MTODOS NUMRICOS EM
ENGENHARIA
MTODOS DE SOLUO
Mtodos Numricos em Engenharia
MTODOS DE SOLUO
MTODO VARIACIONAL: Utilizado tradicionalmente na soluo de problemas
da Mecnica de Slidos, em particular o mtodo de Ritz. O mtodo exige que
se possa escrever um funcional de energia para o problema, o que em alguns
casos no existe ou no est determinado.
PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
O acrscimo virtual de deslocamentos promove
o incremento na energia de deformao interna
U e no trabalho realizado pela ao externa .
Energia de deformao U e Potencial das Aes W=
ENERGIA POTENCIAL TOTAL : WU
PRINCPIO DA ENERGIA POTENCIAL MNIMA:
0 WUWU
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Conceito de ENERGIA DE DEFORMAO U: capacidade que um corpo tem,
de absorver energia elstica durante a deformao.
V
odVuU
A energia de deformao especfica por unidade
de volume u0, dada pela rea do grfico de .
dV
dUdu
n
i
ii
01
0
Podemos escrever que:
Se considerarmos a regio de comportamento elstico-linear, a primeira integral
transforma-se na rea de um tringulo para cada componente de tenso, assim:
][2
10 xyxyxyxyxyxyzzyyxxu
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Obtm-se a contribuio de cada componente da tenso no acrscimo de
energia de deformao fazendo:
;2
1dVdU xxx dVdU yyy
2
1 dVdU zxzxzx
2
1
dVdUdUdUdU xyxyxyxyxyxyzzyyxxzxyx ][2
1
Integrando dos dois lados teremos: dVU ijijV
][2
1
Anlogamente para o TRABALHO realizado pelas aes externas (W):
s
dssfdW0
)()(
Considerando que a carga cresce lentamente de 0 at seu valor final tambm
linearmente, a integrao fornece a rea sob a curva f(s) que neste caso
particular tambm triangular, ento:
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s
iii
dssfdd
PdW
d
PdU
0
)(),(),(
i
i
fd
PdU
),(1 Teorema de Castigliano
s
iii
dssfPP
PdW
P
PdU
0
)(),(),(
i
i
dP
PdU
),(2 Teorema de Castigliano
No clculo da energia de deformao U entra o carregamento e a mudana de
configurao do slido que se deforma. As derivadas so na direo do
deslocamento, se queremos determinar esforo, ou da ao se queremos
determinar deslocamento.
CONSERVAO DA ENERGIA: A um incremento no trabalho realizado pelas
aes externas corresponder um incremento energia de deformao
acumulada, assim:
dd
dUdUddUU
dd
dWdWddWW
)()()(
)()()(
d
dW
d
dUWU
)()(
Mtodos Numricos em Engenharia
Consideremos a soluo de uma viga bi-apoiada:
Para encontrar deslocamentos escrevemos a energia de deformao
considerando as tenses normais e desprezando o cisalhamento. Aplicando
o segundo teorema de Castigliano teremos:
dx
EI
xP
dxdSyIEI
MdV
EdVU
L
zS
L
zzV
xx
V
xx
2/
0
2
2
2/
0
2
2
22
22
1
zEI
LPU
96
32
z
vvEI
PL
P
U
48
3
2 Teorema de
Castigliano
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Mtodo do TRABALHO VIRTUAL:
Parte-se de incrementos virtuais de deformao, no clculo da energia de
deformao total, e incrementos virtuais de deslocamento no clculo do
trabalho externo realizado pelas aes.
com temos:
0
0 duuo
assim: 2
10 u e:
V
dVuU 0
incremento de trabalho
realizado pelas aes: dfdfW
2
1
A conservao de energia no mtodo do trabalho virtual assegurada pela
igualdade dos termos de primeira ordem, assim:
V
WdfdVU
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TRABALHO VIRTUAL em deslocamentos: consiste em impor estrutura em
equilbrio, deslocamentos fictcios (ou virtuais), compatveis com os vnculos, e
calcular o trabalho realizado pelas foras externas igualando isso ao trabalho
realizado pelas tenses internas nas deformaes virtuais.
