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Matemtica Discreta
IntroduoConjuntos e RelaesGrafosAlgebra AbstrataReticulados e Algebra BooleanaCategorias
Matemtica Discreta
IntroduoConjuntos e RelaesGrafosAlgebra AbstrataReticulados e Algebra BooleanaCategorias
RelaesExemplos de Relaes:
Uma classe uma subclasse de uma outra classe. Um nmero inteiro maior que outro inteiro. i>j Uma frmula cons. semntica de outra. O conjunto A subconjunto de B. AB O ABC semelhante ao DEF. Joo conhece Maria. Joo foi apresentado a Maria por Maurcio.
Relaes Uma relao binria* entre os conjuntos A e B um
subconjunto de AB.
Exemplo:Artilheiro = { Hernane, Seedorf, Derley, Frontini, MarcelBernardo}
A relao GolsMarcados
GolsMarcados = { (Hernane,8), (Seedorf, 4), (Derley, 4),(Frontini, 4), (Marcel 4), (Bernardo 4) }
Domnio e Codomnio A relao binria R={(1,2),(2,3)} entre e , e a relao
R={(1,2),(2,3)} entre e so a mesma relao?
Pela definio anterior sim, mas ento vamos alter-la:
Uma relao binria R entre os conjuntos A e B umatripla ordenada R=(A,B,R), onde R AB
Na prtica a diferena importante em poucas situaes,mas uma delas em teoria das categorias, que pode fazerparte do programa do curso.
Notao Sejam R=(A,B,R), A={1,2}, B={2,3,4}
e R={(1,2),(1,4),(2,3)}
Podemos representar essa relao da seguinte forma:
1
2
2
3
4
A B
Composio de Relaes
1
2
2
3
4
A B
4
5
R SC
1
2
4
5
CA SR
Composio de Relaes
Dadas as relaes R=(A,B,R) e S=(B,C,S)Definimos a composio SR (em computao tambm
escrito R;S ou RS) como a relao
SR = (A,C,SR) tal que:(a,c)SR bB tq (a,b)R (b,c)S
Notao
Seja a relao R=(A,B,R)
Se aA e bB escrevemos aRb quando (a,b)R eescrevemos a R/ b quando (a,b)R
Inversa
1
2
2
3
4
A B
1
2
2
3
4
AB
R
R-1
Inversa
Se R uma relao definimos sua inversaR-1= { (b,a) | (a,b)R }
Ou seja: b R-1 a a R b
Relaes injetivas e funcionais Seja R=(A,B,R)
R injetiva se por definio:a1,a2A, bB, a1Rba2Rb a1=a2
R funcional se por definio:aA, b1,b2 B, aRb1aRb2 b1=b2
R injetiva se e somente se R-1 funcional.
12
2
3
4
A B
1
2
2
3
4
AB
R
R-1
Relaes injetivas e funcionais
R injetiva? R funcional?
R-1 injetiva? R-1 funcional
Relao 1 para 1
Seja R=(A,B,R).R 1 para 1 se por definio:R injetiva e funcional
R 1 para 1? S 1 para 1?
1
2
2
3
4
A B
1
2
2
3
4
AB
R
S
Relaes totais esquerda e sobrejetoras
Seja R=(A,B,R) R total esquerda (ou funo multivalorada) se por
definio:aA, bB, aRb
R sobrejetora (ou total direita ou sobre):bB, aA, aRb
R total esquerda se e somente se R-1 sobre. R uma funo se e somente se funcional e total esq. R uma bijeo (ou correspondncia 1 para 1) se uma
funo sobrejetora e injetora.
12
2
3
4
A B
1
2
2
3
4
AB
R
S
Relaes totais esquerda e sobrejetoras
R total esq? R sobre? R funo?
S total esq? S sobre? S funo?
Relaes sobre um Conjunto Uma relao binria R sobre um conjunto S uma
relao entre S e S (domnio = codomnio) Tambm chamada de endorelao)
Exemplos:
Daqui em diante vamos usar apenas relao para relaobinria. Caso uma relao tenha aridade maior, isso sermencionado explicitamente.
Relaes sobre um Conjunto Notao como pseudografo direcionado.
Exemplos: Relao sobre A={1,2,3}
1
2 3
Relaes sobre um Conjunto
Relao Reflexiva
Uma relao R sobre o conjunto A reflexiva se esomente se a A, aRa
Exemplos: R=(, , ) R=({1,2},{1,2}, {(1,1),(2,2)}
1
2 3
Relao Simtrica
Uma relao R sobre o conjunto A simtrica se esomente se a1,a2 A, a1Ra2 a2Ra1
Exemplo:
1
2 3
Relao Transitiva
Uma relao R sobre o conjunto A transitiva se esomente se a1,a2,a3 A, a1Ra2 a2Ra3 a1Ra3
Exemplo:
2 3
1
Exerccio
D um exemplo de uma relao que seja:
1. No Reflexiva, No Simtrica, No Transitiva2. No Reflexiva, No Simtrica, Transitiva3. No Reflexiva, Simtrica, No Transitiva4. No Reflexiva, Simtrica, Transitiva5. Reflexiva, No Simtrica, No Transitiva6. Reflexiva, No Simtrica, Transitiva7. Reflexiva, Simtrica, No Transitiva8. Reflexiva, Simtrica, Transitiva
Relao de Equivalncia
Uma relao R sobre o conjunto A uma relao deequivalncia se e somente se reflexiva simtrica etransitiva.
Exemplo:
1
2 3
Classe de Equivalncia Seja uma relao de equivalncia sobre o conjunto X, a
classe de equivalncia de a o conjunto:[a] = { x X | xa }
Exemplo:
[1] = [2] = {1, 2}[3] = {3}
1
2 3
Conjunto Quociente Seja uma relao de equivalncia sobre o conjunto X, o
conjunto quociente X/:X/ = { [x] | x X}
Exemplo:
X/ = {[1], [3]} = {{1, 2}, {3}}
1
2 3
Conjunto Quociente
Conjunto Quociente Seja uma relao de equivalncia sobre o conjunto X,
os elementos de X/ so disjuntos e sua unio X, diz-se,portanto que so uma partio de X.
Uma relao de equivalncia sobre X define umapartio de X uma partio de X define uma relao deequivalncia sobre X.
Relao Anti-simtrica
Uma relao R sobre o conjunto A anti-simtrica se esomente se a1,a2 A, a1Ra2 a2Ra1 a1=a2
Exemplos: , , >
Relao de Ordem (Parcial) Uma relao R sobre o conjunto A uma relao de
ordem parcial se e somente se reflexiva, transitiva e anti-simtrica.
Exemplo:
1
2 3
Relao Total
Uma relao R sobre o conjunto A uma relao de totalse e somente se a1,a2 A, a1Ra2 a2Ra1
O exemplo abaixo uma relao de ordem total (pois uma relao de ordem e total):
1
2 3
Potncia de Relaes
Definimos: R1 = R Rn+1 = RRn
Quem deveria ser R0. Seria bom que fosse o elemento neutroda composio, ou seja R0 a relao identidade.
Fecho Reflexivo Seja R uma relao sobre X, ento R= a menor relao
reflexiva que contm R R= = R0 R
Fecho Transitivo Seja R uma relao sobre X, ento R+ a menor relao
transitiva que contm R.
R+ = R R2 R3
Exemplo: se R a relao sucessor sobre . Quem R+?
Fecho Transitivo-Reflexivo Seja R uma relao sobre X, ento R* a menor relao
transitiva e reflexiva que contm R.
R* = R0 R R2 R3
Exemplo: se R a relao sucessor sobre . Quem R*?
Fecho Transitivo-Reflexivo-Simtrico
Seja R uma relao sobre X, ento R a menor relaode equivalncia que contm R.
