ST 402 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Devemos salientar aos alunos deste curso que a finalidade desta matéria é em principio transmitir-lhes conceitos práticos sobre RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS e por este motivo procuramos resumir ao máximo a parte teórica da mesma, salientando-lhe sobremaneira a parte prática. Atente-se também para o fato de que não queremos aqui, apresentar um tratado sobre a matéria, porém, na medida do possível e, com a ajuda dos próprios alunos, derrubar o mito que há sobre a mesma, mito este que deve-se muito mais a estórias e ao des- preparo dos alunos em algumas das matérias básicas, o que procuraremos na medida do possível corrigir. É importantissima portanto a participação efetiva dos alunos nos cursos para conseguirmos o melhor rendimento possível, de nossa parte procuramos resolver um grande número de exemplos em classe e fornecer aos mesmos inúmeras cópias de exercicios resolvidos para consulta. Prof. Milton Giacon Júnior
CARGAS AXIAIS - CARGAS TANGENCIAIS - TENSÕES 1. Cargas Axiais - Denominam-se axiais às cargas que são paralelas aos eixos da peças e que conseguentemente são perpendiculares às secções transversais das mesmas. 2. Cargas Tangenciais- Analogamente, denominam-se tangenciais às cargas que são per-pendiculares aos eixos das peças e conseguentemente paralelas às secções das mesmas. 3. Tensões - Diz-se da atuação de uma determinada carga sobre uma certa área de superficie qualquer. TENSÃO NORMAL EM VIGAS BI-APOIADAS 1.1 Conceito de tensão normal : É aquela tensão que atua perpendicularmente à secção transversal de uma viga e representa a atuação de cargas que aparecem nesta secção trans- versal devido a esforços provocados pelos esforços solicitantes nas mesmas. É representa- da pela letra grega σ e sua unidade é kg/cm2. σ - é tensão normal σ = N/ S ( kg/cm2) onde : N - é o esforço aplicado S - é a área solicitada por N Como devemos sempre considerar um coeficiente de segurança em nossos cálculos, eles devem também existir quanto à capacidade de carga dos materiais que utilizaremos , pois não poderemos trabalhar com a capacidade real do material, o que seria muito arriscado em função das próprias condições de obtenção dos mesmos. Assim foi introduzido o concei- to de coeficiente de segurança, que nada mais é do que se minimizar a capacidade de carga real do material através da divisào do seu valor por um número maior do que 1 ( hum) e que evidentemente obedece a rigorosos critérios normalizados, aparecendo então o conceito de tensão admissível σ. σ ≤ σ = N/S => N = S.σ As tensões admissíveis são fixadas nas normas técnicas e levam em conta um fator de segurança muito grande, pois ele deve cobrir: 1.- Todas as falhas nas suposições dos cálculos. 2.- As variações involuntárias na qualidade dos materiais. 3.- Os excessos excepcionais das cargas previstas e etc.
Exemplos: σ (kg/cm2) σ ruptura (kg/cm2) Aço comum 1400 3700 Aço de mola 6000 - 15000 9500 - 17000 Concreto à compressão 30 - 150 100 - 700 Madeira à tração 80 - 170 250 - 2500 LEI DE HOOKE ε = ∆l/l (alongamento específico) Este gráfico foi obtido em labo-
ratório de ensaio, aplicando-se carga sobre um corpo de prova padronizado. O trecho curvo e para baixo representa a inércia da prensa.
No trecho retilíneo => proporcionalidade entre σ e ε ( fase elástica) No trecho horizontal => escoamento => grandes deformações sem aumentar a carga. No trecho final => endurecimento => ruptura. Obs.: A segurança contra a ruptura, exige tensões admissíveis contidas sempre na zona de proporcionalidade. No trecho retilíneo do diagrama ocorre uma proporcionalidade entre os valores de σ e ε dado por E ( módulo de elasticidade ou de YOUNG). ε = σ / E ( HOOKE) ε é admensional. Os alongamentos são calculados com ε = ∆ / e σ = N / S ε = σ / E ∆ l / l = N / S.E => ∆ l = N.l / E.S Valores do módulo de elasticidade: E aço 2.100.000 kg/cm2
E concreto 140.000 - 210.000 kg/cm2 E madeira 75.000 - 200.000 kg/cm2
Paralelamente ao alongamento ( encurtamento) há uma diminuição (aumento) da secção transversal da peça dado pela relação ∆d/d, que é menor que ∆l / l. O fator de redução duma relação na outra é o coeficiente de POISSON µ aço ≅ 1/3 ∆d/d = µ ∆l/l concreto ≅ 1/6
2. Base de calculo para tensão normal em vigas. Obs.: Trabalharemos sómente com vigas de secção simétrica. Vamos considerar a seguinte viga bi-apoiada.
