Sistemas Digitais Módulo 4
Álgebra Booleana e Circuitos Lógicos
Graduação em Sistemas de Informação
Prof. Dr. Daniel A. Furtado
Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Computação
Conteúdo
Introdução
• Álgebra booleana
• Valor lógico e variável booleana
Operações Lógicas
• AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR, XNOR
• Tabela Verdade
• Diagramas de Tempo
Portas Lógicas
Expressões e circuitos lógicos
Introdução ao Logisim
Álgebra Booleana (ou Álgebra de Boole)
Sistema matemático que utiliza símbolos e operadores para representar e manipular expressões lógicas;
Introduzida em 1847 pelo matemático inglês George Boole;
Diferentemente da álgebra elementar, uma variável na álgebra booleana pode assumir um de dois possíveis valores (ou estados): • 0 - Falso
• 1 - Verdadeiro
Em geral, o valor 0 representa falso, não, desligado, ausência de tensão, etc.
Já o valor 1 representa verdadeiro, sim, ligado, presença de tensão, etc.
George Boole
Álgebra Booleana (ou Álgebra de Boole)
Em 1938, o americano Claude E. Shannon mostrou que os conceitos da Álgebra de Boole podiam ser aplicados em circuitos digitais;
Sua tese de mestrado abordando o assunto é tida como uma das mais importante do século!
C. E. Shannon
Álgebra Booleana (ou Álgebra de Boole)
Operações fundamentais da álgebra Booleana:
• AND (E)
• OR (OU)
• NOT (Não, Inversão)
Outras Operações
• NAND
• NOR
• XOR
• XNOR
Operação Lógica AND (E)
Representa o “e” lógico;
O resultado é verdadeiro (1) quando todas as entradas forem verdadeiras;
Representações mais comuns
• 𝑆 = 𝐴 ∙ 𝐵; 𝑆 = 𝐴𝐵
Outras representações • 𝑆 = 𝐴 𝐵
• 𝑆 = 𝐴 & 𝐵
• 𝑆 = 𝐴, 𝐵
Ref.: J. A. Baranauskas, USP
Operação Lógica AND (E)
Representação das situações possíveis para duas variáveis:
Ref.: J. A. Baranauskas, USP
Entradas Saída
A B S = A . B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Tabela Verdade
Operação Lógica AND (E)
Tabela verdade para três variáveis:
Entradas Saída
A B C 𝑆 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Operação Lógica OR (OU)
Representa o “ou” lógico;
O resultado é verdadeiro (1) quando pelo menos uma das entradas for verdadeira;
Representação:
• 𝑆 = 𝐴 + 𝐵
Representações Alternativas
• 𝑆 = 𝐴 𝐵
• 𝑆 = 𝐴 𝑂𝑅 𝐵
• 𝑆 = 𝐴 | 𝐵
Ref.: J. A. Baranauskas, USP
Operação Lógica OR (OU)
Representação das situações possíveis para duas variáveis:
Ref.: J. A. Baranauskas, USP
Entradas Saída
A B S = A + B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Tabela Verdade
Operação Lógica OR (OU)
Tabela verdade para três variáveis:
Entradas Saída
A B C 𝑆 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Operação Lógica NOT (Não/Negação/Inversão)
Pode ser aplicada a uma única variável de entrada;
Realiza a inversão do valor lógico da variável:
• Se a variável valer 0, o resultado da operação é 1;
• Se a variável valer 1, o resultado da operação é 0;
Representação:
• 𝑆 = 𝐴 (lê-se S = não A)
Tabela verdade:
Entrada Saída
A 𝑆 = 𝐴
0 1
1 0
Operação Lógica NOR (Not OR)
A operação NOR corresponde a uma operação OR seguida de uma operação NOT;
Representação mais comum: 𝐴 + 𝐵;
Tabela verdade:
Entradas OR NOR
A B 𝑨 + 𝑩 𝑨 + 𝑩
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
Operação Lógica NAND (Not AND)
A operação NAND corresponde a uma operação AND seguida de uma operação NOT;
Representação mais comum: 𝐴 ∙ 𝐵;
Tabela verdade:
Entradas AND NAND
A B 𝐴 ∙ 𝐵 𝐴 ∙ 𝐵
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0
Operações Lógicas XOR e XNOR
XOR – Exclusive-OR
