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4.1. Amostragem Periódica
4. Amostragem de Sinais Contínuos no Tempo
nnTxnx c ,][
Tf s
1
T: Período de amostragem [s]
Frequência de amostragem [Hz]
Ts
2 Frequência de amostragem [rad/s]
C/Dxc(t) x[n]
T
ConversorContínuo/Discreto
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2
A implementação de um conversor C/D é um conversor A/DIdeal.
-Precisão infinita – Infinitos números de bits-Quantização em passos lineares-Sem efeitos secundários devido ao circuito de sample&hold-Sem limitações quanto à taxa de amostragem
A operação de amostragem ideal é irreversível:Pois vários sinais contínuos podem dar origem
a um mesmo sinal amostrado.
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Representação matemática da conversão C/D:
Figura pag 142
x[n] Sinal Discreto xs(t) sinal contínuo
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4.2. Representação da Amostragem no Domínio Frequência
n
nTtts )()( Trem de impulsos:
ncs
ncs
cs
nTtnTxtx
nTttxtx
tstxtx
)()()(
)()()(
)()()(
Sinal amostrado por trem de impulsos
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Propriedades da Transformada de Fourier contínua:
k
sF
n
kT
SnTtts )(2
)()()(
Transformada do trem de impulsos é também um trem de impulsos:
Ts
2Onde:
T 2T-T-2T t[s]
......
s(t)S()
[rad/s]
T
2
T
2
s 2s-s-2s
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Teorema da convolução: )(*)()().( 21 YXtytx F
assim:
kscs k
TXX )(
2*)()( 2
1
)()()( tstxtx cs
Logo:
k
scs kXT
X )(1
)(
Ts
2Onde:
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p/ sinal xc(t) limitado em frequência:
Nota-se que se:
Ns
NNs
2
Não haverá superposição de espectros.
Distorção por superposição de espectros, ou Recobrimento, ou Efeito Aliasing.
Caso: Ns 2
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Reconstrução perfeita por filtragem passa-baixas ideal:
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Ex.: Amostragem de um sinal cossenoidal:
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Teorema de Nyquist(1928) ou Teorema de Shannon(1949) ou Teorema da Amostragem
“Seja um sinal xc(t) limitado em frequência tal queXc()=0 para ||>N. Então xc(t) é unicamente determinado pelas suas amostras xc(nT), n=0,1,2,… se:
NTs 22 ”
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Relação entre X() e Xs().
Sabemos que:
n
cs nTtnTxtx )().()(
Aplicando a transformada de Fourier:
n
nTjcs enTxX .).()(
Como: )(][ nTxnx c
E sabendo a DTFT:
n
njenxX .].[)(
Logo:
Ts XX
)()(
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Já vimos que:
k
scs kXT
X )(1
)(
Logo:
k
Tk
TcXT
X 21)(
Ts
2
Pode-se pensar como uma normalização da frequênciaOnde =s é normalizada em =2
Este efeito é diretamente relacionado com a normalizaçãoque ocorre no tempo, onde o período T é normalizado em 1 amostra.
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Exemplo:
)4000cos()( ttxc Amostrado a fs=6kHz.T=1/6000 s=12000
Frequência analógica 0=4000 rad/s ou f0=2kHz amostradaa fs=6kHz, é equivalente a frequência digital:
amostraradT /3
2
6000
1.400000
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4.3. Reconstrução de sinais limitados em frequência
A partir de x[n] podemos obter xs(t), sinal trem de impulsoscontínuo ponderados por x[n], como:
n
s nTtnxtx )(][)(
Se aplicarmos este sinal à entrada de um filtrocontínuo PB ideal Hr(), com resposta ao impulsohr(t), então teremos:
nrr
nrr
nrr
nTthnxtx
nTtthnxtx
nTtnxthtx
)(][)(
)(*)(][)(
)(][*)()(
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Filtro de Reconstrução Hr():
•Largura de Banda c entre N e (s-N)•Ganho T
Se o sinal foi amostrado sem aliasing, p/ qualquer sinal de entrada basta:
Ts
c
2
Resposta ao impulso hr(t) será: sin /
( )/r
t Th t
t T
Notar que:...,3,2,1,0)(
1)0(
nnTh
h
r
r
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Logo podemos calcular:
n
r TnTt
TnTtnxtx
/
/sin][)(
n
rr nTthnxtx )(][)(
Assim: se x[n]=xc(nT) xr(mT)=xc(mT) m inteiro
Pontos de amostragem são perfeitamente reconstruídos.