Operaes em Relaes Inversa
R-1 = {(y,x)|(x,y)R} Composio
SR = R;S = {(x,z)|y, xRy ySz } Unio Interseo Complemento
Exerccio
Matemtica Discreta
IntroduoConjuntos e RelaesGrafosAlgebra AbstrataReticulados e Algebra BooleanaCategorias
1736 Euler Pontes de Knigsberg
1857 Cayley Contagem de Ismeros
1859 Hamilton Around the World
Grafo
v1
v2 v3
Um grafo um par ordenado G(V,E), onde: V um conjunto finito no vazio de vrtices. E um conjunto de pares no ordenados de vrtices distintos
Grafo
v1
v2 v3
Um grafo um par ordenado G(V,E), onde: V um conjunto finito no vazio de vrtices. E um conjunto de pares no ordenados de vrtices distintos G1: V = {v1,v2,v3}, E = {v1v2, v2v3}
v1
v2 v3
G1 G2 ?
G2 no grafo,
um pseudografo
v1
v2 v3
G3 ?
G3 no grafo,
um multigrafo
Grafo
v1
v2 v3
Normalmente chamamos:
n = |V| nmero de vrtices (s vezes p) m = |E| nmero de arestas (s vezes q)
Neste caso:
n = ?
m = ?
3
2
Grafo
v1
v2 v3
e1
e2
Quando existe uma aresta ligando dois vrtices dizemos que eles so adjacentes. No grafo acima: v2 e v3 so adjacentes (v2 v3). v1 e v2 so adjacentes (v1 v2).Observe que a adjacncia () uma relao simtrica.
No grafo ao lado dizemos que a aresta e2 incide sobre o vrtice v3(e tambm sobre v2).
Grafo Complementar
v1
v2 v3
G
v1
v2 v3
O grafo complementar de G=(V,E) o grafo G=(V,E), ou seja a aresta vivj est em G se e somente se no est em G.
G
Isomorfismo
v1
v2 v3
G1 G2, mas quanto s propriedades de conectividade eles so iguais.
v2
v1 v3
Neste caso dizemos que G1 G2, G1 isomorfo a G2.
G1 G2
Isomorfismo
v1
v2 v3
G1= (V1,E1) isomorfo a G2= (V2,E2) se existe uma funo bijetora :V1V2 tal que v1v2 E1 (v1)(v2) E1.
u2
u1 u3
Neste caso dizemos que um isomorfismo de G1 para G2.
G1 G2
Grafos com n = 3Estes so todos os grafos com n=3 a menos de isomorfismo.
P2 = K1,2 K3 = C3
Grafos com n = 4Desenhe todos os grafos com n=4, quantos encontrou?
SubgrafoUm grafo H(Vh,Eh) subgrafo de G(VG,EG) se e somente se Vh VG e Eh EG.
Exemplos:
u1 u2
u4
u3
G
u1 u2
u4
H1
u2
u4
u3
H2
SubgrafoUm subgrafo H(Vh,Eh) de G(VG,EG) subgrafo de extenso (spanning subgraph) se e somente se Vh = VG e Eh EG.Exemplos:
u1 u2
u4
u3
G
H1
H2
u4
u1 u2 u3
u1 u2
u4
u3
SubgrafoUm subgrafo H(Vh,Eh) de G(VG,EG) gerado pelo conjunto Vh se e somente se o maior subgrafo de G com o conjunto de pontos Vh.
Exemplo:
u1 u2
u4
u3
G
u2
u4
u3
H=
GrauO grau de um n o nmero de arestas que chega ao n.
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
grau(u1) = 1grau(u3) = 2grau(u2) = 3grau(u6) = 4
GrauTeorema: (Euler 1736)Em um grafo G, a soma dos graus dos ns o dobro do nmero de arestas.
grau(vi) = 2 m
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
1 + 3 + 2 + 3 + 3 + 4+ 2 = 2 * 9
Grau
Corolrio: O nmero de vrtices de grau mpar par.
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
Grau
Se grau(v)=0 dizemos que v isolado. Se grau(v)=1 dizemos que v uma ponta (endpoint).
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
GrauTeorema: (Euler)(Hierholzer 1873)Um grafo G tem um ciclo euleriano se e somente se conectado e todos os vrtices tem grau par. (O teorema foi enunciado por Euler)
GrauPara um vrtice v:
d(v) = grau(v) = grau ou valncia de v.Para um grafo G:
Grau mnimo de G = (G) = min{ d(v) | v V}Grau mximo de G = (G) = max{ d(v) | v V}
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
GrauPara um Grafo G:
Grau mdio de G =
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
GrauSe todos os vrtices de G possuem o mesmo grau k dizemos que G k-regular. Um grafo 3-regular chamado de cbico.
Exemplos:
K3,3
Grafo ConectadoSe existe um caminho entre vi e vj dizemos que vi alcana vj. A relao de alcance o fecho transitivo-reflexivo da relao de adjacncia.Um grafo G=(V,E) conectado se e somente se vi, vj V, vialcana vj.
No No Sim Sim
CaminhoUm caminho (simples) P uma sequncia que alterna pontos e linhas:
v0, x1, v1,...,xn,vn na qual cada ponto distinto e cada linha incidente ao pontos imediatamente antes e depois da linha na sequncia.
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
u1 ,u1u2, u2 ,u2u4, u4 ,u4u5, u5 ,u5u7, u7
CaminhoUm caminho P euleriano se percorre todas as arestas de um grafo. Um caminho hamiltoniano se percorre todos os ns de um grafo.
Exemplo de caminho hamiltoniano:
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
Distnciad(vi, vj) = 0 se i = j
= tamanho do menor caminho entre eles (se existir)= , se no existe caminho entre i e j.u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
d(u1, u7) = 4
DimetroO dimetro de um grafo a maior distncia entre dois pontos do grafo.
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
Na figura, qual o dimetro de G? diam G = 4
RaioUm vrtice u central em G se sua maior distncia a qualquer outro vrtice a menor possvel. Essa distncia o raio de G.
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
Na figura, quem so os vrtices centrais de G? Qual o raio de G?
Obs.: rad G diam G 2 rad G
rad G = 2
Centrais: {u3, u4}
CicloSe o primeiro n igual ao ltimo, dizemos que se trata de um ciclo (caminho fechado).
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
u3 ,u2u4, u4 ,u4u5, u5 ,u5u6, u6,u3u2, u2 ,u6u3, u3
CicloUm ciclo P euleriano se percorre todas as arestas de um grafo. Um ciclo hamiltoniano se percorre todos os ns de um grafo.
Exemplo de ciclo hamiltoniano:
u2
u3
u4 u5
u6
u7
CinturaO tamanho do menor ciclo de G chamado de cintura de G, g(G).
u2
u3
u4 u5
u6
u7
No grafo abaixo g(G) = 3.
Exerccio
No grafo a seguir:u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
u8
Exiba o subgrafo induzido por { u2, u6, u8} Qual a distncia entre u1 e u6? Quantos caminhos de tamanho 3 existem comeando em u1 e terminando em u6? O grafo possui caminho euleriano?
Possui ciclo euleriano?
O Grafo possui caminho hamiltoneano?
Possui ciclo hamiltoneano?
Quanto rad G? diam G? Quais so os vrtices centrais de G? Quanto vale (G), d(G), (G), g(G)?
Grafo CompletoO grafo completo Kn o que tem n pontos e todos eles adjacentes entre si.
Exemplo:
K3
K5
CliqueUm clique de G um subgrafo completo de G.
Exemplo:
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
Chamamos (G) ao tamanho do maior clique em G (clique number.
No exemplo, (G) = ? 3
Grafo BipartidoUm Grafo G=(V,E) bipartido se V pode ser particionado em V1 e V2 de forma que toda a aresta de G une um vrtice de V1 a um vrtice de V2.
Exemplo:
u1 u2
u3
u4 u5 u6
Grafo Bipartido CompletoUm Grafo bipartido G bipartido completo se possui TODAS as arestas que unem um vrtice de V1 a um vrtice de V2.
Exemplo:
K1,3 K3,3
Isomorfismo
v1
v2 v3
G1= (V1,E1) isomorfo a G2= (V2,E2) se existe uma funo bijetora :V1V2 tal que v1v2 E1 (v1)(v2) E2.
u2
u1 u3
Neste caso dizemos que um isomorfismo de G1 para G2.
G1 G2
Existe algum outro isomorfismo de G1 para G2?E de G1 para G1 ?
