TALLER PARA REPRESENTAR FENOMENOS DE REALIMENTACIÓN NEGATIVA DE PRIMER ORDEN, REALIMENTACION NEGATIVA DE SEGUNDO ORDEN,
REALIMENTACION POSITIVA
AUTORA: MARY LUZ CARRILLO TORRES
PROFESOR: SAMUEL PRIETO MEJIA
UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE SISTEMAS
ASIGNATURA DINAMICA DE SISTEMAS SANTA MARTA
2013
1) Realimentación negativa de primer orden Un sistema que representa este tipo de comportamiento es el mecanismo de llenado de un tanque de agua de un baño tradicional.
Supongamos que el Tanque tiene una capacidad de 20 litros y que en términos normales se demora 60 segundos en llenarse (1 minutos). Es de recordar que la válvula regula la entrada de agua, a medida que haya más agua en el tanque la entrada de agua es menor. Podemos hacer un programa de computador o usar la hoja electrónica para observar el comportamiento de este sistema. Así:
Tiempo (segundos)
Cantidad de agua entrante
AGUA EN EL
TANQUE
Cantidad de agua faltante
para llenar el tanque (litros)
ENTRADA DE AGUA
(litros/segundo)
0 0,00 0 20 0,33 2 0,64 0,64 19,36 0,32 4 0,64 1,28 18,08 0,31 6 0,62 1,93 18,07 0,30 8 0,60 2,54 17,46 0,29
El tiempo en que se simula el sistema es cada 2 segundos. En el inicio del llenado del tanque el tiempo es 0 segundos. La cantidad del agua en el tanque al tiempo cero es igual a 0 La cantidad de agua faltante para llenar el tanque es igual a 20 menos el agua en el tanque La cantidad de agua que entra por segundo es igual a la cantidad de agua que falta para llenar el tanque dividido por 60 segundos que es el tiempo que se tardaría normalmente en llenarse el tanque
Si representamos gráficamente el comportamiento del sistema con respecto al tiempo del agua en el tanque y el agua faltante, se puede ver el tipo de curva que se produce, que es un crecimiento hasta alcanzar un valor establecido y luego permanece en dicho valor. I) Simule en una hoja electrónica este problema y responda :
a) Si el tiempo de simulación es cada segundo cuantos segundos se requerirá para llenar el tanque
b) Si el tanque es de 25 litros cuanto tiempo se requerirá para llenar el tanque c) Si el tiempo de llenado del tanque es de 80 segundos sin restricciones,
simule el sistema teniendo en cuenta que la válvula frena la entrada de cantidad de agua y calcule cuantos segundos se demoraría en llenarse el tanque.
Solución Realimentación negativa de primer orden
Tiempo (segundos)
Cantidad de agua entrante
AGUA EN EL
TANQUE
Cantidad de agua faltante
para llenar el tanque (litros)
ENTRADA DE AGUA
(litros/segundo)
0,00 0,00 0,00 20,00 0,33
1,00 0,33 0,33 19,67 0,33
2,00 0,33 0,66 19,34 0,32
3,00 0,32 0,98 19,02 0,32
4,00 0,32 1,30 18,70 0,31
5,00 0,31 1,61 18,39 0,31
6,00 0,31 1,92 18,08 0,30
7,00 0,30 2,22 17,78 0,30
8,00 0,30 2,52 17,48 0,29
9,00 0,29 2,81 17,19 0,29
10,00 0,29 3,09 16,91 0,28
11,00 0,28 3,38 16,62 0,28
12,00 0,28 3,65 16,35 0,27
13,00 0,27 3,93 16,07 0,27
14,00 0,27 4,19 15,81 0,26
15,00 0,26 4,46 15,54 0,26
16,00 0,26 4,72 15,28 0,25
17,00 0,25 4,97 15,03 0,25
18,00 0,25 5,22 14,78 0,25
19,00 0,25 5,47 14,53 0,24
20,00 0,24 5,71 14,29 0,24
21,00 0,24 5,95 14,05 0,23
22,00 0,23 6,18 13,82 0,23
23,00 0,23 6,41 13,59 0,23
24,00 0,23 6,64 13,36 0,22
25,00 0,22 6,86 13,14 0,22
26,00 0,22 7,08 12,92 0,22
.
.
.