dVvPvol
n
i
ii
1
),(),( dPUdPW
Mtodos Numricos em Engenharia
Considerando-se a viga isosttica como um corpo rgido, o trabalho externo
realizado pelas cargas nulo e portanto:
0),( dPW
Determinando por semelhana de tringulos o deslocamento sob a carga
aplicada, temos:
0),( 1 vVBvVBL
aPvRPvRdpW
vL
av 1
Escreve-se agora o trabalho externo igualando-o a zero:
obtendo-se a reao de apoio direita: L
aPRVB
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TRABALHO VIRTUAL em foras: alternativamente, podemos impor estrutura
um esforo virtual P, em equilbrio, na direo que se deseja medir o
deslocamento real, calculando o trabalho externo realizado. Em seguida,
iguala-se essa quantidade ao trabalho interno realizado pelas tenses normais
virtuais nas deformaes do problema real.
dVvPvol
n
i
ii
1
),(),( dPUdPW
Mtodos Numricos em Engenharia
Neste caso obviamente no possvel considerar a viga como corpo rgido.
vol L
R dxdSyEI
M
I
MdVvP 2
PxMPxM ;com:
Fazendo P=1 (mtodo da carga unitria) e resolvendo-se as integrais em dS e em seguida em dx vem:
|0
3
0
2
31
LL
R
x
EI
Pdxx
EI
Pv
que fornece: EI
PLvR
3
3
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MTODOS DE RESDUOS PONDERADOS: Aplicam-se aos problemas para
os quais no h um funcional de energia determinado. Nos casos em que h, o
resultado idntico ao do mtodo variacional para a mesma ordem de
aproximao.
Na sequncia vamos resolver um problema de barra de seo varivel sob a
ao do peso-prprio partindo da equao diferencial de governo. Em seguida
resolveremos o mesmo problema pelos mtodos citados.
Mtodo da colocao. Mtodo dos subdomnios. Mtodo dos mnimos quadrados. Mtodo de Galerkin.
O MTODO DE GALERKIN o mais difundido na deduo das equaes do
Mtodo dos Elementos Finitos. Algumas publicaes restringem-se apenas
ao uso deste mtodo em detrimento dos MTODOS VARIACIONAIS em
razo da maior complexidade terica deste ltimo.
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Considere o problema de uma barra feita de um certo material de mdulo
elstico E constante, com seo transversal varivel no comprimento A(x) e
submetida a seu peso prprio.
RL
xr e
2
2
22
)( xL
RR
L
xxA
onde f(x) o peso por unidade de volume, adotado constante e igual a .
Balano de foras em x:
0))(()( dAAdAdxxfA
0)( dAdAdxAxf
AxfAdx
d)(
Lembrando a lei de Hooke: dx
xduE
)( Axf
dx
xduAE
dx
d)(
)(
Temos ainda que:
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Resolvendo diretamente a equao diferencial local teremos:
2
2
22
2
2 )(x
L
R
dx
xdux
L
R
dx
dE
Simplificando e integrando dos dois lados da igualdade vem:
dxxdx
dx
xdux
dx
dE 22
)( 1
32
3
)(Cx
dx
xduxE
Forma integral para o mesmo problema:
0)()()(
)(0
dxxxAxfdx
xduxEA
dx
dL
Equao diferencial de governo Forma forte.