Homomorfismo
v1
v2 v3
G1= (V1,E1) homomorfo a G2= (V2,E2) se existe uma funo :V1V2 tal que v1v2 E1 (v1)(v2) E2.
u1 u2
Neste caso dizemos que um homomorfismo de G1 para G2.
G1 G2
ColoraoUma k-colorao prpria de G=(V,E) um mapeamento de G para um conjunto de k cores tal que vi vj vi e vj tem cores diferentes. Neste caso dizemos que G k-colorvel.
u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
O menor inteiro k para o qual G k-colorvel chamado de (G), nmero cromtico de G.
ColoraoO nmero cromtico de G, (G), o menor n para o qual existe um homomorfismo
:GKn
G K2
Exerccio
No grafo a seguir:u1 u2
u3
u4 u5
u6
u7
u8
Qual o tamanho do maior clique de G?Quanto vale (G)?O grafo assimtrico?
possvel remover um vrtice de G e obter um grfico assimtrico? Qual(is) vrtice(s)?
AutomorfismosUm automorfismo de G um isomorfismo de G para G.
Automorfismos de K2Existem 2 automorfismos em K2. Mas os inversos tambm so automorfismos...
e
Automorfismos de K2Observe que e -1 = e e -1 = . Mas a composio de automorfismos tambm um automorfismo...
e-1
-1
Automorfismos de K2Observe que e = enquanto = e.
e
Automorfismos de K2Resumimos na seguinte tabela de composio:
e
e e
e
Automorfismos de K3Existem 6 automorfismos em K3.
e
2
2
3
Automorfismos de K3Resumimos na seguinte tabela de composio:
e
e
2
2
e
3
2
2 e 2 3
2 3 e
2 3 2 e
3
2
2
3 2 2 e
2 2 3e
2
2
3
AssimetriaSe G1 possui um nico automorfismo dizemos que G1 assimtrico.
Exemplos:
Matemtica Discreta
Introduo Conjuntos e Relaes Grafos Algebra Abstrata Reticulados e Algebra Booleana Categorias
Automorfismos de K2Existem 2 automorfismos em K2. Mas os inversos tambm so automorfismos...
e
Automorfismos de K2Observe que e -1 = e e -1 = . Mas a composio de automorfismos tambm um automorfismo...
e-1
-1
Automorfismos de K2Observe que e = enquanto = e.
e
Automorfismos de K2Resumimos na seguinte tabela de composio:
e
e e
e
Automorfismos de K3Existem 6 automorfismos em K3.
e
2
2
3
Automorfismos de K3Resumimos na seguinte tabela de composio:
e
e
2
2
e
3
2
2 e 2 3
2 3 e
2 3 2 e
3
2
2
3 2 2 e
2 2 3e
2
2
3
GrupoSe um grafo e G o conjunto de automorfismos deste grafo,
observamos as seguintes propriedades:
1) g1, g2 G, g1 g2 G, G fechado em relao a .2) g1, g2 , g3 G, (g1g2)g3= g1(g2g3). associativa.3) eG tq gG, eg = ge = g, e chamado de unidade.4) gG, g-1 G, tal que gg-1 = g-1g = e. Todo elemento tem
inverso.
Observe que no precisa ser comutativa (ver quadro anterior)Qualquer par (G, ) que satisfaz a estas condies chamado um
grupo.
GrupoSe G um grupo ento:
1) O elemento identidade nico.2) Todo aG tem um inverso nico.3) Para todo aG, (a-1)-1 = a.4) Para todo a, bG, (ab)-1 = b-1a-1.Prova?
Automorfismos de K3Podemos verificar a unicidade do elemento neutro e do inverso na tabela:
e
e
2
2
e
3
2
2 e 2 3
2 3 e
2 3 2 e
3
2
2
3 2 2 e
2 2 3e
2
2
3
GrupoSe G um grupo ento:
1) A equao ax = b tem soluo nica em G.2) O mesmo vale para xa=b.3) Valem as leis de cancelamento:
au = aw u = w
ua = wa u = w
Prova?
GrupoExerccio
Determinar quais das estruturas (G, ) abaixo um grupo:1) (, ). Conjunto dos inteiros, operao de subtrao.2) (N*, ). Conjunto dos naturais no nulos, operao de
multiplicao.
3) (Q*, ). Conjunto de racionais no nulos, operao de multiplicao.
Automorfismos de K3Observe o trecho em destaque da tabela. O conjunto H={e, ,2} fechado em relao , e tambm em relao ao inverso.
Que outros conjuntos fechados em relao a voc consegue encontrar?
e
e
2
2
e
3
2
2 e 2 3
2 3 e
2 3 2 e
3
2
2
3 2 2 e
2 2 3e
2
2
3
Automorfismos de K3O conjunto H1={e, } fechado em relao , e tambm em relao ao inverso.
e
e
2
2
e
3
2
2 e 2 3
2 3 e
2 3 2 e
3
2
2
3 2 2 e
2 2 3e
2
2
3
Automorfismos de K3O conjunto H2={e, 2} fechado em relao , e tambm em relao ao inverso.
e
e
2
2
e
3
2
2 e 2 3
2 3 e
2 3 2 e
3
2
2
3 2 2 e
2 2 3e
2
2
3
Automorfismos de K3O conjunto H2={e, 3} fechado em relao , e tambm em relao ao inverso.
Se H um subconjunto de G fechado em relao ao e ao inverso ento H um subgrupo de G.
e
e
2
2
e
3
2
2 e 2 3
2 3 e
2 3 2 e
3
2
2
3 2 2 e
2 2 3e
2
2
3
SubgrupoH um subconjunto de G fechado em relao ao e ao inverso ento H um subgrupo de G.
Observe que ({e}, ) e (G, ) so subgrupos de (G, ).Lema: Se H1 e H2 so subgrupos de G ento H1H2 subgrupo de G.
Lema: Se H um subconjunto finito no vazio de G, e H fechado em relao ao , ento (H, ) um subgrupo de (G, ).Prova?
SubgrupoDefinimos o(G) como o nmero de elementos de G.
Se H subgrupo de G, o que podemos dizer sobre o(H)?
No caso do grupo dos Automorfismos de K3 tambm chamado de S3, quais so os tamanhos de cada subgrupo?
{e}, {e, ,2}, {e, }, {e, 2}, {e, 3}, {e, ,2, , 2, 3}
Subgrupo
Se H subgrupo de G, a,b G dizemos que a b mod H ab-1 H
1) A relao mod H uma relao de equivalnciaProva?
Exemplo:
Seja G o grupo dos inteiros com a operao de adio, e H o subgrupo dos mltiplos de 7. Ento a relao a b mod H a + (b) H uma relao de equivalncia, conhecida como congruncia mdulo 7.
Vamos ver a situao em S3.
Grupo S3A tabela destaca o subgrupo H={e, ,2}.Observe que se a,bH ento pelo
Fechamento ab-1 H. Portanto
a b mod H. Logo {e, ,2} umaClasse de equivalncia.
Podemos verificar na coluna -1= todos
Os elementos congruentes a .
A classe de equivalncia de :
{, 2,3}.mod H divide G em 2 classe de
equivalncia de 3 elementos.
e
e
2
2
e
3
2
2 e 2 3
2 3 e
2 3 2 e
3
2
2
3 2 2 e
2 2 3e
2
2
3
Grupo S3A tabela destaca o subgrupo H={e, }.Portanto {e, } uma classe de equiv. Podemos verificar na coluna -1= 2 todos
os elementos congruentes a . A classe de equivalncia de {2, }.A outra classe de equiv {3, 2}mod H divide G em 3 classes de
equivalncia de 2 elementos.
e
e
2
2
e
3
2
2 e 2 3
2 3 e
2 3 2 e
3
2
2
3 2 2 e
2 2 3e
2
2
3
SubgrupoSe H subgrupo de G, a G dizemos que Ha ={ha | h H} uma classe lateral a direita de H em em G.
Lema: Ha = [a] = {x G | x a mod H } Ha [a]
h H a (ha)-1 = a (a-1h-1) = h-1 H (pelo fechamento) logo ha a mod H[a] Ha
x [a] ax-1 H (ax-1) -1 H xa-1 H xa-1 = h (p/ um hH) x = ha x Ha.