478,00 0,00 19,99 0,01 0,00
479,00 0,00 19,99 0,01 0,00
480,00 0,00 19,99 0,01 0,00
481,00 0,00 19,99 0,01 0,00
482,00 0,00 19,99 0,01 0,00
483,00 0,00 19,99 0,01 0,00
484,00 0,00 19,99 0,01 0,00
485,00 0,00 19,99 0,01 0,00
486,00 0,00 19,99 0,01 0,00
a) Si el tiempo de simulación es cada segundo cuantos segundos se requerirá
para llenar el tanque: 486 segundos.
b) Si el tanque es de 25 litros cuanto tiempo se requerirá para llenar el tanque:504 segundos
Tiempo (segundos)
Cantidad de agua entrante
AGUA EN EL TANQUE
Cantidad de agua faltante
para llenar el tanque (litros)
ENTRADA DE AGUA
(litros/segundo)
0,00 0,00 0,00 25,00 0,42
2,00 0,83 0,83 24,17 0,40
4,00 0,81 1,64 23,36 0,39
6,00 0,78 2,42 22,58 0,38
8,00 0,75 3,17 21,83 0,36
10,00 0,73 3,90 21,10 0,35
12,00 0,70 4,60 20,40 0,34
14,00 0,68 5,28 19,72 0,33
16,00 0,66 5,94 19,06 0,32
18,00 0,64 6,57 18,43 0,31
20,00 0,61 7,19 17,81 0,30
22,00 0,59 7,78 17,22 0,29
24,00 0,57 8,36 16,64 0,28
26,00 0,55 8,91 16,09 0,27
.
.
.
488,00 0,00 24,99 0,01 0,00
490,00 0,00 24,99 0,01 0,00
492,00 0,00 24,99 0,01 0,00
494,00 0,00 24,99 0,01 0,00
496,00 0,00 24,99 0,01 0,00
498,00 0,00 24,99 0,01 0,00
500,00 0,00 24,99 0,01 0,00
502,00 0,00 24,99 0,01 0,00
504,00 0,00 25,00 0,00 0,00
c) Si el tiempo de llenado del tanque es de 80 segundos sin restricciones, simule el sistema teniendo en cuenta que la válvula frena la entrada de cantidad de agua y calcule cuantos segundos se demoraría en llenarse el tanque. Se demoraría 1356 segundos.
Tiempo (segundos)
Cantidad de agua entrante
AGUA EN EL TANQUE
Cantidad de agua faltante para llenar el
tanque (litros)
ENTRADA DE AGUA (litros/segundo)
0,00 0,00 0,00 25,00 0,31
2,00 0,31 0,31 24,69 0,31
4,00 0,31 0,62 24,38 0,30
6,00 0,30 0,93 24,07 0,30
8,00 0,30 1,23 23,77 0,30
10,00 0,30 1,52 23,48 0,29
. . .
1348,00 0,00 24,99 0,01 0,00
1350,00 0,00 24,99 0,01 0,00
1352,00 0,00 24,99 0,01 0,00
1354,00 0,00 24,99 0,01 0,00
1356,00 0,00 25,00 0,00 0,00
Diagrama causal
2) Realimentación negativa de segundo orden Un sistema que nos sirve para explicar este comportamiento es el vuelo de un avión
Que está representado en la figura. El avión sube hasta alcanzar una altura determinada (altura de vuelo de crucero ej.: 30.000 pies) y luego intenta ir a esa altura. Debido a la demora de los mecanismos del avión (principalmente motores) en responder las órdenes del piloto, el vuelo del avión es diferente a lo mostrado en el gráfico anterior:
TIEMPO (minutos)
Total del Cambio en Altura (pies)
Altura (pies)
Corrección en la capacidad de tomar altura del avión (pies)
CAPACIDAD DE TOMAR ALTURA POR EL AVION (pies)
Altura faltante para llegar a vuelo de crucero
Altura solicitada por el piloto al accionar motores (pies)
Cambio de altura del avión ) (pies)
(pies)
(altura alcanzada por el avión entre los periodos de tiempo
la diferencia entre la altura solicitada por el piloto del avión menos el cambio de altura del avion
(basado en lo que le falta para la altura sobre tiempo necesario para la altura de crucero
( basado en la capacidad de tomar altura del avión dividido entre porcentaje Ej.: la décima parte)
