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Resistência dos Materiais14ªAula
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Sumário e Objectivos
Sumário: Tensões de corte em Secções de parede delgada. Centro de corte. Tensões de corte em peças mistas ou compostas.
Objectivos da Aula: Apreensão do modo de cálculo das tensões de corte em peças delgadas e mistas.
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Tensões de Corte em Vigas com Secções Rectas Abertas de Paredes Delgadas
Na secção anterior procedemos ao cálculo das tensões tangenciaisverticais,τxy , na secção de vigas sujeitas a um esforço transverso T. Os planos de corte foram considerados a uma distância do eixo dos zz e paralelos a Oxz, sendo Ox coincidente com a direcção do eixo da viga. No caso das secções rectas serem abertas e de paredes delgadas épossível considerar planos de corte com orientações distintas, nomeadamente com orientações tais que o plano de corte seja paralelo a Oyx como se representa na figura seguinte. Nestas condições podem calcular-se as tensões, τxz que ocorrem na faceta perpendicular ao eixo dos zz e que têm a direcção do eixos dos xx, como se representa na figura. As tensões que aparecem no banzo são iguais a τzx , como resulta da simetria do tensor das tensões.
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Tensões de Corte em Vigas com Secções Rectas Abertas de Paredes Delgadas
y
z
xzTSIe
=τ
onde S é o momento estático da área abcd em relação ao eixo dos zz.
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Vigas de Secção Aberta. Fluxo das Tensões de Corte
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Exemplo 14.1
Considere a viga cuja secção tem a forma de T como se representa na figura e determine as tensões que se desenvolvem junto ao plano de corte que intersecta a secção em a-b como se representa na figura. Determine também as forças resultantes . Admita que a viga está sujeita a uma solicitação tal que produz um esforço cortante T=5kN na secção em que se pretendem as tensões.
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Exemplo 14.1
É indispensável determinar a posição do centro de gravidade da Secção. Para isso considera-se que
1 21 2g
1 2
y y 150 30 185 170 30 85A A 131.875mmy150 30 170 30A A
+ × × + × ×= = =
+ × + ×
Uma vez conhecida a posição do centro de gravidade há necessidade de calcular o momento de Inércia, que é
( )
( )
32
z
32 6 4
150 30 150 30 200 131.875 15I 1230 170 170 30 131.875 85 36.53 10 mm12
×= + × × − − +
×+ + × × − = ×
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Exemplo 14.1
É necessário calcular também o momento estático da área de corte que é 4 3S 40 30 (200 131.875 15) 6.375 10 mm= × × − − = ×
Uma vez determinados os momentos de Inércia da Secção e o momento estático da área de corte pode aplicar-se a fórmula de Jouravsky e determinar as tensões de corte que são
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xz 6 3z
TS 5000 6.375 10 0.29MPae 36.53 3010 10I
−
− −
× ×= = =τ
× × ×Para determinar a força resultante convém calcular a tensão xzτ máxima na secção que corresponde à área de corte 60×30, cujo momento estático é:
4 3S 60 30 (200 131.875 15) 9.5625 10 mm= × × − − = ×5
xz 6 3z
TS 5000 9.5625 10 0.44MPae 36.53 3010 10I
−
− −
× ×= = =τ
× × ×2 0.44 60 30 / 2F = × × = 396N
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Centro de Corte
xzmax1 b eF 2
τ= ×
e a espessura do U considerada pequena quando comparada com as restantes dimensões.