Em suma, as classes laterais a direita so as classes de equivalncia da
relao mod H. Portanto so uma partio de G.
SubgrupoLema: Existe uma correspondncia bijetora entre duas classes laterais a direita de H em G.
Prova: Sejam Ha e Hb duas classes laterais definimos f: HaHb por:f(ha) = hb.F sobrejetora pois para um elemento hb Hb, f(ha)=hb.F injetora pois se h1b = h2b h1 = h2 h1a = h2a
Logo todas as classes de equivalncia tm o mesmo tamanho, que o tamanho de He, portanto o tamanho de H. Provamos o
Teorema de Lagrange:
Se H subgrupo de um grupo finito G ento o(H) | o(G).
Teorema de LagrangeSe H subgrupo de um grupo finito G ento o(H) divide o(G).
O nmero de classes de equivalncia de mod H chamado de ndice de H.
Se G finito ento i(H) = o(G)/o(H).E se G infinito? Seja G o grupo dos inteiros com a operao de adio, e H o subgrupo dos mltiplos de 7. Qual o valor de i(H)?
Teorema de LagrangeSe H subgrupo de um grupo finito G ento o(H) divide o(G).Se a G a ordem de a, o(a) o menor m tal que am=e.Corolrio 1. Se a G e G finito, o(a)|o(G). Prova?Corolrio 2. Se a G e G finito, ao(G)=e. Prova?Corolrio 3. (Teorema de Euler) Se a um inteiro positivo primo com n, ento a(n) 1 mod n.
Prova: Considere o grupo dos inteiros menores que n, primos com n com a operao multiplicao mod n, e aplique o corolrio 2.
Corolrio 4. (Pequeno teorema de Fermat) Se a um inteiro qualquer e p primo, ento ap a mod p.
Corolrio 5. Se G um grupo de ordem p (primo), ento G um grupo cclico.Prova?
Teorema de LagrangeSe H subgrupo de um grupo finito G ento o(H) divide o(G).
A volta do teorema vale parcialmente, como provado pelos teoremas de Cauchy (p|o(G), G tem um elemento de ordem p) e de Sylow (p|o(G), G tem um elemento de ordem pn, onde n a multiplicidade do fator p).
ExerccioConsidere o grupo Sn:
Quais so os subgrupos? Para H e K subgrupos verifique se HK=KH
Para H e K subgrupos verifique se HK subgrupo
e
e
2
2
e
3
2
2 e 2 3
2 3 e
2 3 2 e
3
2
2
3 2 2 e
2 2 3e
2
2
3
Subgrupo KHSe H e K so subgrupos de um grupo G ento HK subgrupo de G se e somente se HK=KH.
Prova (): HK=KH x,y HK x=hk, y=hk xy = (hk)(hk) = h(kh)k = h(h2k2)k= (hh2)(k2k) = h3k3 HK.xHK x=hk x-1=k-1h-1 KH = HK
Prova (): HK grupo hH e kK h-1k-1 HK (h-1k-1)-1HK khHK KH HK.xHK x-1 HK x-1 =hk x=(x-1 )-1 = (hk)-1= k-1h-1 KH HK KH.
Corolrio: Se H e K so subgrupos de um grupo abeliano G ento HK subgrupo de G.
Conjunto HKQuantos elementos tem o conjunto HK?Se H e K so subgrupos finitos de G, ento o(HK)=o(H)o(K)/o(HK)Prova: Se listarmos os elementos de HK um elemento particular hk ir aparecer exatamente o(HK) vezes.i) hk = (hh1)(h1-1k) portanto hk aparece repetido no mnimo o(HK) vezes.ii) hk= h1k1 h-1h1= kk1-1 = u HK h1=hu e k1=u-1k todas as duplicaes apareceram em i), portanto hk repetido exatamente o(HK) vezes.
ExerccioG o grupo dos inteiros com a operao de adio e Hn o conjunto dos mltiplos do inteiro n, ento:
Mostre que Hn subgrupo de G.
Determine i(Hn) Qual o conjunto G/H de classes laterais direita de H em G? Mostre que G/H um grupo com a operao adio mdulo n.
Essa a ideia geral de uma relao de congruncia, ela uma relao de equivalncia que preserva uma operao no conjunto de classes de equivalncia.
Subgrupos NormaisDef: Um subgrupo N de G dito normal nN,gG, gng-1N
Os seguintes fatos so equivalentes:
N subgrupo normal de G. (Escreve-se N
Grupo QuocienteSe G um grupo e H subgrupo de G, G/H o conjunto das classes laterais a direita de H em G.
Teorema: Se N
Observao.(Z,+) o grupo dos inteiros com a operao de adio e Zn = Z/n. Seja :Zn tal que (a) = [a] Observe que (ab)=(a)(b)
Homomorfismo
Se (G,) e (H,) so grupos e uma funo :G ento dizemos que um homomorfismo de G para H se e somente se:,G, (ab)=(a)(b)Exemplos?
Se um homomorfismo de G para G' ento:(e)=e'(a-1)=(a)-1Prova?
NcleoSe G e H so grupos e :GH um homomorfismo, definimos o ncleo de como K = -1(e) = {aG | (a) = e}.Exemplo?
Isomorfismo
Se G e H so grupos e :GH um homomorfismo dizemos que: um isomorfismo, quando bijetor. Neste caso dizemos que G isomorfo a H. G H.
TEOREMA: Se G e H so grupos e :GH um homomorfismo sobrejetor de ncleo K, ento G/K H.Exemplo: Z/[0]n ZnObs: existe uma bijeo entre imagens homomrficas e subgrupos normais.
Teorema de CayleyTeorema de Cayley: Todo grupo isomorfo a um subgrupo de Sn, para algum n.
Seja S=G e para cada g definimos g:SS tal que g(x)=xg como y = g(yg-1), g sobrejetora. Como g(x) =g(y) xg=ygx=y,g injetora, portanto g uma permutao de elementos de S, g Sn.Definimos :GSn tq (g)= g, um homomorfismo (prova?), como o ncleo de e, temos que injetor (monomorfismo), portanto G isomorfo a (G), que um subgrupo de Sn.Dado o resultado, devemos olhar mais atentamente o grupo de permutaes.
J viu isso antes?
e
Representao de Permutaes
e
Representao de Permutaes
1
2
1
2
1
2
1
2
1 2
1 2
1 2
2 1
e
2
2
3
Representao de Permutaes
1 2 3
1 3 2
1 2 3
2 1 3
1 2 3
3 2 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
1 2 3
3 1 2
Representao de Permutaes
=1 2 3
2 3 1
1 2 3
3 1 2 =
1 2 3
2 3 1
1 2 3
2 3 1= = 2
Exemplo
1 2 3
1 2 3 = = = e
=1 2 3
1 3 2
1 2 3
1 3 2
1 2 3
1 3 2
Observe que 2 e 3 mudam de lugares, enquanto 1 no.
=1 2 3
1 3 2
Se a,bS e uma permutao de elementos de S, dizemos que
a b, se e somente se i tq b=ai.
uma relao de equivalncia. Prova?
Nos exemplos abaixo, quais so as classes de equivalncia?
Representao de Permutaes
=1 2 3 4 5
3 4 5 2 1
No exemplo abaixo, [1]={1,3,5} chamada rbita de 1 sob . E chamamos a sequncia ordenada (1,3,5) de ciclo de . Tambm chamamos de ciclo permutao que leva 135 e mantm os demais elementos.Como as classes de equivalncia so disjuntas, sabemos que toda a permutao pode ser expressa de forma nica como produto de seus ciclos.
Representao de Permutaes
=1 2 3 4 5
3 4 5 2 1
=1 2 3 4 5
3 4 5 2 1 = (1 3 5) (2 4)1 2 3 4 5
3 2 5 4 1
1 2 3 4 5
1 4 3 2 5 =
Observe que (1 3 5) = (1 3) (1 5) = (5 1) (5 3). Em geral o ciclo (1 2 ... m) = (1 2) (1 3) ... (1 m)Portanto: Toda a permutao um produto de ciclos de ordem 2 (ou transposies)
Representao de Permutaes
Teorema: Se uma permutao Sn possui duas representaes diferentes em transposies, sendo m1 e m2 as quantidades de transposies em cada uma delas, ento m1m2 mod 2.