0 0 15000 30000 1500 1500
2 3000 3000 0 15000 27000 1350 1500
4 3000 6000 -300 14700 24000 1200 1470
6 2940 8940 -540 14160 21060 1053 1416
En la tabla mostrada se pueden observar que: El tiempo de simulación es cada 2 minutos El tiempo de alcanzar altura de crucero lo estimamos en 20 minutos (sin tener en cuenta la demora) Las formulas aquí serian: Cambio en altura (Ca) Altura (H) Corrección en la capacidad de tomar altura del avión (Ch) Capacidad de tomar altura por el avión (Cta) Altura faltante para llegar a vuelo de crucero (Hf) Altura solicitada por el piloto al accionar motores (Ap) Cambio de altura del avión (Cha) TIEMPO PARA ALCANZAR CRUCERO = 20 Ca (i) = Cha (i -1) * 2 Debido a que se simula cada dos (2) minutos H (i) = H(i-1) + Ca(i) Ch(i) = Ap(i-1) – Cha (i-1) Cta (i) = Cta(i-1) + Ch(i) Hf(i) = 30.000 – H(i) Ap(i) =Hf(i)/TC Cha(i) = Cta(i)/10
I) Simule en una hoja electrónica este problema y responda :
a) Si el tiempo de simulación es cada minuto cuantos minutos se requerirá para que el avión alcanzara vuelo de crucero
b) Si la altura de vuelo se cambia a 20.000 pies cuanto tiempo se requerirá para alcanzarla
Solución Realimentación negativa de segundo orden:
a) Si el tiempo de simulación es cada minuto cuantos minutos se requerirá para que el avión alcanzara vuelo de crucero: 30 minutos.
TIEMPO Total del
Cambio en
Altura
Altura Corrección
en la
capacidad
de tomar
altura del
avión
CAPACIDAD
DE TOMAR
ALTURA
POR EL
AVION
Altura
faltante
para llegar
a vuelo de
crucero
Altura
solicitada
por el piloto
al accionar
motores
Cambio de
altura del
avión)
(minutos) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies)
0,00 0,00 15000,00 30000,00 1500,00 1500,00
1,00 1500,00 1500,00 0,00 15000,00 28500,00 1425,00 1500,00
2,00 1500,00 3000,00 -75,00 14925,00 27000,00 1350,00 1492,50
3,00 1492,50 4492,50 -142,50 14782,50 25507,50 1275,38 1478,25
4,00 1478,25 5970,75 -202,88 14579,63 24029,25 1201,46 1457,96
.
.
.
26,00 525,82 28342,69 -416,66 4841,53 1657,31 82,87 484,15
27,00 484,15 28826,84 -401,29 4440,24 1173,16 58,66 444,02
28,00 444,02 29270,87 -385,37 4054,87 729,13 36,46 405,49
29,00 405,49 29676,36 -369,03 3685,84 323,64 16,18 368,58
30,00 368,58 30044,94 -352,40 3333,44 -44,94 -2,25 333,34
vuelo de avion
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
vuelo de avion
b) Si la altura de vuelo se cambia a 20.000 pies cuanto tiempo se requerirá
para alcanzarla: 22 minutos. TIEMPO Total del
Cambio en Altura
Altura Corrección en la
capacidad de tomar altura del
avión
CAPACIDAD DE TOMAR
ALTURA POR EL AVION
Altura faltante
para llegar a vuelo de
crucero
Altura solicitada
por el piloto al accionar motores
Cambio de altura del
avión)
(minutos) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies)
0,00 0,00 15000,00 20000,00 1000,00 1500,00
2,00 3000,00 3000,00 -1000,00 14000,00 17000,00 850,00 1400,00
4,00 2800,00 5800,00 -1100,00 12900,00 14200,00 710,00 1290,00
6,00 2580,00 8380,00 -1160,00 11740,00 11620,00 581,00 1174,00
8,00 2348,00 10728,00 -1186,00 10554,00 9272,00 463,60 1055,40
.
.
.
