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Tarefas de investigação sobre sucessões
Magda Pereira
Escola Secundária com 3º CEB do Sabugal
Manuel Joaquim Saraiva Departamento de Matemática da Universidade da Beira Interior, Covilhã
Tarefas de investigação
1. As sequências de Fibonacci
2. Sucessões com fósforos
3. Viagens pelo Mundo
4. Os números pitagóricos
5. A tabela de números
Ano: 11º ano de escolaridade
Notas gerais para o professor acerca da implementação
das tarefas de investigação
No decorrer da resolução das tarefas de investigação os alunos poderão trabalhar
em grupo, discutindo processos e resultados, registando-os num relatório escrito. Use o
método de questionamento ao longo de toda a investigação, mas de forma regrada e
orientada, de modo a não desvirtuar o processo de investigação. Poderão ser usadas
questões de carácter focalizador na fase inicial da conjectura (a fim de orientar o
raciocínio dos alunos); questões de carácter inquiritivo no decorrer da concepção e
implementação de um plano para testar a conjectura ou conjecturas feitas, a fim de
inquirir os alunos em raciocínios pontuais; e questões de carácter confirmativo na fase
final da investigação, ou seja, no estabelecimento de resultados (a fim de confirmar
todos os passos da investigação e consequentemente auxiliar os alunos a elaborarem um
relatório).
No final da aula de resolução de cada tarefa, peça aos alunos (por escrito e de
modo individual) uma reflexão crítica, de modo a que estes reflictam sobre o modo
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como decorreu o trabalho, quais as principais dificuldades e como é que foram
ultrapassadas, o que é que aprenderam e como decorreu o trabalho dentro do grupo. Esta
reflexão é importante para os alunos e para si, pois deste modo maximizará a sua
percepção do modo de raciocinar e das dúvidas dos alunos (e de cada um em particular).
Peça aos alunos que preparem as discussões das tarefas (coloque à disposição
dos mesmos uma caneta de acetato e um acetato, para os auxiliar na preparação da
discussão).
Durante a apresentação de cada grupo, estimule a discussão entre os grupos, de
modo a rentabilizar a exploração da tarefa e a provocar possíveis extensões.
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1. As Sequências de Fibonacci
Competências matemáticas envolvidas
A primeira tarefa de investigação, As Sequências de Fibonacci, é uma situação
da Natureza pub licada, por este matemático, no livro Liber Abaci (século XIII) – “A
sequência dos coelhos”. Pretende-se que: os alunos identifiquem regularidades nos
termos de uma sequência (finita ou infinita) dada; identifiquem a ordem de um termo
dessas sequências; construam o termo geral de uma sequência infinita dada; e, definam
uma dada sucessão por recorrência.
Implementação
Esta tarefa deve ser proposta na aula de introdução ao estudo das sucessões.
Porém, antes de proceder à sua implementação, deve introduzir-se (de forma guiada) o
conceito de sucessão, com a exploração de vários exemplos/modelos propostos, onde a
participação dos alunos será estimulada até à formalização do conceito de sucessão com
base na definição de função (já conhecida dos alunos). Como exemplo: “Consideremos
uma tablete de chocolate. Suponhamos que ela irá ser dividida em partes iguais pelos
alunos que se encontram numa sala. Comecemos por imaginar que apenas dois alunos
se encontram na sala. Qual a expressão matemática que permite representar a
quantidade de chocolate atribuída a cada aluno? E se houver na sala três alunos? E n
alunos?” Todas as conclusões devem ir sendo registadas no quadro, a fim de se manter
um fio condutor da discussão. Podem também ser exploradas, seguindo esta
metodologia, várias sucessões, tais como: ...,3
,2
,4,3nn
nn . Deve estimular-se a
representação gráfica deste tipo de situações, de modo a que fique evidente o domínio
de cada uma delas. Nesta fase deve formalizar-se o conceito de sucessão.
Após esta introdução às sucessões, deve-se começar o trabalho de investigação.
Comece por ler o enunciado da tarefa com os alunos e contextualizá- los historicamente.
Seguidamente, após terem percebido o enunciado, deixe-os trabalhar sobre a tarefa.