Na solicitação por um momento positivo, as fibras inferiores serão tracionadas e as superiores serão comprimidas.
Adotaremos a seguinte suposição: O momento fletor, produz tensões σ linearmente distribuidas sobre a secção σ = K.y onde y é um eixo cuja origem devemos encontrar. O momento fletor que atua na secção, deverá ser equilibrado pelo material da viga através das suas tensões Obtém-se a resultante das tensões atuantes atribuindo-se a cada elemento dS da sec- ção uma força elementar σ.dS cuja resultante será procurada. Se existisse uma resultante das forças elementares, ela seria a força normal N, que é nula neste caso pois só atua M. N = 0 = ∫σ.dS = K∫ y.dS I Momento Resultante: M = ∫y.σ.dS = K∫y2.dS II Da equação I concluimos qua a origem de y só pode ser sobre o C.G. da secção, pois só assim anularemos a integral. Sabemos que : J = ∫s y2.dS => M = K.J => K = M/J mas K = σ/y Portanto σ / y = M / J => σ = M / J.y , para vigas simétricas na flexão pura. Exemplos.: TENSÃO DE CISALHAMENTO EM VIGAS
1.1 Conceito de Tensão de Cisalhamento.: É aquela que atua perpendicularmente ao eixo da peça agindo portanto paralelamente à secção transversal da viga sendo resultante da ação dos esforços solicitantes sobre a viga e é representada pela letra grega τ (tau) tendo kg/cm2 como unidade. τ = N/ S ( kg/cm2) Vamos considerar a viga bi-apoiada abaixo:
No elemento ao lado, para que o elemento esteja em equilibrio, é nescessário a exis-tência de mais uma força horizontal cujo valor será:
Tx
+dx - Tx = dTx Esta força sòmente poderá ser fornecida
pela face b.dx, pois naface vertical temos a tensão σ (cujos valores podemos ou queremos cnsiderar como certos). Teremos portanto tensões τh - tensões de cisalhamento horizontal. Daí teremos: τh.b.dx = dTx Vamos chamar de Mx e M x+dx os momentos em x e em x + dx e teremos portanto: Tx = ∫ σx.dS = ∫ Mx / J . y dS = Mx / J . Ms Analogamente: Tx+dx = Mx+dx / J.Ms Como dTx = Tx+dx - Tx = ⎨(Mx+dx- Mx )/J⎬. Ms = Q.dx /J .Ms pois Mx+dx - Mx = dM = Q.dx τh.b.dx = dTx = Qdx/J.Ms τh = Q. Ms/ b.J
Exercícios (σ e )
1) Dada a Viga abaixo e a sua respectiva secção, calcule os valores de σ e para os pontos indicados na secção X = 2,5m e X= 5,0m
3tf
2,5 2,5
1tf
2,0
+
_
+1,01,1
1,9
R3
1R 2R
2,75
Y
2,00
Y
Reações de Apoio:
R3=0 1
2
3
X = 2,5m
X = 5,0m
Σ FH= 0 → Σ FV= 0
R1 + R2 -3 -1=0 Σ MA= 0 (3 x 2,5) – (R2 x 5) + (1 x 7)=0
1
2
3
5
4
202
20
0
020
8
20
7,5 + 7 = R2 x 5 R2 = 14,5 = 2,90 tf 5
3 em 2: → R1 + 2,90 - 4 =0 R1 = 1,10 tf Jz = bh³ = 20 x 80³ = 853.333,34 cm4 12 12 σ = M x y = 275.000 .y = 0,32y J 853.333,34 = Q.Ms bJ σ = M.y = 200.000 .y = 0,23y J
853.333,33
Dos diagramas temos: M2,5 = 2,75 M5,0 = 2,0 Q2,5 = - 1,90 Q5,0 = - 1,90
Pto Y σ Ms b Ms/b
01 02 03 04 05
- 40 - 20
0 + 40 + 20
- 12,89 - 6,45
0 12,89 6,45
0 12000 16000
0 12000
20 20 20 20 20
0 600 800
0 600
0 - 1,34 - 1,78
0 - 1,34
01 02 03 04 05
+40 +20
0 - 40 - 20
12,89 6,45
0 - 12,89 - 6,45
0 12000 16000
0 12000
20 20 20 20 20
0 600 800
0 600
0 - 1,34 - 1,78
0 - 1,34
2) Calcule σ e , no engaste, para os pontos da secção abaixo:
σ = M .y = 1.050.000 J 57.708,33
= QMs = 5.000 . Ms b J 57.708,33 b
5
77
23,2
326
,77
7
1
2
4
_Y (Simetria)
Z
_Z
76
7
3
3
68 7
10,5 7 10,5
1tf/m 2tf
3,0
10,5
5,0 2,0
1,125
355
1
24 3
Y
Z
_
_CG 5
6
5 2020
,25
28, 7
511
Z Y = (35 x 5 x 17,5) + (5 x 45 x 37,5) (45 x 5) + ( 35 x 5)
Y = 11.500 = 28,75 cm 400
Jz = {(45 x 5³) + [45 x 5 x(28,75 – 37,5)²]} + {(5 x 35³) + [5 x 35 x (28,75 – 17,5)²} 12 12
Jz = 468,75 + 17226,56 + 17864,58 + 22148,43 = 57.708,33 cm4
Ponto y σ Ms b
01 02 03 04 05 06
11,25 6,25 8,75 8,75
0 - 28,75
204,69 113,72 159,20 159,20
0 -523,10
0 1968,75 875,00
1125,00 2066,40
0
45 5 5 45 5 5
0 34,11 15,16 2,17
35,80 0
Ms2 = 45 x 5 x 8,75 = Ms3 = 20 x 5 x 8,75 = Ms4 = 45 x 2,5 x 10 = Ms5 = 28,75 x 5 x 14,375 = 3) Para X = 1,15m determine σ e para os
pontos dados.