22,00 829,48 20824,70 -829,00 3318,39 -824,70 -41,23 331,84
Diagrama causal
3) Realimentación Positiva Un sistema que nos permite representar este tipo de comportamiento es los préstamos que realiza una persona para sobrevivir
Tiempo (meses)
Cantidad de dinero prestado
total deuda
intereses ingresos mensuales
pago mensual
diferencia ingresos vs pagos
0 10000000 10000000 1000000 400000 416667 16667
2 33333 10033333 1003333,33 400000 418056 18056
4 36111 10069444 1006944,44 400000 419560 19560
Las formulas serian: Cantidad de dinero prestado (Cdp) Valor inicial = 10000000 Total deuda (Td) Intereses (I) INGRESOS MENSUALES (IM) = 400000 Pago mensual (Pm) Diferencia ingresos vs pagos (Dif) Td (i) = Td(i-1) + Cdp(i) I (i) = I (i) / 10 Pm (i) = Td(i)/24 Dif(i) = IM (i) – Pm(i) Cdp(i) = Dif(i)
I) Simule en una hoja electrónica este problema y responda :
a) En cuanto tiempo la persona tendrá que pagar el doble de sus ingresos mensuales
b) Aumente la tasa de interés al 15 % y verifique en cuanto tiempo estará pagando el doble de sus ingresos mensuales
PRESTAMOS
9400000
9600000
9800000
10000000
10200000
10400000
10600000
10800000
11000000
1 3 5 7 9 11 13 15
PRESTAMOS
Solución de la realimentación positiva
a) En cuanto tiempo la persona tendrá que pagar el doble de sus ingresos mensuales: 80 meses.
Tiempo (meses)
Cantidad de dinero
prestado
Total Deuda Intereses Ingresos Mensuales
Pago Mensual
Diferencia Ingresos vs
Pagos
0,00 10000000,00 10000000,00 1000000,00 400000,00 416666,67 16666,67
2,00 33333,33 10033333,33 1003333,33 400000,00 418055,56 18055,56
4,00 36111,11 10069444,44 1006944,44 400001,00 419560,19 19559,19
6,00 39118,37 10108562,81 1010856,28 400002,00 421190,12 21188,12
8,00 42376,23 10150939,05 1015093,90 400003,00 422955,79 22952,79
10,00 45905,59 10196844,64 1019684,46 400004,00 424868,53 24864,53
12,00 49729,05 10246573,69 1024657,37 400005,00 426940,57 26935,57
14,00 53871,14 10300444,83 1030044,48 400006,00 429185,20 29179,20
16,00 58358,40 10358803,23 1035880,32 400007,00 431616,80 31609,80
18,00 63219,60 10422022,84 1042202,28 400008,00 434250,95 34242,95
20,00 68485,90 10490508,74 1049050,87 400009,00 437104,53 37095,53
22,00 74191,06 10564699,80 1056469,98 400010,00 440195,83 40185,83
24,00 80371,65 10645071,45 1064507,15 400011,00 443544,64 43533,64
26,00 87067,29 10732138,74 1073213,87 400012,00 447172,45 47160,45
28,00 94320,89 10826459,63 1082645,96 400013,00 451102,48 51089,48
30,00 102178,97 10928638,60 1092863,86 400014,00 455359,94 55345,94
32,00 110691,88 11039330,49 1103933,05 400015,00 459972,10 59957,10
34,00 119914,21 11159244,69 1115924,47 400016,00 464968,53 64952,53
36,00 129905,06 11289149,75 1128914,98 400017,00 470381,24 70364,24
38,00 140728,48 11429878,23 1142987,82 400018,00 476244,93 76226,93
40,00 152453,85 11582332,08 1158233,21 400019,00 482597,17 82578,17
42,00 165156,34 11747488,42 1174748,84 400020,00 489478,68 89458,68
44,00 178917,37 11926405,79 1192640,58 400021,00 496933,57 96912,57
46,00 193825,15 12120230,94 1212023,09 400022,00 505009,62 104987,62
48,00 209975,25 12330206,19 1233020,62 400023,00 513758,59 113735,59
50,00 227471,18 12557677,37 1255767,74 400024,00 523236,56 123212,56
52,00 246425,11 12804102,48 1280410,25 400025,00 533504,27 133479,27
54,00 266958,54 13071061,02 1307106,10 400026,00 544627,54 144601,54
56,00 289203,09 13360264,11 1336026,41 400027,00 556677,67 156650,67
58,00 313301,34 13673565,45 1367356,54 400028,00 569731,89 169703,89
60,00 339407,79 14012973,24 1401297,32 400029,00 583873,88 183844,88
62,00 367689,77 14380663,01 1438066,30 400030,00 599194,29 199164,29
64,00 398328,58 14778991,59 1477899,16 400031,00 615791,32 215760,32
66,00 431520,63 15210512,22 1521051,22 400032,00 633771,34 233739,34
68,00 467478,69 15677990,91 1567799,09 400033,00 653249,62 253216,62
70,00 506433,24 16184424,15 1618442,42 400034,00 674351,01 274317,01
72,00 548634,01 16733058,16 1673305,82 400035,00 697210,76 297175,76
74,00 594351,51 17327409,68 1732740,97 400036,00 721975,40 321939,40
76,00 643878,81 17971288,48 1797128,85 400037,00 748803,69 348766,69
78,00 697533,37 18668821,86 1866882,19 400038,00 777867,58 377829,58
80,00 755659,15 19424481,01 1942448,10 400039,00 809353,38 409314,38
b) Aumente la tasa de interés al 15 % y verifique en cuanto tiempo estará pagando el doble de sus ingresos mensuales: el tiempo no cambia.