Devem ser os próprios alunos a experimentar a necessidade de usar a recorrência
através da tradução matemática da situação exposta. Se alguns alunos manifestarem
dúvidas, de como começarem a explorar, estimule a realização de esquemas, gráficos e
tabelas que traduzam a situação.
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Na aula de discussão da tarefa introduza alguma irregularidade no processo de
reprodução dos coelhos, situações que (quando exploradas pelos alunos) conduzem
necessariamente a hipóteses e propostas de resolução ricas e capazes de gerar
articulação de vários conceitos e raciocínios efectuados pelos diversos grupos da turma -
- como exemplo: “O que acontecerá se morrer um casal de coelhos numa das
gerações? Como se traduz matematicamente essa situação?”
A tarefa “As Sequências de Fibonacci”
Investigação: “Supondo que um casal de coelhos de um mês de idade é muito
novo para se reproduzir, mas suficientemente adulto para se reproduzir quando tem dois
meses de idade e que todos os meses, a começar no 2º mês, eles reproduzem um novo
casal de coelhos, macho e fêmea, quantos casais de coelhos haverá no início de cada
mês?”
Ø Traduz matematicamente a situação apresentada.
Leonardo Fibonacci (1175 – 1250) foi um famoso matemático
italiano da Idade Média. Filho de um mercador que tinha o
sobrenome de Bonaccio.
Leonardo Fibonacci foi encarregado dos negócios do pai e viajou
muito nos países mediterrâneos. Os seus interesses, porém, viraram-
se para as ciências e de regresso das suas viagens publicou a sua
obra mais famosa, Liber Abaci, que lhe permitiu aceder à corte de
Frederico II.
O Fibonacci foi igualmente atribuído o mérito de ter introduzido o
uso dos números chamados árabes. As sequências de Fiobonacci têm
origem no problema que se segue, publicado, por este matemático, no
livro Liber Abaci.
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2. Sucessões com fósforos
Competências matemáticas envolvidas
A segunda tarefa de investigação, Sucessões com fósforos, destina-se à
consolidação do conceito de sucessão (quer definida à custa de uma expressão para o
termo geral, quer definida por recorrência). A investigação destina-se à construção de
polígonos com fósforos. Pretende-se que os alunos definam a questão da investigação
resultante da extensão de um problema com sucessões de polígonos; conjecturem em
torno dessa questão; elaborem plano(s) para o teste dessa(s) conjectura(s); testem
essa(s) conjectura(s); comuniquem os resultados obtidos. Em cada pesquisa efectuada
os alunos devem dar continuidade às suas construções, obedecendo a uma regularidade.
Pretende-se em cada pesquisa, conseguir um modelo matemático (uma lei) que traduza
matematicamente a construção efectuada.
Implementação
Esta tarefa pode ser proposta na aula seguinte à aula de discussão da tarefa de
investigação As sequências de Fibonacci. Para esta aula coloque à disposição dos
alunos caixas de fósforos (uma para cada grupo de trabalho), o restante material é o
utilizado diariamente nas aulas de Matemática pelos alunos, tal como: papel, lápis,
borracha, esferográfica e calculadora.
O objectivo de cada sucessão construída (com fósforos) é conseguir um modelo
(uma lei) que traduza matematicamente a construção efectuada. Deste modo, pretende-
se que cada aluno trabalhe propriedades das sucessões, ainda que de modo implícito
(pois a formalização de certas propriedades e conceitos será mais tarde efectuada).
A tarefa “Sucessões com fósforos”
As duas situações que se seguem (que podes construir usando palitos) podem ser traduzidas matematicamente usando sucessões.
( I )
( II )
...
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Ø Constrói sucessões com fósforos. Investiga e define matematicamente essas
construções. Elabora um relatório, com o teu grupo de trabalho, onde constem os
passos da investigação.