1h TdF = 1hFdT
=
No caso da viga em U representada na figura, cujo centro de gravidade é G, as forças 1F tendem a produzir torção no caso do plano de solicitação passar por G, como
resultado da acção do momento resultante que é 1F ×h, sendo
T- Esforço Transverso
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Vigas Compostas
1 1x1 x kyE E= =σ ε −
2 2x2 x kyE E= =σ ε −
( )
⎛ ⎞∫ ∫ ∫ ∫⎜ ⎟
⎝ ⎠1 2 1 2
2 2z 1 2x1 x2
A A A A
1 1 2 2
= ydA + ydA = k dA + dA =y yσ σM E E
= k +E I E I
z
1 1 2 2
Mk =+E I E I
1 zx1
1 1 2 2
dME= ydσ +E I E I
d 2 zx2
1 1 2 2
dME= yσ+E I E I
1 1x1 x dkyd dE E= =σ ε −
2 2x2 x dkyd dE E= =σ ε −
z
1 1 2 2
dMdk =+E I E I
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Vigas Compostas-Tensão de Corte
abcd
abcd
dy dy
S
= =σ∫ ∫
=
1 zA x1
abcd 1 1 2 2
1 z
1 1 2 2
dMEd = d yF +E I E IdME+E I E I
( )∑ x A H A A
H A
= + - + d = 0F F F F Fou
= dF F
Caso 1: Acima da Secção de corte há só um material
Sendo FH = τxy bdx
1
2
a bc d
1 abcdxy
1 1 2 2
T SEbE I E I
=τ+
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Vigas Compostas
abcd cdef cdef
cdef abcd
dy d dy dy dy
S S
+ = + =σ σ∫ ∫ ∫ ∫
= +
1 2z zA x1 x2
cdef 1 1 2 2 1 1 2 2
1 2z z
1 1 2 2 1 1 2 2
dM dME Ed = d y yF + +E I E I E I E IdM dME E+ +E I E I E I E I
Caso 2: Acima da Secção de corte há dois materiais
1
2a b
c d
e f
1 2cdef abcdxy
1 1 2 2 1 1 2 2
T TS SE Eb bE I E I E I E I
= +τ+ +
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Vigas Compostas-Método da Secção Equivalente
1 abcdxy
1 1 2 2
T SEbE I E I
=τ+
1E
Caso 1: Homogeneização no material 1
Dividindo o numerador e o denominador por
abcd abcdxy
1 2 eq
T TS Sn b bI I I
= =τ+
1
2
a bc d
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Vigas Compostas-Método da Secção Equivalente
2E
1 abcdxy
1 1 2 2
T SEbE I E I
=τ+
Caso 1: Homogeneização no material 2
1
2
a bc d
Dividindo o numerador e denominador por
abcd abcdxy
1 2 eq
mT mTS Sb bmI I I
= =τ+
mSabcd momento estático da Secção equivalente
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Peças Mistas
A determinação das tensões de corte pode ser feita considerando o método da secção equivalente como foi considerado para o caso da determinação dos esforços axiais, sendo também possível considerar um método directo e deduzir as fórmulas adequadas para esse efeito. Sendo o momento de inércia equivalente, no caso de uma viga constituída por dois materiais
2eq 1 2
1
En com n=I I IE
= +
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Problemas Propostos
1. Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga pontual P, representada na figura seguinte. A secção da viga foi obtida a partir de um perfil em I e dois perfis Ucolados como se representa na figura. A cola utilizada na ligação tem uma tensão máxima admissível ao corte de 300kPa e o material dos perfis tem tensões normais admissíveis de 150MPa e tensões de corte admissíveis de 80Mpa. Determine a carga máxima P que a viga pode suportar desprezando o peso próprio da viga e considerando as tensões admissíveis atrás referidas.
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Problemas Propostos
2. Considere as secções representadas na figura e determine a posição do centro de corte. Admita que T = P. As secções são consideradas de espessura constante e igual a 15mm.
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Problemas Propostos
3. Considere uma viga constituída por dois materiais distintos, cuja secção tem a forma representada na figura seguinte. Considere que as várias partes são coladas e determine as tensões de corte na secção nas várias zonas de colagem admitindo que o esforço cortante na secção é de 5kN. A unidade em que estão expressas as dimensões é o mm.O módulo de Young do material 1 é 200GPa e o módulo de Young do material 2 é 100GPa
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