)()()(
)( xAxfdx
xduxEA
dx
d
Mtodos Numricos em Engenharia
Impondo a segunda condio de contorno: 0)( Lxu
E
LCCL
ELxu
660)(
2
22
2
Impondo a condio de contorno: 00)0(
1
Cdx
xdu
E integrando novamente, vem: dxxE
dxdx
xdu 3
)(
2
2
23)( C
x
Exu
2
2
6)( Cx
Exu
E
Lx
Exu
66)(
22 A equao dos deslocamentos ser:
E para x=0 temos: E
Lxu
6)0(
2
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MTODOS APROXIMADOS DE SOLUO
O processo comea por escolher uma soluo tentativa que se aproxime
soluo do problema, ou seja, se a funo u(x) a soluo para a equao
diferencial de governo, (x) ser uma soluo aproximada para esse mesmo
problema.
)()()( xExuxu
Devemos ter: )()( xuxu e
0)()()0()0( LxuLxuxuxu
Neste caso u(x) e (x) so, respectivamente, deslocamentos verticais exatos e
aproximados para o eixo da viga.
Mtodos Numricos em Engenharia
A soluo tentativa deve ser simples e fcil de operar, geralmente se escreve
combinando funes polinmiais ou funes trigonomtricas ponderadas por
coeficientes de ajuste ai, da seguinte forma: .
)()()()(),()( 22110 xaxaxaxaxuxu nn
Essa soluo deve atender pelo menos as condies de contorno do
problema. Os coeficientes ai devem ser tais que minimizem o funcional energia
potencial total (MTODOS VARIACIONAIS) ou o resduo E(x) (MTODOS DE
RESDUOS PONDERADOS).
SOLUO TENTATIVA
)()()(
)( xAxfdx
xduxEA
dx
d
Considere a forma geral do problema da barra de seo varivel:
A soluo aproximada deve atender: 0)0(
0)(
xd
xudeLxu
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MTODO VARIACIONAL
O princpio variacional que corresponde a formulao fraca para a elasticidade
o PRINCPIO DA ENERGIA POTENCIAL MNIMA. Para escrever a equao
correspondente se escreve o funcional ENERGIA POTENCIAL TOTAL DO
SISTEMA .
ENERGIA POTENCIAL TOTAL :
Para sistemas conservativos o funcional energia potencial total dado pela soma da energia de deformao U(x) com o potencial das cargas dado por
W(x), assim:
)()()( xWxUx com: xfxW )(
onde:
V
dVxxxU )()(2
1)( e
qU nn
V
txutxudVxuxbxW |))((|))(()()()(
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ENERGIA DE DEFORMAO U(x): Energia acumulada internamente ao slido
em funo da sua deformao.
VV
dVxEdVxxxU2
)(2
1)()(
2
1)(
POTENCIAL DAS CARGAS W(x):
qU nn
V
txutxudVxuxbxW |))((|))(()()()(
A integral a direita da igualdade corresponde ao trabalho realizado pelas aes
de volume (Ex: peso prprio), a segunda parcela corresponde a deslocamentos
impostos a partes do contorno e a terceira corresponde as aes tambm em
partes determinadas do contorno (condies de contorno em foras e/ou
deslocamentos).
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PRINCPIO DA MNIMA ENERGIA POTENCIAL TOTAL
Este princpio permite determinar qual o conjunto de deslocamentos possveis
que mantm o equilbrio com o mnimo de energia, assim:
0))(),(())(),((0)( ffxuxuWxuxuUx
Aplicando ao problema da barra de seo varivel sob a ao do peso prprio.
xLL
Rr
0)0( xu
0)(
dx
Lxdu
Por convenincia adota-se a origem
do sistema de referncia no apoio.