Vendo o gráfico de:
TnTt
TnTtnx
/
/sin][
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Fig. Pag 152
Logo o filtro passa-baixas ideal, interpola os impulsosdo sinal xs(t) para obter o sinal contínuo xr(t).
Vimos que xr(mT)=xc(mT), se não houver aliasing: xr(t)=xc(t) como se pode notar pela análise espectral.
Vendo o gráfico de:
n
r TnTt
TnTtnxtx
/
/sin][)(
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Podemos esquematizar um conversorDiscreto/Contínuo ideal como:
Fig. Pag 152
A partir de:
n
rr nTthnxtx )(][)(
Obtemos:
n
nTjrr eHnxX ).(].[)(
n
Tnjrr enxHX ].[).()(
( ) ( ).r r TX H X
Logo:
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4.4. Processamento Discreto de Sinais Contínuos
C/D D/CSistemaDiscreto
T T
xc(t) yr(t)
x[n] y[n]
P/ sinal xc(t) limitado em frequência:
)(][ nTxnx c
k
Tk
TcXT
X 21)( F
n
r TnTt
TnTtnyty
/
/sin][)(
F
outros
YTYHY TT
Trr0
,)(.)().()(
Não necessariamente iguais
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4.4.1. Sistemas Discretos LTI.
Temos a reposta em frequência efetiva do sistematotal dado por:
2
2
||,0
||,)()(
s
s
T
TTeff
HH
Condições:•Sistema discreto LTI•Sinal de entrada limitado em frequência•Respeitado o teorema da amostragem
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4.4.2. Invariância ao Impulso
hc(t)Hc()
xc(t) yc(t)
C/D D/Ch[n]H()
T T
xc(t) yr(t)= yc(t)
x[n] y[n]
Sistema invariante ao impulso:
||,)(
)(.][
TTc
c
HH
nThTnh
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4.6. Mudança da taxa de amostragem usandoProcessamento Discreto
Modos: • reconstruir xc(t) e re-amostrar a T’ segundos
Problemas: A/D, D/A, filtros• Processar x[n] diretamente
Muitas vezes precisamos:
CD/MD: 44.1kHzDAT: 48kHzBroadcast: 32kHz
)(][ nTxnx c
)'(][' nTxnx c
Tendo:
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4.6.1. Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro
)(][][ nMTxnMxnx cd
Compressor da taxa de amostragem:
Mx[n] xd[n]=x[nM]
Período de amostragem T
Período de amostragem T’=MT
A redução da taxa de amostragem: downsampling
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Análise do espectro
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Análise do espectroCom aliasing e filtro
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Decimador: sistema que reduz a taxa de amostragem por um fator M
Decimação: Processo de filtragem PB de freq. corte /Mseguida de um compressor
Espectro se expande do fator M.
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4.6.2. Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro
,...2,,0)/(]/[][ LLnLnTxLnxnx ci
Expansor :
Aumento da taxa de amostragem: upsampling
outros
LLnLnxnxe ,0
,...2,,0,]/[][
k
e kLnkxnx ][].[][ 0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
x[n]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
1
2
3
4
xe[n]
Lx[n] xe[n]
Período de amostragem T
Período de amostragem T’=T/L
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Análise do espectro
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Interpolador: sistema que aumenta a taxa de amostragem por um fator L
Interpolação: Processo de expansão seguido de filtragem PB de freq. corte /L
Espectro se replica nas frequências 2/L.Filtrando-se PB apenas o espectro centrado em 2k equivale a interpolar as amostras faltantes.
Interpolação linear, spline, etc... Aproximações p/ PB ideal.
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4.6.3. Mudando a taxa de amostragem por um fator Não-inteiro.
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4.7. Processamento Multi taxa.
Os interessados devem dar uma lida e tentar entender.
Aplicação: Codificação em Sub-bandas (MP3) análise por banco de filtros, etc.Base p/ transformada wavelet.
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4.8. Processamento Digital de Sinais Analógicos
Até então, analisou-se sistemas ideais:•Sinais limitados em freq.•Conversores C/D,D/C•Filtragens PB ideal
Sistema Real:
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4.8.1. Filtro Anti-Aliasing
Geralmente procura-se usar a menor taxa deamostragem possível de modo a minimizaros requerimentos do processador digital.
Logo: Sinal de entrada precisa ser limitado em frequência.Ex.: Voz inteligível : até 4kHzporém possui freq. até da ordem de 20kHz.