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3. Viagens pelo Mundo
Competências matemáticas envolvidas
A terceira tarefa de investigação, Viagens pelo Mundo, destina-se a proporcionar
aos alunos, num contexto real, a necessidade do uso das sucessões na vida quotidiana e
em situações do dia a dia. É uma tarefa que pode ser novamente abordada no 12ºano,
aquando do estudo do cálculo combinatório (situações de contagens) e em cursos
superiores no âmbito da Teoria de Grafos. Esta tarefa permite ainda fazer referência e
estudar as propriedades existentes entre alguns números, concretamente os números
triangulares. A riqueza de discussões que podem descender da resolução desta
investigação apresenta-se como um meio de predispor os alunos para a investigação
matemática.
Implementação
Antes de implementar esta tarefa dedique algumas aulas à resolução de
problemas e à exploração de situações que proporcionem a aprendizagem dos seguintes
conceitos: sucessão monótona crescente, sucessão monótona decrescente, sucessão não
monótona, infinitamente grande positivo e negativo e infinitésimo. Estes conceitos
podem ser introduzidos de modo heurístico usando exemplos da realidade, da semi-
realidade, ou puramente matemáticos. Após o estudo de algum destes conceitos,
proponha aos alunos a realização de uma tarefa de exploração livre; por exemplo, a
criação de uma situação da natureza, do quotidiano, de outras disciplinas, ou acerca de
qualquer outro tema (à escolha dos alunos), que possa ser traduzida matematicamente
através de uma sucessão monótona (crescente ou decrescente) e/ou não monótona, ou
através de um infinitamente grande positivo (ou negativo) e/ou infinitésimo. É natural
que a articulação deste tipo de tarefa aberta com resolução de exercícios e problemas se
traduza numa experiência matemática nova para os alunos, e rica, pois a maturidade
matemática que daí possa advir traduzir-se-á certamente numa mais valia em relação à
autonomia dos alunos e à forma como eles percepcionam a disciplina.
Para a aula de resolução da tarefa Viagens pelo Mundo os alunos não precisam
de material especial. Assim, o material necessário é o usual, já do conhecimento dos
mesmos, para as aulas de Matemática. No decorrer da resolução dos alunos estimule a
representação analítica dos registos que eles efectuarem, quer das situações iniciais
simples (com três ou quatro zonas), quer das situações mais complexas (com n zonas).
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A elaboração de esquemas é de grande importância, quer para a compreensão da tarefa
em si, quer para a possibilidade de criar extensões (nomeadamente com a geometria). É
natural que os alunos resolvam analiticamente a tarefa usando o método da recorrência.
Porém, na fase da discussão, encaminhe heuristicamente os alunos, para a definição da
situação usando apenas um único termo.
A tarefa “Viagens pelo Mundo”
Os números pitagóricos
Pretende-se fazer um passeio por Portugal, visitando as sete zonas assinaladas no mapa. Vamos chamar de “um percurso” o caminho que une duas
regiões quaisquer de Portugal.
Ø Quantos percursos diferentes podem ser formados entre as regiões de Portugal?
Ø E se considerarmos os percursos entre as cidades de cada uma dessas regiões?
Ø Existe alguma lei geral que nos permita considerar todos os percursos que unem todas as cidades de um país? E do mundo?
INVESTIGUEM ...
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4. Os números pitagóricos
Competências matemáticas envolvidas
A quarta tarefa de investigação, Os Números Pitagóricos, tem como finalidade
descobrir fórmulas de vários números figurados (números pitagóricos). Esta
investigação proporciona: por um lado, o aprofundamento do conhecimento histórico ao
nível da Matemática (útil para a fundamentação da própria investigação e
consequentemente para o envolvimento dos alunos nesta tarefa); por outro lado, permite
estudar, de modo aprofundado, várias relações existentes entre os números.
Implementação
Na aula seguinte (à aula de discussão da terceira tarefa de investigação) comece
por trabalhar, de modo intuitivo, o conceito de limite de uma sucessão, com o auxílio da
calculadora gráfica. Em seguida, proceda à exploração de várias situações de sucessões
monótonas e limitadas. Promova a discussão de alguns exemplos de sucessões, que
embora não sendo monótonas, convirjam para um limite. Em seguida, disponibilize
algumas aulas para a resolução de exercícios e problemas (do manual dos alunos e/ou
fichas de trabalho) acerca dos conceitos estudados até ao momento.