_
2,4
2,0
1,2
2tf
2
+
1,2
2,0
2
2tf
1,9
1,2 –2,4 1,15 – x=2,3 tf.m
YCG = (28 x 7 x 3,5) + ( 36 x 7 x 25) + ( 21 x 7 x 46,5) = 23,23 cm (28 x 7) + (36 x 7) + (21 x 7) Jz = {(28 x 7³) + [28 x 7 x(23,23–3,5)]²} + {( 7 x 36³) + [36 x 7 x(23,23 – 25)²]} +
12 12 ...+ {(21 x 7³) + [21 x7 x(23,23 – 46,5)²]}= 185.303,01 cm4
12
R
4,5 tf.m
1,5
3
1
R3tf
R
3,0
+
3,0
2
Ponto Y σ b Ms
01 02 03 04 05 06 07 08
- 23,23 - 16,23 - 19,73 - 19,73
0 + 19,77 + 26,77 + 23,27
- 28,83 - 20,14 - 24,49 - 24,49
0 24,54 33,23 28,88
28 7 7
28 7 7
21 7
0 28x7x19,73 = 3.867,08 10,5x7x19,73 = 1.450,16 28x3,5x21,48 = 2.105,40 (28x7x19,73)+(16,23x7x8,12) = 4.789,69 21x7x23,27 = 3.420,69 0 7x7x23,27 = 1.140,23
0 6,963 2,236 0,811 7,385 5,274
0 1,758
σ = M .y = 230.000 .y J 185.303,01
= QMs = 2000 Ms
1,5_
bJ 185.303,01 b 4) Calcule os valores de σ e para os pontos dados abaixo:
515
24
_Y (Simetria)
_Z
530
15
31
20,8
3314
,667
5
67
Z
YCG = (45 x 5 x 2,5) + ( 30 x 15 x 20) = 14,667cm (45 x 5) + (30 x 15) Jz = {(45 x 5³) + [45 x 5 x(17,66 – 2,5)²]}+ {(15 x 30³) + [15 x 30 x(14,66 – 20)²]}
12 12 Jz = 80.156,25 cm4 Ponto Y σ b Ms
01 02 03 04 05 06 07
- 14,166 - 9,166
- 11,166 - 11,166
0 10,416 20,833
- 79,53 - 51,46 - 62,69 - 62,69
0 58,48
116,96
45 15 5
45 15 15 15
0 2.624,85
874,95 1.453,05 3.255,10 2.441,33
0
0 3,27 3,27
0,604 4,06 3,05
0
σ = M .y = 450.000 =5,614y J 80.156,25
= QMs = 1.500 . Ms bJ 80.156,25 b
= 0,0187 . Ms = b
Ms1 = 0 Ms2 = 5 x 45 x 11,67 = 2.624,85 Ms3 = 15 x 5 x 11,67 = 874,95 Ms4 = 2,5 x 45 x 12,92 = 1.453,05 Ms5 = 20,833 x 5 x 0,5 = 3.255,10 Ms6 = 10,42 x 15 x [20,833 – (10,42)] = Ms7 = 0 2
1) Flexão simples - : Na viga com o carregamento abaixo, teremos os valôres da tensão normal σ dados pela relação: σ = M. y J ⎧ M momento fletor na secção estudada Onde : ⎨ J momento de inércia da secção ⎩ y cota do ponte em relação ao C.G.
2) Flexão Composta Normal - :
Valor da tensão σ = N + Mz . y S J Obs.: deve-se adotar sempre o eixo y positivo para o lado tracionado da secção. 3) Flexão Composta Oblíqua - :
σ = N + Mz . y + My . z S Jz Jy
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