Ex.2: Sinal limitado + Ruído de alta frequência.
P/ evitar aliasing é necessário limitar a largura debanda do sinal de entrada.
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Filtro antialiasing ideal: PB ideal de freq. fs/2
Filtros analógicos reais: Corte não é abrupto, precisam começar a atenuarfreqüências menores que fs/2. Filtros com cortes abruptos são mais complexos>n. de componentes, > custo. Geralmente possuem fase extremamente não-linear. (Chebychev e Cauer), principalmentepróximo à freq. corte na banda de passagem.
Possíveis soluções: 1) Usar filtro ativo simples seguido de umfiltro a capacitor chaveado de alta ordem.
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2) Amostragem em oversampling seguida de filtragemdigital
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Sinal limitado +Ruído em alta freq.
Filtro analógicosimples
Amostragem em T/MFiltragem digital
Decimação M
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4.8.2. Conversão Analógico-Digital
C/D : Precisão infinita
A/D: dispositivo que converte tensão ou correnteem um código binário. Conversão tem precisão finita Não é instantânea: Necessita sample&hold
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Quantização:
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4.8.3. Análise do Erro de Quantização
Passo de quantização: Bm
Bm XX
22
21
Fundo de Escala: Xm
Número de Bits: B+1
Erro de quantização: ][][ˆ][ nxnxne
Segue que: 2/][2/ ne
Erro de quantização pensado como ruído aditivo:
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P/ se levantar um modelo estatístico do erroAssume-se que:
•A sequência de erro e[n] é uma amostragem de um processo randômico estacionário (suas característicaestatísticas não se alteram como tempo).
•O erro e[n] é descorrelacionado com o sinal x[n]
•As variáveis randômicas do processo de erro sãodescorrelacionadas (o erro é um processo ruído branco)
• A função distribuição de probabilidade do erroé uniforme sobre o range do erro de quantização
Em geral são boas aproximações para sinais x[n] naturais(voz, música, vídeo, etc...), e pequenos passos de quantização.
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Ex.:
)10/cos(99.0][ nnx
3 bits (B=2)
e[n] /p 3 bits
e[n] /p 8 bits
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P/ pequeno podemos modelar a probabilidade doSinal de erro como:
Variância:2
/ 22 2
/ 2
1
12e e de
P/ B+1 bits e fundo de escala Xm temos:
12
2 222 m
B
e
X
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Relação Sinal-Ruído:
x
m
m
xB
e
x
XBSNR
XSNR
10
2
22
102
2
10
log208.1002.6
212log10log10
Logo: a SNR aumenta 6.02 dB p/ cada bit x é o desvio padrão ou o valor RMS de x[n]Assim esta equação não é válida se o sinal x[n] saturaro quantizador, isto é |x[n]|>Xm.
Se a amplitude do sinal x[n] tem uma distribuição gaussianaApenas 0.0064% das amostras terão amplitudes > 4 x .Fazendo: x =Xm/4 consegue-se SNR6.B-1.25Quantos bits são necessários p/ 90dB? Qualidade de CD.
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4.8.4. Conversão D/A
nDA
nBmDA
nTthnxtx
nTthnxXtx
)(].[ˆ)(
)(].[ˆ.)(
0
0
][][ nenx
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Análise em frequência, fazendo a DTFT de x0(t):
)(.)()(
).(].[)(
00
00
HXX
eHnxX
T
n
nTj
Logo:
n
nTthnxtx )(].[)( 00
n
nTthnete )(].[)( 00
)()()( 00 tetxtxDA
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Onde: 2/0 .
)2/(.2)( Tje
TsinH
P/ reconstruir o sinal precisamos filtrar PBo sinal X0() com um filtro PB ideal compensado:
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Voltando a analisar um sistema onde: -Saída do filtro de antialiasing e o de reconstrução são limitada em fs/2 -Sistema é LTI
Então podemos escrever que a saída será: )()(ˆ tetyy aar
Onde:
)().(.)().().(~
)( 0 caaTra XHHHHY
Considerando o ruído de quantização gerado pelo A/DÉ um ruído branco de variância demonstra-se:12/22 e
Espectro de potência do Ruído.
22
0 .)().().(~
)( eTre HHHPa
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Assim, a resposta em frequência efetiva do sistema é:
)(.)().().(~
)( 0 aaTreff HHHHH
Obs.2: O sistema H() pode inserir ruído dequantização também. Ruído interno ao sistema digital.
Obs.: As compensações podem ser embutidasno processamento digital do sinal, H().
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