadas adicionando equações de paridade, reduzindo a dimensão do código. Objetivo: aumentar a capacidade de correção de erros.
• Exemplo: O código BCH (15, 7) pode ser obtido a partir do código de Hamming (15, 11) adicionando quatro linhas à matriz H. A matriz de verificação de paridade é,
42393612963
141312432
11
HH
Códigos Aumentados (Augmented Codes)
• Aumentar: n fixo, aumentar k e diminuir n k.
• Incluir novos vetores na base (novas linhas na matriz geradora). Isto aumenta a taxa do código e (possivelmente) diminui a distância mínima.
• Exemplo: Matrizes geradoras de códigos de Reed-Muller, R(r, m) são definidas por
• Submatrix Gi tem linhas e n = 2m colunas. O número de bits de informação é,
• A distância mínima é 2m r
rG
G
G
G
1
0
i
m
r
mmmk
10
Códigos Expandidos (Espanded Codes)
• Expandir: k fixo, aumentar n k e n.
• Incluir novos símbolos de paridade com as correspondentes equações de paridade.
• Exemplo: Códigos de Hamming estendidos (códigos de Hamming com paridade nos bits). Isto aumenta a distância mínima para 4.
• Quando a distância mínima de um código de bloco binário linear é ímpar, adicionar paridade sobre todos os bits incrementa a distância mínima em 1.
• Exemplo: Código de Golay (23, 12), dmin = 7 (código perfeito). Uma equação de paridade sobre todos os bits incrementa dmin para 8.
• O código de Golay estendido com parâmetros (24, 12, 8) foi usado para correção de erros nas missões espaciais Voyager I e II.
Códigos Puncionados (Punctured Codes)
• Puncionar: k fixo, diminuir n k e, portanto, n.
• Apagar símbolos de paridade pode reduzir a distância mínima.
• Porém, códigos puncionados podem corrigir a grande maioria dos erros corrigíveis pelo código original.
• Puncionar pode reduzir a distância mínima mas não reduz significativamente o desempenho do código.
• Códigos puncionados podem ser obtidos a partir de códigos simples que tenham muita redundância.
Modificação de Códigos de Bloco Lineares: Resumo
• Encurtar: Apagar símbolos de informaçãon k fixo, k n
• Alongar: Adicionar símbolos de informação
n k fixo, k n
• Expurgar: Apagar palavras-código, adicionar símbolos de paridade
n fixo, k n k
• Aumentar: Adicionar palavras-código, apagar equações de paridade
n fixo, k n k
• Expandir (estender): Adicionar símbolos de paridade
k fixo, n k n
• Puncionar: Apagar símbolos de paridade
k fixo, n k n
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