Considere a coordenada homognea
dada por:
L
x
Para: x = 0 = 0 x = L = 1
22
2
)( xLL
RxA
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LL
Sx
dxdx
xduxL
L
REdx
dx
xduxA
EdxdS
dx
xduExU
0
2
2
2
2
0
22)(
2
)()(
2
)(
2
1)(
em termos da coordenada homognea : cxbxaxu 2)(
ENERGIA DE DEFORMAO:
condio de contorno: 0000)0( 2 ccxbxaxu
assim: Lx e baLdx
d
d
xud
dx
xud
2
1)()(
1
0
22222
4412
)(
dbabaL
RExU
1
0
2221
0
2
2
2
2
212
21
2)(
dba
L
RELdba
LLL
L
RExU
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POTENCIAL DAS AES:
qU nn
V
txutxudVxuxbxW |))((|))(()()()(
No problema em questo a densidade volumtrica de carga constante e
equivale ao peso especfico do material . A condio de deslocamento nulo
para x=0 e a ausncia de carga externa aplicada no contorno anulam a
segunda e a terceira parcelas a direita da igualdade, assim:
L
x S
dxxuxAdxdSxuxW0
)()(00)()(
1
0
222
1
0
222
2
2
11)(
dbaLRLdbaLL
RxW
FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL:
)()()( xWxUx
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APLICANDO O PRINCPIO DA MNIMA ENERGIA POTENCIAL TOTAL
Os coeficientes a e b, que aparecem no funcional energia potencial total,
determinam a funo que minimiza esse funcional. Impondo uma variao no
entorno diferencial de a e b se escreve a expresso do Princpio dos
Trabalhos Virtuais conforme segue:
1
0
22222
4412
)(
dbabaL
REx
1
0
222 1 dbaLR
i
i
aa
aa
aa
x
2
2
1
1
)(
O campo soluo de deslocamentos admissvel u(x) faz com que a variao
do trabalho interno seja igual a variao do trabalho externo assim:
0)()()( xWxUx
0)( x ocorrer quando os nia ,..,1
forem simultaneamente nulos.
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Aplicando o exposto ao nosso problema temos:
1
0
222
1
0
21
0
222
114182
10
)(
dLRdbda
L
RE
a
x
1
0
22
1
0
21
0
22
112142
10
)(
dLRdbda
L
RE
b
x
Que resulta no seguinte sistema de duas equaes a duas incgnitas a e b.
E
Lba
E
Lba
42
1102
1
5
2
2
2
e que fornece:
E
Lb
E
La
3
62
2
resultando na equao:
E
L
E
LU
36)(
22
2
E
LLxuu
xuu
6)()1(
0)0()0(2
Mtodos Numricos em Engenharia
Soluo da FORMA INTEGRAL via formulao matricial:
0)()()(
)(0
dxxxAxfdx
xduxEA
dx
dL
0)()()(
)(0 0
dxxAxfxdxdx
xduxEA
dx
dx
L L
Considerando a derivada do produto de duas funes e fazendo:
dx
dgg
dx
d
dx
dg
dx
dg
dx
dgg
dx
d
LLL
dxdx
dgdxg
dx
ddx
dx
dg
000
dx
xduxEAg
)()(
LLL
dxdx
xdxEA
dx
xdu
dx
xduxEAxdx
dx
xduxEA
dx
dx
000
)()(
)()()()(
)()()(
Mtodos Numricos em Engenharia
Aplicando as condies de contorno ao primeiro membro a direita da igualdade:
dx
xduxEAx
dx
LxduxEALx
dx
xduxEAx
L)0(
)()0()(
)()()(
)()(0
A funo ponderadora deve respeitar as condies de contorno de U(x), assim:
0)0(
0)(0)(
dx
xduEeLxLxu
Logo:
LL
dxdx
xdxEA
dx
xdudx
dx
xduxEA
dx
dx
00
)()(
)()()()(
Escrevendo a FORMA INTEGRAL:
0)()()(
)(
0 0
dxxAxfxdxdxxd
xEAdx
xduL L
dxxAxfxdx
dx
xdxEA
dx
xduL L
0 0
)()()()(
Mtodos Numricos em Engenharia
Adotamos a mesma matriz de funes de forma N(x), para aproximar a funo
de deslocamentos u(x) e a funo peso (x) de modo que podemos escrever:
)()()()( xxNxx )()()()( xuxNxuxu
simplificando notao escrevemos: )()()()( 2211 xNxNxNx nn
)()()()( 2211 xNuxNuxNuxu nn
A funo peso arbitrria mas deve ser zero nos pontos do contorno onde
queremos determinar, por exemplo, uma reao de apoio.