Antes de dar inicio à tarefa de investigação, proceda à introdução do conceito de
progressão aritmética (pode fazê- lo recordando construções efectuadas pelos alunos
com fósforos, que possam ser traduzidas por meio de uma progressão aritmética).
Na aula de implementação da tarefa, proceda à leitura do enunciado da mesma e
faça uma pequena introdução histórica (importante para que os alunos se adaptem à
tarefa e ao que nela lhes é pedido). Esta tarefa, de cariz puramente matemático,
apresenta-se como uma forma de criar analogias e relações importantes (as propriedades
dos números explorados). Ao mesmo tempo, a actividade desenvolvida pelos alunos, no
decorrer da resolução da mesma, pode ter uma dupla funcionalidade: criar
conhecimento; e, ao mesmo tempo, exercitar esse conhecimento (através da busca, e
consequente experimentação e refutação constante, de números que obedeçam a uma
regularidade que os gera).
Estimule, novamente, a realização de esquemas pois estes, além de facilitarem a
investigação dos alunos, permitem uma exploração de extensões mais rica (na fase da
discussão). Promova a escrita matemática dos resultados (quer através da recorrência,
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quer usando uma lei única), pois deste modo estará a contribuir para o desenvolvimento
da capacidade de abstracção dos alunos.
A tarefa “Os números pitagóricos”
Investigação: Os Números Pitagóricos
Ø Escolhe números pitagóricos (figurados) e investiga acerca da(s) regularidade(s)
da sucessão que o(s) gera. Todos os resultados e raciocínios devem ser detalhadamente explicitados num relatório.
Um exemplo de uma sucessão de números pitagóricos:
A sucessão de Números Hexagonais
... (a sequência continua) H(1)=1 H(2)=6 H(3)=15 H(n)= ?
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5. A tabela de números
Competências matemáticas envolvidas
A quinta tarefa de investigação, A Tabela de Números, consta de uma tabela de
números, aparentemente simples, mas que permite uma grande diversidade de pesquisas
no âmbito das sucessões, quer numéricas, quer geométricas. Pretende-se que os alunos
investiguem Matemática em torno de uma dada tarefa, inserida no âmbito das sucessões.
Os alunos poderão relacionar e manusear com total liberdade os conceitos que
considerarem úteis e pertinentes nas pesquisas que efectuarem.
Implementação
Antes de propor a tarefa A tabela de números proceda à introdução do conceito
de progressão geométrica. Pode fazê- lo através de uma tarefa de exploração, de modo a
que os alunos construam esse conceito, ou usando situações problemáticas e guiando-os
(de modo heurístico) para o conceito em causa. Dedique algumas aulas à prática dos
conceitos gerais de sucessões estudados até ao momento.
Na aula de implementação da tarefa, após ler o enunciado com os alunos, e
quando os alunos começarem a trabalhar, pode surgir alguma inadaptação resultante do
carácter abstracto do enunciado. No entanto, deve incentivar os alunos na busca de
regularidades que se verifiquem sempre na tabela. Em caso de total inadaptação dos
alunos, alerte-os para a análise da tabela segundo as suas diagonais, linhas ou colunas, e
deixe-os investigar. À semelhança das outras tarefas, deve promover a escrita
matemática das descobertas a fim de promover o desenvolvimento dessa capacidade, a
par do desenvolvimento da capacidade de abstracção.
Caso a conexão com os conceitos estudados no tema das sucessões não seja feito
pelos alunos de modo natural, questione-os nesse sentido (com questões pouco
orientadas, mas pertinentes); desse modo estará a desenvolver a flexibilidade
matemática dos alunos e a capacidade de relacionarem conceitos estudados. Na fase de
discussão dos resultados, estenda (sempre que possível) as explorações efectuadas (à
semelhança do proposto nas tarefas atrás esplanadas).
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A tarefa “A tabela de números”
Investigação: Observem atentamente a seguinte tabela de números.
Detectam alguma(s) regularidade(s)?
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Investiguem a existência de sucessões na tabela. Façam um relatório com todos os raciocínios que efectuarem e com todas as conclusões a que chegarem (pesquisas escolhidas, caminhos seguidos e porquê, raciocínios e conclusões).
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