Prova?
Representao de Permutaes
Considere o polinmio p(x1,...,xn) = i
O teorema anterior sugere as definies:
Uma permutao par se pode ser decomposta em um nmero par de transposies.
Uma permutao mpar se pode ser decomposta em um nmero mpar de transposies.
Est claro que o produto de duas permutaes pares par, e o inverso de uma permutao par par, portanto o conjunto de todas as permutaes pares um subgrupo de Sn.
Permutaes
Permutaes
Em S3, quem so as permutaes pares?
Observe que em S3, todas as permutaes so ciclos, os ciclos de tamanho mpar so permutaes pares.
e
e
2
2
e
3
2
2 e 2 3
2 3 e
2 3 2 e
3
2
2
3 2 2 e
2 2 3e
2
2
3
Anel dos Inteiros
(Z,+) um grupo abeliano fechado em Z e distribui em relao a soma.
AnelUm anel uma estrutura (A, +, .), onde: (Z,+) um grupo abeliano a,bA, a.b A (fechado) a .(b+c) = a.b + b.c (distributivo esquerda) (b+c).a = b.a + c.a (distributivo direita) (a.b).c = a.(b.c) (. associativo)
Opcional (depende do autor): 1 A tq aA, 1.a = a.1 = a (anel com elemento unitrio)
Exemplos de Anel
(Z,+, .) ( um anel comutativo pq . comuta) Matrizes 2x2 de nmeros reais.
(Z4,+4, .4)
Fatos BsicosSe (A, +, .) um anel, ento:1) 0 . a = a . 0 = 0 Prova?0 . a = ( 0 + 0) . a = 0.a + 0.a 0.a = 0Pergunta: a . b = 0 a = 0 ou b = 0 ?
1) -1 . a = -a Prova?-1 . a + a = -1 . a + 1. a = (-1+1).a = 0.a = 03) -a . b = a . (-b) = - (a.b) Prova? Exerccio
Dividores de Zero
Tipos Particulares de Anis
Um domnio de integridade um anel comutativo sem divisores de 0.
Um corpo um anel comutativo com diviso.
Obs: Diz-se que o anel tem diviso se (A-{0}, . ) um grupo.
Ora, se (A-{0}, . ) um grupo e se aA, a b = 0, multiplicando pelo inverso temos a-1 a b = a -1 0 b = 0. Portanto um corpo um domnio de integridade.
Tipos Particulares de AnisAnis
Domnios de integridade
Corpos
AnisUm domnio de integridade (ou anel de integridade) um anel comut. sem divisores de 0.
Um corpo um anel comutativo com diviso.
Teorema: Um domnio de integridade finito um corpo.
Prova: Adiante
AnisUm anel de integridade um anel comut. sem divisores de 0. Um corpo um anel comutativo com diviso.
Teorema: Um anel de integridade finito (D,+, . ) um corpo.Prova: Temos que provar que A possui unidade e inversos multiplicativos.
Sejam a1,...an os n elementos de A. Multiplicando cada um deles por bA, b0 obtemos a1b,...anb. Se houvessem dois iguais teramos aib=ajb (ai-aj)b = 0 ai-aj=0 ai = aj. Portanto a1b,...anb so distintos e so todos os elementos de a, em particular b = akb, como um anel comutativo, ak=e, i.e., a identidade. Alm disso, e = amb, logo am o inverso de b.
Tipos Particulares de Anis
Nesta regio s h anis infinitos. Ex: (Z, +, .)
Anis
Domnios de integridade
Corpos
Ex: (R, +, . ) (infinito)Ex: (Z3,+3,.3) (finito)
AnisUm domnio de integridade um anel comut. sem divisores de 0. Um corpo um anel comutativo com diviso.
Teorema: Um anel de integridade finito (D,+, . ) um corpo.Corolrio: Se p primo ento Jp = (Zp,+p, .p) um corpo.Este o anel dos inteiros mdulo p, muito usado para codificao (CRC, etc.), criptografia,...
Homomorfismo
HomomorfismoObserve que se (A,+, . ) um anel, ento (A,+) um grupo abeliano, ento:
(0) = 0 (-a) = -(a)
J o caso
(1) = 1Necessita alguma condio a mais, como ser sobre.
HomomorfismoObserve que se (A,+, . ) um anel, ento (A,+) um grupo abeliano, ento:
(0) = 0 (-a) = -(a)
J o caso
(1) = 1Necessita alguma condio a mais, como ser sobre.
Homomorfismo
Se (A1,+, . ) e (A2,+, . ) so anis e :A1A2 um homomorfismo, ento:Definimos o ncleo de , indicado por I() como o conjunto -1(0). Ou seja, o mesmo que para grupos.Lembramos do estudo de grupos que I() um subgrupo de (A1,+). Alm disso isomorfismo se e somente se (0)=0.Alm disso, no caso de anis aI() e rA ar I() e ra I().Prova?
(ar) = (a)(r) = 0(r) = 0 ar I() O mesmo vale para ra.
ExerccioSeja J(2) o conjunto dos reais da forma m+n2, m,n Z. Prove que (J(2),+,) um anel. Mostre que :J(2)J(2) tq (m+n2)= mn2 um homomorfismo.
Qual o ncleo de ?
Ideal
Se (A,+, . ) um anel e U um subconjunto no vazio de A, dizemos que U um ideal de A se por definio:
(U,+) um subgrupo de (A,+) uU e aA urU e ru U.
Exemplos:
{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} um ideal de (Z, +, .).{0} e {A} so ideais de qualquer anel (A,+, . ).
Ideal
Ideal
Se (A,+, . ) um anel e U um ideal de A, ento considere A/U o conjunto de classes laterais de U (considerando U como subgrupo em relao adio.Sabemos que A/U um grupo se definirmos (a+U)+(b+U)=(a+b)+U queremos que A/U seja um anel, para tanto definimos a multiplicao (a+U)(b+U)=(ab)+U. Para que (A/U,+, .) seja um anel, temos que provar: A definio multiplicao de classes laterais faz sentido, i.e.,
a+U=a+U e b+U=b+U (a+U)(b+U)=(a+U)(b+U) O produto fechado O produto associativo O produto distribui em relao soma.
Ideal
Ideal
Ideal
Se (A,+, . ) um anel e U um ideal de A, ento (A/U, +, .) um anel, chamado de anel quociente do anel A pelo ideal U.
Qual a relao entre A e A/U. Como no caso de grupos normais, definimos a funo : A A/U, pela sua construo, trivialmente um homomorfismo.
Se :A A um homomorfismo sobrejetor (epimorfismo) entre os anis (A,+, . ) e (A,+, . ) de ncleo U, ento A isomorfo a A/U. Alm disso existe uma correspondncia bijetiva entre os ideais de A e os ideais de A que contm U. Se V um ideal de A definimos o ideal V= -1(V) definido desta forma A/V A/V.
Problemas
Provar:
1) Se (A,+, . ) um anel e U um ideal de A tal que 1 U, ento U=A.
2) Se F um corpo, ento os nicos ideais so {0} e F.
3) Um homomorfismo sobrejetor entre corpos um isomorfismo ou leva todos os elementos a 0.
AnelSe F um corpo, ento os nicos ideais so {0} e F.
Um corpo parece interessante porque:
Podemos fazer diviso No pode ser simplificado por um homomorfismo
Interessantemente, para anis comutativos, vale a volta do problema (2):Se A um anel comutativo cujos nicos ideais so {0} e A, ento A um corpo.
AnelSe R um anel comutativo cujos nicos ideais so {0} e R, ento R um corpo.Para provar isso temos que exibir um inverso de cada elemento 0.Primeiro provamos Ra um ideal de R. Supondo u1 = r1a e u2 = r2a temos u1 + u2 = r1a + r2a = (r1 + r2)a Rau1 = (r1a) = (r1)a Ra. Logo (Ra,+) grupo.ru1 = r(r1a) = (rr1)a Ra. Logo Ra ideal.