No caso da barra ao lado, considerando apenas um
elemento, teramos
0)0( x
uxu )0(
Mtodos Numricos em Engenharia
Para uma rede de elementos podemos reescrever a equao integral anterior
da seguinte forma:
0)()(
)()(
1
2
1
2
1
i
nelem
i
x
x
x
x
T
dxxAxfxdxdx
xduxEA
dx
xd
Todo o argumento entre as chaves do somatrio acima, corresponder a dados
do i-simo elemento e.
Veremos mais adiante as funes de forma. Por hora consideremos as Ni e
suas derivadas Bi para o caso de um elemento com um n em cada
extremidade e apenas uma coordenada local:
eeei
xxxxl
N 121
111 e
ii
ldx
dNB
Mtodos Numricos em Engenharia
Para cada elemento de uma rede poderemos relacionar o deslocamento dos
ns da extremidade de um elemento com os ns correspondentes na rede da
seguinte forma:
)()( xuNxu eeei
TeTeTe Nxx
i)()(
e
e
iu
u
u
u
N
u
u
u
u
4
3
2
1
8
7
6
5
e
e
i
N
4
3
2
1
8
7
6
5
Mtodos Numricos em Engenharia
Escrevendo as derivadas das expresses anteriores temos:
)()( xuNxu eeei
TeTeTe Nxx
i)()(
)()(
xuBdx
xduee
e
i
TeTe
Te
Bxdx
xdi )(
)(
Agora substituiremos as expresses acima e suas derivadas no somatrio
sobre a rede de elementos mostrada anteriormente:
0)()()()()(1
2
1
2
1
i
nelem
i
x
x
x
x
TeTeeeeTe dxxAxfNxdxxuBxEABx
e
e
e
e
T
0)()()()()(1
2
1
2
1
i
nelem
i
x
x
Tee
x
x
eeTe
e
e
e
e
T
dxxAxfNxudxBxEABx
Mtodos Numricos em Engenharia
Na expresso abaixo, a integral entre colchetes a matriz de rigidez de um
elemento e denomina-se k. A segunda integral corresponde a ao volumtrica
que solicita o elemento f.
e
e
T
x
x
ee dxBxEABk2
1
)(
0)()()()()(1
2
1
2
1
i
nelem
i
x
x
Tee
x
x
eeTe
e
e
e
e
T
dxxAxfNxudxBxEABx
Matriz de rigidez do elemento barra:
e
e
x
x
Te dxxAxfNf2
1
)()(Vetor de foras nodais equivalentes:
Se houvessem aes no contorno, o vetor de foras nodais equivalentes teria
termos adicionais, como veremos mais adiante.
As seguintes relaes permitem escrever o sistema de equaes em termos
das componentes globais de deslocamentos :
)()( xLx ee )()( xuLxu ee
Mtodos Numricos em Engenharia
Uso destas expresses no problema da trelia mostrada anteriormente:
18
2
1
000000100000000000
000000010000000000
000000000000100000
000000000000010000
4
3
2
1
u
u
u
u
u
u
u
e
e
e
e
Mtodos Numricos em Engenharia
0)()()()()(11
2
1
2
1
nelem
i
x
x
TeTenelem
i
e
x
x
eeTeT
e
e
e
e
T
dxxAxfNLxuLdxBxEABLx
O primeiro termo dentro das chaves trata-se da matriz de rigidez global da
estrutura, designada por K. O segundo termo o vetor de cargas nodais
globais F.
nelem
i
eTenelem
i
e
x
x
eeTe LkLLdxBxEABLK
e
e
T
11
2
1
)(
nelem
i
Tenelem
i
x
x
TeTe fLdxxAxfNLF
e
e 11
2
1
)()(
Determinando a matriz de rigidez global da estrutura e o vetor de cargas nodais
equivalentes.