• O resultado é verdadeiro sempre que as duas entradas forem opostas;
• Representação: ⊕
• Equivalência: 𝐀⊕𝐁 = 𝐀 𝐁 + 𝐀𝐁
XNOR – Not XOR
• Negação do XOR
• O resultado é verdadeiro sempre que as duas entradas forem iguais;
• Representações: 𝐀⨁𝐁, 𝐀⨀𝐁
• Equivalência: 𝐀⨁𝐁 = 𝐀𝐁 + 𝐀 𝐁
Prof. Daniel A. Furtado
A B 𝐀 ⊕ 𝐁
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B 𝐀 ⊕ 𝐁
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Portas Lógicas
Uma porta lógica é um dispositivo capaz de executar uma
operação lógica básica da álgebra Booleana. Cada porta lógica
é representada graficamente por um símbolo próprio;
Possui uma ou mais entradas e produz uma única saída;
As portas lógicas podem ser implementadas fisicamente de
diversas formas. São comumente implementadas em circuitos
integrados, por meio de transistores;
Em circuitos digitais, as entradas das portas são níveis lógicos
de tensão (por ex. 0v ou 5v) representando os valores 0 e 1;
São os blocos fundamentais dos circuitos digitais.
Portas Lógicas Básicas - Representação
Representações gráficas das portas lógicas
Entrada A
Entrada B Saída S
Entrada A
Entrada B Saída S
Saída S Entrada A
Porta AND
Porta OR
Porta NOT
Portas Lógicas - Representação
Porta NAND
Porta NOR
Porta XOR
Porta XNOR
𝐴 + 𝐵
Denota inversão
Denota inversão
A
B
A
B
A⊕ B
A⊕ B
Portas Lógicas - Representação
Portas com mais de duas entradas também são comuns:
Um exemplo de dispositivo físico que implementa a porta
lógica AND é o circuito integrado (CI) 7408:
A B C
𝑆 = 𝐴𝐵𝐶
Diagrama do CI 7408
Porta Lógica AND – Diagrama de Tempo
t
v
t
v
t
v
Entrada A
Entrada B
Saída S
Entrada A
Entrada B Saída S
Porta Lógica OR – Diagrama de Tempo
t
v
t
v
t
v
Entrada A
Entrada B
Saída S
Entrada A
Entrada B Saída S
Circuitos Lógicos
Um circuito lógico é uma combinação de portas lógicas com as respectivas conexões;
Exemplos:
Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente
Circuitos lógicos podem ser descritos algebricamente por equações booleanas (e vice-versa)
Precedência dos Operadores
Considere a expressão:
• 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶
Qual operação é realizada primeiro?
• 1º AND (maior precedência, como na álgebra convencional)
• 2º OR
Uso de parênteses: 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶)
• 1º OR
• 2º AND
Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente
Encontre as expressões lógicas nos nós intermediários do circuito a seguir:
Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente
Encontre as expressões lógicas nos nós intermediários do circuito a seguir:
Utilizando o Logisim para Projetar Circuitos Lógicos
Download: http://sourceforge.net/projects/circuit/
Utilizando o Logisim para Projetar Circuitos Lógicos
Implementar e testar o circuito lógico a seguir utilizando o Logisim
Qual operação lógica é equivalente ao circuito?
Circuitos a Partir de Expressões Booleanas
Circuito lógico feito no Logisim correspondente à expressão: z = AC + AB + ABC
z
Circuitos a Partir de Expressões Booleanas
Exercício. Crie circuitos lógicos no Logisim correspondentes às expressões booleanas a seguir. Utilize apenas portas lógicas básicas (OR, AND, NOT):
a. ABC + B + D A
b. A + B A + D + CB
c. A + B + C A + CD + ABC + AB
Referências
TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: princípios e aplicações. 11.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
• Leitura recomendada: Cap. 3: págs 49-66
http://dcm.ffclrp.usp.br/~augusto/teaching
Prof. Daniel A. Furtado
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