Agora, como Ra ideal, temos Ra = {0} ou Ra = R, logo: se a 0 temos Ra=R, como 1 R temos que existe r tq ra=1. Como R comutativo, r inverso de a. Logo R um corpo.
Exemplos
(Z,+, .) tem ideais no triviais? (R, +, . ) tem ideais no triviais? (Z3,+3,.3) tem ideais no triviais?
Sim? Ento no corpo
No? Ento corpo
No? Ento corpo
Ideais do Anel dos Inteiros
Voltando a (Z,+, .), quem so seus ideais?
H algum ideal que contenha outro ideal?
Se M ideal de R e U, U ideal de R, MU R M=U ou M=RDiz-se que M um ideal maximal de R.
Quais so os ideais maximais de (Z,+, .) ?
Ideais
Seja R o anel das funes reais contnuas sobre o intervalo unitrio fechado, com as operaes usuais de soma e produto de funes. Seja o conjunto:M = { f R | f(1/2)=0 }M um ideal?M um ideal maximal?
Seja U um ideal tal que MUR. Ento existe g(x) U tq g(1/2)=0. Seja h(x)=g(x). Ora, h(x) M h(x) U U. Logo pela propriedade de absoro 1 = -1 U U=R.
Portanto M maximal.
Ideais
Seja R um anel comutativo com elemento unidade e M um ideal de R. M um ideal maximal se e somente se R/M um corpo.() Se R/M um corpo seus ideais so {0} e R/M. Enunciamos anteriormente que existe uma correspondncia bijetiva entre os ideais de R que contm M (ao menos M e R) e os ideais de R/M (exatamente {0} e R/M), portanto M um ideal maximal de R.() A ida anloga, se M Maximal, pela correspondncia mencionada R/M possui apenas dois ideais e comutativo, portanto um corpo.
Este resultado extensamente usado em anis de polinmios e extenses de corpos.
Anel de Integridade Corpo
O anel de inteiros o exemplo que motivou as definies de anel e, em particular, de anel de integridade. No caso dos inteiros, podemos torn-lo um corpo definindo os nmeros racionais. Podemos fazer isso para qualquer anel de integridade?
Se R e R' so anis e existe um monomorfismo de R para R' que preserve a unidade, dizemos que R imerso em R' e que R' uma extenso de R.
Exemplo: Imerso dos inteiros nos racionais.
Teorema: Todo o anel de integridade pode ser imerso em um corpo.
Anel de Integridade CorpoTeorema: Todo o anel de integridade pode ser imerso em um corpo.
Idia: Construir o corpo com as fraes a/b. Representaremos elas como o par ordenado (a,b), b0.
(1) Definimos (a,b) (c,d) se ad = bcProvamos que uma relao de equivalncia, portanto os elementos do corpo sero as classes de equivalncia da relao.(2) Definmos (a,b) + (c,d) = (ad+bc, bd)
Temos que mostrar que a soma est bem definida e que define um grupo abeliano.(3) Definmos (a,b) . (c,d) = (ac, bd)
Demonstramos que o produto est bem definido e que satisfaz s definies de anel de associatividade e distributividade.
Anel de Integridade CorpoTeorema: Todo o anel de integridade D pode ser imerso em um corpo.
O corpo construdo segundo as linhas do slide anterior chamado como corpo das fraes de D.
O corpo das fraes o 'menor' corpo que contm D.
Anel dos inteirosTeorema. Se Z o anel dos inteiros com um ideal A ento existe um elemento a0 A tal que A = a0Z. Ou seja, no anel dos inteiros um ideal o conjunto de mltiplos de um dados elemento.
Prova. Se A = {0}, basta tomar a0 = 0. Se A {0}. Seja a00 tal que |a0| mnimo, como |_| leva em inteiros no negativos, isso sempre possvel. Seja aA, a=ta0+r, como A um ideal, r=ata0A, Alm disso r = 0 ou |r|
Anel dos inteirosSe R um anel comutativo, a, b R, ento a|b se existe cR, tal que b=ac. trivial mostrar que:
a|b e b|c a|c (a relao | transitiva) a|b e a|c a|(bc) a|b cR, a|bcSe R um anel comutativo, a, b R, ento d=(a,b) um mximo divisor comum de a e b se por definio: d|a d|b c|a e c|b c|d
Anel dos inteirosTeorema. Se Z o anel dos inteiros, a, b Z, ento a e b tem um mdc d, alm disso d=ma+nb, para algum m, n Z.
Prova. Seja A = {ra+sb | r, s Z}. fcil verificar que A um ideal de Z, pelo teorema anterior A = dZ, o conjunto dos mltiplos de d, e d = r0a+s0b. Como a, b A d|a e d|b. Finalmente c|a e c|b c|r0a e c|s0b c| ( r0a+s0b ) = d.
Anis EuclidianosOs teoremas anteriores no so vlidos somente nos inteiros, so vlidos em diversos anis, como os inteiros gaussianos e o anel de polinmios.
Sob que condies podemos generalizar isso para qualquer anel?
Um domnio de integridade A um anel euclidiano se por definio para todo a A existe d(a), inteiro no negativo tal que: a, b A, a, b 0, d(a) d(ab) a, b A, a, b 0, t, r A tq a = tb+r e r = 0 ou d(r)
Anis EuclidianosTeorema. Se R um o anel euclidiano com um ideal A ento existe um elemento a0 A tal que A = a0R. Ou seja, em um anel euclidiano um ideal o conjunto de mltiplos de um dados elemento.
Prova. Se A = {0}, basta tomar a0 = 0. Se A {0}. Seja a00 tal que d(a0) mnimo, como d(_) leva em inteiros no negativos, isso sempre possvel. Seja aA, a=ta0+r, como A um ideal, r=ata0A, Alm disso r = 0 ou d(r)
Teorema. Se R um anel euclidiano, a, b R, ento a e b tem um mdc d, alm disso d=ma+nb, para algum m, n R.
Prova. Seja A = {ra+sb | r, s R}. fcil verificar que A um ideal de Z, pelo teorema anterior A = dR, o conjunto dos mltiplos de d, e d = r0a+s0b. Como a, b A d|a e d|b. Finalmente c|a* e c|b c|r0a e c|s0b c| r0a+s0b c|d.
* Aqui usamos o fato que c=1a+0b, portanto que o anel Euclidiano tem que ter elemento unidade. A prova deste fato fica como exerccio.
Anis Euclidianos
Se R um anel comutativo com elemento unidade, aR, uma unidade de R se existe bR tal que ab=1.
No confunda unidade com elemento unitrio, uma unidade um elemento do anel que possui inverso multiplicativo no anel.
Quem so as unidades de Z?
E dos inteiros gaussianos?
Anis Euclidianos
Se R um anel domnio de integridade com elemento unidade, a, bR, a|b e b|a, ento a=ub, onde u uma unidade em R.Prova: a|b e b|a a=yb e b=xa b = xyb xy = 1. Se R um anel comutativo com elemento unidade, dizemos que a e b so associados se por definio b= ua para alguma unidade u de R.
Exerccio 1: Provar que a relao associado um relao de equivalncia.
Exerccio 2: Provar que se d1=(a,b) e d2=(a,b), ento d1 e d2 so associados.
Exerccio 3: Provar que se d(a)=1, ento a uma unidade de R.
Anis Euclidianos
Se R um anel euclidiano e a, b R, b no uma unidade de R. Ento d(a) < d(ab).
Prova. Seja o ideal A=(a)=aR. Sabemos que d(a)d(ar). Se d(ab)=d(a), de acordo com a prova do teorema anterior, como d(ab) o menor d-valor de A, to elemento de a mltiplo de ab, em particular a = abx ab=1b unidade de A (contradio). Logo d(a) < d(ab).
Anis Euclidianos
Em um anel euclidiano R, piR dito um elemento primo de R, se por definio pi=ab a unidade de R ou b unidade de R.
Ou seja, um elemento primo de R um elemento que no pode ser fatorado de forma no trivial.