Tiempo (meses)
Cantidad de dinero prestado
total deuda intereses ingresos mensuales
pago mensual
diferencia ingresos vs pagos
0,00 10000000,00 10000000,00 1500000,00 400000,00 416666,67 16666,67
2,00 33333,33 10033333,33 1505000,00 400000,00 418055,56 18055,56
4,00 36111,11 10069444,44 1510416,67 400001,00 419560,19 19559,19
6,00 39118,37 10108562,81 1516284,42 400002,00 421190,12 21188,12
8,00 42376,23 10150939,05 1522640,86 400003,00 422955,79 22952,79
10,00 45905,59 10196844,64 1529526,70 400004,00 424868,53 24864,53
12,00 49729,05 10246573,69 1536986,05 400005,00 426940,57 26935,57
14,00 53871,14 10300444,83 1545066,72 400006,00 429185,20 29179,20
16,00 58358,40 10358803,23 1553820,48 400007,00 431616,80 31609,80
18,00 63219,60 10422022,84 1563303,43 400008,00 434250,95 34242,95
20,00 68485,90 10490508,74 1573576,31 400009,00 437104,53 37095,53
22,00 74191,06 10564699,80 1584704,97 400010,00 440195,83 40185,83
24,00 80371,65 10645071,45 1596760,72 400011,00 443544,64 43533,64
26,00 87067,29 10732138,74 1609820,81 400012,00 447172,45 47160,45
28,00 94320,89 10826459,63 1623968,94 400013,00 451102,48 51089,48
30,00 102178,97 10928638,60 1639295,79 400014,00 455359,94 55345,94
32,00 110691,88 11039330,49 1655899,57 400015,00 459972,10 59957,10
34,00 119914,21 11159244,69 1673886,70 400016,00 464968,53 64952,53
36,00 129905,06 11289149,75 1693372,46 400017,00 470381,24 70364,24
38,00 140728,48 11429878,23 1714481,73 400018,00 476244,93 76226,93
40,00 152453,85 11582332,08 1737349,81 400019,00 482597,17 82578,17
42,00 165156,34 11747488,42 1762123,26 400020,00 489478,68 89458,68
44,00 178917,37 11926405,79 1788960,87 400021,00 496933,57 96912,57
46,00 193825,15 12120230,94 1818034,64 400022,00 505009,62 104987,62
48,00 209975,25 12330206,19 1849530,93 400023,00 513758,59 113735,59
50,00 227471,18 12557677,37 1883651,61 400024,00 523236,56 123212,56
52,00 246425,11 12804102,48 1920615,37 400025,00 533504,27 133479,27
54,00 266958,54 13071061,02 1960659,15 400026,00 544627,54 144601,54
56,00 289203,09 13360264,11 2004039,62 400027,00 556677,67 156650,67
58,00 313301,34 13673565,45 2051034,82 400028,00 569731,89 169703,89
60,00 339407,79 14012973,24 2101945,99 400029,00 583873,88 183844,88
62,00 367689,77 14380663,01 2157099,45 400030,00 599194,29 199164,29
64,00 398328,58 14778991,59 2216848,74 400031,00 615791,32 215760,32
66,00 431520,63 15210512,22 2281576,83 400032,00 633771,34 233739,34
68,00 467478,69 15677990,91 2351698,64 400033,00 653249,62 253216,62
70,00 506433,24 16184424,15 2427663,62 400034,00 674351,01 274317,01
72,00 548634,01 16733058,16 2509958,72 400035,00 697210,76 297175,76
74,00 594351,51 17327409,68 2599111,45 400036,00 721975,40 321939,40
76,00 643878,81 17971288,48 2695693,27 400037,00 748803,69 348766,69
78,00 697533,37 18668821,86 2800323,28 400038,00 777867,58 377829,58
80,00 755659,15 19424481,01 2913672,15 400039,00 809353,38 409314,38
82,00 818628,75 20243109,76 3036466,46 400040,00 843462,91 443422,91
Diagrama causal