Mtodos Numricos em Engenharia
Recapitulando:
Matriz de rigidez local :
Vetor de cargas nodais local :
Matriz de rigidez global :
Vetor de cargas nodais global :
e
e
T
x
x
ee dxBxEABk2
1
)(
e
e
x
x
Te dxxAxfNf2
1
)()(
nelem
i
eTe LkLK1
nelem
i
Te fLF1
Mtodos Numricos em Engenharia
Montando e resolvendo o sistema de equaes:
0)()()()()(11
2
1
2
1
nelem
i
x
x
TeTenelem
i
e
x
x
eeTeT
e
e
e
e
T
dxxAxfNLxuLdxBxEABLx
0)()( FxuKx T
Entre chaves fica o sistema de equaes que deveremos resolver para obter
os deslocamentos u(x). Esse termo pode ser equiparado a um resduo de
foras r(x), que devemos anular:
0)()( xrx T
As componentes no nulas do vetor de resduos de fora equivalem a uma
reao de apoio em cada vnculo correspondente.
FxuKxr )()(
Mtodos Numricos em Engenharia
Parametrizando a funo linear anterior:
eeei
xxxxl
N 121
111 e
ii
ldx
dNB
, assim: 12
L
x
)1(2
1))((1 xN
)1(2
1))((2 xN
Ldx
dxN
1
2
1))(('
1
Ldx
dxN
1
2
1))(('
2
0))(("1
xN
0))(("2
xN
Para obter a matriz de rigidez, k, do elemento utilizamos: e
e
T
x
x
ee dxBxEABk2
1
)(
e
e
Tx
x
eedxNxEANk
2
1
'' )(
222
LLLLx
Mtodos Numricos em Engenharia
Desenvolvendo a matriz de rigidez local k para o problema em questo:
e
e
e
e
Tx
x
x
x
eedxxA
L
EdxNxEANk
2
1
2
1
11)(1
1)(
2
'' 2
2
22
)( xL
RR
L
xxA
e
e
x
x
dxxL
ERk
2
1
111
12
4
2
1
1
21
1
2
1
1
21
1
2
2
11
11
8
dd
dd
L
ERk
1
1
2
4
2
2111
21
1
d
LL
L
ERk
11
11
3
2
L
ERk
Mtodos Numricos em Engenharia
Desenvolvendo o vetor de foras nodais f para o problema em questo:
e
e
e
e
x
x
eTe
x
x
Te dxxNNL
RdxxAxfNf
2
1
2
1
2
2
2
)()(
1
1
21
41
2
11
2
1
12
1
12
11
1
22
2
2
d
LL
L
Rf
T
Substituindo o vetor de foras volumtricas f(x) por uma expresso equivalente
a distribuio nodal utilizando as mesmas funes de forma vem:
1
11
2
11
2
11
2
11
2
1)(
xf
Substituindo:
1
1
9624
2416
15321
1
1111
1111
32
21
1
2232
32222 LRd
LRf
Mtodos Numricos em Engenharia
Escrevendo o vetor de aes nodais para o elemento:
3
1
123
1
3
8
32
22 LRLRf
Se consideramos que a barra est formada por apenas um elemento, a matriz
global K e o vetor global de foras F confundem-se com k e f, de modo que:
0)()( FxuKx T com FxuK )(
Montando o sistema: FLR
u
u
L
ERxKu
3
1
1211
11
3)(
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Da forma como colocamos a referncia, devemos ter u2=0, logo:
123
2
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2 LRu
L
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Mtodos Numricos em Engenharia
Se a rea da seo transversal da barra constante, A(x)=A, as expresses
ficam:
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Resolvendo temos: FLA
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