Quem so os elementos primos de Z?
Quem so os elementos primos de J[i] (inteiros gaussianos)?
Anis Euclidianos
Lema. Em um anel euclidiano R, rR ou uma unidade ou pode ser escrito como um produto finito de primos de R.
Prova: (por induo em d(a))Se d(a)=1, ento a unidade, logo o lema vlido.Suponhamos o lema vlido para todo x tal que d(x)
Em um anel euclidiano R, a, bR dizemos que a e b so primos entre si se (a,b)=1.
Lema: Em um anel euclidiano R, a, b, cR se a|bc e (a,b)=1 ento a|c.Prova. Sabemos que d=(a,b)=ma+nb, logo 1=ma+nb c=mac+nbcMas a |bc a|nbc a| mac+nbc = c.
Anis Euclidianos
Lema. Em um anel euclidiano R, a, piR, pi primo, ento pi|a ou (pi,a)=1 (ou qq unidade)Prova. Por definio (pi,a)|pi logo pi ou uma unidade.Caso (pi,a) uma unidade temos que o lema verdadeiro.Caso (pi,a)= pi, como (pi,a)|a, temos pi|a
Anis Euclidianos
Lema. Em um anel euclidiano R, a, b, piR, pi primo, ento pi|ab pi|a ou pi|b.Prova. Se pi|a acabou, caso contrrio (pelo lema acima) (pi,a)=1, logo (pelo lema da pgina anterior) pi|b.
Corolrio. Em um anel euclidiano R, piR, pi primo, entopi|a1a2a3..an pi|ai, para algum i.
Anis Euclidianos
Teorema da fatorao nica. Em um anel euclidiano R, no qual aR, a0, a no unidade. Suponhamos que a tenha duas fatoraes em elementos primos de R:
a=pi1 pi2 pi3... pin= pi1 pi2 pi3... pim
Ento n = m e todo pii associado a algum pij
Prova: exerccio.
Anis Euclidianos
J[i] o conjunto dos complexos da forma a+bi, a, bZ.
Provar (exerccio):1. (J[i], +, ) um anel2. (J[i], +, ) um anel euclidiano, usando d(a+bi)=a2+b2
Inteiros de Gauss
J[i] o conjunto dos complexos da forma a+bi, a, bZ.
Provar (exerccio):1. (J[i], +, ) um anel2. (J[i], +, ) um anel euclidiano, usando d(a+bi)=a2+b2
Inteiros de Gauss
Espaos Vetoriais
Um conjunto no vazio V um espao vetorial sobre um corpo F se:
(V, ) um grupo abeliano Existe uma operao de FVV tal que ,,F, v,wV:
(vw)=vw (+ )v=vv ()v=(v) 1 v = v
Espaos Vetoriais
Exemplos:
F um corpo, F(n) o conjunto de suas n-tuplas forma um espao vertorial (anlogo ao Rn). F um corpo, F[x] o conjunto dos polinmios x sobre F.
Espaos Vetoriais
Lema:
0 = 0
0 = (0+0)= 0 + 0 0 = 0 0v = 0
0v = (0+0)v = 0v + 0v 0v = 0 (v)=()v
0 = 0v = (+())v = v +()v (v)=()v v=0 = 0 ou v=0
Vamos provar o equivalente: v=0 e 0 v=0
0 = -10= -1(v)=(-1)v=1v=v
Espaos Vetoriais
Se V um espao vetorial sobre F e W V, ento W um subespao de V se:
, F, (w1, w2W w1+w2 W)
Exemplo:
Os polinmios de grau mximo n sobre o corpo F so um subespao vetorial de F[x]. Um plano que passe pela origem um subespao vetorial de 3.
Subespaos Vetoriais
Se U e V so um espao vetorial sobre F e uma funo de U para V, dizemos que um homomorfismo se:
(u1+u2)T = u1T +u2T (u1)T = (u1T)
Exemplo:
Transformaes lineares de n em n. Os homomorfismos de U em U so chamados de Hom(U,U), anel das transformaes lineares de U.
Homomorfismo
Se U e V so um espao vetorial sobre F e uma funo de U para V, dizemos que um homomorfismo se:
(u1+u2)T = u1T +u2T (u1)T = (u1T)
Exemplo:
:3 em3 tal que (x,y,z) = (x,y,0), ou seja, a projeo sobre o plano z=0.
Como em grupos, definimos o ncleo de como K = -1(0)No exemplo acima, quem K?
Homomorfismo
Se U e V so um espao vetorial sobre F e um homomorfismo sobrejetor de U para V de ncleo K, ento:
U/K um espao vetorial.
U/K V
Observao:
J sabemos que o teorema vlido
Exemplo:
:3 em2 tal que (x,y,z) = (x,y) um homomorfismo sobrejetor. 3/eixo-z 2
Espao quociente
Espaos Vetoriais
E se em lugar de um corpo F, os elementos de V fossem multiplicados pelos de um anel A?
Mdulos
Um conjunto no vazio V um mdulo sobre um anel R (R-Mdulo) se: (V, ) um grupo abeliano Existe uma operao de RVV tal que ,,R, v,wV:
(vw)=vw (+ )v=vv ()v=(v)
Se R tem unidade dizemos que o R-mdulo unitrio se:
1 v = v
Mdulos
Exemplo 1: Qualquer grupo abeliano um Z-mduloSeja (G,+) um grupo abeliano, e definimos ng = g + g + ... +g
n vezes
Exemplo 2: Qualquer anel R um R-mduloExemplo 3: Qualquer ideal esquerdo de um anel R um R-mduloExemplo 4: Se R um anel, um ideal esquerdo de R, ento R/, o cojunto das classes laterais [r]=+r, definindo [r+s]=[r]+[s], e s[r] = [sr] um R-mdulo.
Mdulos
Se M um R-mdulo e M1 um subgrupo adtivo de M, dizemos que M1 um submdulo de M se rR m1 M1 rm1 M1. Se R=M so os inteiros de Gauss, ento os pontos em azul so um submdulo.
Submdulos
Se M um R-mdulo e M1 , ..., Mn so submdulos de M, dizemos que M a soma direta de M1 , ..., Mn se todo elemento m de M pode ser escrito de forma nica como m= m1+...+mn, onde miMi.
Exemplo:
O espao vetorial R2 a soma direta dos subespaos (x,0) e (0,y). O Z-mdulo Z2 a soma direta dos submdulos (m,0) e (0,n). O grupo abeliano {e,a,b,c} tq a2=b2=c2=e, c=ab=ba, b=ca=ac, a=bc=cb um Z-mdulo. Ele a soma direta dos grupos abelianos {e,a} e {e,b}.
Submdulos
Um R-mdulo M cclico se existe m0 M tal que M = Rm0.
Exemplo:
Para o anel dos inteiros um mdulo cclico o mesmo que um grupo cclico.
Um R-mdulo M finitamente gerado se existem m1,...,mn M tais que para todo mM, m = r1m1+...+rnmn.
Exemplo:
Para um espao vetorial de dimenso finita um R-mdulo finitamente gerado.
Mdulos
Teorema fundamental sobre mdulos finitamente gerados:
Se R um anel euclidiano, ento qualquer R-mdulo finitamente gerado uma soma direta de um nmero finito de submdulos cclicos.
Corolrio:
Qualquer grupo abeliano finito a soma (produto) direta de subgrupos cclicos.
Mdulos
Quantos grupos abelianos de ordem 4 existem? (a menos de isomorfismo)Quais so estes grupos?E de ordem 8?
E de ordem pn?
Grupos Abelianos
CategoriasInformalmente uma categoria uma coleo de objetos e funes (setas) entre estes objetos, sujeitas composio sempre que uma seta termina onde uma segunda inicia.
Bfg
gf
1B
A
C
1A
1C
CategoriasFormalmente uma categoria A uma coleo de objetos, chamada obj A, e uma coleo de setas (ou morfismos) entre estes objetos, chamada de morf A. Alm disso:
i) Cada morfismo possui um domnio e um codomnio em obj A. Se o domnio de f A e o codomnio B, escrevemos f: A B.
ii) Dados f: A B e g: B C, existe a composio dos morfismos gf: A C. Tal que h(gf)=(hg)f.iii) Dado um objeto qualquer A existe o morfismo identidade 1A: A tal que para toda f: A B:
1Bf = f = f1A
CategoriasUsamos a composio como operao bsica de morfismos, e no a soma e o produto. Veremos posteriormente que estas podem ser definidas em funo daquela.
Bfg
gf
1B
A
C
1A
1C
ExemploCategoria Sets (conjuntos e funes entre conjuntos)obj Sets = todos os conjuntosAs setas entre C e D, morf (C,D) = todas as funes entre C e D.A composio a composio usual de funes.
Pergunta: a funo vazia nica?
Exemplo
Categoria Finsets (conjuntos finitos e funes entre estes)obj Finsets = todos os conjuntos finitosmorf (C,D) = todas as funes entre C e D.
Exemplo
Categoria 1 (um nico objeto, um nico morfismo)Obj 1 = { A }morf (A,A) = 1A
A1A
Exemplo
Categoria 0 (nenhum, objeto, nenhum morfismo)Obj 0 = morf 0 =
Exemplo
Categoria Grps
obj Grps = todos os gruposmorf Grps = homorfismo entre grupos
composio = composio de homomorfismos
Exemplo
Categoria Rings
obj Rings = todos os anismorf Rings = homorfismo entre anis
composio = composio de homomorfismos
Exemplo
Categoria Rel
obj Rel = conjuntosmorf Rel = relaes binrias
composio = composio de relaes
ExemploNa categoria abasixo fg=1B e gf=1A. Dizemos que f um isomorfismo, g=f-1 e que AB.
f
A
B
1A
1B
g
Pergunta Z Q? (inteiros e racionais)Em qual categoria?
Em Sets? Em Rings?
ExemploSeja X um conjunto. Definimos a categoria X de forma que:obj X = subconjuntos de X. morf Rel = funo de incluso entre os subconjuntos. Para X = {0,1,2} temos:
{0,1,2}
{0,1} {0,2} {1,2}
{0} {1} {2}
GeradoresUma maneira de apresentar uma categoria exibir seus objetos e algumas de suas setas (chamadas setas geradoras ou morfismos geradores) junto com equaes entre composio destes morfismos. Exemplo:
Um nico objeto, dois morfismosObj A = { A }Gerador tal que = 1A
A
1A
morf (A,A) = { 1A, }
ExemploObj A = { A }Gerador tal que =
A
1Amorf (A,A) = { 1A, }
ExemploObj A = { A }Gerador tal que = 1A
A
1A
morf (A,A) = { 1A, , 2 }
2
ExemploObj A = { A, B, C }:AB, :BC, :CA. Categoria livre (sem equaes)
B
1B
A
C
1A
1C
X,Y, Morf(X,Y) infinito.
Categoria DualInformalmente, se A uma categoria, a categoria dual de A, Aop, obtida de A invertendo-se todas as setas.
Bfg
fg
1B
A
C
1A
1C
Bfg
gf
1B
A
C
1A
1C
Categoria Dual
(X )op X ( significa isomrfica a )(Finsets )op FinBoolAlg
Qual uma boa definio de isomorfismo ?
Isomorfismo entre CategoriasSe A e B so categorias diz-se que um isomorfismo entre A e B
um par de funes :
: obj A obj B: morf A morf B
Tal que:
(i) f: A1 A2 morf A (f): (A1) (A2) morf B(ii) (gf) = (g)( f)(iii) (1A) = 1(A)
Caractersticas de ObjetosNa computao fundamental a noo de funes de duas ou
mais variveis, como por exemplo, soma: N N N.
Em teoria das categorias teremos que definir os objetos especiais, tais como produtos, somas, etc, em funo de sua relao com os demais objetos da categoria.
O primeiro exemplo que daremos a caracterizao do conjunto vazio e do conjunto unitrio em funo das setas existentes entre um objeto e os demais objetos da categoria.
Objeto TerminalCaracterizao do conjunto unitrio:
X morf Sets ! f:XI I um conjunto unitrio, {*}
Em uma categoria A, dizemos que I um objeto terminal X morf A ! f:XI
Normalmente chamamos este morfismo de ! :XI
I um objeto terminal X
X I!
Objeto InicialCaracterizao do conjunto vazio:
X morf Sets ! f:OX O o conjunto Vazio
Em uma categoria A, O um objeto inicial X
O X!
Obs: I terminal de A I inicial em Aop
ElementosEm Sets quem so as setas {*}X ?
Em uma categoria A com elemento terminal I, chamamos as setas IX de elementos de X.
I Xe
ProdutosEm uma categoria A diz-se que um objeto XY com duas setas :
o produto de X e Y se existe objeto Q com setas q1:QX e q2:QY, ento !: Q XY tal que o seguinte diagrama comuta:
XYX Ypi1 pi2
XYX Ypi1 pi2
Q
q1 q2
Funo Diagonal
Em Sets existe a funo X:XXX tal que (x)=(x,x).
Em uma categoria qualquer na qual exista o produto XX pode-se definir X como a nica seta que faz o seguinte diagrama comutar:
XXX Xpi1 pi2
X
1X 1XX
Produto de Funes
Em Sets se f:X1Y1 e g:X2Y2 existe a funo:
fg:X1X2Y1Y2 tal que fg(x1,x2)=(f(x1),g(x2)).Em uma categoria qualquer na qual existam os produtos X1X2 e
Y1Y2 pode-se definir fg como a nica seta que faz o seguinte diagrama comutar:
f fg
X1 X2pix1 pix2
g
X1X2
Y1 Y2piy1 piy2
Y1Y2
Funo Twist
Em Sets se existe twist:XYYX tal que twist(x,y)=(y,x).Em uma categoria qualquer onde existam os produtos XY e YX
podemos definir twistX,Y como a nica seta que faz o seguinte diagrama comutar:
YXY Xpi1 pi2
XY
q2 q1twist
SomasEm uma categoria A diz-se que um objeto X+Y com duas setas :
a soma de X e Y se existe objeto Q com setas j1:XQ e j2:YQ, ento :X+YQ tal que o seguinte diagrama comuta:
X+YX Yi1 i2
X+YX Yi1 i2
Q
j1 j2
A definio de soma dual da definio de produto.
Funo Codiagonal
Em Sets existe a funo X:XX+X tal que (x,0)=(x,1)=x.
Em uma categoria qualquer na qual exista o coproduto X+X pode-se definir X como a nica seta que faz o seguinte diagrama comutar:
X+XX Xi1 i2
X
1X 1XX
Soma de Funes
Em Sets se f:X1Y1 e g:X2Y2 existe a funo:
fg:X1+X2Y1+Y2 tal que fg(x1,x2)=(f(x1),g(x2)).Em uma categoria qualquer na qual existam os produtos X1+X2 e
Y1+Y2 pode-se definir fg como a nica seta que faz o seguinte diagrama comutar:
f fg
X1 X2pix1 pix2
g
X1+X2
Y1 Y2piy1 piy2
Y1+Y2
Funo Cotwist
Em Sets se existe cotwist:X+YY+X tal que cotwist(x,0)=(x,1) e cotwist(y,1)=(y,0).
Em uma categoria qualquer onde existam os produtos X+Y e Y+X podemos definir cotwistX,Y como a nica seta que faz o seguinte diagrama comutar:
Y+XY Xi1 i2
X+Y
j2 j1cotwist
FluxogramasConstruir a funo:
f: tal que:f(x) = sin x se x 0
ex se se x>0
X>0
sin x
ex
false
true
x
x
xex (x0)
sin x (x>0)
f(x)
Fluxogramas
++
X>0
sin x
ex
false
true
x
x
xex (x0)
sin x (x>0)
f(x)
testx>0 sin exp
+++
X>0
1x
1x
false
true
1 x
1 x
1 x x (x 1)
x (x0 cotwist 1x1x
Construir testx1:+ tal que f(x) = (x,0) se x < 1, e (x,1) cc. Usando apenas as funes testx>0e f(x) = 1x.
1xx
1x
AVG
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